Nivelamento de Matemática

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NIVELAMENTO
DE MATEMÁTICA
PROF. REBECCA MANESCO PAIXÃO
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que estão inseridos.
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 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
AULA 16
CONJUNTOS 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
FRAÇÕES
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
RAZÃO E PROPORÇÃO
REGRA DE TRÊS 
PORCENTAGEM
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÕES
FUNÇÕES
FUNÇÕES ELEMENTARES
TRIGONOMETRIA
05
13
18
22
27
31
38
42
44
48
52
60
66
71
81
89
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INTRODUÇÃO
Olá, aluno(a). É com prazer que apresento a você o livro de “Nivelamento de Matemática”. 
Sou a professora Rebecca Manesco Paixão, graduada em Engenharia Ambiental e Sanitária 
e licenciada em Matemática, especialista em Segurança do Trabalho, mestre em Engenharia 
Química e atualmente cursando o doutorado em Engenharia Química, com estágio de 
doutoramento realizado em Portugal.
O presente material encontra-se dividido em 16 aulas, preparadas com o objetivo de 
relembrarmos alguns conceitos importantes da Matemática, contribuindo com a sua formação 
acadêmica.
Iniciaremos nossos estudos com a noção de conjuntos e, neste contexto, veremos os 
conjuntos numéricos. Na sequência, estudaremos as frações e as operações que podem 
ser feitas por meio de frações.
Em um segundo momento, abordaremos os conceitos de razão e proporção, para na 
sequência, nos recordarmos da regra de três, tanto simples como composta, utilizada 
sempre que quisermos encontrar um valor desconhecido, comparando grandezas direta ou 
inversamente proporcionais.
Neste material, também trataremos de expressões algébricas e equações e inequações 
do primeiro e do segundo grau. 
Finalizaremos nossos estudos com as funções e algumas das funções elementares como 
as polinomiais, exponenciais e logarítmicas, tendo em vista a sua importância e aplicação 
em diversas áreas do conhecimento.
A última aula é dedicada à retomada de alguns conceitos importantes da trigonometria, 
bem como ao estudo das funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente.
Bons Estudos!
Professora Me. Rebecca Manesco Paixão.
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AULA 1
CONJUNTOS
Caro(a) aluno(a), vamos iniciar nossos estudos com os conjuntos. 
A ideia intuitiva de conjunto é tão antiga quanto a de número e, embora sempre 
tenha existido no pensamento humano e na Matemática, só recebeu tratamento 
formal e sistemático no final do século XIX, pelo matemático russo Georg Cantor 
(1845 – 1918) – o criador da teoria dos Conjuntos (FACCHINI, 2006, p.7).
Um conjunto pode ser pensado como uma coleção de objetos, tal que estes objetos que 
fazem parte do conjunto são ditos elementos. Normalmente, indica-se o conjunto por letras 
maiúsculas e os elementos por letras minúsculas.
Se o elemento x pertence ao conjunto A, então, dizemos que “x pertence ao conjunto 
A”, e escrevemos x∈A. Por outro lado, escrevemos x∉A para indicar que “x não percente ao 
conjunto A”.
Seja B um conjunto finito, n(B) diz respeito ao número de elementos deste conjunto. 
Exemplo 1.1: O conjunto C, C={1,2,3,4,5} tem 5 elementos, logo, n(C)=5.
Caso o conjunto tenha apenas um único elemento, então ele é dito unitário.
Exemplo 1.2: Se D={x|x é um número natural e x+2=3}, então D={1}.
E, caso o conjunto não tenha elementos, então ele é dito vazio, indicado por { } ou Ø.
Exemplo 1.3: Se E={x|x é o dia da semana que começa com a letra A}, então E={ }.
De modo geral, o conjunto pode ser representado a partir da enumeração de seus elementos, 
por meio de uma propriedade comum a todos os seus elementos e por meio de um diagrama.
A enumeração dos elementos de um conjunto é feita entre chaves, a exemplo do conjunto 
F dos números ímpares: F={1,3,5,…}.
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A representação de um conjunto por meio de uma propriedade comum a seus elementos é 
feita por meio da seguinte notação G={x|x obedece a propriedade P}. Por exemplo: se x é um 
número ímpar menor do que 8, então G={x|x é um número ímpar menor do que 8} = {1,3,5,7}.
Por fim, diagramas também são úteis na representação de conjuntos, também conhecidos 
por diagramas de Venn ou de Euler. Consiste de uma linha fechada, na qual inserimos 
os elementos do conjunto. Havendo também a possibilidade de representar um ou mais 
conjuntos simultaneamente.
Exemplo 1.4: Sejam os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, então:
 1.1 Subconjuntos e a relação de inclusão
Um determinado conjunto B é dito subconjunto de A nos casos em que os elementos de 
B são também elementos de A:
B ⊂ A ↔ (∀ x, x ∈ B → x ∈ A)
B ⊂ A indica que B está contido em A. Além disso, o símbolo ∀ é um quantificador universal, 
o qual se lê “qualquer que seja” (BUCCHI, 1998).
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Figura 1.1: B é um subconjunto de A. Fonte: elaborado pela autora.
Exemplo 1.5: Se A = {x|x é um número natural ímpar menor do que 4} e B = {x|x é um 
número natural ímpar menor do que 8┤}, então A = {1,3} e B ={1,3,5,7}. Isto significa que os 
números 1 e 3 pertencem a ambos os conjuntos A e B. 
Assim, dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B, A ⊂ B, ou ainda que B 
contém o conjunto A, B ⊃ A.
Nos casos em que A ⊂ B e B ⊂ A, dizemos que os dois conjuntos A e B são iguais, ou 
seja, A = B. Isto significa que dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos:
A=B ↔ (∀x, x∈A ↔ x∈B)
Exemplo 1.6: Se A={1,2,3,4} e B={4,3,2,1}, então A=B.
1.2 Operações entre conjuntos
Sejam dois conjuntos A e B, a intersecção de A com B é o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, simultaneamente:
A ∩ B = {x|x∈A e x∈B}
Na Figura abaixo, encontra-se ilustrada a intersecção dos conjuntos A e B.
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Figura 1.2: Intersecção dos conjuntos A e B. Fonte: elaborado pela autora.
Na intersecção, observam-se as seguintes propriedades:
• A ∩ Ø = Ø,∀A
• A ∩ B = B ∩ A,∀A,∀B 
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),∀A,∀B,∀C 
Atente-se também, caro(a) aluno(a), a dois casos particulares: 1) se B ⊂ A, então A∩B =B, 
ou seja, como B está contido em A, então a intersecção de ambos é o próprio conjunto B; 
2) se A∩B=Ø, então A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não têm elementos em comum, 
tal que a intersecção é o conjunto vazio.
Exemplo 1.7: Sejam os conjuntos A={0,1,2,3}, B={2,4,6} e C={1,3,5}, então:
A ∩ B={0,1,2,3} ∩ {2,4,6}={2}
A ∩ C= {0,1,2 ,3} ∩ {1,3,5}= {1,3}
B ∩ C={2,4,6} ∩ {1,3,5} = Ø
 
Por sua vez, denominamos de união de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B:
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}
 
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Figura 1.3: União dos conjuntos A e B. Fonte: elaboradopela autora.
Na união observam-se as seguintes propriedades:
• A ∪ Ø = A,∀A
• A ∪ A = A,∀A 
• Ø ∪ Ø = Ø
• A ∪ B = B ∪ A,∀A,∀B 
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),∀A,∀B,∀C 
Atente-se também, caro(a) aluno(a), a dois casos particulares: 1) se A⊂B, então A∪B=B; 
2) se A e B são conjuntos disjuntos, então A∪B=A+B.
Exemplo 1.8: Sejam os conjuntos A={0,1,2,3}, B={2,4,6} e C={1,3,5}, então:
A ∪ B = {0,1,2,3} ∪ {2,4,6} = {0,1,2,3,4,6}
A ∪ C = {0,1,2,3} ∪ {1,3,5} = {0,1,2,3,5}
B ∪ C = {2,4,6} ∪ {1,3,5} = {1,2,3,4,5,6}
Anote isso
As conjunções “e” e “ou” têm um papel importante no estudo de conjuntos. A intersecção 
de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, enquanto que 
a união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem 
a A ou a B. 
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Considerando dois conjuntos A e B, o conjunto formado pelos elementos do conjunto A 
que não pertencem ao conjunto B são chamados de conjunto diferença de A e B:
A - B = {x|x ∈ A e x ∉ B}
 
Figura 1.4: Diferença dos conjuntos A e B. Fonte: elaborado pela autora.
Na diferença observam-se as seguintes propriedades:
• Se A ∩ B = Ø, então A - B = A,∀A,∀B
• Se B ⊂ A, então B - A = Ø,∀A,∀B
• Se A ≠ B, então A - B ≠ B - A,∀A,∀B
• Se A = B, então A - B = Ø e B - A = Ø,∀A,∀B
Atente-se para o caso particular quando A e B são conjuntos disjuntos, tal que A - B = A.
Exemplo 1.9: Sejam os conjuntos A={0,1,2,3} e B={2,4,6}, então:
A - B = {0,1,2,3} - {2,4,6} = {0,1,3}
B - A = {2,4,6} - {0,1,2,3} = {4,6}
A partir do exemplo acima, podemos concluir que A - B ≠ B - A.
Vamos agora falar do complementar de um conjunto. Considerando dois conjuntos A e 
B, com B ⊂ A, o conjunto B\A é denominado de complementar de B em relação a A.
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Exemplo 1.10: Sejam os conjuntos A={2,4,6,8} e B={4,6}, o conjunto complementar é B\
A={2,8}:
A B
2 ∈ ∉
4 ∈ ∈
6 ∈ ∈
8 ∈ ∉
 
