matemática trigonometria e sistemas lineares

Prévia do material em texto

Trigonometria e Trigonometria e 
sistemas linearessistemas lineares
Á
RE
A 
D
E 
M
AT
EM
Á
TIC
A 
E 
SU
A
S 
TE
C
N
O
LO
G
IA
S 
• 
EN
SI
N
O
 M
ÉD
IO
Á
R
E
A
 D
E
 M
A
TE
M
Á
TIC
A
 E
 S
U
A
S 
TE
C
N
O
LO
G
IA
S •
 E
N
SIN
O
 M
É
D
IO
Trig
o
n
o
m
e
tria
 e
 
Trig
o
n
o
m
e
tria
 e
 
siste
m
a
s lin
e
a
re
s 
siste
m
a
s lin
e
a
re
s 
MANUAL DO 
PROFESSORLuiz Roberto DanteLuiz Roberto Dante
Fernando VianaFernando Viana
Lu
iz R
o
b
e
rto
 D
a
n
te
Lu
iz R
o
b
e
rto
 D
a
n
te
F
e
rn
a
n
d
o
 V
ia
n
a
F
e
rn
a
n
d
o
 V
ia
n
a
Á
RE
A 
D
E 
M
AT
EM
Á
TIC
A 
E 
SU
A
S 
TE
C
N
O
LO
G
IA
S 
• 
EN
SI
N
O
 M
ÉD
IO
ANUAL DO 
ROFESSOR
M
AT
ER
IA
L 
D
E 
D
IV
U
LG
AÇ
ÃO
 −
VE
RS
ÃO
 S
U
BM
ET
ID
A 
À 
AV
A
LI
AÇ
ÃO
CÓ
D
IG
O
 D
A 
CO
LE
ÇÃ
O
:
0
1
5
9
P
2
1
2
0
2
CÓ
D
IG
O
 D
A 
O
BR
A:
0
1
5
9
P
2
1
2
0
2
1
3
6
CAPA_OBJ2_MAT_DANTE_ATICA_PNLD_2021_VOL_4_MP.indd 2-3CAPA_OBJ2_MAT_DANTE_ATICA_PNLD_2021_VOL_4_MP.indd 2-3 4/13/21 10:25 AM4/13/21 10:25 AM
Á
RE
A 
D
E 
M
AT
EM
Á
TIC
A 
E 
SU
A
S 
TE
C
N
O
LO
G
IA
S 
• 
EN
SI
N
O
 M
ÉD
IO
Trigonometria e Trigonometria e 
sistemas linearessistemas lineares
1a edição, São Paulo, 2020
MANUAL DO 
PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual Paulis-
ta “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp-SP, Rio Claro)
Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP)
Doutor em Psicologia da Educação pela Pontifícia Universi-
dade Católica de São Paulo (PUC-SP)
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp-SP, Rio 
Claro
Ex-professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio na 
rede pública de ensino de São Paulo
Autor de livros didáticos e paradidáticos de Matemática para 
alunos e professores da Educação Básica
Fernando Viana
Licenciado e mestre em Matemática pela Universidade Federal 
da Paraíba (UFPB)
Doutor em Engenharia Mecânica pela UFPB
Professor efetivo do Instituto Federal de Educação, Ciência 
e Tecnologia da Paraíba (IFPB)
Professor do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e de 
cursos pré-vestibulares há mais de 20 anos
Autor de obras didáticas de Matemática para o Ensino Funda-
mental e o Ensino Médio
FRÔNTIS_OBJ2_MAT_DANTE_ATICA_PNLD_2021_VOL_4_MP.indd 1FRÔNTIS_OBJ2_MAT_DANTE_ATICA_PNLD_2021_VOL_4_MP.indd 1 9/17/20 11:35 AM9/17/20 11:35 AM
2
Presidência: Paulo Serino
Direção editorial: Lauri Cericato
Gestão de projeto editorial: Heloisa Pimentel 
Coordenação de área: Marcela Maris e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Pamela Hellebrekers Seravalli, Alessandra Maria Rodrigues 
da Silva, César Augusto Morais de Souza, Igor Nóbrega, 
Marina Muniz Campelo, Nadili L. Ribeiro, Rani de Oliveira e Souza 
e Rodrigo Macena 
Planejamento e controle de produção: Vilma Rossi e Camila Cunha
Revisão: Rosângela Muricy (coord.), Alexandra Costa da Fonseca, 
Ana Paula C. Malfa, Ana Maria Herrera, Carlos Eduardo Sigrist, 
Flavia S. Vênezio, Heloísa Schiavo, Hires Heglan, Kátia S. Lopes Godoi, 
Luciana B. Azevedo, Luís M. Boa Nova, Luiz Gustavo Bazana, 
Patricia Cordeiro, Patrícia Travanca, Paula T. de Jesus, 
Sandra Fernandez e Sueli Bossi
Arte: Claudio Faustino (ger.), Erika Tiemi Yamauchi (coord.), 
Alexandre Miasato Uehara e Renato Akira dos Santos (edição de arte), 
WYM Design (diagramação)
Iconografia e tratamento de imagens: Roberto Silva (coord.), 
Mariana Sampaio (pesquisa iconográfica), Cesar Wolf (tratamento de imagens)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Fernanda Carvalho (coord.), 
Erika Ramires e Márcio Henrique (analistas adm.)
Ilustrações: Dam d’Souza, Paulo Manzi, R2 Editorial e WYM Design 
Cartografia: Mouses Sagiorato e Vespúcio Cartografia
Design: Luis Vassallo (proj. gráfico, capa e Manual do Professor) 
Todos os direitos reservados por Editora Ática S.A.
Avenida Paulista, 901, 4o andar
Jardins – São Paulo – SP – CEP 01310-200
Tel.: 4003-3061
www.edocente.com.br
atendimento@aticascipione.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Angélica Ilacqua - CRB-8/7057
2020
Código da obra CL 713841
CAE 729711 (AL) / 729713 (PR)
1a edição
1a impressão
De acordo com a BNCC.
Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens 
presentes nesta obra didática. Colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões 
de créditos e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, 
eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, 
são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Impressão e acabamento
002_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA.indd 2002_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA.indd 2 21/09/2020 11:0521/09/2020 11:05
Apresentação
3
Caro estudante,
Ao elaborar esta coleção de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio, 
observamos o que há de mais moderno no processo de ensino e aprendizagem dessa 
área do conhecimento. 
Nosso objetivo com esta coleção é proporcionar a você condições para que pos-
sa compreender e aplicar as principais ideias e ferramentas da Matemática em seu 
nível de ensino, atribuindo significados e possibilitando a resolução de problemas 
do mundo real. Além disso, a coleção foi concebida de modo a dar espaço para que 
você seja protagonista do próprio processo de aprendizagem, desenvolvendo uma 
educação integral.
Todos os conceitos essenciais, próprios do Ensino Médio, foram explorados ao 
longo dos volumes de maneira simples, intuitiva e compreensível. As resoluções me-
canizadas e o formalismo excessivo foram evitados; mantivemos, porém, o rigor ne-
cessário, coerente com o nível para o qual a coleção é proposta. 
Na abertura de cada capítulo, apresentamos uma imagem relacionada aos con-
teúdos que o compõem, com o objetivo de lhe dar uma percepção de alguns dos 
temas que serão estudados. Esperamos que isso instigue sua curiosidade!
Em seguida, você encontra situações contextualizadas e, muitas vezes, integra-
das, que também exprimem os conteúdos e temas. Nelas você pode observar e in-
vestigar a utilização da Matemática de maneira simples, espontânea e eficiente, além 
de refletir sobre ela.
No decorrer de cada capítulo, apresentamos textos e atividades significativos, 
que abordam fatos históricos e contextualizam a construção dos conteúdos que estão 
sendo estudados, bem como expõem e promovem a resolução de problemas relacio-
nados a situações reais ou a outras áreas do conhecimento, exploram as tecnologias 
digitais – tão presentes em nossa vida – e propiciam o desenvolvimento do pensa-
mento computacional. 
Desse modo, a coleção como um todo engloba todas as competências gerais da 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC), assim como as competências específicas e 
as habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias que estão previstas para o 
Ensino Médio. 
Sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre 
consideradas. Seja muito bem-vindo ao estudo da Matemática e suas Tecnologias 
que esta coleção lhe proporciona!
Os autores
001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 3001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 3 9/17/20 11:25 AM9/17/20 11:25 AM
4
Conheça seu livro
Este volume está organizado em 2 capítulos. Nele você 
encontrará textos, boxes e seções. Conheça a seguir a 
estrutura deste volume.
Principal matéria-prima do chocolate, 
o cacau (Theobroma cacao) é o fruto 
da árvore cacaueiro, nativa da América 
Central e da América do Sul. No 
Brasil, os estados do Pará e da Bahia 
concentram cerca de 90% da produção 
nacional, contribuindo para que o país 
ocupe a sétima posição na produção 
mundial desse fruto.
Matrizes e 
sistemas 
lineares
C
A
P
ÍT
U
LO
2
A
fr
ic
a
 S
tu
d
io
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
84
U
ma doceriarecebeu, de duas padarias distintas, enco-
mendas de bombons de chocolate recheados. O primei-
ro pedido foi da padaria de Alice: 2 kg de bombons de 
morango, 3 kg de brigadeiro e 5 kg de coco. A segunda encomenda 
foi feita pela padaria de Douglas: 3 kg de bombons de morango, 3 kg 
de brigadeiro e 4 kg de coco.
A doceria cobra R$ 60,00 por quilograma de bombom de chocolate re-
cheado de morango, R$ 40,00 por quilograma de bombom recheado de 
brigadeiro e R$ 50,00 por quilograma de bombom recheado de coco. 
a)  Com o objetivo de organizar e visualizar com maior facilidade essa situação, 
copie no caderno as tabelas a seguir e complete-as com as informações do 
texto. A primeira tabela deve organizar a medida de massa, em quilogramas,
das encomendas e a segunda deve mostrar os preços do quilograma de cada 
sabor do recheio, em reais.
Medida de massa (em kg) das encomendas de bombons recheados
 Sabor do
recheio
Local
Morango Brigadeiro Coco
Padaria de Alice
Padaria de Douglas
Preço do quilograma dos bombons recheados
Sabor do recheio Preço (em reais)
Morango
Brigadeiro
Coco
Tabelas elaboradas para fins didáticos.
 b) Observando as tabelas que você preencheu, responda: Qual padaria encomendou 
mais bombons recheados? 
 c) Quanto a padaria de Alice gastou com os bombons recheados de morango? 
 d) Quanto a padaria de Douglas gastou com os bombons recheados de coco?
 e) Qual foi o valor total pago pela padaria de Alice? 
 f) Qual foi o valor total pago pela padaria de Douglas? 
Sara também tem uma padaria e deseja comprar R$ 2.000,00 em bombons re-
cheados de morango e de brigadeiro dessa mesma doceria, mas ainda não decidiu a 
quantidade de cada sabor do recheio.
 g) Indicando por m e b a medida de massa, em kg, dos bombons recheados de 
morango e de brigadeiro, respectivamente, qual equação representa as possibi-
lidades de compra para Sara? 
 h) Nessa equação, m e b podem ser quaisquer números reais? Por quê? 
Não escreva no livro.
85
	i) Se Sara optar pela compra de 5 kg de bombons recheados de brigadeiro, então 
