matemática trigonometria e sistemas lineares

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Trigonometria e Trigonometria e 
sistemas linearessistemas lineares
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Trigonometria e Trigonometria e 
sistemas linearessistemas lineares
1a edição, São Paulo, 2020
MANUAL DO 
PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual Paulis-
ta “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp-SP, Rio Claro)
Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP)
Doutor em Psicologia da Educação pela Pontifícia Universi-
dade Católica de São Paulo (PUC-SP)
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp-SP, Rio 
Claro
Ex-professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio na 
rede pública de ensino de São Paulo
Autor de livros didáticos e paradidáticos de Matemática para 
alunos e professores da Educação Básica
Fernando Viana
Licenciado e mestre em Matemática pela Universidade Federal 
da Paraíba (UFPB)
Doutor em Engenharia Mecânica pela UFPB
Professor efetivo do Instituto Federal de Educação, Ciência 
e Tecnologia da Paraíba (IFPB)
Professor do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e de 
cursos pré-vestibulares há mais de 20 anos
Autor de obras didáticas de Matemática para o Ensino Funda-
mental e o Ensino Médio
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Presidência: Paulo Serino
Direção editorial: Lauri Cericato
Gestão de projeto editorial: Heloisa Pimentel 
Coordenação de área: Marcela Maris e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Pamela Hellebrekers Seravalli, Alessandra Maria Rodrigues 
da Silva, César Augusto Morais de Souza, Igor Nóbrega, 
Marina Muniz Campelo, Nadili L. Ribeiro, Rani de Oliveira e Souza 
e Rodrigo Macena 
Planejamento e controle de produção: Vilma Rossi e Camila Cunha
Revisão: Rosângela Muricy (coord.), Alexandra Costa da Fonseca, 
Ana Paula C. Malfa, Ana Maria Herrera, Carlos Eduardo Sigrist, 
Flavia S. Vênezio, Heloísa Schiavo, Hires Heglan, Kátia S. Lopes Godoi, 
Luciana B. Azevedo, Luís M. Boa Nova, Luiz Gustavo Bazana, 
Patricia Cordeiro, Patrícia Travanca, Paula T. de Jesus, 
Sandra Fernandez e Sueli Bossi
Arte: Claudio Faustino (ger.), Erika Tiemi Yamauchi (coord.), 
Alexandre Miasato Uehara e Renato Akira dos Santos (edição de arte), 
WYM Design (diagramação)
Iconografia e tratamento de imagens: Roberto Silva (coord.), 
Mariana Sampaio (pesquisa iconográfica), Cesar Wolf (tratamento de imagens)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Fernanda Carvalho (coord.), 
Erika Ramires e Márcio Henrique (analistas adm.)
Ilustrações: Dam d’Souza, Paulo Manzi, R2 Editorial e WYM Design 
Cartografia: Mouses Sagiorato e Vespúcio Cartografia
Design: Luis Vassallo (proj. gráfico, capa e Manual do Professor) 
Todos os direitos reservados por Editora Ática S.A.
Avenida Paulista, 901, 4o andar
Jardins – São Paulo – SP – CEP 01310-200
Tel.: 4003-3061
www.edocente.com.br
atendimento@aticascipione.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Angélica Ilacqua - CRB-8/7057
2020
Código da obra CL 713841
CAE 729711 (AL) / 729713 (PR)
1a edição
1a impressão
De acordo com a BNCC.
Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens 
presentes nesta obra didática. Colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões 
de créditos e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, 
eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, 
são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Impressão e acabamento
002_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA.indd 2002_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA.indd 2 21/09/2020 11:0521/09/2020 11:05
Apresentação
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Caro estudante,
Ao elaborar esta coleção de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio, 
observamos o que há de mais moderno no processo de ensino e aprendizagem dessa 
área do conhecimento. 
Nosso objetivo com esta coleção é proporcionar a você condições para que pos-
sa compreender e aplicar as principais ideias e ferramentas da Matemática em seu 
nível de ensino, atribuindo significados e possibilitando a resolução de problemas 
do mundo real. Além disso, a coleção foi concebida de modo a dar espaço para que 
você seja protagonista do próprio processo de aprendizagem, desenvolvendo uma 
educação integral.
Todos os conceitos essenciais, próprios do Ensino Médio, foram explorados ao 
longo dos volumes de maneira simples, intuitiva e compreensível. As resoluções me-
canizadas e o formalismo excessivo foram evitados; mantivemos, porém, o rigor ne-
cessário, coerente com o nível para o qual a coleção é proposta. 
Na abertura de cada capítulo, apresentamos uma imagem relacionada aos con-
teúdos que o compõem, com o objetivo de lhe dar uma percepção de alguns dos 
temas que serão estudados. Esperamos que isso instigue sua curiosidade!
Em seguida, você encontra situações contextualizadas e, muitas vezes, integra-
das, que também exprimem os conteúdos e temas. Nelas você pode observar e in-
vestigar a utilização da Matemática de maneira simples, espontânea e eficiente, além 
de refletir sobre ela.
No decorrer de cada capítulo, apresentamos textos e atividades significativos, 
que abordam fatos históricos e contextualizam a construção dos conteúdos que estão 
sendo estudados, bem como expõem e promovem a resolução de problemas relacio-
nados a situações reais ou a outras áreas do conhecimento, exploram as tecnologias 
digitais – tão presentes em nossa vida – e propiciam o desenvolvimento do pensa-
mento computacional. 
Desse modo, a coleção como um todo engloba todas as competências gerais da 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC), assim como as competências específicas e 
as habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias que estão previstas para o 
Ensino Médio. 
Sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre 
consideradas. Seja muito bem-vindo ao estudo da Matemática e suas Tecnologias 
que esta coleção lhe proporciona!
Os autores
001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 3001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 3 9/17/20 11:25 AM9/17/20 11:25 AM
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Conheça seu livro
Este volume está organizado em 2 capítulos. Nele você 
encontrará textos, boxes e seções. Conheça a seguir a 
estrutura deste volume.
Principal matéria-prima do chocolate, 
o cacau (Theobroma cacao) é o fruto 
da árvore cacaueiro, nativa da América 
Central e da América do Sul. No 
Brasil, os estados do Pará e da Bahia 
concentram cerca de 90% da produção 
nacional, contribuindo para que o país 
ocupe a sétima posição na produção 
mundial desse fruto.
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ma doceriarecebeu, de duas padarias distintas, enco-
mendas de bombons de chocolate recheados. O primei-
ro pedido foi da padaria de Alice: 2 kg de bombons de 
morango, 3 kg de brigadeiro e 5 kg de coco. A segunda encomenda 
foi feita pela padaria de Douglas: 3 kg de bombons de morango, 3 kg 
de brigadeiro e 4 kg de coco.
A doceria cobra R$ 60,00 por quilograma de bombom de chocolate re-
cheado de morango, R$ 40,00 por quilograma de bombom recheado de 
brigadeiro e R$ 50,00 por quilograma de bombom recheado de coco. 
a)  Com o objetivo de organizar e visualizar com maior facilidade essa situação, 
copie no caderno as tabelas a seguir e complete-as com as informações do 
texto. A primeira tabela deve organizar a medida de massa, em quilogramas,
das encomendas e a segunda deve mostrar os preços do quilograma de cada 
sabor do recheio, em reais.
Medida de massa (em kg) das encomendas de bombons recheados
 Sabor do
recheio
Local
Morango Brigadeiro Coco
Padaria de Alice
Padaria de Douglas
Preço do quilograma dos bombons recheados
Sabor do recheio Preço (em reais)
Morango
Brigadeiro
Coco
Tabelas elaboradas para fins didáticos.
 b) Observando as tabelas que você preencheu, responda: Qual padaria encomendou 
mais bombons recheados? 
 c) Quanto a padaria de Alice gastou com os bombons recheados de morango? 
 d) Quanto a padaria de Douglas gastou com os bombons recheados de coco?
 e) Qual foi o valor total pago pela padaria de Alice? 
 f) Qual foi o valor total pago pela padaria de Douglas? 
Sara também tem uma padaria e deseja comprar R$ 2.000,00 em bombons re-
cheados de morango e de brigadeiro dessa mesma doceria, mas ainda não decidiu a 
quantidade de cada sabor do recheio.
 g) Indicando por m e b a medida de massa, em kg, dos bombons recheados de 
morango e de brigadeiro, respectivamente, qual equação representa as possibi-
lidades de compra para Sara? 
 h) Nessa equação, m e b podem ser quaisquer números reais? Por quê? 
Não escreva no livro.
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	i) Se Sara optar pela compra de 5 kg de bombons recheados de brigadeiro, então 
quantos quilogramas de bombons recheados de morango ela comprará? 
	j) Comprando 10 kg de bombons recheados de morango, então quantos quilogra-
mas de bombons recheados de brigadeiro ela comprará? 
	k) Quantos quilogramas de bombons recheados a padaria de Sara pode comprar se 
pedir a mesma quantidade para cada sabor do recheio? 
As respostas que você deu nos itens i, j e k nos indicam que os pares ordenados 
(30, 5), (10, 35) e (20, 20) são algumas soluções da equação 3m 1 2b 5 100. Na repre-
sentação gráfica a seguir, o eixo horizontal representa a medida de massa, em kg, dos 
bombons recheados de morango (m) e o eixo vertical representa a medida de massa, 
em kg, dos bombons recheados de brigadeiro (b). Os pontos A, B e C correspondem 
aos pares ordenados (10, 35), (20, 20) e (30, 5), respectivamente. 
	l) O gráfico acima corresponde a um segmento de reta. Por que não podemos 
prolongar esse segmento de reta infinitamente em ambos os sentidos? 
	m) Liste no caderno outros três possíveis pedidos que a padaria de Sara pode fazer 
à doceria na compra de R$ 2.000,00 em bombons recheados de morango e de 
brigadeiro.
	n) Michele também gastou R$ 2.000,00 em bombons recheados de morango e de 
brigadeiro da doceria. Ela comprou 10 kg de bombons recheados de brigadeiro 
a mais do que de morango. Quantos quilogramas de bombons recheados de 
cada sabor ela comprou? 
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A(10, 35)
B(20, 20)
C(30, 5)
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Não escreva 
no livro.
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CONHEÇA O CAPÍTULO
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Objetivos
•	 Explorar situações e resolver problemas que envolvem matrizes.
•	 Reconhecer diferentes transformações geométricas no plano cartesiano: 
translação, reflexão, rotação e homotetia. 
•	 Relacionar transformações geométricas e matrizes.
•	 Conhecer e criar algoritmos relacionados às transformações geométricas. 
•	 Construir translações, reflexões, rotações e homotetias de figuras no pla-
no cartesiano, bem como composições dessas transformações geométri-
cas, também com o apoio de tecnologia digital. 
•	 Utilizar transformações geométricas para analisar fotos de elementos da 
natureza e construções humanas. 
•	 Resolver problemas relacionados a transformações geométricas.
•	 Explorar situações relacionadas a sistemas lineares.
•	 Compreender os conceitos de equação linear e sistema de equações 
lineares simultâneas.
•	 Classificar sistemas lineares em possível e determinado, possível e inde-
terminado ou impossível. 
•	 Determinar as soluções de sistemas lineares utilizando diferentes méto-
dos, como a substituição, a adição e o escalonamento, e representá-los 
graficamente.
•	 Interpretar e representar graficamente sistemas lineares 2 3 2 e 3 3 3, 
também com o auxílio de tecnologia digital.
•	 Criar algoritmo que descreva os passos de resolução de um sistema linear. 
•	 Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras 
áreas do conhecimento utilizando sistemas lineares. 
•	 Compreender o conceito de determinante e o cálculo do determinante 
de matrizes 2 3 2 e 3 3 3. 
•	 Discutir sistemas lineares utilizando o determinante da matriz dos coefi-
cientes e o escalonamento do sistema. 
Justificativa
É comum, no dia a dia, lidarmos com tabelas, pois elas facilitam a organiza-
ção, a leitura e a interpretação de dados. Em Matemática, podemos relacionar 
tabelas a matrizes, e o estudo desse tipo de representação contribui para que 
possamos entender como números dispostos em linhas e colunas se relacio-
nam. As matrizes também podem ser utilizadas para representar transformações 
isométricas e transformações homotéticas de polígonos no plano cartesiano.
Situações que podem ser representadas e resolvidas por sistemas linea-
res também aparecem com frequência no cotidiano. O estudo dos sistemas 
lineares, que é feito desde o Ensino Fundamental, é ampliado neste capítulo 
de modo que possamos resolver problemas relacionados a situações do co-
tidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
A BNCC
No decorrer do capítulo, 
favorecemos o desenvolvimento 
das competências gerais da 
Educação Básica, bem como 
das competências específicas e 
das habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias e de 
outras áreas do conhecimento 
indicadas a seguir. Também 
estão indicados os temas 
contemporâneos transversais 
presentes no capítulo.
Competências gerais: CG01, 
CG02, CG03, CG04, CG05, 
CG07, CG08, CG10. 
Competências específicas 
de Matemática e suas 
Tecnologias: CEMAT01, 
CEMAT03, CEMAT04.
Competência específica de 
Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias: CECNT02.
Habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias: 
EM13MAT105, EM13MAT301, 
EM13MAT315 e EM13MAT405.
Habilidades de outras 
áreas do conhecimento: 
EM13LGG701, EM13CNT204, 
EM13CNT206, EM13CHS101, 
EM13CHS106.
Temas contemporâneos 
transversais:
•	Direito da Criança e do 
Adolescente;
•	Educação Ambiental;
•	Saúde.
Marés
No início deste capítulo, você viu exemplos de diversas 
atividades que se ajustam em decorrência das marés. Para 
essas e outras atividades, é comum a consulta de uma tábua 
de marés, que mostra o horário e o nível do mar nas marés 
alta e baixa de cada dia. 
Veja a seguir um exemplo de tábua de marés de uma ci-
dade litorânea, em 2 dias consecutivos, e a representação 
gráfica ao lado.
 a) Em cada um desses dias estão indicados dois horá-
rios para a maré mais alta e dois para a maré mais 
baixa. Quais são esses horários?
Funções trigonométricas
Situação 1
Situação 2
Relógio de pêndulo
Os dois ponteiros de um relógio de pêndulo mostram as horas e os minutos, como 
em um relógio moderno de ponteiros que usamos no pulso ou penduramos na parede 
de casa. Nesse tipo de relógio, o pêndulo serve para marcar os segundos. 
Não escreva no livro.
Representação esquemática de um 
pêndulo simples. Por exemplo, a 
partir doinstante em que o pêndulo 
está na amplitude máxima, como 
na imagem, a oscilação completa 
corresponde ao movimento que ele 
faz até voltar à mesma posição.
A medida de intervalo de tempo necessária para 
que o pêndulo complete uma oscilação completa 
em um relógio é chamada de período. E o compor-
tamento desse movimento pode ser estudado por 
funções envolvendo os conceitos de seno e cosse-
no, as quais chamamos de funções do tipo trigo-
nométrica. 
 a) Sabendo que em 1 minuto o pêndulo de um reló-
gio oscila 30 vezes, qual é o período desse movi-
mento?
 b) Quantas oscilações um pêndulo deve dar em 
1 minuto para que o período do movimento seja 
de 1 segundo?
 b) As marés mais altas que ocorreram nesses dias ti-
veram mesmo nível? E as marés mais baixas?
 c) Qual foi a amplitude das marés na quinta-feira, ou 
seja, qual foi a diferença entre a maré mais alta e a 
mais baixa desse dia?
 d) Entre quais horários a maré estava baixando (secando) nesses dias? 
 e) Qual foi a medida de intervalo de tempo entre as duas marés mais baixas na quarta-feira? E entre as duas 
marés mais altas na quinta-feira?
O fenômeno periódico das marés também pode ser modelado por uma função do tipo trigonométrica, pois 
as características da variação do nível do mar se repetem, aproximadamente, após o mesmo intervalo de tempo.
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Quinta-feira
Horário Nível do mar
04:15 ò 1,99 m
10:22 ô 0,21 m
16:25 ò 2,08 m
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Quarta-feira
Horário Nível do mar
03:45 ò 1,98 m
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Quinta-feira
Representação gráfica de uma tábua de marés em 
2 dias consecutivos.
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O relógio de pêndulo é um tipo de relógio mecânico 
que era comumente encontrado nas residências antes da 
invenção dos relógios eletrônicos, atômicos e de quartzo.
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Explorando as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Já estudamos como a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados homólogos de triângu-
los semelhantes possibilita a obtenção de medidas de comprimento inacessíveis. 
No exemplo dado com a cesta de basquete, na atividade 5, usamos um modelo de triângulo retângulo 
isósceles feito de papel. Veremos a seguir que é possível usar qualquer triângulo retângulo para determinar 
a altura da cesta sem precisar construir um modelo de papel. Para isso, basta saber a medida de abertura de 
um dos ângulos agudos do triângulo retângulo e, então, usar as razões trigonométricas adequadas.
As razões que você calculou na atividade 2 do Explore para descobrir são razões trigonométricas, que 
definiremos a seguir. 
Formalizando algumas razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
Definição de seno, cosseno e tangente usando semelhança 
de triângulos
Considere um ângulo agudo AOB com ( )AOBm 5 u (0° < u < 90°). 
A partir dos pontos C, E, G, » da semirreta 
u ruu
OA , traçamos os segmen-
tos de reta CD EF GH, , , », perpendiculares à semirreta 
u ruu
OB .
Pelo caso AA de semelhança de triângulos, temos que os triângulos 
OCD, OEF, OGH, » formados são semelhantes. Então, podemos escrever:
5 5
CD
OC
EF
OE
GH
OG
 5 » (constante)
Essas razões dependem apenas do ângulo (ou seja, não depen-
dem do triângulo retângulo considerado). Elas são chamadas de 
seno do ângulo AOB, ou seno de u. 
Considere os quatro triângulos retângulos representados ao 
lado.
1. Esses triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.
2. Considere as medidas de comprimento dos lados desses 
triângulos retângulos.
	a) Calcule a medida de comprimento da hipotenusa de 
cada triângulo. 
	b) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da hipotenusa
 
em cada triângulo.
	c) Calcule a razão 
medida de comprimento da base
medida de comprimento da hipotenusa
 em cada triângulo.
	d) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da base
 em cada triângulo.
3. O que você percebeu nas razões que calculou?
Não escreva no livro.
Quando necessário, 
indique as respostas 
usando raízes 
quadradas.
Fique atento
Explore para descobrir
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2 m
1 m
4 m 4 m
4 m
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Para representar a medida de abertura de um 
ângulo, é comum o uso de letras minúsculas 
do alfabeto grego, como u, a, b, etc.
Fique atento
20
Na primeira página da abertura de cada 
capítulo, mostramos uma imagem relacionada 
a um ou mais conteúdos ou temas abordados 
nele. Os textos apresentados nas demais 
páginas da abertura são acompanhados de 
perguntas que propõem reflexões sobre os 
assuntos do capítulo e buscam introduzir, 
direta ou indiretamente, os conteúdos que 
serão estudados.
No início de cada tópico dos 
capítulos, você encontra algumas 
situações e questões relacionadas 
a elas que permitem investigações 
e explorações e que o preparam 
para os conteúdos do tópico. 
No Conheça o capítulo, apresentamos os 
objetivos que devem ser atingidos no decorrer 
do capítulo e a justificativa de pertinência 
deles. Além disso, indicamos as competências 
gerais da Educação Básica, bem como as 
competências específicas e as habilidades da 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC) da 
etapa do Ensino Médio, cujo desenvolvimento 
é favorecido no capítulo, e os temas 
contemporâneos transversais presentes nele. 
Consulte as páginas 154 a 158 para saber mais 
da BNCC e ler o descritivo das competências 
gerais, assim como o descritivo das 
competências específicas e das habilidades 
favorecidas neste volume. 
No Explore para descobrir, 
indicamos atividades de 
exploração, experimentação, 
verificação e sistematização 
dos conteúdos apresentados, 
possibilitando que você formule 
ideias e crie estratégias.
001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 4001a007_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 4 9/17/20 11:25 AM9/17/20 11:25 AM
5
	 5.	Considere um polígono representado no plano carte-
siano que será transladado de acordo com cada matriz 
coluna dada. Para cada item, escreva no caderno quan-
tas unidades serão transladadas e em quais sentidos. 
	a) 2
3





 	b) 
3
1





2
	c) 2
1






2
2
	 6.	Observe o triângulo ABC representado no plano carte-
siano.
7
6
5
4
2
1
1 2 3 4 5 6
C
A
B
x
y
0
3
Escreva no caderno a matriz relacionada aos vértices do 
triângulo obtido pela translação descrita em cada item.
	a) 2 unidades para a direita e 3 unidades para cima. 
	b) 3 unidades para a esquerda e 4 unidades para baixo. 
	c) 2 unidades para a direita e 5 unidades para baixo. 
	 7.	Considere as matrizes M 5 0 1 3
3 5 1





 ,
N 5 
0 2 3
2 0 4





2 2
 e Z 5 
1 3 5 4
2 2 1 4






2 2 2 2
, que re-
presentam as coordenadas dos vértices dos polígonos 
M, N e Z, respectivamente.
	a) Represente cada polígono em um plano cartesiano.
	b) Reflita cada polígono em relação ao eixo y e escreva no 
caderno a matriz dos vértices de cada polígono obtido.
	c) Agora, reflita cada polígono dado em relação ao 
eixo x e escreva a matriz dos vértices de cada po-
lígono obtido.
	 8.	Considere o polígono representado no plano cartesia-
no a seguir. Escreva no caderno as matrizes dos vérti-
ces desse polígono e do polígono obtido ao fazer a 
rotação de 180°, no sentido anti-horário e em torno da 
origem O(0, 0).
2
1
1 2 3 4 5 6 x
y
0
3
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
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g
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n
s
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A
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 e
d
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ra
Atividades Não escreva no livro.
	 9.	Considere a matriz B 5 2 15 4
2 4 4 2





 relacionada aos 
vértices de um polígono no plano cartesiano.
	a) Represente esse polígono em um plano cartesiano.
	b) Faça uma rotação de 180° desse polígono, no sen-
tido anti-horário e em torno da origem (0, 0).
	c) Escreva no caderno a matriz associada aos vértices 
do polígono inicial e do polígono obtido.
	10.	Como vimos, para fazer a rotação de um polígono no 
plano cartesiano, no sentido anti-horário e em torno da 
origem O(0, 0), consideramos a medida de a graus da 
rotação. Para cada vértice (x, y) do polígono, temos a 
transformação 
x
y
x y
x y
cos sen
sen cos











ñ
? a 2 ? a
? a 1 ? a
.
Considere um triângulo ABC cujos vértices podem ser 
representados pela matriz 5
1
3
1
2
2





2 2
. Escreva no 
caderno a matriz dos vértices do polígono obtido após 
cada rotação do polígono inicial, no sentido anti-horá-
rio e em torno da origem (0, 0).
	a) Rotação de 90°.
	b) Rotação de 220°. (Use uma calculadora para calcu-
lar o valor aproximado de sen 20° e cos 20°, com 
duas casas decimais.)
	11.	Duas miniaturas da Torre Eiffel, monumento-símbo-
lo da cidade de Paris (França), foram fotografadas e 
verificou-se que as imagens obtidas são homotéticas. 
Sabendo que a medida de comprimento da altura da 
miniatura maior é de 6,3 cm e que a razão de homote-
tia é 2,8, qual é a medida de comprimento da altura da 
miniatura menor?
6,3 cm
W
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 O
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ts
ta
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h
u
tt
e
rs
to
ck
108
	28.	(Unicamp-SP) Em uma família, cada filha tem o mes-
mo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um 
número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. 
O número total de filhos e filhas dessa família é igual a:
	a) 11. 	b) 9. 	c) 7. 	d) 5.
	29.	(Etec-SP) A Mata Atlântica é uma série de ecossis-
temas de florestas tropicais da América do Sul que 
abriga uma diversidade de espécies endêmicas. Es-
tudos estimam que haja um total de 8 732 espécies 
entre plantas e vertebrados en-
dêmicos nesse bioma, e que a 
diferença entre a quantidade 
daquelas plantas e a quantidade 
destes vertebrados, nessa or-
dem, seja de 7 268 espécies.
Nessas condições, a quantidade de plantas endêmicas 
nesse bioma é:
	a) 732. b) 1 464. c) 5 813. d) 8 000. e) 16 000.
	30.	Em uma equação química balanceada, a quantidade 
de cada átomo antes da reação (os reagentes) deve ser 
igual à quantidade de cada átomo ao final da reação 
(os produtos). Por exemplo, na combustão do propano 
C3H8, a equação química não balanceada é C3H8 1 O2 ñ 
ñ CO2 1 H2O. Repare que, do lado do reagente, exis-
tem 3 átomos de carbono C e, do lado do produto, há 
apenas 1 átomo de carbono. Então, para balancear a 
equação, devemos encontrar valores para a, b, c e d, tais 
que a ? C3H8 1 b ? O2 ñ c ? CO2 1 d ? H2O. Uma manei-
ra de determinar esses valores é montar e resolver um 
sistema linear de equações. Veja como fica a montagem:
a c
a d
b c d
3
8 2
2 2
5
5
5 1





Esse sistema linear tem quatro incógnitas, mas apenas três 
equações. Uma das maneiras de encontrar uma possível 
solução para esse sistema, é atribuir um valor para uma 
das incógnitas e, então, resolver o sistema linear obtido.
	a) Escolhendo a 5 1, resolva o sistema linear e monte 
a equação química devidamente balanceada.
	b) Para cada número natural não nulo que escolhemos 
para a, obtemos uma possível solução do sistema 
linear; então esse sistema tem infinitas soluções. 
Multiplique todos os valores de a, b, c e d que você 
calculou no item a por um mesmo número natural, 
obtendo outra solução para o sistema linear, e veri-
fique que a equação a ? C3H8 1 b ? O2 ñ c ? CO2 1 
1 d ? H2O continuará balanceada.
Não escreva no livro.
Endêmico
Espécie, organismo 
ou população 
nativo ou restrito a 
determinada região 
geográfica.
A Mata Atlântica é um dos ecossistemas mais diversos do 
mundo, mas também um dos mais ameaçados. 
As florestas e demais ecossistemas que compõem 
a Mata Atlântica são responsáveis pela produção, 
regulação e abastecimento de água; regulação 
e equilíbrio climáticos; proteção de encostas e 
atenuação de desastres; fertilidade e proteção do 
solo; produção de alimentos, madeira, fibras, óleos e 
remédios; além de proporcionar paisagens cênicas e 
preservar um patrimônio histórico e cultural imenso.
Neste contexto, a conservação dos remanescentes 
de Mata Atlântica e a recuperação da sua 
vegetação nativa tornam-se fundamentais para 
a sociedade brasileira, destacando-se para isso 
áreas protegidas, como Unidades de Conservação 
(SNUC – Lei n. 9.985/2000) e Terras Indígenas 
(Estatuto do Índio – Lei n. 6001/1973), além de 
Áreas de Preservação Permanente e Reserva 
Legal (Código Florestal – Lei n. 12.651/2012). 
O bioma também é protegido pela Lei n. 11.428/2006, 
conhecida como Lei da Mata Atlântica, 
regulamentada pelo Decreto n. 6.660/2008.
No dia 27 de maio é comemorado o Dia Nacional 
da Mata Atlântica.
BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Mata Atlântica. Dispo-
nível em: https://www.mma.gov.br/biomas/mata- 
atl%C3%A2ntica_emdesenvolvimento. Acesso em: 12 jul. 2020.
Pesquise na internet quais atividades humanas são 
responsáveis pela redução da área ocupada pela Mata 
Sobre o assunto
Atlântica, ocasionando, também, o desaparecimento 
de espécies de plantas e de animais e prejudicando as 
populações que vivem nesse bioma e que dependem dele.
Você também pode acessar o site indicado como fonte do 
texto para ter mais informações da quantidade de espécies 
de plantas e de animais, endêmicas e não endêmicas, bem 
como outros dados desse bioma, e ações do Ministério do 
Meio Ambiente para a preservação da Mata Atlântica.
Por fim, converse com a turma sobre quais atitudes 
podem e devem ser tomadas visando à preservação do 
meio ambiente e, juntos, elaborem um documento com 
registros das pesquisas e das conclusões a que vocês 
chegaram. Imagens e mapas podem ser utilizados para 
enriquecer as informações registradas.
Retrato de Antoine-Laurent de 
Lavoisier, século XIX (gravura). 
Demais informações desconhecidas. 
O processo de balanceamento de 
equações químicas é fundamentado 
pela lei de conservação das massas, 
enunciada pelo químico russo Mikhail 
Vasilyevich Lomonosov (1711-1775) e registrada e divulgada 
pelo químico francês Antoine-Laurent de Lavoisier (1742-1794).
In
te
rf
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o
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a
re
n
a
123
	10.	Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 
cada arco de medida angular dada.
	a) 45°
	b) 
3
4
p
 rad
Resolução
	a) A medida angular do arco é dada em graus 
(a 5 45°), então a expressão geral é:
a 1 k ? 360° ~ 45° 1 k ? 360°, com k é Z
	b) A medida angular do arco é dada em radianos 
¯a 5 3
4
p
 rad˘, então a expressão geral é:
a 1 2kp ~ 3
4
p
 1 2kp, com k é Z
	11.	Qual é o menor arco não negativo que é côngruo 
ao arco de medida angular 1 320°, ou seja, qual é a 
primeira determinação positiva do arco de medida 
angular 1 320°?
Qual é o significado de um número não negativo? 
Então, como deve ser a primeira determinação 
positiva de um arco?
Reflita
Resolução
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal 
que a 1 k ? 360° 5 1 320°, com k é Z.
Então:
1 320 360
240 3
ka
 1 320° 5 240° 1 3 ? 360°
Logo, o menor arco não negativo, côngruo ao arco 
dado, tem medida angular 240°.
Nesta atividade, dizemos que 240° é a primeira 
determinação positiva de 1 320° ou que 1 320° foi 
reduzido à 1a volta.
Fique atento
Resolvida passo a passo
	12.	(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um 
cofre tem o formato da figura a seguir, onde as 
12 letras A, B, », L estão igualmente espaçadas (o 
ângulo central entre duas letras vizinhas é o mes-
mo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se 
encontra fechado, é a indicada.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Para abrir o cofre, são necessárias três operações 
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta 
está gravada), de acordo com as seguintesinstru-
ções, a partir da posição indicada:
1) 
2
3
p no sentido anti-horário.
2) 
3
2
p no sentido horário.
3) 
3
4
p no sentido anti-horário.
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre 
será aberto quando a seta estiver:
	a) no ponto médio entre L e A.
	b) na posição B.
	c) na posição K.
	d) em algum ponto entre J e K.
	e) na posição H.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
São dadas as informações sobre o funcionamen-
to do dispositivo de segurança e as instruções 
para abrir o cofre.
	b) O que se pede?
Pede-se a posição da seta no momento em que se 
abre o cofre.
2. Planejando a solução
Conhecemos as operações a serem realizadas com 
o disco menor e o sentido a ser tomado (horário 
ou anti-horário). Então podemos adicionar os va-
lores das operações no sentido anti-horário e sub-
trair o valor da operação no sentido horário e, as-
sim, identificar a posição em que a seta deve ficar.
3. Executando o que foi planejado
2
3
3
4
3
2
8 9 18
12 12
p 1 p 2 p 5 p 1 p 2 p 5 2 p
Assim, ao final do movimento, a seta estará na posi-
ção 
12
2 p rad 5 215°, no sentido anti-horário a partir 
de A. Como o arco entre cada letra do dispositivo tem 
medida angular 
360
12
°
 5 30° ¯ou 2 rad
12 6
p 5 p rad˘, a 
seta estará no ponto médio entre A e L.
Atividades resolvidas
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55
	16.	Um polígono está representado no plano cartesiano e 
a matriz relacionada aos vértices é 2
1
1
4
5
4
5
0






2 2 2
.
Veja em cada item a seguir a matriz dos vértices do 
polígono obtido por uma única transformação geo-
métrica do polígono dado. Considerando as transfor-
mações geométricas que você estudou, descreva qual 
delas foi feita em cada item.
	a) 2
1
1
4
5
4
5
0






	b) 
2 2 2
6
3
3
12
15
12
15
0




	c) 1
1
2
2
2
2
2
2






2 2
2 2
	d) 2
1
1
4
5
4
5
0






2 2 2 2
	17.	O artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher 
(1898-1972) se notabilizou pelas obras, em que cos-
tumava representar construções impossíveis, como o 
preenchimento irregular do plano, as explorações do 
infinito e as metamorfoses. Nas obras de Escher, tam-
bém é possível perceber diversos trabalhos envolven-
do transformações geométricas. 
No site oficial do artista, é possível conhecer as obras 
dele. Disponível em: https://mcescher.com/gallery/ 
mathematical. Acesso em: 6 jun. 2020.
Analise a obra Limite de círculo IV (céu e inferno), cujo tí-
tulo original em inglês é Circle limite IV (heaven and hell). 
Limite de círculo IV (céu e inferno), de Maurits Cornelis 
Escher, 1960 (xilogravura de 41,5 cm 3 41,5 cm). 
Quais medidas de abertura de rotação Escher pode 
ter usado para compor essa obra?
	a) 45° e 135°.
	b) 60° e 120°. 
	c) 120° e 120°. 
	d) 100° e 135°.
	e) Apenas 72°.
Não escreva no livro.
Metamorfose é a mudança completa de forma, natureza 
ou estrutura, e essa mudança é representada por Escher 
nas obras que fazem parte da série “Metamorphose”.
Escher explora visualmente uma espécie de jogo de 
associação mental que costumava brincar quando 
criança.
“Ele se deitava na cama e pensava em dois temas 
para os quais ele teria que criar uma conexão lógica. 
[...]
[Na obra Metamorfose 2 (em inglês, Metamorphose 
2)] Escher representou essa cadeia de associações 
por meio do uso de formas geométricas (triângulos, 
quadrados, hexágonos, etc.) e figuras (lagartos, 
abelhas, pássaros, peças de xadrez, cidades) que, 
progressivamente, da esquerda para a direita, vão se 
transformando umas nas outras – movimento que 
justifica o título da série.
RONCOLATO, Murilo. As metamorfoses de Escher neste do-
cumentário interativo. Nexo Jornal, São Paulo, 29 set. 2018. 
Disponível em: https://www.nexojornal.com.br/ 
expresso/2018/09/29/As-metamorfoses-de-Escher-neste- 
document%C3%A1rio-interativo. Acesso em: 8 jun. 2020.
Uma das maneiras de conhecer a vida e as obras de um 
artista é visitar exposições ou acessá-las virtualmente. 
Como citamos anteriormente, as obras de Escher podem 
ser visualizadas no site oficial do artista. Além disso, é 
possível acessar o catálogo da exposição “O mundo 
mágico de Escher”, que ocorreu a partir de 2010 em 
algumas cidades do país, apresentando a história do artista 
e das obras, bem como reproduções delas. Disponível em: 
https://www.bb.com.br/docs/pub/inst/img/EscherCatalogo.
pdf?fbclid=IwAR0GqQEYJa9VFjDTk5OK6j0SJc77vfPOmHR
IHKKJ-s4uF2Urv2jD2JZD6a8. Acesso em: 8 jun. 2020.
Pesquise para conhecer mais desse artista e das diversas 
obras que ele produziu.
Sobre o assunto
	18.	A figura representada no 
plano cartesiano ao lado 
será submetida às trans-
formações indicadas.
1o) Reflexão em relação ao 
eixo das abscissas. 
2o) Rotação de 180°, no 
sentido anti-horário e 
em torno da origem 
do plano. 
3o) Translação em 2 unidades para a esquerda.
4o) Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
	a) Quais são as matrizes relacionadas aos vértices da 
figura inicial e da figura final obtidas dessas trans-
formações, nessa ordem?
	b) Seria possível obter a figura final usando uma única 
transformação isométrica da figura inicial? Se sim, 
qual?
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110
Formalizando o conceito de sistemas lineares
Equações lineares
Neste capítulo, vamos estudar apenas sistemas formados por equações lineares.
Equação linear é toda equação que pode ser escrita na forma geral 
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 » 1 anxn 5 b, na qual: x1, x2, x3, », xn são as incógnitas; a1, a2, a3, », an são 
números reais chamados coeficientes das incógnitas; e b é o termo independente.
As incógnitas x1, x2, x3, » geralmente aparecem como x, y, z, » nos sistemas de equações. Veja alguns 
exemplos de equações lineares.
	a) x 1 y 5 16 é uma equação linear com incógnitas x e y.
	b) 2x 1 3y 2 2z 5 10 é uma equação linear com incógnitas x, y e z.
	c) x 2 5y 1 z 2 4t 5 0 é uma equação linear com incógnitas x, y, z e t. Nela, o termo independente é b 5 0.
	d) 4x 2 3y 5 x 1 y 1 1 é uma equação linear com incógnitas x e y.
Pela definição, as equações a seguir não são lineares.
	a) xy 5 10 	b) x2 1 y 5 6 	c) x2 2 xy 2 yz 1 z2 5 1
Solução de uma equação linear
Observe mais exemplos de equações lineares e algumas soluções de cada uma delas.
	a) 3x 1 2y 5 18
Dizemos que: 
•	 o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois 3 ? 4 1 2 ? 3 5 18;
•	 o par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois 3 ? 6 1 2 ? 0 5 18;
•	 o par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois 3 ? 5 1 2 ? 1 = 18.
O par ordenado a
2 a
,
18 3
2




, com a é R, é a solução geral da equação do exemplo a, pois, para cada valor de a, 
obtemos uma solução da equação. Por exemplo, para a 5 2, a solução é (2, 6) e para a 5 0, a solução é (0, 9).
Fique atento
	b) 3x 1 y 2 2z 5 8
Dizemos que:
•	 o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3 ? 2 1 4 2 2 ? 1 5 8;
•	 o terno ordenado (0, 6, 21) é uma solução da equação, pois 3 ? 0 1 6 2 2 ? (21) 5 8;
•	 o terno ordenado (5, 22, 3) não é solução da equação, pois 3 ? 5 1 (22) 2 2 ? 3 = 8.
Para a é R e b é R, o terno ordenado a b
2 1 a 1 b
, ,
8 3
2




 é a solução geral da equação do exemplo b, pois, para cada 
valor de a e de b, obtemos uma solução da equação. Por exemplo, para a 5 1 e b 5 1, a solução é (1, 1, 22).
Fique atento
Graficamente:
•	 cada par ordenado (x, y) de números reais é representado por um ponto do plano;
•	 cada terno ordenado (x, y, z) de números reais é representado por um ponto do espaço.
Por que essas 
equações não são 
lineares?Reflita
Não escreva no livro.
117
Na seção Atividades, você encontra 
atividades e problemas envolvendo 
contextos cotidianos, da Matemática 
e de outras áreas do conhecimento, 
para você aplicar e aprofundar os 
conteúdos estudados. Nela também 
há atividades que visam à elaboração 
de perguntas e problemas.
Ao longo do capítulo, 
apresentamos no boxe Glossário a 
definição de algumas palavras ou 
expressões da língua portuguesa. 
Nas Atividades resolvidas, 
você acompanha a 
resolução detalhada de 
atividades e problemas 
que visa exemplificar 
estratégias de resolução.
No boxe Sobre o assunto, 
você encontra informações 
e curiosidades relacionadas 
aos conteúdos estudados, 
bem como sugestão de 
textos, vídeos, simuladores, 
museus, entre outros, para 
complementar e aprofundar 
seus estudos ou mesmo 
realizar pesquisas.
O boxe Fique atento retoma 
definições ou nomenclaturas, 
chama a atenção para algo 
que está sendo estudado no 
momento e apresenta dicas 
que podem auxiliá-lo no 
estudo.
O boxe Reflita traz 
questionamentos 
e reflexões sobre o 
conteúdo apresentado.
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6
Constru•‹o de senoides
Vamos utilizar novamente o software GeoGebra, agora para construir uma senoide no plano cartesiano.
Inicialmente vamos construir o gráfico da função trigonométrica seno, F: R ñ R dada por F(x) 5 sen x, e 
o gráfico da função trigonométrica cosseno, G: R ñ R dada por G(x) 5 cos x.
As imagens reproduzidas aqui são da versão on-line, mas você pode escolher a versão que julgar mais 
oportuna.
1o passo: Como vamos construir gráficos de funções trigo-
nométricas, é interessante ajustar a escala do eixo x para radia-
nos. Para isso, acesse as configurações de exibição (na parte 
superior direita da tela), vá até a aba “Eixo X” e selecione a 
opção 
p
2
 para a distância desse eixo.
2o passo: No campo de entrada de comando (na versão on-
-line, esse campo está situado na parte esquerda da tela), digi-
te a lei da função f(x)=sen(x) e tecle “Enter”. Em seguida, no 
próximo campo de entrada, digite a lei da função g(x)=cos(x) 
e tecle “Enter”. Você deverá ter uma imagem como a apresen-
tada abaixo.
	 1.	Observe os gráficos da função seno F e da função cosseno G que você construiu no GeoGebra. Há quantos 
pontos de intersecção entre esses gráficos no intervalo [0, 2p]? 
O GeoGebra também aceita o comando f(x)=sin(x) para a função 
seno (função sine, em inglês).
Fique atento
Tela do GeoGebra do 1o passo.
Tela do GeoGebra após o 2o passo.
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68
Tecnologias digitais
Além da sala de aula
Não escreva no livro.
Transformações geométricas e algoritmos
Nas páginas anteriores você conheceu e utilizou notações de matrizes para representar transformações 
isométricas e transformações homotéticas de polígonos no plano cartesiano.
Como você viu, quando aplicamos uma transformação geométrica em um polígono, todos os pontos 
sofrem a mesma transformação. Então podemos analisá-las agora de outro ponto de vista, utilizando algorit-
mos, e considerando um ponto (x, y) qualquer do polígono (que pode ser um dos vértices ou pode pertencer 
a qualquer lado do polígono).
Um dos pilares do pensamento computacional é o algoritmo, que é utilizado para estipular uma ordem, uma rotina ou uma 
sequência de passos a fim de resolver um problema.
Algoritmos não são utilizados apenas para programar cálculos em computadores; eles podem ser utilizados sempre que 
quisermos organizar e ordenar uma sequência de passos, como em uma receita de bolo ou nas instruções para trocar o pneu 
de um carro.
Fique atento
	 1.	Veja a seguir um exemplo de algoritmo da translação de um ponto (x, y) em a unidades para a direita e 
b unidades para cima. Esse algoritmo está escrito usando um pseudocódigo, que é a maneira genérica de 
escrever os passos com uma linguagem simples, sem utilizar uma linguagem de programação específica.
Início
	 Nomeie de (x, y) o ponto inicial
	 Nomeie de a o deslocamento para a direita
	 Nomeie de b o deslocamento para cima
	 Crie (x8, y8)
	 Calcule x8 ó x 1 a
	 Calcule y8 ó y 1 b
	 Saída: (x8, y8) 
Fim
 Usando esse algoritmo, podemos determinar, por exemplo, a translação de um ponto (2, 3) em 3 unida-
des para a direita e 5 unidades para baixo. Acompanhe.
Algoritmo Cálculos correspondentes
Início
	 Nomeie de (x, y) o ponto inicial
x 5 2
y 5 3 
	 Nomeie de a o deslocamento para a direita a 5 3
	 Nomeie de b o deslocamento para cima b 5 25
	 Crie (x8, y8) (x8, y8)
	 Calcule x8 ó x 1 a
A variável x8 recebe o valor do cálculo indicado:
x8 5 2 1 3 5 5
	 Calcule y8 ó y 1 b
A variável y8 recebe o valor do cálculo indicado:
y8 5 3 1 (25) 5 22
	 Saída: (x8, y8) 
Fim
O valor de saída é o valor das variáveis x8 e y8:
(5, 22) 
Assim, o ponto transladado tem coordenadas (5, 22).
2
3
5
2