Por sua vez, se o conjunto A é um subconjunto do conjunto universo U, A ⊂ U, o complementar 
de A com relação a U é denotado por Ā.
Exemplo 1.11: Seja o conjunto universo U={0,1,2,3,4,5,6}, e os conjuntos A={0,1,2,3} e 
B={1,3,5}, então:
Ā = U - A = {0,1,2,3,4,5,6} - {0,1,2,3} = {4,5,6}
B = U - B = {0,1,2,3,4,5,6} - {1,3,5} = {0,2,4,6}
1.3 Número de elementos da união de conjuntos
Caro(a) aluno(a), para finalizarmos esta nossa primeira aula, vamos falar sobre o número 
de elementos da união de dois conjuntos.
Sejam dois conjuntos A e B, em que n(A) denota o número de elementos de A, n(B) denota 
o número de elementos de B, n(A ∪ B) denota o número de elementos de A ∪ B, e n(A ∩ B) 
denota o número de elementos de A ∩ B, então, podemos dizer que:
 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Exemplo 1.12: Em uma determinada cidade existem 2 jornais em circulação, que juntos 
têm 1.000 assinantes. Sabe-se que o jornal A tem 400 assinantes e que 150 pessoas assinam 
os jornais A e B. 
Extraindo os dados do enunciando, podemos concluir que:
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n(A ∪ B)=1000
n(A)=400
n(A ∩ B)=150
Assim, podemos dizer que 250 pessoas assinam somente o jornal A porque:
n(A) = x + n(A ∩ B)
400 = x + 150
x = 400 - 150 → x = 250
750 são as pessoas que assinam o jornal B, uma vez que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
1000 = 400 + n(B) - 150
1000 = 250 + n(B)
n(B) = 1000 - 250 → n(B) = 750
E 600 são os assinantes exclusivos do jornal B, uma vez que:
n(B) = y + n(A ∩ B)
750 = y + 150
y = 750 - 150 → y = 600
Para este exemplo, o diagrama de Venn tem o seguinte formato:
 
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AULA 2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Nesta nossa aula veremos que os conjuntos numéricos reunem elementos que são 
números. São formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Vamos iniciar com o conjunto dos números naturais, denotado por ℕ. Ao enumerarmos 
o conjunto dos números naturais, temos: ℕ={0,1,2,3,…}.
São subconjuntos dos números naturais os números naturais não nulos, os números 
naturais pares, os números naturais ímpares e os números naturais primos:
• Conjunto dos naturais não-nulos: ℕ*={1,2,3,4,…}
• Conjunto dos naturais pares: ℕp={0,2,4,6,…,2n,…}, em que n∈ℕ
• Conjunto dos naturais ímpares: ℕi={1,3,5,7,…,2n+1,…}, em que n∈ℕ
• Conjunto dos números naturais primos: P={2,3,5,7,11,…}
O conjunto dos números inteiros é denotado por ℤ. Enumerando os elementos do conjunto 
dos números inteiros, temos: ℤ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. 
Os subconjuntos dos números inteiros são:
• Conjunto dos inteiros não-negativos: ℤ+ = {0,1,2,3,…}
• Conjunto dos inteiros negativos: ℤ- ={…,-3,-2,-1,0}
• Conjunto dos inteiros não-nulos: ℤ*={…,-3,-2,-1,1,2,3,…}
• Conjunto dos inteiros positivos, excluindo o zero: ℤ*+={1,2,3,…}
• Conjunto dos inteiros negativos, excluindo o zero: Z*- ={…,-3,-2,-1}
O conjunto dos números racionais reúne números que podem ser escritos na forma de 
fração. Isto significa que um número racional é um número que pode ser colocado na forma 
de uma razão , em que p ∈ ℤ e q ∈ ℤ*, ou seja:
ℚ = {x|x = , p ∈ ℤ e q ∈ ℤ*}
 Os seguintes conjuntos são subconjuntos de ℚ:
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• ℚ*: subconjunto dos números racionais não-nulos formado pelos números racionais, 
excluindo o zero
• ℚ+: subconjunto dos números racionais não-negativos formado pelos números racionais 
positivos e o zero
• ℚ*+: subconjunto dos números racionais positivos formado pelos números racionais 
positivos, excluindo o zero
• ℚ -: subconjunto dos números racionais não-positivos formado pelos números racionais 
negativos e o zero
• ℚ*-: subconjunto dos números racionais negativos formado pelos números racionais 
negativos, excluindo o zero
O conjunto dos números irracionais denotado por Iℝ, reúne números irracionais, ou seja, 
aqueles representados na forma decimal, com infinitos algarismos e que não apresentam 
periodicidade. São exemplos de números irracionais: √2,√5, e, π.
Por fim, a reunião do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais 
constitui o conjunto dos números reais, ou seja, ℝ = ℚ ∪ Iℝ. Assim, seja um determinado 
número x, podemos dizer que:
ℝ = {x|x é racional ou x é irracional}
Os seguintes conjuntos são subconjuntos de ℝ:
• Conjunto dos números reais não-nulos: ℝ* = ℝ - {0}
• Conjunto dos números reais não-negativos: ℝ+= {x ∈ ℝ|x ≥ 0}
• Conjunto dos números reais não-positivos: ℝ_-={x ∈ ℝ|x ≤ 0}
• Conjunto dos números reais positivos: ℝ*+ = {x ∈ ℝ|x > 0}
• Conjunto dos números reais negativos: ℝ*- = {x ∈ ℝ|x < 0}
Assim, podemos concluir que: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e Iℝ ⊂ ℝ. Veja a Figura abaixo:
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Figura 2.1: Conjuntos numéricos. Fonte: elabordo pela autora.
Além disso, caro(a) aluno(a), também podemos representar o conjunto ℝ por meio de uma 
reta orientada, associando cada número real a um único ponto da reta. Veja a Figura abaixo:
 
Figura 2.2: Reta real. Fonte: Ferreto (2020, online)
2.1 Intervalos numéricos
Caro(a) aluno(a), alguns subconjuntos de ℝ são indicados por desigualdades, denominados 
de intervalos. Considerando dois números reais a e b, tal que a < b, então:
• O intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto ]a,b[ = {x ∈ ℝ|a < x < b}
• O intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a,b] = {x ∈ ℝ|a ≤ x ≤ b}
• O intervalo fechado à esquerda e aberto à direita é o conjunto [a,b[ = {x ∈ ℝ| a ≤ x < b}
• O intervalo fechado à direita e aberto à esquerda é o conjunto ]a,b]={x ∈ ℝ|a < x ≤ b}
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Anote isso
Os números a e b são chamados de, respectivamente, extremo inferior e extremo 
superior do intervalo. E, o númerob – a é denominado de amplitude do intervalo.
Exemplo: Em ]2,6[={x ∈ ℝ|2 < x < 6}, temos um intervalo aberto de extremos 2 e 6, e 
amplitude 4.
Fonte: Facchini (2006).
Além dos intervalos acima, também existem os intervalos infinitos:
• ]-∞,a[ = {x ∈ ℝ|x < a}
• ]-∞,a] = {x ∈ ℝ|x ≤ a}
• ]a,+∞[ = {x ∈ ℝ|x > a}
• [a,+∞[ = {x ∈ ℝ|x ≥ a}
• ]-∞,+∞[ = ℝ
 
2.2 Operações com intervalos numéricos
Caro(a) aluno(a), é possível fazer as operações de união e intersecção com intervalos. 
Veja os exemplos que seguem:
Exemplo 2.1: Sejam os intervalos A = ]-1,3] e B = [1,4], então:
A∪B = ]-1,4]
A∩B = [1,3]
 
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Exemplo 2.2: Sejam os intervalos A = {x ∈ ℝ|-2 < x < 2} e B = {x ∈ ℝ|1 ≤ x < 4}, então:
A∪B = ]-2,4[
A∩B = [1,2[
 
 
Também é possível encontrar a diferença entre dois intervalos. Veja os exemplos que 
seguem:
Exemplo 2.3: Sejam os intervalos A = ]-4,6] e B = ]0,8[, então:
A - B = ]-4,0]
 
Exemplo 2.4: Sejam os intervalos A={x ∈ ℝ|2 ≤ x ≤ 4} e B = {x ∈ ℝ|x > 2}, então:
A - B = {x ∈ ℝ|x = 2}
 
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AULA 3
FRAÇÕES
Caro(a) aluno(a), agora que você foi introduzido ao conjunto dos números racionais e 
irracionais (ou ao menos relembrou), chegou a hora que aprofundarmos nossos conhecimentos 
sobre as frações. O objetivo é que você saiba manipular frações, bem como realizar as 
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Lembre-se! Fração é uma forma de expor um valor que é dividido por um certo número de 
partes iguais entre si. A palavra fração é de origem latina, fractus, que significa “quebrado” 
ou “partido”.
Considerando dois números naturais, a e b, com b≠0, então, por definição temos que é 
uma fração, em que a é o numerador que indica quantas partes foram tomadas do inteiro, 
enquanto que b é o denominador que indica em quantas partes iguais dividiu-se o inteiro.
 
