Questão resolvida - Se f(x)x[f(x)]10 e f(1)2, determine o valor de f'(1) - Cálculo I - UFLA

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• Se , determine o valor de .f x + x f x = 10 e f 1 = 2( ) 2[ ( )]3 ( ) f' 1( )
 
Resolução:
 
Para melhor entendimento, fazemos;
 
f x = y( )
Substituindo;
 
y + x y = 102 3
Agora, derivando implicitamente;
 
1 ⋅ y' + 2xy + 3x y y' = 0 y' + 2xy + 3x y y' = 03 2 2 → 3 2 2
 
Vamos fazer as substituições e ;y' = f' x( ) f x = y( )
 
y' + 2xy + 3x y y' = 0 f' x + 2x f x + 3x f x f' x = 03 2 2 → ( ) [ ( )]3 2[ ( )]2 ( )
 
Isolando , temos;f' x( )
 
f' x + 2x f x + 3x f x f' x = 0 f' x + 3x f x f' x = - 2x f x( ) [ ( )]3 2[ ( )]2 ( ) → ( ) 2[ ( )]2 ( ) [ ( )]3
 
f' x 1 + 3x f x = - 2x f x f' x =( ) 2[ ( )]2 [ ( )]3 → ( )
-2x f x
1 + 3x f x
[ ( )]3
2[ ( )]2
Assim, é;f' 1( )
 
f' 1 =( )
-2 ⋅ 1 ⋅ f 1
1 + 3 ⋅ 1 ⋅ f 1
[ ( )]3
( )2 [ ( )]2
 
 
Sabemos que , então;f 1 = 2( )
 
f' 1 = = =( )
-2 ⋅ 2
1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 2
( )3
[ ]2
-2 ⋅ 8
1 + 3 ⋅ 4
-16
1 + 12
 
f' 1 = -( )
16
13
 
 
(Resposta )