ñ 2
Nesse algoritmo, a, b, x, y, x8 e y8 são as variáveis. 
A seta ó pode indicar que uma variável do algoritmo vai receber um 
valor (um número explicitado no algoritmo, o valor de outra variável 
ou o resultado de um cálculo). Por exemplo, em x8 ó x 1 a, a 
variável x8 do algoritmo recebe o valor do cálculo x 1 a.
Observe que 
atribuímos à 
variável a o 
valor 3, pois o 
deslocamento 
será para 
a direita, e 
atribuímos à 
variável b o 
valor 25, pois o 
deslocamento 
será para baixo.
Fique atento
111
Vestibulares e Enem
	 1.	(UFRN) Numa escola, o acesso entre dois pisos des-
nivelados é feito por uma escada que tem quatro de-
graus, cada um medindo 
24 cm de comprimento 
por 12 cm de altura. Para 
atender à política de 
acessibilidade do Gover-
no Federal, foi construída 
uma rampa, ao lado da 
escada, com mesma in-
clinação, conforme mos-
tra a foto ao lado.
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de 
acordo com as normas recomendadas, um fiscal da 
Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz 
com o solo.
O valor encontrado pelo fiscal:
	a) estava entre 30° e 45°.
	b) era menor que 30°.
	c) foi exatamente 45°.
	d) era maior que 45°.
	 2.	(UEG-GO) Do alto de um edifício de 24 metros de al-
tura, um engenheiro vê o topo de um outro edifício 
mais alto, observando-o sob um ângulo de 30°. 
Sabendo que a distância entre os dois edifícios é de 
100 3 metros, a altura do edifício mais alto é:
	a) 100 3 m.
	b) 100 m.
	c) 124 m.
	d) 124 3 m.
	 3.	(UFPA) Considere o gráfico da função trigonométrica 
abaixo, no qual F(p) 5 5:
0
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10212223242526272829210
Interpretando o gráfico, podemos concluir que F(3p) 
é igual a:
	a) 4. 	b) 5. 	c) 6. 	d) 7. 	e) 8.
	 4.	(Uncisal) Numa praça circular de diâmetro 60 m há um 
passeio que une seus pontos situados mais ao Norte e 
mais ao Nordeste. Se desprezarmos sua largura e ado-
tarmos 2 5 1,4, qual é o comprimento aproximado, 
em metros, desse passeio?
	a) 3042 
	b) 1800
	c) 882 
	d) 552 
	e) 360 
	 5.	(UFGD-MS) A umidade relativa do ar em uma deter-
minada cidade foi medida das 6 horas da manhã de 
um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os 
dados obtidos estão representados pela função perió-
dica abaixo.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
6:00 12:00 18:00 0:00 6:00
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(%
)
Hora do dia
A expressão que descreve a variação da umidade do ar 
(dada em porcentagem) como função da hora do dia 
(dada pela variável t) é:
	a) F(t) 5 50 1 20cos (2pt).
	b) F(t) 5 50 1 





t50cos
12
p
.
	c) F(t) 5 50 1 





t20cos
12
p
.
	d) F(t) 5 70t2.
	e) F(t) 5 t2 1 20.
	 6.	(UFTM-MG) Robô da Nasa anda em Marte: em seu 
primeiro “test-drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou 
por 120° e percorreu mais 2,5 m, em 16 minutos.
(O Estado de S. Paulo, 24.08.2012.)
A figura esquematiza a trajetória 
do robô,contida em um plano, 
onde todos os trechos por ele 
percorridos foram em movi-
mento retilíneo. Suponha que 
esse robô retorne ao ponto de 
partida (P), mantendo a mesma 
velocidade média desenvolvida 
anteriormente. 
Adotando como valor da raiz quadrada de um núme-
ro decimal o número inteiro mais próximo, é correto 
afirmar que, para ir do ponto B ao ponto P, o robô irá 
demorar, aproximadamente:
	a) 9 min 6 s.
	b) 12 min 6 s.
	c) 10 min 40 s.
	d) 13 min 12 s.
	e) 11 min 30 s.
A
2,5 m
120¡
B
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4,5 m
P
B
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Conheça seu livro
Leitura e compreens‹o
Não escreva no livro.
Stonehenge e as circunferências concêntricas
O misterioso monumento de Stonehenge, localizado a cerca de 15 quilômetros 
ao norte da cidade de Salisbury (Reino Unido), intriga estudiosos há muitos séculos. 
Não se sabe ao certo como e para que Stonehenge foi construído, havendo teorias de 
que foi erguido para prever eclipses e outros fenômenos celestes, como o nascimento 
do Sol e da Lua no solstício e no equinócio, ou que as estruturas são vestígios de um 
grande templo religioso.
Vista aérea do monumento Stonehenge (Reino Unido). Foto de 2020.
Vista de cima, a parte mais famosa do complexo de Stonehenge era formada por 
duas circunferências concêntricas (de mesmo centro) de grandes blocos de pedra, a 
maior com diâmetro de medida de comprimento de 32 metros. As pedras chegavam a 
ter altura com medida de comprimento de 5 metros e podiam pesar quase 5 toneladas.
As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
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Representação 
artística de como era 
originalmente a vista de 
cima do monumento 
Stonehenge.
43
Eratóstenes e a medida de comprimento 
da circunferência da Terra
O matemático, astrônomo, geógrafo, bibliotecário e poeta Eratóstenes (276 a.C.- 
-194 a.C.) nasceu em Cirene (antiga colônia grega no norte da África), mas viveu e 
morreu em Alexandria (Egito). Um dos feitos mais reconhecidos dele foi a concepção e 
execução de um experimento científico em que determinou a medida de comprimen-
to da circunferência da Terra, que foi considerado o sétimo entre os dez mais belos 
experimentos da Física, de acordo com a revista britânica internacional Physics World.
De acordo com o artigo “Revivendo Eratóstenes” – escrito por Paulo Cesar R. Pe-
reira e publicado em 2006 na Revista Latino-Americana de Educação em Astronomia –, 
o valor encontrado para a medida de comprimento da circunferência da Terra no ex-
perimento do matemático teria sido de 250 000 estádios.
A conversão entre as unidades de medida de comprimento estádio e quilômetro é 
controversa. De acordo com historiadores, o valor considerado mais provável é o de 
que 1 estádio equivale a 0,185 quilômetro. Então, aplicando essa conversão, a medida 
encontrada por Eratóstenes teria sido de 46 250 km.
A medida de comprimento da circunferência da Terra atualmente aceita é de 
39 941 km, ou seja, a medida obtida experimentalmente há mais de 2 200 anos apre-
sentava precisão razoável, com erro de aproximadamente 14%.
Outra grande 
contribuição de 
Eratóstenes foi 
a elaboração de 
um método (um 
algoritmo) para 
determinar todos 
os números primos 
menores ou iguais 
a certo número 
natural, que 
ficou conhecido 
como crivo de 
Erat—stenes. Talvez 
você já tenha 
estudado esse 
algoritmo no Ensino 
Fundamental.
Fique atento
Sobre o assunto
Robert P. Crease (1953-), filósofo e historiador da ciência, nascido nos Estados Unidos, 
perguntou aos leitores da revista internacional Physics World, na qual escreve uma coluna, 
quais experimentos eles julgavam ser os mais belos. Embora ele tenha inicialmente 
pedido aos leitores que nomeassem os mais belos experimentos físicos, a maioria deles 
compreendeu que a pesquisa era sobre experimentos científicos e, por isso, apareceram 
citações de experimentos de Química, de Engenharia e de Psicologia. 
Com isso, considerando os experimentos que foram citados mais vezes, ele definiu uma 
lista e escreveu o livro Os 10 mais belos experimentos científicos (Trad. Maria Inês Duque 
Estrada. Rio de Janeiro: Zahar, 2006), no qual os expõe como em uma galeria de arte. Os 
experimentos são apresentados no livro em ordem cronológica, sendo o primeiro o de 
Eratóstenes, no qual ele mede o comprimento da circunferência da Terra.
Você pode ler o trecho do livro que relata esse experimento, bem como conhecer outros 
dos experimentos científicos que tiver interesse.
Capa do livro Os 10 mais belos experimentos científicos.
Embora Eratóstenes não tenha sido a primeira pessoa a estimar uma medida de 
comprimento para a circunferência da Terra, ele foi o primeiro que fez isso apresen-
tando e executando um método detalhado e chegando a valores próximos dos reais.
Em um relato publicado em um livro da biblioteca de Alexandria, Eratóstenes sou-
be que, ao meio-dia do solstício de verão, um poço na cidade de Siena (Itália) não 
produzia sombra. Siena dista 5 000 estádios ao sul de Alexandria, e ambas as cidades 
estão aproximadamente no mesmo meridiano da Terra. Assim, ele entendeu que, ao 
meio-dia do solstício de verão, os raios de luz do Sol incidiriam verticalmente sobre 
a cidade de Siena e que, quanto mais curva fosse a superfície da Terra, maior seria o 
comprimento da sombra projetada por um objeto em Alexandria no mesmo instante. 
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Conex›es
46
Na seção Tecnologias digitais, 
propomos a utilização de diversas 
tecnologias, como calculadora, 
simuladores e softwares livres, para 
fazer explorações, investigações 
e simulações, calcular medidas 
estatísticas, construir e manipular 
representações gráficas, figuras 
geométricas, planilhas, entre 
outros.
Conhecimentos e saberes 
matemáticos desenvolvidos 
e utilizados por diferentes 
comunidades são 
apresentados na seção 
Além da sala de aula. 
Nela você também será 
convidado a investigar 
questões e propor ações 
que podem auxiliar a 
comunidade em que vive. 
Além disso, utilizará as 
ideias do pensamento 
computacional para analisar 
e compreender problemas, 
bem como modelar e 
automatizar resoluções.
Na seção Vestibulares e Enem, 
propomos questões do Enem e de 
vestibulares de todas as regiões do 
Brasil relacionadas aos conteúdos 
estudados no capítulo.
Na seção Leitura e compreensão, 
você é convidado a ler e 
interpretar diferentes textos que 
visam ampliar e enriquecer os 
conteúdos estudados no capítulo.
Temas relevantes e atuais que relacionam 
diferentes áreas do conhecimento são 
explorados na seção Conexões. 
As atividades apresentam oportunidades 
de interpretação, aplicação, pesquisa, 
ampliação e debate do tema da seção.
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7
Sum‡rio
Capítulo 1: Trigonometria ..................................... 8
Trigonometria no triângulo ........................................... 12
Explorando a semelhança de triângulos ................ 13
Formalizando o conceito de semelhança 
de triângulos .................................................................. 14
Um pouco da história da Trigonometria ................ 15
Formalizando as relações métricas 
no triângulo retângulo ................................................ 17
Explorando as razões trigonométricas 
no triângulo retângulo ................................................ 20
Formalizando algumas razões 
trigonométricas no triângulo retângulo ................. 20
Leitura e compreensão .................................................. 25
Formalizando a definição de seno 
e cossenode ângulos obtusos ................................. 29
Funções trigonométricas ................................................ 38
Conceitos trigonométricos básicos 
na circunferência ........................................................... 39
Leitura e compreensão .................................................. 43
Conexões ............................................................................ 46
Tecnologias digitais ......................................................... 53
Explorando a ideia de seno e cosseno 
de um número real ....................................................... 57
Formalizando a definição de seno e cosseno 
de um número real ....................................................... 58
A função seno ................................................................ 62
A função cosseno ......................................................... 64
As senoides e os fenômenos periódicos ............... 66
Tecnologias digitais ......................................................... 68
Leitura e compreensão .................................................. 77
Vestibulares e Enem ....................................................... 80
Capítulo 2: Matrizes e sistemas lineares .... 84
Matrizes e transformações geométricas ................... 88
Explorando as matrizes ............................................... 89
Formalizando a definição de matriz ........................ 90
Um pouco da história das matrizes ......................... 91
Leitura e compreensão .................................................. 94
Transformações geométricas .................................... 96
Tecnologias digitais ......................................................... 103
Além da sala de aula ....................................................... 111
Conexões ............................................................................ 113
Sistemas lineares .............................................................. 115
Um pouco da história da resolução 
dos sistemas de equações ......................................... 116
Formalizando o conceito 
de sistemas lineares ..................................................... 117
Tecnologias digitais ......................................................... 127
Escalonamento de sistemas lineares ....................... 132
Sistemas lineares, matrizes 
e determinantes ............................................................ 141
Vestibulares e Enem ....................................................... 146
Tabela de razões trigonométricas ................. 148
Respostas ....................................................................... 149
Lista de siglas das atividades 
extraídas de provas oficiais .............................. 153
A Base Nacional Comum 
Curricular (BNCC) ....................................................... 154
Referências bibliográficas comentadas ...... 159
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O surfe é um esporte praticado
na superfície da água, geralmente no 
mar, e consiste em deslizar nas ondas 
em cima de uma prancha.
Trigonometria
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Professor, as sugestões 
para o desenvolvimento 
desta abertura 
encontram-se nas 
Orientações específicas
deste Manual. 
Q
uando vamos à praia em diferentes horários, podemos 
perceber a variação do nível do mar, que ocorre devi-
do à maré − fenômeno periódico de elevação e dimi-
nuição do nível do mar causado pelas forças de atração exercidas 
pela Lua e pelo Sol sobre a Terra.
A Lua exerce mais influência de atração nas águas do mar do que o 
Sol, pois, apesar de ele ter aproximadamente 27 milhões de vezes mais 
massa do que a Lua, está cerca de 390 vezes mais afastado da Terra.
O maior e o menor nível das águas do mar são chamados, respectivamente, 
de maré alta e maré baixa. A cada dia, a força gravitacional da Lua, que orbita 
ao redor da Terra, atrai as águas e provoca correntes marítimas que geram, em 
cada local, 2 marés altas (nas águas que estão na direção da Lua e em oposição 
a ela) e 2 marés baixas (nos intervalos entre as marés altas). 
Porém, como a Terra também está em movimento no Sistema Solar, rotacionando 
em torno do próprio eixo, esses ciclos de 2 marés altas e 2 marés baixas não aconte-
cem exatamente a cada 24 horas. Se considerássemos apenas esses fatores e a força 
gravitacional da Lua, a medida de intervalo de tempo entre 2 marés altas consecutivas 
(ou entre 2 marés baixas consecutivas) seria de 12 horas e 26 minutos. Considerando 
que há outros fatores envolvidos, que também influenciam um pouco nas marés, esse 
intervalo de tempo pode variar alguns minutos para mais ou para menos a cada ciclo 
de marés.
Não escreva no livro.
Exemplo de resposta: É um fenômeno que se repete sempre após 
o mesmo intervalo de tempo.
Rotação da Terra em torno do próprio eixo, com período de 24 horas, rotação da Terra em torno do Sol, com período 
de 365 dias e 6 horas, e rotação da Lua em torno da Terra, com período de 29 dias.
a)	 O que você entende por fenômeno periódico? 
b)	O texto citou três fenômenos periódicos que influenciam o nível do mar. Qual é o 
período de repetição de cada um deles? Se necessário, faça uma pesquisa para 
responder a essa pergunta.
Representação artística, fora de escala e em cores fantasia, da atração gravitacional 
da Lua no nível do mar na Terra, desconsiderando a força gravitacional do Sol.
04_01_i001_Mat_Dante_1AtO2g21_LE 
ILUSTRA NOVA. Ilustrar ar� s� ca da Terra 
e Lua mostrando variações da maré. Além 
das cotas indicadas, colocar também cota 
“Polo Norte”
04_01_i001_Mat_Dante_1AtO2g21_LE 
ILUSTRA NOVA. Ilustrar ar� s� ca da Terra 
e Lua mostrando variações da maré. Além 
das cotas indicadas, colocar também cota 
“Polo Norte”
atração gravitacional 
da Lua
Terra
maré alta
maré alta
maré baixa
polo norte
maré baixa
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Nas cidades litorâneas, diversas atividades se ajustam em decorrência das marés 
alta e baixa. 
O surfe, por exemplo, é uma prática esportiva que depende do nível do mar e de 
outros fatores. Quando a maré está baixa (também chamada de maré seca), a camada 
de água é menor e as ondulações têm mais contato com o fundo do mar, possibilitan-
do ondas com melhores formações. Quando a maré está alta (também chamada de 
maré-cheia), a camada de água é maior e os surfistas afirmam que a onda está “gorda” 
e não está tão boa para surfar.
A pesca também é influenciada pelo nível do mar e geralmente apresenta melhores 
resultados com maré alta, pois há maior movimentação de todos os seres vivos mari-
nhos. Outros fatores importantes para a pesca durante a maré alta são a baixa inclina-
ção do fundo do mar e o fato de haver pouco vento, dificultando a formação de ondas.
Para compreender melhor o fenômeno periódico das marés, você pode buscar na internet vídeos que mostram 
os movimentos da Terra, da Lua e do Sol e simulam o deslocamento das águas, formando marés alta e baixa nas 
diferentes partes da Terra. Veja uma sugestão de vídeo produzido pelo Nexo Jornal.
Como funciona a influência da Lua nas marés. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=sYss-N7EnEw. 
Acesso em: 30 jun. 2020.
Sobre o assunto
A zona costeira brasileira se estende 
por mais de 8 500 km, abrangendo 
17 estados. A pesca em águas salgadas 
costuma ser feita na areia da praia, 
como nesta foto, em costões ou em 
alto-mar (pesca embarcada).
A área de proteção ambiental 
Costa dos Corais, nolitoral 
sul de Pernambuco e litoral 
norte de Alagoas, atrai muitos 
turistas pelas piscinas naturais 
que se formam nas marés 
baixas. Foto de 2018.
O turismo de certas cidades litorâneas brasileiras também se ajusta em decorrência 
das marés. Existem praias nas quais o mar forma, durante a maré baixa, o que cha-
mamos de piscinas naturais. Nesses locais, em determinados dias e horários, o nível 
do mar fica tão baixo que é possível observar as rochas ou os recifes que geralmente 
estão submersos, bem como a vida marinha.
O fenômeno das marés que citamos nessas atividades pode ser modelado, aproxi-
madamente, por fun•›es do tipo trigonomŽtrica, como você estudará neste capítulo.
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CONHEÇA O CAPÍTULO
11
Objetivos
•	 Reconhecer a semelhança e a congruência de triângulos, bem como as 
relações métricas em triângulos retângulos.
•	 Resolver e elaborar problemas utilizando a semelhança e a congruência 
de triângulos e as relações métricas em triângulos retângulos.
•	 Explorar e compreender as razões trigonométricas seno, cosseno e tan-
gente em triângulos retângulos e as relações entre elas.
•	 Utilizar a calculadora para determinar o valor exato ou aproximado das 
razões trigonométricas de ângulos agudos.
•	 Resolver e elaborar problemas aplicando as razões trigonométricas em 
triângulos retângulos.
•	 Compreender a lei dos senos e a lei dos cossenos em triângulos quaisquer.
•	 Resolver e elaborar problemas utilizando a lei dos senos e a lei dos cossenos.
•	 Explorar situações relacionadas a fenômenos reais periódicos.
•	 Compreender conceitos trigonométricos relacionados à circunferência.
•	 Utilizar tecnologia digital para construir e explorar arcos côngruos.
•	 Conhecer a definição de seno e cosseno de números reais e as definições 
das funções trigonométricas seno e cosseno.
•	 Compreender a representação de fenômenos reais periódicos por fun-
ções que envolvem seno e cosseno.
•	 Construir os gráficos de funções trigonométricas no plano cartesiano, 
com o uso de tabela de pontos e com o apoio de tecnologia digital.
•	 Identificar e comparar características das funções trigonométricas e das 
representações gráficas delas.
•	 Resolver e elaborar problemas relacionados a fenômenos reais periódicos com-
parando com as características das funções trigonométricas seno e cosseno.
Justificativa
Trigonometria é a área da Matemática na qual os triângulos e as relações 
entre lados e ângulos são estudados, bem como é nela que se investigam 
as funções que chamamos de funções trigonométricas. Você já fez alguns 
estudos dessa área, envolvendo as medidas de comprimento dos lados de 
triângulos retângulos; mas há muito mais a aprender!
As funções trigonométricas são úteis para modelar e analisar fenômenos 
reais que se repetem periodicamente, como o movimento de uma roda-
-gigante, que se repete sempre da mesma maneira, ou os ciclos periódicos 
de marés alta e baixa em uma praia.
A BNCC
No decorrer do capítulo, 
favorecemos o desenvolvimento 
das competências gerais da 
Educação Básica, bem como 
das competências específicas e 
das habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias e de 
outras áreas do conhecimento 
indicadas a seguir. Também 
estão indicados os temas 
contemporâneos transversais 
presentes no capítulo.
Competências gerais: CG01, 
CG02, CG05, CG07, CG08.
Competência específica 
de Matemática e suas 
Tecnologias: CEMAT03.
Habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias: 
EM13MAT306, EM13MAT308.
Habilidades de outras 
áreas do conhecimento: 
EM13LGG104, EM13LGG402, 
EM13LGG701, EM13LGG703, 
EM13CNT204, EM13CNT301, 
EM13CNT302, EM13CNT310, 
EM13CHS106, EM13CHS201.
Temas contemporâneos 
transversais:
•	Ciência e tecnologia;
•	Saúde.
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Trigonometria no triângulo
Situação 1
Decoração
Uma loja de decoração de interiores tem, em um dos ambientes, um papel 
de parede composto de regiões planas brancas e regiões planas pretas limitadas 
por triângulos. Elas estão dispostas de modo que, juntas, podem compor outras 
regiões triangulares maiores. Por exemplo: a medida de comprimento do lado de 
2 regiões triangulares pretas pequenas é equivalente à medida de comprimento 
do lado de uma região triangular média branca; a medida de comprimento do 
lado da região triangular grande branca é equivalente à medida de comprimento 
do lado de 3 regiões triangulares pretas.
	a) Quantas regiões triangulares pretas cabem em uma região triangular média 
branca? E em uma região triangular grande branca?
	b) Junte-se a um colega, observem as composições de regiões triangulares e res-
pondam: Vocês acham que uma região triangular preta e uma região triangular 
pequena branca têm as mesmas medidas de abertura dos ângulos internos? E 
elas têm as mesmas medidas de comprimento dos lados? Sim. Sim.
	 c) E como são as medidas de abertura dos ângulos internos de uma região trian-
gular preta e de uma região triangular grande branca? São iguais.
4 regiões triangulares pretas. 9 regiões triangulares pretas.
Treliças
Treliças são estruturas utilizadas na construção civil para dar sustentação à obra. A tesoura, como a da imagem 
a seguir, é um tipo de treliça formada por uma rede de triângulos que, devido à rigidez da estrutura, é usada 
para suporte de coberturas, como o telhado de casas.
As medidas de comprimento das vigas de uma tesoura precisam ser calculadas de acordo com cada projeto e 
com o tipo de telha que será utilizada no telhado. Considere que, em determinado projeto, um arquiteto calculou 
que a tesoura de um telhado deveria ter 6 m de medida de comprimento da largura e 0,75 m de medida de com-
primento da altura.
Papel de parede composto 
de diferentes regiões planas 
triangulares formando 
padrões geométricos.
Não escreva no livro.
Professor, as sugestões para o 
desenvolvimento deste tópico 
encontram-se nas Orientações 
específicas deste Manual. 
Essa medida corresponde a 
1
20
 ou 0,05 da medida real, pois 6 m 5 600 cm e 
30
600
 
1
20
5 5 0,05. 
Como as medidas de comprimento devem ser proporcionais, 
a medida de comprimento da altura no croqui deve ser de 
3,75 cm, pois 0,05 ? 75 5 3,75.
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Situação 2
Para fazer o croqui dessa estrutura, é necessário utilizar conceitos de semelhança 
de triângulos e representar medidas de comprimento proporcionais às reais.
	a) Considere um croqui em que a largura dessa tesoura foi representada com medida 
de comprimento de 30 cm. Qual é a relação entre essa medida no desenho e a me-
dida real no telhado? Justifique sua resposta.
	b) E qual deve ser a medida de comprimento da altura da tesoura nesse croqui? Justi-
fique sua resposta.
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As imagens não 
estão representadas 
em proporção
6 cm
0,75 cm
Esboço de desenho, 
pintura, planta baixa ou 
projeto arquitetônico.
Croqui
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Observe os triângulos ABC e MNO a seguir, nos quais estão indicados os pares de ângulos congruentes desses triângulos.
A
B
C
N
M
O
18 cm
15 cm
8 cm
10,75 cm
12,9 cm
9,6 cm
	a) Qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados AB MNe ?
	b) Qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados AC MOe ?
	c) E qual é a razão entre as medidas de comprimento dos lados BC NOe ?
	d) As razões que você calculou são todas iguais? O que você pode concluir sobre os triângulos ABC e MNO?
9,6
8
 5 1,2
12,9
10,75
 5 1,2
18
15
 5 1,2
Sim. Resposta esperada: Eles são semelhantes.
Explorepara descobrir
Situação 3
Esquadro
Você se lembra do teorema de Pitágoras? Trata-se de um teorema 
muito importante, que é utilizado em várias áreas de estudo, além da 
Matemática, e cujo nome homenageia o filósofo e matemático grego 
Pitágoras de Samos (c. 570 a.C.-c. 495 a.C.). Ele relaciona as medidas de 
comprimento dos lados de um triângulo retângulo: o quadrado da me-
dida de comprimento do maior lado (a hipotenusa) é igual à soma dos 
quadrados das medidas de comprimento dos outros lados (os catetos). 
Lembre-se de que, em um triângulo retângulo, o maior lado (que é oposto ao ângulo reto) é 
chamado de hipotenusa, os outros dois lados (que são perpendiculares entre si) são chamados 
de catetos, e os ângulos agudos são complementares (a soma das medidas de abertura é 90°).
Fique atento
	a) Considere um triângulo retângulo cujos lados têm medidas de comprimento a, b e 
c, sendo a a maior medida. Escreva no caderno a relação entre essas medidas de 
comprimento usando o teorema de Pitágoras. 
	b) Considere um esquadro como o da foto, cujos lados menores têm medidas de com-
primento de 15 cm e 20 cm. Utilizando o teorema de Pitágoras, determine a medida 
de comprimento do maior lado desse esquadro.
a2 5 b2 1 c2
25 cm
O esquadro é um 
instrumento muito 
usado na Engenharia 
e na Arquitetura para 
traçar retas paralelas e 
retas perpendiculares. 
Ele também pode 
ser usado para medir 
comprimentos e 
traçar alguns ângulos. 
Este esquadro tem a 
forma de um triângulo 
retângulo (triângulo 
que tem um dos 
ângulos internos com 
medida de abertura 
de 90°).
Professor, o estudo do teorema de Pitágoras é proposto pela 
BNCC para o 9o ano do Ensino Fundamental. Se necessário, 
faça retomadas de conteúdos ao longo deste capítulo a fim 
de resgatar conceitos e relações que os estudantes já viram.
Explorando a semelhan•a de tri‰ngulos
Todas as situações citadas nesta página e na anterior envolvem uma mesma figura 
geométrica plana: o triângulo.
Vamos retomar alguns conhecimentos que você já deve ter visto sobre essa figura 
e aprofundar o estudo.
Lembre-se de 
que dois ângulos 
são congruentes 
quando têm a 
mesma medida 
de abertura.
Fique atento
Professor, nesta atividade, os estudantes têm a oportunidade de explorar e retomar os estudos de 
semelhança de triângulos que fizeram no Ensino Fundamental. Observe as respostas dadas por eles e, se 
necessário, faça retomadas sobre o assunto. Na próxima página, a formalização desse estudo será retomada.
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Dotta2/Arquivo da editora
Não escreva no livro.
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Formalizando o conceito de 
semelhança de triângulos
Os triângulos ABC e MNO da página anterior são semelhantes. Veja a definição de 
semelhança de triângulos.
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes 
(homólogos) são congruentes e os lados correspondentes (homólogos) têm 
medidas de comprimento proporcionais.
Observe os triângulos ABC e A8B8C8.
A8
B8 C8
c8
a8
b8
A
B C
c
a
b
Esses triângulos são semelhantes, pois satisfazem todas as condições da definição. 
Veja como indicamos.
nABC á nA8B8C8 ^ $
µ
µ
µ
µ
µ







à 8
à 8
à 8
8
5
8
5
8
A A
B B
C C
a
a
b
b
c
c
e 5 k (razão de semelhança)
A razão de semelhança dos triângulos corresponde à razão das medidas de com-
primento de dois lados homólogos quaisquer dos triângulos. 
Se dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança k, então quaisquer 
outros elementos lineares homólogos desses triângulos também têm medidas de 
comprimento proporcionais com razão k.
 
A A8
B
ch
Ca
b
B8 C8a8
c8h8 b8
nABC á nA8B8C8 ^ 
8
5
8
5
8
5
8
5
1 1
8 1 8 1 8
a
a
b
b
c
c
h
h
a b c
a b c
 5 k
Quando a razão de semelhança de dois triângulos é k 5 1, dizemos que, além de semelhantes, 
eles também são congruentes. Nesse caso, além dos três ângulos correspondentes (homólogos) 
serem congruentes, os três lados correspondentes (homólogos) também são congruentes entre si.
Fique atento
O símbolo á 
significa 
“semelhante”, 
o símbolo ^ 
significa “se, e 
somente se”, e o 
símbolo à significa 
“congruente”.
Fique atento
Qual é a razão de 
semelhança dos 
triângulos ABC e 
MNO da página 
anterior? k 5 1,2
Reflita
Professor, se necessário, retome com os estudantes a congruência de triângulos, que foi estudada no 
Ensino Fundamental.
Professor, ressalte aos 
estudantes que os 
cálculos 
a 1 b 1 c e a8 1 b8 1 c8 
correspondem à medida 
de perímetro de cada 
triângulo.
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No triângulo ABC, a é a medida de 
comprimento do lado BC, 
b é a medida de comprimento 
do lado AC e c é a medida de 
comprimento do lado AB.
Não escreva no livro.
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Para saber se dois triângulos são semelhantes, não precisamos verificar sempre os 
três pares de ângulos homólogos e os três pares de lados homólogos. Podemos veri-
ficar apenas alguns dos elementos, escolhidos convenientemente, conforme os casos 
de semelhança de triângulos.
1º caso: AA (ângulo, ângulo) 2º caso: LLL (lado, lado, lado)
Se dois triângulos têm dois ângulos homólogos 
respectivamente congruentes, então eles são 
semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados 
homólogos com medidas de comprimento 
proporcionais, então eles são semelhantes.
B C
A
B 8 C 8
A 8
$
µ
µ
µ




à 8
à 8
A A
B B
 ~ nABC á nA8B8C8
B C
A
c b
a B8 C8
c8 b8
a8
A8
8
5
8
5
8
a
a
b
b
c
c
 ~ nABC á nA8B8C8
3º caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Se dois triângulos têm dois lados homólogos com medidas de comprimento proporcionais, e os ângulos 
compreendidos entre esses pares de lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
B C
A
a
b
c
B8 C8
A8
a8
b8
c8
 
$ µ 





à 8
8
5
8
B B
c
c
a
a
 ~ nABC á nA8B8C8
Um pouco da história da Trigonometria 
No estudo da Trigonometria (do grego trigónos 1 métron, que significa “medida 
dos triângulos”), o conceito de proporcionalidade é central e foi um dos conhecimen-
tos geométricos mais úteis ao longo dos séculos. 
Usando semelhança de triângulos, o astrônomo e matemático grego Aristarco de 
Samos (310 a.C.-230 a.C.) comparou as medidas de distância entre a Terra e o Sol e 
entre a Terra e a Lua (veja mais sobre isso na página 25). Com esse mesmo conheci-
mento, matemáticos árabes estabeleceram as razões trigonométricas.
O filósofo, matemático, engenheiro e astrônomo grego Tales de Mileto (624 a.C.- 
-547 a.C.), considerado um dos mais versáteis gênios da Antiguidade, levou para a Gré-
cia os conhecimentos geométricos desenvolvidos pelos egípcios e começou a aplicar a 
eles os procedimentos da Filosofia grega. Com o método de comparar sombras, atual-
mente conhecido como teorema de Tales, realizou muitos cálculos até então inéditos. 
O mais famoso deles foi o método para obter a medida de distâncias inacessíveis. 
Uma das aplicações mais conhecidas do método que Tales desenvolveu é a deter-
minação da medida de comprimento da altura de uma pirâmide pela sombra que ela 
projeta no solo. 
Fontes de consulta: BOYER, Carl C. História da Matemática. São Paulo: 
Blucher, 2012. ROSA, Carlos Augusto de Proença. História da ciência: 
da Antiguidade ao Renascimento científico. 2. ed. Brasília-DF: Funag, 2012.
Você já estudou 
os casos de 
semelhança de 
triângulos no Ensino 
Fundamental. 
Relembre-os 
e pesquise a 
demonstração de 
cada um deles.
Fique atento
As demonstrações dos 
casos de semelhança 
encontram-senas 
Orientações específicas 
deste Manual. 
Busto de Tales de 
Mileto no museu 
Nacional Romano 
(Itália).
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	 1.	Junte-se a três colegas e pesquisem o método que Ta-
les utilizou, de acordo com o historiador e filósofo gre-
go Plutarco (c. séc. I), para calcular a medida de compri-
mento da altura de uma pirâmide utilizando a sombra 
que ela projeta. 
	 2.	Considere os triângulos isósceles ABC e DEF, de bases 
BC EFe , tal que $ $àB E. Com um colega, verifiquem 
que esses triângulos são semelhantes.
	 3.	A figura ao lado 
mostra um qua-
drado PQSR ins-
crito em um triân-
gulo ABC. Sendo 
BC5 24 cm e a al-
tura relativa a essa 
base com medida 
de comprimento 
de 16 cm, calcule 
a medida de comprimento do lado desse quadrado.
	 4.	Retome as situações 1 e 2 da página 12.
	a) Na situação 1, as regiões planas são limitadas por 
triângulos. Observe as respostas que você deu ao 
item b e responda: Os triângulos que determinam 
uma região triangular preta e uma região triangular 
pequena branca são semelhantes? Se sim, qual é a 
razão de semelhança deles, nessa ordem?
	b) E os triângulos que determinam uma região trian-
gular preta e uma região triangular grande branca 
são semelhantes? Se sim, qual é a razão de seme-
lhança deles, nessa ordem?
	c) Na situação 2, a tesoura do telhado tem o formato 
de triângulo. Quais seriam as medidas das dimen-
sões do desenho no croqui, em centímetros, se a ra-
zão de semelhança com as medidas reais fosse 
3
50
?
	 5.	A semelhança de triângulos pode ser usada para deter-
minar medidas de comprimento inacessíveis, como a da 
altura em que se encontra uma cesta de basquete oficial, 
em relação ao piso da quadra. 
Observe o esboço 
da situação e, con-
siderando o uso 
de um modelo de 
triângulo retângulo 
isósceles DGF, fei-
to de papel, com 
o lado DG paralelo 
ao chão, determine 
a medida de com-
primento da altura 
dessa cesta.
A resposta encontra-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
x 5 9,6 cm
Sim. k 5 1 (ou seja, são também congruentes).
Sim. k 5
1
3
.
4. c) 36 cm de medida de comprimento 
da largura e 4,5 cm de medida de 
comprimento da altura.
305 cm ou 3,05 m.
	 6.	Considerando o 
método usado na 
atividade anterior, 
usando um modelo 
de triângulo retân-
gulo isósceles de 
papel, determine a 
medida de compri-
mento da altura do 
mastro da bandeira 
do esboço ao lado. 
480 cm ou 4,8 m.
Atividades
4. Professor, amplie a proposta desta atividade e pergunte aos estudantes qual é a 
razão de semelhança dos triângulos que determinam uma região triangular grande 
branca e uma região triangular preta. Nessa ordem, a razão é k 5 3.
7. Professor, para realizar esta atividade, os estudantes precisam sair da sala de aula. Organize o melhor momento e espaço da 
escola para essa experimentação.
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16 2 x
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130 cm
175 cm
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130 cm
175 cm
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300 cm
180 cm
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
0,3 m
1,2 m
4 m
	 7.	Junte-se a três colegas para realizar esta atividade.
	a) Usem o método da atividade 5 e determinem as 
medidas de comprimento de algumas alturas (casa, 
edifício, poste, árvore, etc.). Organizem em uma ta-
bela o nome do objeto, as medidas obtidas experi-
mentalmente e a medida calculada. 
	b) Agora, escolham um dos objetos e elaborem um 
problema para que outro grupo calcule a medida de 
comprimento da altura do objeto. Fiquem atentos 
a todos os dados que vocês precisam informar no 
enunciado e, se julgarem necessário, façam no ca-
derno um esboço da situação. Resposta pessoal.
	 8.	A medida de comprimento da altura de uma árvore é de 
10 m, a medida de distância entre ela e o observador é 
de 50 m, e a medida de distância entre a árvore e uma 
torre é de 70 m. Considerando que o olho do observa-
dor, o topo da árvore e o topo da torre estão alinhados, 
qual é a medida de comprimento da altura da torre?
70 m
10 m
50 mO A
M
9.	Outra maneira de calcular medidas de comprimento 
inacessíveis é usando a sombra de objetos, pois, como 
os raios solares incidem paralelamente entre si, eles 
geram sombras com medidas de comprimento propor-
cionais às dos objetos.
Por exemplo, 
veja nas imagens 
uma vareta finca-
da no chão e as 
sombras geradas 
pelos raios sola-
res na vareta e 
no prédio e cal-
cule a medida de 
comprimento da 
altura do prédio. 
16 m
Respostas pessoais.
24 m
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Não escreva no livro.
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Formalizando as relações métricas 
no triângulo retângulo
Utilizando a semelhança de triângulos, podemos obter as relações métricas no triân-
gulo retângulo: fórmulas que relacionam as medidas de comprimento dos lados e das 
alturas do triângulo retângulo.
A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC o divide em dois triân-
gulos retângulos semelhantes a ele e semelhantes entre si. Observe.
a
b
b
ba
a
c
b
h
D
a
A
B D D
c
b
hh
Cnm
A A
B C
Como os três triângulos têm todos os ângulos internos congruentes, eles são se-
melhantes pelo caso AA. Assim: 
nABC á nDBA á nDAC
Lembre-se de algumas nomenclaturas dos triângulos retângulos, considerando o triângulo ABC acima.
Ao traçarmos a altura AD, perpendicular à hipotenusa BC, ficam definidos os seguintes elementos:
•	AD é a altura relativa à hipotenusa (e tem medida de comprimento h);
•	BD é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa (e tem medida de comprimento m);
•	CD é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa (e tem medida de comprimento n).
Fique atento
Da semelhança dos triângulos ABC e DBA, estabelecemos uma relação métrica:
5 ~ 5
AB
BC
DB
BA
c
a
m
c
 ~ c2 5 am
Da semelhança dos triângulos ABC e DAC, temos:
5 ~ 5
AB
BC
DA
AC
c
a
h
b
 ~ ah 5 bc 
5 ~ 5
AC
BC
DC
AC
b
a
n
b
 ~ b2 5 an 
Da semelhança dos triângulos DBA e DAC, segue que:
5 ~ 5
DA
DB
DC
DA
h
m
n
h
 ~ h2 5 mn
Somando membro a membro as relações c2 5 am e b2 5 an, obtemos:
b2 1 c2 5 am 1 an ~ b2 1 c2 5 a m n
a
E F55
( 1 ) ~ b2 1 c2 5 a2
A relação métrica b2 1 c2 5 a2 é conhecida como teorema de Pitá-
goras: em um triângulo retângulo, o quadrado da medida de compri-
mento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de 
comprimento dos catetos.
As fórmulas 
c2 5 am e b2 5 an 
relacionam os 
mesmos elementos 
nos triângulos DBA 
e DAC. Podemos 
generalizá-las 
assim: em um 
triângulo retângulo, 
o quadrado 
da medida de 
comprimento 
de um cateto é 
igual ao produto 
das medidas de 
comprimento da 
hipotenusa e da 
projeção ortogonal 
desse cateto.
Fique atento
Monumento em homenagem 
a Pitágoras, na ilha de Samos 
(Grécia). Foto de 2018.
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	10.	Determine o valorde x, y, z e w neste triângulo retângulo. 
x
12
15
y
zw
	11.	Calcule as medidas de comprimento b, c e h indicadas 
no triângulo retângulo a seguir.
5
a
15
CB
A
c b
h
	12.	Calcule os valores de c, r, x e y indicados no triângulo.
r
y x
c
23
7
 
	13.	Em um triângulo retângulo, a razão entre as medidas 
de comprimento das projeções ortogonais dos catetos 
sobre a hipotenusa é 
9
16
. Sabendo que a hipotenusa 
tem medida de comprimento de 10 cm, calcule as me-
didas de comprimento dos catetos. 6 cm e 8 cm.
	 1.	Calcule o valor de x em cada figura.
	a) 
2
4
x
 b) 
3
5
x
 c) 
6
a
8
x
Resolução
	a) Usando a relação métrica c2 5 am, obtemos: 
22 5 4x ~ 4 5 4x ~ x 5 1
	b) Pelo teorema de Pitágoras, obtemos: 
32 1 x2 5 52 ~ 9 1 x2 5 25 ~ x2 5 16 ~ x 5 4 (Consideramos apenas o valor positivo, pois a medida de 
comprimento x não pode ser negativa.)
	c) Pelo teorema de Pitágoras, calculamos inicialmente a medida de comprimento a: 
a2 5 62 1 82 ~ a2 5 100 ~ a 5 10 (a também não pode ser negativo)
Agora, pela relação métrica ah 5 bc, obtemos: 10x 5 6 ? 8 ~ x 5 4,8
	 2.	Uma rodovia cruza uma hidrovia perpendicularmente por meio de uma ponte. Ambas podem ser considera-
das retilíneas. No mesmo instante em que um carro cruza a ponte, a uma medida de velocidade constante de 
100 km/h, uma barcaça passa sob a ponte a 60 km/h e prossegue a viagem a essa velocidade. Após 15 minutos, 
qual será a medida de distância aproximada entre o automóvel e a barcaça supondo que ambos estejam no 
mesmo plano horizontal?
Resolução
A medida de velocidade constante do carro é 100 km/h; logo, em 15 minutos ele terá per-
corrido 25 km. Por sua vez, a barcaça está a 60 km/h; logo, ela terá percorrido 15 km nesses 
15 minutos.
Então, temos ao lado um esboço da situação, em que d pode ser calculado pelo teorema de 
Pitágoras:
d2 5 152 1 252 5 225 1 625 5 850 ~ d 5 5 34 (d não pode ser negativo)
Portanto, usando uma calculadora, determinamos que a medida de distância entre o automóvel e a barcaça 
será de aproximadamente 29,15 km.
Atividades resolvidas
Atividades Não escreva no livro.
x 5 9, y 5 w z
36
5
, 
27
5
 e 
48
5
.5 5
b 5 10 3, 
c 5 10 e h 5 5 3.
c 5 
3 14
5
, r 5 5, 
x 5 1,4 e y 5 3,6.
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	14.	Durante um treinamento, dois atletas partem de uma 
mesma cidade em direção reta: um em sentido leste 
e o outro em sentido norte. Determine a medida de 
distância entre eles depois de 2 horas sabendo que 
correm com medida de velocidade constante de
20 km/h e 25 km/h, respectivamente.
	15.	(Enem) A unidade de medida utilizada para anunciar o 
tamanho das telas de televisores no Brasil é a polega-
da, que corresponde a 2,54 cm. [...] Dizer que a tela de 
uma TV tem x polegadas significa que a diagonal do 
retângulo que representa sua tela mede x polegadas, 
conforme ilustração.
O administrador de um museu recebeu uma TV con-
vencional de 20 polegadas, que tem como razão do 
comprimento (C ) pela altura (A) a proporção 4 : 3, e 
precisa calcular o comprimento (C ) dessa TV a fim de 
colocá-la em uma estante para exposição.
A tela dessa TV tem medida do comprimento C, em 
centímetro, igual a: Alternativa d.
	a) 12,00. 
	b) 16,00. 
	c) 30,48. 
	d) 40,64. 
	e) 50,80. 
	16.	O hexafluoreto de enxofre é um gás sintético formado 
por 6 átomos de flúor e um átomo de enxofre e é um 
ótimo isolante elétrico. Também é um gás 5 vezes mais 
denso do que o ar e, por isso, ao ser inalado, gera o 
efeito de tornar a voz mais grave (efeito contrário ao 
do gás hélio, que deixa a voz mais fina). A geometria 
molecular dessa substância é octaédrica, com o átomo 
de enxofre localizado no centro da estrutura e ângulos 
de ligação com medida de abertura de 90¡.
Supondo que a medida de 
distância entre o átomo de 
enxofre e qualquer átomo 
de flúor seja de 150 pm, 
qual é a medida de distân-
cia entre quaisquer 2 áto-
mos de flúor que não sejam 
opostos ao átomo de enxo-
fre? Use 2 â 1,41.
O picômetro (pm) é uma unidade de medida de 
comprimento que equivale à bilionésima parte do 
milímetro (1 pm 5 1029 mm 5 10212 m), muito usada 
para medir dimensões atômicas.
Fique atento
10 41 km ou aproximadamente 64 km.
Aproximadamente 211,5 pm.
	17.	(Enem) Para decorar uma mesa de festa infantil, um 
chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro 
medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espe-
tar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do 
melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a esta-
bilidade deste suporte, dificultando que o melão role 
sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio 
r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. 
Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área 
possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá 
cortar a calota do melão numa altura h, em centíme-
tro, igual a: Alternativa c.
	a) 25
91
2
.
	b) 210 91.
	c) 1. 
	d) 4. 
	e) 5. 
	18.	(UFGD-MS) O esquadrejamento ou ato de colocar no 
esquadro, na construção civil, é a verificação das me-
didas dos alicerces, paredes ou de qualquer parte em 
que seja necessário obter um ângulo reto, com o obje-
tivo de garantir a perpendicularidade e o paralelismo 
da obra, evitando uma edificação defeituosa. Muitos 
construtores realizam esse procedimento com o uso 
de marcações e medidas utilizando as relações do tri-
ângulo retângulo, na parte da obra em que se deseja 
verificar o esquadro. 
Considerando isso e que as sequências das medições 
dadas nas alternativas são todas referentes a lados de 
um triângulo, [indique no caderno] a alternativa com 
as medidas que indicam o esquadrejamento correto 
na construção de um alicerce. Alternativa e.
	a) 20 cm, 30 cm e 40 cm.
	b) 20 cm, 40 cm e 50 cm.
	c) 35 cm, 45 cm e 70 cm.
	d) 60 cm, 80 cm e 120 cm.
	e) 90 cm, 120 cm e 150 cm.
	19.	Escolha uma situação real que possa ser representada 
por um triângulo retângulo e elabore um problema que 
possa ser resolvido usando uma ou mais relações métri-
cas estudadas. Em seguida, peça a um colega que o re-
solva enquanto você soluciona o problema que ele criou.
Resposta pessoal.
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Não escreva no livro.
Estrutura idealizada do 
hexafluoreto de enxofre.
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Explorando as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Já estudamos como a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados homólogos de triângu-
los semelhantes possibilita a obtenção de medidas de comprimento inacessíveis. 
No exemplo dado com a cesta de basquete, na atividade 5, usamos um modelo de triângulo retângulo 
isósceles feito de papel. Veremos a seguir que é possível usar qualquer triângulo retângulo para determinar 
a altura da cesta sem precisar construir um modelo de papel. Para isso, basta saber a medida de abertura de 
um dos ângulos agudos do triângulo retângulo e, então, usar as razões trigonométricas adequadas.
As razões que você calculou na atividade 2 do Explore para descobrir são razões trigonométricas, que 
definiremos a seguir. 
Formalizando algumas razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
Definição de seno, cossenoe tangente usando semelhança 
de triângulos
Considere um ângulo agudo µAOB com µ( )AOBm 5 u (0° < u < 90°). 
A partir dos pontos C, E, G, » da semirreta 
u ruu
OA , traçamos os segmen-
tos de reta CD EF GH, , , », perpendiculares à semirreta 
u ruu
OB .
Pelo caso AA de semelhança de triângulos, temos que os triângulos 
OCD, OEF, OGH, » formados são semelhantes. Então, podemos escrever:
5 5
CD
OC
EF
OE
GH
OG
 5 » (constante)
Essas razões dependem apenas do ângulo (ou seja, não depen-
dem do triângulo retângulo considerado). Elas são chamadas de 
seno do ângulo µAOB, ou seno de u. 
Considere os quatro triângulos retângulos representados ao 
lado.
1. Esses triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.
2. Considere as medidas de comprimento dos lados desses 
triângulos retângulos.
	a) Calcule a medida de comprimento da hipotenusa de 
cada triângulo. 5 m, 2 5 m, 4 5 m e 6 5 m.
	b) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da hipotenusa
 
em cada triângulo.
	c) Calcule a razão 
medida de comprimento da base
medida de comprimento da hipotenusa
 em cada triângulo.
	d) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da base
 em cada triângulo.
3. O que você percebeu nas razões que calculou?
2 5
5
 em todos os triângulos.
1
2
 em todos os triângulos.
Exemplo de resposta: Cada razão é igual para 
todos os quatro triângulos dados.
Não escreva no livro.
Quando necessário, 
indique as respostas 
usando raízes 
quadradas.
Fique atento
Explore para descobrir
2 m 2 m
2 m
1 m
4 m 4 m
4 m
6 m
Sim, pois têm um ângulo comum e um ângulo reto; então, pelo caso AA, são semelhantes.
5
5
 em todos os triângulos.
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Para representar a medida de abertura de um 
ângulo, é comum o uso de letras minúsculas 
do alfabeto grego, como u, a, b, etc.
Fique atento
20
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Assim, considerando apenas o triângulo OCD, escrevemos:
sen u 5 5
uCD
OC
medida de comprimento do cateto oposto a
medida de comprimento da hipotenusa
, para 0° < u < 90°
De modo análogo, da semelhança dos demais triângulos, obtemos as razões:
5 5
OD
OC
OF
OE
OH
OG
 5 » (constante) 5 5
CD
OD
EF
OF
GH
OH
 5 » (constante)
Essas razões também dependem apenas do ângulo e são chamadas, respectiva-
mente, de cosseno de u e tangente de u:
cos u 5 5
uOD
OC
medida de comprimento do cateto adjacente a
medida de comprimento da hipotenusa
, para 0° < u < 90°
tan u 5 5
u
u
CD
OD
medida de comprimento do cateto oposto a
medida de comprimento do cateto adjacente a
, para 0° < u < 90°
As razões sen u 5 
CD
OC
, cos u 5 
OD
OC
 e tan u 5 
CD
OD
 são chamadas razões 
trigonométricas em relação ao ângulo agudo considerado.
Como citamos, as razões trigonométricas dependem apenas do ângulo agudo, e 
não do triângulo retângulo considerado. Vamos provar isso.
Considere os triângulos ABC e 
A8B8C8, retângulos em A e A8, que 
têm um par de ângulos agudos con-
gruentes (por exemplo, $ µà 8B B ). 
Nesse caso, os triângulos são seme-
lhantes pelo caso AA, pois $ µà 8B B e 
µ µà 8A A (são ângulos retos).
Da semelhança desses triângulos, temos:
8
5
8
~ 5
8
8
b
b
a
a
b
a
b
a 8
5
8
~ 5
8
8
c
c
a
a
c
a
c
a 8
5
8
~ 5
8
8
b
b
c
c
b
c
b
c
Além disso, das razões trigonométricas no nABC, temos:
$ 5B
b
a
sen
 
$ 5B
c
a
cos
 
$ 5B
b
c
tan
E das razões trigonométricas no nA8B8C8, temos:
µ8 5
8
8
B
b
a
sen
 
µ8 5
8
8
B
c
a
cos
 
µ8 5
8
8
B
b
c
tan
Portanto, $ $ $µ µ µ5 8 5 8 5 8B B B B B Bsen sen , cos cos e tan tan . Como $ µà 8B B , concluímos 
que o seno, o cosseno e a tangente dizem respeito apenas ao ângulo agudo, e não ao 
triângulo considerado.
Professor, usaremos 
neste livro a notação 
tan x. Porém, 
em questões de 
vestibulares ou em 
outras situações, os 
estudantes podem se 
deparar com a
notação tg x.
Todas as razões 
trigonométricas para 
ângulos agudos são 
maiores do que 0, 
pois são calculadas 
da razão de valores 
positivos (medidas 
de comprimento dos 
lados do triângulo). 
Seno e cosseno são 
menores do que 1 
porque a hipotenusa é 
sempre maior do que 
o cateto. Já no caso 
da tangente, podemos 
ter qualquer valor 
positivo, pois os catetos 
podem ter medidas de 
comprimento iguais ou 
diferentes.
hipotenusa
cateto oposto a u
cateto adjacente a u
AB
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O lado CD do 
triângulo OCD é o 
cateto oposto ao 
ângulo interno µO, 
que tem medida 
de abertura u. 
Para simplificar a 
linguagem, dizemos 
que CD é o cateto 
oposto a u.
Fique atento
b8
c8
a8
B8A8
C8
A
b
c
a
C
B
Considere um triângulo retângulo no qual um dos ângulos 
agudos tem medida de abertura u. 
Junto com um colega, justifiquem no caderno cada 
afirmação a seguir.
•	sen u é um número entre 0 e 1.
•	cos u é um número entre 0 e 1.
•	tan u é um número maior do que 0.
Reflita
21
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Relações entre seno, cosseno e tangente
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um mesmo ângulo se 
relacionam de várias maneiras, como veremos a seguir.
•	 Relação fundamental do triângulo retângulo: sen2 a 1 cos2 a 5 1, para 0° < a < 90°.
Acompanhe a demonstração. 
Considere um ângulo de vértice B e medida de abertura a e um triângulo 
ABC, retângulo em A.
Verificamos o que acontece com a relação sen2 a 1 cos2 a usando as defini-
ções dessas razões trigonométricas e lembrando que, do teorema de Pitágo-
ras, temos a2 5 b2 1 c2.
sen2 a 1 cos2 a 5 1 5 1 5b
a
c
a
b c
a
a
a
2 2 2 2
2
2
2