3.1 Tipos de frações
Vamos conhecer os tipos de fraçõs que existem?
3.1.1 Fração própria
Uma fração própria é aquela em que o numerador é menor do que o denominador. Veja 
os exemplos abaixo:
3.1.2 Fração imprópria
Uma fração imprópria é aquela em que o numerador é igual ou maior do que o denominador. 
Veja os exemplos abaixo:
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Isto está na rede
Caro(a) aluno(a), uma fração imprópria também pode ser escrita na forma de um 
número misto, constituído de uma ou mais partes inteiras e de uma parcela fracionária. 
Consulte o link abaixo para ficar por dentro: https://pt-pt.khanacademy.org/math/
arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-mixed-number/a/mixed-numbers-and-
improper-fractions-review.
3.1.3 Fração aparente
Uma fração aparente é uma fração imprópria, em que o numerador é múltiplo do 
denominador. Veja os exemplos abaixo:
3.1.4 Fração mista
Uma fração mista é aquela constituída de uma parte inteira e de uma parte fracionária. 
Exemplo:
1 (um inteiro e dois quartos)
3.1.4.1 Conversão de fração imprópria em fração mista
Para converter uma fração imprópria em uma fração mista é preciso dividir a fração pelo 
denominador, tal que a parte inteira será o quociente, o resto será o denominador e o divisor 
será o denominador.
Exemplo 3.1: Considerando a fração imprópria , queremos encontrar a fração mista 
correspondente. Dividindo 21 por 5, obtemos:
https://pt-pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-mixed-number/a/mixed-numbers-and-improper-fractions-review
https://pt-pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-mixed-number/a/mixed-numbers-and-improper-fractions-review
https://pt-pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-mixed-number/a/mixed-numbers-and-improper-fractions-review
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Isto significa que 21 é o dividendo, 5 é o divisor, 1 é o resto e 4 o quociente. A fração 
mista é dada por:
3.1.4.2 Conversão de fração mista em fração imprópria
Para converter uma fração mista em uma fração imprópria é preciso conservar o 
denominador, multiplicá-lo pela parte inteira e somar o resultado com o numerador.
Exemplo 3.2: Considerando a fração mista , queremos encontrar a fração imprópria 
correspondente. Conservando o denominador 5, multiplicando 5 por 4 e somando com 1, 
obtemos que:
3.1.5 Frações equivalentes
Uma fração equivalente é aquela cujos produtos do numerador com o denominador são 
iguais, ou seja, representam a mesma parte do todo. Veja os exemplos abaixo:
Para se encontrar frações equivalentes, o processo é bem simples; basta multiplicar 
numerador e denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo 3.3: Para encontrarmos frações equivalentes a 1/2, devemos fazer o seguinte 
processo:
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3.2 Simplificação de frações
Em muitos casos, caro(a) aluno(a), é interessante obtermos frações equivalentes, com 
termos menores; processo esse denominado de simplificação. 
Exemplo 3.4: Considerando a fração , para simplificá-la, basta reparar que ambos, 
numerador e denominador, são múltiplos de 10, e assim:
Repare, caro(a) aluno(a), que é uma fração equivalente a . Além disso, é dita fração 
irredutível, uma vez que a mesma não pode ser simplificada visto que os números 2 e 5 não 
possuem nenhum fator em comum.
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AULA 4
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Nesta aula, caro(a) aluno(a), dando continuidade ao estudo das frações, trabalharemos 
com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
4.1 Adição e subtração de frações
Agora que relembramos frações e os tipos de frações que existem, vamos ver as operações 
de adição e de subtração de frações.
São dois os casos em que podemos adicionar ou subtrair frações: quando tivermos 
denominadores iguais e quando tivermos denominadores diferentes.
4.1.1 Adição e subtração com denominadores iguais
No processo de adição ou subtração de frações com denominadores iguais devemos 
somar ou subtrair os numeradores e “copiar” o denominador comum.
Exemplo 4.1: 
4.1.2 Adição e subtração com denominadores diferentes
No processo de adição ou subtração de frações com denominadores diferentes devemos 
utilizar frações equivalentes às originais, tal que todas elas compartilhem os mesmos 
denominadores.
Exemplo 4.2: 
Neste caso, precisamos encontrar frações que sejam equivalentes às originais, mas que 
compartilhem de um mesmo denominador; assim, para a primeira fração, temos que:
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Agora que compartilham de um mesmo denominador comum podemos efetuar 
a subtração, tal que:
Caro(a) aluno(a), no exemplo anterior, os denominadores eram 5 e 20, tal que o denominador 
comum foi 20, que era, justamente o MMC (mínimo múltiplo comum). No próximo tópico 
vamos nos relembrar disso!
4.2 MMC e MDC
Para dinamizar as operações com números, e em especial com frações, é importante 
nos lembrarmos o que é máximo divisor comum (MDC) e mínimo múltiplo comum (MMC).
Considerando dois números naturais, a e b, em que ao menos um deles é diferente de 
zero, chamamos de MDC de a e b, o maior número que divide a e b, simultaneamente.
E considerando dois números naturais, a e b, não nulos, chamamos de MMC de a e b o 
menor dos múltiplos não nulos de ambos os números.
Para encontrarmos MMC e MDC de dois ou mais números, precisamos decompô-los em 
fatores primos. Você se lembra o que é um número primo? “Um número natural é primo se, e 
somente se, admite apenas dois divisores positivos: o número um (1) e ele mesmo” (MUNDO 
MATEMÁTICA, 2021, online). São exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...
Exemplo4.3: O MMC e o MDC dos números 80, 90 e 210 é:
 
Figura 3.1: MMC e o MDC dos números 80, 90 e 210. Fonte: MUNDO MATEMÁTICA (2021,online).
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Assim:
MDC{210,90,80} = 5
MMC{210,90,80} = 5040
Exemplo 4.4: 
Para fazermos as operações de soma e subtração das frações, precisamos encontrar o 
MMC entre 2, 5, 6 e 8:
 
üüü
üüü
üüü
üüü
üüü
üüü ü
Assim, MMC{8,6,5,2} = 5.3.2.2.2=120
4.3 Multiplicação de frações
Para multiplicarmos frações basta fazermos a operação de multiplicação de numerador 
por numerador e de denominador por denominador.
Exemplo 4.5: 
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4.5 Divisão de frações
Na divisão de frações devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.
Exemplo 4.6: 
4.6 Múltiplas operações com frações
Caro(a) aluno(a), agora que fomos introduzidos a todas as operações que podem ser feitas 
com frações, atente-se que ao realizarmos operações aritméticas com frações, a multiplicação 
e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 4.7: 
Neste caso, primeiramente, precisamos fazer as operações de multiplicação e de divisão 
para na sequência encontrar o MMC dos denominadores:
Agora, precisamos encontrar o MMC entre 15, 6 e 3:
üüü
üüü
üü
üü ü
 
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Logo, MMC{15,6,3} = 5.3.2 = 30
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AULA 5
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Nesta aula, caro(a) aluno(a), vamos trabalhar com a potenciação e a radiciação. Vamos lá?
5.1 Potenciação
Por meio da potenciação nós expressamos um número na forma de uma potência. 
Considerando a um número real e n um número inteiro e maior do que 1, vamos chamar de 
n-ésima potência de a o produto de n fatores iguais à:
Considerando a e b números reais, e m e n números inteiros, então são válidas as seguintes 
propriedades da potenciação:
Exemplo 5.1: 
5.1.1 Notação científica
Caro(a) aluno(a), a notação científica é uma forma de representação de números reais, 
utilizada em cálculos que envolvem números muito pequenos ou muito grandes. 
As potências de base 10 são representadas por: a.10k, em que 1≤ a ≤10. O processo é muito 
simples: devemos posicionar a vírgula tal que o número fique entre 1 e 10, e na sequência 
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contamos o número de casas que a vírgula se deslocou para a direita, ou para a esquerda; 
o número de casas deslocadas será o expoente da base 10. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 5.2: Seja o número 5.000.000, para ele se transformar em notação científica, 
precisamos andar com a vírgula 6 casas para à esquerda, tal que o expoente seja 6 (positivo): 
5.106.
Exemplo 5.3: Seja o número 0,0005, para ele se transformar em notação científica, 
precisamos andar com a vírgula 4 casas para a direita, tal que o expoente seja 4 (negativo): 
5.10-4.
Veja mais exemplos abaixo:
a) 2.102=200
b) 4.10-1=0,4
c) 7.107=70.000.000
d) 1.10-9=0,000000001
e) 3,55.103=3.550
f) 4,89.10-2=0,0489
Exemplo 5.4: Vamos transformar 414.521 em uma notação científica. Para isto, devemos 
fazer:
414.521 = (22)14.521
=22.14.521
=228.521
=(27.221 ).521
=27.(221.521)
=27.1021
=128.1021
=1,28.1023
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Exemplo 5.5: Seja a expressão 5100.10-4+3.10-2, então temos que:
5100.10-4+3.10-2 = 51.10-2 + 3.10-2
=54.10-2
=0,54
5.2 Radiciação
A radiciação, caro(a) aluno(a), consiste da operação inversa da potenciação. Assim, 
considerando a um número real e n um número natural e maior do que 1, definimos a raiz 
n-ésima de a como sendo o número x que, ao ser elevado ao expoente n, resulta em a, ou seja:
n√a = x → xn = a
Considerando os números reais a, b, m e n números positivos inteiros maiores do que 1, 
e supondo que todas as raízes sejam números reais e todos os denominadores não sejam 
zero, então são válidas as seguintes propriedades:
Exemplo 5.6: 
5.2.1 Racionalização
A racionalização é entendida como “(...) o processo de reescrever frações de forma que 
o denominador fique sem radicais” (BONAFINI, 2012, p. 14). Isso significa que quando o 
denominador tiver a forma n√ak , é possível multiplicar numerador e denominador por n√an-k 
, uma vez que:
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n√ak . n√an-k = n√ak.an-k = n√ak+n-k = n√an = a
Exemplo 5.7: 
5.2.2 Retirada de um fator do radicando
Para simplificarmos uma raiz é possível fatorar o radicando e agrupar os fatores em 
grupos que contenham o expoente igual ao índice (OLIVEIRA, 2016). Assim, não se esqueça 
que os fatores que contêm o mesmo expoente do índice perdem esse expoente e saem do 
radicando.
Exemplo 5.8: √108
Fatorando o número 108, obtemos que:
üü
ü
ü
ü
ü
Logo,
√108 = √22.32.3= 2.3.√3 = 6√3
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AULA 6
RAZÃO E PROPORÇÃO
Razão e proporção, caro(a) aluno(a), são temas que fazem parte do nosso cotidiano e se 
aplicam às diversas áreas do conhecimento.
6.1 Razão 
 