quantos quilogramas de bombons recheados de morango ela comprará? 
	j) Comprando 10 kg de bombons recheados de morango, então quantos quilogra-
mas de bombons recheados de brigadeiro ela comprará? 
	k) Quantos quilogramas de bombons recheados a padaria de Sara pode comprar se 
pedir a mesma quantidade para cada sabor do recheio? 
As respostas que você deu nos itens i, j e k nos indicam que os pares ordenados 
(30, 5), (10, 35) e (20, 20) são algumas soluções da equação 3m 1 2b 5 100. Na repre-
sentação gráfica a seguir, o eixo horizontal representa a medida de massa, em kg, dos 
bombons recheados de morango (m) e o eixo vertical representa a medida de massa, 
em kg, dos bombons recheados de brigadeiro (b). Os pontos A, B e C correspondem 
aos pares ordenados (10, 35), (20, 20) e (30, 5), respectivamente. 
	l) O gráfico acima corresponde a um segmento de reta. Por que não podemos 
prolongar esse segmento de reta infinitamente em ambos os sentidos? 
	m) Liste no caderno outros três possíveis pedidos que a padaria de Sara pode fazer 
à doceria na compra de R$ 2.000,00 em bombons recheados de morango e de 
brigadeiro.
	n) Michele também gastou R$ 2.000,00 em bombons recheados de morango e de 
brigadeiro da doceria. Ela comprou 10 kg de bombons recheados de brigadeiro 
a mais do que de morango. Quantos quilogramas de bombons recheados de 
cada sabor ela comprou? 
b
m
0 5 10 15 20 25 30 35
A(10, 35)
B(20, 20)
C(30, 5)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Não escreva 
no livro.
86
CONHEÇA O CAPÍTULO
87
Objetivos
•	 Explorar situações e resolver problemas que envolvem matrizes.
•	 Reconhecer diferentes transformações geométricas no plano cartesiano: 
translação, reflexão, rotação e homotetia. 
•	 Relacionar transformações geométricas e matrizes.
•	 Conhecer e criar algoritmos relacionados às transformações geométricas. 
•	 Construir translações, reflexões, rotações e homotetias de figuras no pla-
no cartesiano, bem como composições dessas transformações geométri-
cas, também com o apoio de tecnologia digital. 
•	 Utilizar transformações geométricas para analisar fotos de elementos da 
natureza e construções humanas. 
•	 Resolver problemas relacionados a transformações geométricas.
•	 Explorar situações relacionadas a sistemas lineares.
•	 Compreender os conceitos de equação linear e sistema de equações 
lineares simultâneas.
•	 Classificar sistemas lineares em possível e determinado, possível e inde-
terminado ou impossível. 
•	 Determinar as soluções de sistemas lineares utilizando diferentes méto-
dos, como a substituição, a adição e o escalonamento, e representá-los 
graficamente.
•	 Interpretar e representar graficamente sistemas lineares 2 3 2 e 3 3 3, 
também com o auxílio de tecnologia digital.
•	 Criar algoritmo que descreva os passos de resolução de um sistema linear. 
•	 Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras 
áreas do conhecimento utilizando sistemas lineares. 
•	 Compreender o conceito de determinante e o cálculo do determinante 
de matrizes 2 3 2 e 3 3 3. 
•	 Discutir sistemas lineares utilizando o determinante da matriz dos coefi-
cientes e o escalonamento do sistema. 
Justificativa
É comum, no dia a dia, lidarmos com tabelas, pois elas facilitam a organiza-
ção, a leitura e a interpretação de dados. Em Matemática, podemos relacionar 
tabelas a matrizes, e o estudo desse tipo de representação contribui para que 
possamos entender como números dispostos em linhas e colunas se relacio-
nam. As matrizes também podem ser utilizadas para representar transformações 
isométricas e transformações homotéticas de polígonos no plano cartesiano.
Situações que podem ser representadas e resolvidas por sistemas linea-
res também aparecem com frequência no cotidiano. O estudo dos sistemas 
lineares, que é feito desde o Ensino Fundamental, é ampliado neste capítulo 
de modo que possamos resolver problemas relacionados a situações do co-
tidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
A BNCC
No decorrer do capítulo, 
favorecemos o desenvolvimento 
das competências gerais da 
Educação Básica, bem como 
das competências específicas e 
das habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias e de 
outras áreas do conhecimento 
indicadas a seguir. Também 
estão indicados os temas 
contemporâneos transversais 
presentes no capítulo.
Competências gerais: CG01, 
CG02, CG03, CG04, CG05, 
CG07, CG08, CG10. 
Competências específicas 
de Matemática e suas 
Tecnologias: CEMAT01, 
CEMAT03, CEMAT04.
Competência específica de 
Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias: CECNT02.
Habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias: 
EM13MAT105, EM13MAT301, 
EM13MAT315 e EM13MAT405.
Habilidades de outras 
áreas do conhecimento: 
EM13LGG701, EM13CNT204, 
EM13CNT206, EM13CHS101, 
EM13CHS106.
Temas contemporâneos 
transversais:
•	Direito da Criança e do 
Adolescente;
•	Educação Ambiental;
•	Saúde.
Marés
No início deste capítulo, você viu exemplos de diversas 
atividades que se ajustam em decorrência das marés. Para 
essas e outras atividades, é comum a consulta de uma tábua 
de marés, que mostra o horário e o nível do mar nas marés 
alta e baixa de cada dia. 
Veja a seguir um exemplo de tábua de marés de uma ci-
dade litorânea, em 2 dias consecutivos, e a representação 
gráfica ao lado.
 a) Em cada um desses dias estão indicados dois horá-
rios para a maré mais alta e dois para a maré mais 
baixa. Quais são esses horários?
Funções trigonométricas
Situação 1
Situação 2
Relógio de pêndulo
Os dois ponteiros de um relógio de pêndulo mostram as horas e os minutos, como 
em um relógio moderno de ponteiros que usamos no pulso ou penduramos na parede 
de casa. Nesse tipo de relógio, o pêndulo serve para marcar os segundos. 
Não escreva no livro.
Representação esquemática de um 
pêndulo simples. Por exemplo, a 
partir doinstante em que o pêndulo 
está na amplitude máxima, como 
na imagem, a oscilação completa 
corresponde ao movimento que ele 
faz até voltar à mesma posição.
A medida de intervalo de tempo necessária para 
que o pêndulo complete uma oscilação completa 
em um relógio é chamada de período. E o compor-
tamento desse movimento pode ser estudado por 
funções envolvendo os conceitos de seno e cosse-
no, as quais chamamos de funções do tipo trigo-
nométrica. 
 a) Sabendo que em 1 minuto o pêndulo de um reló-
gio oscila 30 vezes, qual é o período desse movi-
mento?
 b) Quantas oscilações um pêndulo deve dar em 
1 minuto para que o período do movimento seja 
de 1 segundo?
 b) As marés mais altas que ocorreram nesses dias ti-
veram mesmo nível? E as marés mais baixas?
 c) Qual foi a amplitude das marés na quinta-feira, ou 
seja, qual foi a diferença entre a maré mais alta e a 
mais baixa desse dia?
 d) Entre quais horários a maré estava baixando (secando) nesses dias? 
 e) Qual foi a medida de intervalo de tempo entre as duas marés mais baixas na quarta-feira? E entre as duas 
marés mais altas na quinta-feira?
O fenômeno periódico das marés também pode ser modelado por uma função do tipo trigonométrica, pois 
as características da variação do nível do mar se repetem, aproximadamente, após o mesmo intervalo de tempo.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Quinta-feira
Horário Nível do mar
04:15 ò 1,99 m
10:22 ô 0,21 m
16:25 ò 2,08 m
22:43 ô 0,14 m
Quarta-feira
Horário Nível do mar
03:45 ò 1,98 m
09:52 ô 0,22 m
15:53 ò 2,09 m
22:14 ô 0,11 m
Quarta-feira
03:45
1,98 m
15:53
2,09 m
04:15
1,99 m
09:52
0,22 m
22:14
0,11 m
10:22
0,21 m
22:43
0,14 m
16:25
2,08 m
Quinta-feira
Representação gráfica de uma tábua de marés em 
2 dias consecutivos.
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
O relógio de pêndulo é um tipo de relógio mecânico 
que era comumente encontrado nas residências antes da 
invenção dos relógios eletrônicos, atômicos e de quartzo.
k
a
lu
g
in
s
e
rg
e
y
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
38
Explorando as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Já estudamos como a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados homólogos de triângu-
los semelhantes possibilita a obtenção de medidas de comprimento inacessíveis. 
No exemplo dado com a cesta de basquete, na atividade 5, usamos um modelo de triângulo retângulo 
isósceles feito de papel. Veremos a seguir que é possível usar qualquer triângulo retângulo para determinar 
a altura da cesta sem precisar construir um modelo de papel. Para isso, basta saber a medida de abertura de 
um dos ângulos agudos do triângulo retângulo e, então, usar as razões trigonométricas adequadas.
As razões que você calculou na atividade 2 do Explore para descobrir são razões trigonométricas, que 
definiremos a seguir. 
Formalizando algumas razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
Definição de seno, cosseno e tangente usando semelhança 
de triângulos
Considere um ângulo agudo AOB com ( )AOBm 5 u (0° < u < 90°). 
A partir dos pontos C, E, G, » da semirreta 
u ruu
OA , traçamos os segmen-
tos de reta CD EF GH, , , », perpendiculares à semirreta 
u ruu
OB .
Pelo caso AA de semelhança de triângulos, temos que os triângulos 
OCD, OEF, OGH, » formados são semelhantes. Então, podemos escrever:
5 5
CD
OC
EF
OE
GH
OG
 5 » (constante)
Essas razões dependem apenas do ângulo (ou seja, não depen-
dem do triângulo retângulo considerado). Elas são chamadas de 
seno do ângulo AOB, ou seno de u. 
Considere os quatro triângulos retângulos representados ao 
lado.
1. Esses triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.
2. Considere as medidas de comprimento dos lados desses 
triângulos retângulos.
	a) Calcule a medida de comprimento da hipotenusa de 
cada triângulo. 
	b) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da hipotenusa
 