 5 1
Portanto, sen2 a 1 cos2 a 5 1, para 0° < a < 90°.
•	 tan a 5 aa
sen
cos
, para 0° < a < 90°.
Observe a demonstração dessa relação, considerando novamen-
te o triângulo ABC acima, retângulo em A, com um dos ângulos 
agudos com medida de abertura a.
Usando as definições dessas razões trigonométricas, obtemos:
b
a
c
a
b
c
sen
cos
a
a 5 5 5 tan a.
Portanto, tan a 5 aa
sen
cos
, para 0° < a < 90°.
•	 Seno, cosseno e tangente em ângulos complementares: Se dois ângulos agudos são complementares, 
então o seno de um ângulo é igual ao cosseno do ângulo complementar e a tangente de um ângulo é 
igual ao inverso da tangente do ângulo complementar.
sen a 5 cos b, cos a 5 sen b e tan a 5 b
1
tan
, para 0° < a < 90°, 0° < b < 90° e a 1 b 5 90°.
Acompanhe a demonstração para um triângulo ABC, retângulo em A e com ân-
gulos agudos complementares, com medidas de abertura a e b.
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente nesse triângulo, temos:
sen a 5 b
a
 5 cos b; portanto sen a 5 cos b.
cos a 5 c
a
 5 sen b; portanto cos a 5 sen b.
tan a 5 5 5 b
c
b b
c
1 1
tan
 5 sen b; portanto tan a 5 b
1
tan
.
Observações
•	 Das duas primeiras relações, surgiu o nome cosseno como “seno do complemento”.
•	 Com essas relações, sempre que conhecermos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um 
ângulo agudo, passamos a conhecer imediatamente as razões trigonométricas do ângulo complementar. 
Por exemplo, sabendo que sen 30° 5 1
2
, passamos a saber que cos 60° 5 1
2
, pois 30° e 60° são medidas 
de abertura de ângulos complementares.
a
B A
C
c
b
a
a
a
b
B A
C
b
c
B
a
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c
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Também podemos fazer:
tan a 5 b
c
 ¯dividimos ambos os termos 
da razão 
b
c
 por a, com a= 0˘
tan a 5 5 aa
b
a
c
a
sen
cos
 
Fique atento
Usamos a notação sen2 a 
para indicar (sen a)2.
Fique atento
22
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	20.	Examine o triângulo retângulo e calcule o valor de 
cada razão trigonométrica.
a
b
12
9 15
	a) sen a 
3
5
	b) cos a 
4
5
	c) tan a 
3
4
 
	d) sen b 
4
5
 
	e) cos b 
3
5 
	 f) tan b 
4
3
 
	21.	Os resultados que você obteve na atividade anterior são 
coerentes com as afirmações do Reflita da página 21?
	22.	Considere o triângulo retângulo representado a seguir.
C
A
z
x
u
y
b
B
	a) Qual é o valor da soma b 1 u? 90°
	b) Indique as razões correspondentes a sen b, cos b, 
tan b, sen u, cos u e tan u.
	23.	Em um triângulo EFG, que é retângulo em E, temos 
$ $ $5 5 5F F Fsen
5
6
, cos
11
6
e tan
5 11
11
. Junte-se a 
um colega para realizar os itens a seguir. Se necessário, 
desenhem no caderno o triângulo EFG.
	a) Calculem µ µ µG G Gsen , cos e tan .
	b) Se a hipotenusa do nEFG tem medida de compri-
mento de 30 cm, então qual é a medida de com-
primento de cada cateto? 
	c) Calculem o valor de cada expressão.
•	 $ $( ) 1 ( )F Fsen cos2 2 
•	
$
$
F
F
sen
cos 
5 11
11
•	 µ µ1G Gsen cos2 2 1
•	
µ
µ
G
G
sen
cos 
11
5
	24.	Neste triângulo retângulo, temos cos a 5 
12
13
.
5
a
x
	a) Calcule sen a e tan a. sen a 5 
5
13
 e tan a 5 
5
12
.
	b) Determine a medida de comprimento da hipotenusa. 
	25.	Se tan a 5 
1
3
, com 0° < a < 90°, então qual é o valor 
de sen a? 
	26.	Sabendo que sen a 5 
4
5
, com 0° < a < 90°, qual é o 
valor de cos a?
	27.	Qual é o valor de tan a se cos a 5 
1
4
 e 0° < a < 90°?
Sim.
EG 5 25 cm e EF 5 5 11 cm.
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x 5 13
sen a 5 
10
10
cos a 5 
3
5
tan a 5 15
	28.	Nesta atividade, você e um colega vão construir uma 
tabela de valores muito importantes.
	a) Inicialmente, calculem sen 45°, cos 45° e tan 45° utili-
zando o triângulo retângulo obtido de um quadrado.
2L
45°
L
L
2L
45°
L L
L
L
	b) Calculem sen 30°, cos 30° e tan 30° utilizando o triân-
gulo retângulo obtido de um triângulo equilátero.
30°
3L
2
L
L
2
30°
3L
2
L L
L
2
L
2
60°
	c) Agora, calculem sen 60°, cos 60° e tan 60° utilizan-
do o mesmo triângulo retângulo do item b. Lem-
brem-se de que 30° e 60° são medidas de abertura 
de ângulos complementares. 
	d) Copiem esta tabela no caderno e completem-na 
com os valores que vocês encontraram.
Medida de abertura sen cos tan
30°
45°
60°
	e) Copiem novamente a tabela do item d no cader-
no e, utilizando uma calculadora ou uma planilha 
eletrônica, calculem o valor de cada razão e o re-
gistrem na tabela na forma decimal. Se necessário, 
façam aproximações para 3 casas decimais.
Atividades Não escreva no livro.
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. 
23. a) sen
11
6
, cos
5
6
e tan
11
5
.G G Gµ µ µ5 5 5
28. As respostas encontram-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Professor, no item c, se necessário, mostre aos estudantes o ângulo de 
medida de abertura de 60° no triângulo retângulo do item b.
•	Em um triângulo retângulo com ângulos de medidas de 
abertura de 90°, 45° e 45°, os catetos são congruentes.
•	Em um triângulo retângulo com ângulos de medidas de 
abertura de 90°, 60° e 30°, a medida de comprimento do 
cateto menor (oposto ao ângulo de medida de abertura de 
30°) é a metade da medida de comprimento da hipotenusa.
Fique atento
	29.	Novamente com um colega, usem transferidor e régua 
para construir um triângulo retângulo que tenha um 
ângulo interno com medida de abertura de 40°. Me-
çam o comprimento dos lados do triângulo que vocês 
construíram e, em seguida, calculem sen 40°, cos 40° e 
tan 40°, com aproximação de 3 casas decimais. 
B
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c
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Respostas pessoais.
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Cálculo do valor das razões trigonométricas 
de ângulos agudos
Na atividade 28 da página anterior, você e um colega calcularam os valores do 
seno, do cosseno e da tangente de ângulos com medidas de abertura de 30°, 45° e 
60°.
Razões trigonométricas
Medida de abertura sen cos tan
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
Observe, nessa tabela, que a sequência de valores da coluna do seno aparece in-
vertida na coluna do cosseno. Isso ocorre porque 30° e 60° são medidas de abertura 
de ângulos complementares, e 45° é complementar de si mesmo. Observe também 
como os valores da coluna da tangente equivalem à razão dos valores do seno e do 
cosseno, pois tan a 5
a
a
sen
cos
, para 0° < a < 90°.
Muitas vezes, para resolver problemas com triângulos retân-
gulos, precisamos conhecer o seno, o cosseno ou a tangente 
de 30°, 45° e 60° ou de outros ângulos agudos. Para determinar 
esses valores, podemos utilizar uma calculadora científica (físi-
ca, no smartphone, no computador ou on-line) ou consultar uma 
tabela de razões trigonométricas com medidas de abertura de 
ângulos de um em um grau, de 1° a 89°. Veja a seguir alguns 
exemplos de cálculos e, na página 148, compare com os valores 
na tabela de razões trigonométricas (que apresenta valores exa-
tos e valores aproximados com 3 casas decimais).
	a) sen 50°
Com uma calculadora:
0.76604444311sen 55 0
	b) cos 20°
Com uma calculadora:
cos 52 0 0.93969262078
	c) tan 35°
Com uma calculadora:
tan 53 5 0.70020753821
Detalhe de uma calculadora científica.
Professor, também podemos calcular os valores 
das razões trigonométricas utilizando uma planilha 
eletrônica. Para isso, geralmente é preciso converter 
as medidas de abertura dos ângulos de graus para 
radianos. Por exemplo, para calcular cos 20º, usamos 
a combinação de fórmulas = COS(RADIANOS(20)), 
que vai converter 20¡ para radianos e calcular 
o valor do cosseno, apresentando o resultado 
0,9396962078», como na calculadora científica.
Na página 40 os estudantes conhecerão a unidade de 
medida radiano e a conversão entre graus e radianos.
Observe se a calculadora científica está aceitando valores em graus e, 
se necessário, ajuste-a para essa unidade de medida.
Fique atento
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Ângulos com essas medidas 
de abertura são comumente 
chamados de ‰ngulos not‡veis, 
ou seja, ângulos que merecem 
atenção especial. 
Fique atento
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Leitura e compreensão
Não escreva no livro.
Aristarco e as medidas de distância entre a Terra e o Sol 
e entre a Terra e a Lua
Desde a Antiguidade as pessoas têm curiosidade de saber o quão distantes da Terra estão o Sol e a Lua. 
Nos eclipses solares o disco lunar encobre o Sol, o que nos leva à conclusão de que o Sol está muito mais 
distante da Terra do que a Lua. Porém, quantas vezes mais distante? Para tentar responder a essa pergunta, 
Aristarco de Samos teve algumas boas ideias.
Aristarco observou a Lua nos momentos em que ela está metade iluminada e metade escura, ou seja, nas 
posições de quarto minguante e quarto crescente. A imagem abaixo mostra o Sol (ponto S ), a Terra (ponto T ) 
e a Lua (ponto L), representados com dimensões e órbitas sem proporção, com fins meramente ilustrativos.
Imaginando, na imagem ao lado, 
que a Lua gire em torno da Terra no sen-
tido horário, a posição L indica o quarto 
minguante, e, nesse momento, o ângu-lo TLS$ é reto. Na posição L8, simétrica 
de L em relação à reta ST
s ru
, a Lua está 
em quarto crescente e o ângulo 8TLSµ é 
também reto. Ocorre que a medida de 
intervalo de tempo que a Lua leva para 
ir de L até L8 é menor do que a que ela 
leva para ir de L8 até L, e isso é observá-
vel na representação ao lado.
Considerando o ciclo lunar de 29,5 dias e a medida de intervalo de tempo em que a Lua passa de min-
guante para crescente, Aristarco estimou a medida de abertura ( )STLm µ 5 a em cerca de 87° e, dessa maneira,
( )TSLm $ 5 u 5 90° 2 87° 5 3°. Sendo DL e DS as medidas de distância entre a Terra e a Lua e entre a Terra e 
o Sol, respectivamente, em notação moderna teremos D
D
L
S
5 sen 3° â 0,052. Portanto, pela observação de 
Aristarco, DS â D
1
0,052
L â 19DL e o Sol estaria 19 vezes mais distante da Terra do que a Lua.
A ideia de Aristarco foi boa, porém ele cometeu erros muito grandes nas medidas de abertura dos ângulos, 
uma vez que era muito difícil saber exatamente quando a Lua estava em quarto minguante ou quarto crescente.
No século XX, com instrumentos mais precisos, foi possível determinar que a medida de abertura u
é equivalente a 0,15° e, usando o mesmo método de Aristarco mais de 2 200 anos atrás, chegamos a DS 5
5
( °)
âD D
1
sen 0,15
1
0,00262
L L â 382DL. Essa estimativa é bem próxima da real; entretanto, atualmente sabe-
mos que um valor ainda mais preciso seria DS 5 390DL, ou seja, comparando essas medidas, concluímos que a 
medida de distância entre o Sol e a Terra é 390 vezes maior do que a medida de distância entre a Lua e a Terra.
Fontes de consulta: ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Várias faces da Matemática: tópicos para licenciatura e leitura geral. 2. ed. São Paulo: 
Blucher, 2010. OLIVEIRA, T. B. de; LIMA, V. T.; BERTUOLA, A. C. Aristarco revisitado. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 38, n. 2, 2016. 
Disponível em: https://www.scielo.br/pdf/rbef/v38n2/0102-4744-rbef-38-02-e2304.pdf. Acesso em: 10 jul. 2020.
	 1.	Todos os cálculos apresentados consideram as medidas médias de distância entre a Terra e o Sol e entre a 
Terra e a Lua. Mas, como as órbitas da Terra ao redor do Sol e da Lua ao redor da Terra são elípticas, essas 
medidas são maiores ou menores do que a média dependendo do dia.
	a) Pesquise a maior e a menor distância entre a Terra e o Sol e entre a Terra e a Lua.
	b) Calcule a maior e a menor razão entre essas medidas. Aproximadamente 405 e 375, respectivamente.
Entre a Terra e o Sol: 152 100 000 km e 147 100 000 km, respectivamente. Entre a Terra e a Lua: 405 500 km e 363 300, respectivamente.
Professor, as sugestões para o 
desenvolvimento desta seção 
encontram-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
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Representação esquemática sem proporção e em cores fantasia.
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	 3.	Resolva o tri ângulo retângulo a seguir.
A C
B
x
4
a
b
34
Resolver um triângulo retângulo é determinar 
as medidas não conhecidas de todos os seis 
elementos (as medidas de comprimento dos 
três lados e as medidas de abertura dos três 
ângulos). Nesse caso, conhecemos as medidas de 
comprimento de dois lados e a medida de abertura 
de um ângulo interno.
Fique atento
Resolução
Pela figura, conhecemos AB 5 4, AC 5 4 3 e 
µ( )Am 5 90° e precisamos calcular BC 5 x, µ( )Cm 5
5 a e $( )Bm 5 b.
•	 x2 5 42 1 ( )4 3
2
5 16 1 48 5 64 ~ x 5 8 
(x não pode ser negativo)
•	 sen a 5 5
4
8
1
2
5 0,5 ~ a 5 30°
•	 $ µµ( ) 1 ( ) 1 ( )A B Cm m m 5 180°~ 90°1 b 1 30°5
5 180° ~ b 5 60°
Logo, BC 5 8, µ( )Cm 5 30° e $( )Bm 5 60°.
	 4.	Uma rampa lisa, com medida de comprimento de 
10 metros, faz com o plano horizontal um ângulo 
com medida de abertura de 30°. Uma pessoa que 
sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros 
verticalmente?
30o
10 m
x
Resolução
Pela figura, temos um triângulo retângulo em que 
a hipotenusa tem medida de comprimento 10 m e 
o cateto oposto ao ângulo de medida de abertura 
de 30° tem medida de comprimento x. Usando a 
definição de seno, obtemos:
sen 30° 5
x
10
~ 0,5 5
x
10
~ x 5 5
Logo, a pessoa eleva-se 5 metros verticalmente.
Resolvida passo a passo
	 5.	(Unifor-CE) Uma pessoa está a 80 3 m de um 
prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 
30°, como mostra a figura abaixo.
80 3
1,60 m
 m
30°
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de 
distância do solo, então podemos afirmar que a al-
tura do prédio em metros é:
	a) 80,2.
	b) 81,6.
	c) 82,0.
	d) 82,5.
	e) 83,2.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
São dadas a medida de distância do aparelho ao 
prédio, a medida de comprimento da altura em 
que ele se encontra e a inclinação do ângulo de 
visão com a horizontal.
	b) O que se pede?
A medida de comprimento da altura do prédio, 
em metros.
2. Planejando a solução
De acordo com os dados do enunciado, podemos 
completar algumas informações na imagem apre-
sentada e observar o triângulo retângulo formado.
x
h
80 3 m
1,60 m 1,60 m
30°
Podemos calcular a medida de comprimento h da 
altura do prédio adicionando as medidas de com-
primento x do cateto oposto a 30° e 1,60 m da al-
tura do aparelho. 
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Atividades resolvidas
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	30.	Observe os valores aproximados que você e um cole-
ga calcularam no item e da atividade 28 e verifique se 
eles condizem com os valores indicados na tabela de 
razões trigonométricas. Resposta esperada: Sim.
	31.	Agora, observe também as afirmações do Reflita da pá-
gina 21 e verifique se elas condizem com os valores 
indicados na tabela de razões trigonométricas de ân-
gulos agudos. Sim.
	32.	Retome a construção do triângulo retângulo que você e 
um colega fizeram na atividade 29 e os valores experi-
mentais que obtiveram para sen 40°, cos 40° e tan 40°. 
Consultem a tabela de razões trigonométricas e verifi-
quem se os valores estão próximos. Respostas pessoais.
Nas atividades a seguir, sempre que necessário, use 
uma calculadora científica ou consulte a tabela de razões 
trigonométricas.
Fique atento
	33.	Para cada triângulo retângulo abaixo, determine o 
seno, o cosseno e a tangente de b usando a defini-
ção dessas razões trigonométricas. Depois, consulte a 
tabela de razões trigonométricas e determine o valor 
aproximado de b, em graus.
	a)
B
C
2
4
A32
b
b)
	34.	Determine o valor de x e de y em cada figura a seguir.
	a)
70°
8 dm x
	b)
x
y 70°
50°
8 m
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x 5 13,23 m e y â 12,44 m.
	35.	Observe o esboço de uma escada.
4 m
60°
x
a
	a) Qual é a medida de comprimento da escada? 8 m
	b) Qual é a medida de abertura do ângulo formado 
pela escada e o chão? 30°
	36.	As ruas Canário e Tico-Tico são perpendiculares. A 
medida de distância entre os pontos A e B é de 50 m. 
As ruas Canário e Sabiá cruzam-se em B formando um 
ângulo de medida de abertura de 60°. 
Qual é a medi-
da de períme-
tro do triângulo 
ABC determi-
nado pelos cru-
zamentos des-
sas três ruas?
	37.	Para determinar a altura de uma torre, um topógra-
fo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um 
ângulo de medida de abertura de 30°, conforme 
mostra a imagem. O teodolito é um instrumento que 
mede a abertura de ângulos horizontais ou verticais 
muito utilizado em topografia.
30°
100 m
h
30°
Sabendo que a luneta do teodolito está a1,70 m do 
solo, qual é a medida de comprimento aproximada da 
altura da torre?
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(150 1 50 3 ) m ou 
aproximadamente 236,6 m.
D
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rq
u
iv
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¯ 100 3
3
1 1,70̆ m ou aproximadamente 59,4 m.
Atividades Não escreva no livro.
não sejam próximos, oriente-os a verificar a construção que fizeram e os possíveis erros 
cometidos.
Para obter o valor de x, usaremos a definição de 
tangente.
3. Executando o que foi planejado
Calculamos a medida de comprimento x do cateto 
oposto a 30°:
tan 30° 5 3
3
~ 5x
80 3
3
3
~ 3x5 80 ? ?3 3 ~
~ 3x 5 240 ~ x 5 80
Agora, calculamos a medida de comprimento h da 
altura do prédio:
h 5 x 1 1,6 5 80 1 1,6 5 81,6
Logo, a medida de comprimento da altura do pré-
dio é de 81,6 metros.
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
A
C
6
8
10
B
b
32. Professor, os cálculos das razões trigonométricas vão depender da precisão da construção do ângulo de medida de abertura 
de 40° e da medição do comprimento dos lados do triângulo retângulo. Porém, esperamos que os estudantes obtenham valores 
próximos aos indicados na tabela de razões trigonométricas: sen 40° â 0,643; cos 40° â 0,755 e tan 40° â 0,839. Caso os valores 
x â 8,51 dm
Il
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Rua Tico-Tico
Rua Sabiá
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A resposta encontra-se nas 
Orientações específicas
deste Manual. 
27
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	38.	A imagem a seguir foi reproduzida do livro em latim Qua-
drans Apiani astronomicus, do humanista alemão Petrus 
Apianus (1495-1552), publicado em 1532. Ela mostra a 
medição do comprimento da altura de uma torre.
Aparentemente o homem viu a torre sob um ângulo 
de medida de abertura de 50°, andou 246 unidades 
de comprimento para trás e novamente viu a torre, 
agora sob um ângulo de medida de abertura de 25°, 
como mostra o esboço a seguir.
torre
50º 25º
246
Considerando esses dados, qual seria a medida de 
comprimento da altura da torre, na unidade de medida 
de comprimento adotada e sem considerar a altura da 
pessoa que mede?
h
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p
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Aproximadamente 188 unidades 
de comprimento.
Você já pensou em como grandes alturas são medidas? 
Em construções feitas pelo ser humano, às vezes 
podemos consultar a medida indicada no projeto 
arquitetônico ou utilizar um teodolito, como na situação 
da torre desta atividade. Quando isso não é possível 
ou quando queremos medir a altura de uma montanha, 
por exemplo, precisamos recorrer a outros processos 
de medição, e o avanço das tecnologias é nosso aliado 
para conseguir medidas cada vez mais precisas.
Pesquise os aparelhos e os processos de medições 
de grandes alturas e como eles evoluíram ao longo 
dos anos, gerando atualizações das medidas. Veja a 
seguir sugestões de sites que podem ser consultados. 
(Acesso em: 17 jun. 2020.)
Geociências: IBGE revê as altitudes de sete pontos 
culminantes. Disponível em: https://agenciadenoticias.
ibge.gov.br/agencia-sala-de-imprensa/2013-agencia-
de-noticias/releases/15275-geociencias-ibge-reve-as-
altitudes-de-sete-pontos-culminantes.
Por que é tão difícil determinar a altura de montanhas. 
Disponível em: https://www.bbc.com/portuguese/
revista/vert_fut/2016/04/160407_vert_future_montanha_
altura_fd.
Sobre o assunto
	39. Veja o croqui que um arquiteto desenhou para a cons-
trução de uma casa, usando a estrutura de tesoura 
para sustentar o telhado.
3 m
6 m 6 m
20¡
	a) Determine a que altura se encontra o ponto mais 
alto da tesoura projetada, em relação ao solo.
	b) Se o arquiteto tivesse projetado uma medida de 
abertura do ângulo maior do que 20°, mantendo a 
medida de comprimento de 6 m, então a altura do 
ponto mais alto da tesoura seria maior ou menor 
do que a calculada no item a? Escolha uma nova 
medida de abertura e faça os cálculos.
	40.	Para saber a medida de comprimento da largura de 
um rio, sem atravessá-lo, podemos utilizar um teodo-
lito e, com os conhecimentos de razões trigonomé-
tricas, efetuar os cálculos. Veja um exemplo de como 
podemos proceder.
•	 Marcamos com uma estaca um ponto A na margem 
do rio em que estamos e consideramos um ponto 
B na outra margem (que pode ser uma árvore ou 
outro objeto que possamos visualizar).
•	 Escolhemos um ponto C na mesma margem do rio 
que o ponto A, de modo que conhecemos a medida 
de distância entre C e A e que o ângulo BACµ seja 
reto. 
•	 Fixamos o teodolito no ponto C e medimos a abertu-
ra do ângulo ACBµ .
Considere que, em determinado rio, a medida de distân-
cia entre os pontos C e A seja de 8 metros, e que a medi-
da obtida para a abertura do ângulo BCAµ tenha sido de 
70°, como na imagem a seguir. Nessas condições, qual é 
medida de comprimento da largura desse rio? 
C
8 m A
70¡
B
L
B
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Aproximadamente 5,052 m.
Maior. Resposta pessoal.
Aproximadamente 22 m.
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Não escreva no livro.
28
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Formalizando a definição de seno 
e cosseno de ângulos obtusos
Como vimos, as razões trigonométricas definidas para ângulos agudos, associados a triângulos retângulos, 
constituem uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas. 
Para ampliar o estudo para ângulos obtusos, não podemos recorrer a triângulos retângulos. Então, neste 
momento, vamos aprender a lidar na prática com o cálculo do seno e do cosseno de ângulos obtusos. A parte 
teórica, que fundamenta o que formalizaremos agora, será feita mais adiante, ainda neste capítulo.
Inicialmente, considere as definições a seguir.
•	 sen 90° 5 1 e cos 90° 5 0 .
•	 O seno de um ângulo obtuso, de medida de abertura a, é igual ao seno do suple-
mento desse ângulo: sen a 5 sen (180° 2 a) .
•	 O cosseno de um ângulo obtuso, de medida de abertura a, é igual ao oposto do 
cosseno do suplemento desse ângulo: cos a 5 2cos (180° 2 a) .
Veja os exemplos.
	a) sen 120°
O suplemento de 120° é 60°, portanto sen 120° 5 sen (180° 2 120°) 5 sen 60° 5 
3
2
.
Logo, sen 120° 5 
3
2
 ou, consultando a tabela de razões trigonométricas, sen 120° â 0,866.
	b) cos 120°
cos 120° 5 2cos (180° 2 120°) 5 2cos 60° 5 
1
2
2
Logo, cos 120° 5 
1
2
2 ou cos 120° 5 20,5.
Lembre-se de que 
dois ângulos são 
suplementares 
quando a soma 
das medidas de 
abertura é 180°.
Fique atento
	41.	Um arame com medida de comprimento de 120 m é 
esticado do topo de um prédio até o solo. Calcule a 
medida de comprimento da altura do prédio sabendo 
que o arame forma com o solo um ângulo com medida 
de abertura de 25°. 
	42.	Quando um raio de luz passa de um meio A para um 
meio B e sofre uma variação na velocidade de propa-
gação, dizemos que ocorreu uma refração. De acordo 
com a lei de Snell-Descartes, podemos relacionar o 
índice de refração de cada meio (n
A
 e n
B
) e o seno do 
ângulo que esse raio forma com a reta normal (ângu-
lo  i$ de incidência e ângulo r$ de refração) usando a 
fórmula n
A
 ? isen $ 5 n
B
 ? rsen $ .
Aproximadamente 50,4 m.
Considere um raio lu-
minoso monocromá-
tico que passa de um 
meio A para um meio B 
de acordo com a ima-
gem ao lado.
O meio A é o ar, em que n
A
 5 1. Com um colega, 
determine o índice de refração absoluto n
B
 do meio B. 
	43.	Escolha um dos três triângulos da atividade 34 e ela-
bore um problema que possa ser representado por 
ele. Em seguida, compare sua criaçãocom as dos 
colegas.
B
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 5 
6
2
 ou n
B
 â 1,225.
Resposta pessoal.
	44.	Calcule o valor de cada razão trigonométrica.
	a) sen 135°
	b) cos 135°
	c) sen 150°
	d) cos 150°
	45.	Determine o valor de cada expressão.
	a) sen 20° 2 sen 160° 1 cos 44° 1 cos 136°
	b) sen 10° ? cos 50° 1 cos 130° ? sen 170°
0
0
Atividades Não escreva no livro.
44. a) 
2
2
 ou aproximadamente 0,707.
b) 2
2
2
 ou aproximadamente 20,707.
c) 
1
2
 ou 0,5.
d) 2
3
2
 ou aproximadamente 20,866.
Não escreva no livro.
60°
reta normal
45°
meio A
meio B
29
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Lei dos senos
Acompanhe a seguinte situação-problema: Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede 
elétrica em uma fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passa-
gem da fiação. Com isso surgiu um pequeno problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a 
medida de distância entre os postes, e a presença do lago impedia a medição direta.
Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a dis-
tância entre eles. Com um teodolito, ele mediu a abertura do ângulo entre a linha de visão dele e os postes, 
obtendo 120°. Um auxiliar mediu a distância entre o engenheiro e o poste mais afastado e obteve 100 m; 
outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes, 
obtendo 45°. Com essas informações, o engenheiro ficou satisfeito, pois ele já conseguiria calcular a medida 
de distância d entre os postes.
A seguir vamos descobrir como fazer esse cálculo.
120°
45°
O
B
d
100 m
A
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Representação da realidade Modelo matemático
Os pontos A e B representam 
as posições dos postes, que 
distam d, e o ponto O representa 
a posição do engenheiro.
O triângulo AOB é obtusângulo, e a resolução desse problema consiste em determinar a medida de 
comprimento do lado AB. Para isso, vamos estudar um teorema, conhecido como lei dos senos: Em qual-
quer triângulo ABC, as medidas de comprimento a, b e c dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos 
opostos A B C, e µµ $ , respectivamente.
a
A
b
B
c
Csen sen sen
5 5
µµ $
Acompanhe a demonstração desse teorema para um triângulo 
acutângulo ABC.
Traçando as alturas AH1 e BH2 , obtemos os triângulos retângulos 
ACH1 e BCH2.
B
a
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c
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1
A
b
C
H
2
h
1
h
2
•	 No nACH1, retângulo em H1, temos:
C
h
b
sen 15µ ~ h1 5 b ? Csen
µ
No nABH1, retângulo em H1, temos:
B
h
c
sen 15$ ~ h1 5 c ? Bsen
$
Comparando as igualdades, temos:
b ? Csen µ 5 c ? Bsen $
b
B
c
Csen sen
~ 5
µ$
 (I)
•	 No nBCH2, retângulo em H2, temos:
C
h
a
sen 25µ ~ h2 5 a ? Csen
µ
No nABH2, retângulo em H2, temos:
A
h
c
sen 25µ ~ h2 5 c ? Asen
µ
Comparando as igualdades, temos: 
a ? Csen µ 5 c ? Asen µ
a
A
c
Csen sen
~ 5
µµ
 (II)
30
028a048_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 30028a048_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 30 9/17/20 11:44 AM9/17/20 11:44 AM
Utilizando a lei dos senos, podemos resolver a situação apresentada 
na página anterior.
Pela lei dos senos, temos:
°
5
°
~ 5 ~ 5 ~
d d
d
100
sen 45 sen 120
100
2
2
3
2
2 100 3
~ 5 5
?
?
5 5 âd
100 3
2
100 3 2
2 2
100 6
2
50 6 122,47
Logo, a medida de distância d entre os postes é de aproximadamente 
122,47 metros.
B
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Verifique que esse teorema também vale para um triângulo obtusângulo e para um triângulo 
retângulo. As demonstrações encontram-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Reflita
H
1
H
2h
1
A
B Ca
bc h
2
b
c
a
BA
C
120°
O
B
d
100 m
A
45°
	 6.	Em um triângulo isósceles, a base tem medida de comprimento de 6 cm, e o ângulo oposto à base tem medida 
de abertura de 120°. Calcule a medida de comprimento dos lados congruentes desse triângulo.
Resolu•‹o
Sendo x a medida de comprimento dos lados congruentes do 
triângulo descrito, podemos fazer um esboço da situação:
Sabemos que:
sen 30° 5 
1
2
 5 0,5
sen 120° 5 sen (180° 2 120°) 5 sen 60° 5 
3
2
 â 0,866 
Então, pela lei dos senos, obtemos:
x x
x
6
sen 120 sen 30
6
3
2
1
2
3
°
5
°
~ 5 ~ 5 6 ~ x 5 
6
3
6 3
3 3
6 3
3
2 35
?
5 5 â 3,46
Ou, utilizando o valor aproximado de sen 120°, obtemos:
x x6
sen 120 sen 30
6
0,866 0,5°
5
°
~ â ~ x 5 3,46
Logo, cada lado congruente do triângulo isósceles tem medida de comprimento de 2 3 cm ou de aproxima-
damente 3,46 cm.
Atividades resolvidas
30°
120°x x
6 cm
Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base é também mediana do triângulo e bissetriz do ângulo interno 
oposto à base. Use esse fato e resolva esta atividade de outra maneira. A resposta encontra-se nas Orientações 
específicas deste Manual. 
Reflita
De (I) e (II), concluímos que:
a
A
b
B
c
Csen sen sen
5 5
µµ $
Não escreva no livro.
W
Y
M
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31
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	 7.	Em um triângulo ABC, temos BC 5 5 cm, Am( )µ 5 48° e Bm( )$ 5 25°. Calcule a medida de comprimento apro-
ximada do lado AB .
Resolução
Podemos fazer um esboço do triângulo ABC descrito:
Pela lei dos senos, temos:
BC
A
AC
B
AB
Csen sen sen
5 5
µµ $
 
Queremos saber qual é a medida de comprimento AB; então 
podemos usar a igualdade 
BC
A
AB
Csen sen
5
µµ
 e, para isso, preci-
samos saber o valor de Csen µ .
48° 1 25° 1 Cm( )µ 5 180° ~ Cm( )µ 5 180° 2 73° 5 107°
sen 107° 5 sen (180° 2 107°) 5 sen 73° â 0,956
Então:
BC
A
AB
C
AB AB
sen sen
5
sen 48 sen 107
5
0,743 0,956
5 ~
°
5
°
~ â
µµ
 ~ AB â 6,43
Portanto, a medida de comprimento do lado AB é de aproximadamente 6,43 cm.
25°
48°
5 cm
A
B C
W
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	46.	Observe cada triângulo e calcule o valor de x.
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	47.	Em um triângulo ABC, conhecemos Am( )µ 5 45°, 
Bm( )$ 5 30° e a 1 b 5 2  1 1. Calcule o valor de a.
	48.	Distintas maneiras de se co-
municar fazem parte da his-
tória da humanidade desde 
a Pré-História, como a utili-
zação da fala, da dança, da 
música, do desenho, da imi-
tação, da linguagem teatral, 
entre outras. O teatro que 
conhecemos atualmente no 
Ocidente teve origem na 
Grécia, por volta do século 
VI a.C. Na época, os palcos 
eram ao ar livre, feitos de 
pedras e com uma grande 
arquibancada para a plateia acompanhar o espetáculo. 
x 5 100 2 ou
x â 141,42.
105°
45°
x
100
x 5 2 3 ou x â 3,46.
45°60°
x
3 2
x 5 5 3 ou x â 8,66.
45°
75° x5 2
x 5 4 2 ou x â 5,66.
45°
30°
8
x
a 5 2 ou a â 1,41.
Atividades Não escreva no livro.
Atualmente, teatros modernos costumam ser em am-
bientes fechados e contam com tecnologias de som e de 
iluminação que permitem boa visualização do palco, in-
dependentemente da posição do espectador na plateia.
Considere, por exemplo, um teatro no qual está insta-
lado um ponto de luz cujo feixe de iluminação abran-
ge um ângulo de medida de abertura de 45° e que a 
posição desse ponto de luz e a frente do palco podem 
ser perfeitamente circunscritos, de modo que o raio 
da circunferência tem medida de comprimento de 
20 metros, como na figura a seguir. 
45º
ponto de luz
20 m
palco
	a) Nessa situação, qual é a medida de comprimento 
da frente desse palco?
	b) Se a medida de abertura do ângulo do feixe de 
iluminação fosse de 51°, você poderia calcular a 
medida de comprimentoda frente desse palco 
da mesma maneira que calculou no item anterior? 
Qual seria a medida de comprimento nesse caso?
Exemplos de resposta: Sim, se o item a foi resolvido 
com a lei dos senos. Ou não, se o item a foi resolvido 
com o teorema de Pitágoras. Aproximadamente 31,1 m.
48. a) Aproximadamente 28,28 m. 
Professor, para resolver esta atividade, os estudantes devem se lembrar de que a medida 
de abertura de um ângulo central da circunferência é o dobro da medida de abertura do 
ângulo inscrito correspondente.
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Teatro Odeão de Herodes 
Ático, em Atenas (Grécia), 
construído em torno do 
século II d.C. Foto de 
2019.
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Lei dos cossenos
Voltemos ao problema da empresa de fornecimento de energia em medir a distância entre os postes, ci-
tado inicialmente na página 30. Se o engenheiro tivesse encontrado alguma dificuldade para obter a medida 
de abertura de 45° para o ângulo ou não quisesse obtê-la, poderia ter medido a distância entre o local onde 
ele estava e o poste mais próximo. Assim, além da medida de abertura do ângulo (120°) que o engenheiro já 
havia medido e da medida de distância entre o poste mais afastado e ele (100 m), o engenheiro teria obtido 
a medida de distância d entre o poste mais próximo e ele (que, nesse caso, é de 36,6 m).
De posse dessas informações, também é possível calcular a medida de distância d entre os postes. Ob-
serve as representações.
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36,60 m
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Representação da realidade Modelo matemático
Os pontos A e B representam as posições dos postes, que 
distam d, e o ponto O representa a posição do engenheiro.
Observando o modelo matemático, percebemos que o problema consiste em determinar a medida de 
comprimento d de um lado de um triângulo, quando conhecemos a medida de abertura do ângulo oposto 
a esse lado e as medidas de comprimento dos outros dois lados do triângulo.
Para resolver o problema com esses dados, precisamos estudar mais um teorema, conhecido como lei 
dos cossenos: Em qualquer triângulo ABC, o quadrado da medida de comprimento de um lado é igual à 
soma dos quadrados das medidas de comprimento dos outros dois lados menos duas vezes o produto das 
medidas de comprimento desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
a
2 5 b2 1 c2 2 2bc ? Acos µ
b
2 5 a2 1 c2 2 2ac ? Bcos $
c
2 5 a2 1 b2 2 2ab ? Ccos µ
Vamos provar apenas a primeira relação, considerando o ângulo agudo Aµ; a demonstração das outras rela-
ções é análoga e você pode fazê-las no caderno.
Acompanhe a demonstração desse teorema para um triângulo acutângulo ABC.
Traçando a altura BH, obtemos os triângulos retângulos ABH e CBH.
•	 No nABH, temos:
A
AH
c
cos 5µ ~ AH 5 c ? Acos µ
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:
c
2 5 h2 1 (AH)2 ~ h2 5 c2 2 c Acos 2( ? )µ ~ h2 5 c2 2 c2 ? Acos2 µ (I) 
•	 No nCBH, temos:
a
2 5 h2 1 (CH)2 ~ a2 5 h2 1 (b 2 AH)2 ~ h2 5 a2 2 b c Acos 2( 2 ? )µ ~
~ h2 5 a2 2 b2 1 2bc ? Acos µ 2 c 2 ? Acos2 µ (II)
A
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De (I) e (II), concluímos que:
a
2 2 b2 1 2bc ? A c Acos cos2 22 ?µ µ 5 c2 2 c Acos2 2? µ ~
~ a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? Acos µ
Agora, utilizando a lei dos cossenos, podemos resolver a situação apresentada na 
página anterior.
120¡
O
B
d
100 m
36,60 m
A
Pela lei dos cossenos, temos:
d 
2 5 1002 1 (36,6)2 2 2 ? 100 ? 36,6 ? cos 120° ~ d 2 5 15 000 ~
~ d 5 15 000 50 65 â 122,47
Logo, a medida de distância d entre os postes é de aproximadamente 122,47 me-
tros, e essa medida é a mesma encontrada na página 31.
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Professor, ressalte 
aos estudantes que 
resolvemos o mesmo 
problema de duas 
maneiras diferentes, 
usando a lei dos senos 
e usando a lei dos 
cossenos, e obtemos 
a mesma resposta. 
No geral, podemos 
escolher qual relação 
utilizar de acordo com 
os dados que temos 
da situação e com a 
medida que precisamos 
calcular.
Depois de 
acompanhar a 
demonstração do 
teorema para um 
triângulo acutângulo, 
verifique no caderno 
que ele também vale 
para um triângulo 
retângulo e para um 
triângulo obtusângulo.
Reflita
A resposta encontra-se 
nas Orientações 
específicas deste 
Manual.
Resolvida passo a passo
	 8.	(Unesp-SP) Um professor de geografia forneceu a 
seus alunos um mapa do estado de São Paulo que in-
formava que as distâncias aproximadas em linha reta 
entre os pontos que representam as cidades de São 
Paulo e Campinas e entre os pontos que represen-
tam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, 
respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos ob-
servou, então, que as distâncias em linha reta entre 
os pontos que representam as cidades de São Paulo, 
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilá-
tero. Já um outro aluno notou que as distâncias em li-
nha reta entre os pontos que representam as cidades 
de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam 
um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam 
as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de:
	a) 80 2 5 3? 1 ? .
	b) 80 5 2 3? 1 ? .
	c) 80 6? .
	d) 80 5 3 2? 1 ? .
	e) 80 7 3? ? .
Atividades resolvidas
Podemos considerar o teorema de Pitágoras (a2 5 b2 1 c2) como um caso particular da lei dos 
cossenos, pois cos 90° 5 0.
Fique atento
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Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
Um mapa com as medidas de distância em linha 
reta entre algumas cidades, a informação de que 
as distâncias em linha reta entre os pontos que re-
presentam as cidades de São Paulo, Campinas e 
Sorocaba formam um triângulo equilátero e que 
as distâncias em linha reta entre os pontos que 
representam as cidades de São Paulo, Guaratin-
guetá e Campinas formam um triângulo retângulo.
	b) O que se pede?
A medida de distância em linha reta entre os 
pontos que representam as cidades de Guaratin-
guetá e Sorocaba, em quilômetros.
2. Planejando a solução
Considerando as informações do enunciado, temos 
o seguinte modelo matemático da situação, repre-
sentado por um triângulo obtusângulo. 
São Paulo
Sorocaba
d
160 km
80 km
Guaratinguetá
150¡
A medida de distância d pode ser calculada pela lei 
dos cossenos, pois conhecemos a medida de com-
primento de dois lados e a medida de abertura do 
ângulo entre eles.
3. Executando o que foi planejado
Pela lei dos cossenos, obtemos:
d
 2 5 802 1 1602 2 2 ? 80 ? 160 ? cos 150° ~
~ d2 5 6 400 1 25 600 2 25 600 ? (2cos 30°) ~
~ d2 5 32 000 2 25 600 ? 
3
2





2 ~
~ d2 5 32 000 1 12 800 ? 3 ~ 
d 32 000 12 800 3
5 80 2 80 3
80 5 2 3
2 2
~ 5 1 ? 5
5 ? 1 ? ? 5
5 1 ? 
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
5. Ampliando o problema
	a) Uma empresa privada de transporte coletivo faz 
o percurso entre algumas cidades do estado de 
São Paulo, como Sorocaba, Guaratinguetá, Cam-
pinas e a capital do estado, cobrando uma taxa 
fixa de R$ 20,00 e uma taxa de R$ 1,50 por quilô-
metro rodado. Considerando os percursos entreas cidades citadas, qual é o mais caro para os 
passageiros? Quanto custa esse percurso?
	b) Converse com os colegas sobre o sistema de 
transportes no Brasil e pesquisem ações que po-
dem ser adotadas para priorizar a utilização de 
meios de transporte que causem menos impacto 
ao meio ambiente. Depois, debatam a necessi-
dade e a viabilidade de implementação delas na 
região onde vocês moram.
Guaratinguetá ñ São Paulo. R$ 260,00.
Respostas pessoais.
Atividades Não escreva no livro.
	49.	Calcule a medida de comprimento x em cada triângulo. 
	a) c) 
	 	
60¡
1
3 x
	b) 
	 	
