chapter-7-the-one-dimensional-harmonic-oscillator

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Solutions - Chapter 7
Kevin S. Huang
Problem 7.1
â |n〉 = c− |n− 1〉
〈n| ↠= 〈n− 1| c∗−
〈n|â†â|n〉 = 〈n|N̂ |n〉 = n 〈n|n〉
〈n|â†â|n〉 = 〈n− 1|c∗−c−|n− 1〉 = |c−|2 〈n− 1|n− 1〉
c− =
√
n
Problem 7.2
↠→

0 0 0 0 ...√
1 0 0 0 ...
0
√
2 0 0 ...
0 0
√
3 0 ...
... ... ... ... ...

â→

0
√
1 0 0 ...
0 0
√
2 0 ...
0 0 0
√
3 ...
0 0 0 0 ...
... ... ... ... ...

x̂ =
√
h̄
2mω
(â+ â†)→
√
h̄
2mω

0
√
1 0 0 ...√
1 0
√
2 0 ...
0
√
2 0
√
3 ...
0 0
√
3 0 ...
... ... ... ... ...

p̂ = i
√
mωh̄
2
(â− â†)→ i
√
mωh̄
2

0
√
1 0 0 ...
−
√
1 0
√
2 0 ...
0 −
√
2 0
√
3 ...
0 0 −
√
3 0 ...
... ... ... ... ...

1
x̂p̂ =
ih̄
2

√
0
2 −
√
1
2
0
√
1
√
2 0 ...
0
√
1
2 −
√
2
2
0
√
2
√
3 ...
−
√
1
√
2 0
√
2
2 −
√
3
2
0 ...
0 −
√
2
√
3 0
√
3
2 −
√
4
2
...
... ... ... ... ...

p̂x̂ =
ih̄
2

√
1
2 −
√
0
2
0
√
1
√
2 0 ...
0
√
2
2 −
√
1
2
0
√
2
√
3 ...
−
√
1
√
2 0
√
3
2 −
√
2
2
0 ...
0 −
√
2
√
3 0
√
4
2 −
√
3
2
...
... ... ... ... ...

x̂p̂− p̂x̂ = ih̄
2

2 0 0 0 ...
0 2 0 0 ...
0 0 2 0 ...
0 0 0 2 ...
... ... ... ... ...