em cada triângulo.
	c) Calcule a razão 
medida de comprimento da base
medida de comprimento da hipotenusa
 em cada triângulo.
	d) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da base
 em cada triângulo.
3. O que você percebeu nas razões que calculou?
Não escreva no livro.
Quando necessário, 
indique as respostas 
usando raízes 
quadradas.
Fique atento
Explore para descobrir
2 m 2 m
2 m
1 m
4 m 4 m
4 m
6 m
D
C
F
E
H
G
B
A
O
u
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Para representar a medida de abertura de um 
ângulo, é comum o uso de letras minúsculas 
do alfabeto grego, como u, a, b, etc.
Fique atento
20
Na primeira página da abertura de cada 
capítulo, mostramos uma imagem relacionada 
a um ou mais conteúdos ou temas abordados 
nele. Os textos apresentados nas demais 
páginas da abertura são acompanhados de 
perguntas que propõem reflexões sobre os 
assuntos do capítulo e buscam introduzir, 
direta ou indiretamente, os conteúdos que 
serão estudados.
No início de cada tópico dos 
capítulos, você encontra algumas 
situações e questões relacionadas 
a elas que permitem investigações 
e explorações e que o preparam 
para os conteúdos do tópico. 
No Conheça o capítulo, apresentamos os 
objetivos que devem ser atingidos no decorrer 
do capítulo e a justificativa de pertinência 
deles. Além disso, indicamos as competências 
gerais da Educação Básica, bem como as 
competências específicas e as habilidades da 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC) da 
etapa do Ensino Médio, cujo desenvolvimento 
é favorecido no capítulo, e os temas 
contemporâneos transversais presentes nele. 
Consulte as páginas 154 a 158 para saber mais 
da BNCC e ler o descritivo das competências 
gerais, assim como o descritivo das 
competências específicas e das habilidades 
favorecidas neste volume. 
No Explore para descobrir, 
indicamos atividades de 
exploração, experimentação, 
verificação e sistematização 
dos conteúdos apresentados, 
possibilitando que você formule 
ideias e crie estratégias.
001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 4001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 4 9/17/20 11:25 AM9/17/20 11:25 AM
5
	 5.	Considere um polígono representado no plano carte-
siano que será transladado de acordo com cada matriz 
coluna dada. Para cada item, escreva no caderno quan-
tas unidades serão transladadas e em quais sentidos. 
	a) 2
3





 	b) 
3
1





2
	c) 2
1






2
2
	 6.	Observe o triângulo ABC representado no plano carte-
siano.
7
6
5
4
2
1
1 2 3 4 5 6
C
A
B
x
y
0
3
Escreva no caderno a matriz relacionada aos vértices do 
triângulo obtido pela translação descrita em cada item.
	a) 2 unidades para a direita e 3 unidades para cima. 
	b) 3 unidades para a esquerda e 4 unidades para baixo. 
	c) 2 unidades para a direita e 5 unidades para baixo. 
	 7.	Considere as matrizes M 5 0 1 3
3 5 1





 ,
N 5 
0 2 3
2 0 4





2 2
 e Z 5 
1 3 5 4
2 2 1 4






2 2 2 2
, que re-
presentam as coordenadas dos vértices dos polígonos 
M, N e Z, respectivamente.
	a) Represente cada polígono em um plano cartesiano.
	b) Reflita cada polígono em relação ao eixo y e escreva no 
caderno a matriz dos vértices de cada polígono obtido.
	c) Agora, reflita cada polígono dado em relação ao 
eixo x e escreva a matriz dos vértices de cada po-
lígono obtido.
	 8.	Considere o polígono representado no plano cartesia-
no a seguir. Escreva no caderno as matrizes dos vérti-
ces desse polígono e do polígono obtido ao fazer a 
rotação de 180°, no sentido anti-horário e em torno da 
origem O(0, 0).
2
1
1 2 3 4 5 6 x
y
0
3
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/ 
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Atividades Não escreva no livro.
	 9.	Considere a matriz B 5 2 15 4
2 4 4 2





 relacionada aos 
vértices de um polígono no plano cartesiano.
	a) Represente esse polígono em um plano cartesiano.
	b) Faça uma rotação de 180° desse polígono, no sen-
tido anti-horário e em torno da origem (0, 0).
	c) Escreva no caderno a matriz associada aos vértices 
do polígono inicial e do polígono obtido.
	10.	Como vimos, para fazer a rotação de um polígono no 
plano cartesiano, no sentido anti-horário e em torno da 
origem O(0, 0), consideramos a medida de a graus da 
rotação. Para cada vértice (x, y) do polígono, temos a 
transformação 
x
y
x y
x y
cos sen
sen cos











ñ
? a 2 ? a
? a 1 ? a
.
Considere um triângulo ABC cujos vértices podem ser 
representados pela matriz 5
1
3
1
2
2





2 2
. Escreva no 
caderno a matriz dos vértices do polígono obtido após 
cada rotação do polígono inicial, no sentido anti-horá-
rio e em torno da origem (0, 0).
	a) Rotação de 90°.
	b) Rotação de 220°. (Use uma calculadora para calcu-
lar o valor aproximado de sen 20° e cos 20°, com 
duas casas decimais.)
	11.	Duas miniaturas da Torre Eiffel, monumento-símbo-
lo da cidade de Paris (França), foram fotografadas e 
verificou-se que as imagens obtidas são homotéticas. 
Sabendo que a medida de comprimento da altura da 
miniatura maior é de 6,3 cm e que a razão de homote-
tia é 2,8, qual é a medida de comprimento da altura da 
miniatura menor?
6,3 cm
W
o
lf
 O
u
ts
ta
n
d
in
g
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
108
	28.	(Unicamp-SP) Em uma família, cada filha tem o mes-
mo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um 
número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. 
O número total de filhos e filhas dessa família é igual a:
	a) 11. 	b) 9. 	c) 7. 	d) 5.
	29.	(Etec-SP) A Mata Atlântica é uma série de ecossis-
temas de florestas tropicais da América do Sul que 
abriga uma diversidade de espécies endêmicas. Es-
tudos estimam que haja um total de 8 732 espécies 
entre plantas e vertebrados en-
dêmicos nesse bioma, e que a 
diferença entre a quantidade 
daquelas plantas e a quantidade 
destes vertebrados, nessa or-
dem, seja de 7 268 espécies.
Nessas condições, a quantidade de plantas endêmicas 
nesse bioma é:
	a) 732. b) 1 464. c) 5 813. d) 8 000. e) 16 000.
	30.	Em uma equação química balanceada, a quantidade 
de cada átomo antes da reação (os reagentes) deve ser 
igual à quantidade de cada átomo ao final da reação 
(os produtos). Por exemplo, na combustão do propano 
C3H8, a equação química não balanceada é C3H8 1 O2 ñ 
ñ CO2 1 H2O. Repare que, do lado do reagente, exis-
tem 3 átomos de carbono C e, do lado do produto, há 
apenas 1 átomo de carbono. Então, para balancear a 
equação, devemos encontrar valores para a, b, c e d, tais 
que a ? C3H8 1 b ? O2 ñ c ? CO2 1 d ? H2O. Uma manei-
ra de determinar esses valores é montar e resolver um 
sistema linear de equações. Veja como fica a montagem:
a c
a d
b c d
3
8 2
2 2
5
5
5 1