60¡
8
B
C
A
x
5
x 5 7
x 5 7
	50.	Em um triângulo ABC, conhecemos as medidas 
Am( )µ 5 30°, b 5 2 3 e c 5 3. Calcule a medida de 
comprimento a do terceiro lado do triângulo.
	51.	Considere o triângulo ABC tal que Am( )µ 5 45°, a 5 4 
e b 5 4 2 . Determine a medida de comprimento c do 
outro lado do triângulo.
	52.	No triângulo abaixo, AC 5 3, BC 5 4, AB 5 3 e
Am( )µ 5 a. Determine o valor de cos a.
a 5 3
c 5 4
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49. c) Não é possível calcular o valor de x apenas com as medidas dadas.
Professor, no item c, os estudantes devem perceber que todas as relações métricas ou trigonométricas vistas no capítulo relacionam 
três ou mais medidas (de comprimento dos lados ou de abertura dos ângulos internos) e que são dadas poucas informações sobre o 
triângulo para que seja possível calcular o valor de x.
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	53.	Em um triângulo, dois lados têm medidas de compri-
mento de 10 cm e 6 cm e formam entre si um ângulo 
de medida de abertura de 120°. Calcule a medida de 
comprimento do terceiro lado desse triângulo.
	54.	Em um triângulo ABC, sabemos que Am( )µ 5 45°, 
b 5 8 2 e c 5 10. Calcule a medida de comprimento 
do terceiro lado.
	55.	Em um paralelogramo, dois lados têm medidas de 
comprimento de 14 cm e 10 cm e formam um ângulo 
de medida de abertura de 60°. Com um colega, calcu-
le as medidas de comprimento das diagonais do para-
lelogramo.
	56. (FCMSCSP) Considerando 
a figura ao lado, qual o va-
lor de sen a?
	57. Resolva no caderno o triângulo dado.
5
50°
68°
y
x
a
	58.	Elabore um problema que possa ser representado 
pelo triângulo da atividade anterior e cuja resposta 
seja uma das medidas que você calculou. Em seguida, 
compare sua criação com as dos colegas.
	59.	Suponha que um observador esteja no ponto A e 
queira saber a distância entre os pontos A e P, sendo 
P o local onde se localiza uma árvore do outro lado de 
um rio, conforme representado na imagem a seguir. 
A
P
14 cm
a 5 2 17
2 39 cm e 2 109 cm.
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sen a 5
3 7
8
a 5 62°, x â 4,13 e y â 4,76.
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Resposta pessoal.
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O observador se locomove do ponto A para um pon-
to B, distante 2 km de A, de onde também pode ver 
o ponto P.
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Sabendo que BAPm( )µ 5 120° e ABPm( )$ 5 45°, qual é 
a medida de distância entre A e P?
	60.	Uberaba, Uberlândia e Araguari são cidades do Triân-
gulo Mineiro e a localização delas pode ser represen-
tada pelo triângulo a seguir.
132°
36°
Araguari
Uberlândia
140 km
Uberaba
Considerando os dados indicados na figura, determi-
ne a medida de distância aproximada entre Uberaba 
e Uberlândia.
	61.	(Enem) Uma desenhista projetista deverá desenhar 
uma tampa de panela em forma circular. Para realizar 
esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um 
compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, 
um transferidor e uma folha de papel com um plano 
cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela 
afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo 
formado por elas fosse de 120°. A ponta-seca está re-
presentada pelo 
ponto C, a ponta 
do grafite está 
r e p r e s e n t a d a 
pelo ponto B e a 
cabeça do com-
passo está re-
presentada pelo 
ponto A confor-
me a figura.
Aproximadamente 5,459 km.
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Aproximadamente 111,6 km.
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7.
Não escreva no livro.
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Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor 
de produção. Ao receber o desenho com a indicação 
do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se 
encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na 
sua fabricação, de acordo com os dados.
Tipo de material
Intervalo de valores 
de raio (cm)
I 0 < R , 5
II 5 < R , 10
III 10 < R , 15
IV 15 < R , 21
V 21 < R , 40
Considere 1,7 como aproximação para 3. O tipo de 
material a ser utilizado pelo setor de produção será:
	a) I. 	b) II. 	c) III. 	d) IV. 	e) V.
	62.	O Triângulo das Bermudas é uma região situada no oce-
ano Atlântico, entre as ilhas Bermudas, a ilha de Porto 
Rico e o estado da Flórida (EUA), que envolve muitos 
mitos. Nessa região triangular ocorreram desapareci-
mentos, supostamente sem explicação, de aviões, bar-
cos e navios. Um dos desaparecimentos mais famosos 
aconteceu em dezembro de 1945, quando 5 bombar-
deiros da marinha estadunidense sumiram sem deixar 
vestígios durante um exercício de treinamento.
Muitas teorias foram elaboradas para explicar o misté-
rio de aviões e navios desaparecidos, como a possibili-
dade de terem ocorrido acidentes por causas naturais 
(tempestades, furacões, tsunamis, terremotos, etc.) ou 
por falhas humanas. 
Tri‰ngulo das Bermudas
Porto Rico
(EUA)
75º O
Trópico de Câncer
OCEANO
ATLÂNTICO
Golfo
do
México
FLÓRIDA
(EUA)
B
F
P
0 275
km
OCEANO
ATLÂNTICO
HAITI
REP.
DOMINICANA
CUBA
JAMAICA
Ilhas Bermudas
Fonte de consulta: IBGE. Atlas geográfico escolar. 8. ed. 
Rio de Janeiro, 2018.
Suponha que a medida de distância entre o vértice B
do triângulo (localizado nas ilhas Bermudas) e o vérti-
ce F (localizado na Flórida) seja de aproximadamente 
Alternativa d.
1 700 km e que a medida de distância entre a Flórida 
e a ilha de Porto Rico (vértice P) seja de aproximada-
mente 1 600 km. Além disso, a medida de abertura do 
ângulo BFP$ pode ser considerada 60°.
De acordo com esses dados, qual é a medida de perí-
metro do triângulo BFP?
	a) 100 33 2731( ) km
	b) 100 33 4171( ) km
	c) 100 33 4571( ) km
	d) 100 33 7231( ) km
	e) 100 33 3 3721( ) km
	63.	Dois barcos partem de um ponto T, percorrendo rotas 
lineares em direção aos pontos A e B, com medidas de 
velocidade constante de 60 km/h e 45 km/h, respecti-
vamente. Os barcos chegam aos pontos A e B após 
2 horas, e a medida de abertura do ângulo formado 
entre os percursos é de aproximadamente 113°.
113¼
A
B
T
	a) Nessa situação, qual é a medida de distância entre 
os barcos nesses pontos?
	b) Qual seria a medida de distância entre os barcos 
nesses pontos se a medida de abertura do ângulo 
formado entre os percursos fosse de 76°?
	64.	O famoso relógio de quatro faces, localizado no Palá-
cio de Westminster, em Londres (Inglaterra), junto do 
sino Big Ben, foi construído em 1859 e é um símbolo 
da realeza britânica. 
O relógio de quatro faces e o sino Big Ben fazem parte 
da estrutura conhecida como Elizabeth Tower. Foto de 
2016.
Os ponteiros das horas e dos minutos desse relógio 
têm medidas de comprimento de 2,7 m e 4,7 m, res-
pectivamente. Quando esse relógio marca 14:00, qual 
é a medida de distância entre as pontas dos ponteiros?
Alternativa a.
Aproximadamente176 km.
Aproximadamente 131 km.
Aproximadamente 4,09 m.
Não escreva no livro.
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Marés
No início deste capítulo, você viu exemplos de diversas 
atividades que se ajustam em decorrência das marés. Para 
essas e outras atividades, é comum a consulta de uma tábua 
de marés, que mostra o horário e o nível do mar nas marés 
alta e baixa de cada dia. 
Veja a seguir um exemplo de tábua de marés de uma ci-
dade litorânea, em 2 dias consecutivos, e a representação 
gráfica ao lado.
	a) Em cada um desses dias estão indicados dois horá-
rios para a maré mais alta e dois para a maré mais 
baixa. Quais são esses horários?
Funções trigonométricas
Situação 1
Situação 2
Relógio de pêndulo
Os dois ponteiros de um relógio de pêndulo mostram as horas e os minutos, como 
em um relógio moderno de ponteiros que usamos no pulso ou penduramos na parede 
de casa. Nesse tipo de relógio, o pêndulo serve para marcar os segundos. 
Não escreva no livro.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento deste tópico encontram-se nas 
Orientações específicas deste Manual.
Representação esquemática de um 
pêndulo simples. Por exemplo, a 
partir do instante em que o pêndulo 
está na amplitude máxima, como 
na imagem, a oscilação completa 
corresponde ao movimento que ele 
faz até voltar à mesma posição.
A medida de intervalo de tempo necessária para 
que o pêndulo complete uma oscilação completa 
em um relógio é chamada de período. E o compor-
tamento desse movimento pode ser estudado por 
funções envolvendo os conceitos de seno e cosse-
no, as quais chamamos de funções do tipo trigo-
nométrica. 
	a) Sabendo que em 1 minuto o pêndulo de um reló-
gio oscila 30 vezes, qual é o período desse movi-
mento?
	b) Quantas oscilações um pêndulo deve dar em 
1 minuto para que o período do movimento seja 
de 1 segundo?
2 s
60 oscilações.
	b) As marés mais altas que ocorreram nesses dias ti-
veram mesmo nível? E as marés mais baixas?
	 c) Qual foi a amplitude das marés na quinta-feira, ou 
seja, qual foi a diferença entre a maré mais alta e a 
mais baixa desse dia?
	d) Entre quais horários a maré estava baixando (secando) nesses dias? 
	e) Qual foi a medida de intervalo de tempo entre as duas marés mais baixas na quarta-feira? E entre as duas 
marés mais altas na quinta-feira?
O fenômeno periódico das marés também pode ser modelado por uma função do tipo trigonométrica, pois 
as características da variação do nível do mar se repetem, aproximadamente, após o mesmo intervalo de tempo.
Não. Não.
1,94 m
Entre 03:45 e 09:52 da quarta-feira, entre 
15:53 e 22:14 da quarta-feira, entre 04:15 e 10:22 da quinta-feira e entre 16:25 e 22:43 da quinta-feira.
12:22. 12:21.
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Quinta-feira
Horário Nível do mar
04:15 ò 1,99 m
10:22 ô 0,21 m
16:25 ò 2,08 m
22:43 ô 0,14 m
Quarta-feira
Horário Nível do mar
03:45 ò 1,98 m
09:52 ô 0,22 m
15:53 ò 2,09 m
22:14 ô 0,11 m
a) Maré mais alta: na quarta-feira às 03:45 e às 15:53 e na quinta-feira às 04:15 e às 16:25. Maré mais baixa: na quarta-feira às 
09:52 e às 22:14 e na quinta-feira às 10:22 e às 22:43.
Quarta-feira
03:45
1,98 m
15:53
2,09 m
04:15
1,99 m
09:52
0,22 m
22:14
0,11 m
10:22
0,21 m
22:43
0,14 m
16:25
2,08 m
Quinta-feira
Representação gráfica de uma tábua de marés em 
2 dias consecutivos.
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O relógio de pêndulo é um tipo de relógio mecânico 
que era comumente encontrado nas residências antes da 
invenção dos relógios eletrônicos, atômicos e de quartzo.
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Conceitos trigonométricos básicos 
na circunferência
A partir de agora, vamos fazer um estudo mais abrangente do seno e do cosseno, 
em contextos nos quais os triângulos são insuficientes para as definições necessárias. 
Então, precisamos estabelecer novos “ambientes” para a Trigonometria: inicialmente 
vamos considerar arcos e ângulos em uma circunferência e, depois, estabelecer a defi-
nição de circunferência trigonométrica.
Essa ampliação permitirá o estudo de movimentos periódicos, como o das marés. 
Arcos e ângulos em uma circunferência
Veja inicialmente alguns conceitos da Geometria plana.
•	 Arco: parte de uma circunferência que é delimitada por dois pontos, incluindo-os. 
O
A
B
arco AB
Quando falamos em arco AB» , estamos nos referindo ao arco que vai do ponto A 
para o ponto B da circunferência, no sentido anti-horário. 
A cada arco podemos associar duas medidas: a medida de comprimento (medida 
linear) e a medida angular. Para compreender essas medidas, considere um ponto A 
sobre uma circunferência de centro O e raio com medida de comprimento r. Deslo-
cando o ponto A sobre a circunferência, ele percorre uma medida de comprimento L 
na circunferência ao mesmo tempo que gira um ângulo de medida de abertura a em 
torno do centro O. Esse movimento do ponto A descreve um arco de circunferência 
de medida de comprimento L e medida angular a.
O
B
r
r
a
A
L
Para a medida do comprimento L de um arco, usamos unidades de medida como o 
metro, o centímetro e o quilômetro. Para a medida angular a, usamos geralmente 
unidades de medida como o grau (que você já conhece) e o radiano (que você verá 
na próxima página).
•	 Arco e ângulo central: a medida angular de qualquer arco de circunferência é 
igual à medida de abertura do ângulo central que o subtende.
Por exemplo, considerando a imagem acima, temos:
Arco »AB
Medida angular do AB» : a.
Medida de comprimento do AB» : L.
Ângulo central µAOB
Medida de abertura do AOBµ : a.
Se os dois pontos 
na circunferência 
coincidirem, então 
teremos um arco 
nulo ou um arco de 
uma volta.
Fique atento
Faremos a partir 
daqui o estudo 
apenas do seno e 
do cosseno para 
posteriormente 
trabalhar a função 
seno e a função 
cosseno, que são 
funções periódicas.
Fique atento
A medida de 
comprimento L 
de um arco 
depende do raio da 
circunferência, mas 
a medida angular 
a não.
Fique atento
Considere cinco 
circunferências 
concêntricas (de 
mesmo centro), de 
raios diferentes, e 
um mesmo ângulo 
central subtendendo 
arcos em todas as 
circunferências. Os 
cinco arcos têm 
a mesma medida 
angular? E a 
mesma medida de 
comprimento?
Reflita
Sim, pois as medidas angulares são iguais à medida de abertura do ângulo 
central, que é o mesmo. Não, pois as medidas de comprimento dos arcos 
dependem da medida de comprimento do raio da circunferência.
O
A Š B
B
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Não escreva no livro.
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Unidades para medir ângulos e arcos
Recorde como a unidade de medida grau é obtida: O ângulo de medida de aber-
tura de 1° é o ângulo correspondente a 
1
360
 da circunferência. 
Assim, em uma circunferência, um ângulo central de 1° determina um arco de me-
dida angular 1°.
Veja alguns exemplos de medidas angulares de arcos, em graus.
A
B
Arco AB» de medida angular 
90° (um quarto de volta).
A
B
Arco AB» de medida angular 
270° (três quartos de volta).
AB
Arco AB» de medida angular 
180° (meia volta).
A Š B
Arco AB» de medida angular 
360° ou 0° (uma volta ounulo).
Agora, conheça a unidade de medida radiano.
Em uma circunferência cujo raio tem medida de comprimento r, um arco de medida 
angular 1 rad (lemos: um radiano) é definido como um arco cuja medida de compri-
mento também é r.
Assim, o ângulo central de medida de abertura 1 rad subtende um arco de medida 
angular 1 rad.
O
a
A
B
L
r
 
Arco AB»
L 5 r
a 5 1 rad
Proporcionalidade da medida de comprimento 
e da medida angular de arcos
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Professor, comente com os 
estudantes que existem outras 
unidades usadas para indicar a 
medida angular de arcos, além 
do grau (e dos submúltiplos) 
e do radiano; por exemplo, 
o grado, que é a medida 
angular de um arco obtido da 
divisão da circunferência em 
400 partes iguais. Porém, as 
unidades mais usadas são o 
grau e o radiano.
“Retificando” ou 
“esticando” o 
arco AB», de medida 
angular 1 rad, obtemos 
um segmento de 
reta com medida de 
comprimento igual à do 
raio da circunferência.
Use um transferidor e 
verifique, no arco AB» 
acima, a quantos graus 
corresponde 1 rad.
O
A
1 rad
B
r
r
Aproximadamente 57°.
Reflita
Considere uma circunferência cujo raio tem medida de comprimento de 
1 cm. A medida de comprimento dessa circunferência é C 5 2p ? 1 cm 5 
5 2p cm.
Um arco de medida angular 180° corresponde à metade da 
circunferência, ou seja, uma semicircunferência. Então a medida de 
comprimento desse arco é L 5 
p2 cm
2
 5 p cm.
	a) Qual é a medida de comprimento L de um arco de medida angular 90° nessa circunferência?
	b) E de um arco de medida angular 45°?
	c) A medida de comprimento de cada arco dessa circunferência é diretamente proporcional à 
medida angular do arco? Justifique sua resposta.
	d) Em uma circunferência cujo raio tem medida de comprimento de 2 cm, essa relação de proporcionalidade se manteria? 
E em uma circunferência com raio de medida de comprimento r? Justifique suas respostas.
2
 cm
p
4
 cm
p
Sim. Sim. O exemplo de justificativa encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
180¼
L
c) Sim. Exemplo de 
justificativa: Pois dividindo 
a medida angular de um 
arco por dois (por quatro 
ou por oito), a medida 
de comprimento do arco 
fica dividida por dois 
(por quatro ou por oito, 
respectivamente).B
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Lembre-se de 
que a medida de 
comprimento C de 
uma circunferência, 
com raio de medida 
de comprimento r, 
é dada por 
C 5 2pr, em que 
p é um número 
irracional:
p 5 3,141592»
Fique atento
40
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A medida de comprimento de um arco e a medida de abertura do ângulo central 
que o subtende são proporcionais; então, a medida de comprimento do arco e a me-
dida angular do arco também são proporcionais.
Considere uma circunferência cujo raio tem medida de com-
primento r. Se, por definição, um arco de medida angular 1 rad 
tem medida de comprimento r, então um arco de medida an-
gular 2 rad tem medida de comprimento 2r e, generalizando, 
um arco de medida angular a rad tem medida de comprimento 
L 5 a ? r .
Na relação L 5 a ? r, 
a medida angular a 
deve estar em 
radianos.
Fique atento
Fique atento
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B
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Relação entre as unidades de medida angular de arcos
Como cada arco de medida de comprimento r corresponde à medida angular 1 rad, podemos afirmar que 
o arco correspondente à circunferência tem medida angular L 5 a ? r 5 2p ? 1 rad 5 2p rad.
A
B
O
A Š B
O
Arco AB» de medida angular 
360° ou 2p rad.
AB
O
Arco AB» de medida 
angular 180° 



360
2
°
 ou 
p rad 



2
2
rad
p
.
Arco AB» de medida 
angular 90° 



360
4
°
 ou 
2
p
 rad 




2
4
rad
p
.
A
B
O
Arco AB» de medida angular 
270° ¯ 3
4
 de 360°˘ ou arco de 
3
2
p
 rad ¯ 3
4
 de 2p rad˘.
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Assim, sabendo que 180° é equivalente a p rad, pode-
mos fazer a conversão de unidades entre graus e radianos 
usando diferentes estratégias. Acompanhe alguns exem-
plos de medidas angulares de arcos.
	a) a 5 90°
90° é o mesmo que 1
2
 de 180°; então, é 1
2
 de p rad. 
Logo: 90° 5 
2
p
 rad.
Ou podemos calcular de outra maneira:
90° 5 180
2
rad
2 2
rad
° 5 p 5 p
A conversão das unidades de medida angular é útil 
em algumas situações, pois é mais simples responder 
à pergunta “Qual é a medida de comprimento de um 
arco de medida angular 2 rad?” do que à pergunta 
“Qual é a medida de comprimento de um arco de 
medida angular 115°?”.
Por exemplo, considere uma circunferência com raio 
de medida de comprimento 10 cm. Calculamos:
L 5 a ? r 5 2 ? 10 cm 5 20 cm
C 5 2p ? r â 2 ? 3,14 ? 10 5 62,8 
C
360 115
62,8 cm
360 115° 5
L
° ~ ° 5
L
° ~ L â 20
Então, a medida de comprimento desse arco é de 20 cm.
	b) a 5 30°
30° é o mesmo que 1
6
 de 180°; então, é 1
6
 de p rad. Logo: 30° 5 
6
p
 rad.
Ou, usando regra de três:
Em graus Em radianos
180 p
30 a
180
30
6
1
5 pa ~ 6a 5 p ~ a 5 6
p
Logo: 30° 5 
6
p
 rad.
41
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	c) a 5 60°
60° é o mesmo que 
1
3
 de 180°; então, é 
1
3
 de p rad. Logo: 60° 5 
3
p
 rad.
	d) a 5 120°
120° é o dobro de 60°; então é o dobro de 
3
p
 rad. Logo: 120° 5 
2
3
p
 rad.
	e) a 5 330° 5 11 ? 30° 5 11 ? 
6
rad
11
6
rad
p
5
p
	f) a 5 
3
4
p
 rad
3
4
rad
3 180
4
p
5
? °
 5 135°
Logo: 
3
4
p
 rad 5 135°.
	g) a 5 1 rad
Em graus Em radianos
180 p
a 1 
180
1a
5
p
 ~ pa 5 180 ~ a 5 
180 180
3,14p
â â 57,3°
Logo: 1 rad â 57,3°.
	h) a 5 1°
180
1
5
p
a
 ~ 180a 5 p ~ a 5 
180
3,14
180
p
â â 0,017
Logo: 1° â 0,017 rad.
	i) a 5 
7
6
p
 rad 5 7 ? 
6
p
 rad 5 7 ? 30° 5 210°
Quando a medida angular está em radianos, podemos omitir a unidade de medida. Por exemplo: 
a 5 
7
6
p
 rad ou, simplesmente, a 5 
7
6
p
.
Assim, quando a unidade da medida angular não for indicada, subentende-se que é o radiano. 
Veja outros exemplos.
6
p
 5 30° 
4
p
 5 45°
Fique atento
Como 2p rad 5 360°, os valores 
que aparecem arredondados 
nos exemplos g e h são:
1 rad 5 




180
p
°
 â 57° 178 44,89
1° 5 
180
p
 rad â 0,01745 rad
Fique atento
Atividades resolvidas
	 9.	Determine a medida angular, em radianos, de um arco de medida de comprimento de 
20 cm, em uma circunferência com raio de medida de comprimento de 8 cm.
Resolu•‹o
Pelo enunciado, sabemos que L 5 20 cm e r 5 8 cm. Então:
a 5 
r
20
8
L
5 5 2,5 ou 
8 cm
1 rad
20 cm 20
8
5
a
~ a 5 5 2,5 
Portanto, a medida angular desse arco é 2,5 rad.
42
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Leitura e compreensão
Não escreva no livro.
Stonehenge e as circunferências concêntricas
O misterioso monumento de Stonehenge, localizado a cerca de 15 quilômetros 
ao norte da cidade de Salisbury (Reino Unido), intriga estudiosos há muitos séculos. 
Não se sabe ao certo como e para que Stonehenge foi construído, havendo teorias de 
que foi erguido para prever eclipses e outros fenômenos celestes, como o nascimento 
do Sol e da Lua no solstício e no equinócio, ou que as estruturas são vestígios de um 
grande templo religioso.
Vista aérea do monumento Stonehenge (Reino Unido). Foto de 2020.
Vista de cima, a parte mais famosa do complexo de Stonehenge era formada por 
duas circunferênciasconcêntricas (de mesmo centro) de grandes blocos de pedra, a 
maior com diâmetro de medida de comprimento de 32 metros. As pedras chegavam a 
ter altura com medida de comprimento de 5 metros e podiam pesar quase 5 toneladas.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas
deste Manual.
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
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Representação 
artística de como era 
originalmente a vista de 
cima do monumento 
Stonehenge.
43
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Leitura e compreensão
Não escreva no livro.
As circunferências concêntricas apresentavam alto grau 
de exatidão, considerando que a construção do monumen-
to teve início aproximadamente em 3500 a.C. e que, depois 
de três fases de obra, foi concluída por volta de 1100 a.C. 
Atualmente, relaciona-se Stonehenge à existência do povoa- 
do de Durrington, estabelecido na região no mesmo perí-
odo da construção do monumento. Acredita-se, também, 
que o número p já era conhecido por esse povo, ou pelo 
menos um valor aproximado de p, e que eles conheciam o 
número de dias que compõem o ano (360 dias ou aproxi-
mações dele), assim como o início e o término das estações 
do ano.
Observando a foto acima, podemos perceber que as pedras da circunferência 
maior sustentam pedras transversais. A formação do conjunto permite observar a tran-
sição do Sol tanto no solstício de verão quanto no de inverno do hemisfério norte. 
Fontes de consulta: EDO4U. Conheça a história do Stonehenge, o misterioso círculo de pedras. Empresa Brasil 
de Comunicação, 2 abr. 2015. Disponível em: https://www.ebc.com.br/infantil/voce-sabia/2015/07/conheca-
historia-do-stonehenge-o-misterioso-circulo-de-pedras. KHAN ACADEMY. Stonehenge. Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/humanities/prehistoric-art/neolithic-art/a/stonehenge. Acesso em: 23 jun. 2020.
	 1.	O solstício é o momento em que a Terra recebe maior intensidade de luz solar em 
um dos hemisférios em razão de sua inclinação de 23,5° em relação ao eixo de 
translação em torno do Sol. Geralmente, o dia e a noite não têm a mesma duração 
em cada dia do ano, e nos solstícios essa diferença é a maior possível. 
O equinócio é o momento em que a luz solar incide sobre o globo terrestre de 
igual forma, nos dois hemisférios, fazendo com que o dia e a noite tenham igual 
duração.
Os solstícios ocorrem em duas datas do ano, marcando as entradas do inverno e 
do verão, dependendo do hemisfério. Pesquise em quais datas eles ocorrem em 
cada hemisfério.
	 2.	Atualmente há apenas ruínas do que foi o monumento de Stonehenge. Observe o 
destaque em uma foto de 2010, na qual é possível observar boa parte das pedras 
que formam a maior circunferência do monumento.
O ângulo traçado na foto tem vértice no centro da 
maior circunferência do monumento e tem medi-
da de abertura de aproximadamente 157°. Quan-
tos metros uma pessoa caminharia ao percorrer o 
comprimento do arco AB» dessa circunferência?
Aproximadamente 42,68 m.
1. O dia e o horário 
exatos dos solstícios, 
assim como dos 
equinócios, variam 
a cada ano. No 
hemisfério norte, o 
solstício de inverno 
(noite mais longa do 
ano) ocorre por volta 
do dia 21 de dezembro, 
enquanto o solstício 
de verão (dia mais 
longo do ano) ocorre 
por volta do dia 21 de 
junho. No hemisfério 
sul, de maneira inversa, 
o solstício de inverno 
ocorre por volta do 
dia 21 de junho, e 
o solstício de verão 
ocorre por volta do dia 
21 de dezembro.
Vista de Stonehenge 
durante o solstício de 
verão no hemisfério 
norte. Foto de 2018.
Vista aérea das ruínas de 
Stonehenge (Reino Unido). 
Foto de 2010.
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
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 65. Converta cada medida angular dada de graus para ra-
dianos ou vice-versa.
	a) 45°
	b) 210°
	c) 300°
	d) 135°
	e) 
6
p
 rad
	 f) 
5
6
p
 rad
	g) 
5
4
p
 rad
	h) 
4
3
p
 rad
 66. Calcule a medida de abertura, em radianos, do ân-
gulo central correspondente a um arco de medida de 
comprimento de 15 cm contido em uma circunferência 
com r 5 3 cm.
 67. Qual é a medida de comprimento do arco correspon-
dente a um ângulo central de medida de abertura 45°, 
contido em uma circunferência com r 5 2 cm?
 68. Determine a medida angular, em radianos, de cada 
arco de circunferência dado.
	a) b) 
 69. Um pêndulo tem medida de comprimento de 15 cm e, 
quando em movimento, as posições extremas formam 
um ângulo de medida de abertura de 60°. Qual é a 
medida de comprimento do arco que a extremidade 
do pêndulo descreve no movimento?
 70. (PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os enge-
nheiros devem ter em mente o movimento de oscila-
ção, que é típico de estruturas de arranha-céus. Se o 
ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um 
arco de 
°1
2




, a medida do arco descrito por esse 
ponto, em metros, é:
	a) p. b) 
3
4
p
. c) 
4
3
p
. d) 
10
9
p
. e) 
11
10
p
.
 71. Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na 
França uma reforma de pesos e medidas que culmi-
nou na adoção de uma nova unidade de medida de 
abertura de ângulos. O objetivo era que a unidade de 
medida de abertura de ângulos ficasse em conformi-
dade com o sistema métrico decimal. Assim, essa nova 
unidade dividia o ângulo reto em 100 partes iguais, 
chamadas grados (gr). Um grado (1 gr) é, então, a uni-
dade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais, 
e um minuto é a unidade que divide o grado em 
4
p
 rad
7
6
p
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5
3
p
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3
4
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30°
150°
225°
240°
5 rad
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 cm ou aproximadamente 1,57 cm.
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L 5 12 cm
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5p cm ou aproximadamente 15,7 cm.
Alternativa d.
Atividades Não escreva no livro.
100 partes iguais, bem como um segundo é a unidade 
que divide o minuto em 100 partes iguais.
A ideia não foi muito bem-sucedida, mas atualmente 
ainda encontramos na maioria das calculadoras científi-
cas as três unidades de medida: grau, radiano e grado.
Junte-se a um colega para responder às perguntas, 
considerando o texto acima.
	a) A quantos grados equivale meia volta de circunfe-
rência? E uma volta inteira?
	b) A quantos grados equivale 1 rad?
	c) A quantos graus equivale 1 gr? 
 72. (Enem) As coordenadas usualmente utilizadas na lo-
calização de um ponto sobre a superfície terrestre são 
a latitude e a longitude. Para tal, considera-se que a 
Terra tem a forma de uma esfera.
Um meridiano é uma circunferência sobre a superfí-
cie da Terra que passa pelos polos Norte e Sul, re-
presentados na figura por PN e PS. O comprimento 
da semicircunferência que une os pontos PN e PS tem 
comprimento igual a 20 016 km. A linha do Equador 
também é uma circunferência sobre a superfície da 
Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano 
que a contém é perpendicular ao que contém qual-
quer meridiano.
Seja P um ponto na superfície da Terra, C o centro da 
Terra e o segmento PC um raio, conforme mostra a 
figura. Seja j o ângulo que o segmento PC faz com o 
plano que contém a linha do Equador. A medida em 
graus de j é a medida da latitude de P.
Suponha que a partir da linha do Equador um navio 
viaja subindo em direção ao Polo Norte, percorrendo 
um meridiano, até um ponto P com 30 graus de latitu-
de. Quantos quilômetros são percorridos pelo navio? 
	a) 1 668 
	b) 3 336 
	c) 5 004 
	d) 6 672 
	e) 10 008 
200 gr. 400 gr.
200
 gr
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0,9°
Alternativa b.
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Eratóstenes e a medida de comprimento 
da circunferência da Terra
O matemático, astrônomo, geógrafo, bibliotecário e poeta Eratóstenes (276 a.C.- 
-194 a.C.) nasceu em Cirene (antiga colônia grega no norte da África), mas viveu e 
morreu em Alexandria (Egito). Um dos feitos mais reconhecidos dele foi a concepção e 
execução de um experimento científico em que determinou a medida de comprimen-
to da circunferência da Terra, que foi considerado o sétimo entre os dez mais belos 
experimentos da Física, de acordo com a revista britânica internacional Physics World.
De acordo com o artigo “Revivendo Eratóstenes” – escrito por Paulo Cesar R. Pe-
reira e publicado em 2006 na Revista Latino-Americana de Educação em Astronomia –, 
o valor encontrado para a medida de comprimento da circunferência da Terra no ex-
perimento do matemático teria sido de 250 000 estádios.
A conversão entre as unidades de medida de comprimento estádio e quilômetro é 
controversa. De acordo com historiadores, o valor considerado mais provável é o de 
que 1 estádio equivale a 0,185 quilômetro. Então, aplicando essa conversão, a medida 
encontrada por Eratóstenes teria sido de 46 250 km.
A medida de comprimento da circunferência da Terra atualmente aceita é de 
39 941 km, ou seja, a medida obtida experimentalmente há mais de 2 200 anos apre-
sentava precisão razoável, com erro de aproximadamente 14%.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Outra grande 
contribuição de 
Eratóstenes foi 
a elaboração de 
um método (um 
algoritmo) para 
determinar todos 
os números primos 
menores ou iguais 
a certo número 
natural, que 
ficou conhecido 
como crivo de 
Eratóstenes. Talvez 
você já tenha 
estudado esse 
algoritmo no Ensino 
Fundamental.
Fique atento
Professor, se julgar oportuno 
retome com os estudantes 
esse algoritmo ou oriente-os 
a pesquisá-lo.Sobre o assunto
Robert P. Crease (1953-), filósofo e historiador da ciência, nascido nos Estados Unidos, 
perguntou aos leitores da revista internacional Physics World, na qual escreve uma coluna, 
quais experimentos eles julgavam ser os mais belos. Embora ele tenha inicialmente 
pedido aos leitores que nomeassem os mais belos experimentos físicos, a maioria deles 
compreendeu que a pesquisa era sobre experimentos científicos e, por isso, apareceram 
citações de experimentos de Química, de Engenharia e de Psicologia. 
Com isso, considerando os experimentos que foram citados mais vezes, ele definiu uma 
lista e escreveu o livro Os 10 mais belos experimentos científicos (Trad. Maria Inês Duque 
Estrada. Rio de Janeiro: Zahar, 2006), no qual os expõe como em uma galeria de arte. Os 
experimentos são apresentados no livro em ordem cronológica, sendo o primeiro o de 
Eratóstenes, no qual ele mede o comprimento da circunferência da Terra.
Você pode ler o trecho do livro que relata esse experimento, bem como conhecer outros 
dos experimentos científicos que tiver interesse.
Capa do livro Os 10 mais belos experimentos científicos.
Embora Eratóstenes não tenha sido a primeira pessoa a estimar uma medida de 
comprimento para a circunferência da Terra, ele foi o primeiro que fez isso apresen-
tando e executando um método detalhado e chegando a valores próximos dos reais.
Em um relato publicado em um livro da biblioteca de Alexandria, Eratóstenes sou-
be que, ao meio-dia do solstício de verão, um poço na cidade de Siena (Itália) não 
produzia sombra. Siena dista 5 000 estádios ao sul de Alexandria, e ambas as cidades 
estão aproximadamente no mesmo meridiano da Terra. Assim, ele entendeu que, ao 
meio-dia do solstício de verão, os raios de luz do Sol incidiriam verticalmente sobre 
a cidade de Siena e que, quanto mais curva fosse a superfície da Terra, maior seria o 
comprimento da sombra projetada por um objeto em Alexandria no mesmo instante. 
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Conex›es
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Então, ao meio-dia do solstício de verão, usando as medidas de comprimento de um objeto (que pode ter 
sido uma torre ou uma coluna, por exemplo) e da sombra produzida, ele calculou a medida de abertura do 
ângulo formado entre a direção dos raios de luz do Sol e a vertical local, obtendo u 5 7,2°.
L 5 a ? r ~ 5 000 â 0,1256 ? r ~ r â 39 808,92
39 808,92 estádios â 7 364,65 km 
Sabendo que C 5 2pr e considerando p â 3,14, obtemos a medida de comprimento C da circunferência 
da Terra: C â 2 ? 3,14 ? 7 364,65 km â 46 250 km.
O formato da Terra
Muitas especulações já foram feitas sobre o formato da Terra.
Aristóteles (384-322 a.C.) apresentou argumentos muito convincentes para a esfericidade da Terra. Ob-
servou que, durante os eclipses lunares, o contorno da sombra da Terra projetada na Lua é circular [...]. Além 
disso, notou diferença nos horários de observação de um mesmo eclipse para observadores situados em locais 
diferentes. Ele se deu conta, ainda, de que o aspecto do céu também muda, conforme a latitude do observador. 
Todas essas evidências culminavam no formato esférico. Ele chegou a conceber a Terra com forma esférica. 
Faltava determinar seu tamanho (raio). [...]
Representação sem 
escala da situação.
• L 5 5 000 estádios (medida de distância entre Alexandria e Siena)
• a 5 7,2° â 0,1256 rad
• r é a medida de comprimento do raio da Terra.
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Como o arco associado ao ângulo central de 7,2° tem medida de comprimento de 5 000 estádios, que é a 
distância entre Alexandria e Siena, Eratóstenes concluiu que a medida de comprimento da circunferência da 
Terra seria 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena (pois 7,2° 5 360° : 50), ou seja, seria de 250 000 estádios.
Usando novamente a conversão de que 1 estádio equivale a 0,185 quilômetro, a medida de comprimento 
da circunferência da Terra no experimento teria sido de 46 250 km.
Esse cálculo também poderia ser feito usando a relação L 5 a ? r que você estudou. Observe.
Trópico de Câncer
Linha do Equador
Trópico de Capricórnio
Siena
Alexandria
coluna em Alexandria
sombra da coluna 5 000 estádios
poço em Siena
a 5 7,2°
u
u
Representação esquemática, sem escala e em cores 
fantasia, indicando os dados e a geometria que teriam 
sido utilizados por Eratóstenes no experimento.
Não escreva no livro.
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Com o desenvolvimento da teoria de gravitação de Newton ficou claro que a distribuição das forças gravi-
tacionais de um corpo de grande massa dá a ele a forma esférica, já que num corpo esférico, todos os pontos 
na superfície estão à mesma distância do centro, expressando a atuação da gravidade.
PICAZZIO, Enos (org.). O céu que nos envolve: introdução à Astronomia para educadores e iniciantes. São Paulo: Odysseus, 2011.
No século XVI, com a realização da primeira circum-navegação registrada (também chamada de primeira 
“volta ao mundo”), a humanidade teve uma prova direta do formato aproximadamente esférico da Terra e 
das medidas de comprimento do raio e da circunferência do planeta. Essa circum-navegação foi iniciada em 
1519 pelo navegador português Fernão de Magalhães (1480-1521) e foi concluída em 1522 pelo navegador 
e explorador espanhol Sebastián Elcano (1476-1526).
Fontes de consulta: PEREIRA, Paulo Cesar R. Revivendo Eratóstenes. Revista Latino-Americana de Educação em Astronomia, São Carlos, 
n. 3, 2006. Disponível em: http://www.relea.ufscar.br/index.php/relea/article/view/74/64.FERREIRA, Carlos Augusto; BISCH, Sérgio 
Mascarello. Qual é o tamanho do Universo? Uma proposta de sequência de ensino investigativo sobre os métodos de Eratóstenes e 
Aristarco para medir os tamanhos da Terra e da Lua. Revista Latino-Americana de Educação em Astronomia, São Carlos, n. 28, 2019. 
Disponível em: http://www.relea.ufscar.br/index.php/relea/article/view/398/414. PICAZZIO, Enos (org.). O céu que nos envolve: introdução 
à Astronomia para educadores e iniciantes. São Paulo: Odysseus, 2011. Acesso em: 28 maio 2020.
Conecte com o texto
	 1.	Observe novamente a representação do experimento de Eratóstenes e justifique por que a medida de 
abertura a do ângulo central é igual à medida de abertura u do ângulo formado pelo raio solar e a coluna 
de Alexandria, ou seja, por que as medidas de abertura a e u são iguais.
	 2.	Assumindo que a medida de comprimento da sombra produzida pela colu-
na em Alexandria fosse de 1  metro, qual seria a medida de comprimento x
da altura da coluna?
A resposta encontra-se nas 
Orientações específicas deste Manual.
Aproximadamente 7,93 m.
Pesquise e debata
	 3.	Construa perguntas que iniciem com a expressão “Se o formato da Terra fosse plano, então»” e elabore 
as respostas. Depois, compartilhe-as com os colegas e, juntos, verifiquem se as respostas correspondem 
ao que acontece na realidade. Veja um modelo.
Pergunta: Se o formato da Terra fosse plano, então como seriam as medidas de comprimento das sombras 
de varetas iguais, em posições perpendiculares à superfície terrestre, situadas no mesmo meridiano, mas 
em diferentes latitudes do planeta?
Resposta: As medidas de comprimento das sombras seriam iguais. Isso não acontece na realidade, o que 
indica que o formato da Terra não é plano.
	 4.	É possível encontrar informações veiculadas na internet que defendem que a Terra é plana, discordando 
de fundamentos validados cientificamente. Junte-se com quatro colegas para realizar esta atividade.
•	 Conversem sobre essas informações e façam uma pesquisa, sob uma perspectiva científica, dos argu-
mentos que podem ser utilizados para refutar esse tipo de informação.
•	 Discutam os impactos que a disseminação dessas informações, muitas vezes originadas em fake 
news, têm na sociedade.
•	 Elaborem um material para comunicar as conclusões e as justificativas científicas sobre o formato 
esférico da Terra, para públicos variados, acompanhado das fontes de pesquisa. Esse material pode 
ser um texto, um vídeo ou um podcast, de modo que possa ser compartilhado em mídias sociais.
Os exemplos de resposta encontram-se nas Orientações específicas
deste Manual.
Resposta pessoal.
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Conex›es Não escreva no livro.
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Circunferência orientada e circunferência 
trigonométrica
Como você viu, as medidas angulares de arcos em uma circunferência variam de 
0° ou 0 rad (arco nulo) até 360° ou 2p rad (arco de uma volta), assim como as medi-
das de abertura de ângulos centrais. Assim, nesse estudo, não fazia sentido falar em 
um arco de medida angular 720° ou em um ângulo de medida de abertura 720°, por 
exemplo.
A partir de agora, ao estabelecer a circunferência trigonométrica, poderemos am-
pliar as noções de seno e cosseno de um ângulo para medidas de abertura maiores do 
que 360° e para medidas de abertura negativas, e, posteriormente, estudar a função 
seno e a função cosseno.
Circunferência orientada
A cada número real, podemos associar um percurso em uma circunferência. No 
caso de uma circunferência cuja medida de comprimento do raio é 1 (r 5 1), a medida 
de comprimento desse percurso corresponde ao número real escolhido.
Circunfer•ncia orientada é toda circunferência na qual convencionamos como 
positivo um dos sentidos do percurso (horário ou anti-horário).
Neste livro, convencionamos como positivo o sentido anti-horário. Assim, se o nú-
mero real for positivo, então o percurso será feito no sentido anti-horário, e, se o número 
real for negativo, então o percurso será feito no sentido horário.
sentido horário (2)
sentido anti-horário (1)
O
Como vimos, a medida de comprimento L de um arco de circunferência depende 
da medida de comprimento r do raio da circunferência, mas a medida angular a não. 
Sabendo que L 5 a ? r (com a em radianos), para r 5 1, temos L 5 a .
Veja alguns exemplos dessa associação de números reais a percursos em uma cir-
cunferência.
	a) Número real 
p
2
.
A esse número associamos, em uma circunferência com r 5 1, o percurso no 
sentido anti-horário, representado pelo arco AB» de medida de comprimento 
p
2
.
	b) Número real 2
p
2
.
A esse número associamos, em uma circunferência com r 5 1, o percurso no 
sentido horário, representado pelo arco AB» de medida de comprimento 
p
2
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Circunferência trigonométrica
Circunferência trigonométrica é a circunferência orientada, de centro na origem do sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, cujo raio tem medida de comprimento 1 e na qual o sentido positivo é o anti-horário.
Vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais à circunferência trigonométrica de 
centro O, fixando o ponto A(1, 0) como origem dos arcos.
21
1
A8 A
B8
B
y
x
O
1
2
origem
dos
arcos (1, 0)
1
Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes congruentes, chamadas quadran-
tes, como mostrado abaixo. 
Os pontos B, A8 e B8 
dessa circunferência 
trigonométrica 
correspondem a quais 
pares ordenados?
Reflita
B(0, 1); A8(21, 0) e B8(0, 21).
A circunferência trigonométrica 
é uma representação gráfica 
que auxilia na resolução 
de diversos problemas de 
Trigonometria.
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Atividades Não escreva no livro.
	73.	Esboce no caderno o desenho para representar, em uma circunferência com raio de medida de comprimento 2 uni-
dades de comprimento, cada arco de medida de comprimento dada.
	a) p 	b) 2p 	c) 3
2
2
p
 	d) 
4
p
 
As respostas encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
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360°O
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3o
1o
quadrante
quadrante
4o
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p 2p
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quadrante
quadrante
3o
1o
quadrante
quadrante
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Observações
•	 Os pontos A, B, A8 e B8 são pontos dos eixos e, por isso, não são considerados 
pontos dos quadrantes.
•	 Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos 
21 , x , 1 e 21 , y , 1.
•	 Analisando os arcos com medida angular de 0° a 360° (ou de 0 a 2p rad), podemos 
afirmar que:
•	 são do primeiro quadrante os arcos com medidas angulares entre 0° e 90° 
¯ou 0 e p
2
˘, como os arcos de 30° 5 p
6
, 45° 5 p
4
 e 60° 5 p
3
;
•	 são do segundo quadrante os arcos com medidas angulares entre 90° e 180° 
¯ou p
2
 e p˘, como os arcos de 120° 5 p2
3
 e 150° 5 p5
6
;
•	 são do terceiro quadrante os arcos com medidas angulares entre 180° e 270° 
¯ou p e p3
2
˘, como os de 210° 5 p7
6
 e 240° 5 p4
3
;
•	 são do quarto quadrante os arcos com medidas angulares entre 270° e 360° 
¯ou p3
2
 e 2p˘, como os de 300° 5 p5
3
 e 320° 5 p16
9
.
Arcos côngruos (ou arcos congruentes)
Toda vez que dois arcosdiferentes, iniciados em (1, 0), têm extremidade final no 
mesmo ponto da circunferência (por exemplo, 0 e 2p), os chamamos de arcos côngruos 
ou arcos congruentes. É conveniente notar que as medidas angulares de todos os 
arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 360¡, ou de 2p, que é a medida de 
comprimento de cada volta.
Observe que na circunferência trigonométrica há vários números reais associados à mesma 
extremidade de arco.
Fique atento
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A
y
x
B
A
x
y
B
Ao número 
3
p
 está 
associado o ponto B.
Ao número 
3
p
 1 2p também 
está associado o ponto B.
Ao número 
3
p
 1 2 ? 2p está 
associado o mesmo ponto B.
51
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Imagine o ponto B como um móvel que se desloca sobre a circunferência no senti-
do anti-horário, a partir do ponto A.
•	 Na primeira figura, o ponto deslocou-se 60° ou 
p
3
 de A até B.
•	 Na segunda figura, o ponto deslocou-se 1 volta inteira (360° ou 2p) e mais 60° ou 
p
3
, ou seja, deslocou-se 420° ou 
p7
3
.
•	 Na terceira figura, o ponto deslocou-se 2 voltas inteiras (2 ? 360° ou 2 ? 2p) e mais 
60° ou 
3
p
, ou seja, 780° ou 
13
3
p
.
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extre-
midade B do arco AB» seria escrito assim:
60° 1 k ? 360° ou 
3
p
 1 k ? 2p, com k é Z
Então, podemos definir arcos côngruos.
Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando as medidas angulares diferem 
de um múltiplo de 360° ou 2p.
Veja exemplos de arcos côngruos.
	a) 30° e 30° 1 360° ¯ou p p
6
e
6
 1 2p˘.
	b) 45° e 45° 1 2 ? 360° ¯ou p p
4
e
4
 1 2 ? 2p˘.
	c) 60° e 60° 2 3 ? 360° ¯ou p p
3
e
3
 2 3 ? 2p˘.
No exemplo a, podemos afirmar que são côngruos os arcos de medidas angulares 30° e 390° ou 
p
6
 e 
p13
6
. No exemplo b, quais arcos são côngruos? Os arcos de medidas angulares 45º e 765° ou 
4
 e 
17
4
p p
.
Reflita
No último exemplo, o sinal negativo significa que as 3 voltas completas foram da-
das no sentido horário. Dizemos, nesse caso, que 60° 2 3 ? 360° 5 21 020° ou 2 p17
3
 