A razão é definida como o quociente que nos permite comparar dois números. Sejam dos 
números inteiros x e y, em que y≠0, a razão entre ambos é dada por:
Que se lê “x está para y”. 
Quando afirmamos que dois números estão na razão de 1 para 2, significa dizer que o 
primeiro corresponde à metade do segundo. Por outro lado, dizer que dois números estão 
na razão de 2 para 1, significa dizer que o primeiro corresponde ao dobro do segundo. 
Assim, podemos dizer que a razão é utilizada para comparação de duas grandezas, podendo 
estar na forma fracionária, decimal ou percentual.
Exemplo 6.1: Em uma partida de tiro ao alvo, Guilherme acertou 4 vezes o alvo, em 10 
tentativas, ou seja, podemos dizer que a razão entre o número de acertos e erros é de:
 é a forma fracionária, 0,67 é a forma decimal e 67% a forma percentual. Isto quer 
dizer a cada duas vezes que Guilherme acertar o alvo, ele terá três lançamentos que não 
acertaram o alvo.
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Fonte: https://pt.depositphotos.com/stock-photos/tiro-ao-alvo.html
6.1.1 Razões especiais 
Caro(a) aluno(a), razões especiais dizem respeito a razões entre grandezas de mesmo tipo, 
ou de tipos diferentes, utilizadas com frequência no cotidiano, como a escala, a densidade 
demográfica e a velocidade média.
A escala costuma ser utilizada em mapas, maquetes e plantas, consistindo na razão 
entre a medida do comprimento no desenho e a medida do comprimento real. É obtida a 
partir da fórmula:
Exemplo 6.2: A planta baixa da casa de Maria está na escala de 1:200 (lê-se “1 para 200”, 
ou seja, cada 1 cm do desenho corresponde a 200 cm da medida real da casa). Considerando 
que no desenho uma parede tem 4 cm, então na casa, a parede terá:
x.1 = 200.4
x = 800 cm
Ou seja, 4 cm no desenho correspondem a 800 cm ou 8 metros da parede da casa.
https://pt.depositphotos.com/stock-photos/tiro-ao-alvo.html
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Exemplo 6.3: A miniatura de um carro foi feita em uma escala de 1:50. Sabendo que a 
miniatura tem 4 cm de largura e 10 cm de comprimento, então as medidas reais do carro são:
x.1 = 50.4
x = 200 cm
x.1 = 50.10
x = 500 cm
Isto significa que o comprimento real do carro é de 5 metros e a largura é de 2 metros.
A densidade demográfica diz respeito à razão entre o número de habitantes (população) 
de uma região (cidade, estado, país, continente) e a área dessa região. É obtida pela fórmula:
Exemplo 6.4: A cidade de Marília tem 240.000 habitantes, distribuídos na área de 1.171 
km2. Sabendodisso, a densidade demográfica da cidade é de:
A velocidade média diz respeito à razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para 
percorrer tal distância. É dada pela fórmula:
Exemplo 6.5: Um trem percorre 700 km em 2 horas, logo, a velocidade média é dada por:
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6.2 Proporção
 
A proporção diz respeito à igualdade que existe entre duas razões. De modo geral, uma 
proporção é escrita da seguinte forma:
Que se lê “a está para b, assim como c está para d”.
6.2.1 Propriedade fundamental da proporção
A propriedade fundamental da proporção nos diz que em qualquer proporção, o produto 
dos meios é igual ao produto dos extremos. 
Exemplo 6.6: Em temos que o produto dos meios (6.4) é igual ao produto dos 
extremos (2.12).
Esta propriedade, caro(a) aluno(a), é interessante, uma vez que nos possibilita encontrar 
o valor de um termo desconhecido, a partir do conhecimento dos outros três termos. Veja 
os exemplos abaixo:
Exemplo 6.7: Considerando que dois números estão na razão de 1 para 3, e sabendo 
que o primeiro número é 5, então o segundo número deve ser 15, uma vez que , são 
frações equivalentes:
x.1 = 5.3
x = 15
Exemplo 6.8: É sabido que duas sucessões de números são diretamente proporcionais:
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Isto significa que podemos escrever que:
Se igualarmos as razões, duas a duas, poderemos definir os valores de x e de y:
12.x = 2.36
12x = 72
x = 6
Além disso, temos que:
6.y = 36.12
6y = 432
y = 72
Logo, podemos concluir que a sucessão de números é dada por:
6.2.2 Números diretamente e inversamente proporcionais
Caro(a) aluno(a), números diretamente proporcionais são sucessões, tal que a razão entre 
os elementos correspondentes é constante. Ou seja, isto significa que quando uma grandeza 
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aumenta, a outra também aumenta; e ainda, que quando uma grandeza diminui a outra 
também diminui.
Considerando os números a, b, c, d, e e f, eles serão ditos diretamente proporcionais 
quando a igualdade entre as razões possuírem o mesmo valor, ou seja:
Neste caso, também é válida a seguinte propriedade:
Exemplo 6.9: Considerando que os números 4 e 6 são diretamente proporcionais aos 
números 12 e x, então:
4.x = 12.6
4x = 72
x = 18
 
Por sua vez, números inversamente proporcionais são sucessões cujo produto dos 
seus elementos correspondentes é constante. Isto significa que quando o produto dos 
números correspondentes em duas sucessões de números é constante, esses números 
são inversamente proporcionais, e assim, as grandezas a eles associadas também são 
inversamente constantes (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Sejam os números a, b, c, d, e e f, eles serão ditos inversamente proporcionais quando um 
número está para o inverso do outro, predominando a igualdade entre as razões respectivas. 
Assim:
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Exemplo 6.10: Sejam os números 3, 6 e 9, vamos encontrar x sabendo que 3, 6 e 9 são 
inversamente proporcionais aos números 90, x, 30:
3.90 = 6.x = 9.30
270 = 6x = 270
6x = 270
x = 45
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AULA 7
REGRA DE TRÊS
Nesta aula, caro(a) aluno(a), veremos a regra de três simples e composta.
7.1 Regra de três simples
A regra de três simples consiste de um processo que nos permite determinar um quarto valor, 
a partir do conhecimento de outros três, tal que todos eles se relacionem proporcionalmente, 
ou seja, são diretamente ou inversamente proporcionais.
O passo a passo abaixo pode ser utilizado para solução de um problema que envolva a 
utilização da regra de três simples:
1) Construa uma tabela, agrupando as grandezas em colunas, com as devidas 
correspondências.
2) Identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3) Monte a proporção e resolva a equação.
Exemplo 7.1: Ao se deslocar de uma cidade a outra, Fabio percorre 200 km em 2 horas e 
30 minutos. Se Fabio manter a mesma velocidade, então qual distância ele terá percorrido 
em 6 horas de viagem?
Neste caso, é importante notarmos que temos grandezas diretamente proporcionais, isso 
porque conforme o tempo de condução aumenta, a distância percorrida também aumenta, 
assim temos que:
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Assim, podemos estabelecer a seguinte relação:
200.360 = x.150
72000 = 150x
x = 480
Isto significa que em 6 horas (ou 360 minutos) de viagem, Fabio terá percorrido 480 km.
Exemplo 7.2: Uma equipe de pedreiros, trabalhando 8 horas por dia, consegue finalizar 
uma obra de construção civil em 12 dias. Se o número de horas trabalhadas diárias diminuir 
para 6, então em quanto tempo a equipe conseguirá finalizar a obra?
Neste caso, temos grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando diminuímos 
o número de horas trabalhadas, aumenta-se o prazo para finalização da obra.
Assim, podemos estabelecer a seguinte relação:
6.x = 12.8
6x = 96
x = 16
Isto significa que se a equipe passar a trabalhar 6 horas por dia, então irá levar 16 dias 
para finalizar a obra.
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7.2 Regra de três composta
No tópico anterior estudamos a regra de três simples. Ela é chamada de simples porque 
envolve apenas duas grandezas inversamente ou diretamente proporcionais. Por sua vez, 
a regra de três composta é utilizada para a resolução de problemas que abordam três ou 
mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, em que um dos termos da 
proporção é o que se deseja determinar.
Novamente, o passo a passo abaixo pode ser utilizado para solução de um problema que 
envolve a utilização da regra de três composta:
1) Construa uma tabela, agrupando as grandezas em colunas, com as devidas 
correspondências.
2) Identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3) Monte a proporção e resolva a equação.
Exemplo 7.3: 4 máquinas produzem 90 unidades de parafusos em 1 dia. Quantos parafusos 
5 máquinas conseguem produzir em 2 dias?
Neste caso temos grandezas diretamente proporcionais porque quando aumentamos o 
número de máquinas, aumentamos o número de parafusos produzidos, e ainda, ao aumentar 
o tempo de produção, aumenta-se também o número de parafusos produzidos.
Para resolver o problema, basta fazermos:
x.4 = 90.10
4x = 900
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x=225
Isto significa que 5 máquinas, em 2 dias, produzem 225 unidades de parafusos.
Exemplo 7.4: 2 pedreiros constroem uma parede de 10 metros em 5 dias. Quantos dias 
5 pedreiros levarão para construir uma parede de 30 metros?
Neste caso, temos que as grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quando 
aumentamos o número de pedreiros, o tempo de trabalho diminui; no entanto, quando 
aumentamos o comprimento da parede, então maior será o tempo de serviço para construção 
da mesma. Assim:
x.50 = 5.60
50x = 300
x = 6
Ou seja, 5 pedreiros conseguem construir uma parede de 30 metros em 6 dias. 
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AULA 8
PORCENTAGEM
A palavra porcentagem é de origem latina per centum que significa “por cento”. Geralmente, 
as porcentagens são representadas na forma decimal ou por meio do símbolo % para indicar 
a porcentagem. Logo, 50 por cento = 0,50 ou 50%.
O conceito porcentagem está ligado a operações financeiras, embora não se restrinja a 
esta aplicação. Além disso, na resolução de problemas que envolvem a porcentagem, nós 
podemos utilizar a regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais.
Para se calcular a porcentagem (x)é muito simples. Chamando de P o todo e de i a parte 
da unidade (taxa), então temos que:
Exemplo 8.1: Uma loja de eletrodomésticos está vendendo as peças com 15% de desconto. 
Supondo que Ana Maria comprou uma geladeira que custava R$ 2.000,00, então quanto 
Ana Maria pagou pela geladeira?
Neste caso, temos que o preço da geladeira é de R$ 2.000,00, o que representa o total 
(100%), e assim, queremos encontrar o preço que corresponde aos 15%:
x.100 = 2000.15
100x = 30000
x = 300
Assim, se a geladeira custava R$ 2.000,00 e o desconto foi de R$ 300,000, então o valor 
pago por Ana Maria foi de R$ 1.700,00, porque:
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2000 - 300 = 1700
Exemplo 8.2: No posto de combustível, a gasolina aumentou de R$ 5,00 para R$ 5,20. 
Sabendo disso, qual foi o percentual de aumento?
Neste caso, queremos encontrar a taxa (i) de aumento, sabendo que o aumento foi de 
20 centavos. Assim:
5,00.i = 0,20.100
5,00i = 20,00
i = 4
Isto significa que o aumento do preço do combustível foi de 4%.
Anote isso
Aumentos e descontos percentuais podem ser calculados utilizando o fator multiplicativo: 
1±i, em que i corresponde à taxa de variação.
Quando um determinado produto recebe um aumento, o fator de multiplicação é dado 
por uma soma: 1+i. Por outro lado, quando um determinado produto sofre um desconto, 
então o fator multiplicativo é dado por uma subtração: 1-i.
Existem situações, caro(a) aluno(a), em que é comum um desconto sobre um valor original 
e na sequência um acréscimo ao valor do desconto. Atente-se que nestes casos, o preço 
não volta ao valor original. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 8.3: Considerando o valor inicial de R$ 100,00, se aplicarmos um desconto de 
15%, o valor cairia para R$ 85,00. E, se sobre este valor de R$ 85,00, acrescermos uma taxa 
de 15%, então o valor subirá para R$ 97,75.
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AULA 9
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Você se lembra de expressões numéricas? De acordo com Fávaro e Kmeteuk (2005), 
expressões numéricas são uma sequência de números interligados por várias operações 
matemáticas, as quais têm regras de prioridade na resolução que devem ser respeitadas:
• Em expressões em que apareçam os sinais de ( ) parênteses, [ ] colchetes e { } chaves, 
as operações são efetuadas, eliminando-as na ordem: parêntes, colchetes e chaves.
• Quando não existirem os elementos citados anteriormente, então as operações deverão 
ser feitas na ordem em que aparecem: primeiro radiciação ou potenciação, seguido de 
multiplicação ou divisão e por último adição ou subtração. Atente-se! Nos casos em 
que aparecerem duas operações da mesma importância, então deverá ser resolvida 
aquela que estiver mais à esquerda.
Exemplo 9.1: {[30+3.12].4-(5.2)+16}÷2
{[30+3.12].4-(5.2)+16}÷2={[30+36].4-(5.2)+16}÷2
={66.4-(5.2)+16}÷2
={66.4-10+16}÷2
={264-10+16}÷2
=270÷2
=135
Por sua vez, expressões algébricas consistem de agrupamentos de variáveis as quais devem 
ser representadas por letras, ou de constantes e variáveis, que se encontram interligadas 
por sinais de operação (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Assim, em uma expressão algébrica, temos: constantes, variáveis e valor numérico. A 
constante diz respeito à quantidade que apresenta um valor fixo, geralmente representada 
pelas primeiras letras do alfabeto a, b, c,... . A variável diz respeito a um símbolo que representa 
um elemento qualquer de um conjunto de valores considerados, normalmente representada 
pelas últimas letras do alfabeto ..., x, y, z. Enquanto que o valor numérico diz respeito ao 
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número que obtemos quando substituímos as letras de uma expressão numérica por números 
e efetuamos as operações indicadas.
Exemplo 9.2: Considerando a expressão algébrica {15+[100x-3y(2x)2]}+1, queremos 
encontrar o valor numérico quando x=2 e y=3:
{15+[100x-3y(2x)2]}+1={15+[(100.2)-(3.3.(2.2)2)]}+1
={15+[(100.2)-(3.3.(4)2)]}+1
={15+[(100.2)-(3.3.16)]}+1
={15+[200-144]}+1
={15+56}+1
=71+1
=72
Por definição, uma expressão algébrica pode ser um monômio, um binômio, um trinômio 
ou um polinômio.
• Monômio: expressão algébrica determinada por apenas um termo, ou seja, apenas um 
número real, uma letra ou pelo produto de números e letras. Exemplos: a2bc e 2x3y2.
• Binômio: expressão algébrica formada por dois termos. Exemplos: a2+bx e -3x2+2y;
• Trinômio: expressão algébrica com três termos. Exemplos: a2+bx+c e x2-5x+2y;
• Polinômio: expressão algébrica formada por mais de três termos. Exemplos: a2 b+2ab2-
5a+10 e x3+y2+x2 y-3y+7
Atente-se, caro(a) aluno(a), que o grau de um monômio é obtido a partir da soma de todos 
os expoentes da parte literal.
Exemplo 9.3: Seja o monômio -5x2y, ele é de grau 3, visto que o expoente de x é 2 e o 
expoente de y é 1.
Por sua vez, o grau de um polinômio é igual ao grau do seu monômio de maior grau. Veja 
o exemplo abaixo:
Exemplo 9.4: O polinômio x4+2x2 y+4 é de grau 4, uma vez que o grau do termo de maior 
grau é 4.
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9.1 Operações com monômios
Caro(a) aluno(a), já vimos o que são monômios e agora vamos aprender a operar com 
monômios.
A adição e subtração de monômios só pode ser feita com termos semelhantes, ou seja, 
aqueles que apresentam a mesma parte literal. São exemplos de termos semelhantes:
2x2y e -3x2y
4ab2c e 9ab2c
Exemplo 9.5: 5x3-x3 = 4x3
 