Esse sistema linear tem quatro incógnitas, mas apenas três 
equações. Uma das maneiras de encontrar uma possível 
solução para esse sistema, é atribuir um valor para uma 
das incógnitas e, então, resolver o sistema linear obtido.
	a) Escolhendo a 5 1, resolva o sistema linear e monte 
a equação química devidamente balanceada.
	b) Para cada número natural não nulo que escolhemos 
para a, obtemos uma possível solução do sistema 
linear; então esse sistema tem infinitas soluções. 
Multiplique todos os valores de a, b, c e d que você 
calculou no item a por um mesmo número natural, 
obtendo outra solução para o sistema linear, e veri-
fique que a equação a ? C3H8 1 b ? O2 ñ c ? CO2 1 
1 d ? H2O continuará balanceada.
Não escreva no livro.
Endêmico
Espécie, organismo 
ou população 
nativo ou restrito a 
determinada região 
geográfica.
A Mata Atlântica é um dos ecossistemas mais diversos do 
mundo, mas também um dos mais ameaçados. 
As florestas e demais ecossistemas que compõem 
a Mata Atlântica são responsáveis pela produção, 
regulação e abastecimento de água; regulação 
e equilíbrio climáticos; proteção de encostas e 
atenuação de desastres; fertilidade e proteção do 
solo; produção de alimentos, madeira, fibras, óleos e 
remédios; além de proporcionar paisagens cênicas e 
preservar um patrimônio histórico e cultural imenso.
Neste contexto, a conservação dos remanescentes 
de Mata Atlântica e a recuperação da sua 
vegetação nativa tornam-se fundamentais para 
a sociedade brasileira, destacando-se para isso 
áreas protegidas, como Unidades de Conservação 
(SNUC – Lei n. 9.985/2000) e Terras Indígenas 
(Estatuto do Índio – Lei n. 6001/1973), além de 
Áreas de Preservação Permanente e Reserva 
Legal (Código Florestal – Lei n. 12.651/2012). 
O bioma também é protegido pela Lei n. 11.428/2006, 
conhecida como Lei da Mata Atlântica, 
regulamentada pelo Decreto n. 6.660/2008.
No dia 27 de maio é comemorado o Dia Nacional 
da Mata Atlântica.
BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Mata Atlântica. Dispo-
nível em: https://www.mma.gov.br/biomas/mata- 
atl%C3%A2ntica_emdesenvolvimento. Acesso em: 12 jul. 2020.
Pesquise na internet quais atividades humanas são 
responsáveis pela redução da área ocupada pela Mata 
Sobre o assunto
Atlântica, ocasionando, também, o desaparecimento 
de espécies de plantas e de animais e prejudicando as 
populações que vivem nesse bioma e que dependem dele.
Você também pode acessar o site indicado como fonte do 
texto para ter mais informações da quantidade de espécies 
de plantas e de animais, endêmicas e não endêmicas, bem 
como outros dados desse bioma, e ações do Ministério do 
Meio Ambiente para a preservação da Mata Atlântica.
Por fim, converse com a turma sobre quais atitudes 
podem e devem ser tomadas visando à preservação do 
meio ambiente e, juntos, elaborem um documento com 
registros das pesquisas e das conclusões a que vocês 
chegaram. Imagens e mapas podem ser utilizados para 
enriquecer as informações registradas.
Retrato de Antoine-Laurent de 
Lavoisier, século XIX (gravura). 
Demais informações desconhecidas. 
O processo de balanceamento de 
equações químicas é fundamentado 
pela lei de conservação das massas, 
enunciada pelo químico russo Mikhail 
Vasilyevich Lomonosov (1711-1775) e registrada e divulgada 
pelo químico francês Antoine-Laurent de Lavoisier (1742-1794).
In
te
rf
o
to
/F
o
to
a
re
n
a
123
	10.	Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 
cada arco de medida angular dada.
	a) 45°
	b) 
3
4
p
 rad
Resolução
	a) A medida angular do arco é dada em graus 
(a 5 45°), então a expressão geral é:
a 1 k ? 360° ~ 45° 1 k ? 360°, com k é Z
	b) A medida angular do arco é dada em radianos 
¯a 5 3
4
p
 rad˘, então a expressão geral é:
a 1 2kp ~ 3
4
p
 1 2kp, com k é Z
	11.	Qual é o menor arco não negativo que é côngruo 
ao arco de medida angular 1 320°, ou seja, qual é a 
primeira determinação positiva do arco de medida 
angular 1 320°?
Qual é o significado de um número não negativo? 
Então, como deve ser a primeira determinação 
positiva de um arco?
Reflita
Resolução
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal 
que a 1 k ? 360° 5 1 320°, com k é Z.
Então:
1 320 360
240 3
ka
 1 320° 5 240° 1 3 ? 360°
Logo, o menor arco não negativo, côngruo ao arco 
dado, tem medida angular 240°.
Nesta atividade, dizemos que 240° é a primeira 
determinação positiva de 1 320° ou que 1 320° foi 
reduzido à 1a volta.
Fique atento
Resolvida passo a passo
	12.	(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um 
cofre tem o formato da figura a seguir, onde as 
12 letras A, B, », L estão igualmente espaçadas (o 
ângulo central entre duas letras vizinhas é o mes-
mo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se 
encontra fechado, é a indicada.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Para abrir o cofre, são necessárias três operações 
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta 
está gravada), de acordo com as seguintesinstru-
ções, a partir da posição indicada:
1) 
2
3
p no sentido anti-horário.
2) 
3
2
p no sentido horário.
3) 
3
4
p no sentido anti-horário.
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre 
será aberto quando a seta estiver:
	a) no ponto médio entre L e A.
	b) na posição B.
	c) na posição K.
	d) em algum ponto entre J e K.
	e) na posição H.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
São dadas as informações sobre o funcionamen-
to do dispositivo de segurança e as instruções 
para abrir o cofre.
	b) O que se pede?
Pede-se a posição da seta no momento em que se 
abre o cofre.
2. Planejando a solução
Conhecemos as operações a serem realizadas com 
o disco menor e o sentido a ser tomado (horário 
ou anti-horário). Então podemos adicionar os va-
lores das operações no sentido anti-horário e sub-
trair o valor da operação no sentido horário e, as-
sim, identificar a posição em que a seta deve ficar.
3. Executando o que foi planejado
2
3
3
4
3
2
8 9 18
12 12
p 1 p 2 p 5 p 1 p 2 p 5 2 p
Assim, ao final do movimento, a seta estará na posi-
ção 
12
2 p rad 5 215°, no sentido anti-horário a partir 
de A. Como o arco entre cada letra do dispositivo tem 
medida angular 
360
12
°
 5 30° ¯ou 2 rad
12 6
p 5 p rad˘, a 
seta estará no ponto médio entre A e L.
Atividades resolvidas
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
55
	16.	Um polígono está representado no plano cartesiano e 
a matriz relacionada aos vértices é 2
1
1
4
5
4
5
0






2 2 2
.
Veja em cada item a seguir a matriz dos vértices do 
polígono obtido por uma única transformação geo-
métrica do polígono dado. Considerando as transfor-
mações geométricas que você estudou, descreva qual 
delas foi feita em cada item.
	a) 2
1
1
4
5
4
5
0






	b) 
2 2 2
6
3
3
12
15
12
15
0




	c) 1
1
2
2
2
2
2
2






2 2
2 2
	d) 2
1
1
4
5
4
5
0






2 2 2 2
	17.	O artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher 
(1898-1972) se notabilizou pelas obras, em que cos-
tumava representar construções impossíveis, como o 
preenchimento irregular do plano, as explorações do 
infinito e as metamorfoses. Nas obras de Escher, tam-
bém é possível perceber diversos trabalhos envolven-
do transformações geométricas. 
No site oficial do artista, é possível conhecer as obras 
dele. Disponível em: https://mcescher.com/gallery/ 
mathematical. Acesso em: 6 jun. 2020.
Analise a obra Limite de círculo IV (céu e inferno), cujo tí-
tulo original em inglês é Circle limite IV (heaven and hell). 
Limite de círculo IV (céu e inferno), de Maurits Cornelis 
Escher, 1960 (xilogravura de 41,5 cm 3 41,5 cm). 
Quais medidas de abertura de rotação Escher pode 
ter usado para compor essa obra?
	a) 45° e 135°.
	b) 60° e 120°. 
	c) 120° e 120°. 
	d) 100° e 135°.
	e) Apenas 72°.
Não escreva no livro.
Metamorfose é a mudança completa de forma, natureza 
ou estrutura, e essa mudança é representada por Escher 
nas obras que fazem parte da série “Metamorphose”.
Escher explora visualmente uma espécie de jogo de 
associação mental que costumava brincar quando 
criança.
“Ele se deitava na cama e pensava em dois temas 
para os quais ele teria que criar uma conexão lógica. 
[...]
[Na obra Metamorfose 2 (em inglês, Metamorphose 
2)] Escher representou essa cadeia de associações 
por meio do uso de formas geométricas (triângulos, 
quadrados, hexágonos, etc.) e figuras (lagartos, 
abelhas, pássaros, peças de xadrez, cidades) que, 
progressivamente, da esquerda para a direita, vão se 
transformando umas nas outras – movimento que 
justifica o título da série.
RONCOLATO, Murilo. As metamorfoses de Escher neste do-
cumentário interativo. Nexo Jornal, São Paulo, 29 set. 2018. 
Disponível em: https://www.nexojornal.com.br/ 
expresso/2018/09/29/As-metamorfoses-de-Escher-neste- 
document%C3%A1rio-interativo. Acesso em: 8 jun. 2020.
Uma das maneiras de conhecer a vida e as obras de um 
artista é visitar exposições ou acessá-las virtualmente. 
Como citamos anteriormente, as obras de Escher podem 
ser visualizadas no site oficial do artista. Além disso, é 
possível acessar o catálogo da exposição “O mundo 
mágico de Escher”, que ocorreu a partir de 2010 em 
algumas cidades do país, apresentando a história do artista 
e das obras, bem como reproduções delas. Disponível em: 
https://www.bb.com.br/docs/pub/inst/img/EscherCatalogo.
pdf?fbclid=IwAR0GqQEYJa9VFjDTk5OK6j0SJc77vfPOmHR
IHKKJ-s4uF2Urv2jD2JZD6a8. Acesso em: 8 jun. 2020.
Pesquise para conhecer mais desse artista e das diversas 
obras que ele produziu.
Sobre o assunto
	18.	A figura representada no 
plano cartesiano ao lado 
será submetida às trans-
formações indicadas.
1o) Reflexão em relação ao 
eixo das abscissas. 
2o) Rotação de 180°, no 
sentido anti-horário e 
em torno da origem 
do plano. 
3o) Translação em 2 unidades para a esquerda.
4o) Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
	a) Quais são as matrizes relacionadas aos vértices da 
figura inicial e da figura final obtidas dessas trans-
formações, nessa ordem?
	b) Seria possível obter a figura final usando uma única 
transformação isométrica da figura inicial? Se sim, 
qual?
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
5
4
2
1
1 2 3 4 5 x
y
0
3
M
.C
. 
E
s
ch
e
r'
s
 "
C
ir
c
le
 L
im
it
 I
V
”
 ©
 2
0
2
0
 T
h
e
 M
.C
. 
E
s
ch
e
r 
C
o
m
p
a
n
y
 -
 T
h
e
 
N
e
th
e
rl
a
n
d
s
. 
A
ll 
ri
g
h
ts
 r
e
s
e
rv
e
d
. 
w
w
w
.m
c
e
s
ch
e
r.
c
o
m
110
Formalizando o conceito de sistemas lineares
Equações lineares
Neste capítulo, vamos estudar apenas sistemas formados por equações lineares.
Equação linear é toda equação que pode ser escrita na forma geral 
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 » 1 anxn 5 b, na qual: x1, x2, x3, », xn são as incógnitas; a1, a2, a3, », an são 
números reais chamados coeficientes das incógnitas; e b é o termo independente.
As incógnitas x1, x2, x3, » geralmente aparecem como x, y, z, » nos sistemas de equações. Veja alguns 
exemplos de equações lineares.
	a) x 1 y 5 16 é uma equação linear com incógnitas x e y.
	b) 2x 1 3y 2 2z 5 10 é uma equação linear com incógnitas x, y e z.
	c) x 2 5y 1 z 2 4t 5 0 é uma equação linear com incógnitas x, y, z e t. Nela, o termo independente é b 5 0.
	d) 4x 2 3y 5 x 1 y 1 1 é uma equação linear com incógnitas x e y.
Pela definição, as equações a seguir não são lineares.
	a) xy 5 10 	b) x2 1 y 5 6 	c) x2 2 xy 2 yz 1 z2 5 1
Solução de uma equação linear
Observe mais exemplos de equações lineares e algumas soluções de cada uma delas.
	a) 3x 1 2y 5 18
Dizemos que: 
•	 o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois 3 ? 4 1 2 ? 3 5 18;
•	 o par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois 3 ? 6 1 2 ? 0 5 18;
•	 o par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois 3 ? 5 1 2 ? 1 = 18.
O par ordenado a
2 a
,
18 3
2