são arcos negativos.
De modo geral:
•	 se um arco tem medida angular a, em graus, então a medida angular dos arcos 
côngruos a ele pode ser dada pela expressão a 1 k ? 360°, com k é Z ;
•	 se um arco tem medida angular a radianos, então a medida angular dos arcos côn-
gruos a ele pode ser dada pela expressão a 1 k ? 2p ou a 1 2kp, com k é Z ;
•	 como a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côn-
gruos, dizemos que o arco da primeira volta positiva (entre 0° e 360° ou entre 0 e 
2p), associado a um ponto da circunferência, é a primeira determinação positiva 
de qualquer arco côngruo associado ao mesmo ponto.
Professor, questione 
os estudantes sobre o 
que acontece quando 
k é negativo. Nesse 
caso, a circunferência 
é percorrida no sentido 
horário.
Não escreva no livro.
52
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Tecnologias digitais
Não escreva no livro.
53
Construção de arcos côngruos no GeoGebra
O GeoGebra é um software livre de Matemática que pode ser utilizado em di-
versos conteúdos de Números, Álgebra e Geometria. Ele foi criado pelo matemático 
austríaco Markus Hohenwarter (1976-) e recebeu diversos prêmios na Europa e nos 
Estados Unidos. 
Neste momento, vamos usar o GeoGebra para construir arcos côngruos.
Você tem diversas opções de uso do GeoGebra Classic: em um computador, pode 
fazer o download no site www.geogebra.org/download (acesso em: 24 jun. 2020); em 
um smartphone, pode baixá-lo na loja oficial de aplicativos do sistema operacional do 
aparelho; ou pode acessá-lo on-line no site https://www.geogebra.org/classic (acesso 
em: 24 jun. 2020).
As imagens que utilizaremos aqui são da versão on-line. Mas você 
pode escolher a opção de uso que julgar mais oportuna.
1o passo: Selecione a opção “Círculo dados Centro e Um de seus 
Pontos” e clique nos pontos (0, 0) e (1, 0), nessa ordem. Com isso, 
você construiu uma circunferência trigonométrica. Você deverá ter uma 
imagem como a apresentada ao lado.
Note que o GeoGebra atribui automaticamente nomes aos pontos 
criados: pontos A e B, respectivamente. Além disso, na parte esquerda da 
tela (no caso da versão on-line), o software mostra as coordenadas desses 
pontos, além de nomear a circunferência como "círculo c" e apresentar a 
equação correspondente a ela. 
2o passo: Selecione a ferramenta “Controle Deslizante”, clique sobre 
algum local da tela, marque a opção “Ângulo” e mude o valor máximo, 
que inicialmente estava em 360°, para 3 600°, possibilitando dar 10 vol-
tas na circunferência trigonométrica. Certifique-se de que o incremento 
esteja indicado como 1°.
3o passo: Agora, selecione a opção “Ângulo com Amplitude Fixa”, 
clique sobre os pontos B e A, nessa ordem. Na janela que aparecer, 
digite a para a medida de abertura e deixe selecionado o sentido anti-
-horário. 
Como a medida angular de um arco corresponde à medida de aber-
tura do ângulo central que o subtende, podemos considerar o controle 
deslizante de a como a medida angular do arco »BB8, que é criado no 
software.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas 
deste Manual.
Qualquer programa 
gratuito de computador 
cujo código-fonte deve 
ser disponibilizado para 
permitir o uso, o estudo, 
a cópia e a redistribuição.
Software livre
Professor, os estudantes possivelmente 
não estudaram equação de circunferência. 
Apesar de o GeoGebra apresentá-la 
automaticamente na tela, esse conceito 
não será necessário para desenvolver a 
atividade de construção de arcos côngruos. 
Comente com eles que o GeoGebra nomeia 
como círculo, mas estamos construindo uma 
circunferência de centro (0, 0) e que passa 
por (1, 0).
R
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p
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b
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w
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g
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b
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.o
rg
Tela do GeoGebra após o 1o passo.
Tela do GeoGebra durante o 2o passo.
Tela do GeoGebra durante 
o 3o passo.
5353
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Note que, apesar de termos criado o ângulo com medida de abertura a (entre 0° e 3 600°), o GeoGebra 
cria uma medida b que corresponde à primeira determinação positiva (primeira volta) de a. Assim, a e b são 
medidas angulares de arcos côngruos.
4o passo: Movendo o con-
trole deslizante de a, variamos 
a medida angular a do arco 8BB» 
e, consequentemente, a primei-
ra determinação positiva b. Ar-
raste o controle deslizante até 
a 5 1 500° e observe, durante 
o movimento, que o ponto B8 
percorre 4 voltas completas e 
para em b 5 60°, pois 1 500° 5 
5 4 ? 360° 1 60°. Então, 60° é 
um arco côngruo a 1 500°.
5o passo: Arraste o controle deslizante de a para diferentes valores e observe o respectivo arco 8BB» na 
circunferência trigonométrica e o valor de b que é exibido. Você também pode utilizar a seta que aparece 
ao lado do controle deslizante e ativar o simulador, que vai aumentar a medida angular a até 3 600° e depois 
diminuir até 0°, e assim sucessivamente. Enquanto o GeoGebra mostra a simulação, você pode alterar a ve-
locidade com que a aumenta ou diminui.
	 1.	A construção que você fez no GeoGebra permite obter rapidamente a primeira de-
terminação positiva b de cada medida angular a considerada. Use essa construção 
para responder aos itens.
	a) Qual é a medida angular da primeira determinação positiva do arco de 3 000°? 
	b) Quais são os arcos côngruos a 35° na segunda, terceira, quarta e quinta voltas da circunferência trigo-
nométrica?
	c) O ponto B8 obtido com a 5 2 000°está na mesma posição do ponto B8 obtido com a primeira determi-
nação positiva b 5 200°? Por quê?
	d) O ponto B8 obtido com a 5 3 000° está na mesma posição do ponto B8 obtido com a primeira determi-
nação positiva b 5 300°? Por quê?
120°
Salve as construções 
que você fizer.
Fique atento
As respostas dos itens b, c e d encontram-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Você pode ampliar 
ou reduzir a imagem 
no GeoGebra 
usando as 
ferramentas de zoom 
(na parte inferior 
direita da tela) ou 
utilizando o scroll do 
mouse (a “rodinha” 
que fica na parte 
superior da maioria 
dos mouses).
Fique atento
Professor, em algumas versões do 
GeoGebra é possível acessar um teclado 
virtual e selecionar nele a letra a. Na 
versão on-line isso pode não estar 
disponível; então, se necessário, oriente 
os estudantes a copiar a letra a do 
controle deslizante para colá-la na janela do ângulo com amplitude fixa.
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w
w
.g
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g
e
b
ra
.o
rg
Tela do GeoGebra após o 3o passo.
Tela do GeoGebra após o 4o passo.
Tecnologias digitais
Não escreva no livro.
54
049a067_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 54049a067_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 54 9/17/20 10:04 AM9/17/20 10:04 AM
	10.	Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 
cada arco de medida angular dada.
	a) 45°
	b) 
3
4
p
 rad
Resolução
	a) A medida angular do arco é dada em graus 
(a 5 45°), então a expressão geral é:
a 1 k ? 360° ~ 45° 1 k ? 360°, com k é Z
	b) A medida angular do arco é dada em radianos 
¯a 5 3
4
p
 rad˘, então a expressão geral é:
a 1 2kp ~ 3
4
p
 1 2kp, com k é Z
	11.	Qual é o menor arco não negativo que é côngruo 
ao arco de medida angular 1 320°, ou seja, qual é a 
primeira determinação positiva do arco de medida 
angular 1 320°?
Qual é o significado de um número não negativo? 
Então, como deve ser a primeira determinação 
positiva de um arco?
Um número positivo ou zero. Deve ter medida angular 
positiva ou zero.
Reflita
Resolução
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal 
que a 1 k ? 360° 5 1 320°, com k é Z.
Então:
1 320 360
240 3
ka
 1 320° 5 240° 1 3 ? 360°
Logo, o menor arco não negativo, côngruo ao arco 
dado, tem medida angular 240°.
Nesta atividade, dizemos que 240° é a primeira 
determinação positiva de 1 320° ou que 1 320° foi 
reduzido à 1a volta.
Fique atento
Resolvida passo a passo
	12.	(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um 
cofre tem o formato da figura a seguir, onde as 
12 letras A, B, », L estão igualmente espaçadas (o 
ângulo central entre duas letras vizinhas é o mes-
mo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se 
encontra fechado, é a indicada.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Para abrir o cofre, são necessárias três operações 
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta 
está gravada), de acordo com as seguintes instru-
ções, a partir da posição indicada:
1) 
2
3
p no sentido anti-horário.
2) 
3
2
p no sentido horário.
3) 
3
4
p no sentido anti-horário.
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre 
será aberto quando a seta estiver:
	a) no ponto médio entre L e A.
	b) na posição B.
	c) na posição K.
	d) em algum ponto entre J e K.
	e) na posição H.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
São dadas as informações sobre o funcionamen-
to do dispositivo de segurança e as instruções 
para abrir o cofre.
	b) O que se pede?
Pede-se a posição da seta no momento em que se 
abre o cofre.
2. Planejando a solução
Conhecemos as operações a serem realizadas com 
o disco menor e o sentido a ser tomado (horário 
ou anti-horário). Então podemos adicionar os va-
lores das operações no sentido anti-horário e sub-
trair o valor da operação no sentido horário e, as-
sim, identificar a posição em que a seta deve ficar.
3. Executando o que foi planejado
2
3
3
4
3
2
8 9 18
12 12
p 1 p 2 p 5 p 1 p 2 p 5 2 p
Assim, ao final do movimento, a seta estará na posi-
ção 
12
2 p rad 5 215°, no sentido anti-horário a partir 
de A. Como o arco entre cada letra do dispositivo tem 
medida angular 
360
12
°
 5 30° ¯ou 2 rad
12 6
p 5 p rad˘, a 
seta estará no ponto médio entre A e L.
Atividades resolvidas
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Exemplo de resposta: Girar 30° no sentido horário, girar mais 120° no sentido horário e, por fim, 120° no sentido anti-horário.
Atividades Não escreva no livro.
	74.	Escreva no caderno a expressão geral dos arcos con-
gruentes a cada arco de medida angular dada.
	a) 60°
	b) 120°
	c)
5
4
p
 rad
	d)
11
6
p
 rad
	75.	Escreva no caderno a expressão geral, em radianos, de 
cada arco »AP representado na circunferência trigono-
métrica.
	a) y
x
O A
P
30¡
	b) y
x
O A
P
45¡
c) y
O
120¡
P
x
A
d) y
x
O A
P
260¡
60° 1 k ? 360°, com k é Z.
120° 1 k ? 360°, com k é Z.
p5
4
1 2kp, com 
k é Z.
p11
6
1 2kp, 
com k é Z.
p
6
1 2kp, com k é Z.
p
4
1 2kp, com k é Z.
p2
3
1 2kp, com k é Z.
2
p
3
1 2kp, com k é Z.
	76.	Calcule no caderno a primeira determinação positiva 
de cada arco.
	a) 780°
	b) 1 140°
	c) 2400°
	d)
15
2
p
 rad
	e)
10
3
p
 rad
	 f)
9
2
p
 rad
	77.	Faça esta atividade com um colega.
	a) Converta 
7
4
p
 rad para graus. 315°
	b) Qual é a medida de comprimento de um arco cor-
respondente a um ângulo central de medida de 
abertura 60°, contido em uma circunferência com 
r 5 1,5 cm?
	c) Calcule a medida angular do menor arco não nega-
tivo côngruo de 2 650°. 130°
	d) Qual é a expressão geral dos arcos côngruos de 
14
3
p
?
	78.	Em 2019, durante um importante evento de espor-
tes radicais, o norte-americano Mitchie Brusco (1997-) 
conquistou a façanha de se tornar o primeiro atleta a 
fazer uma manobra de 1 260° com o skate. 
Fazer diferentes 
manobras com 
o skate, e cada 
vez mais difíceis 
ou com mais 
voltas ao redor 
de si mesmo, é 
uma das metas 
dos participantes 
de competições 
profissionais, pois 
elas dão maiores 
pontuações.
A manobra de 1 260° consiste em dar quantas voltas 
no ar em torno de si mesmo?
60°
60°
320°
p3
2
 rad
p4
3
 rad
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2
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p
2
 cm
p2
3
1 2kp, com k é Z.
3 voltas e meia.
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4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
5. Ampliando o problema
	a) Um casal comprou um dispositivo de segurança idêntico ao citado na atividade e determinou que o segredo 
seria composto das letras iniciais dos nomes deles e do nome do filho, formando a sequência L, H e L de códigos. 
Sendo assim, quais operações são necessárias para abrir o cofre, com a seta partindo de A?
	b) Junte-se com dois ou três colegas e, juntos, criem segredos em um dispositivo similar ao da atividade, se-
guindo os mesmos modelos de instrução. Depois de criarem os segredos, troquem-nos com outro grupo e o 
desafiem a abrir o cofre. Resposta pessoal.
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Explorando a ideia de seno e cosseno 
de um número real
No começo deste capítulo, definimos as razões trigonométricas sen a e cos a para ângulos agudos, ou 
seja, para 0 < a < 90°. Para esses valores de a foi demonstrada uma importante relação:
sen2 a 1 cos2 a 5 1
Depois, os valores de sen a e cos a foram estendidos para a 5 0° (ângulo nulo), a 5 90° (ângulo reto) e 
90° < a < 180° (ângulos obtusos), a fim de possibilitar a resolução de problemas que envolvem triângulos 
quaisquer. 
cos 90° 5 0sen 90° 5 1
cos a 5 2cos (180° 2 a)sen a 5 sen (180° 2 a)
No entanto, não justificamos essas relações quando asapresentamos. Agora, tendo ampliado o ambiente 
de trabalho para a circunferência trigonométrica, vamos definir os valores de sen t e cos t para todo número 
real t, ou seja, o seno de um número real e o cosseno de um número real, em vez de seno e cosseno de 
medidas de abertura de ângulos, e vamos justificar os valores apresentados anteriormente. Faremos essa 
definição usando uma função F.
Nesse caso, para cada número real t associamos um único ponto P(t) da circunferência trigonométrica. 
Veja como determinar esse ponto.
•	 Quando t 5 0, o ponto P coincide com A(1, 0).
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–2
1
21
4
p
2
p
4
p
2
2
p
2
A ä P(1, 0)
y
O ponto P está associado ao número real 0.
•	 Quando t > 0, medimos na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A(1, 0), um arco de medida 
de comprimento t, no sentido positivo (sentido anti-horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t).
Observe os exemplos.
	a) 	b) 	c)
Lembre-se de como podemos definir 
uma função: Dados dois conjuntos não 
vazios A e B, uma função F de A em B é 
uma relação que associa cada elemento 
x é A a um único elemento y é B.
O conjunto A é o domínio (D) da função F, 
o conjunto B é o contradomínio (CD) e 
o conjunto de todos os y obtidos pela 
função é o conjunto imagem Im(F).
Fique atento
Professor, de acordo 
com a BNCC, os 
estudantes iniciaram 
o estudo de funções 
no 9o ano do Ensino 
Fundamental. Aqui 
fazemos uma breve 
retomada das 
nomenclaturas que serão 
utilizadas no capítulo; 
se necessário, retome 
com eles os conteúdos 
relacionados à função.
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O ponto P está associado ao 
número real 
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O ponto P está associado ao 
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Ao número 1 associamos o 
ponto P.
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•	 Quando t < 0, medimos na circunferência trigonométrica, a partir do ponto 
A(1, 0), um arco de medida de comprimento t, no sentido negativo (sentido 
horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t). 
Observe os exemplos.
Apesar de estarmos estudando apenas o seno e o cosseno de um número real t, podemos salientar que a razão trigonométrica 
tangente que vimos anteriormente no triângulo retângulo, tan a 5 
a
a
sen
cos
 (sendo a a medida de abertura de um ângulo agudo 
de um triângulo retângulo), também é válida para a tangente de um número real: tan t 5 
t
t
sen
cos
, com cos t = 0.
Fique atento
sen t é a ordenada de P.
cos t é a abscissa de P.
O (1, 0)
0 ä 2p
1
y
x
p
2
3p
2
p
P(cos t, sen t)
sen t
cos t
t
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t
0
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	a) 	b) 	c) 
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Ao número real 2
p
2
 
associamos o ponto P.
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2
p
4
p
2
2
p
2
y
P
A
O número real 21 está 
associado ao ponto P.
Formalizando a definição de seno 
e cosseno de um número real
Para cada número real t fica associado um ponto P(t), chamado de imagem de t 
na circunferência trigonométrica, que representa a extremidade do arco AP» na 
circunferência, cuja medida de comprimento é t.
Com essa função, definimos seno e cosseno de um número real t. 
Dado t é R (ou seja, t pertencente ao conjunto dos números reais), sendo (x, y) 
as coordenadas do ponto P(t), por definição, temos cos t 5 x e sen t 5 y.
P
A
x
O
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1
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4
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2
p
4
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2
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O ponto P está associado ao 
número real 2
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58
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Observações
•	 Em uma circunferência trigonométrica, o eixo das abscissas também é chamado 
eixo dos cossenos, e o eixo das ordenadas também é chamado eixo dos senos.
•	 Quando 0 < t < p, observamos que sen t 5 sen a e cos t 5 cos a, em que a é a 
medida de abertura do ângulo central que subtende o arco de medida de compri-
mento t. Assim, temos a conexão entre seno e cosseno de um número real e seno 
e cosseno de um ângulo.
•	 A relação fundamental entre seno e cosseno é válida para qualquer número real t: 
sen2 t 1 cos2 t 5 1
Observe nas figuras a seguir o que acontece com os valores de sen t (ordenada do 
ponto P) e cos t (abscissa do ponto P ), quando P coincide com um dos pontos A(1, 0), 
B(0, 1), A8(21, 0) e B8(0, 21) dos eixos da circunferência trigonométrica. Repare que, 
como definimos anteriormente, sen 90° 5 1 e cos 90° 5 0.
y
x
O
A Š P
t 5 0 (0°)
sen 0 5 0
cos 0 5 1
y
x
O
B Š P
A
1
t 5 
p
2
 (90°)
y
x
O21
A8 Š P A
t 5 p (180°)
sen p 5 0
cos p 5 21
y
x
O
B8 ä P
A
21
t 5 
p3
2
 (270°)
y
x
O 1
A Š P
t 5 2p (360°)
sen 2p 5 0
cos 2p 5 1
Redução ao 1o quadrante
Para medidas de abertura de ângulos obtusos, você já viu que podemos calcular 
o seno e o cosseno associando-os ao ângulo complementar. O mesmo ocorre para o 
seno e o cosseno de números reais quando P está no 2o quadrante da circunferência 
trigonométrica.
Na próxima página vamos mostrar por que essas relações são válidas e como pode-
mos calcular o seno e o cosseno de números reais, com P em qualquer quadrante. Para 
isso, vamos usar a simetria dos pontos na circunferência trigonométrica.
Il
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p
2
 5 1
cos 
p
2
 5 0
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p3
2
 5 21
cos 
p3
2
 5 0
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Para determinar o seno ou o cosseno de um número real em que P está no 2o qua-
drante, basta compará-lo com o número real correspondente do 1o quadrante, simétri-
co em relação ao eixo y. 
Il
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2
p
 < x < p (ponto P no 2o quadrante)
y
x
O
p
4
3p
4
y
x
O
60° 60°
2p
3
(120°)
p
3
(60°)
p
5 p 2
p
5
p
sen
2
3
sen
2
3
sen
3






p
5 2 p 2
p
5 2
p
cos
3
4
cos
4
cos
4






Para determinar o seno ou o cosseno de um número real em que P está no 3o qua-
drante, basta compará-lo com o número real correspondente do 1o quadrante, simétrico 
em relação à origem dos eixos. 
p < x < 
3
2
p
 (ponto P no 3o quadrante)
y
x
O
p
6
7p
6
y
x30°
30°
7p
6
(210°)
p
6
(30°)
O
p
5 2
p
2 p 5 2
p
sen
7
6
sen
7
6
sen
6






p
5 2
p
2 p 5 2
p
cos
7
6
cos
7
6
cos
6






Para determinar o seno ou o cosseno de um número real em que P está no 4o qua-
drante, basta compará-lo com o número real correspondente do 1o quadrante, simétri-
co em relação ao eixo x. 
3
2
p
 < x < 2p (ponto P no 4o quadrante)
y
x
O
p
3
5p
3
y
x45°
45°
7p
4
(315°)
p
4
(45°)
O
p
5 2 p 2
p
5 2
p
sen
7
4
sen 2
7
4
sen
4






p
5 p 2
p
5
p
cos
5
3
cos 2
5
3
cos
3






60
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	13.	Faça um esboço de cada número real em uma circunferência trigonométrica e calcule o valor do seno ou 
cosseno indicado.
	a) sen
2
3
p
	b) cos
5
4
p
	c) cos
7
2
p
Resolu•‹o
	a) Temos 
2
2
3
p
<
p
 < p, então:





sen
2
3
sen
2
3
sen
3
3
2
p5 p 2
p
5
p
5 â 0,866
	b) Temos p < 
5
4
3
2
p
<
p
, então:





cos
5
4
cos
5
4
cos
4
2
2
p
5 2
p
2 p 5 2
p
5 2 â 20,707
	c) Temos 
7
2
3
2
2
p
5
p
1 p, então:
cos
7
2
cos
3
2
p
5
p
 5 0
Atividades resolvidas
O
y
x
2p
3
p
p
3
2p
3
5 2
O
y
x
5p
4
p
p
4
5p
4
5 2
O
y
x
7p
2p
2
3p
2
5 1
Atividades Não escreva no livro.
	79.	Calcule o valor de cada seno ou cosseno na forma decimal. Depois, confira as respostas com um colega.
	a) sen
5
6
p
	b) sen
7
5
p
	c) sen
37
6
p
	d) cos 6p 	e) 





sen
4
9
2
p
	80.	Junte-se a um colega e, juntos, calculem os possíveis valores reais de x em cada item.
	a) sen x 5 21 	b) sen x 5 
2
2
 	c) sen x 5 
1
2
2 	d) sen x 5 0
0,5
Aproximadamente 20,951.
0,5 1
Aproximadamente 20,985.
As respostas encontram-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
Quando o número real é maior do que 2p, para calcular o seno e o cosseno basta considerar o arco côn-
gruo a ele na primeira volta e, depois, reduzi-lo ao 1o quadrante.
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x > 2p
y
x
côngruo 
a (30°)
O
13p
4
(390°)
p
6
y
x
O
p
6
23p
6
11p
6
c™ngruo a 
p
5
p
sen
13
6
sen
6
p
5
p
5 p 2
p
5
p
cos
23
6
cos
11
6
cos 2
11
6
cos
6






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A função seno
Agora que sabemos como obter o valor de seno e de cosseno de números reais, 
podemos definir as funções trigonométricas, formalizando o que estudamos até aqui, 
agora do ponto de vista de funções.
Assim, dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângu-
lo com medida de abertura x radianos (ou de um arco com medida angular x radianos).
A função trigonométrica seno é a função real de variável real que associa, a 
cada número real x, o valor real sen x.
F: R ñ R
x î F(x) 5 sen x
sen x
1
Im
y 5 sen x
RR
x
1
p
4
2
2
Gráfico da função seno
Para construir o gráfico da função seno no plano cartesiano, primeiro escolhemos 
alguns valores de x da primeira volta positiva (0 , x , 2p) e consideramos os respecti-
vos valores da função. Em alguns casos, usaremos valores aproximados para os senos.
Em seguida, marcamos esses pontos em um plano cartesiano e traçamos a curva 
que representa o gráfico.
O gráfico de uma função F: R é R é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), 
para x é R, y é R e y 5 F(x). Podemos representar o gráfico de uma função no plano cartesiano.
Fique atento
x 0
p
6
p
4
p
3
p
2
p2
3
p3
4
p5
6
p
sen x 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
sen x 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0
x
p7
6
p5
4
p4
3
p3
2
p5
3
p7
4
p11
6 2p
sen x 2
1
2
2
2
2
2
3
2
21 2
3
2
2
2
2
2
1
2 0
sen x 20,5 20,7 20,9 21 20,9 20,7 20,5 0
Para cada número 
real x existe sempre 
um único valor real 
para sen x.
Fique atento
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Veja o gráfico inicialmente para x é [0, 2p] e, depois, para x é R.
1
0,9
0,7
0,5
0
20,5
20,7
20,9
21
p
6
p
4
p
3
p
2
2p
3
3p
4
5p
6
7p
6
5p
4
4p
3
3p
2
5p
3
7p
4
11p
6
p
2p
x
y
Como a função seno é definida no conjunto dos números reais, ou seja, o domínio é R, a curva pode ser 
estendida para valores de x menores do que zero e para valores maiores do que 2p. O gráfico da função 
F: R ñ R, definida por F(x) 5 sen x, é a curva chamada senoide, que tem o seguinte aspecto:
21
3p
2
3p
2
y
x
24p 2p 4p
22p 2p
1
2
p
2
p
2
p
2
0
O gráfico da função seno é simétrico em relação à origem do plano cartesiano.
Fique atento
Periodicidade da fun•‹o seno
Uma função F: R ñ R é chamada periódica quando existe um número p = 0 tal que F(t 1 p) 5 F(t) para 
todo t é R. Quando isso ocorre, temos F(t 1 kp) 5 F(t) para todo t é R e todo k é Z. O menor número 
p > 0 tal que F(t 1 p) 5 F(t) para todo t é R é chamado período da função F.
Para encontrar o período, podemos observar no gráfico da função o deslocamento horizontal necessário 
para que os valores dela comecem a se repetir.
Analisando a função seno, os valores da função se repetem periodicamente nos intervalos », [22p, 0], 
[0, 2p], [2p, 4p], », pois o ponto P(t), associado ao número real t, descreve um fenômeno periódico quando 
percorre a circunferência trigonométrica. Daí dizermos que a função seno é periódica.
A repetição dos valores da função seno pode ser observada no gráfico da função. 
21
y
x
24p 4p
22p
2p
1
0
período (p) período (p) período (p) período (p)
Para todo x é R, temos sen x 5 sen (x 1 2p) 5 sen (x 1 4p) 5 » O período da função seno é 2p e o 
indicamos assim: p 5 2p.
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Sinal dos valores da função seno
Observando os sinais dos valores da função seno, vemos que são positivos no 1o e 2o quadrantes e 
negativos no 3o e 4o quadrantes.
3p
2
p
2
1 1
2 2
p
2p
0
y
x
Algumas características da função seno
Apresentamos a seguir algumas características da função seno F: R ñ R definida por F(x) 5 sen x.
•	 A função seno tem domínio D(F) 5 R e conjunto imagem Im(F) 5 [21, 1], ou seja, todos os números reais 
que estão entre 21 e 1, incluindo esses números.
•	 Essa função assume valor máximo 1 e valor mínimo 21, ou seja, o maior valor que ela assume é 1 e o me-
nor é 21. Além disso, essa função tem amplitude (diferença entre os valores máximo e mínimo) igual a 2.
•	 A função seno é periódica, de período p 5 2p.
•	 Na função seno, temos sen (2x) 5 2sen x , para todo x real. Então, dizemos que ela é uma função ímpar.
•	 A função seno pode assumir valores nulos, positivos ou negativos.
•	 sen x 5 0, para x 5 kp, com k é Z.
•	 sen x > 0, para x do 1o e 2o quadrantes e para x 5 
p
2
 1 2kp, com k é Z.
•	 sen x < 0, para x do 3o e 4o quadrantes e para x 5 
p3
2
 1 2kp, com k é Z.
A função cosseno
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo com medida de aber-
tura x radianos (ou de um arco com medida angular x radianos).
A função trigonométrica cosseno é a função real de variável real que associa, a cada número real x, 
o valor real cos x.
F: R ñ R
x î F(x) 5 cos x
cos x
1
Im
y 5 cos x
RR
x
1
p
2
0
Quais são os valores de sen x para 
x 5 0, x 5 
p
2
, x 5 p e x 5 
p3
2
 e 
seus arcos côngruos?
Reflita
x 5 0 1 2kp ~ sen x 5 0; x 5 
p
2
 1 2kp ~ 
~ sen x 5 1; x 5 p 1 2kp ~ sen x 5 0; 
x 5 
p3
2
 1 2kp ~ sen x 5 21.
Para cada número 
real x existe sempre 
um único valor real 
para cos x.
Fique atento
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Não escreva no livro.
64
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Gráfico da função cosseno
Assim como fizemos com a função seno, para construir o gráfico da função cosse-
no, primeiro escolhemos alguns valores de x da primeira volta positiva (0 , x , 2p) 
e consideramos os respectivos valores da função. Em alguns casos, usaremos valores 
aproximados para cos x.
x 0
p
6
p
4
p
3
p
2
p2
3
p3
4
p5
6 p
cos x 1
3
2
2
2
1
2
0 2
1
2
2
2
2
2
3
2
21
cos x 1 0,9 0,7 0,5 0 20,5 20,7 20,9 21
x
p7
6
p5
4
p4
3
p3
2
p5
3
p7
4
p11
6
2p
cos x 2
32
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
cos x 20,9 20,7 20,5 0 0,5 0,7 0,9 1
Veja o gráfico inicialmente para x é [0, 2p] e, depois, para x é R.
y
x
21
20,920,9
20,720,7
20,520,5
00
0,50,5
0,70,7
0,90,9
11
2p
3
3p
4
5p
6
7p
6
5p
4
4p
3
3p
2
5p
3
7p
4
11p
6
p
2pp
6
p
4
p
3
p
2
Como a função cosseno é definida no conjunto dos números reais, ou seja, o domínio 
é R, a curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e para valores 
maiores do que 2p. Assim, o gráfico da função F: R ñ R, definida por F(x) 5 cos x, que 
também é uma senoide, é a curva que tem o seguinte aspecto:
21
3p
2
3p
2
y
x
24p 2p 4p22p
2p
1
2
p
2
p
2
p
2
0
O gráfico da função cosseno é simétrico em relação ao eixo y.
Fique atento
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Você pode usar um 
simulador 
on-line para observar 
a relação entre 
cada ponto P(t)
da circunferência 
trigonométrica, 
associado a um 
número real t, e o 
respectivo ponto na 
senoide que é gráfico 
da função seno ou 
cosseno de t.
Por exemplo, o site
PhET Simulações 
Interativas, da 
Universidade de 
Colorado (Estados 
Unidos), disponibiliza 
um simulador no qual 
você pode escolher 
as funções seno ou 
cosseno e a unidade 
de medida grau e 
radiano. Modificando 
a posição do ponto 
na circunferência 
trigonométrica, o 
respectivo ponto na 
senoide é alterado, e 
vice-versa. Disponível 
em: https://phet.
colorado.edu/sims/
html/trig-tour/latest/
trig-tour_pt_BR.html. 
Acesso em: 30 jun. 
2020.
Nesse simulador, 
você também pode 
conhecer e explorar 
a função tangente, 
dada por F(x) 5
5 tan x 5
x
x
sen
cos
, 
com cos x = 0.
Sobre 
o assunto
65
049a067_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 65049a067_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 65 9/17/20 10:04 AM9/17/20 10:04 AM
Sinal dos valores da 
função cosseno
Observando os sinais dos valores da função cosseno, 
vemos que são positivos no 1o e 4o quadrantes e negati-
vos no 2o e 3o quadrantes.
3p
2
p
2
2p
2 1
2 1
p 0
y
x
Quais são os valores 
de cos x para x 5 0, 
x 5 
2
p
, x 5 p e 
x 5 
3
2
p
 e seus arcos 
côngruos?
Reflita
x 5 0 1 2kp ~ cos x 5 1; 
x 5 
p
2
 1 2kp ~ cos x 5 0; 
x 5 p 1 2kp ñ cos x 5 21; 
x 5 
p3
2
 1 2kp ñ cos x 5 0
Atividades Não escreva no livro.
	81.	Considere as funções F e G, de R em R, tal que F(x) 5 sen x e G(x) 5 cos x.
	a) Calcule F(p), G(p), 












3
4
e
3
4
F 2
p
G 2
p
. 
	b) Determine o valor de x, com x é [0, 2p], tal que F(x) 5 G(x).
	c) Existe x é R tal que 
2
p
 < x < p e F(x) 5 G(x)? Justifique sua resposta.
As respostas encontram-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
Algumas características da função cosseno
A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide. Ela corresponde à curva da função seno desloca-
da (transladada) 
2
p
 unidades para a esquerda. Compare o gráfico da função cosseno com o gráfico da função 
seno da página 63. 
Isso faz com que muitos aspectos relevantes da função cosseno F: R ñ R, definida por F(x) 5 cos x, sejam 
os mesmos da função seno.
•	 O domínio da função cosseno também é D(F) 5 R e o conjunto imagem também é Im(F) 5 [21, 1].
•	 Essa função também assume valor máximo 1 e valor mínimo 21 e tem amplitude igual a 2.
•	 O período da função cosseno é o mesmo da função seno: a função cosseno é periódica, de período p 5 2p.
•	 Na função cosseno, temos cos (2x) 5 cos x , para todo x real. Então, dizemos que a função cosseno é 
par, diferentemente da função seno, que é ímpar.
•	 A função cosseno pode assumir valores nulos, positivos ou negativos.
•	 cos x 5 0, para x 5 
p
2
 1 kp, com k é Z.
•	 cos x > 0, para x do 1o e 4o quadrantes e para x 5 2kp, com k é Z.
•	 cos x < 0, para x do 2o e 3o quadrantes e para x 5 p 1 2kp, com k é Z.
Professor, se necessário, retome com os estudantes a translação 
de figuras no plano, estudada no Ensino Fundamental. No próximo 
capítulo deste volume, esse conteúdo será ampliado.
B
a
n
c
o
 d
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 i
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g
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iv
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o
ra
As senoides e os fenômenos periódicos
Além das funções trigonométricas seno e cosseno que você estudou, existem outras funções que envol-
vem o seno e o cosseno de um número real, cujos gráficos também são senoides. Veja dois exemplos.
	a) H(x) 5 2 1 cos x, com x é R. 	b) H(x) 5 sen 2x, com x é R.
Funções cujos gráficos são senoides podem ser utilizadas para modelar diversos fenômenos físicos que 
têm comportamento periódico, como o nível do mar, visto na abertura deste capítulo, e a pressão arterial ou 
a corrente elétrica alternada que você verá nas atividades.
No geral, utilizamos no máximo quatro coeficientes na lei dessas funções para que elas se ajustem, 
de maneira bastante razoável, a um fenômeno periódico real. Assim, obtemos uma função F dada por 
F(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) ou F(x) 5 a 1 b ? cos (cx 1 d) , com b = 0 e c = 0.
66
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O período dessas funções é alterado dependendo do coeficiente c, de modo que 
p 5 
p
| |c
2
.
Além disso, é comum optarmos por associar valores positivos aos coe-
ficientes b e c, de modo que o conjunto imagem da função F seja Im(F) 5 
5 [a 2 b; a 1 b], o período seja p 5 
p
c
2
 e a amplitude seja 2b.
Veja as senoides e as características dos exemplos dados acima e um novo exem-
plo de função periódica cujo gráfico também é uma senoide.
	a) G(x) 5 2 1 cos x, com x é R.
21
22
3p
2
5p
2
y
x
2p
2p
3p2p pp
2
p
2
2
0
2
A
2
3
4
1
F(x) 5 cos x 
G(x) 5 2 1 cos x 
	b) H(x) 5 sen 2x, com x é R.
y
3p
2
2p p
p
p
2
p
2
2
21
22
0
x
2p
2
2
1
F(x) 5 sen x 
H(x) 5 sen 2x
	c) K(x) 5 2 1 3 ? sen (2x 1 1)
21
y
x
2p 3p2p p
p
0
2
3
4
5
6
6
1
K(x) 5 2 1 3 ? sen (2x 1 1)
F(x) 5 sen x 
3p
2
p
2
5p
2
p
2
2
A notação |c| indica 
o módulo (ou 
valor absoluto) do 
coeficiente c. Se c 
é positivo ou nulo, 
então |c|5 c; por 
exemplo, |5| 5 5. 
Se c é negativo, 
então |c|5 2c; por 
exemplo, |22| 5 
2(22) 5 2.
Fique atento
Compare o conjunto 
imagem, o período e a 
amplitude da função G 
com os da função 
cosseno.
Reflita
O exemplo 
de resposta 
encontra-se nas 
Orientações 
específicas deste 
Manual.
Compare o conjunto 
imagem, o período 
e a amplitude das 
funções H e K com os 
da função seno.
Reflita
O exemplo de resposta 
encontra-se nas 
Orientações específicas 
deste Manual.
O conjunto imagem é 
Im(G) 5 [2 2 1, 2 1 1] 5 [1, 3].
O período é p 5 
p2
1
 5 2p 
(o coeficiente c 5 1 é positivo).
A amplitude é 2 ? 1 5 2.
O conjunto imagem é Im(H) 5 [0 2 1, 0 1 1] 5 [21, 1].
O período é p 5 
p2
2
 5 p. 
A amplitude é 2 ? 1 5 2.
O conjunto imagem é Im(K) 5 [2 2 3, 2 1 3] 5 [21, 5].
O período é p 5 
p2
2
 5 p. 
A amplitude é 2 ? 3 5 6.
Não escreva no livro.
W
Y
M
 D
e
s
ig
n
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a
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67
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Construção de senoides
Vamos utilizar novamente o software GeoGebra, agora para construir uma senoide no plano cartesiano.
Inicialmente vamos construir o gráfico da função trigonométrica seno, F: R ñ R dada por F(x) 5 sen x, e 
o gráfico da função trigonométrica cosseno, G: R ñ R dada por G(x) 5 cos x.
As imagens reproduzidas aqui são da versão on-line, mas você pode escolher a versão que julgar mais 
oportuna.
1o passo: Como vamos construir gráficos de funções trigo-
nométricas, é interessante ajustar a escala do eixo x para radia-
nos. Para isso, acesse as configurações de exibição (na parte 
superior direita da tela), vá até a aba “Eixo X” e selecione a 
opçãop
2
 para a distância desse eixo.
2o passo: No campo de entrada de comando (na versão on-
-line, esse campo está situado na parte esquerda da tela), digi-
te a lei da função f(x)=sen(x) e tecle “Enter”. Em seguida, no 
próximo campo de entrada, digite a lei da função g(x)=cos(x) 
e tecle “Enter”. Você deverá ter uma imagem como a apresen-
tada abaixo.
	 1.	Observe os gráficos da função seno F e da função cosseno G que você construiu no GeoGebra. Há quantos 
pontos de intersecção entre esses gráficos no intervalo [0, 2p]? 2 pontos.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
O GeoGebra também aceita o comando f(x)=sin(x) para a função 
seno (função sine, em inglês).
Fique atento
Tela do GeoGebra do 1o passo.
Tela do GeoGebra após o 2o passo.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
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w
.g
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g
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b
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rg
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rg
68
Tecnologias digitais
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Agora vamos utilizar o GeoGebra para construir, no plano cartesiano, o gráfico da 
função F: R ñ R, dada por F(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d), com b = 0 e c = 0, que é uma 
senoide, e observar a influência dos coeficientes no gráfico.
1o passo: Salve a construção que você fez e abra um novo documento no Geo-
Gebra. Verifique se a escala do eixo x está configurada em radianos e, se não estiver, 
altere-a como indicado na página anterior.
Em seguida, no campo de entrada de comando, insira a lei da função 
f(x)=a+b*sen(c*x+d) e tecle “enter”. Observe que * indica a operação de multi-
plicação.
Junto do campo de entrada vão aparecer controles deslizantes para os coeficientes a, 
b, c e d. Altere todos os valores para 1, obtendo o gráfico de F(x) 5 1 1 1 ? sen (1x 1 1), 
ou seja, de F(x) 5 1 1 sen (x 1 1).
2o passo: Agora você pode observar significados importantes para os coeficientes 
a, b, c e d. 
	 2.	Altere lentamente o valor de um coeficiente por vez, mantendo os demais, e obser-
ve o que acontece com o gráfico da função.
	a) Qual é o efeito do coeficiente a no gráfico da função?
	b) Qual é o efeito do coeficiente b, com b = 0, no gráfico da função?
	c) Qual é o efeito do coeficiente c, com c = 0, no gráfico da função?
	d) Qual é o efeito do coeficiente d no gráfico da função?
	 3.	Alterando os controles deslizantes para a 5 0, b 5 1, c 5 1 e d 5 1,6, você terá 
aproximadamente o gráfico da função dada por F(x) 5 sen ¯x 1 
2
p ˘ . Essa fun-
ção é equivalente a qual função que você estudou? Justifique por que elas são 
equivalentes. 
2. a) Exemplo de resposta: O coeficiente a é responsável pelo deslocamento (translação) do gráfico na vertical (aumentando o valor 
de a, o gráfico é transladado para cima; diminuindo o valor de a, o gráfico é transladado para baixo). O coeficie nte a também influencia 
o conjunto imagem da 
função.
2. b) Exemplo de resposta: 
O coeficiente b é responsável 
pelo alongamento ou 
achatamento do gráfico na 
vertical (aumentando o valor 
de b positivo ou diminuindo o 
valor de b negativo, o gráfico 
é alongado; aproximando o 
valor de b para 0, o gráfico 
é achatado). O coeficiente b 
também influencia o conjunto 
imagem e a amplitude da 
função.
2. c) Exemplo de resposta: 
O coeficiente c é responsável 
pelo período da função, ou 
seja, pelo alongamento ou 
achatamento do gráfico na 
horizontal (aumentando o valor 
de c positivo ou diminuindo o 
valor de c negativo, o período 
da função diminui; aproximando 
o valor de c para 0, o período 
aumenta).
2. d) Exemplo de resposta: 
O coeficiente d é responsável 
pelo deslocamento (translação) 
do gráfico na horizontal 
(aumentando o valor de d, o 
gráfico é transladado para a 
esquerda; diminuindo o valor 
de d, o gráfico é transladado 
para a direita).
À função cosseno. Elas são equivalentes porque o gráfico da função cosseno corresponde ao gráfico da função seno, deslocado p
2
 unidades para a esquerda, e, ao fazer F(x) 5 sen ¯x 1 p
2
˘, fazemos esse deslocamento do gráfico da função seno.
Tela do GeoGebra após o 1o passo.
R
e
p
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d
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g
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b
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Não escreva no livro.
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	14.	Determine o valor máximo da função F: R ñ R dada por F(x) 5 2 1 3 ? sen x.
Resolução
O valor máximo que sen x assume é 1. Então, a função F terá valor máximo quando sen x 5 1:
F(x) 5 2 1 3 ? 1 5 5
Logo, o valor máximo é F(x) 5 5.
Resolvida passo a passo
	15.	(UCS-RS) A pressão arterial P (em mmHg) de uma pessoa varia, com o tempo t (em segundos), de acordo com a fun-
ção definida por P(t) 5 100 1 20cos (6t 1 p), em que cada ciclo completo (período) equivale a um batimento cardíaco.
Considerando que 19p â 60, quais são, de acordo com a função, respectivamente, a pressão mínima, a pressão 
máxima e a frequência de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?
	a) 80, 120 e 57.
	b) 80, 120 e 60.
	c) 80, 100 e 19.
	d) 100, 120 e 19.
	e) 100, 120 e 60.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
São dadas a lei da função que define a pressão arterial, em função da medida de intervalo de tempo, e uma 
aproximação p â 
60
19
.
	b) O que se pede?
Pedem-se a pressão máxima, a pressão mínima e a frequência de batimentos cardíacos por minuto.
2. Planejando a solução
A pressão máxima é obtida quando cos (6t 1 p) é igual a 11 e é mínima quando é igual a 21. Para calcular a 
frequência de batimentos cardíacos por minuto, basta multiplicarmos a frequência de batimentos por segundo 
por 60, a qual é obtida pelo inverso do período da função.
3. Executando o que foi planejado
Pressão mínima (em mmHg):
P(t) 5 100 1 20 ? cos (6t 1 p) 5 100 1 20 ? (21) 5 80
Pressão máxima (em mmHg):
P(t) 5 100 1 20 ? cos (6t 1 p) 5 100 1 20 ? (11) 5 120
Usamos a aproximação p â 
60
19
 para calcular o período da função:
p 5 
c
2 2
6 3
60
19
3
60
19
1
3
20
19
p
5
p
5
p
â 5 ? 5 
Então, calculamos a frequência de batimentos cardíacos por minuto (em bpm):
p
1
60
1
20
19
60
19
20
? 5 ? 5 ? 60 5 57
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
5. Ampliando o problema
	a) De quanto em quanto tempo são atingidas as pressões máximas? E as pressões mínimas?
	b) Converse com os colegas sobre a prevalência de doenças cardiovasculares na atualidade e sobre quais se-
riam os principais motivos que as ocasionam e quais hábitos devem ser seguidos para reduzir a possibilidade 
de ser acometido por enfermidades desse tipo. Depois da conversa, faça uma análise dos próprios hábitos 
e, se necessário, pense em atitudes para melhorá-los.
10
19
 segundos. 
20
19
 segundos.
Atividades resolvidas
Respostas pessoais.
Não escreva no livro.
70
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	16.	Construa o gráfico da função periódica F: R ñ R 
dada por F(x) 5 21 1 sen 4x e explicite o domínio, 
o conjunto imagem e o período da função.
Resolução
Quando construímos o gráfico da função seno, es-
colhemos alguns valores para x, com 0 , x , 2p, e 
calculamos os respectivos valores da função. Para a 
função dada, podemos atribuir a uma variável t al-
guns valores convenientes, com t 5 4x e 0 , t , 2p, 
e então calcular os respectivos valores da função.
t 5 4x x F(x) 5 21 1 sen 4x 
0 0
F(x) 5 21 1 sen 0 5
5 21 1 0 5 21
p
2
p
8
F(x) 5 21 1 sen  p
2
 5
5 21 1 1 5 0
p
p
4
F(x) 5 21 1 sen p 5
5v 21 1 0 5 21
p3
2
p3
8
F(x) 5 21 1 sen  p3
2
 5
5 21 1 (21) 5 22
2p
p
2
F(x) 5 21 1 sen 2p 5
5 21 1 0 5 21
Representando esses valores em um plano cartesia-
no, traçamos um período completo do gráfico da 
função dada.
y
x
1
0
21
22
p
8
p
2
p
4
3p
8
O domínio é D(F) 5 R.
O conjunto imagem é Im(F) 5 [21 1 1, 21 2 1] 5 
5 [0, 22].
O períodoé p 5 
2
4 2
p
5
p
. 
	17.	O gráfico no plano cartesiano a seguir representa 
uma função periódica F: R ñ R da forma F(x) 5 a 1 
1 b ? cos (cx 1 d). Determine os valores de a, b, c e d.
21
3p
2
x
y
2ppp
2
0
2
3
1
Resolução
Representando o gráfico da função cosseno no mes-
mo plano cartesiano e observando as senoides, po-
demos perceber algumas características das funções.
21
3p
2
x
y
2ppp
2
0
2
3
1
F(x) 5 a 1 b ? cos (cx 1 d)
G(x) 5 cos x 
•	 A amplitude de F é o dobro da amplitude da fun-
ção cosseno: 3 2 (21) 5 4. Então, b 5 2.
•	 O conjunto imagem de F é Im(F) 5 [21, 3] e, 
então, a 5 1.
•	 O período de F é p 5 2p, o mesmo da função 
cosseno. Então, c 5 1.
•	 Temos que F(0) 5 21, então: 
F(0) 5 1 1 2 ? cos  (1 ? 0 1 d) ~ 21 5 1 1 
1 2 ? cos d ~ 2 ? cos d 5 22 ~ cos d 5 21 ~ 
~ d 5 p 1 2kp, com k é Z.
Como a função é periódica, de período 2p, 
qualquer deslocamento horizontal da forma 2kp 
resultará no mesmo gráfico. Então, consideran-
do k 5 0, obtemos d 5 p.
Portanto, a lei dessa função é: 
F(x) 5 1 1 2 ? cos (x 1 p).
A lei da função também poderia ser F(x) 5 1 1 
1 2 ? cos (x 1 3p), F(x) 5 1 1 2 ? cos (x 1 5p), 
F(x) 5 1 1 2 ? cos (x 2 p), », atribuindo outros 
números inteiros para k.
Fique atento
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	82.	Considerando as funções F e G definidas por F(x) 5 
5 sen 4x e G(x) 5 1 2 cos x, determine o que se pede.
	a) 






2
F
p
 
	b) G(p)
	c) 






6
F
p
 
	d) D(G)
	e) Im(G)
	83.	Em um plano cartesiano, construa o gráfico de cada 
função dada a seguir (represente pelo menos um perío- 
do completo) e dê o domínio, o conjunto imagem, o 
período e a amplitude de cada uma delas.
	a) Função F: R ñ R tal que F(x) 5 cos 3x.
	b) Função H: R ñ R tal que H(x) 5 2 ? sen x.
	84.	Observe os gráficos que você construiu na atividade 
anterior.
	a) Compare o gráfico de F(x) 5 cos 3x com o gráfico 
da função cosseno.
	b) Compare também o gráfico de F(x) 5 cos 3x com o 
gráfico da função seno.
	c) Agora, compare o gráfico de H(x) 5 2 ? sen x com o 
gráfico da função seno.
	85.	Determine o período de cada função F: R ñ R do tipo 
trigonométrica dada.
	a) F(x) 5 sen 7x
	b) F(x) 5 





xsen 2
4
2
p
 p
	c) F(x) 5 2 ? 





xcos 2
3
1
p
 p
	d) F(x) 5 1 1 cos (px 2 3) 2
	86.	Dada uma função F: R ñ R, cujo gráfico é uma se-
noide, determine o valor máximo e o valor mínimo da 
função para cada lei dada.
	a) F(x) 5 sen x 2 10
	b) F(x) 5 6 2 10 ? cos x
	c) F(x) 5 3 ? cos2 x 1 1
	d) F(x) 5 sen x 1 cos x
	87.	Como podemos obter o gráfico da função do item a 
da atividade anterior, já tendo traçado o gráfico da fun-
ção seno?
	88.	(UFRGS-RS) Se F(x) 5 a 1 b ? sen x tem como gráfico:
y
x
21
1
0
2
3
2p



2
F
p
 5 0
G(p) 5 2 D(G) 5 R
Im(G) 5 [0, 2]
Os exemplos de resposta encontram-se nas 
Orientações específicas deste Manual.
p2
7
29 e 211.
16 e 24.
4 e 1.
2 e 22.
Deslocando o gráfico da função seno em 
10 unidades para baixo.
Então: Alternativa d.
	a) a 5 22 e b 5 1.
	b) a 5 21 e b 5 2.
	c) a 5 1 e b 5 21.
	d) a 5 1 e b 5 22.
	e) a 5 2 e b 5 21.
	89.	Considere um fenômeno periódico que pode ser 
modelado pela função F: R1 ñ R dada por F(x) 5 a 1 
1 b ? sen (cx), com x em minutos. Em um experimento 
com esse fenômeno, realizado a cada 1 minuto, desde 
x 5 0, observou-se os resultados aproximados a 
seguir.
x 0 1 2 3 4 5 6
F(x) 4,0 6,8 8,0 6,8 4,0 1,2 0,0
x 7 8 9 10 11 12 »
F(x) 1,2 4,0 6,8 8,0 6,8 4,0 »
Marque esses pontos em um plano cartesiano e identi-
fique a lei de uma função que oferece uma boa aproxi-
mação para esses dados.
	90.	Em uma roda-gigante, um ponto A, que representa 
uma das cadeiras, movimenta-se sobre uma circunfe-
rência de centro O, o centro da roda-gigante. A po-
sição y da cadeira em relação ao solo, no instante t, 
é descrita pela lei da função y 5 70 2 15 ? sen t, com 
t . 0. Diante disso, qual é a medida de comprimento 
do diâmetro, em metros, dessa roda-gigante? 30 m
	91.	Em certa cidade litorânea, a lei da função H(x) 5 1,3 1 
1 1,1 ? xcos
3
p
 corresponde às medições do nível do 
mar, em metros, em função da medida de intervalo 
de tempo x, em horas, decorrida desde a meia-noite, 
com 0 , x , 24. 
	a) Nessa situação, quais são os valores máximo e míni-
mo do nível do mar? 2,5 m e 0,2 m.
	b) Construa o gráfico dessa função. 
Você pode construir o gráfico em um plano cartesiano 
ou usar o GeoGebra. No caso de escolher o software, 
insira a lei h(x)=1.3+1.1*cos(pi/3 x), usando o ponto 
como separador decimal e “pi” para representar o p, 
colocando um espaço antes do “x” para que ele fique 
fora da fração.
Fique atento
Atividades Não escreva no livro.
encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
89. O gráfico encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. Exemplo de lei da função: F(x) 5 4 1 4 ? 
p
xsen 
4
.
Os gráficos 
B
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g
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a
 e
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83. a) D(F) 5 R, Im(F) 5 [21, 1], p 5 p2
3
, amplitude 2.
b) D(H) 5 R, Im(H) 5 [22, 2], p 5 2p, amplitude 4.
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
83. c) 



6
F
p
 5 3
2
72
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	92.	Na corrente elétrica alternada, o fluxo de elétrons que 
atravessa um condutor tem sentido variante (ou seja, 
não tem sentido único) em função do intervalo de tem-
po. Em um circuito de potência de corrente alternada, 
a forma de onda mais utilizada é a senoidal, podendo 
ser apresentada de outras formas.
O osciloscópio é uma ferramenta usada para visualizar 
a onda que representa um sinal elétrico e analisar os 
parâmetros relacionados, como a corrente e a tensão 
elétrica. Na foto, onda senoidal (em amarelo) em 
osciloscópio digital, obtida em uma corrente elétrica 
alternada.
Considere que uma possível modelagem de uma corren-
te alternada seja dada pela lei F(x) 5 40 ?
x
sen
 
2
p 2 p
, 
em função da medida de intervalo de tempo x, em segun-
dos. Qual é o período dessa função? 4 s
	93.	O coração tem como função bombear o sangue para o 
corpo. Quando isso ocorre, ele gera determinada força 
em direção às paredes das artérias, chamada de pres-
são arterial. A pressão arterial considerada ideal é 
aquela que apresenta valores de 120 por 80 mmHg. 
artéria
pressão exercida 
pelo sangue
Representação esquemática, sem escala e em 
cores fantasia, da pressão exercida pelo sangue 
em direção às paredes da artéria.
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2
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Suponha que a variação da pressão arterial de um pa-
ciente, em mmHg, em função da medida de intervalo 
de tempo, em segundos, é dada por P(t) 5 110 2 20 ?
? tcos
5
2
p
. Qual seria a pressão sistólica desse pacien-
te, ou seja, a pressão máxima atingida?
A unidade de medida mmHg significa milímetros de 
mercúrio e, embora não esteja relacionada no Sistema 
Internacional de Unidades (SI), é a unidade usada 
convencionalmente para medir a pressão arterial.
Fique atento
	94.	Considere que, em determinado dia, da 0 h às 24 h, a 
expressão que representa o nível A do mar em uma praia, 
em metros, em função do horário h, com 0 , h, 24, seja 
dada por A(h) 5 2 1 1,5 ? 