[x̂, p̂] = ih̄
Problem 7.3
Base Case:
|0〉 = (â
†)0√
0!
|0〉 = |0〉
Assume:
|k〉 = (â
†)k√
k!
|0〉
↠|k〉 =
√
k + 1 |k + 1〉
|k + 1〉 = â
† |k〉√
k + 1
=
â†(â†)k
√
k + 1
√
k!
|0〉 = (â
†)k+1√
(k + 1)!
|0〉
By induction:
|n〉 = (â
†)n√
n!
|0〉
Problem 7.4
〈p|x̂|ψ〉 = ih̄ ∂
∂p
〈p|ψ〉
〈p|â|0〉 = 0
â =
√
mω
2h̄
(
x̂+
i
mω
p̂
)
2
〈p|
√
mω
2h̄
(
x̂+
i
mω
p̂
)
|0〉 = 0
〈p|x̂|0〉+ i
mω
〈p|p̂|0〉 = ih̄ ∂
∂p
〈p|0〉+ ip
mω
〈p|0〉 = 0
dψ
dp
= − p
mh̄ω
ψ∫
dψ
ψ
=
∫
− p
mh̄ω
dp
ψ0(p) = Ne
−p2/2mh̄ω
ψ0(p) =
(
1
πmh̄ω
)1/4
e−p
2/2mh̄ω
Problem 7.5
x̂ =
√
h̄
2mω
(â+ â†)
[â, â†] = 1
â↠= N̂ + 1
For energy eigenstates: 〈x〉 = 0 and 〈p〉 = 0
∆x2 = 〈x2〉
∆p2 = 〈p2〉
∆x2 =
h̄
2mω
〈n|(â+ â†)2|n〉 = h̄
2mω
〈n|[â2 + (â†)2 + â↠+ â†â]|n〉
=
h̄
2mω
(〈n|ââ†|n〉+ 〈n|â†â|n〉) = h̄
2mω
(〈n|N̂ + 1|n〉+ 〈n|N̂ |n〉) = h̄
2mω
(2n+ 1) 〈n|n〉
∆x =
√(
n+
1
2
)
h̄
mω
∆p2 = −mωh̄
2
〈n|(â− â†)2|n〉 = −mωh̄
2
〈n|[â2 + (â†)2 − â↠− â†â]|n〉
=
mωh̄
2
(〈n|ââ†|n〉+ 〈n|â†â|n〉) = mωh̄
2
(〈n|N̂ + 1|n〉+ 〈n|N̂ |n〉) = mωh̄
2
(2n+ 1) 〈n|n〉
∆p =
√(
n+
1
2
)
mωh̄
Problem 7.6
3
p̂ = −i
√
mωh̄
2
(â− â†)
|ψ〉 = α |0〉+ β |1〉
|α|2 = 1
2
|β|2 = 1
2
Choose α = 1√
2
:
β =
eiθ√
2
〈p〉 =
(
mωh̄
2
)1/2
〈p〉 = 〈ψ|p̂|ψ〉 = (α∗ 〈0|+ β∗ 〈1|)
[
−i
√
mωh̄
2
(â− â†)
]
(α |0〉+ β |1〉)
(â− â†) |0〉 = − |1〉
(â− â†) |1〉 = |0〉 −
√
2 |2〉
〈p〉 = −i
√
mωh̄
2
(α∗ 〈0|+ β∗ 〈1|)[−α |1〉+ β(|0〉 −
√
2 |2〉)] = −i
√
mωh̄
2
(−αβ∗ + α∗β)
−i
√
mωh̄
2
(
− 1√
2
e−iθ√
2
+
1√
2
eiθ√
2
)
=
√
mωh̄
2
−i
(
eiθ − e−iθ
2
)
= 1
sin θ = 1
|ψ(0)〉 = 1√
2
|0〉+ i√
2
|1〉
|ψ(t)〉 = e
−iE0t/h̄
√
2
|0〉+ ie
−iE1t//h̄
√
2
|1〉
〈p〉(t) = −i
√
mωh̄
2
(−αβ∗ + α∗β) = −i
√
mωh̄
2
(
e−iE0t/h̄√
2
ieiE1t/h̄√
2
+
eiE0t/h̄√
2
ie−iE1t/h̄√
2
)
4
=
√
mωh̄
2
[
ei(E1−E0)t/h̄ + e−i(E1−E0)t/h̄
2
]
=
√
mωh̄
2
cos
(E1 − E0)t
h̄
〈p〉(t) =
√
mωh̄
2
cosωt
Problem 7.7 - SKIPPED
Problem 7.8
|ψ(0)〉 = cn |n〉+ cn+1 |n+ 1〉
|ψ(t)〉 = e−i(n+1/2)ωt(cn |n〉+ cn+1e−iωt |n+ 1〉)
〈ψ(t)| = ei(n+1/2)ωt(c∗n 〈n|+ c∗n+1eiωt 〈n+ 1|)
〈x〉 = 〈ψ|x̂|ψ〉 =
√
h̄
2mω
〈ψ|(â+ â†)|ψ〉
â(cn |n〉+ cn+1e−iωt |n+ 1〉) =
√
ncn |n− 1〉+
√
n+ 1cn+1e
−iωt |n〉
â†(cn |n〉+ cn+1e−iωt |n+ 1〉) =
√
n+ 1cn |n+ 1〉+
√
n+ 2cn+1e
−iωt |n+ 2〉
〈x〉 =
√
h̄
2mω
(c∗n 〈n|+ c∗n+1eiωt 〈n+ 1|)