Quanto à multiplicação e divisão de monômios, o primeiro passo consiste na multiplicação 
ou na divisão dos coeficientes e, na sequência, aplicar as regras de multiplicação ou de 
divisão de potências de mesma base para multiplicar ou dividir a parte literal.
Exemplo 9.6: 5x2.(-2x3 )= -10x2+3 = -10x5
 
A potenciação de monômios é feita a partir da elevação do coeficiente na potência desejada 
e, para a parte literal, aplicamos a regra da multiplicação de potências de mesma base.
Exemplo 9.7: (x3y)2 = x3y . x3y = x3+3y1+1 = x6y2
Para extrairmos a raiz de um monômio devemos dividir o expoente da variável pelo indíce 
do radical. No caso do indíce ser par, o coeficiente do radicando deverá ser positivo, enquanto 
que no caso do indíce ser um número ímpar, o coeficiente do radicando poderá ser positivo 
ou negativo.
Exemplo 9.8: √9x4 =√9 . √x4 = √32 . √x4 = √32 . √(x2 )2 = 3. x2 = 3x2
9.2 Operações com expressões algébricas
Vamos agora aprender a efetuar operações com expressões algébricas.
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No que diz respeito à soma e subtração de expressões algébricas é importante lembrarmos 
que só podemos somar ou subtrair termos semelhantes; assim, se os termos forem 
semelhantes, então devemos somar ou subtrair os coeficientes e repetir a parte literal.
Exemplo 9.9: (2x3+5x)+(-x3+2x2-1)
(2x3+5x)+(-x3+2x2-1) = (2x3-x3)+2x2+5x-1
=x3+2x2+5x-1
Na multiplicação de expressões algébricas, devemos multiplicar cada termo do primeiro 
fator por todos os termos do segundo fator, e, na sequência, reduzir os termos semelhantes.
Exemplo 9.10: 3x.(2x2+3x-1)=6x3+9x2-3x
Na divisão de um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do polinômio 
pelo monômio e, para este processo, é importante lembrar de que para a parte literal obedece-
se às regras de divisão de potências de mesma base.
Exemplo 9.11: = 3x3y
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AULA 10
PRODUTOS NOTÁVEIS E 
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Caro(a) aluno(a), iniciaremos esta aula estudando produtos notáveis, para na sequência, 
estudarmos a fatoração. Vamos lá?
10.1 Produtos notáveis
Você se lembra de produtos notáveis? Dando continuidade ao estudo dos polinômios 
existem alguns produtos de polinômios que facilmente podem ser obtidos sem a necessidade 
de se efetuar todos os cálculos; tais produtossão denominados de produtos notáveis.
Seguem alguns dos principais produtos notáveis:
• Quadrado da soma de dois termos:
(a+b)2 = (a+b).(a+b) = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2
• Quadrado da diferença de dois termos:
(a-b)2 = (a-b).(a-b) = a2- ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2
• Produto da soma pela diferença de dois termos:
(a+b).(a-b)=a2-ab+ba+b2=a2-b2
Exemplo 10.1: (3+x)2 = (3)2+2.(3).(x)+(x)2 = 9+6x+x2
10.2 Fatoração de polinômios
Caro(a) aluno(a), quanto à fatoração de um polinômio, fatorar um polinômio significa 
transformá-lo sob a forma de um produto de fatores. Para isto, precisamos encontrar o 
fator em comum e na sequência, colocá-lo em evidência, ou seja, colocá-lo como o fator 
que multiplica toda a expressão.
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Atente-se, caro(a) aluno(a), para o fato de que “se o polinômio não puder ser fatorado 
usando coeficientes inteiros é um polinômio irredutível. Se estiver escrito como um produto 
de seus fatores irredutíveis está fatorado completamente” (BONAFINI, 2012, p. 19).
Exemplo 10.2: Em x3+x2+6x-3xy, temos que o fator comum é x, assim:
x3 + x2+6x-3xy = x.(x2+x+6-3y)
Exemplo 10.3: Em 9x2+6xy+y2, temos um produto notável, dado por:
9x2+6xy+y2 = (3x+y).(3x+y)
=(3x+y)2
10.2.1 Fatoração de trinômios
Para fatorarmos o trinômio ax2+bx+c como um produto de binômios com coeficientes 
inteiros precisamos fatorar os inteiros a e c, conforme a seguinte representação:
 
Como o número de fatores de a e c é finito, então podemos listar todos os fatores binomiais. 
Veja o exemplo a seguir de fatoração de um trinômio, com coeficiente principal igual a 1:
Exemplo 10.4: Queremos fatorar x2+5x-14, para isto, perceba que o único par de fatores 
do coeficiente principal é 1 e 1. Além disso, os pares de fatores de 14 são 1 e 14 ou 2 e 7. 
Assim, temos quatro possíveis fatorações:
(x+1).(x+14)
(x-1).(x+14)
(x+2).(x-7)
(x-2).(x+7)
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Ao compararmos a soma dos produtos dos termos externos e internos da forma fatorada 
com o termo central do trinômio, podemos concluir que o correto é:
x2+5x -14 = (x-2).(x+7)
Com a prática, caro(a) aluno(a), você perceberá que não vai ser preciso listar todos os 
possíveis fatores binômios. Veja o exemplo abaixo de fatoração de um trinômio com coeficiente 
principal diferente de 1:
Exemplo 10.5: Queremos fatorar 35x2 - x -12, para isto, perceba que os fatores do coeficiente 
principal são 1 e 35, bem como 5 e 7. Os pares de fatores de 12 são 1 e 12, 2 e 6 ou 3 e 4. 
Ao efetuarmos os devidos cálculos, encontraremos que:
35x2-x-12 = (5x-3).(7x+4)
10.3 Fatoração de expressões algébricas
Para finalizarmos esta aula, caro(a) aluno(a), veremos que para simplificarmos as expressões 
algébricas podemos unir termos semelhantes, somando ou subtraindo os coeficientes desses 
termos e repetindo a parte literal.
 