hsen
6
p
? .
Um grupo de amigos planeja jogar bola nessa praia, 
durante o dia, iniciando a partida 1 hora antes do ho-
rário da maré mais baixa e encerrando o jogo 1 hora 
depois. Qual é o horário em que eles jogarão bola?
	a) Das 8 h às 10 h.
	b) Das 9 h às 11 h.
	c) Das 11 h às 13 h.
	d) Das 12 h às 14 h.
	e) Das 13 h às 15 h.
	95.	O espirômetro é o aparelhoque mede o volume de ar 
inspirado e expirado pelos pulmões de uma pessoa, de-
terminando, assim, a capacidade pulmonar dela. Em um 
teste realizado em um paciente, foi gerada pelo espirô-
metro uma função que indica a medida de volume de 
ar V nos pulmões, em litros, de acordo com a medida 
de intervalo de tempo t, em segundos, que se passou 
desde o início do teste: V(t) 5 3 1 0,5 ? 
t
sen
2
5
p
.
Existem diversos tipos de espirômetro para medir 
a capacidade pulmonar de uma pessoa. Na foto, 
espirômetro com conexão ao computador.
	a) Qual é a medida de volume máxima de ar, em litros, 
que o pulmão desse paciente atingiu? 3,5 L
	b) E qual é a medida de volume mínima? 2,5 L
	c) De acordo com essa lei da função, o processo com-
pleto de uma respiração (inspirar e expirar) dura 
quantos segundos? 5 s
130 mmHg
Alternativa a.
Não escreva no livro.
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	96.	Em Geografia, ao estudarmos o movimento pendular, ou mobilidade pendular, estamos nos referindo ao deslocamento 
diário dos habitantes entre cidades próximas, para fins de estudo, trabalho, tratamentos médicos, etc. Esse movimento é 
comum em regiões próximas a grandes centros urbanos e capitais. Durante o dia, o número de pessoas nas cidades do 
entorno sofre uma baixa, pois muitas se deslocam até a cidade principal, regressando à cidade de moradia ao término 
das atividades. 
Considere que, em uma cidade, analistas determinaram que o número de pessoas varia de acordo com o horário do 
dia pela lei P(t) 5 32 000 2 9 000 ?






t
sen
12 6
p
2
p
, em que P é o número de pessoas na cidade e t é o horário do dia, 
com 0 , t , 24. Em qual horário atinge-se o menor número de habitantes nessa cidade? Às 8 h.
Atualmente, os movimentos pendulares 
exercem grande importância para o 
entendimento da dinâmica dos grandes 
centros urbanos, sendo utilizados 
até mesmo para delimitar as regiões 
metropolitanas. Além disso, os dados 
da mobilidade são usados para estudar 
a organização funcional das regiões 
e para organizar o planejamento 
urbano, principalmente relacionado ao 
transporte.
Observe no mapa ao lado como é o 
movimento pendular, restrito a trabalho 
ou estudo, na concentração urbana de 
Recife (PE), de acordo com o Censo 
Demográfico de 2010 realizado pelo 
Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE).
Você mora no município em que 
estuda? Seus familiares moram e 
trabalham no mesmo município? Você 
diria que o movimento pendular da 
região onde vive é alto ou baixo? 
Pesquise esse assunto e verifique se sua 
percepção sobre o movimento pendular 
na região é próximo da realidade.
O documento Arranjos populacionais 
e concentrações urbanas no Brasil, do 
IBGE, indicado como fonte do mapa 
ao lado, apresenta muitas informações 
sobre o assunto, bem como o mapa do 
movimento pendular em cada uma das 
27 unidades de federação do país. Você 
pode usá-lo para fazer a pesquisa.
Sobre o assunto
	97.	Como você viu no começo deste capítulo, a maré é um fenômeno periódico de elevação e diminuição do nível do 
mar, em decorrência das forças de atração exercidas pela Lua e pelo Sol. Além disso, esse fenômeno tem relação di-
reta com as fases da Lua, mês a mês: nas luas cheia e nova, o nível do mar está mais alto do que o normal, enquanto 
nas luas minguante e crescente, está mais baixo. 
Durante determinado mês, em uma cidade litorânea, modelou-se a oscilação 
das marés de acordo com a lei da função H(t) 5 






t5
2
3
2
cos
2
15 3
1 ?
p
1
p
, 
em que h é a medida do nível do mar e t é o dia do mês em que ela ocorreu. 
Em quais dias desse mês ocorreram as luas minguante e crescente? 
Respostas pessoais.
Fonte de consulta: IBGE. Coordenação de Geografia. Arranjos populacionais e 
concentrações urbanas no Brasil. 2. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2016. Disponível 
em: ftp://geoftp.ibge.gov.br/organizacao_do_territorio/divisao_regional/arranjos_
populacionais/arranjos_populacionais.pdf. Acesso em: 29 jun. 2020.
Movimento pendular (por trabalho e estudo) 
na concentração urbana de Recife (PE)
6000 a 7999
8000 a 9999
10000 a 39999
40000 a 150000
Intensidade relativa
e absoluta
Paudalho
Araçoiaba Itapissuma
Igarassu
Abreu
e Lima
Paulista
Olinda
Camaragibe
São Lourenço
da Mata
Moreno
Jaboatão dos
Guararapes
Cabo de Santo
Agostinho
Ipojuca
Recife
8° S
35° O
OCEANO
ATLÂNTICO 
6000 a 7999
8000 a 9999
10000 a 39999
40000 a 150000
Intensidade absoluta
(Total de pessoas)
0 10
km
Lembre-se de que cos p 5 21. 
Então, considerando os arcos 
côngruos a p, temos cos (p 1 2kp) 5
5 21, com k Ž Z.
Fique atento
Dias 5 e 20.
Não escreva no livro.
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	98.	Na roda-gigante High Roller, na cidade de Las Vegas 
(Estados Unidos), cada passeio dura sempre 30 minu-
tos. Como o movimento da roda-gigante é periódico, 
ou seja, a cada 30 minutos se repete o movimento dos 
30 minutos anteriores, ele pode ser descrito por uma 
função do tipo trigonométrica. Para o caso específico 
da High Roller, essa função é dada por H(t) 5 86 2 82 ? 
? 
t
cos
15
p
, em que h é a medida de comprimento da 
altura da cabine em relação ao chão e t é a medida de 
intervalo de tempo, em minutos, desde que a cabine 
começou o movimento. 
Até o início de 2020, a roda-gigante High Roller era 
a maior do mundo, com 168 metros de medida de 
comprimento da altura e 28 cabines, cada uma com 
capacidade para 40 pessoas. Foto de 2020.
Depois de 10 minutos de passeio, qual é a medida de 
comprimento da altura em que se encontra uma cabi-
ne que iniciou o movimento no ponto mais baixo da 
roda-gigante?
	99.	Onda sonora é um exemplo de onda mecânica que 
necessita de um meio para se propagar e que pode 
ser modelada por uma função do tipo trigonométrica. 
A sensação auditiva causada por uma onda sonora é 
chamada de som.
	a) Observe os gráficos de duas ondas sonoras com in-
tensidades diferentes (quanto maior a intensidade 
de uma onda sonora, mais alto é o volume do som).
y
x
Alta intensidade 
(volume mais alto)
Baixa intensidade 
(volume mais baixo)
Em cada gráfico acima está representado apenas 
um período completo da função.
Fique atento
Relacione a amplitude da função que modela cada 
onda sonora com a intensidade da onda sonora.
127 m
	b) Agora observe os gráficos de duas ondas sonoras 
com frequências diferentes (frequências mais altas 
correspondem a sons mais agudos e frequências 
mais baixas correspondem a sons mais graves).
y
x
Alta frequência (som mais agudo)
Baixa frequência (som mais grave)
Relacione o período da função que modela cada 
onda sonora com a frequência da onda sonora.
Timbre é a qualidade do som que permite diferenciar, 
por exemplo, uma mesma nota sonora emitida por 
diferentes fontes sonoras. Quando representamos 
o timbre, obtemos diferentes formas de ondas para 
cada fonte sonora. Observe a seguir alguns exemplos 
da nota fá emitida por diferentes instrumentos. Essas 
formas de ondas, apesar de não serem senoides, 
também são periódicas, pois se repetem após o 
mesmo intervalo de tempo. 
Fique atento
y
x
y
x
Trompete.
Violão.
y
x
y
x
Trompete sintetizado.
Violão sintetizado.
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99. a) Uma função com amplitude maior corresponde a uma onda sonora com intensidade maior 
(volume mais alto do som).
99. b) Uma função com período menor corresponde a uma onda sonora com maior frequência (som mais agudo).
Professor, se julgar oportuno, comente com os estudantes que a frequência de umaonda sonora é o inverso do período da função.
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Não escreva no livro.
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	100.	(Enem) Um cientista, em seus estudos para modelar a 
pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do 
tipo P(t) 5 A 1 Bcos (kt), em que A, B e k são cons-
tantes reais positivas e t representa a variável tempo, 
medida em segundo. Considere que um batimento 
cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas 
sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os 
dados:
Pressão mínima 78
Pressão máxima 120
Número de batimentos cardíacos por minuto 90
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o 
caso específico foi:
	a) P(t) 5 99 1 21cos (3pt).
	b) P(t) 5 78 1 42cos (3pt).
	c) P(t) 5 99 1 21cos (2pt).
	d) P(t) 5 99 1 21cos (t). 
	e) P(t) 5 78 1 42cos (t). 
	101.	(Enem) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia 
e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles 
que apresentam ciclos bem definidos de produção, 
consumo e preço. Resumidamente, existem épocas 
do ano em que a sua disponibilidade nos mercados 
varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é 
abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no 
mês de produção máxima da safra.
A partir de uma série histórica, observou-se que o 
preço P, em reais, do quilograma de certo produto 
sazonal pode ser descrito pela função P(x) 5 8 1 
1 
p 2 px
5cos
6





 , onde x representa o mês do ano, 
sendo x 5 1 associado ao mês de janeiro, x 5 2 ao 
mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x 5 12 
associado ao mês de dezembro.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 
(adaptado).
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é:
	a) janeiro. 
	b) abril. 
	c) junho. 
	d) julho. 
	e) outubro. 
	102.	(UFPR) A maior variação de maré do Brasil ocorre na 
baía de São Marcos, no estado do Maranhão. A dife-
rença entre o nível mais alto e o nível mais baixo atin-
gidos pela maré pode chegar a 8 metros em algumas 
épocas do ano.
Suponha que em determinado dia do ano o nível 
da maré da baía de São Marcos possa ser descrito 
Alternativa a.
Alternativa d.
pela expressão n(t) 5 





t3sen 5
6
( 2 )
p
 1 4, com 
t é [0, 24], sendo t o tempo (medido em horas) e 
n(t) o nível da maré no instante t (dado em me-
tros). Com base nessas informações, considere as 
seguintes afirmativas:
1. O nível mais alto é atingido duas vezes durante o 
dia.
2. Às 11 h é atingido o nível mais baixo da maré.
3. Às 5 h é atingido o nível mais alto da maré.
4. A diferença entre o nível mais alto e o nível mais 
baixo é de 3 metros.
[Indique no caderno] a alternativa correta.
	a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
	b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
	c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
	d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
	e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
	103.	(Enem) Uma pessoa usa um programa de computa-
dor que descreve o desenho da onda sonora corres-
pondente a um som escolhido. A equação da onda é 
dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por 
y 5 a ? sen [b(x 1 c)], em que os coeficientes a, b, c 
são positivos. O programa permite ao usuário provo-
car mudanças no som, ao fazer alterações nos valores 
desses coeficientes. A pessoa deseja tornar o som mais 
agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda.
O(s) único(s) coeficiente(s) que necessita(m) ser 
alterado(s) é(são):
	a) a. 
	b) b. 
	c) c. 
	d) a e b. 
	e) b e c.
	104.	(Unig-RJ) Verificou-se que o volume de ar, V, em li-
tros, nos pulmões de certo indivíduo, em repouso, va-
riava em função do tempo t, em segundos, de acordo 
com a função V (t) 5 2,8 1 0,29 ? cos (1,6 ? t 1 p).
Nessas condições, conclui-se que, em cada ciclo res-
piratório, o volume de ar inspirado por esse indivíduo 
é de:
	a) 0,29 litro.
	b) 0,58 litro.
	c) 1,6 litro.
	d) 2,8 litros.
	e) 3,2 litros.
	105.	Pense nos diversos fenômenos periódicos que você 
viu neste capítulo, ou pesquise outros, e elabore um 
problema que seja modelado por uma função do tipo 
trigonométrica. Depois, peça a um colega que resol-
va o problema que você elaborou enquanto você re-
solve o dele.
Alternativa a.
Alternativa b.
Alternativa b.
Resposta pessoal.
Não escreva no livro.
76
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Leitura e compreensão
Não escreva no livro.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas 
deste Manual.
Alguns registros arqueológicos relacionados ao relógio de sol 
dizem respeito a obeliscos construídos por volta de 3500 a.C. 
com a finalidade de registrar os horários; outros, chamados 
de relógios de sombra, deixaram vestígios de que existiram 
em 1500 a.C., na Babilônia. Na foto, de 2019, relógio de sol 
no Jardim Botânico de Brasília (DF).
Outro sistema muito antigo usado para 
medir o tempo é o relógio de água (ou 
clepsidra). O exemplar mais antigo 
de que se tem registro foi encontrado 
em Karnak (Egito) e é do reinado do 
faraó Amenhotep III (provavelmente 
entre 1389 a.C.-1353 a.C.). Ao lado, 
ilustração de modelo grego de 
relógio de água.
A ampulheta não é um bom 
instrumento para determinar horários 
do dia, mas é excelente para marcar 
um intervalo de tempo específico. 
Embora o monge francês Luitprand, 
que viveu no século VIII, seja por 
vezes apontado como o criador da 
ampulheta, os primeiros registros 
concretos desse objeto datam do 
século XIV.
Charge de 2017 de Mark 
Lynch. Disponível em: https://
cartoons-a-plenty.com/
comic-strips/history-cartoons/. 
Acesso em: 8 set. 2020.
Em tempos mais recentes, 
surgiram os relógios 
mecânicos com ponteiros e 
os relógios digitais, que são 
bastante precisos.
Fontes de consulta: VASCONCELLOS, Lucas. Quando o ser humano começou a contar o tempo? Recreio, 28 maio 2020. Disponível em: 
https://recreio.uol.com.br/viva-a-historia/quando-o-ser-humano-comecou-a-contar-o-tempo.phtml.ESCOLA BRITANNICA. Relógio de sol. 
Disponível em: https://escola.britannica.com.br/artigo/rel%C3%B3gio-de-sol/482602. Acesso em: 10 jul. 2020.
O relógio de pêndulo
Dos relógios mecânicos, o de pêndulo tem grande relação com a Matemática. 
Esse modelo de relógio foi inventado em Haia (Holanda), em 1656, pelo físico, 
matemático, astrônomo e horologista neerlandês Christiaan Huygens (1629-1695), 
que se baseou em um estudo feito no século XVI pelo físico, matemático e astrônomo 
italiano Galileu Galilei (1564-1642).
As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
Aquele que estuda a 
medição do tempo ou 
fabrica instrumentos para 
marcar o tempo.
Horologista
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O desafio de medir o tempo
Um grande desafio para a civilização foi quantificar e medir 
o tempo. Ao longo do desenvolvimento da humanidade, diver-
sas foram as tentativas, e, apesar de não ser possível descrever 
precisamente todas elas, algumas chegaram a nosso conheci-
mento atual. 
.
77
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Leitura e compreensão
O mecanismo desse modelo se baseia na regularidade da oscilação no movi-
mento do pêndulo. A amplitude da oscilação deve permanecer constante, pois 
uma variação de apenas 4° pode fazer o relógioadiantar cerca de 15 segundos por 
dia. Além disso, o desgaste com o atrito pode ser praticamente desconsiderado 
nesse tipo de relógio, pois o mecanismo dispõe de pesos ou molas capazes de 
compensar a maior parte da energia dissipada com o desgaste (atrito). 
No mecanismo do relógio de pêndulo há um dispositivo que permite “dar cor-
da” nele, ou seja, acumular energia potencial, que vai aos poucos sendo liberada 
para que o relógio funcione.
Na representação acima, vemos um modelo de pêndulo simples, do qual podemos destacar alguns 
conceitos.
Período: medida de intervalo de tempo de uma oscilação completa, que consiste em sair da posição A, 
ir até B e voltar à posição A.
Frequência: número de oscilações do pêndulo em determinado intervalo de tempo.
Amplitude: medida da maior distância alcançada pelo pêndulo em relação à posição de equilíbrio E.
Medida de abertura u: medida de abertura do ângulo que o braço do pêndulo faz com a posição de equilíbrio, 
que deve ser uma medida pequena, menor do que 5°, para configurar o movimento harmônico simples (MHS).
Como o pêndulo faz o relógio funcionar?
O pêndulo está acoplado ao mecanismo do relógio. Sendo a amplitude constante, o mecanismo é acio-
nado em intervalos de tempo iguais, permitindo a precisão do relógio.
Em termos físicos, o movimento do pêndulo é regido pela força gravitacional. A componente dessa força 
que atua na oscilação é um vetor Ft
ur
, tangente ao braço do pêndulo, que depende apenas 
da medida de massa m do pêndulo e do módulo da aceleração gravitacional g, como re-
presentado na figura ao lado.
Considerando uma aproximação para uma situação ideal, na qual o braço do pêndulo, 
de medida de comprimento L, pode ser aproximado para um fio de massa desprezível, 
e desconsiderando os efeitos de forças dissipativas (como o atrito e a resistência do ar), 
podemos calcular o módulo da componente tangencial da força gravitacional pela relação:
F
t
 5 mg ? sen u
Assim, essa força tem valor máximo quando a medida de abertura é máxima, e é nula no momento em 
que o pêndulo fica perfeitamente na vertical (u 5 0).
Nessa relação, temos F
t
 em função de u. Para escrever a lei de uma função do tipo trigonométrica do movimento periódico 
do pêndulo, em função da medida de intervalo de tempo, são necessários conhecimentos matemáticos que não são 
estudados no Ensino Médio.
Porém, você pode observar esse movimento periódico do pêndulo em um simulador on-line e perceber os conceitos 
envolvidos e a senoide que é obtida.
Por exemplo, o site PhET Simulações Interativas, da Universidade de Colorado (Estados Unidos), disponibiliza um simulador 
de pêndulo em que você pode modificar a medida de comprimento do braço, a medida de massa e o módulo da 
aceleração gravitacional, além de atribuir valores para o atrito considerado no movimento. Disponível em: https://phet.
colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_pt_BR.html. Acesso em: 30 jun. 2020.
Outra sugestão é o site My Physics Lab, das Escolas Públicas de Buffalo (Estados Unidos). Nele, você pode observar o 
simulador de pêndulo e modificar diversos parâmetros, como a medida de comprimento do braço (length), a medida de 
massa (mass) e o módulo da aceleração gravitacional (gravity); além disso, selecionando a aba time graph, você verá a 
construção da senoide de acordo com os parâmetros escolhidos. Disponível em: https://www.myphysicslab.com/pendulum/
pendulum-en.html. Acesso em: 30 jun. 2020.
Sobre o assunto
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Representação esquemática 
de um pêndulo simples.
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Não escreva no livro.
Sem atrito, o relógio pode atrasar ou adiantar?
Se a medida de comprimento do braço do pêndulo aumentar (pela dilatação térmica do material devido 
ao calor, por exemplo), então o período também vai aumentar e o pêndulo vai demorar mais tempo para com-
pletar uma oscilação e, consequentemente, o relógio vai atrasar. Se a medida de comprimento do fio diminuir, 
então o pêndulo completará uma oscilação em menos tempo e, consequentemente, o relógio vai adiantar. 
Como o movimento do pêndulo é regido pela força gravitacional, o módulo da aceleração gravitacional 
local vai influenciar diretamente o período dessa oscilação.
Sendo L a medida de comprimento do braço do pêndulo e g o módulo da aceleração gravitacional do 
local, podemos calcular o período T pela relação:
T 5 p
L
~
L
5
p
g
T
g
2
2
Supondo g 5 10 m ? s22 e p â 3, um pêndulo cujo fio tem medida de comprimento L 5 0,4 m tem período 
de 1,2 s.
T 5 p2
0,4
10
 5 (2 ? 3 ? 0,2) 5 1,2
Os pêndulos e o movimento de rotação da Terra
O físico e astrônomo francês Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) foi o responsável por um dos expe-
rimentos citados no livro Os 10 mais belos experimentos científicos, de Robert P. Crease. Leia o texto a seguir 
sobre esse experimento.
Foucault, o pêndulo e a rotação da Terra
Em 1851, o cientista Jean Bernard Léon Foucault 
[...] achou que seria uma boa ideia pendurar um peso 
de metal de 28 kg em um cordão de aço de 67 metros 
no Panteão de Paris. Para a ciência, foi mesmo.
Para marcar o progresso do gigantesco pêndulo, 
o cientista ainda amarrou uma caneta no peso e jo-
gou areia úmida no chão abaixo dele. Assim, a plateia 
acompanhou abismada como o peso parecia girar sozi-
nho, marcando traços ligeiramente diferentes no solo.
O experimento de Foucault provou que a Terra 
gira sobre o próprio eixo, no movimento que cha-
mamos hoje de rotação. Não era o pêndulo que real-
mente girava, mas sim o chão do Panteão que “mu-
dava de lugar”, do ponto de vista do pêndulo [...].
JUNQUEIRA, Felipe. Os 10 experimentos científicos mais 
importantes da história. Canal Tech, 25 nov. 2019. Disponível 
em: https://canaltech.com.br/ciencia/os-10-experimentos- 
cientificos-mais-importantes-da-historia-156069/. 
Acesso em: 30 jun. 2020.
O experimento realizado por Foucault é apenas uma das maneiras de verificar experimentalmente o mo-
vimento de rotação da Terra. 
	 1.	Se você levasse um relógio de pêndulo para a Lua, ele atrasaria ou adiantaria?
	 2.	E se você levasse um relógio de pêndulo para o deserto do Saara ao meio-dia, ele atrasaria ou adiantaria?
	 3.	Imagine que o fio de um relógio de pêndulo sofreu um aumento de 21% em relação à medida de compri-
mento inicial. Nesse caso, qual foi o aumento percentual do período do pêndulo?
Adiantaria.
Atrasaria.
10%
O pêndulo de Foucault é um instrumento que consiste em 
um fio longo (em geral, alguns metros) com um pêndulo 
(de dezenas de quilogramas) fixado na ponta do fio. O 
pêndulo oscila por causa da aceleração que sofre pelo 
movimento de rotação da Terra e a direção da oscilação 
varia com o tempo. Na foto, de 2015, pêndulo de Foucault 
em Los Angeles, Califórnia (Estados Unidos).
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Vestibulares e Enem
	 1.	(UFRN) Numa escola, o acesso entre dois pisos des-
nivelados é feito por uma escada que tem quatro de-
graus, cada um medindo 
24 cm de comprimento 
por 12 cm de altura. Para 
atender à política de 
acessibilidade do Gover-
no Federal, foi construída 
uma rampa, ao lado da 
escada, com mesma in-
clinação, conforme mos-
tra a foto ao lado.
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de 
acordo com as normas recomendadas, um fiscal da 
Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz 
com o solo.
O valor encontrado pelo fiscal:
	a) estava entre 30° e 45°.
	b) era menor que 30°.
	c) foi exatamente 45°.
	d) era maior que 45°.
	 2.	(UEG-GO) Do alto de um edifício de 24 metros de al-
tura,um engenheiro vê o topo de um outro edifício 
mais alto, observando-o sob um ângulo de 30°. 
Sabendo que a distância entre os dois edifícios é de 
100 3 metros, a altura do edifício mais alto é:
	a) 100 3 m.
	b) 100 m.
	c) 124 m.
	d) 124 3 m.
	 3.	(UFPA) Considere o gráfico da função trigonométrica 
abaixo, no qual F(p) 5 5:
0
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10212223242526272829210
Interpretando o gráfico, podemos concluir que F(3p) 
é igual a:
	a) 4. 	b) 5. 	c) 6. 	d) 7. 	e) 8.
	 4.	(Uncisal) Numa praça circular de diâmetro 60 m há um 
passeio que une seus pontos situados mais ao Norte e 
mais ao Nordeste. Se desprezarmos sua largura e ado-
tarmos 2 5 1,4, qual é o comprimento aproximado, 
em metros, desse passeio?
	a) 3042 
	b) 1800
	c) 882 
	d) 552 
	e) 360 
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa d.
	 5.	(UFGD-MS) A umidade relativa do ar em uma deter-
minada cidade foi medida das 6 horas da manhã de 
um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os 
dados obtidos estão representados pela função perió-
dica abaixo.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
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6:00 12:00 18:00 0:00 6:00
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(%
)
Hora do dia
A expressão que descreve a variação da umidade do ar 
(dada em porcentagem) como função da hora do dia 
(dada pela variável t) é:
	a) F(t) 5 50 1 20cos (2pt).
	b) F(t) 5 50 1 





t50cos
12
p
.
	c) F(t) 5 50 1 





t20cos
12
p
.
	d) F(t) 5 70t2.
	e) F(t) 5 t2 1 20.
	 6.	(UFTM-MG) Robô da Nasa anda em Marte: em seu 
primeiro “test-drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou 
por 120° e percorreu mais 2,5 m, em 16 minutos.
(O Estado de S. Paulo, 24.08.2012.)
A figura esquematiza a trajetória 
do robô, contida em um plano, 
onde todos os trechos por ele 
percorridos foram em movi-
mento retilíneo. Suponha que 
esse robô retorne ao ponto de 
partida (P), mantendo a mesma 
velocidade média desenvolvida 
anteriormente. 
Adotando como valor da raiz quadrada de um núme-
ro decimal o número inteiro mais próximo, é correto 
afirmar que, para ir do ponto B ao ponto P, o robô irá 
demorar, aproximadamente:
	a) 9 min 6 s.
	b) 12 min 6 s.
	c) 10 min 40 s.
	d) 13 min 12 s.
	e) 11 min 30 s.
Alternativa c.
Alternativa a.
A
2,5 m
120¡
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Não escreva no livro.
	 7.	(Vunesp) Para calcular a distância entre duas árvores si-
tuadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e 
B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 
20 m da margem, na direção da reta AB, até o ponto 
C, e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 
40 m de C, do qual ainda 
pode ver as árvores.
Tendo verificado que os 
ângulos µ µDCB BDCe me-
dem, respectivamente, 
cerca de 15° e 120°, que 
valor ele encontrou para a 
distância entre as árvores, 
se usou a aproximação 
6 5 2,4?
	 8.	(Acafe-SC) Com o objetivo de auxiliar os maricultores 
a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um en-
genheiro de aquicultura fez um estudo sobre a tempe-
ratura da água na região do sul da ilha, em Florianópo-
lis. Para isso, efetuou medições durante três dias con-
secutivos, em intervalos de 1 hora. As medições inicia-
ram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t 5 0) e os 
dados foram representados pela função periódica 
T(t) 5 24 1 





t
3cos
6 3
p 1 p , em que t indica o tempo 
(em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a 
temperatura (em °C) no instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima e 
o horário em que ocorreu essa temperatura no primei-
ro dia de observação valem, respectivamente:
	a) 6 h, 25,5 °C e 10 h.
	b) 12 h, 27 °C e 10 h.
	c) 12 h, 27 °C e 15 h.
	d) 6 h, 25,5 °C e 15 h.
	 9.	(UFT-TO) A Torre Eiffel é uma torre treliça de ferro do 
século XIX localizada no Champ de Mars, em Paris, e 
que se tornou um ícone mundial da França. A torre, 
que é o edifício mais alto da cidade, tem 324 me-
tros de altura e é o monumento pago mais visitado 
do mundo, com milhões de pessoas frequentando-o 
anualmente. 
Uma visitante observa o topo da Torre Eiffel sob um 
ângulo de 30° com a horizontal, utilizando uma lune-
ta com tripé. Sabe-se que a altura do equipamento, no 
momento da visualização, conforme a figura a seguir, é 
de 1,70 m. 
28 m
Alternativa c.
[Indique no caderno] a alternativa correta que indica a 
distância x, em metros, que a luneta está do centro da 
base da Torre Eiffel:
¯obs.: sen 30° 5 1
2
 e cos 30° 5 3
2
˘ 
	a) 325,7.
	b) 324.
	c) 322,3 3 .
	d) 324 3 .
	10.	(Enem) A rosa dos ven-
tos é uma figura que re-
presenta oito sentidos, 
que dividem o círculo 
em partes iguais.
Uma câmera de vigilân-
cia está fixada no teto de 
um shopping e sua len-
te pode ser direcionada 
remotamente, através 
de um controlador, para qualquer sentido. A lente da 
câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e 
o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, 
a saber:
•	 1a mudança: 135° no sentido anti-horário;
•	 2a mudança: 60° no sentido horário;
•	 3a mudança: 45° no sentido anti-horário.
Após a 3a mudança, ele é orientado a reposicionar a 
câmera, com a menor amplitude possível, no sentido 
Noroeste (NO) devido a um movimento suspeito de 
um cliente.
Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar 
para reposicionar a câmera?
	a) 75° no sentido horário.
	b) 105° no sentido anti-horário.
	c) 120° no sentido anti-horário.
	d) 135° no sentido anti-horário.
	e) 165° no sentido horário.
	11.	(UEG-GO) Na competição de skate a rampa em for-
ma de U tem o nome de Vert, onde os atletas fazem 
diversas manobras radicais. Cada uma dessas mano-
bras recebe um nome distinto de acordo com o total 
de giros realizados pelo skatista e pelo skate, uma de-
las é a 180° allie frontside, que consiste num giro de 
meia volta. 
Sabendo-se que 540° e 900° são côngruos a 180°, um 
atleta que faz as manobras 540 Mc Truist e 900 realizou 
giros completos de:
	a) 1,5 e 2,5 voltas respectivamente.
	b) 0,5 e 2,5 voltas respectivamente. 
	c) 1,5 e 3,0 voltas respectivamente. 
	d) 3,0 e 5,0 voltas respectivamente. 
	e) 1,5 e 4,0 voltas respectivamente.
Alternativa c.
Alternativa e.
Alternativa a.
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Vestibulares e Enem
O segmento RP é um diâ- 
metro dessa circunferên-
cia interna, e o ângulo 
$PRQ tem medida igual a 
5
p
 radianos.
Para uma pessoa ir do 
ponto P ao ponto Q an-
dando pela circunferên-
cia interna no sentido anti-horário, ela percorrerá uma 
distância, em quilômetro, igual a:
	a) 0,009p.
	b) 0,03p.
	c) 0,06p.
	d) 0,12p. 
	e) 0,18p.
	16.	(UEM-PR) O preço dos produtos no mercado varia de 
acordo com a procura. A função que descreve o preço 
P (em reais) de uma bermuda em função do mês t do 
ano é dada por P(t) 5 80 1 






t
20sen
4
p
. Suponha que 
os meses sejam enumerados de 1 a 12, e que janeiro é 
o mês 1. [Indique no caderno] o que for correto.
01. D(P) 5 {1, 2, 3, »,11, 12}.
02. Em fevereiro a bermuda custa R$ 80,00.
04. Existem três meses no ano em que a bermuda cus-
ta R$ 80,00.
08. O preço mínimo de uma bermuda ocorre no mês 
de junho.
16. O melhor preço de venda ocorre em apenas um 
mês do ano.
	17.	(Enem) Um grupo de engenheiros está projetando um 
motor cujo esquema de deslocamento vertical do pis-
tãodentro da câmara de combustão está representado 
na figura.
A função h(t) 5 4 1 






t
4sen
2 2
b
2
p
 definida para t . 0 
descreve como varia a altura h, medida em centímetro, 
da parte superior do pistão dentro da câmara de com-
bustão, em função do tempo t, medido em segundo. 
Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois 
instantes distintos.
Alternativa d.
01 1 04 1 08 5 13
	12.	(IFPE) Na cidade de Recife, mesmo que muito discre-
tamente, devido à pequena latitude em que nos en-
contramos, percebemos que, no verão, o dia se esten-
de um pouco mais em relação à noite e, no inverno, 
esse fenômeno se inverte. Já em outros lugares do 
nosso planeta, devido a grandes latitudes, essa varia-
ção se dá de forma muito mais acentuada. É o caso de 
Ancara, na Turquia, onde a duração de luz solar L, em 
horas, no dia d do ano, após 21 de março, é dada pela 
função L(d) 5 12 1 2,8 ? 




dsen
2
365
80
p
( 2 ) .
Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a 
mínima duração de luz solar durante um dia em Ancara. 
	a) 12,8 e 12 
	b) 14,8 e 9,2 
	c) 12,8 e 9,2 
	d) 12 e 12 
	e) 14,8 e 12
	13.	(EBMSP-BA) Estudos mostram que a demanda por 
produtos eficientes, seguros e não tóxicos é crescente. 
Roupas feitas com algodão orgânico e corantes natu-
rais e cosméticos não testados em animais estão na 
lista de startups que podem crescer. Com base nessas 
informações, um jovem empreendedor interessado em 
iniciar um negócio continuou pesquisando e constatou 
que determinados itens podem apresentar flutuações 
em suas vendas ao longo do ano.
Considerando-se as vendas mensais de determina-
do produto, em milhares de reais, dadas pela função 
V(t) 5 





t8cos
6
p 1 56, 0 , t , 11, em que t é dado 
em meses e t 5 0 representa o mês de janeiro, pode-
-se estimar a média de vendas desse produto no se-
gundo bimestre do ano em:
	a) R$ 50.100,00.
	b) R$ 54.000,00.
	c) R$ 56.280,00.
	d) R$ 58.000,00.
	e) R$ 62.400,00.
	14.	(FGV-SP) O número de quartos ocupados em um hotel 
varia de acordo com a época do ano. Estima-se que o 
número de quartos ocupados em cada mês de deter-
minado ano seja dado por Q(x) 5 150 1 





x30cos
6
p
, 
em que x é estabelecido da seguinte forma: x 5 1 re-
presenta o mês de janeiro, x 5 2 representa o mês de 
fevereiro, x 5 3 representa o mês de março, e assim 
por diante.
Em junho, em relação a março, há uma variação por-
centual dos quartos ocupados em:
	a) 220%. 
	b) 215%.
	c) 230%.
	d) 225%.
	e) 250%.
	15.	(Enem) Uma pista circular delimitada por duas circun-
ferências concêntricas foi construída. Na circunferência 
interna dessa pista, de raio 0,3 km, serão colocados 
aparelhos de ginástica localizados nos pontos P, Q e R, 
conforme a figura.
Alternativa b.
Alternativa d.
Alternativa a.
R
e
p
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d
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2
0
1
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9
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82
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Não escreva no livro.
O valor do parâmetro b, que é dado por um número 
inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de 
deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma 
boa potência, é necessário e suficiente que, em menos 
de 4 segundos após o início do funcionamento (instante 
t 5 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes 
o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproxi-
mação para p. 
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro b, 
de forma que o motor a ser construído tenha boa po-
tência, é:
	a) 1. 	b) 2. 	c) 4. 	d) 5. 	e) 8. 
	18.	(Enem) Um técnico precisa consertar o termostato do 
aparelho de ar-condicionado de um escritório, que 
está desregulado. A temperatura T , em graus Celsius, 
no escritório, varia de acordo com a função T(h) 5 A 1 
1 





B hsen
12
12
p
( 2 ) , sendo h o tempo, medido em 
horas, a partir da meia-noite (0 , h , 24) e A e B os 
parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcioná-
rios do escritório pediram que a temperatura máxima 
fosse 26 °C, a mínima, 18 °C, e que durante a tarde 
a temperatura fosse menor do que durante a manhã.
Quais devem ser os valores de A e de B para que o 
pedido dos funcionários seja atendido? 
	a) A 5 18 e B 5 8. 
	b) A 5 22 e B 5 24.
	c) A 5 18 e B 5 4. 
	d) A 5 26 e B 5 28.
	e) A 5 26 e B 5 8.
	19.	(Enem) Construir figuras de diversos tipos, apenas 
dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, 
é a arte do origami (ori 5 dobrar; kami 5 papel), que 
tem um significado altamente simbólico no Japão. 
A base do origami é o conhecimento do mundo por 
base do tato.
Uma jovem resolveu construir um cisne usando técnica 
do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm 
por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha confor-
me a figura.
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento 
AE é: 
	a) 2 22 cm. 
	b) 6 3 cm. 
	c) 12 cm.
	d) 6 5 cm. 
	e) 12 2 cm. 
Alternativa d.
Alternativa b.
Alternativa d.
	20.	(IFSC) Um portão de elevação com 4,52 metros de altura 
é articulado em seu centro C, possui sua extremidade 
superior A fixa e a extremidade B só pode se mover 
verticalmente, conforme a figura. O portão, que ini-
cialmente está fechado, é levantado de maneira que a 
extremidade B 
sobe 4 cm. Isso 
produz um des-
locamento da 
articulação C. 
Qual a abertu-
ra horizontal x, 
em centíme-
tros, percorri-
da pela articu-
lação C?
	a) 24 cm 
	b) 30 cm
	c) 17 cm 
	d) 10 cm 
	e) 4 cm
	21.	(Enem) Sobre um sistema cartesiano considera-se uma 
malha formada por circunferências de raios com me-
didas dadas por números naturais e por 12 semirretas 
com extremidades na origem, separadas por ângulos 
de 
6
p
 rad, conforme a figura.
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas 
semirretas e pelas circunferências dessa malha, não 
podendo passar pela origem (0; 0).
Considere o valor de p com aproximação de, pelo me-
nos, uma casa decimal. Para realizar o percurso mais cur-
to possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, 
um objeto deve percorrer uma distância igual a:
	a) 
2 1
3
8
? p ?
1 
	b) 
2 2
3
6
? p ?
1 
	c) 
2 3
3
4
? p ?
1 
	d) 
2 4
3
2
? p ?
1 
	e) 
2 5
3
2
? p ?
1 
Alternativa b.
Alternativa a.
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4,52 m
4 cm
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Principal matéria-prima do chocolate, 
o cacau (Theobroma cacao) é o fruto 
da árvore cacaueiro, nativa da América 
Central e da América do Sul. No 
Brasil, os estados do Pará e da Bahia 
concentram cerca de 90% da produção 
nacional, contribuindo para que o país 
ocupe a sétima posição na produção 
mundial desse fruto.
Matrizes e 
sistemas 
lineares
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U
ma doceria recebeu, de duas padarias distintas, enco-
mendas de bombons de chocolate recheados. O primei-
ro pedido foi da padaria de Alice: 2 kg de bombons de 
morango, 3 kg de brigadeiro e 5 kg de coco. A segunda encomenda 
foi feita pela padaria de Douglas: 3 kg de bombons de morango, 3 kg 
de brigadeiro e 4 kg de coco.
A doceria cobra R$ 60,00 por quilograma de bombom de chocolate re-
cheado de morango, R$ 40,00 por quilograma de bombom recheado de 
brigadeiro e R$ 50,00 por quilograma de bombom recheado de coco. 
a)  Com o objetivo de organizar e visualizar com maior facilidade essa situação, 
copie no caderno as tabelas a seguir e complete-as com as informações do 
texto. A primeira tabela deve organizar a medida de massa, em quilogramas,
das encomendas e a segundadeve mostrar os preços do quilograma de cada 
sabor do recheio, em reais.
Medida de massa (em kg) das encomendas de bombons recheados
 Sabor do
recheio
Local
Morango Brigadeiro Coco
Padaria de Alice
Padaria de Douglas
Preço do quilograma dos bombons recheados
Sabor do recheio Preço (em reais)
Morango
Brigadeiro
Coco
Tabelas elaboradas para fins didáticos.
	b) Observando as tabelas que você preencheu, responda: Qual padaria encomendou 
mais bombons recheados? Ambas encomendaram a mesma quantidade (10 kg cada uma).
	c) Quanto a padaria de Alice gastou com os bombons recheados de morango? 
	d) Quanto a padaria de Douglas gastou com os bombons recheados de coco?
	e) Qual foi o valor total pago pela padaria de Alice? R$ 490,00
	f) Qual foi o valor total pago pela padaria de Douglas? R$ 500,00 
Sara também tem uma padaria e deseja comprar R$ 2.000,00 em bombons re-
cheados de morango e de brigadeiro dessa mesma doceria, mas ainda não decidiu a 
quantidade de cada sabor do recheio.
	g) Indicando por m e b a medida de massa, em kg, dos bombons recheados de 
morango e de brigadeiro, respectivamente, qual equação representa as possibi-
lidades de compra para Sara? 60m 1 40b 5 2 000 ou 3m 1 2b 5 100.
	h) Nessa equação, m e b podem ser quaisquer números reais? Por quê? 
Não. Exemplo de justificativa: Porque m e b não podem ser negativos (indicam medidas de massa). 
2 3 5
3 3 4
R$ 120,00
R$ 200,00
Não escreva no livro.
Professor, as sugestões 
para o desenvolvimento 
desta abertura 
encontram-se nas 
Orientações específicas
deste Manual. 
60
40
50
85
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	i) Se Sara optar pela compra de 5 kg de bombons recheados de brigadeiro, então 
quantos quilogramas de bombons recheados de morango ela comprará? 30 kg
	j) Comprando 10 kg de bombons recheados de morango, então quantos quilogra-
mas de bombons recheados de brigadeiro ela comprará? 35 kg
	k) Quantos quilogramas de bombons recheados a padaria de Sara pode comprar se 
pedir a mesma quantidade para cada sabor do recheio? 40 kg 
As respostas que você deu nos itens i, j e k nos indicam que os pares ordenados 
(30, 5), (10, 35) e (20, 20) são algumas soluções da equação 3m 1 2b 5 100. Na repre-
sentação gráfica a seguir, o eixo horizontal representa a medida de massa, em kg, dos 
bombons recheados de morango (m) e o eixo vertical representa a medida de massa, 
em kg, dos bombons recheados de brigadeiro (b). Os pontos A, B e C correspondem 
aos pares ordenados (10, 35), (20, 20) e (30, 5), respectivamente. 
m) Exemplos de 
resposta: 4 kg de 
bombons recheados 
de morango e 44 kg de 
bombons recheados 
de brigadeiro. 8 kg de 
bombons recheados 
de morango e 38 kg de 
bombons recheados 
de brigadeiro. 24 kg de 
bombons recheados 
de morango e 14 kg de 
bombons recheados de 
brigadeiro.
	l) O gráfico acima corresponde a um segmento de reta. Por que não podemos 
prolongar esse segmento de reta infinitamente em ambos os sentidos? 
	m) Liste no caderno outros três possíveis pedidos que a padaria de Sara pode fazer 
à doceria na compra de R$ 2.000,00 em bombons recheados de morango e de 
brigadeiro.
	n) Michele também gastou R$ 2.000,00 em bombons recheados de morango e de 
brigadeiro da doceria. Ela comprou 10 kg de bombons recheados de brigadeiro 
a mais do que de morango. Quantos quilogramas de bombons recheados de 
cada sabor ela comprou? 
Resposta esperada: Porque as incógnitas da equação 3m 1 2b 5 100 não podem assumir valores negativos.
26 kg de bombons recheados de brigadeiro e 16 kg de bombons recheados de morango.
b
m
0 5 10 15 20 25 30 35
A(10, 35)
B(20, 20)
C(30, 5)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
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Não escreva 
no livro.
86
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CONHEÇA O CAPÍTULO
87
Objetivos
•	 Explorar situações e resolver problemas que envolvem matrizes.
•	 Reconhecer diferentes transformações geométricas no plano cartesiano: 
translação, reflexão, rotação e homotetia. 
•	 Relacionar transformações geométricas e matrizes.
•	 Conhecer e criar algoritmos relacionados às transformações geométricas. 
•	 Construir translações, reflexões, rotações e homotetias de figuras no pla-
no cartesiano, bem como composições dessas transformações geométri-
cas, também com o apoio de tecnologia digital. 
•	 Utilizar transformações geométricas para analisar fotos de elementos da 
natureza e construções humanas. 
•	 Resolver problemas relacionados a transformações geométricas.
•	 Explorar situações relacionadas a sistemas lineares.
•	 Compreender os conceitos de equação linear e sistema de equações 
lineares simultâneas.
•	 Classificar sistemas lineares em possível e determinado, possível e inde-
terminado ou impossível. 
•	 Determinar as soluções de sistemas lineares utilizando diferentes méto-
dos, como a substituição, a adição e o escalonamento, e representá-los 
graficamente.
•	 Interpretar e representar graficamente sistemas lineares 2 3 2 e 3 3 3, 
também com o auxílio de tecnologia digital.
•	 Criar algoritmo que descreva os passos de resolução de um sistema linear. 
•	 Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras 
áreas do conhecimento utilizando sistemas lineares. 
•	 Compreender o conceito de determinante e o cálculo do determinante 
de matrizes 2 3 2 e 3 3 3. 
•	 Discutir sistemas lineares utilizando o determinante da matriz dos coefi-
cientes e o escalonamento do sistema. 
Justificativa
É comum, no dia a dia, lidarmos com tabelas, pois elas facilitam a organiza-
ção, a leitura e a interpretação de dados. Em Matemática, podemos relacionar 
tabelas a matrizes, e o estudo desse tipo de representação contribui para que 
possamos entender como números dispostos em linhas e colunas se relacio-
nam. As matrizes também podem ser utilizadas para representar transformações 
isométricas e transformações homotéticas de polígonos no plano cartesiano.
Situações que podem ser representadas e resolvidas por sistemas linea-
res também aparecem com frequência no cotidiano. O estudo dos sistemas 
lineares, que é feito desde o Ensino Fundamental, é ampliado neste capítulo 
de modo que possamos resolver problemas relacionados a situações do co-
tidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
A BNCC
No decorrer do capítulo, 
favorecemos o desenvolvimento 
das competências gerais da 
Educação Básica, bem como 
das competências específicas e 
das habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias e de 
outras áreas do conhecimento 
indicadas a seguir. Também 
estão indicados os temas 
contemporâneos transversais 
presentes no capítulo.
Competências gerais: CG01, 
CG02, CG03, CG04, CG05, 
CG07, CG08, CG10. 
Competências específicas 
de Matemática e suas 
Tecnologias: CEMAT01, 
CEMAT03, CEMAT04.
Competência específica de 
Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias: CECNT02.
Habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias: 
EM13MAT105, EM13MAT301, 
EM13MAT315 e EM13MAT405.
Habilidades de outras 
áreas do conhecimento: 
EM13LGG701, EM13CNT204, 
EM13CNT206, EM13CHS101, 
EM13CHS106.
Temas contemporâneos 
transversais:
•	Direito da Criança e do 
Adolescente;
•	Educação Ambiental;
•	Saúde.
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Língua Portuguesa 
e suas Tecnologias
1o 
N F
2o 3o 4o 
Matemática
e suas Tecnologias
Ciências
da Natureza
e suas Tecnologias
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
Observações:
BIMESTRE
Aluno:
Turma:
N F N F N F
Matrizes e transformações geométricas
Situação 1
Organização das notas
Em muitas escolas do Ensino Básico, bem como em cursos 
do Ensino Superior, é comum a atribuição de notas para a ava-
liaçãoda aprendizagem. Essas notas podem ser atribuídas a 
provas, trabalhos, desempenho nas aulas ou outras dinâmicas 
praticadas no método de avaliação da escola.
Normalmente, as notas seguem uma escala com números 
(por exemplo, de 0 a 10 ou de 0 a 100) ou com letras (como de 
A a F) e existe um valor mínimo estabelecido pela escola, que é 
conhecido como média. Muitas vezes essa média corresponde 
a uma porcentagem mínima a ser atingida; por exemplo, obter 
50% de uma escala de 0 a 10 significa ter nota mínima 5, ou 
60% de uma escala de A a F significa ter nota mínima C.
Considere uma escola em que as notas das provas obedecem à escala numérica 
de 0 a 10 e que, em determinado período, foram feitas três provas em cada matéria.
Para visualizar e analisar as notas que tirou, Augusto vai organizá-las em linhas e colu-
nas, formando uma tabela. Ele fez as provas 1, 2 e 3 e tirou, respectivamente, 8, 9 e 10 em 
Língua Portuguesa, 9, 7 e 10 em Ciências Humanas e 8, 8 e 9 em Ciências da Natureza. 
	a) Copie a tabela no caderno e complete-a organizando as notas de Augusto.
Notas de Augusto
Prova
Matéria Prova 1 Prova 2 Prova 3
Língua Portuguesa
Ciências Humanas
Ciências da Natureza
Tabela elaborada para fins didáticos.
Em Matemática, tabelas que apresentam dados numéricos dispostos em linhas (filas ho-
rizontais) e colunas (filas verticais) podem ser organizadas em matrizes. Veja como podemos 
representar a matriz correspondente aos dados numéricos da tabela que você representou.
ó
ó
ó
ò ò ò
8 9 10
9 7 10
8 8 9
linhas
colunas










 ou 
ó
ó
ó
ò ò ò
8 9 10
9 7 10
8 8 9
linhas
colunas










	b) Em qual matéria Augusto teve o melhor desempenho nessas três provas? Justifique. 
	 c) As notas de Gustavo nas mesmas provas foram 7, 5 e 8 em Língua Portuguesa, 6, 6 e 
6 em Ciências Humanas e 9, 7 e 8 em Ciências da Natureza. Represente no caderno 
a tabela dessas notas e a matriz correspondente.
8 9 10
9 7 10
8 8 9
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Não escreva no livro.
Uma matriz pode 
ser representada 
usando parênteses 
ou colchetes. Neste 
livro, optamos por 
usar a notação entre 
parênteses.
Fique atento
Boletim escolar é o 
nome normalmente 
usado no Brasil para 
o documento escolar 
no qual são indicadas 
as notas obtidas 
por um estudante. 
É comum as notas 
serem organizadas em 
bimestres, trimestres 
ou semestres, 
de acordo com a 
organização curricular 
da escola.
Em Língua Portuguesa. Resposta pessoal. 
Banco de imagens/Arquivo da editora
88
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Situação 2
Vendas de roupas
Fazer constantemente o balanço de vendas de uma loja garante saber quantas unidades de cada tipo 
de produto foram vendidas no período e planejar a compra de novos produtos para compor o estoque da 
loja para o período seguinte. O balanço também é útil para mensurar períodos em que determinado tipo de 
produto é mais ou menos vendido.
Duas lojas de roupas desejam fazer o balanço das vendas em dois meses consecutivos. A loja 1 vendeu 
300 camisas e 250 calças no primeiro mês, enquanto a loja 2 vendeu 270 camisas e 280 calças. No segundo 
mês, foram vendidas 320 camisas e 280 calças na loja 1 e 300 camisas e 290 calças na loja 2. 
	a) Construa no caderno uma tabela referente às vendas desses produtos nessas lojas no primeiro mês. Depois, 
escreva a matriz correspondente à tabela que você construiu. 
	b) Agora, construa uma tabela com as vendas dessas lojas no segundo mês e escreva a matriz correspondente.
	 c) O que indicam os números de uma mesma linha nas matrizes que você indicou nos itens a e b? E o que 
indicam os números de uma mesma coluna? 
	d) Obtenha o balanço total das vendas de camisas e de calças nas duas lojas nos dois meses e construa uma ta-
bela com o total em ambos os meses. Depois, escreva a matriz correspondente à tabela que você construiu.
As respostas 
encontram-se nas 
Orientações específicas 
deste Manual. 
Explorando as matrizes
Diversas empresas dispõem de enorme quantidade de informações referentes a clientes, potenciais clientes, 
vendas, compras, marketing, interesses de grupos, etc. Essas informações, porém, não teriam valor se não fos-
sem organizadas de maneira lógica ou se não pudessem ser facilmente recuperadas e relacionadas. 
Essa organização das informações é feita usando um banco de dados, que pode ser entendido como uma 
coleção de dados e tabelas relacionados entre si. E, como vimos nas situações anteriores, tabelas como essas 
podem ser associadas a matrizes. 
Antes de formalizar o conceito de matrizes, vamos explorar mais uma situação.
Em uma editora, a venda de livros de aventura, romance e ficção no primeiro trimestre de um ano foi or-
ganizada em uma tabela. Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, 
pode ser associada a uma matriz 3 3 3 (lemos: matriz três por três).
Vendas de livros no primeiro trimestre do ano
Mês
Gênero Janeiro Fevereiro Março
Aventura 20 000 32 000 45 000
Romance 15 000 18 000 25 000
Ficção 16 000 17 000 23 000
Tabela elaborada para fins didáticos.
Se quisermos saber:
•	 quantos livros de aventura foram vendidos em fevereiro, basta olharmos o número 
que está na primeira linha e na segunda coluna da matriz;
•	 quantos livros de romance foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número 
que está na segunda linha e na primeira coluna da matriz;
•	 quantos livros de ficção foram vendidos em março, basta olharmos o número que 
está na terceira linha e na terceira coluna da matriz.
Como seria a matriz 
associada à tabela 
caso as linhas da 
tabela fossem as 
colunas e as colunas 
fossem as linhas? 
Reflita