, com a é R, é a solução geral da equação do exemplo a, pois, para cada valor de a, 
obtemos uma solução da equação. Por exemplo, para a 5 2, a solução é (2, 6) e para a 5 0, a solução é (0, 9).
Fique atento
	b) 3x 1 y 2 2z 5 8
Dizemos que:
•	 o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3 ? 2 1 4 2 2 ? 1 5 8;
•	 o terno ordenado (0, 6, 21) é uma solução da equação, pois 3 ? 0 1 6 2 2 ? (21) 5 8;
•	 o terno ordenado (5, 22, 3) não é solução da equação, pois 3 ? 5 1 (22) 2 2 ? 3 = 8.
Para a é R e b é R, o terno ordenado a b
2 1 a 1 b
, ,
8 3
2




 é a solução geral da equação do exemplo b, pois, para cada 
valor de a e de b, obtemos uma solução da equação. Por exemplo, para a 5 1 e b 5 1, a solução é (1, 1, 22).
Fique atento
Graficamente:
•	 cada par ordenado (x, y) de números reais é representado por um ponto do plano;
•	 cada terno ordenado (x, y, z) de números reais é representado por um ponto do espaço.
Por que essas 
equações não são 
lineares?Reflita
Não escreva no livro.
117
Na seção Atividades, você encontra 
atividades e problemas envolvendo 
contextos cotidianos, da Matemática 
e de outras áreas do conhecimento, 
para você aplicar e aprofundar os 
conteúdos estudados. Nela também 
há atividades que visam à elaboração 
de perguntas e problemas.
Ao longo do capítulo, 
apresentamos no boxe Glossário a 
definição de algumas palavras ou 
expressões da língua portuguesa. 
Nas Atividades resolvidas, 
você acompanha a 
resolução detalhada de 
atividades e problemas 
que visa exemplificar 
estratégias de resolução.
No boxe Sobre o assunto, 
você encontra informações 
e curiosidades relacionadas 
aos conteúdos estudados, 
bem como sugestão de 
textos, vídeos, simuladores, 
museus, entre outros, para 
complementar e aprofundar 
seus estudos ou mesmo 
realizar pesquisas.
O boxe Fique atento retoma 
definições ou nomenclaturas, 
chama a atenção para algo 
que está sendo estudado no 
momento e apresenta dicas 
que podem auxiliá-lo no 
estudo.
O boxe Reflita traz 
questionamentos 
e reflexões sobre o 
conteúdo apresentado.
001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 5001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 5 9/17/20 11:25 AM9/17/20 11:25 AM
6
Constru•‹o de senoides
Vamos utilizar novamente o software GeoGebra, agora para construir uma senoide no plano cartesiano.
Inicialmente vamos construir o gráfico da função trigonométrica seno, F: R ñ R dada por F(x) 5 sen x, e 
o gráfico da função trigonométrica cosseno, G: R ñ R dada por G(x) 5 cos x.
As imagens reproduzidas aqui são da versão on-line, mas você pode escolher a versão que julgar mais 
oportuna.
1o passo: Como vamos construir gráficos de funções trigo-
nométricas, é interessante ajustar a escala do eixo x para radia-
nos. Para isso, acesse as configurações de exibição (na parte 
superior direita da tela), vá até a aba “Eixo X” e selecione a 
opção 
p
2
 para a distância desse eixo.
2o passo: No campo de entrada de comando (na versão on-
-line, esse campo está situado na parte esquerda da tela), digi-
te a lei da função f(x)=sen(x) e tecle “Enter”. Em seguida, no 
próximo campo de entrada, digite a lei da função g(x)=cos(x) 
e tecle “Enter”. Você deverá ter uma imagem como a apresen-
tada abaixo.
	 1.	Observe os gráficos da função seno F e da função cosseno G que você construiu no GeoGebra. Há quantos 
pontos de intersecção entre esses gráficos no intervalo [0, 2p]? 
O GeoGebra também aceita o comando f(x)=sin(x) para a função 
seno (função sine, em inglês).
Fique atento
Tela do GeoGebra do 1o passo.
Tela do GeoGebra após o 2o passo.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/w
w
w
.g
e
o
g
e
b
ra
.o
rg
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/w
w
w
.g
e
o
g
e
b
ra
.o
rg
68
Tecnologias digitais
Além da sala de aula
Não escreva no livro.
Transformações geométricas e algoritmos
Nas páginas anteriores você conheceu e utilizou notações de matrizes para representar transformações 
isométricas e transformações homotéticas de polígonos no plano cartesiano.
Como você viu, quando aplicamos uma transformação geométrica em um polígono, todos os pontos 
sofrem a mesma transformação. Então podemos analisá-las agora de outro ponto de vista, utilizando algorit-
mos, e considerando um ponto (x, y) qualquer do polígono (que pode ser um dos vértices ou pode pertencer 
a qualquer lado do polígono).
Um dos pilares do pensamento computacional é o algoritmo, que é utilizado para estipular uma ordem, uma rotina ou uma 
sequência de passos a fim de resolver um problema.
Algoritmos não são utilizados apenas para programar cálculos em computadores; eles podem ser utilizados sempre que 
quisermos organizar e ordenar uma sequência de passos, como em uma receita de bolo ou nas instruções para trocar o pneu 
de um carro.
Fique atento
	 1.	Veja a seguir um exemplo de algoritmo da translação de um ponto (x, y) em a unidades para a direita e 
b unidades para cima. Esse algoritmo está escrito usando um pseudocódigo, que é a maneira genérica de 
escrever os passos com uma linguagem simples, sem utilizar uma linguagem de programação específica.
Início
	 Nomeie de (x, y) o ponto inicial
	 Nomeie de a o deslocamento para a direita
	 Nomeie de b o deslocamento para cima
	 Crie (x8, y8)
	 Calcule x8 ó x 1 a
	 Calcule y8 ó y 1 b
	 Saída: (x8, y8) 
Fim
 Usando esse algoritmo, podemos determinar, por exemplo, a translação de um ponto (2, 3) em 3 unida-
des para a direita e 5 unidades para baixo. Acompanhe.
Algoritmo Cálculos correspondentes
Início
	 Nomeie de (x, y) o ponto inicial
x 5 2
y 5 3 
	 Nomeie de a o deslocamento para a direita a 5 3
	 Nomeie de b o deslocamento para cima b 5 25
	 Crie (x8, y8) (x8, y8)
	 Calcule x8 ó x 1 a
A variável x8 recebe o valor do cálculo indicado:
x8 5 2 1 3 5 5
	 Calcule y8 ó y 1 b
A variável y8 recebe o valor do cálculo indicado:
y8 5 3 1 (25) 5 22
	 Saída: (x8, y8) 
Fim
O valor de saída é o valor das variáveis x8 e y8:
(5, 22) 
Assim, o ponto transladado tem coordenadas (5, 22).
2
3
5
2











ñ 2
Nesse algoritmo, a, b, x, y, x8 e y8 são as variáveis. 
A seta ó pode indicar que uma variável do algoritmo vai receber um 
valor (um número explicitado no algoritmo, o valor de outra variável 
ou o resultado de um cálculo). Por exemplo, em x8 ó x 1 a, a 
variável x8 do algoritmo recebe o valor do cálculo x 1 a.
Observe que 
atribuímos à 
variável a o 
valor 3, pois o 
deslocamento 
será para 
a direita, e 
atribuímos à 
variável b o 
valor 25, pois o 
deslocamento 
será para baixo.
Fique atento
111
Vestibulares e Enem
	 1.	(UFRN) Numa escola, o acesso entre dois pisos des-
nivelados é feito por uma escada que tem quatro de-
graus, cada um medindo 
24 cm de comprimento 
por 12 cm de altura. Para 
atender à política de 
acessibilidade do Gover-
no Federal, foi construída 
uma rampa, ao lado da 
escada, com mesma in-
clinação, conforme mos-
tra a foto ao lado.
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de 
acordo com as normas recomendadas, um fiscal da 
Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz 
com o solo.
O valor encontrado pelo fiscal:
	a) estava entre 30° e 45°.
	b) era menor que 30°.
	c) foi exatamente 45°.
	d) era maior que 45°.
	 2.	(UEG-GO) Do alto de um edifício de 24 metros de al-
tura, um engenheiro vê o topo de um outro edifício 
mais alto, observando-o sob um ângulo de 30°. 
Sabendo que a distância entre os dois edifícios é de 
100 3 metros, a altura do edifício mais alto é:
	a) 100 3 m.
	b) 100 m.
	c) 124 m.
	d) 124 3 m.
	 3.	(UFPA) Considere o gráfico da função trigonométrica 
abaixo, no qual F(p) 5 5:
0
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10212223242526272829210
Interpretando o gráfico, podemos concluir que F(3p) 
é igual a:
	a) 4. 	b) 5. 	c) 6. 	d) 7. 	e) 8.
	 4.	(Uncisal) Numa praça circular de diâmetro 60 m há um 
passeio que une seus pontos situados mais ao Norte e 
mais ao Nordeste. Se desprezarmos sua largura e ado-
tarmos 2 5 1,4, qual é o comprimento aproximado, 
em metros, desse passeio?
	a) 3042 
	b) 1800
	c) 882 
	d) 552 
	e) 360 
	 5.	(UFGD-MS) A umidade relativa do ar em uma deter-
minada cidade foi medida das 6 horas da manhã de 
um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os 
dados obtidos estão representados pela função perió-
dica abaixo.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
6:00 12:00 18:00 0:00 6:00
U
m
id
a
d
e
 r
e
la
ti
v
a
 d
o
 a
r 
(%
)
Hora do dia
A expressão que descreve a variação da umidade do ar 
(dada em porcentagem) como função da hora do dia 
(dada pela variável t) é:
	a) F(t) 5 50 1 20cos (2pt).
	b) F(t) 5 50 1 