Exemplo 10.6: 2xy+5xy4-x2y+3xy-4xy4
2xy+5xy4-x2y+3xy-4xy4 = (5xy4-4xy4 )-x2y+(2xy+3xy)
=xy4-x2y+5xy
Exemplo 10.7: 
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Exemplo 10.8: 
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AULA 11
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Nesta aula, caro(a) aluno(a), estudaremos as equações do primeiro grau. Mas antes disso 
você se lembra do que é uma equação? Leite e Castanheira (2014, p. 47) conceituam uma 
equação como uma “sentença escrita em linguagem matemática, caracterizada pela igualdade 
entre duas expressões algébricas (dois membros) separadas pelo sinal de igualdade ( = ) e 
que apresenta, em um dos membros, ao menos uma incógnita”. 
Anote isso
O conjunto-solução de uma equação representado pela letra S, indica o valor encontrado 
para a incógnita x, que é a solução do problema.
Nem toda equação terá uma solução explícita:
- uma equação é dita impossível quando não há valor para x que satisfaz a equação. 
Neste caso, S={ } ou S=Ø.
- uma equação é dita identidade quando a equação independe do valor de x. Ou seja, 
S=ℝ .
Equações do primeiro grau são aquelas cujo maior valor do expoente das variáveis é 1. 
Assim, equações da forma ax+b=0 são equações do 1º grau, em que a e b são números 
reais, e a é o coeficiente da incógnita, tal que a≠0.
O valor de x de uma equação da forma ax+b=0 é encontrado a partir de isolamento da 
incógnita em um dos membros da igualdade. Não se esqueça! Neste processo, o termo 
que mudou de lado passa a ter a operação inversa, tal que a soma passa a ser a diferença, 
a multiplicação passa a ser a divisão e a potenciação passa a ser a radiciação. Veja os 
exemplos abaixo:
Exemplo 11.1: 15x-2=13x
15x-2 = 13x
15x-13x = 2
2x = 2
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x = 2/2
x = 1
Logo, S={1}
Exemplo 11.2: 
4x+2 = 3.(x-1)
4x+2 = 3x-3
4x-3x = -3-2
x = -5
Logo, S={-5}
11.1 Aplicações das equações do primeiro grau
Caro(a) aluno(a), diversas situações cotidianas podem ser resolvidas a partir da utilização de 
equações do 1º grau, embora nem sempre o problema nos dê clareza quanto às operações que 
estão envolvidas. Na Tabela abaixo temos a representação de qualquer número desconhecido, 
utilizando as incógnitas x e y. Utilize-as sempre que necessário.
Expressão por extenso Expressão algébrica
O dobro de um número
O triplo de um número
O quádruplo de um número
A metade de um número
A terça parte de um número
A quarta parte de um número
O inverso de um número
O oposto de um número
A soma de dois números
O produto de dois números
O quociente de dois números
O consecutivo entre dois números
2x
3x
4x
-x
x+y
x.y
x+1
 Tabela 11.1: Interpretação dos termos enquanto expressão algébrica. Fonte: elaborado pela autora.
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Exemplo 11.3: Uma fábrica de roupas deseja dividir as 1.500 peças produzidas em dois 
lotes, tal que o primeiro lote tenha o quádruplo do tamanho do segundo lote. Quantas peças 
de roupa terão em cada lote?
Temos que o total de peças são 1.500. Se chamarmos de x o tamanho do segundo 
lote, então o primeiro lote é 4x (o quádruplo do tamanho). Isto significa que, em linguagem 
matemática, temos:
x+4x = 1500
5x = 1500
x = 55555
x = 300
Assim, podemos concluir que o segundo lote terá 300 peças de roupas, enquanto que o 
primeiro lote terá 1.200 peças (300.4=1200).
11.2 Equações do primeiro grau com duas incógnitas
 
Até o momento, caro(a) aluno(a), vimos exemplos de equações do 1º grau com uma 
incógnita, no entanto, também existem aquelas que possuem duas incógnitas. Nestes casos, 
a equação do 1º grau admite inúmeras soluções. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 11.4: Em um campeonato de futebol, o time A está previsto para enfrentar o 
time B 2 vezes. Se consideramos as 2 partidas, então, podemos montar a seguinte Tabela:
Vitórias (time A ou B) Derrotas (time A ou B) Número de partidas
2 0 2
1 1 2
0 2 2
Tabela 11.2: Possíveis resultados do campeonato de futebol. Fonte: elaborado pela autora.
A partir da Tabela acima é perceptível que o número de partidas sempre é o mesmo, 
embora os números de vitórias e de derrotas dos times A e B possam variar. 
Se considerarmos x o número de vitórias e y o número de derrotas, então, temos a seguinte 
sentença matemática:
x+y = 2
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Cuja sentença pode admitir 3 possíveis soluções, elencadas na Tabela 11.2.
Dito isso, então, significa que só poderíamos encontrar uma única solução para as 
incógnitas x e y se tivéssemos o mesmo número de equações. Ainda, outra condição para 
que consigamos encontrar apenas uma solução é que as equações envolvidas não sejam 
compostas por termos equivalentes. Quando estas duas condições estão presentes, então, 
podemos elaborar um sistema de equações para encontrarmos os valores das incógnitasx e y.
11.2.1 Sistema de equações do primeiro grau 
Seremos capazes de encontrar o valor das incógnitas x e y, a partir de um sistema de 
equações do 1º grau. Este sistema pode ser classificado em possível ou impossível. Um 
sistema possível (SP) é aquele que admite apenas uma solução, enquanto que um sistema 
impossível (SI) é aquele que não tem solução.
O sistema também pode ser determinado ou ideterminado. O Sistema Possível Determinado 
(SPD) admite uma única solução, enquanto que o Sistema Possível Indeterminado (SPI) 
pode admitir várias soluções.
Vários são os métodos que podem ser empregados para a resolução de um sistema de 
equações do primeiro grau, a exemplo do método da substituição, método da adição ou o 
método da comparação.
Método da substituição: consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação e 
substituir seu valor na outra equação, a fim de obter uma equação com uma única incógnita.
Exemplo 11.5: Em um estacionamento, contou-se 140 rodas e 60 veículos. Sabendo disso, 
então quantos carros e quantas motos estão estacionadas?
Para resolver este exemplo, vamos chamar de x o número de carros e de y o número de 
motos. Assim, sabemos que no estacionamento há x+y=60 veículos. 
Como cada carro tem 4 rodas e cada moto tem 2 rodas, então 4x+2y = 140.
Sabendo disso, então chegamos ao seguinte sistema:
Baseado no método da substituição, vamos isolar x na primeira equação, e substituí-lo 
na segunda equação, tal que:
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x+y = 60 → x = 60-y
4x+2y = 140 → 4.(60-y)+2y = 140
240-4y+2y = 140
240-2y = 140
240-140 = 2y
100 = 2y
y = 100/
y = 50
Assim, podemos concluir que no estacionamento há 50 motos e 10 carros (x+50 = 60→x 
= 60-50→x = 10).
Método da comparação: consiste em isolar um das incógnitas nas duas equações. 
Fazendo isso, obtemos uma equação com apenas uma incógnita, cujo valor será facilmente 
determinado.
Exemplo 11.6: O curso de Engenharia Civil tem o dobro de alunos do curso de Engenharia 
de Produção. Sabendo que os dois cursos juntos têm 300 alunos, então quantos alunos 
estão matriculados em Engenharia Civil?
Vamos chamar de x o número de alunos matriculados em Engenharia Civil e de y o número 
de alunos matriculados em Engenharia de Produção. Assim: x+y = 300.
Também sabemos que o curso de Engenharia Civil têm o dobro de alunos que o curso 
de Engenharia de Produção, ou seja, x = 2y.
Logo, chegamos ao seguinte sistema:
Isolando y na primeira equação, temos que:
x+y = 300 → y = 300-x
Sabendo que y = x/, então:
y = y
x/ = 300-x
x = 2.(300-x)
x = 600-2x
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x+2x = 600
3x = 600
x = 600/
x = 200
Ou seja, 200 alunos estão matriculados em Engenharia Civil.
Método da adição: consiste em somar os termos semelhantes de cada membro das 
equações, criando uma terceira equação com apenas uma incógnita. Atente-se! Neste método 
é necessário que a estrutura da equação esteja previamente preparada com dois números 
opostos do mesmo lado da equação. 
Exemplo 11.7: Ricardo vai dividir uma herança de R$ 600.000 entre seus dois filhos, tal 
que o filho mais velho receba R$ 80.000 a mais. Quantos reais cada filho irá receber?
Vamos chamar de x o valor que o filho mais velho vai receber e de y o valor que o filho 
mais novo vai receber, tal que: x+y = 600000.
Além disso, sabemos que o filho mais velho vai receber R$ 80.000 a mais, então, a 
diferença é de: x-y = 80000.
Assim, temos o seguinte sistema:
Fazendo a soma de ambas as equações, temos que:
Logo, o filho mais velho irá receber R$ 340.000 e o filho mais novo irá receber R$ 260.000 
(340000-y = 80000 → y = 340000-80000 → y = 260000).
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11.3 Inequações do primeiro grau
Caro(a) aluno(a), para finalizarmos esta aula veremos as inequações do primeiro grau. Mas 
você sabe o que é uma inequação? Trata-se de uma sentença matemática que representa 
uma desigualdade e que contém ao menos uma incógnita.
Em especial, as inequações do primeiro grau podem assumir as seguintes formas:
ax+b>0
ax+b≥0
ax+b<0
ax+b≤0
Em que a e b são números reais e a≠0 .
A solução de uma inequação do primeiro grau é obtida da mesma forma como fizemos 
para as equações do primeiro grau. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 11.8: 3x+19<40 
3x+19<40
3x<40-19
3x<21
x<21
x<7
Logo, S={x∈ℝ|x<7}
Exemplo 11.9: 10-5x≥x-20
10-5x≥x-20
-5x-x≥-20-10
-6x≥-30
Agora, precisamos multiplicar toda a inequação por -1, tal que:
6x≤30
x≤ 30
x≤5
Logo, S={x∈ℝ|x≤5}
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11.3.1 Sistema de inequações do primeiro grau
 