20 000 15 000 16 000
32 000 18 000 17 000
45 000 25 000 23 000
20 000 32 000 45 000
15 000 18 000 25 000
16 000 17 000 23 000










89
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Quando uma matriz 
tem m 5 1 (como a 
matriz do item c), a 
chamamos de matriz 
linha e, quando tem 
n 5 1 (como a 
matriz do item d), a 
chamamos de matriz 
coluna. Analise os 
exemplos desses tipos 
de matriz e justifique 
os nomes dados a 
elas.
Reflita
Formalizando a definição de matriz
Sejam m e n dois números inteiros maiores do que ou iguais a 1.
Matriz m 3 n (lemos: matriz m por n) é uma tabela retangular formada por m ? n 
números reais, dispostos em m linhas e n colunas.
Dizemos que a matriz é do tipo m 3 n ou de ordem m 3 n. Veja os exemplos.
	a) 2 3
5 1




 é uma matriz do tipo 2 3 2 (lemos: dois por dois), pois tem 2 linhas e 
2 colunas.
	b) 
1
2
5 1
2 3 0
2










 é uma matriz de ordem 2 3 3 (lemos: dois por três), pois tem 
2 linhas e 3 colunas.
	c) (1 3 22) é uma matriz do tipo 1 3 3.
	d) 
5
2
1
0
2












 é uma matriz 4 3 1.
Quando uma matriz tem m 5 n (a quantidade de linhas é igual à quantidade de 
colunas, como a matriz do item a), dizemos que a matriz é quadrada do tipo n 3 n, ou 
simplesmente, matriz quadrada de ordem n.
Representação genérica de uma matriz
Os números que aparecem em uma matriz são chamados elementos ou termos da matriz.
Analise, por exemplo, a matriz a seguir.
3 2 5 1
5 4 10 0
6 2 7 2










2
2
2
•	O número 3, ou o elemento 3, está na 1a linha e na 1a coluna; indicamos a11 5 3 (lemos a11 como: a um um).
•	O elemento 25 está na 2a linha e na 1a coluna; indicamos a21 5 25 (lemos a dois um).
•	O elemento 2 está na 1a linha e na 2a coluna; indicamos a12 5 2 (lemos: a um dois).
•	O elemento 2 está na 3a linha e na 4a coluna; indicamos a34 5 2 (lemos: a três quatro).
a) Quais números correspondem aos termos a13, a24 e a32? a13 5 5, a24 5 0 e a32 5 22.b) Como podemos indicar os elementos 10 e 6 dessa matriz? a23 5 10 e a31 5 6.
c) Como podemos representar genericamente todos os elementos de uma matriz 3 3 2?
■ ■
■ ■
■ ■


















a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32
Não escreva no livro.
Explore para descobrir
Uma matriz é chamada de matriz linha quando 
tem apenas 1 linha e de matriz coluna quando 
tem apenas 1 coluna.
90
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Para nomear uma matriz, normalmente usamos uma letra maiúscula e, para representar um elemento qual-
quer da matriz, usamos uma letra minúscula com dois índices: o primeiro índice indica em qual linha o ele-
mento se encontra e o segundo indica em qual coluna. Por exemplo, o elemento genérico de uma matriz A 
é indicado por aij, em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra.
Assim, uma matriz A do tipo m 3 n pode ser apresentada da seguinte maneira: 
A 5 (aij)m 3 n, com 1 , i , m, 1 , j , n e i, j é N
(Lemos: matriz A dos elementos aij, do tipo m 3 n.)
E pode ser representada, genericamente, do seguinte modo:
A 5 
a11 a12 a13 È a1n
a21 a22 a23 È a2n
a31 a32 a33 È a3n
! ! ! !
am1 am2 am3 È amn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Por exemplo, acompanhe como escrever a matriz X 5 (aij)3 3 3, tal que 
5 5
5 =
a i j
a i j
ij
ij
1, se
0, se


 
.
A matriz deve ter 3 linhas e 3 colunas tal que:
•	 a11 5 a22 5 a33 5 1;
•	 a12 5 a13 5 a21 5 a23 5 a31 5 a32 5 0.
Assim, temos a matriz quadrada de ordem 3: X 5 
1 0 0
0 1 0
0 0 1








.
Diagonais de uma matriz
Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, », ann formam a diagonal principal da 
matriz (são os elementos aij com i 5 j).
diagonal principal
3 2
1 62




 diagonal principal
1 3 10
3 0 8
5 1 6
2
2








A outra diagonal da matriz quadrada, que vai do último elemento da 1a linha até o 1o elemento da última 
linha, é chamada de diagonal secundária.
Um pouco da história das matrizes
Na China, entre os séculos II a.C. e I a.C., diversos textos foram reunidos no livro Jiuzhang suanshu, 
provavelmente de diversos autores, para organizar conhecimentos matemáticos. Jiu e zhang são traduzidos 
como “nove capítulos”, e suan e shu como “aritmética”; porém, esses termos provavelmente teriam como 
significado algo próximo de “a arte dos números” ou “procedimentos de cálculo”. Atualmente, esse livro é 
popularmente conhecido como Os nove capítulos da arte matemática.
Nesse livro, foram organizados 246 problemas práticos, com o objetivo de apresentar métodos de re-
solução de problemas diversos da Matemática do dia a dia, bem como da engenharia, da topografia, do 
comércio e da tributação. Pela qualidade de exemplos, a obra teve papel fundamental no desenvolvimento 
posterior da Matemática na China.
91
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Um dos problemas dessa obra é apresentado a seguir, traduzido para o português.
Existem três tipos de milho, dos quais três paco-
tes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro so-
mam 39 medidas. Dois do primeiro, três do segundo e 
um do terceiro somam 34 medidas. E um do primeiro, 
dois do segundo e três do terceiro somam 26 medi-
das. Quantas medidas de milho estão contidas em 
um pacote de cada tipo?
No livro citado, os dados contidos nesse proble-
ma são apresentados organizados como a seguir, 
dispostos da direita para a esquerda, conforme a 
cultura oriental. 
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Assim, percebemos que os chineses, há mais de 
2 mil anos, já trabalhavam com organizações em li-
nhas e colunas com o objetivo de reunir dados de 
um problema. Entretanto, a representação de con-
juntos de números em forma de matrizes aparece 
apenas no século XIX.
Em 1826, o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) parece ter sido 
o primeiro a nomear essas configurações numéricas de tableau (do francês, “tabela”), 
mas apenas em 1850, com o matemático inglês James Joseph Sylvester (1814-1897), 
é que esse tipo de configuração numérica recebeu o nome de matriz. Em seguida, em 
1858, as matrizes se estabelecem como um novo ramo da Matemática ao ser publica-
do o livro Memoir on the theory of matrices (Memória sobre a teoria das matrizes), do 
matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895).
Página do capítulo Fang Cheng (“Matrizes retangulares”) do 
livro Jiuzhang suanshu.
Augustin-Louis 
Cauchy, século XIX 
(litografia). Demais 
informações 
desconhecidas.
James Joseph 
Sylvester, século XIX 
(óleo sobre tela de 
112 cm 3 86 cm). 
Demais informações 
desconhecidas.
Fontes de consulta: SILVA, Everaldo Raiol da. O surgimento das trigonometrias em diferentes culturas e as relações 
estabelecidas entre elas. Dissertação (mestrado) – UFPA, Belém, 2014. Disponível em: http://repositorio.ufpa.br/
jspui/bitstream/2011/8551/1/Dissertacao_SurgimentoTrigonometriasDiferentes.pdf. SÁ, Fernanda Lúcia. Estudos 
dos determinantes. Caderno Dá-Licença, dez. 2004, n. 5. Disponível em: http://dalicenca.uff.br/wp-content/uploads/
sites/204/2020/05/Estudo_dos_Determinantes.pdf. Acesso em: 3 ago. 2020.
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a
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As imagens não 
estão representadas 
em proporção
92
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	 1.	Observe as notas de três estudantes no primeiro bi-
mestre de um ano escolar.
Notas dos estudantes no primeiro bimestre
Matéria
Estudante
Matemática
Língua
Portuguesa
Ciências 
Humanas
Ana 6 4 5
Antônio 5 7 5
Beatriz 5 6 7
 Tabela elaborada para fins didáticos. 
	a) Escreva no caderno a matriz correspondente a essa 
tabela.
	b) O que representam os números da 1a linha da ma-
triz que você escreveu? 
	c) O que representam os números da 2a coluna? 
	d) E o que representa o número da 3a linha e 3a coluna?
	e) Quais são os elementos da diagonal principal dessa 
matriz? 6, 7 e 7.
	 2.	Em Ciências da Natureza, ao 
misturar duas ou mais substân-
cias, dizemos que temos uma 
mistura homogênea quando 
não conseguimos identificar 
cada substância e temos uma 
mistura heterogênea quando 
ainda conseguimos identificar 
quais são as substâncias en-
volvidas. 
Imagine uma matriz em que 
cada elemento representa se 
a mistura da substância indi-
cada na linha com a substân-
cia indicada na coluna é homogênea ou heterogênea: 
se a mistura é homogênea, o elemento é igual a 0 e, 
se é heterogênea, é igual a 1. 
Considere que as substâncias água, óleo, sal e açúcar, 
numeradas de 1 a 4, nessa ordem, correspondem às 
linhas e às colunas dessa matriz. Por exemplo, o ele-
mento da linha 1 e da coluna 3 da matriz representa 
a mistura entre água e sal, que é homogênea. Então, 
temos a seguinte matriz:


















0 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
	a) Observando todos os elementos dessa matriz, quais 
são as misturas heterogêneas dessas substâncias?
	b) Por que os elementos da diagonal principal dessa 
matriz são todos iguais a 0?
	 3.	(Enem) Um professor aplica, durante os cinco dias 
úteis de uma semana, testes com quatro questões de 
múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram 
representados na matriz.
























3 2 0 1 2
3 2 4 1 2
2 2 2 3 2
3 2 4 1 0
0 2 0 4 4
Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 repre-
sentam as quantidades de questões acertadas pelos 
alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica,respectiva-
mente, enquanto as colunas de 1 a 5 indicam os dias 
da semana, de segunda-feira a sexta-feira, respectiva-
mente, em que os testes foram aplicados.
O teste que apresentou maior quantidade de acertos 
foi o aplicado na: Alternativa a.
	a) segunda-feira.
	b) terça-feira.
	c) quarta-feira.
	d) quinta-feira.
	e) sexta-feira.
	 4.	Após um período de quedas na quantidade de fre-
quentadores de uma casa de shows, um dos sócios de-
cide registrar a quantidade de pessoas que entram na 
casa nas 5 primeiras noites do mês, durante 4 meses. 
Esses registros foram feitos na matriz A 5 (aij) , dada a 
seguir, na qual o elemento aij corresponde ao total de 
frequentadores na noite i do mês j. 
A 5
150 120 100 310
170 180 250 150
125 235 180 100
135 100 100 280
220 150 210 125














Se, ao fim do quarto mês, a média de frequentadores 
desses dias for a menor dos quatro meses analisados, 
então o sócio decidirá deixar a sociedade. Conside-
rando essas informações, classifique cada afirmação 
em verdadeira ou falsa.
	a) A maior quantidade de frequentadores foi registra-
da na terceira noite do terceiro mês. Falsa.
	b) O sócio decidiu deixar a sociedade. Falsa.
	c) A média de frequentadores no quarto mês foi maior 
do que a média de cada mês anterior. Verdadeira.
As notas de Ana em cada matéria. 
As notas de cada estudante em Língua Portuguesa.
A nota de Beatriz em Ciências Humanas.
Água e óleo; óleo e sal; óleo e açúcar; e sal e açúcar.
Atividades Não escreva no livro.
2. b) Porque representam a mistura de cada substância com ela própria, o que 
sempre é uma mistura homogênea.
1. a) 









6 4 5
5 7 5
5 6 7
S
h
u
tt
e
rs
to
c
k
 /
 m
.b
o
n
o
tt
o
A mistura de água e 
óleo é heterogênea.
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Leitura e compreensão
Calendário
Um calendário é um sistema de organização das unidades de tempo, com o objetivo 
de contá-las por períodos longos, de modo a satisfazer as necessidades e preocupações 
de uma sociedade.
Os calendários sempre exerceram um papel importante para o planejamento de ati-
vidades agriculturais, de ciclos de migração e de eventos religiosos e civis. [...]
Existem cerca de quarenta calendários atualmente em uso em todo o mundo. [...] 
Para calendários com base astronômica, a unidade fundamental pode ser o dia (basea-
do na rotação da Terra em torno de seu eixo), o ano (baseado na revolução da Terra em 
torno do Sol) ou o mês (baseado na revolução da Lua em torno da Terra). A complexida-
de desses calendários é consequência do fato de que esses ciclos não são constantes 
nem comensuráveis uns em relação aos outros. [...]
Os calendários também incorporam elementos não astronômicos, como ciclos nu-
méricos, usos locais ou determinações de autoridades locais. No calendário gregoriano, 
a semana é um exemplo.
TARSIA, Rodrigo Dias. O calendário gregoriano. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, 
v. 17, n. 1, p. 50-54, 1995. Disponível em: www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/vol17a06.pdf. 
Acesso em: 8 jun. 2020.
Grandeza cuja medida, 
em relação a uma 
unidade ou uma 
grandeza previamente 
fixada, é um número 
racional.
Comensurável
Professor, as sugestões 
para o desenvolvimento 
desta seção 
encontram-se nas 
Orientações específicas 
deste Manual. 
O calendário islâmico, ou calendário hegírico, é um calendário baseado no ciclo lunar.
Janeiro
Maio
Setembro Outubro Novembro Dezembro
Junho Julho Agosto
Fevereiro Março Abril
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
Calendário
Hegírico
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
Dom Seg Ter Qua Qui Sex SabDom Seg Ter Qua Qui Sex SabDom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab
Keron art/Shutterstock
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Não escreva no livro.
Nosso calendário
O calendário que utilizamos atualmente, na maioria dos países do mundo e em 
todos os países ocidentais, é o calendário gregoriano. Ele foi promulgado em 24 de 
fevereiro de 1582, pelo papa Gregório XIII (1502-1585), para substituir o calendário 
juliano que era utilizado até então e que carregava um atraso decorrente da conside-
ração incorreta dos anos bissextos.
A reforma gregoriana tinha por finalidade fazer regressar o equinócio da primavera 
a 21 de março e desfazer o erro de 10 dias já existente [no calendário juliano]. Para isso, 
a bula papal mandava que o dia imediato à quinta-feira, 4 de outubro, fosse designado 
por sexta-feira, 15 de outubro. Como se vê, embora houvesse um salto nos dias, mante-
ve-se intacto o ciclo semanal.
Para evitar, no futuro, a repetição da diferença, foi estabelecido que os anos secula-
res só seriam bissextos se fossem divisíveis por 400. Seriam suprimidos, assim, 3 dias 
em cada 400 anos, razão pela qual o ano 1600 foi bissexto, mas não o foram os anos 
1700, 1800 e 1900, que teriam sido segundo a regra juliana, por serem divisíveis por 4.
A duração do ano gregoriano é, em média, de 365 d 05 h 49 min 12 s, isto é, tem 
atualmente mais 27 s do que o ano trópico. A acumulação dessa diferença ao longo do tempo representará 
um dia em cada 3 mil anos. É evidente que não valia a pena, aos astrônomos de Gregório XIII, atender a tão 
pequena e longínqua diferença, nem na atualidade ela tem ainda importância. Talvez lá pelo ano 5000 da nossa 
era, se ainda continuarmos com o mesmo calendário, seja necessário levar isso em consideração.
MARQUES, Manuel Nunes. Origem e evolução do nosso calendário. 
Disponível em: http://www.mat.uc.pt/~helios/Mestre/H01orige.htm. Acesso em: 8 jun. 2020.
No calendário gregoriano, os anos têm 365 dias, com exceção dos anos bissextos, que têm 366 dias. Um ano 
é bissexto quando é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 100, a menos que também seja múltiplo de 400, como 
visto no texto acima. 
	 1.	Os calendários apresentam números dispostos em linhas e colunas, lembrando uma matriz. Observe o 
calendário do ano atual, escreva no caderno a matriz linha correspondente aos 7 dias da semana em que 
você realizar esta atividade e identifique o dia de hoje, da forma aij. 
	 2.	Observe novamente o calendário do ano atual. Esse ano é bissexto?
	 3.	Sabendo disso, quantos anos bissextos haverá no século XXI? 
	 4.	(Enem) Existem muitas diferenças entre as culturas cristã e islâmica. Uma das principais diz respeito ao 
calendário. Enquanto o calendário cristão (gregoriano) considera um ano como o período correspondente 
ao movimento de translação da Terra em torno do Sol, aproximadamente 365 dias, o calendário muçul-
mano se baseia nos movimentos de translação da Lua em torno da Terra, aproximadamente 12 por ano, o 
que corresponde a anos intercalados de 354 e 355 dias.
 Considere que o calendário muçulmano teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos muçulmanos 
correspondem a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência de anos entre os dois ca-
lendários dada por: Alternativa a.
(C 5 Anos Cristãos e M 5 Anos Muçulmanos)
	a) C 5 M 1 622 2 (M/33). c) C 5 M 2 622 2 (M/33). e) C 5 M 1 622 2 (M/32).
	b) C 5 M 2 622 1 (C 2 622/32). d) C 5 M 2 622 1 (C 2 622/33).
	 5.	De acordo com o texto da página anterior, existem cerca de 40 calendários ainda em uso atualmente. 
Junte-se com três colegas e, juntos, pesquisem na internet alguns desses calendários, as principais carac-
terísticas e em qual ano estamos em cada um deles. Resposta pessoal.
A resposta depende do dia em que a atividade for realizada.
A resposta depende do ano em que a atividade for realizada.
25 anos bissextos.
Retrato de 
Gregório XIII, de 
Bartolomeo Passerotti, 
c. 1573(pintura de 
128 cm 3 107 cm).
A
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Transformações geométricas
Além do uso de matrizes relacionado a banco de dados, outra importante 
aplicação delas se dá em imagens em uma tela de computador, smartphone 
ou televisor. 
Essas imagens são, na realidade, formadas por pequenos pontos (os 
pixels) que correspondem a elementos de uma matriz. Por exemplo, uma 
imagem de resolução 800 3 600 tem 480 000 pixels (800 ? 600 5 480 000) 
distribuídos em 800 colunas e 600 linhas.
A manipulação de imagens computadorizadas é feita por transformações 
geométricas (translações, reflexões, rotações, ampliações e reduções), algu-
mas das quais você já estudou no Ensino Fundamental, e que agora serão 
definidas utilizando matrizes.
Transformações isométricas
Transformações geométricas de figuras planas que preservam as medidas de com-
primento dos lados e as medidas de abertura dos ângulos da figura inicial são chama-
das de transformações isométricas ou isometrias.
A translação, a reflexão e a rotação são exemplos de isometria.
Observe a seguir um triângulo ABC, de vértices A(3, 1); B(6, 3) e C(5, 4), sujeito a 
cada uma dessas transformações no plano cartesiano.
•	 Translação do nABC em 2 unidades para a esquerda e 2 unidades para cima no 
plano cartesiano.
0
C8
A8
A
B
C
y
x
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B8
•	 Reflexão do nABC em relação ao eixo y.
0
A8
B8
C8
A
B
C
y
x
1 2 3 4 5 6212223242526
1
2
3
4
5
6
Cada pixel é um ponto luminoso 
de uma tela e vários pixels juntos 
formam as imagens na tela.
Professor, se 
necessário, os 
estudantes podem 
representar os triângulos 
no plano cartesiano para 
obter as transformações 
isométricas citadas. 
Com isso, eles 
começam a explorar 
a relação das 
coordenadas dos 
vértices em cada tipo de 
transformação, que será 
formalizada adiante.
Quais seriam as 
coordenadas dos 
vértices do nA8B8C8 
se a translação do 
nABC fosse de 
3 unidades para a 
direita e 1 unidade 
para baixo?
Reflita
Quais seriam as 
coordenadas dos 
vértices do nA8B8C8 
se a reflexão do nABC 
fosse em relação ao 
eixo x?
Reflita
A8(6, 0); B8(9, 2) e 
C8(8, 3).
A8(3, 21); B8(6, 23) e 
C8(5, 24).
W
Y
M
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 B
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Não escreva no livro.
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Observando a foto dos favos desta 
colmeia, podemos fazer aproximações 
e dizer que a imagem de cada favo é 
obtida pela translação de outra no plano.
•	 Rotação do nABC, de 30°, no sentido anti-horário e em torno da origem O(0, 0) do 
plano cartesiano.
0
C8
A8
A
B
y
x
1 2 3
30º
4 5 6
1
2
3
4
5
6 B8
B
C
A
Translação
Observe o polígono A8 obtido da translação do polígono A.
B
a
n
c
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g
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A
A8
0 1
1 x
y
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7 8
8
2
9 10 11 12 13
Coordenadas dos vértices do polígono A: (0, 2); (3, 6) e (4, 2).
Coordenadas dos vértices do polígono A8: (8, 0); (11, 4) e (12, 0).
Podemos representar as coordenadas dos vértices desses polígonos usando ma-
trizes: a abscissa na primeira linha e a ordenada na segunda linha. Assim, as matrizes 
relacionadas aos vértices desses polígonos são: 
A 5 0 3 4
2 6 2




 e A8 5 8 11 12
0 4 0




O polígono A sofreu uma translação de 8 unidades para a direita e 2 unidades para 
baixo, gerando o polígono A8. Também podemos descrever essa translação usando 
uma matriz coluna:
8
22




ñ Movemos todos os pontos do polígono 8 unidades para a direita ao longo do eixo x.
ñ Depois movemos todos os pontos em 2 unidades para baixo ao longo do eixo y.
Em cada transformação 
isométrica 
exemplificada nesta 
página e na anterior, 
podemos afirmar 
que o nA8B8C8 é 
congruente ao nABC? 
Por quê?
Reflita
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n
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Estudamos e 
representamos nas 
matrizes os vértices 
do polígono inicial e 
do polígono obtido, 
pois as coordenadas 
dos vértices são 
suficientes para 
determiná-los. 
Porém, observe 
que todos os 
pontos do polígono 
inicial A sofrem a 
mesma translação 
e têm pontos 
correspondentes no 
polígono A8.
Fique atento
Nessa translação, qual 
é a relação entre as 
abscissas dos vértices 
correspondentes 
dos polígonos A e 
A8? E qual a relação 
entre as ordenadas 
dos vértices 
correspondentes?
Reflita
As abscissas dos vértices 
do polígono A8 equivalem 
às abscissas dos vértices 
correspondentes do polígono A
adicionadas em 8 unidades. 
As ordenadas dos vértices do 
polígono A8 correspondem 
às ordenadas dos vértices 
correspondentes do polígono A
subtraídas de 2 unidades.
Não escreva no livro.
Sim, pois os ângulos 
correspondentes são 
congruentes e os 
lados correspondentes 
também são 
congruentes. 
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Reflexão
Observe o polígono A8 obtido da reflexão do polígono A em relação ao eixo y do 
plano cartesiano.
0
1 x
y
2
3
4
5
6
7
21
2122232425262728 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A8A
Coordenadas dos vértices do polígono A: (23, 2), (24, 4), (22, 7) e (28, 4).
Coordenadas dos vértices do polígono A8: (3, 2), (4, 4), (2, 7) e (8, 4).
As matrizes relacionadas aos vértices desses polígonos são:
A 5 3 4 2 8
2 4 7 4
2 2 2 2



 e A8 5 3 4 2 8
2 4 7 4




De modo geral, quando transladamos um polígono de vértices (x1, y1), (x2, y2), », (xn, yn)
em a unidades para a direita e b unidades para cima, no plano cartesiano, obtemos o polígono 
de vértices (x1 1 a, y1 1 b), (x2 1 a, y2 1 b), », (xn 1 a, yn 1 b).
Usando a notação de matrizes, temos a seguinte representação da translação:
x x x
y y y
x a x a x a
y b y b y b
n
n
n
n
1 2
1 2
1 2
1 2
»
»
ñ
1 1 » 1
1 1 » 1












Alguns aplicativos e 
programas de edição 
de imagens permitem 
apagar elementos da foto 
substituindo os pixels
desses elementos por 
cópias de outra parte da 
imagem. Essa cópia e 
o reposicionamento de 
parte da imagem são uma 
translação dos pixels.
Ao refletir um 
polígono em 
relação ao eixo y
dizemos que o 
polígono inicial e 
o polígono obtido 
são simétricos em 
relação ao eixo y, 
que é o eixo de 
reflexão ou eixo 
de simetria dessa 
transformação 
isométrica.
Fique atento
As abscissas dos vértices correspondentes dos polígonos A
e A8 têm sinais opostos. As ordenadas dos vértices 
correspondentes dos polígonos A e A8 são iguais.
B
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Não escreva no livro.
As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
Observando a 
foto da borboleta, 
podemos fazer 
aproximações 
e dizer que a 
imagem de um 
dos lados da foto 
é obtida refletindo 
a imagem do outro 
lado em relação à 
reta traçada.
b
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1
2
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a
b
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y
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a
b
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y.
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m
Nessa reflexão em 
relação ao eixo y, qual 
é a relação entre as 
abscissas dos vértices 
correspondentes dos 
polígonos A e A8? 
E qual é a relação 
entre as ordenadas 
dos vértices 
correspondentes? 
Reflita
98
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De modo geral, quando refletimos um polígono de vértices (x1, y1), 
(x2, y2),», (xn, yn) em relação ao eixo y, no plano cartesiano, obtemos 
o polígono de vértices (2x1, y1), (2x2, y2), », (2xn, yn).
Usando a notação de matrizes, temos a seguinte representação da reflexão em 
relação ao eixo y:
x x x
y y y
x x x
y y y
n
n
n
n
1 2
1 2
1 2
1 2
»
»
ñ
2 2 » 2
»












Agora, observe o polígono A9 obtido da reflexão do mesmo polígono A, agora em 
relação ao eixo x do plano cartesiano.
Quando tiramos uma selfie em um smartphone ou participamos de uma videochamada, nossa 
imagem aparece invertida na tela do aparelho. Mas, quando observamos a foto que foi tirada na 
selfie, ela não está mais invertida. Essa inversão da imagem que vemos na tela, em relação à foto 
tirada, é obtida por uma reflexão de todos os pixels em relação a um eixo vertical do plano da foto.
0
1
x
y
2
3
4
5
6
7
24
23
22
21
27
26
25
212223242526272829210 1 2 3
A
A9
Coordenadas dos vértices do polígono A: 
(23, 2), (24, 4), (22, 7) e (28, 4).
Coordenadas dos vértices do polígono A9: 
(23, 22), (24, 24), (22, 27) e (28, 24).
As matrizes relacionadas aos vértices desses polígonos são:
A 5 3 4 2 8
2 4 7 4
2 2 2 2



 e A9 5 3 4 2 8
2 4 7 4
2 2 2 2
2 2 2 2




As abscissas dos vértices correspondentes dos 
polígonos A e A9 são iguais e as ordenadas dos vértices 
correspondentes dos polígonos A e A9 têm sinais opostos.
Nessa reflexão em 
relação ao eixo x, 
qual é a relação 
entre as abscissas 
e as ordenadas 
dos vértices 
correspondentes dos 
polígonos A e A9?
Reflita
Não escreva no livro.
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E
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Rotação
Observe o polígono A8 obtido da rotação de 180° do polígono A, no sentido anti-
-horário e em torno da origem O(0, 0) do plano cartesiano.
0
1
x
y
2
3
23
22
21
2122232425
1 2 3 4 5
A
A9
As matrizes relacionadas aos vértices desses polígonos são: 
A 5 1 4 4 5
1 3 2 1




 e A8 5 1 4 4 5
1 3 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2




Coordenadas dos vértices do polígono A:
(1, 1), (5, 1), (4, 2) e (4, 3).
Coordenadas dos vértices do polígono A9: 
(21, 21), (25, 21), (24, 22) e (24, 23).
Nessa rotação 
de 180°, no sentido 
anti-horário e em 
torno da origem 
O(0, 0), qual é 
a relação entre 
as abscissas e 
as ordenadas 
dos vértices 
correspondentes dos 
polígonos A e A8? E 
se a mesma rotação 
de 180° fosse feita em 
torno da origem 
O(0, 0), mas no 
sentido horário?
Reflita
Observando a foto do cata-vento, 
podemos fazer aproximações e dizer 
que a imagem de cada hélice é obtida 
pela rotação de outra em relação ao 
centro do cata-vento.
De modo geral, quando fazemos a rotação de um polígono de vértices (x1, y1), (x2, y2), », 
(xn, yn), em 180°, no sentido anti-horário e em torno da origem O(0, 0) do plano 
cartesiano, obtemos o polígono de vértices (2x1, 2y1), (2x2, 2y2), », (2xn, 2yn). 
Usando a notação de matrizes, temos a seguinte representação dessa rotação:
x x x
y y y
x x x
y y y
n
n
n
n
1 2
1 2
1 2
1 2
»
»
ñ
2 2 » 2
2 2 » 2












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De modo geral, quando refletimos um polígono de vértices (x1, y1), (x2, y2), », 
(xn, yn) em relação ao eixo x, no plano cartesiano, obtemos o polígono de vértices 
(x1, 2y1), (x2, 2y2), », (xn, 2yn).
Usando a notação de matrizes, temos a seguinte representação da reflexão em 
relação ao eixo x:
x x x
y y y
x x x
y y y
n
n
n
n
1 2
1 2
1 2
1 2
»
»
ñ
»
2 2 » 2












Não escreva no livro.
Tanto as abscissas 
quanto as ordenadas 
dos vértices 
correspondentes 
dos polígonos A e A8 
têm sinais opostos. 
No sentido horário 
o resultado seria o 
mesmo.
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Para fazer outras rotações de polígonos no plano cartesiano, no sentido anti-horário e em torno da origem 
O(0, 0), precisamos considerar a medida de a graus da rotação e calcular o seno e o cosseno de a.
Veja como fica a notação de matrizes nesse caso, para cada vértice (x, y) do polígono.
ñ
? a 2 ? a
? a 1 ? a
















cos sen
sen cos
x
y
x y
x y
Veja um exemplo do polígono B8 obtido da rotação de 72° do polígono B, no sentido anti-horário e em 
torno da origem O(0, 0) do plano cartesiano, e o respectivo cálculo das coordenadas dos pontos.
0
y
x
1–1 2 3
72°
4 5 6
1
2
3
4
5
6
B8
B
ñ
? ° 2 ? °
? ° 1 ? °
â
? 2 ?
? 1 ?
5
23
1
3 cos 72 1 sen 72
3 sen 72 1 cos 72
3 0,31 1 0,95
3 0,95 1 0,31
0,2
3,16
























ñ
? ° 2 ? °
? ° 1 ? °
â
? 2 ?
? 1 ?
5
6
1
6 cos 72 1 sen 72
6 sen 72 1 cos 72
6 0,31 1 0,95
6 0,95 1 0,31
0,91
6,01
























ñ
? ° 2 ? °
? ° 1 ? °
â
? 2 ?
? 1 ?
5
25
3
5 cos 72 3 sen 72
5 sen 72 3 cos 72
5 0,31 3 0,95
5 0,95 3 0,31
1,3
5,68
























As matrizes associadas aos vértices desses polígonos são: 
B 5 3 6 5
1 1 3




 e B8 5 
0,2 0,91 1,3
3,16 6,01 5,68
2 2





Ao girar uma foto na tela do smartphone, estamos fazendo uma rotação de todos os pixels, em 90°, 180° e 270°, 
no sentido anti-horário e em torno do centro da imagem.
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Transformação homotética
Nem todas as transformações geométricas de figuras planas preservam as me-
didas de comprimento dos lados e as medidas de abertura dos ângulos da figura 
inicial, como as transformações estudadas até aqui. A transformação homotética, ou 
homotetia, é uma transformação geométrica que preserva a forma da figura inicial, 
bem como as medidas de abertura dos ângulos, mas não preserva necessariamente as 
medidas de comprimento dos lados. 
As ampliações e 
reduções de figuras 
planas que você 
estudou no Ensino 
Fundamental 
são exemplos de 
transformações 
homotéticas.
Fique atento
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Observe a seguir um polígono M que foi ampliado em 100% gerando o polígono M8. 
Nesse novo polígono, as medidas de comprimento dos lados são o dobro das medi-
das correspondentes dos lados no polígono inicial M.
0
y
x
2 4 6 8 10 12
2
4
6
8
10
12
1
3
5
7
9
11
1197531
B8
C8
A
B
C
M
A8
M8
As matrizes relacionadas aos vértices desses polígonos são:
M 5 2 2 6
2 6 2




 e M8 5 4 4 12
4 12 4




Geometricamente, para fazer essa transformação homotética do polígono inicial M, 
fixamos um ponto O como centro da homotetia e traçamos, a partir desse ponto, se-
mirretas que passam pelos vértices do polígono M. Nesse caso, foi escolhido o ponto 
O(0, 0), origem do plano cartesiano.
Então o polígono M8 é obtido fazendo OA8 5 2 ? OA, OB8 5 2 ? OB e OC8 5 2 ? OC. 
Dizemos, nesse caso, que o polígono M8 obtido é homotético ao polígono inicial M, 
com razão k 5 2. 
Dados dois polígonos 
homotéticos em um 
plano cartesiano, 
como podemos 
calcular a razão da 
homotetia? Essa 
razão pode ser igual 
a 0? Justifique sua 
resposta. 
Reflita
Podemos afirmar 
que dois polígonos 
homotéticos são 
sempre semelhantes? 
Por quê?
Reflita
De modo geral, quando fazemos a homotetia de um polígono de vértices (x1, y1), 
(x2, y2), », (xn, yn), de razão k (com k = 0) e com centro na origem O(0, 0) do plano 
cartesiano, obtemos o polígonode vértices (k ? x1, k ? y1), (k ? x2, k ? y2), », (k ? xn, k ? yn).
Usando a notação de matrizes, temos a seguinte representação dessa homotetia:
x x x
y y y
kx kx kx
ky ky ky
n
n
n
n
1 2
1 2
1 2
1 2
»
»
ñ
»
»












Observando a foto destas bonecas russas Matrioskas, podemos fazer aproximações e dizer que a 
imagem de cada boneca é obtida da imagem de outra por homotetia em relação ao ponto indicado.
W
Y
M
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rq
u
iv
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 d
a
 e
d
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o
ra
Coordenadas dos vértices do 
polígono M: A(2, 2); B(2, 6) e C(6, 2).
Coordenadas dos vértices do 
polígono M8: A8(4, 4); B8(4, 12) e 
C8(12, 4).
Não escreva no livro.
Exemplo de resposta: 
Dividindo a medida de 
comprimento de um 
dos lados do polígono 
obtido pela medida 
de comprimento do 
lado correspondente 
do polígono inicial. A 
razão não pode ser 0, 
pois, nesse caso, todos 
os pontos obtidos da 
homotetia dos vértices 
do polígono inicial 
seriam coincidentes e 
não haveria polígono.
F
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ch
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k
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S
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rs
to
ck
Sim, pois os ângulos 
correspondentes 
são congruentes 
e as medidas de 
comprimento dos lados 
correspondentes são 
proporcionais (a razão 
entre as medidas de 
comprimento dos lados 
correspondentes é a 
razão da homotetia). 
102
084a105_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 102084a105_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 102 9/17/20 10:14 AM9/17/20 10:14 AM
Tecnologias digitais
Não escreva no livro.
103
Transformações geométricas no GeoGebra
Mais uma vez, vamos utilizar o software GeoGebra, agora para construir geometri-
camente transformações isométricas e transformações homotéticas de polígonos no 
plano cartesiano. 
Como as atividades que serão realizadas são de Geometria plana, recomendamos 
que você use a versão do GeoGebra Geometria: em um computador, você pode fa-
zer o download no site www.geogebra.org/download (acesso em: 8 jul. 2020); em 
um smartphone, pode baixá-lo na loja oficial de aplicativos do sistema operacional 
do aparelho; ou pode acessá-lo on-line no site https://www.geogebra.org/geometry 
(acesso em: 8 jul. 2020).
As imagens que utilizaremos a seguir são da versão on-line do GeoGebra Geome-
tria, mas você pode escolher a plataforma que julgar mais oportuna. 
Translação
Vamos construir um polígono fornecendo as coordenadas dos vértices e, em se-
guida, fazer algumas translações em a unidades para a direita e b unidades para cima.
1o passo: Acesse as configurações de exibição (na versão on-line as configurações 
são acessadas na parte superior direita da tela) e selecione as opções de exibir os ei-
xos e de exibir a malha principal.
2o passo: No campo de entrada de comando (situado na parte esquerda da tela), 
digite Pol’gono((3,1),(2,3),(4,7),(1,3)) e tecle “Enter”.
Professor, as sugestões 
para o desenvolvimento 
desta seção 
encontram-se nas 
Orientações específicas 
deste Manual. 
Professor, os 
estudantes também 
podem usar o 
GeoGebra Classic, 
como no capítulo 1, 
pois ele conta com as 
mesmas ferramentas, 
apenas em outra 
interface. 
Tela do GeoGebra após o 2o passo.
O que o GeoGebra 
nomeia como 
polígono é, na 
realidade, uma 
região poligonal.
Fique atento
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3o passo: Agora, digite Polígono((3+a,1+b),(2+a,3+b),(4+a,7+b),(1+a,3+b)) e tecle “Enter”. Junto do cam-
po de entrada vão aparecer os controles deslizantes para a e b. 
Altere para a 5 3 e b 5 1 e observe o polígono obtido.
Tela do GeoGebra após o 3o passo.
Se você precisar, amplie 
ou reduza a imagem no 
GeoGebra usando as 
ferramentas de zoom (na 
parte inferior direita da 
tela) ou utilizando o scroll 
do mouse (a “rodinha” 
que fica na parte superior 
da maioria dos mouses).
Você também pode 
mover a imagem 
clicando em algum ponto 
da tela e arrastando. 
Fique atento
1. c) Exemplo de resposta: Com b > 0, o polígono inicial é transladado para cima, com b < 0 o polígono é transladado para 
baixo e com b 5 0 não há translação vertical (nem para cima nem para baixo).
Exemplo de resposta: As medidas de comprimento dos lados e as medidas 
de abertura dos ângulos não mudam ao alterar os valores de a e b.
	 1.	Usando a construção que você fez, siga as instruções de cada item e depois 
converse com os colegas sobre o que você observou.
	a) Para a 5 3 e b 5 1, qual foi a translação feita do polígono inicial?
	b) Altere apenas o controle deslizante de a, observe o que acontece com o 
polígono transladado para a > 0, a < 0 e a 5 0.
	c) Agora altere apenas o controle deslizante de b e observe o que acontece 
com o polígono transladado para b > 0, b < 0 e b 5 0.
	d) Agora, utilize a opção “Distância, Comprimento ou Perímetro” e a opção 
“Ângulo” para medir, respectivamente, o comprimento dos lados e a abertu-
ra dos ângulos do polígono inicial e do polígono transladado. Depois, altere 
os controles deslizantes de a e de b e observe o que acontece com essas 
medidas indicadas. 
Translação de 3 unidades para a direita e 1 unidade para cima.
Quando digitamos Polígono((3,1),(2,3),(4,7),(1,3)) e 
Polígono((3+a,1+b),(2+a,3+b),(4+a,7+b),(1+a,3+b)) no campo de 
entrada do GeoGebra, estamos identificando as coordenadas dos 
vértices do polígono inicial e da transformação geométrica, que 
neste caso é uma translação de a unidades para a direita e 
b unidades para cima. Essa notação é análoga à feita com matrizes.
Fique atento
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a a a a
b b b b
3 2 4 1
1 3 7 3
3 2 4 1
1 3 7 3