t50cos
12
p
.
	c) F(t) 5 50 1 





t20cos
12
p
.
	d) F(t) 5 70t2.
	e) F(t) 5 t2 1 20.
	 6.	(UFTM-MG) Robô da Nasa anda em Marte: em seu 
primeiro “test-drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou 
por 120° e percorreu mais 2,5 m, em 16 minutos.
(O Estado de S. Paulo, 24.08.2012.)
A figura esquematiza a trajetória 
do robô,contida em um plano, 
onde todos os trechos por ele 
percorridos foram em movi-
mento retilíneo. Suponha que 
esse robô retorne ao ponto de 
partida (P), mantendo a mesma 
velocidade média desenvolvida 
anteriormente. 
Adotando como valor da raiz quadrada de um núme-
ro decimal o número inteiro mais próximo, é correto 
afirmar que, para ir do ponto B ao ponto P, o robô irá 
demorar, aproximadamente:
	a) 9 min 6 s.
	b) 12 min 6 s.
	c) 10 min 40 s.
	d) 13 min 12 s.
	e) 11 min 30 s.
A
2,5 m
120¡
B
d
4,5 m
P
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/V
e
s
ti
b
u
la
r 
U
F
R
N
80
Conheça seu livro
Leitura e compreens‹o
Não escreva no livro.
Stonehenge e as circunferências concêntricas
O misterioso monumento de Stonehenge, localizado a cerca de 15 quilômetros 
ao norte da cidade de Salisbury (Reino Unido), intriga estudiosos há muitos séculos. 
Não se sabe ao certo como e para que Stonehenge foi construído, havendo teorias de 
que foi erguido para prever eclipses e outros fenômenos celestes, como o nascimento 
do Sol e da Lua no solstício e no equinócio, ou que as estruturas são vestígios de um 
grande templo religioso.
Vista aérea do monumento Stonehenge (Reino Unido). Foto de 2020.
Vista de cima, a parte mais famosa do complexo de Stonehenge era formada por 
duas circunferências concêntricas (de mesmo centro) de grandes blocos de pedra, a 
maior com diâmetro de medida de comprimento de 32 metros. As pedras chegavam a 
ter altura com medida de comprimento de 5 metros e podiam pesar quase 5 toneladas.
As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
C
h
ri
s
 G
o
rm
a
n
/G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
R
2
 E
d
it
o
ri
a
l/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Representação 
artística de como era 
originalmente a vista de 
cima do monumento 
Stonehenge.
43
Eratóstenes e a medida de comprimento 
da circunferência da Terra
O matemático, astrônomo, geógrafo, bibliotecário e poeta Eratóstenes (276 a.C.- 
-194 a.C.) nasceu em Cirene (antiga colônia grega no norte da África), mas viveu e 
morreu em Alexandria (Egito). Um dos feitos mais reconhecidos dele foi a concepção e 
execução de um experimento científico em que determinou a medida de comprimen-
to da circunferência da Terra, que foi considerado o sétimo entre os dez mais belos 
experimentos da Física, de acordo com a revista britânica internacional Physics World.
De acordo com o artigo “Revivendo Eratóstenes” – escrito por Paulo Cesar R. Pe-
reira e publicado em 2006 na Revista Latino-Americana de Educação em Astronomia –, 
o valor encontrado para a medida de comprimento da circunferência da Terra no ex-
perimento do matemático teria sido de 250 000 estádios.
A conversão entre as unidades de medida de comprimento estádio e quilômetro é 
controversa. De acordo com historiadores, o valor considerado mais provável é o de 
que 1 estádio equivale a 0,185 quilômetro. Então, aplicando essa conversão, a medida 
encontrada por Eratóstenes teria sido de 46 250 km.
A medida de comprimento da circunferência da Terra atualmente aceita é de 
39 941 km, ou seja, a medida obtida experimentalmente há mais de 2 200 anos apre-
sentava precisão razoável, com erro de aproximadamente 14%.
Outra grande 
contribuição de 
Eratóstenes foi 
a elaboração de 
um método (um 
algoritmo) para 
determinar todos 
os números primos 
menores ou iguais 
a certo número 
natural, que 
ficou conhecido 
como crivo de 
Erat—stenes. Talvez 
você já tenha 
estudado esse 
algoritmo no Ensino 
Fundamental.
Fique atento
Sobre o assunto
Robert P. Crease (1953-), filósofo e historiador da ciência, nascido nos Estados Unidos, 
perguntou aos leitores da revista internacional Physics World, na qual escreve uma coluna, 
quais experimentos eles julgavam ser os mais belos. Embora ele tenha inicialmente 
pedido aos leitores que nomeassem os mais belos experimentos físicos, a maioria deles 
compreendeu que a pesquisa era sobre experimentos científicos e, por isso, apareceram 
citações de experimentos de Química, de Engenharia e de Psicologia. 
Com isso, considerando os experimentos que foram citados mais vezes, ele definiu uma 
lista e escreveu o livro Os 10 mais belos experimentos científicos (Trad. Maria Inês Duque 
Estrada. Rio de Janeiro: Zahar, 2006), no qual os expõe como em uma galeria de arte. Os 
experimentos são apresentados no livro em ordem cronológica, sendo o primeiro o de 
Eratóstenes, no qual ele mede o comprimento da circunferência da Terra.
Você pode ler o trecho do livro que relata esse experimento, bem como conhecer outros 
dos experimentos científicos que tiver interesse.
Capa do livro Os 10 mais belos experimentos científicos.
Embora Eratóstenes não tenha sido a primeira pessoa a estimar uma medida de 
comprimento para a circunferência da Terra, ele foi o primeiro que fez isso apresen-
tando e executando um método detalhado e chegando a valores próximos dos reais.
Em um relato publicado em um livro da biblioteca de Alexandria, Eratóstenes sou-
be que, ao meio-dia do solstício de verão, um poço na cidade de Siena (Itália) não 
produzia sombra. Siena dista 5 000 estádios ao sul de Alexandria, e ambas as cidades 
estão aproximadamente no mesmo meridiano da Terra. Assim, ele entendeu que, ao 
meio-dia do solstício de verão, os raios de luz do Sol incidiriam verticalmente sobre 
a cidade de Siena e que, quanto mais curva fosse a superfície da Terra, maior seria o 
comprimento da sombra projetada por um objeto em Alexandria no mesmo instante. 
R
e
p
ro
d
u
•
‹
o
/E
d
it
o
ra
 Z
a
h
a
r
Conex›es
46
Na seção Tecnologias digitais, 
propomos a utilização de diversas 
tecnologias, como calculadora, 
simuladores e softwares livres, para 
fazer explorações, investigações 
e simulações, calcular medidas 
estatísticas, construir e manipular 
representações gráficas, figuras 
geométricas, planilhas, entre 
outros.
Conhecimentos e saberes 
matemáticos desenvolvidos 
e utilizados por diferentes 
comunidades são 
apresentados na seção 
Além da sala de aula. 
Nela você também será 
convidado a investigar 
questões e propor ações 
que podem auxiliar a 
comunidade em que vive. 
Além disso, utilizará as 
ideias do pensamento 
computacional para analisar 
e compreender problemas, 
bem como modelar e 
automatizar resoluções.
Na seção Vestibulares e Enem, 
propomos questões do Enem e de 
vestibulares de todas as regiões do 
Brasil relacionadas aos conteúdos 
estudados no capítulo.
Na seção Leitura e compreensão, 
você é convidado a ler e 
interpretar diferentes textos que 
visam ampliar e enriquecer os 
conteúdos estudados no capítulo.
Temas relevantes e atuais que relacionam 
diferentes áreas do conhecimento são 
explorados na seção Conexões. 
As atividades apresentam oportunidades 
de interpretação, aplicação, pesquisa, 
ampliação e debate do tema da seção.
001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 6001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 6 9/17/20 11:25 AM9/17/20 11:25 AM
7
Sum‡rio
Capítulo 1: Trigonometria ..................................... 8
Trigonometria no triângulo ........................................... 12
Explorando a semelhança de triângulos ................ 13
Formalizando o conceito de semelhança 
de triângulos .................................................................. 14
Um pouco da história da Trigonometria ................ 15
Formalizando as relações métricas 
no triângulo retângulo ................................................ 17
Explorando as razões trigonométricas 
no triângulo retângulo ................................................ 20
Formalizando algumas razões 
trigonométricas no triângulo retângulo ................. 20
Leitura e compreensão .................................................. 25
Formalizando a definição de seno 
e cossenode ângulos obtusos ................................. 29
Funções trigonométricas ................................................ 38
Conceitos trigonométricos básicos 
na circunferência ........................................................... 39
Leitura e compreensão .................................................. 43
Conexões ............................................................................ 46
Tecnologias digitais ......................................................... 53
Explorando a ideia de seno e cosseno 
de um número real ....................................................... 57
Formalizando a definição de seno e cosseno 
de um número real ....................................................... 58
A função seno ................................................................ 62
A função cosseno ......................................................... 64
As senoides e os fenômenos periódicos ............... 66
Tecnologias digitais ......................................................... 68
Leitura e compreensão .................................................. 77
Vestibulares e Enem ....................................................... 80
Capítulo 2: Matrizes e sistemas lineares .... 84
Matrizes e transformações geométricas ................... 88
Explorando as matrizes ............................................... 89
Formalizando a definição de matriz ........................ 90
Um pouco da história das matrizes ......................... 91
Leitura e compreensão .................................................. 94
Transformações geométricas .................................... 96
Tecnologias digitais ......................................................... 103
Além da sala de aula ....................................................... 111
Conexões ............................................................................ 113
Sistemas lineares .............................................................. 115
Um pouco da história da resolução 
dos sistemas de equações ......................................... 116
Formalizando o conceito 
de sistemas lineares ..................................................... 117
Tecnologias digitais ......................................................... 127
Escalonamento de sistemas lineares ....................... 132
Sistemas lineares, matrizes 
e determinantes ............................................................ 141
Vestibulares e Enem ....................................................... 146
Tabela de razões trigonométricas ................. 148
Respostas ....................................................................... 149
Lista de siglas das atividades 
extraídas de provas oficiais .............................. 153
A Base Nacional Comum 
Curricular (BNCC) ....................................................... 154
Referências bibliográficas comentadas ...... 159
001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 7001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 7 9/17/20 11:25 AM9/17/20 11:25 AM
O surfe é um esporte praticado