Quando tivermos um sistema de inequações do primeiro grau, precisamos encontrar 
o conjunto de valores de x que satisfazem todas as inequações simultaneamente. Estes 
valores formam o conjunto solução do sistema, que é o conjunto intersecção dos conjuntos 
soluções das inequações que compõem o sistema.
Exemplo 11.10: 
Para x+5≥0 temos que:
x+5≥0
x≥-5
Logo, S1={x∈ℝ|x≥-5}
Para 3x-6<0 temos que:
3x-6<0
3x<6
x< ç
x<2
Logo, S2={x∈ℝ|x<2}
Calculando S=S1∩S2, temos que S=[-5,2[. Portanto S={x∈ℝ|-5≤x<2}
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AULA 12
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Uma equação do segundo grau é aquela que tem a forma ax2+bx+c=0, em que a, b e c 
são números reais e a≠0. a é denominado coeficiente principal, b é o coeficiente secundário 
e c é o termo independente.
A solução de uma equação do 2º grau se dá a partir da utilização da fórmula de Bhaskara:
Cujo discriminante é ∆=b2-4ac.
Na aplicação da fórmula de Bhaskara devemos considerar três casos:
1. Quando o discriminante é positivo, ∆>0, temos duas possíveis soluções no conjunto 
dos números reais.
2. Quando o discriminante é nulo, ∆=0, temos apenas uma solução no conjunto dos 
números reais.
3. Quando o discriminante é negativo, ∆<0, a equação não admite nenhuma solução no 
conjunto dos números reais.
Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 12.1: x2-9x+25=0
Como o discriminante é negativo, caro(a) aluno(a), significa que a equação não tem raízes 
no conjunto dos números reais e, portanto, o conjunto solução é vazio, S=Ø.
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Exemplo 12.2: 4x2-4x+1=0
Logo S=
Exemplo 12.4: x2-x-12=0
Logo S={-3,4}
12.1 Equações do segundo grau incompletas
Até o momento, caro(a) aluno(a), vimos exemplos de equações do segundo grau completas. 
Completas porque tínhamos os coeficientes a, b e c diferentes de zero. Nos casos em que 
os coeficientes b e/ou c forem iguais a zero, a equação é dita incompleta.
• Se b=0, a equação tem a forma ax2+c=0;
• Se c=0, a equação tem a forma ax2+bx=0;
• Se b=c=0, a equação tem a forma ax2=0. Este caso só serve para constar, uma vez 
que não tem aplicação, não tem resolução e o conjunto-solução é imediato.
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Exemplo 12.5: x2-9=0
Logo, S={-3,3}
Observe, caro(a) aluno(a), que no Exemplo acima, a solução também poderia ter sido 
encontrada fazendo x2-9 = 0 → x2 = 9.
Exemplo 12.6: 3x2-9x = 0
Logo, S={0,3}
Exemplo 12.7: 25x2 = 0
Logo, S={0}
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Observe caro(a) aluno(a), que no Exemplo acima, a solução também poderia ter sido 
encontrada fazendo 25x2 = 0 → x2 = 0.
12.2 Sistema de equações do segundo grau 
Um sistema de equações do 2º grau é aquele em que uma das equações têm grau 2. A 
solução deste tipo de sistema é feita a partir do médodo da substituição. Observe o exemplo 
abaixo:
Exemplo 12.8: Considere o sistema
Isolando y na primeira equação, temos que:
2x+y = 5 → y = 5-2x
Substituindo y na segunda equação, temos que:
x2+2xy = 7 → x2+2x.(5-2x) = 7
x2+10x-4x2 =7
-3x2+10x = 7
-3x2+10x-7 = 0
Resolvendo por Bhaskara, temos que:
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Agora que encontramos x’ e x’’, devemos calcular os valores de y para cada um dos x 
encontrados:
y = 5-2x
x' = 1 → y' = 5-2.(1) = 5-2 = 3
12.3 Inequações do segundo grau
Inequações do segundo grau são expressões matemáticas que envolvem desigualdades. 
São resolvidas por meio da fórmula de Bháskara, cujo resultado é comparado com o sinal 
da inequação para formular o conjunto solução. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 12.9: 3x2+10x+7<0
3x2+10x+7<0
 
Logo S={x∈ℝ|-7/3<x<-1}
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Exemplo 12.9: -2x2-x+1≤0
-2x2-x+1≤0
 
Logo S={x∈ℝ|x ≤ -1 ou x≥ }
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AULA 13
PRODUTO CARTESIANO E 
RELAÇÕES
Caro(a) aluno(a), nesta aula estudaremos os conceitos relacionados ao produto cartesiano 
e às relações.
13.1 Produto cartesiano
Sempre que quisermos estabelecer relações entre grandezas, podemos recorrer a um 
tópico da teoria dos conjuntos, que é o produto cartesiano.
Definição. Considerando dois conjuntos A e B, não vazios, denominamos de produto 
cartesiano de A por B (A×B) o conjunto de todos os pares ordenados (x,y), cuja primeira 
coordenada pertence ao conjunto A e a segunda coordenada pertence ao conjunto B:
A×B = {(x,y)|x∈A e y∈B}
Atente-se, caro(a) aluno(a), que para determinarmos o produto cartesiano de A por B, 
precisamos esgotar todos os pares ordenados. Como vamos trabalhar com grandezas 
numéricas, então, convenientemente, vamos utilizar o sistema de coordenadas cartesianas 
para representar o conjunto cartesiano de conjuntos numéricos.
Você se lembra de um sistema cartesiano? Trata-se de um sistema ortogonal, formado por 
dois eixos perpendiculares entre si e que se cruzam em um ponto, denotado por O (origem).
Entre cada ponto (x,y) desse plano, podemos estabelecer uma correspondência com o 
par ordenado (x,y)∈A×B.
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Figura 13.1: Plano cartesiano. Fonte: elaborado pela autora.
Exemplo 13.1: Sejam os conjuntos A = {0,1,2} e B = {-1,1}, então:
A×B = {(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)}
B×A = {(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,0),(1,1),(1,2)}
A×A = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
B×B = {(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}
Sobre o produto cartesiano de dois conjuntos A e B, são válidas as seguintes afirmações:
1. Não vale a propriedade da comutatividade, ou seja, A×B ≠ B×A;
2. Se A tem m elementos e B tem n elementos, então tanto A×B quanto B×A terão m.n 
elementos;
3. Se A ou B forem infinitos, então tanto A×B quanto B×A serão infinitos, e a enumeração 
de seus elementos será inviável;
4. Se A ou B forem vazios, então o produto cartesiano A×B (ou analogamente B×A) será 
um conjunto vazio:
A×Ø = Ø, Ø×B = Ø, Ø×Ø = Ø
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Exemplo 13.2: Sabendo que C×D = {(-1,-3),(-1,5),(2,-3),(2,5)}, então, 
C = {-1,2}
D = {-3,5}
13.2 Relações
No tópico anterior, caro(a) aluno(a), nós vimos que para a determinação do produto 
cartesiano, precisamos listar todos os pares possíveis cuja primeira componente estava no 
primeiro conjunto e a segunda componente estava no segundo conjunto. No entanto, vão 
existir casos em que não estamos interessados em todas estas combinações, mas apenas 
em alguns pares que apresentam certa correspondência.
Definição. Sejam dois conjuntos A e B, chamamos de relação de A em B todo subconjunto 
R de A×B.
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A×B
Isto significa que o conjunto R é formado por pares (x,y), em que x∈A está “relacionado” 
a y∈B a partir de uma regra de associação.
É muito comum representarmos estas relações por meio do plano cartesiano (sistema 
cartesiano ortogonal), ou ainda, por meio de diagramas de flechas. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 13.3: Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={-1,0,5}, e a relação R ={(x,y)∈A×B|x<y}, 
então temos que:
A×B={(1,-1),(1,0),(1,5),(2,-1),(2,0),(2,5),(3,-1),(3,0),(3,5)}
Portanto, R é dada por:
R={(1,5),(2,5),(3,5)}
Esta relação, no plano cartesiano, encontra-se ilustrada na Figura abaixo:
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Figura 13.2: A relação R={(1,5),(2,5),(3,5)}. Fonte: elaborado pela autora.
Exemplo 13.3: Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={0,2,4} e a relação R={(x,y)┤A×B┤|y=2x┤}, 
então temos que:
A×B={(1,0),(1,2),(1,4),(2,0),(2,2),(2,4),(3,0),(3,2),(3,4)}
Portanto, R é dada por:
R={(1,2),(2,4)}
Esta relação encontra-se ilustrada na Figura abaixo, por meio de um diagrama de flechas:
Figura 13.3: A relação R={(1,2),(2,4)}. Fonte: elaborado pela autora.
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A partir do exemplo anterior, caro(a) aluno(a), podemos inferir algumas observações sobre 
as relações:
1. No diagrama de flechas de uma relação de A em B, nem todo elemento do conjunto A 
precisa estar associado a um elemento do conjunto B.
2. Não há a necessidade de, para cada elemento de A, associarmos um único elemento 
em B.
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AULA 14
FUNÇÕES
Caro(a) aluno(a), nesta aula veremos a definição intuitiva e na sequência formal, de uma 
função, assim como sua linguagem e notação.
Em nosso dia a dia é comum nos depararmos com situações em que precisamos comparar 
grandezas. Por exemplo, quando abastecemos um veículo com combustível, então podemos 
estabelecer uma relação entre a quantidade de combustível abastecido e o preço a se pagar.
Mas você deve estar se perguntando... não acabamos de ver que isso se chama relação? 
Sim, isto é uma relação, no entanto, este tipo de relação têm características específicas que 
nos fazem chamá-las de funções.
Podemos dizer que funções são relações que abrangem todos os elementos do primeiro 
conjunto e associam a cada elemento deste primeiro conjunto um, e somente um, elemento 
do segundo conjunto. O que não necessariamente ocorre para as relações.
Exemplo 14.1: Vamos supor que um posto de combustível comercializa o litro do etanol 
a R$ 3,50 e o litro da gasolina a R$ 4,25. Assim, podemos montar a seguinte Tabela que 
relaciona a quantidade de combustível com o preço a se pagar:
Litros Etanol
Valor (R$)
Gasolina
Valor (R$)
1 3,50 4,25
2 7,00 8,50
3 10,5 12,75
4 14 17,00
5 17,5 21,25
... ... ...
Tabela 14.1: Valor a se pagar pelo litro do combustível. Fonte: elaborado pela autora.
No exemplo anterior, poderíamos escrever o valor (v) a se pagar em função da quantidade 
(q) de litros de gasolina, a partir da seguinte relação:
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v = q.4,25
Analogamente, para o etanol, teríamos:
v = q.3,50
Agora que vimos a noção intuitiva de uma função, vamos à definição formal?
Definição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe o nome 
de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x∈A existir apenas um y∈B, 
tal que (x,y)∈f. As seguintes notações são utilizadas:
f:A→B (lê-se: f de A em B)
x→y = f(x) (para cada x há um valor f(x) associado)
Assim, caro(a) aluno(a), podemos dizer que uma função é um conjunto de pares ordenados, 
determinados por uma sentença y = f(x) que expressa a correspondência entre as duas 
variáveis x e y. Em nosso estudo, definiremos a notação de função como:
C={(x,y)|x∈A, y∈B e y = f(x)}
As funções são utilizadas para o estabelecimento de relações entre grandezas. 
Algebricamente falando, uma função é uma regra de associação de dois conjuntos, um de 
entrada e um de saída, tal que a cada entrada executada só é possível uma única saída 
(STEWART, 2007; THOMAS, WEIR e HASS, 2012).Pensando em um diagrama de flechas, caro(a) aluno(a), existem duas condições a serem 
respeitadas, para que tenhamos uma função:
1. Deve partir uma flecha de cada elemento do conjunto A.
2. Não deve partir mais de uma flecha de um elemento do conjunto A.
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Figura 14.1: O diagrama em (a) retrata uma relação de X em Y, que é uma função. O diagrama em (b) retrata uma relação de X em Y, que não é uma função. Fonte: Demana et al. 
(2013, p. 62).
Atente-se, caro(a) aluno(a), que uma função frequentemente é dada por uma fórmula que 
nos auxilia no cálculo do valor da variável dependente, a partir do valor da variável independente. 
E assim, na maior parte do tempo, trataremos de funções definidas em conjuntos infinitos, 
especialmente subintervalos de R, o que tornará o diagrama de flechas não tão eficaz quanto 
a representação da função no plano cartesiano. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 14.2: Seja a função f:ℝ→ℝ dada por f(x)=2x+1 para termos uma noção do 
comportamento dos pares ordenados no plano cartesiano, podemos escolher alguns valores 
de x, conforme Tabela abaixo:
x y = 2x+1 (x,y)
... ... ...
-2 y = 2.(-2)+1=-4+1=-3 (-2,-3)
-1 y = 2.(-1)+1=-2+1=-1 (-1,-1)
0 y = 2.0+1=0+1=1 (0,1)
1 y = 2.1+1=2+1=3 (1,3)
2 y = 2.2+1=4+1=5 (2,5)
... ... ...
Tabela 14.2: f(x)=2x+1. Fonte: elaborado pela autora.
Como vimos, além das fórmulas, também existem outras formas de representar as funções, 
como a partir de tabelas e de gráficos, tal que, geralmente, é útil ir de uma representação a 
outra a fim de um entendimento adicional. 
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14.1 Domínio e contradomínio de uma função
Seja f:A→B uma função, então:
1. O conjunto A é denominado domínio da função f, denotado por D(f). Representa os 
valores que a variável independente assume.
2. O conjunto B é denominado contradomínio da função f, denotado por CD(f). Representa 
os valores que a variável dependente pode assumir.
3. O subconjunto B dado por todos os valores produzidos pela associação f é denominado 
conjunto imagem de f, denotado por Im(f). Representa os valores que a variável dependente 
assume, tal que:
Im(f) = {y∈B|existe x∈A tal que y = f(x)}
Dessa forma, caro(a) aluno(a), no diagrama de flechas, nem todos os elementos do 
contradomínio (conjunto de chegada das flechas) necessitam receber uma flecha, ou seja, 
nem todo elemento do contradomínio precisa estar associado a um elemento do domínio. 
Mas os elementos do domínio, necessariamente, precisam estar associados a um elemento 
do contradomínio para que seja uma função. Ao conjunto desses elementos y∈B que estão 
associados a algum x∈A chamamos de imagem, conforme representado na Figura abaixo:
 