(
√
ncn |n− 1〉+
√
n+ 1cn+1e
−iωt |n〉+
√
n+ 1cn |n+ 1〉+
√
n+ 2cn+1e
−iωt |n+ 2〉)
〈x〉 =
√
h̄
2mω
(c∗n 〈n|+ c∗n+1eiωt 〈n+ 1|)(
√
n+ 1cn+1e
−iωt |n〉+
√
n+ 1cn |n+ 1〉)
=
√
h̄
2mω
(√
n+ 1c∗ncn+1e
−iωt +
√
n+ 1cnc
∗
n+1e
iωt
)
=
√
h̄(n+ 1)
2mω
(c∗ncn+1e
−iωt + cnc
∗
n+1e
iωt)
C1e
iωt + C2e
−iωt = (C1 + C2) cosωt+ (iC1 − iC2) sinωt
〈x〉 = A cos(ωt+ δ) = (A cos δ) cosωt+ (−A sin δ) sinωt
C1 =
√
h̄(n+ 1)
2mω
c∗ncn+1
C2 =
√
h̄(n+ 1)
2mω
cnc
∗
n+1
A = 2
√
C1C2
tan δ = i
C2 − C1
C2 + C1
5
〈p〉 = 〈ψ|p̂|ψ〉 = −i
√
mωh̄
2
〈ψ|(â− â†)|ψ〉
〈p〉 = −i
√
mωh̄
2
(c∗n 〈n|+ c∗n+1eiωt 〈n+ 1|)
(
√
ncn |n− 1〉+
√
n+ 1cn+1e
−iωt |n〉 −
√
n+ 1cn |n+ 1〉 −
√
n+ 2cn+1e
−iωt |n+ 2〉)
〈p〉 = −i
√
mωh̄
2
(c∗n 〈n|+ c∗n+1eiωt 〈n+ 1|)(
√
n+ 1cn+1e
−iωt |n〉 −
√
n+ 1cn |n+ 1〉)
= −i
√
mωh̄
2
(
√
n+ 1c∗ncn+1e
−iωt −
√
n+ 1cnc
∗
n+1e
iωt)
C1e
iωt + C2e
−iωt = (C1 + C2) cosωt+ (iC1 − iC2) sinωt
〈p〉 = 〈ψ|p̂|ψ〉 = −mωA sin(ωt+ δ) = (−mωA sin δ) cosωt+ (−mωA cos δ) sinωt
C ′1 = i
√
mωh̄(n+ 1)
2
c∗ncn+1 = imωC1
C ′2 = −i
√
mωh̄(n+ 1)
2
cnc
∗
n+1 = −imωC2
m2ω2A2 = 4C ′1C
′
2 = 4m
2ω2C21C
2
2
A = 2
√
C1C2
tan δ =
C ′1 + C
′
2
i(C ′1 − C ′2)
= i
C2 − C1
C2 + C1
Ehrenfest’s theorem:
d〈p〉
dt
= −mω2A cos(ωt+ δ) = −mω2〈x〉 =
〈
−dV
dx
〉
d〈x〉
dt
= −ωA sin(ωt+ δ) = 〈p〉
m
Problem 7.9 - SKIPPED
Problem 7.10
Π̂ |x〉 = |−x〉
〈x| Π̂† = 〈−x|
〈ψ|Π̂|x〉 = 〈ψ| − x〉 = ψ∗(−x)
6
〈x|Π̂†|ψ〉 = 〈−x|ψ〉 = ψ(−x)
〈ψ|Π̂|x〉
∗
= 〈x|Π̂|ψ〉 = 〈x|Π̂†|ψ〉
Hermitian:
Π̂† = Π̂
Problem 7.11
ψ(x) = Ne−ax
2
ψ′(x) = −2aNxe−ax2
ψ′′(x) = 2aNe−ax
2
(2ax2 − 1)
− h̄
2
2m
d2
dx2
〈x|E〉+ 1
2
mω2x2 〈x|E〉 = E 〈x|E〉
− h̄
2
2m
2aNe−ax
2
(2ax2 − 1) + 1
2
mω2x2Ne−ax
2
= ENe−ax
2
−ah̄
2
m
(2ax2 − 1) + 1
2
mω2x2 = E(
1
2
mω2 − 2a
2h̄2
m
)
x2 +
(
ah̄2
m
− E
)
= 0
a =
mω
2h̄
Ee =
ah̄2
m
=
h̄ω
2
Problem 7.12
Ground state:
|ψ〉 = |0〉
ψ(x) =
(mω
πh̄
)1/4
e−mωx
2/2h̄
V =
1
2
mω2x2 =
h̄ω
2
= E0
Turning point:
x0 =
√
h̄
mω
Probability of particle located in classically disallowed region V (x) > E:
P = 2
∫ ∞
x0
dx |ψ(x)|2 = 2
√
mω
πh̄
∫ ∞
x0
dx e−mωx
2/h̄
7
u = x
√
mω
h̄
1− erf(x) = 2√
π
∫ ∞
x
e−t
2
dt
P =
2√
π
∫ ∞
1
du e−u
2
= 1− erf(1) ≈ 0.157
8