na superfície da água, geralmente no 
mar, e consiste em deslizar nas ondas 
em cima de uma prancha.
Trigonometria
C
A
P
ÍT
U
LO
1
L
ila
 K
o
a
n
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
8
008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 8008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 8 9/17/20 9:58 AM9/17/20 9:58 AM
Professor, as sugestões 
para o desenvolvimento 
desta abertura 
encontram-se nas 
Orientações específicas
deste Manual. 
Q
uando vamos à praia em diferentes horários, podemos 
perceber a variação do nível do mar, que ocorre devi-
do à maré − fenômeno periódico de elevação e dimi-
nuição do nível do mar causado pelas forças de atração exercidas 
pela Lua e pelo Sol sobre a Terra.
A Lua exerce mais influência de atração nas águas do mar do que o 
Sol, pois, apesar de ele ter aproximadamente 27 milhões de vezes mais 
massa do que a Lua, está cerca de 390 vezes mais afastado da Terra.
O maior e o menor nível das águas do mar são chamados, respectivamente, 
de maré alta e maré baixa. A cada dia, a força gravitacional da Lua, que orbita 
ao redor da Terra, atrai as águas e provoca correntes marítimas que geram, em 
cada local, 2 marés altas (nas águas que estão na direção da Lua e em oposição 
a ela) e 2 marés baixas (nos intervalos entre as marés altas). 
Porém, como a Terra também está em movimento no Sistema Solar, rotacionando 
em torno do próprio eixo, esses ciclos de 2 marés altas e 2 marés baixas não aconte-
cem exatamente a cada 24 horas. Se considerássemos apenas esses fatores e a força 
gravitacional da Lua, a medida de intervalo de tempo entre 2 marés altas consecutivas 
(ou entre 2 marés baixas consecutivas) seria de 12 horas e 26 minutos. Considerando 
que há outros fatores envolvidos, que também influenciam um pouco nas marés, esse 
intervalo de tempo pode variar alguns minutos para mais ou para menos a cada ciclo 
de marés.
Não escreva no livro.
Exemplo de resposta: É um fenômeno que se repete sempre após 
o mesmo intervalo de tempo.
Rotação da Terra em torno do próprio eixo, com período de 24 horas, rotação da Terra em torno do Sol, com período 
de 365 dias e 6 horas, e rotação da Lua em torno da Terra, com período de 29 dias.
a)	 O que você entende por fenômeno periódico? 
b)	O texto citou três fenômenos periódicos que influenciam o nível do mar. Qual é o 
período de repetição de cada um deles? Se necessário, faça uma pesquisa para 
responder a essa pergunta.
Representação artística, fora de escala e em cores fantasia, da atração gravitacional 
da Lua no nível do mar na Terra, desconsiderando a força gravitacional do Sol.
04_01_i001_Mat_Dante_1AtO2g21_LE 
ILUSTRA NOVA. Ilustrar ar� s� ca da Terra 
e Lua mostrando variações da maré. Além 
das cotas indicadas, colocar também cota 
“Polo Norte”
04_01_i001_Mat_Dante_1AtO2g21_LE 
ILUSTRA NOVA. Ilustrar ar� s� ca da Terra 
e Lua mostrando variações da maré. Além 
das cotas indicadas, colocar também cota 
“Polo Norte”
atração gravitacional 
da Lua
Terra
maré alta
maré alta
maré baixa
polo norte
maré baixa
Lua
R
2
 E
d
it
o
ri
a
l/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
9
008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 9008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 9 9/17/20 9:58 AM9/17/20 9:58 AM
Nas cidades litorâneas, diversas atividades se ajustam em decorrência das marés 
alta e baixa. 
O surfe, por exemplo, é uma prática esportiva que depende do nível do mar e de 
outros fatores. Quando a maré está baixa (também chamada de maré seca), a camada 
de água é menor e as ondulações têm mais contato com o fundo do mar, possibilitan-
do ondas com melhores formações. Quando a maré está alta (também chamada de 
maré-cheia), a camada de água é maior e os surfistas afirmam que a onda está “gorda” 
e não está tão boa para surfar.
A pesca também é influenciada pelo nível do mar e geralmente apresenta melhores 
resultados com maré alta, pois há maior movimentação de todos os seres vivos mari-
nhos. Outros fatores importantes para a pesca durante a maré alta são a baixa inclina-
ção do fundo do mar e o fato de haver pouco vento, dificultando a formação de ondas.
Para compreender melhor o fenômeno periódico das marés, você pode buscar na internet vídeos que mostram 
os movimentos da Terra, da Lua e do Sol e simulam o deslocamento das águas, formando marés alta e baixa nas 
diferentes partes da Terra. Veja uma sugestão de vídeo produzido pelo Nexo Jornal.
Como funciona a influência da Lua nas marés. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=sYss-N7EnEw. 
Acesso em: 30 jun. 2020.
Sobre o assunto
A zona costeira brasileira se estende 
por mais de 8 500 km, abrangendo 
17 estados. A pesca em águas salgadas 
costuma ser feita na areia da praia, 
como nesta foto, em costões ou em 
alto-mar (pesca embarcada).
A área de proteção ambiental 
Costa dos Corais, nolitoral 
sul de Pernambuco e litoral 
norte de Alagoas, atrai muitos 
turistas pelas piscinas naturais 
que se formam nas marés 
baixas. Foto de 2018.
O turismo de certas cidades litorâneas brasileiras também se ajusta em decorrência 
das marés. Existem praias nas quais o mar forma, durante a maré baixa, o que cha-
mamos de piscinas naturais. Nesses locais, em determinados dias e horários, o nível 
do mar fica tão baixo que é possível observar as rochas ou os recifes que geralmente 
estão submersos, bem como a vida marinha.
O fenômeno das marés que citamos nessas atividades pode ser modelado, aproxi-
madamente, por fun•›es do tipo trigonomŽtrica, como você estudará neste capítulo.
R
a
ch
a
p
h
a
k
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
A
n
d
re
 D
ib
/P
u
ls
a
r 
Im
a
g
e
n
s
10
008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 10008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 10 9/17/20 9:58 AM9/17/20 9:58 AM
CONHEÇA O CAPÍTULO
11
Objetivos
•	 Reconhecer a semelhança e a congruência de triângulos, bem como as 
relações métricas em triângulos retângulos.
•	 Resolver e elaborar problemas utilizando a semelhança e a congruência 
de triângulos e as relações métricas em triângulos retângulos.
•	 Explorar e compreender as razões trigonométricas seno, cosseno e tan-
gente em triângulos retângulos e as relações entre elas.
•	 Utilizar a calculadora para determinar o valor exato ou aproximado das 
razões trigonométricas de ângulos agudos.
•	 Resolver e elaborar problemas aplicando as razões trigonométricas em 
triângulos retângulos.
•	 Compreender a lei dos senos e a lei dos cossenos em triângulos quaisquer.
•	 Resolver e elaborar problemas utilizando a lei dos senos e a lei dos cossenos.
•	 Explorar situações relacionadas a fenômenos reais periódicos.
•	 Compreender conceitos trigonométricos relacionados à circunferência.
•	 Utilizar tecnologia digital para construir e explorar arcos côngruos.
•	 Conhecer a definição de seno e cosseno de números reais e as definições 
das funções trigonométricas seno e cosseno.
•	 Compreender a representação de fenômenos reais periódicos por fun-
ções que envolvem seno e cosseno.
•	 Construir os gráficos de funções trigonométricas no plano cartesiano, 
com o uso de tabela de pontos e com o apoio de tecnologia digital.
•	 Identificar e comparar características das funções trigonométricas e das 
representações gráficas delas.
•	 Resolver e elaborar problemas relacionados a fenômenos reais periódicos com-
parando com as características das funções trigonométricas seno e cosseno.
Justificativa
Trigonometria é a área da Matemática na qual os triângulos e as relações 
entre lados e ângulos são estudados, bem como é nela que se investigam 
as funções que chamamos de funções trigonométricas. Você já fez alguns 
estudos dessa área, envolvendo as medidas de comprimento dos lados de 
triângulos retângulos; mas há muito mais a aprender!
As funções trigonométricas são úteis para modelar e analisar fenômenos 
reais que se repetem periodicamente, como o movimento de uma roda-
-gigante, que se repete sempre da mesma maneira, ou os ciclos periódicos 
de marés alta e baixa em uma praia.
A BNCC
No decorrer do capítulo, 
favorecemos o desenvolvimento 
das competências gerais da 
Educação Básica, bem como 
das competências específicas e 
das habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias e de 
outras áreas do conhecimento 
indicadas a seguir. Também 
estão indicados os temas 
contemporâneos transversais 
presentes no capítulo.
Competências gerais: CG01, 
CG02, CG05, CG07, CG08.
Competência específica 
de Matemática e suas 
Tecnologias: CEMAT03.
Habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias: 
EM13MAT306, EM13MAT308.
Habilidades de outras 
áreas do conhecimento: 
EM13LGG104, EM13LGG402, 
EM13LGG701, EM13LGG703, 
EM13CNT204, EM13CNT301, 
EM13CNT302, EM13CNT310, 
EM13CHS106, EM13CHS201.
Temas contemporâneos 
transversais:
•	Ciência e tecnologia;
•	Saúde.
008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 11008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 11 9/17/20 9:58 AM9/17/20 9:58 AM
Trigonometria no triângulo
Situação 1
Decoração
Uma loja de decoração de interiores tem, em um dos ambientes, um papel 
de parede composto de regiões planas brancas e regiões planas pretas limitadas 
por triângulos. Elas estão dispostas de modo que, juntas, podem compor outras 
regiões triangulares maiores. Por exemplo: a medida de comprimento do lado de 
2 regiões triangulares pretas pequenas é equivalente à medida de comprimento 
do lado de uma região triangular média branca; a medida de comprimento do 
lado da região triangular grande branca é equivalente à medida de comprimento 
do lado de 3 regiões triangulares pretas.
	a) Quantas regiões triangulares pretas cabem em uma região triangular média 
branca? E em uma região triangular grande branca?
	b) Junte-se a um colega, observem as composições de regiões triangulares e res-
pondam: Vocês acham que uma região triangular preta e uma região triangular 
pequena branca têm as mesmas medidas de abertura dos ângulos internos? E 
elas têm as mesmas medidas de comprimento dos lados? Sim. Sim.
	 c) E como são as medidas de abertura dos ângulos internos de uma região trian-
gular preta e de uma região triangular grande branca? São iguais.
4 regiões triangulares pretas. 9 regiões triangulares pretas.
Treliças
Treliças são estruturas utilizadas na construção civil para dar sustentação à obra. A tesoura, como a da imagem 
a seguir, é um tipo de treliça formada por uma rede de triângulos que, devido à rigidez da estrutura, é usada 
para suporte de coberturas, como o telhado de casas.
As medidas de comprimento das vigas de uma tesoura precisam ser calculadas de acordo com cada projeto e 
com o tipo de telha que será utilizada no telhado. Considere que, em determinado projeto, um arquiteto calculou 
que a tesoura de um telhado deveria ter 6 m de medida de comprimento da largura e 0,75 m de medida de com-
primento da altura.
Papel de parede composto 
de diferentes regiões planas 
triangulares formando 
padrões geométricos.
Não escreva no livro.
Professor, as sugestões para o 
desenvolvimento deste tópico 
encontram-se nas Orientações 
específicas deste Manual. 
Essa medida corresponde a 
1
20
 ou 0,05 da medida real, pois 6 m 5 600 cm e 
30
600
 