Figura 14.1: Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Fonte: elaborado pela autora.
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Exemplo 14.3: Seja a função f: A→B dada por f(x) = 2x-1, em que A={1,2,3} e B={0,1,3,5,7}, 
então:
D(f) = A = {1,2,3}
CD(f) = B = {0,1,3,5,7}
Im(f) = {1,3,5}
Isto porque, ao substituirmos os valores do conjunto A em f(x)=2x-1, obtemos:
f(1) = 2.(1)-1= 2-1 = 1
f(2) = 2.(2)-1 = 4-1 = 3
f(3) = 2.(3)-1 = 6-1 = 5
 
Figura 14.2: Domínio, contradomínio e imagem da função f(x)=2x-1. Fonte: elaborado pela autora.
Vamos agora considerar uma função que possui domínio e contradomínio como 
subconjuntos de números reais. É possível determinarmos o domínio de uma função real, 
a partir do conhecimento da lei de correspondência entre seus elementos. Três casos são 
possíveis (BARRETO FILHO; SILVA, 2000):
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• 1º caso: quando a variável aparece no denominador de uma fração, o denominador 
da fração deve ser diferente de zero. 
• 2º caso: quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par, o radicando 
deve ser um número maior ou igual a zero. 
• 3º caso: quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par, e esse 
radical está no denominador de uma fração é necessário unir os dois primeiros casos, 
o que implica que o radicando deve ser maior do que zero.
Exemplo 14.4: Seja a função dada por f(x) = . Neste caso, precisamos que o 
denominador seja diferente de zero, ou seja:
x-1≠ 0
x≠1
Logo, para que a função esteja bem definida, temos que o domínio será D(f) = {x∈ℝ|x ≠ 1}. 
Exemplo 14.5: Seja a função dada por f(x) = √x-2. Neste caso, precisamos que o radicando 
seja maior ou igual a zero:
x-2≥0
x≥2
Logo, para que a função esteja bem definida, temos que o domínio será D(f) = {x∈ℝ|x≥2}. 
14.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Definição. Uma função f é dita injetora se, para todo x1 ∈ D(f) e x2 ∈ D(f), com x1≠x2, tivermos 
f(x1) ≠ f(x2).
Isto significa que uma função é injetora quando elementos distintos do domínio estão 
associados a elementos distintos do contradomínio. Pensando no diagrama de flechas, a 
condição de injetividade se caracteriza pelo fato de nenhum elemento do contradomínio 
receber duas flechas. 
Definição. Uma função f é dita sobrejetora se, para todo y ∈ CD(f), existe x ∈ D(f), tal que 
y = f(x). Ou seja, f é sobrejetora se, e somente se, Im(f) = CD(f). 
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No diagrama de flechas de uma função sobrejetora nenhum elemento do contradomínio 
fica sem receber uma flecha. No entanto, note, caro(a) aluno(a), que essa condição de 
sobrejetividade não impede que um elemento do contradomínio receba mais do que uma 
flecha, e assim, uma função pode ser sobrejetora sem que seja injetora.
Definição. Uma função f é dita bijetora se for injetora e sobrejetora simultaneamente. 
Isso é equivalente a dizer que uma função f: A→B é bijetora se, e somente se, para qualquer 
elemento y ∈ B, existe um único elemento x ∈ A tal que f(x) = y.
Uma função bijetora representa uma relação biunívoca, também conhecida como relação 
um-a-um, entre o domínio e o contradomínio. 
Exemplo 14.6: Sejam os conjuntos A={0,1,2,3} e B={-1,0,1,2}, vamos determinar a função 
f:A→B, definida pela lei f(x) = x-1:
f(0)=(0)-1=-1
f(1)=(1)-1=0
f(2)=(2)-1=1
f(3)=(3)-1=2
Logo, o diagrama de flechas é da forma:
 
Figura 14.3: Função f:A→B, definida pela lei f(x)=x-1. Fonte: elaborado pela autora.
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A partir do diagrama de flechas, nota-se que f é bijetora, uma vez que elementos distintos 
do conjunto A correspondem a elementos distintos do conjunto B (função injetora) e Im(f)=B 
(função sobrejetora).
14.3 Função par e função ímpar
Definição. Dizemos que uma função f: A → B é par, se para todo x ∈ A, f(-x) = f(x). Por 
outro lado, dizemos que uma função f:A → B é ímpar, se para todo x ∈ A, f(-x) = -f(x).
No gráfico de uma função par observamos simetria com relação ao eixo vertical, enquanto 
que para uma função ímpar observamos simetria com relação à origem O.
Exemplo 14.7: A função f(x)=x2 é par porque:
f(x) = x2
=(-x)2
= -f(x)
 
Figura 14.4: Representação gráfica da função f(x)=x2. Fonte: elaborado pela autora.
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14.4 Obtenção de novas funções
Caro(a) aluno(a), para finalizarmos esta aula é importante lembrá-lo que da mesma forma 
que podemos fazer operações com números, as funções também podem ser adicionadas, 
subtraídas, multiplicadas e divididas com vistas a produzir novas funções.
Definição. Sejam as funções f e g, então, temos que:
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
(f-g)(x) = f(x)-g(x)
(f.g)(x) = f(x).g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
Exemplo 14.8: Vamos calcular f(x) + g(x), sabendo que f(x) = 3x+1 e que g(x) = x2-2x+5:
f(x)+g(x) = (3x+1)+(x2-2x+5)
=x2+(3x-2x)+(1+5)
=x2+x+6
Outra forma de construir uma função a partir de outras