1
20
5 5 0,05. 
Como as medidas de comprimento devem ser proporcionais, 
a medida de comprimento da altura no croqui deve ser de 
3,75 cm, pois 0,05 ? 75 5 3,75.
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/ 
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Situação 2
Para fazer o croqui dessa estrutura, é necessário utilizar conceitos de semelhança 
de triângulos e representar medidas de comprimento proporcionais às reais.
	a) Considere um croqui em que a largura dessa tesoura foi representada com medida 
de comprimento de 30 cm. Qual é a relação entre essa medida no desenho e a me-
dida real no telhado? Justifique sua resposta.
	b) E qual deve ser a medida de comprimento da altura da tesoura nesse croqui? Justi-
fique sua resposta.
N
a
tt
a
ly
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
6 cm
0,75 cm
Esboço de desenho, 
pintura, planta baixa ou 
projeto arquitetônico.
Croqui
12
008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 12008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 12 9/17/20 9:58 AM9/17/20 9:58 AM
Observe os triângulos ABC e MNO a seguir, nos quais estão indicados os pares de ângulos congruentes desses triângulos.
A
B
C
N
M
O
18 cm
15 cm
8 cm
10,75 cm
12,9 cm
9,6 cm
	a) Qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados AB MNe ?
	b) Qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados AC MOe ?
	c) E qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados BC NOe ?
	d) As razões que você calculou são todas iguais? O que você pode concluir sobre os triângulos ABC e MNO?
9,6
8
 5 1,2
12,9
10,75
 5 1,2
18
15
 5 1,2
Sim. Resposta esperada: Eles são semelhantes.
Explorepara descobrir
Situação 3
Esquadro
Você se lembra do teorema de Pitágoras? Trata-se de um teorema 
muito importante, que é utilizado em várias áreas de estudo, além da 
Matemática, e cujo nome homenageia o filósofo e matemático grego 
Pitágoras de Samos (c. 570 a.C.-c. 495 a.C.). Ele relaciona as medidas de 
comprimento dos lados de um triângulo retângulo: o quadrado da me-
dida de comprimento do maior lado (a hipotenusa) é igual à soma dos 
quadrados das medidas de comprimento dos outros lados (os catetos). 
Lembre-se de que, em um triângulo retângulo, o maior lado (que é oposto ao ângulo reto) é 
chamado de hipotenusa, os outros dois lados (que são perpendiculares entre si) são chamados 
de catetos, e os ângulos agudos são complementares (a soma das medidas de abertura é 90°).
Fique atento
	a) Considere um triângulo retângulo cujos lados têm medidas de comprimento a, b e 
c, sendo a a maior medida. Escreva no caderno a relação entre essas medidas de 
comprimento usando o teorema de Pitágoras. 
	b) Considere um esquadro como o da foto, cujos lados menores têm medidas de com-
primento de 15 cm e 20 cm. Utilizando o teorema de Pitágoras, determine a medida 
de comprimento do maior lado desse esquadro.
a2 5 b2 1 c2
25 cm
O esquadro é um 
instrumento muito 
usado na Engenharia 
e na Arquitetura para 
traçar retas paralelas e 
retas perpendiculares. 
Ele também pode 
ser usado para medir 
comprimentos e 
traçar alguns ângulos. 
Este esquadro tem a 
forma de um triângulo 
retângulo (triângulo 
que tem um dos 
ângulos internos com 
medida de abertura 
de 90°).
Professor, o estudo do teorema de Pitágoras é proposto pela 
BNCC para o 9o ano do Ensino Fundamental. Se necessário, 
faça retomadas de conteúdos ao longo deste capítulo a fim 
de resgatar conceitos e relações que os estudantes já viram.
Explorando a semelhan•a de tri‰ngulos
Todas as situações citadas nesta página e na anterior envolvem uma mesma figura 
geométrica plana: o triângulo.
Vamos retomar alguns conhecimentos que você já deve ter visto sobre essa figura 
e aprofundar o estudo.
Lembre-se de 
que dois ângulos 
são congruentes 
quando têm a 
mesma medida 
de abertura.
Fique atento
Professor, nesta atividade, os estudantes têm a oportunidade de explorar e retomar os estudos de 
semelhança de triângulos que fizeram no Ensino Fundamental. Observe as respostas dadas por eles e, se 
necessário, faça retomadas sobre o assunto. Na próxima página, a formalização desse estudo será retomada.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Dotta2/Arquivo da editora
Não escreva no livro.
13
008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 13008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 13 9/17/20 9:58 AM9/17/20 9:58 AM
Formalizando o conceito de 
semelhança de triângulos
Os triângulos ABC e MNO da página anterior são semelhantes. Veja a definição de 
semelhança de triângulos.
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes 
(homólogos) são congruentes e os lados correspondentes (homólogos) têm 
medidas de comprimento proporcionais.
Observe os triângulos ABC e A8B8C8.
A8
B8 C8
c8
a8
b8
A
B C
c
a
b
Esses triângulos são semelhantes, pois satisfazem todas as condições da definição. 
Veja como indicamos.
nABC á nA8B8C8 ^ $
µ
µ
µ
µ
µ







à 8
à 8
à 8
8
5
8
5
8
A A
B B
C C
a
a
b
b
c
c
e 5 k (razão de semelhança)
A razão de semelhança dos triângulos corresponde à razão das medidas de com-
primento de dois lados homólogos quaisquer dos triângulos. 
Se dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança k, então quaisquer 
outros elementos lineares homólogos desses triângulos também têm medidas de 
comprimento proporcionais com razão k.
 
A A8
B
ch
Ca
b
B8 C8a8
c8h8 b8
nABC á nA8B8C8 ^ 
8
5
8
5
8
5
8
5
1 1
8 1 8 1 8
a
a
b
b
c
c
h
h
a b c
a b c
 5 k
Quando a razão de semelhança de dois triângulos é k 5 1, dizemos que, além de semelhantes, 
eles também são congruentes. Nesse caso, além dos três ângulos correspondentes (homólogos) 
serem congruentes, os três lados correspondentes (homólogos) também são congruentes entre si.
Fique atento
O símbolo á 
significa 
“semelhante”, 
o símbolo ^ 
significa “se, e 
somente se”, e o 
símbolo à significa 
“congruente”.
Fique atento
Qual é a razão de 
semelhança dos 
triângulos ABC e 
MNO da página 
anterior? k 5 1,2
Reflita
Professor, se necessário, retome com os estudantes a congruência de triângulos, que foi estudada no 
Ensino Fundamental.
Professor, ressalte aos 
estudantes que os 
cálculos 
a 1 b 1 c e a8 1 b8 1 c8 
correspondem à medida 
de perímetro de cada 
triângulo.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
No triângulo ABC, a é a medida de 
comprimento do lado BC, 
b é a medida de comprimento 
do lado AC e c é a medida de 
comprimento do lado AB.
Não escreva no livro.
14
008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 14008a027_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 14 9/17/20 9:58 AM9/17/20 9:58 AM
Para saber se dois triângulos são semelhantes, não precisamos verificar sempre os 
três pares de ângulos homólogos e os três pares de lados homólogos. Podemos veri-
ficar apenas alguns dos elementos, escolhidos convenientemente, conforme os casos 
de semelhança de triângulos.
1º caso: AA (ângulo, ângulo) 2º caso: LLL (lado, lado, lado)
Se dois triângulos têm dois ângulos homólogos 
respectivamente congruentes, então eles são 
semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados 
homólogos com medidas de comprimento 
proporcionais, então eles são semelhantes.
B C
A
B 8 C 8
A 8
$
µ
µ
µ




à 8
à 8
A A
B B
 ~ nABC á nA8B8C8
B C
A
c b
a B8 C8
c8 b8
a8
A8
8
5
8
5
8
a
a
b
b
c
c
 ~ nABC á nA8B8C8
3º caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Se dois triângulos têm dois lados homólogos com medidas de comprimento proporcionais, e os ângulos 
compreendidos entre esses pares de lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
B C
A
a
b
c
B8 C8
A8
a8
b8
c8
 
$ µ 





à 8
8
5
8
B B
c
c
a
a
 ~ nABC á nA8B8C8
Um pouco da história da Trigonometria 
No estudo da Trigonometria (do grego trigónos 1 métron, que significa “medida 
dos triângulos”), o conceito de proporcionalidade é central e foi um dos conhecimen-
tos geométricos mais úteis ao longo dos séculos. 
Usando semelhança de triângulos, o astrônomo e matemático grego Aristarco de 
Samos (310 a.C.-230 a.C.) comparou as medidas de distância entre a Terra e o Sol e 
entre a Terra e a Lua (veja mais sobre isso na página 25). Com esse mesmo conheci-
mento, matemáticos árabes estabeleceram as razões trigonométricas.
O filósofo, matemático, engenheiro e astrônomo grego Tales de Mileto (624 a.C.- 
-547 a.C.), considerado um dos mais versáteis gênios da Antiguidade, levou para a Gré-
cia os conhecimentos geométricos desenvolvidos pelos egípcios e começou a aplicar a 
eles os procedimentos da Filosofia grega. Com o método de comparar sombras, atual-
mente conhecido como teorema de Tales, realizou muitos cálculos até então inéditos. 
O mais famoso deles foi o método para obter a medida de distâncias inacessíveis. 
Uma das aplicações mais conhecidas do método que Tales desenvolveu é a deter-
minação da medida de comprimento da altura de uma pirâmide pela sombra que ela 
projeta no solo. 
Fontes de consulta: BOYER, Carl C. História da Matemática. São Paulo: 
Blucher, 2012. ROSA, Carlos Augusto de Proença. História da ciência: 
da Antiguidade ao Renascimento científico. 2. ed. Brasília-DF: Funag, 2012.
Você já estudou 
os casos de 
semelhança de 
triângulos no Ensino 
Fundamental. 
Relembre-os 
e pesquise a 
demonstração de 
cada um deles.
Fique atento
As demonstrações dos 
casos de semelhança 
encontram-se