ñ
1 1 1 1
1 1 1 1
	 2.	Salve a construção que você fez e abra um novo documento. Siga todos os passos indicados anterior-
mente, mas escolha outras coordenadas para os vértices do polígono inicial. Em seguida, escolha valores 
para a e b e oculte o campo de entrada de comando, de modo que não seja possível ver os controles 
deslizantes. Por fim, mostre os polígonos a um colega e peça a ele que escreva no caderno as matrizes 
relacionadas aos vértices dos polígonos e que identifique os valores de a e b considerados na translação 
do polígono inicial. Resposta pessoal.
1. b) Exemplo de resposta: Com a > 0, o polígono 
inicial é transladado para a direita, com a < 0 o 
polígono é transladado para a esquerda e com 
a 5 0 não há translação horizontal (nem para a 
direita nem para a esquerda).
Professor, caso os estudantes apresentem dúvidas na 
utilização da opção “Distância, Comprimento ou Perímetro” 
e da opção “Ângulo”, explique que, para usar a primeira 
ferramenta, eles devem selecionar os dois vértices do lado do polígono cujo comprimento será medido e, para usar a 
segunda, devem selecionar os três vértices do polígono que formam o ângulo cuja abertura será medida.
Tecnologias digitais
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105
Não escreva no livro.
Tela do GeoGebra após o 3o passo.
	 3.	Para as reflexões do polígono inicial em relação aos eixos, vamos usar ape-
nas k 5 1 e m 5 21, ou k 5 21 e m 5 1. 
	a) Para k 5 1 e m 5 21, como na construção acima, a reflexão do polígono 
inicial foi feita em relação ao eixo x ou ao eixo y?
	b) Altere os controles deslizantes para k 5 21 e m 5 1. Nesse caso, a reflexão 
do polígono inicial foi feita em relação a qual eixo do plano cartesiano?
	 4.	Salve a construção que você fez e, em um novo documento, siga todos os 
passos indicados anteriormente, mas escreva outras coordenadas para os 
vértices do polígono inicial e escolha k 5 1 e m 5 21, ou k 5 21 e m 5 1. 
	 	Oculte o campo de entrada de comando, mostre os polígonos a um colega e peça a ele que escreva no 
caderno as matrizes relacionadas aos vértices dos polígonos e que identifique se areflexão do polígono 
inicial foi em relação ao eixo x ou ao eixo y.
Rotação
Agora vamos construir um polígono, fornecendo as coordenadas dos vértices, e fazer a rotação de 180°, 
no sentido anti-horário e em torno da origem O(0, 0) do plano cartesiano. Não se esqueça de salvar as cons-
truções anteriores antes de começar um novo documento.
1o passo: Selecione as opções de exibir os eixos e a malha principal na tela nas configurações do Geo-
Gebra.
2o passo: No campo de entrada de comando, digite Polígono((-4,1),(-4,3),(0,5),(-6,4)) e tecle “Enter”.
Eixo y.
Eixo x.
Resposta pessoal.
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b
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Reflexão
Vamos novamente construir um polígono fornecendo as coordenadas dos vértices e, em seguida, fazer as 
reflexões em relação ao eixo x e ao eixo y do plano cartesiano. Inicialmente, salve a construção que você fez 
e abra um novo documento.
1o passo: Repita os procedimentos anteriores para exibir os eixos e a malha principal na tela.
2o passo: No campo de entrada de comando, digite Polígono((-5,2),(-2,4),(-1,1)) e tecle “Enter”.
3o passo: Agora, digite Polígono((-5k,2m),(-2k,4m),(-1k,1m)) e tecle “Enter”. Configure inicialmente os 
controles deslizantes para k 5 1 e m 5 21.
Você verá, na próxima 
página, o que acontece com 
a construção para k 5 21 
e m 5 21. Para outros 
valores de k e m, não temos 
transformações geométricas 
que preservem as medidas 
de comprimento dos lados e 
as medidas de abertura dos 
ângulos do polígono inicial.
Fique atento
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3o passo: Agora, digite Polígono((-4k,1k),(-4k,3k),(0k,5k),(-6k,4k)) e tecle “Enter”. Configure o controle 
deslizante para k 5 21.
Tela do GeoGebra após o 3o passo.
	 5.	Para a rotação de 180°, no sentido anti-horário e em torno da ori-
gem do plano, vamos usar apenas k 5 21. Meça o comprimento 
dos lados e a abertura dos ângulos dos dois polígonos e descreva 
o que acontece com essas medidas.
	 6.	Salve a construção que você fez, abra um novo documento e siga todos os passos anteriores, agora es-
colhendo novas coordenadas para os vértices do polígono inicial. Mantenha k 5 21, oculte o campo de 
entrada de comando e peça a um colega que escreva no caderno as matrizes dos vértices dos polígonos.
Homotetia
Para fazer a homotetia de um po-
lígono, com centro na origem O(0, 0) 
do plano, vamos usar a mesma estru-
tura de construção da rotação feita na 
página anterior e alterar o valor de k, 
com k = 0.
Resposta pessoal.
Quando ampliamos ou 
reduzimos a visualização de 
uma foto em um smartphone, 
estamos aplicando uma 
homotetia em todos os pixels 
da imagem.
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Você verá, na próxima página, o que 
acontece com a construção para k = 21.
Fique atento
5. Exemplo de resposta: As medidas de comprimento dos lados correspondentes são iguais e as 
medidas de abertura dos ângulos correspondentes são iguais.
Tecnologias digitais
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Não escreva no livro.
	 7.	Abra a construção que você salvou da rotação ou repita os passos, faça uma nova construção e depois 
converse com os colegas sobre o que você observou. 
	a) Configure o controle deslizante para k 5 2. Nesse caso, qual é a razão da homotetia? Razão 2.
7. d) Exemplo de resposta: As medidas de comprimento dos lados são multiplicadas por k, se k > 0, ou por 2k, se k < 0, e as 
medidas de abertura dos ângulos não se alteram.
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b
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	b) Altere o controle deslizante de k e observe o que acontece com o polígono obtido por homotetia para 
k > 1, 0 < k < 1 e k 5 1.
	c) Altere novamente o controle deslizante de k e observe agora o que acontece com o polígono obtido por 
homotetia para k < 0.
	d) Meça o comprimento dos lados e a abertura dos ângulos do polígono inicial e do polígono homotético. 
Depois, altere o controle deslizante de k e observe o que acontece com essas medidas indicadas. 
	 8.	Em um novo documento, construa um novo polígono inicial e construa uma transformação homotética 
dele usando o controle deslizante de k. Mostre os polígonos para um colega, ocultando o campo de entra-
da de comando, e peça a ele que escreva no caderno as matrizes dos vértices dos polígonos e identifique 
a razão da homotetia.
Composição de transformações geométricas
Usando todos os conhecimentos adquiridos nesta seção e as estruturas de escrita dos vértices dos polígo-
nos, podemos fazer composições de transformações geométricas. Acompanhe um exemplo.
1o passo: Acerte a exibição dos eixos e da malha principal na tela.
2o passo: No campo de entrada de comando, digite Polígono((2,-3),(4,-2),(3,-6)) e tecle “Enter”.
3o passo: Digite Polígono((2k+a,-3m+b),(4k+a,-2m+b),(3k+a,-6m+b)) e tecle “Enter”.
Com esse comando você pode configurar os controles deslizantes para compor as transformações geomé-
tricas: transladar o polígono em a unidades para a direita e b unidades para cima; refleti-lo em relação ao eixo x 
(k 5 21 e m 5 1) e ao eixo y (k 5 1 e m 5 21); fazer a rotação de 180°, no sentido anti-horário e em torno da 
origem (k 5 m 5 21); aplicar a homotetia de centro na origem e razão k 5 m (com k, m = 0).
	 9.	Usando a construção que você fez, escolha quais transformações geométricas você quer fazer com o po-
lígono inicial e atribua os respectivos valores para a, b, k e m. Depois, mostre a construção para um colega 
e peça a ele que a confira.
Exemplo de resposta: Com k > 0, o polígono inicial é ampliado, com 0 < k < 1 o polígono é 
reduzido e com k 5 1 o polígono não se altera.
Exemplo de resposta: Com k < 0, o polígono inicial é rotado em 180°, no sentido anti-horário e 
em torno da origem do plano, e, além disso, é ampliado para k < 21 e reduzido para 21 < k < 0.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Tela do GeoGebra com k 5 2.
107
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	 5.	Considere um polígono representado no plano carte-
siano que será transladado de acordo com cada matriz 
coluna dada. Para cada item, escreva no caderno quan-
tas unidades serão transladadas e em quais sentidos. 
	a) 2
3





 	b) 
3
1





2
	c) 2
1






2
2
	 6.	Observe o triângulo ABC representado no plano carte-
siano.
7
6
5
4
2
1
1 2 3 4 5 6
C
A
B
x
y
0
3
Escreva no caderno a matriz relacionada aos vértices do 
triângulo obtido pela translação descrita em cada item.
	a) 2 unidades para a direita e 3 unidades para cima. 
	b) 3 unidades para a esquerda e 4 unidades para baixo. 
	c) 2 unidades para a direita e 5 unidades para baixo. 
	 7.	Considere as matrizes M 5 0 1 3
3 5 1





 ,
N 5 
0 2 3
2 0 4





2 2
 e Z 5 
1 3 5 4
2 2 1 4






2 2 2 2
, que re-
presentam as coordenadas dos vértices dos polígonos 
M, N e Z, respectivamente.
	a) Represente cada polígono em um plano cartesiano.
	b) Reflita cada polígono em relação ao eixo y e escreva no 
caderno a matriz dos vértices de cada polígono obtido.
	c) Agora, reflita cada polígono dado em relação ao 
eixo x e escreva a matriz dos vértices de cada po-
lígono obtido.
	 8.	Considere o polígono representado no plano cartesia-
no a seguir. Escreva no caderno as matrizes dos vérti-
ces desse polígono e do polígono obtido ao fazer a 
rotação de 180°, no sentido anti-horário e em torno da 
origem O(0, 0).
2
1
1 2 3 4 5 6 x
y
0
3
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
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u
iv
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 d
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o
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As respostas 
encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
B
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/ 
A
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uiv
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it
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Atividades Não escreva no livro.
	 9.	Considere a matriz B 5 2 1 5 4
2 4 4 2





 relacionada aos 
vértices de um polígono no plano cartesiano.
	a) Represente esse polígono em um plano cartesiano.
	b) Faça uma rotação de 180° desse polígono, no sen-
tido anti-horário e em torno da origem (0, 0).
	c) Escreva no caderno a matriz associada aos vértices 
do polígono inicial e do polígono obtido.
	10.	Como vimos, para fazer a rotação de um polígono no 
plano cartesiano, no sentido anti-horário e em torno da 
origem O(0, 0), consideramos a medida de a graus da 
rotação. Para cada vértice (x, y) do polígono, temos a 
transformação 
x
y
x y
x y
cos sen
sen cos











ñ
? a 2 ? a
? a 1 ? a
.
Considere um triângulo ABC cujos vértices podem ser 
representados pela matriz 5
1
3
1
2
2





2 2
. Escreva no 
caderno a matriz dos vértices do polígono obtido após 
cada rotação do polígono inicial, no sentido anti-horá-
rio e em torno da origem (0, 0).
	a) Rotação de 90°.
	b) Rotação de 220°. (Use uma calculadora para calcu-
lar o valor aproximado de sen 20° e cos 20°, com 
duas casas decimais.)
	11.	Duas miniaturas da Torre Eiffel, monumento-símbo-
lo da cidade de Paris (França), foram fotografadas e 
verificou-se que as imagens obtidas são homotéticas. 
Sabendo que a medida de comprimento da altura da 
miniatura maior é de 6,3 cm e que a razão de homote-
tia é 2,8, qual é a medida de comprimento da altura da 
miniatura menor?
9. As respostas encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.






21
5
1
3
2
2







2 2
4,35
2,69
2,47
1,99
2,58
1,18
2,25 cm
5. a) Translação em 2 unidades para a direita e 3 unidades para cima.
b) Translação em 3 unidades para a direita e 1 unidade para baixo.
c) Translação em 2 unidades para a esquerda 
e 1 unidade para baixo.
6. a) 






3 3 8
5 9 5
b) 






2 2
2 2
2 2 3
2 2 2
c) 





2 2
3 3 8
3 1 3
8. 











ñ
2
2
2
2
2
2
2
2
1 4 4 5
1 3 2 1
 
1
1
4
3
4
2
5
1
6,3 cm
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	12.	Em alguns elementos da natureza ou em construções 
humanas, podemos fazer aproximações que nos per-
mitem identificar transformações isométricas e trans-
formações homotéticas. Junte-se com um colega, ana-
lisem juntos as fotos a seguir e identifiquem possíveis 
aproximações para as transformações que vocês estu-
daram.
a)
	 	
	b)
	 	
Violão.
	c)
	d)
Fractal construído em computador.
	e)
	 	
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
K
ic
h
ig
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h
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e
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ck
Floco de neve.
J
 V
ile
la
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ck
Mandala.
P
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k
C
a
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S
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e
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to
ck
Tapete.
	13. Agora, ainda com um colega, observem as fotos a se-
guir e identifiquem elementos que podemos associar, 
aproximadamente, a transformações isométricas e 
transformações homotéticas.
	a)
Parede de azulejos.
	b)
	 	
Trecho de partitura e notas musicais.
	c)
	 	
Marcas feitas de tinta com as palmas das mãos em 
uma folha de papel.
	14.	Escolha uma das fotos das atividades 12 ou 13 e, em 
um plano cartesiano, faça uma representação geomé-
trica de parte da imagem. Em seguida, represente as 
transformações geométricas desse recorte de modo a 
compor o restante da imagem.
	15.	Considere o triângulo 
ABC representado no 
plano cartesiano. 
	a) Nesse triângulo será 
aplicada uma ho-
motetia de centro 
na origem do plano 
e de razão 
1
2
. Qual 
é a matriz relaciona-
da aos vértices do 
triângulo obtido? 
	b) Desenhe no plano cartesiano o triângulo obtido por 
homotetia e que tem vértices representados pela 
matriz 
1,5 2
1,5 2
1,5 2
1,5 6
1,5 6
1,5 2






2 ?
2 ?
2 ?
2 ?
2 ?
2 ?
. 
Os exemplos de resposta 
encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
S
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 C
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 P
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Resposta pessoal.
Não escreva no livro.12. Os exemplos de resposta encontram-se nas Orientações 
específicas deste Manual. 
B
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5
4
2
1
1 2 3 4 5 6
C
A
B
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0
3
As respostas encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
N
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rt
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15. a) 






1 1 3
1 3 1
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	16.	Um polígono está representado no plano cartesiano e 
a matriz relacionada aos vértices é 2
1
1
4
5
4
5
0





2 2 2
.
Veja em cada item a seguir a matriz dos vértices do 
polígono obtido por uma única transformação geo-
métrica do polígono dado. Considerando as transfor-
mações geométricas que você estudou, descreva qual 
delas foi feita em cada item.
	a) 2
1
1
4
5
4
5
0






	b) 
2 2 2
6
3
3
12
15
12
15
0




	c) 1
1
2
2
2
2
2
2






2 2
2 2
	d) 2
1
1
4
5
4
5
0






2 2 2 2
	17.	O artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher 
(1898-1972) se notabilizou pelas obras, em que cos-
tumava representar construções impossíveis, como o 
preenchimento irregular do plano, as explorações do 
infinito e as metamorfoses. Nas obras de Escher, tam-
bém é possível perceber diversos trabalhos envolven-
do transformações geométricas. 
No site oficial do artista, é possível conhecer as obras 
dele. Disponível em: https://mcescher.com/gallery/ 
mathematical. Acesso em: 6 jun. 2020.
Analise a obra Limite de círculo IV (céu e inferno), cujo tí-
tulo original em inglês é Circle limite IV (heaven and hell). 
Limite de círculo IV (céu e inferno), de Maurits Cornelis 
Escher, 1960 (xilogravura de 41,5 cm 3 41,5 cm). 
Quais medidas de abertura de rotação Escher pode 
ter usado para compor essa obra?
	a) 45° e 135°.
	b) 60° e 120°. 
	c) 120° e 120°. 
	d) 100° e 135°.
	e) Apenas 72°.
Reflexão em relação ao eixo x.
Homotetia de razão 3 e 
centro na origem O(0, 0) 
do plano cartesiano.
Translação de 3 unidades para 
a esquerda e 2 unidades para 
cima.
Rotação em 180°, no 
sentido anti-horário e em 
torno da origem O(0, 0) do 
plano cartesiano.
Alternativa c.
Não escreva no livro.
Metamorfose é a mudança completa de forma, natureza 
ou estrutura, e essa mudança é representada por Escher 
nas obras que fazem parte da série “Metamorphose”.
Escher explora visualmente uma espécie de jogo de 
associação mental que costumava brincar quando 
criança.
“Ele se deitava na cama e pensava em dois temas 
para os quais ele teria que criar uma conexão lógica. 
[...]
[Na obra Metamorfose 2 (em inglês, Metamorphose 
2)] Escher representou essa cadeia de associações 
por meio do uso de formas geométricas (triângulos, 
quadrados, hexágonos, etc.) e figuras (lagartos, 
abelhas, pássaros, peças de xadrez, cidades) que, 
progressivamente, da esquerda para a direita, vão se 
transformando umas nas outras – movimento que 
justifica o título da série.
RONCOLATO, Murilo. As metamorfoses de Escher neste do-
cumentário interativo. Nexo Jornal, São Paulo, 29 set. 2018. 
Disponível em: https://www.nexojornal.com.br/ 
expresso/2018/09/29/As-metamorfoses-de-Escher-neste- 
document%C3%A1rio-interativo. Acesso em: 8 jun. 2020.
Uma das maneiras de conhecer a vida e as obras de um 
artista é visitar exposições ou acessá-las virtualmente. 
Como citamos anteriormente, as obras de Escher podem 
ser visualizadas no site oficial do artista. Além disso, é 
possível acessar o catálogo da exposição “O mundo 
mágicode Escher”, que ocorreu a partir de 2010 em 
algumas cidades do país, apresentando a história do artista 
e das obras, bem como reproduções delas. Disponível em: 
https://www.bb.com.br/docs/pub/inst/img/EscherCatalogo.
pdf?fbclid=IwAR0GqQEYJa9VFjDTk5OK6j0SJc77vfPOmHR
IHKKJ-s4uF2Urv2jD2JZD6a8. Acesso em: 8 jun. 2020.
Pesquise para conhecer mais desse artista e das diversas 
obras que ele produziu.
Sobre o assunto
	18.	A figura representada no 
plano cartesiano ao lado 
será submetida às trans-
formações indicadas.
1o) Reflexão em relação ao 
eixo das abscissas. 
2o) Rotação de 180°, no 
sentido anti-horário e 
em torno da origem 
do plano. 
3o) Translação em 2 unidades para a esquerda.
4o) Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
	a) Quais são as matrizes relacionadas aos vértices da 
figura inicial e da figura final obtidas dessas trans-
formações, nessa ordem?
	b) Seria possível obter a figura final usando uma única 
transformação isométrica da figura inicial? Se sim, 
qual? Sim. Uma translação em 2 unidades para 
a direita, ou seja, representada pela matriz 
coluna 






2
0
.
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18. a) ñ












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Além da sala de aula
Não escreva no livro.
Transformações geométricas e algoritmos
Nas páginas anteriores você conheceu e utilizou notações de matrizes para representar transformações 
isométricas e transformações homotéticas de polígonos no plano cartesiano.
Como você viu, quando aplicamos uma transformação geométrica em um polígono, todos os pontos 
sofrem a mesma transformação. Então podemos analisá-las agora de outro ponto de vista, utilizando algorit-
mos, e considerando um ponto (x, y) qualquer do polígono (que pode ser um dos vértices ou pode pertencer 
a qualquer lado do polígono).
Um dos pilares do pensamento computacional é o algoritmo, que é utilizado para estipular uma ordem, uma rotina ou uma 
sequência de passos a fim de resolver um problema.
Algoritmos não são utilizados apenas para programar cálculos em computadores; eles podem ser utilizados sempre que 
quisermos organizar e ordenar uma sequência de passos, como em uma receita de bolo ou nas instruções para trocar o pneu 
de um carro.
Fique atento
	 1.	Veja a seguir um exemplo de algoritmo da translação de um ponto (x, y) em a unidades para a direita e 
b unidades para cima. Esse algoritmo está escrito usando um pseudocódigo, que é a maneira genérica de 
escrever os passos com uma linguagem simples, sem utilizar uma linguagem de programação específica.
Início
	 Nomeie de (x, y) o ponto inicial
	 Nomeie de a o deslocamento para a direita
	 Nomeie de b o deslocamento para cima
	 Crie (x8, y8)
	 Calcule x8 ó x 1 a
	 Calcule y8 ó y 1 b
	 Saída: (x8, y8) 
Fim
 Usando esse algoritmo, podemos determinar, por exemplo, a translação de um ponto (2, 3) em 3 unida-
des para a direita e 5 unidades para baixo. Acompanhe.
Algoritmo Cálculos correspondentes
Início
	 Nomeie de (x, y) o ponto inicial
x 5 2
y 5 3 
	 Nomeie de a o deslocamento para a direita a 5 3
	 Nomeie de b o deslocamento para cima b 5 25
	 Crie (x8, y8) (x8, y8)
	 Calcule x8 ó x 1 a
A variável x8 recebe o valor do cálculo indicado:
x8 5 2 1 3 5 5
	 Calcule y8 ó y 1 b
A variável y8 recebe o valor do cálculo indicado:
y8 5 3 1 (25) 5 22
	 Saída: (x8, y8) 
Fim
O valor de saída é o valor das variáveis x8 e y8:
(5, 22) 
Assim, o ponto transladado tem coordenadas (5, 22).
2
3
5
2











ñ 2
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Nesse algoritmo, a, b, x, y, x8 e y8 são as variáveis. 
A seta ó pode indicar que uma variável do algoritmo vai receber um 
valor (um número explicitado no algoritmo, o valor de outra variável 
ou o resultado de um cálculo). Por exemplo, em x8 ó x 1 a, a 
variável x8 do algoritmo recebe o valor do cálculo x 1 a.
Observe que 
atribuímos à 
variável a o 
valor 3, pois o 
deslocamento 
será para 
a direita, e 
atribuímos à 
variável b o 
valor 25, pois o 
deslocamento 
será para baixo.
Fique atento
111
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Além da sala de aula Não escreva no livro.
	a) Usando esse algoritmo, determine as coordenadas do ponto obtido pela translação do ponto inicial 
(21, 0), em 3 unidades para a esquerda e 4 unidades para baixo. Em seguida, represente a translação 
usando a notação de matrizes.
b)	Agora, escolha as coordenadas de um ponto (x, y), atribua valores para as translações horizontais e ver-
ticais no plano e utilize o algoritmo para determinar as coordenadas do ponto transladado. Em seguida, 
represente a translação usando a notação de matrizes.
	c) Qual é relação entre os valores de saída desse algoritmo e a definição de translação?
	 2.	Observe agora um exemplo de algoritmo, usando pseudocódigo, da reflexão de um ponto (x, y) em rela-
ção ao eixo y.
Início
	 Nomeie de (x, y) o ponto inicial
	 Crie (x8, y8)
	 Calcule x8 ó 21 ? x
	 Calcule y8 ó y
	 Saída: (x8, y8) 
Fim
 a) Use esse algoritmo para determinar as coordenadas do ponto obtido pela reflexão do ponto inicial 
(3, 2) em relação ao eixo y. Em seguida, represente a reflexão usando a notação de matrizes.
	b) Copie esse algoritmo no caderno e faça as alterações necessárias para que o cálculo e a saída correspon-
dam à reflexão do ponto inicial em relação ao eixo x.
	c) Use o algoritmo que você escreveu para determinar as coordenadas do ponto obtido pela reflexão do 
ponto inicial (3, 2), agora em relação ao eixo x. Em seguida, represente a reflexão usando a notação de 
matrizes.
	 3.	Agora você vai criar um algoritmo, usando pseudocódigo, com a finalidade de fazer a rotação de um pon-
to (x, y) em 180°, no sentido horário e em relação à origem do plano cartesiano.
	 4.	Crie também um algoritmo, usando pseudocódigo, com o objetivo de fazer a homotetia de um ponto (x, y), 
com razão k e centro na origem do plano cartesiano.
	 5.	Para fazer a combinação de transformações, devemos aplicar cada algoritmo na ordem em que as trans-
formações serão feitas. Por exemplo, considere a reflexão de um ponto (5, 4) em relação ao eixo y e, 
depois, a translação em 2 unidades para cima. Aplicamos primeiro o algoritmo da reflexão em relação ao 
eixo y, no ponto (5, 4), e obtemos (25, 4); em seguida, aplicamos o algoritmo da translação, no ponto 
(25, 4), e obtemos (25, 6). Assim, o ponto inicial é (5, 4) e o ponto obtido dessa composição de transfor-
mações é (25, 6). 
5
4
5
6











ñ 2
 Usando os algoritmos, determine as coordenadas do ponto obtido a partir de cada ponto inicial e da 
sequência de transformações geométricas indicadas.
	a) O ponto inicial (1, 1) será transladado 2 unidades para a direita e 1 unidade para cima e, depois, será 
novamente transladado 1 unidade para a esquerda e 2 unidades para cima.
	b) O ponto inicial (3, 4) será refletido em relação ao eixo x e, depois, em relação ao eixo y.
 c) O ponto inicial (0, 0) será transladado 3 unidades para baixo, refletido em relação ao eixo x e, por fim, 
transladado 2 unidades para a direita.
 d) Para o ponto inicial (25, 22), será feita a rotação em 180°, no sentido anti-horário e em torno da origem 
do plano, depois a reflexão em relação ao eixo y e, por fim, a homotetia de razão 
1
5
.
(24, 24). 










2 ñ 22
1
0
 
4
4
.
Respostas pessoais.
O exemplo de resposta encontra-se nas 
Orientações específicas deste Manual.
(3, 22). 










ñ 2
3
2
 
3
2
.
O exemplo de resposta encontra-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
(23, 24)
(2, 3)
2̄1, 2
5
˘
2. a) (23, 2). 










ñ 23
2
 
3
2
.
5. a) (2, 4)
Professor, aproveite o item a para perguntar aos estudantes o que acontece ao fazer duas 
translações sucessivas representadas por 












a
b
c
d
 e , respectivamente; espera-se que 
percebam que corresponde a fazer a translação representada por 
1
1






a c
b d
 
 
. O item b 
também permite a exploração da combinação de duas reflexões, em relação a ambos 
os eixos; espera-se que eles percebam que essa combinação corresponde a fazer uma 
rotação de 180°, no sentido anti-horário e em torno da origem do plano.
1. c) Exemplo de resposta: Apesar de os valores de saída do algoritmo estarem escritos na forma (x8, y8), na realidade, o que está 
sendo exposto como resultado é o valor armazenado nas variáveis x8 e y8, que, nesse caso, seria (x 1 a, y 1 b), correspondente à 
definição das coordenadas do ponto transladado.
O exemplo de resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
112
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Gravitação
Rotação e translação 
Você estudou anteriormente as transformações geométricas chamadas rotação e translação. Em Física, 
rotação e translação são tipos de movimento que um corpo rígido (classificação dada para sólidos não male-
áveis) pode executar. Em Astronomia, área da ciência que estuda o Universo e os corpos celestes, temos que 
o movimento da Terra é composto de alguns componentes e, entre eles, o movimento de rotação (que ocorre 
em torno do próprio eixo) e o movimento de translação, também chamado de revolução (que, no caso dos 
corpos do Sistema Solar, ocorre em torno do Sol).
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Rotação da Terra é o movimento que o planeta realiza em torno de um eixo imaginário que passa pelos polos norte e sul 
geográficos. A Terra leva cerca de 23 h 56 min 4 s para completar uma rotação em torno de si mesma, em relação às estrelas. 
Acesse o site http://www.astro.iag.usp.br/~gastao/anima/mov/MovimentoTerra_Ecliptica.mp4 (acesso em: 10 jun. 2020) e observe 
a animação, com imagens sem escala e em cores fantasia, que representa o movimento de rotação da Terra a partir do Sol. Repare 
que o eixo de rotação da Terra tem uma inclinação de aproximadamente 23°, responsável pela existência das estações do ano.
Translação da Terra é a componente responsável pelo movimento do planeta em torno do Sol. Atualmente, a Terra leva 
cerca de 365 dias e 6 h 9 min 10 s para completar uma volta em torno do Sol. A animação disponível no site http://www.
astro.iag.usp.br/~gastao/anima/mov/anima_estacoes.gif (acesso em: 10 jun. 2020), com imagens sem escala e em cores 
fantasia, representa a órbita da Terra e o movimento de translação dela em torno do Sol, evidenciando o efeito da inclinação 
do eixo da Terra ao longo de um ano terrestre.
Sobre o assunto
Newton e o movimento dos planetas
O físico e matemático inglês Isaac Newton (1642-1727) é um personagem muito importante na história da 
Ciência. Entre outros feitos, ele formulou métodos de cálculo diferencial e integral, as leis de Newton (que 
fundamentam a base da Mecânica clássica) e a lei da gravitação universal, por meio da qual explicou o movi-
mento dos planetas em torno do Sol. 
A lei de gravitação universal define uma propriedade inerente à matéria, denominada massa gravitacional 
(comumente chamada apenas de massa), e representa a tendência natural que um corpo com massa tem de 
atrair outro corpo que também tenha massa. Quanto maior for a massa desses corpos, mais intensa será a 
força de atração entre eles. 
A fórmula da lei da gravitação universal é FG 5 G
mM
d2
, em que: m é a medida de massa de um objeto A; 
M é a medida de massa de um objeto B; FG é a intensidade da força de atração, de natureza gravita-
cional, que age sobre os objetos A e B; d é a medida de distância entre os centros dos objetos A e B; 
e G é uma constante conhecida como constante gravitacional. No Sistema Internacional de Unidades, 
G 5 6,67 ? 10211 m3 ? kg21 ? s22.
Em 1797, o físico e químico britânico Henry Cavendish (1731-1810) realizou um experimento para determi-
nar a medida de densidade global da Terra. Esse experimento foi classificado como o sexto entre os 10 mais 
belos experimentos da Física, de acordo com uma pesquisa realizada pela revista Physics World.
No século seguinte, o experimento de Cavendish foi recriado muitas vezes por diversos cientistas, até que 
o propósito do experimento mudou: em vez da medida de densidade total da Terra, o experimento passou a 
ter como objetivo determinar o valor da constante G da lei da gravitação universal de Newton.
Fontes de consulta: MOVIMENTOS da Terra. Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas. Universidade de São Paulo, São 
Paulo. Disponível em: https://www.iag.usp.br/siae98/fenomastro/movimento.htm. LIMA NETO, Gastão Bierrenbach. Astronomia de posição. 
Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas. Universidade de São Paulo, São Paulo, 6 fev. 2020. Disponível em: http://www.
astro.iag.usp.br/~gastao/AstroPosicao/Curso2020.pdf. Acesso em: 10 jun. 2020.
Não escreva no livro.
Conexões
113
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Realizado da forma correta, este experimento revela o poder da força que mantém toda a matéria – todo o 
Universo – unida. Com este resultado, podem-se descobrir o comportamento de objetos na órbita terrestre, o 
movimento dos planetas do sistema solar e o movimento das galáxias desde o tempo do Big Bang.
CREASE, Robert P. Os 10 mais belos experimentos científicos. Tradução de Maria Inês Duque Estrada. Rio de Janeiro: Zahar, 2006. 
Conecte com o texto
	 1.	Na Terra podemos observar a interação gravitacional de dois corpos quaisquer, sem que um deles seja o 
próprio planeta?
	 2.	Como você viu, dados dois corpos, eles exercem entre si forças de intensidade FG 5 G
mM
d2
. Consideran-
do que o Sol e a Terra sejam esses dois corpos, é possível concluir que ambos experimentam uma força de 
atração de mesma intensidade entre si. Porém, o Sol permanece aproximadamente no centro do Sistema 
Solar, ao passo que a Terra está orbitando em torno do Sol. Debata com os colegas hipóteses de por que 
isso ocorre e, depois, façam uma pesquisa para verificar quais das hipóteses de vocês são ou não válidas 
do ponto de vista científico.
	 3.	A 2a lei de Newton pode ser formulada como Fr 5 m ? a, em que Fr é a inten-
sidade da força resultante que age sobre um corpo, m é a medida de massa 
desse corpo, e a é a intensidade da aceleração desenvolvida por ele.
	 	Quando igualamos a intensidade da força resultante com a intensidade 
da força gravitacional, obtemos m ? a 5 G
mM
d2
, que pode ser simpli-
ficada para a 5 G
M
d2
. Essa expressão pode ser utilizada para calcular, 
por exemplo, a intensidade da aceleração gravitacional de um planeta, 
substituindo M pela medida de massa do planeta e d pela medida de 
comprimento do raio dele.
	a) Sabendo que a medida de massa da Terra é de aproximadamente 
5,97 ? 1024 kg e a medida de comprimento do raio da Terra é de apro-
ximadamente 6,37 ? 106 m, usando essa relação, calcule a intensidade 
da aceleração gravitacional na Terra.
	b) A medida de massa de Marte é de aproximadamente 6,39 ? 1023 kg e 
a medida de comprimento do raio é de 3,39 ? 106 m. A intensidadeda 
aceleração gravitacional de Marte é maior ou menor do que a da Terra?
Pesquise e debata
	 4.	Pesquise na internet o que é o canhão orbital de Newton e converse com um colega sobre a explicação 
desse experimento. Depois, juntos, elaborem e registrem explicações e previsões a respeito dos movi-
mentos de objetos no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais.
As respostas das atividades 1, 2 e 4 encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Aproximadamente 9,8 m/s2.
Menor.
Newton baseou-se em interpretações sobre a dinâmica da Terra e do cosmos para elaborar argumentos e realizar previsões 
sobre o funcionamento do Universo. Se matéria atrai matéria, isso significaria que toda a matéria do Universo estaria se 
atraindo, de modo que eventualmente iria se colapsar em um único ponto. Porém, evidências astronômicas desde meados 
do século XX indicam que, na realidade, o Universo está se expandindo, e observações ainda mais recentes indicam que 
essa expansão é acelerada. 
A teoria do big bang, que explica o surgimento do Universo, também justifica o afastamento observado entre as galáxias. 
O movimento acelerado de afastamento, contudo, é atualmente atribuído à chamada “energia escura”, sobre a qual sabe-se 
ainda muito pouco.
Leia mais sobre o assunto em: https://www.ictp-saifr.org/um-papo-sobre-a-expansao-do-universo/. Acesso em: 10 jul. 2020.
Sobre o assunto
Imagem do planeta Marte, 
obtida pelo satélite espacial 
Viking, da agência espacial 
National Aeronautics and Space 
Administration (Nasa). Além 
da coloração avermelhada da 
superfície, dada prioritariamente 
pela presença de óxidos de ferro, 
é possível observar a presença de 
gelo, caracterizada pela região 
esbranquiçada no polo norte do 
planeta.
N
a
s
a
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a
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x
p
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ti
o
n
 P
ro
g
ra
m
Conex›es Não escreva no livro.
114
P3_106a126_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 114P3_106a126_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 114 9/17/20 10:16 AM9/17/20 10:16 AM
Sistemas lineares
Situação 1
Situação 2
Raciocínio lógico
O raciocínio lógico é muito importante para nos ajudar a 
desenvolver a criatividade e a capacidade de interpretar di-
versas situações. É comum que atividades de raciocínio lógi-
co possam ser representadas e resolvidas usando sistemas 
de equações. Cada sistema é um conjunto de equações com 
mais de uma incógnita. Essas equações podem ser analisadas 
e comparadas para determinar os resultados procurados.
Veja um exemplo de um sistema de equações que tem 
duas equações com duas incógnitas:
1 5
2 5
x y
x y
5
2 25



	a) A imagem acima pode ser representada em linguagem algébrica, usando um siste-
ma de equações. Faça essa representação no caderno e, depois, compare-a com as 
representações feitas pelos colegas. 
	b) Utilizando as três primeiras linhas da imagem, é possível determinar o valor de cada 
elemento (cavalo, ferradura e bota) separadamente? Se sim, calcule esses valores.
	 c) Então, qual é o valor da última linha?
Sim. Cavalo 5 10, ferradura 5 2 e bota 5 2.
22
Maçãs e peras
As feiras livres são caracterizadas como uma 
manifestação cultural urbana brasileira, nas quais 
podemos encontrar frutas, verduras, legumes, 
temperos e diversos tipos de produto. As frutas, 
por exemplo, costumam ser vendidas por medida 
de massa ou por unidade, mas também é comum 
que os feirantes ofereçam promoções de um ou 
mais produtos.
Por exemplo, em uma barraca da feira, 1 maçã 
e 1 pera custam R$ 1,40, enquanto 2 maçãs e 
1 pera custam R$ 1,80. Podemos relacionar es-
sas duas situações a um sistema de equações. 
	a) Compare as duas situações. Quantas maçãs ou peras foram acrescentadas à primeira situação para obter a 
segunda? E qual foi a variação no preço?
	b) Quanto custa 1 maçã? E quanto custa 1 pera? Escreva no caderno o sistema de equações que representa 
as duas situações e verifique se os valores que você calculou estão corretos.
1 maçã. Aumentou R$ 0,40.
Não escreva no livro.
Imagens como esta circulam com frequência nas 
redes sociais e podem ser usadas para exercitar o 
raciocínio lógico de maneira lúdica.
a) Exemplo de resposta: Indicando por x o valor de cada cavalo, por y o valor de cada ferradura e por z o valor de cada bota, temos: 
5
1 5
2 5
1 ? 5







x
x y
y z
z x y
3 30
 4 18
2 2
 ?
Tatevosian Yana/Shutterstock
R
2
 E
d
it
o
ri
a
l/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
As feiras livres têm características próprias em cada região, com 
variação na diversidade de produtos vendidos em função da 
produção local e da época do ano.
R$ 0,40. R$ 1,00. Indicando por a o preço da maçã e por p o preço da pera, ambos em reais, temos: 
1 5
1 5
a p
a p
 1,40
2 1,80




.
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
115
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	19.	Reúna-se com um colega e, juntos, elaborem um problema que possa ser resolvido utilizando um sistema de duas equa-
ções com duas incógnitas. Depois, peça a outra dupla que o resolva aplicando o método dos chineses apresentado acima. 
Resposta pessoal.
Atividades Não escreva no livro.
Um pouco da história da resolução dos sistemas 
de equações
Nas páginas 91 e 92 deste capítulo, apresentamos um dos problemas do livro Os nove capítulos da arte 
matemática relacionado à representação de matrizes.
Entre os 246 problemas contidos nesse livro, podemos exemplificar outro problema que é representado, 
em notação moderna, pelo sistema de equações 
1 5
1 5
x y
x y
2
50 10 30



.
No Ensino Fundamental você estudou e resolveu sistemas com duas equações e duas incógnitas, como o reproduzido 
acima. Com um colega, determine os valores de x e y desse sistema usando a estratégia que preferir. 5 5x y 
1
4
 e 
7
4
.
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Os chineses antigos resolveram esse problema de uma maneira que provavelmente foi diferente da que 
você utilizou. Eles usaram o que podemos chamar de método de tentativa e erro, que consistia em dar dois 
“chutes” para o valor de x, calcular os valores correspondentes de y e, então, verificar os erros cometidos no re-
sultado de 50x 1 10y. Após verificá-los, eles aplicavam outro método para calcular os valores corretos de x e y.
Acompanhe essa resolução.
•	 Primeiro “chute”: x1 5 
1
2
Substituindo x1 na primeira equação, obtemos:
y1 5 2 2 5
1
2
3
2
Substituindo x1 e y1 na segunda equação, de-
terminamos o termo independente da segunda 
equação, considerando esses valores:
50 ? 1 ?
1
2
10
3
2
 5 40
A diferença entre o valor encontrado para o ter-
mo independente e o valor correto, dado no sis-
tema, é:
d1 5 40 2 30 5 10
•	 Segundo “chute”: x2 5 
1
5
Substituindo x2 na primeira equação, obtemos:
y2 5 2 2 5
1
5
9
5
Substituindo x2 e y2 na segunda equação, calcu-
lamos o termo independente da segunda equa-
ção, considerando esses valores:
50 ? 1 ?
1
5
10
9
5
 5 28
A diferença entre o valor encontrado para o ter-
mo independente e o valor correto é:
d2 5 28 2 30 5 22
Sabendo esses valores, os chineses usavam a seguinte proporção para calcular o valor de x:
2
5
2
d
x x
d
x x
1
1
2
2
Assim, considerando os dois “chutes” dados, obtemos: 
2
5
2
2x x
10
1
2
2
1
5
 ~ 10x 2 2 5 22x 1 1 ~ 12x 5 3 ~ x 5 
1
4
Então, substituindo na primeira equação do sistema inicial, obtemos: 
1
4
 1 y 5 2 ~ y 5 
7
4
Os valores de x e y agora estão corretos e você deve ter obtido esses valores ao resolver o sistema no 
Explore para descobrir.
116
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Formalizando o conceito de sistemas lineares
Equações lineares
Neste capítulo, vamos estudar apenas sistemas formados por equações lineares.
Equação linear é toda equação que podeser escrita na forma geral 
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 » 1 anxn 5 b, na qual: x1, x2, x3, », xn são as incógnitas; a1, a2, a3, », an são 
números reais chamados coeficientes das incógnitas; e b é o termo independente.
As incógnitas x1, x2, x3, » geralmente aparecem como x, y, z, » nos sistemas de equações. Veja alguns 
exemplos de equações lineares.
	a) x 1 y 5 16 é uma equação linear com incógnitas x e y.
	b) 2x 1 3y 2 2z 5 10 é uma equação linear com incógnitas x, y e z.
	c) x 2 5y 1 z 2 4t 5 0 é uma equação linear com incógnitas x, y, z e t. Nela, o termo independente é b 5 0.
	d) 4x 2 3y 5 x 1 y 1 1 é uma equação linear com incógnitas x e y.
Pela definição, as equações a seguir não são lineares.
	a) xy 5 10 	b) x2 1 y 5 6 	c) x2 2 xy 2 yz 1 z2 5 1
Solução de uma equação linear
Observe mais exemplos de equações lineares e algumas soluções de cada uma delas.
	a) 3x 1 2y 5 18
Dizemos que: 
•	 o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois 3 ? 4 1 2 ? 3 5 18;
•	 o par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois 3 ? 6 1 2 ? 0 5 18;
•	 o par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois 3 ? 5 1 2 ? 1 = 18.
O par ordenado a
2 a
,
18 3
2




, com a é R, é a solução geral da equação do exemplo a, pois, para cada valor de a, 
obtemos uma solução da equação. Por exemplo, para a 5 2, a solução é (2, 6) e para a 5 0, a solução é (0, 9).
Fique atento
	b) 3x 1 y 2 2z 5 8
Dizemos que:
•	 o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3 ? 2 1 4 2 2 ? 1 5 8;
•	 o terno ordenado (0, 6, 21) é uma solução da equação, pois 3 ? 0 1 6 2 2 ? (21) 5 8;
•	 o terno ordenado (5, 22, 3) não é solução da equação, pois 3 ? 5 1 (22) 2 2 ? 3 = 8.
Para a é R e b é R, o terno ordenado a b
2 1 a 1 b
, ,
8 3
2




 é a solução geral da equação do exemplo b, pois, para cada 
valor de a e de b, obtemos uma solução da equação. Por exemplo, para a 5 1 e b 5 1, a solução é (1, 1, 22).
Fique atento
Graficamente:
•	 cada par ordenado (x, y) de números reais é representado por um ponto do plano;
•	 cada terno ordenado (x, y, z) de números reais é representado por um ponto do espaço.
Por que essas 
equações não são 
lineares?
Reflita
Não escreva no livro.
Porque não podem ser 
escritas na forma 
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 » 1 
1 a
n
x
n
 5 b.
117
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Observe:
O plano cartesiano é formado pelos eixos x e y e a cada 
ponto do plano está associado um par ordenado (x, y) e 
vice-versa. Neste plano cartesiano, temos a representação 
do ponto A(4, 3).
O espaço cartesiano é formado pelos eixos x, y e z e a cada 
ponto do espaço está associado um terno ordenado (x, y, z) 
e vice-versa. Neste espaço cartesiano, temos a representação 
do ponto B(4, 3, 2).
22
y
0
1 2 3
1
2
3
B
z
x4 5
21
21
22
22
21
4
5
5
4
3
2
1
0 1 2 3
1
2
3
A
y
x4 52122
21
22
4
5
Ênupla ordenada é uma sequência ordenada de n valores. Quando a sequência tem dois ou três valores, as ênuplas 
ordenadas recebem, respectivamente, os nomes de par ordenado e terno ordenado que você já conhece.
Fique atento
	20.	 Identifique se cada equação é linear ou não.
	a) 5x 2 2y 5 6
	b) x 1 4y 2 z 5 0
	c) x 1 y 2 z 2 t 5 0
	d) x2 1 y 5 10
	e) 3xy 5 10
	 f) x 1 y 5 z 2 2
	g) 2x 2 y 1 xy 5 8
	h) 2x3 1 y2 1 5z 5 15
	21.	Em cada item, verifique se o par ou terno ordenado 
citado é solução da equação linear dada.
	a) Par ordenado (6, 2) e equação linear 4x 2 3y 5 18. 
Linear.
Linear.
Linear.
Não linear.
Não linear.
Linear.
Não linear.
Não linear.
Sim.
Atividades Não escreva no livro.
	b) Par ordenado (3, 25) e equação linear 2x 1 3y 5 21. 
	c) Terno ordenado (1, 3, 2) e equação linear 2x 1 y 1 
1 5z 5 15. 
	d) Terno ordenado (0, 0, 0) e equação linear 
2x 1 7y 2 3z 5 0.
	22.	Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k) seja 
uma solução da equação linear 3x 2 2y 5 5.
	23.	O terno ordenado (k, 2, k 1 1) é uma das soluções da 
equação linear 4x 1 5y 2 3z 5 10. Determine o valor de k. 
Não.
Sim.
Sim.
k 5 2
k 5 3
Sistemas lineares
Sistema de equações lineares simultâneas m 3 n (lemos: m por n), ou apenas sistema linear m 3 n, 
é o conjunto de m equações lineares com n incógnitas, que pode ser representado assim:
1 1 1 » 1 5
1 1 1 » 1 5
æ
1 1 1 » 1 5
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n n
n n
m m m mn n m
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3






Il
u
s
tr
a
ç
õ
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s
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B
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n
c
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 d
e
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m
a
g
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u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Generalizando, dada a equação linear a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 ... 1 anxn 5 b, dizemos que a ênupla 
ordenada de números reais (b1, b2, b3, ..., bn) é solução da equação linear se:
a1b1 1 a2b2 1 a3b3 1 ... 1 anbn 5 b
Analogamente, se a1b1 1 a2b2 1 a3b3 1 ... 1 anbn 5 b, então (b1, b2, b3, ..., bn) é solução da equação linear.
118
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Veja alguns exemplos.
	a) 
2 5
1 5
x y
x y
3 2 6
3 10



 é um sistema linear 2 3 2 (duas equações e duas incógnitas) nas incógnitas x e y.
	b) 
2 5 2
1 5 1
x y x
x y y
3 2
2 12



 é um sistema linear 2 3 2 com incógnitas x e y, pois equivale ao sistema 
x y
x y
3 3
2 0 12



2 5
1 5
.
	c) 
x y z
x y z
x y z
2 0
2 1
8





2 2 5
2 2 5 2
2 1 5
 é um sistema linear 3 3 3 (três equações e três incógnitas) nas incógnitas x, y e z.
	d) 
1 2 5
2 1 5
x y z
x y z
4 2 1
3 6



 é um sistema linear 2 3 3 (duas equações e três incógnitas) nas incógnitas x, y e z.
Solução de um sistema linear
Neste capítulo, 
consideraremos 
sempre que as 
soluções de um 
sistema linear 
m 3 n são ênuplas 
ordenadas de 
números reais.
Fique atento
Dizemos que a ênupla ordenada (b1, b2, b3, », bn) é solução de um sistema 
linear quando ela é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, 
quando satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.
Veja alguns exemplos.
	a) O par ordenado (5, 1) é solução do sistema linear 
1 5
2 5
x y
x y
2 3 13
3 5 10



, pois 
? 1 ? 5
? 2 ? 5
2 5 3 1 13
3 5 5 1 10



.
	b) O par ordenado (2, 3) não é solução do sistema linear 
1 5
2 5
x y
x y
2 3 13
3 5 10



, pois 
2 2 3 3 13
3 2 5 3 10



? 1 ? 5
? 2 ? =
.
	c) O terno ordenado (1, 3, 22) é solução do sistema linear 
x y z
x y z
x y z
2 3 1
4 3
6





1 1 5
2 2 5
1 2 5
, pois 
1 ? 1 ? (2 ) 5
? 2 2 (2 ) 5
1 2 (2 ) 5
1 2 3 3 2 1
4 1 3 2 3
1 3 2 6





.
	d) O par ordenado (0, 2) é solução do sistema linear 2 1 5
2 5 2
x y
x y
3 2
6 2 4



, pois 
2 ? 1 5
? 2 ? 5 2
3 0 2 2
6 0 2 2 4



. 
O par ordenado (1, 5) também é solução desse sistema, pois 
2 ? 1 5
? 2 ? 5 2
3 1 5 2
6 1 2 5 4



.
Graficamente:
•	 cada equação do sistema linear do exemplo a tem duas incógnitas e é repre-
sentada pelos pontos de uma reta do plano;
•	 cada equação do sistema linear do exemplo c tem três incógnitas e é repre-
sentada pelos pontos de um plano do espaço. 
119
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Os métodos da substituição e da adição para resolver
sistemas lineares
Existem diversos métodos algébricos que permitem a resolução de sistemas lineares. No Ensino Fun-
damental, você deve ter estudado o método da substituição e o método da adição para resolver sistemas 
lineares de duas equações lineares com duas incógnitas.
Agora, vamos recordá-los e ampliá-los para resolver sistemas lineares com mais equações lineares e incógnitas.
Junte-se com um colega e reflitam sobre os valores de x que satisfazem cada equação linear dada.
	a) 2x 5 8 	b) 2x 5 0 	c) 0x 5 0 	d) 0x 5 5x 5 4 x 5 0
x pode ser 
qualquer 
número real.
Não existe númeroreal que, multiplicado 
por 0, resulte no 
número 5. 
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Observe:
Em uma equação linear de duas incógnitas 
ax 1 by 5 c, as soluções são os pares 
ordenados (x, y) que satisfazem a equação. 
A representação gráfica de uma equação 
linear de duas incógnitas, em um plano 
cartesiano, é uma reta. Neste plano 
cartesiano, temos a representação da 
equação linear 0,5x 1 y 5 2.
Em uma equação linear de três incógnitas ax 1 by 1 cz 5 d, as soluções 
são os ternos ordenados (x, y, z) que satisfazem a equação. A representação 
gráfica de uma equação linear de três incógnitas, em um espaço cartesiano, é 
um plano. Neste espaço cartesiano, temos a representação da equação linear 
x 2 y 1 z 5 3.
0
2
1
4321
y
x
	24.	Verifique se cada ênupla ordenada é solução do sistema linear dado.
a) (3, 21) e sistema linear 
2 5
1 5
x y
x y
2 5 11
3 6 3



.
	b) (0, 0, 0) e sistema linear 
1 1 5
2 1 5
2 2 5
x y z
x y z
x y z
0
2 3 5 0
4 7 3 0




.
	c) (0, 21) e sistema linear 
2 5
1 5 2
1 5
x y
x y
x y
0
1
3 2




.
Sim.
Sim.
Não.
Atividades Não escreva no livro.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
W
Y
M
 D
e
s
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/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Método da substituição
	a) Considere este sistema linear 2 3 2:
x y
x y
2 3 4 (primeira equação)
5 7 (segunda equação)



2 5 2
1 5
 Vamos determinar o conjunto solu•‹o S desse sistema linear, ou seja, o conjunto for-
mado por todos os pares ordenados de números reais que são solução do sistema.
 Neste exemplo, vamos usar o método da substituição, que consiste em isolar uma 
das incógnitas em uma das equações e, então, substituir a expressão encontrada 
na outra equação, obtendo uma nova equação linear sem essa incógnita.
Quando resolvemos 
um sistema linear 
pelo método da 
substituição e uma 
das equações tem 
alguma incógnita 
com coeficiente 1, 
isolar essa incógnita 
é a escolha mais 
conveniente.
Fique atento
y
4
2
1
0
1
1
2
2
3
3
4
5
5
6
6
26
26
25
25
24
24
23
23
22
22
21
1
22
21
y
4
2
1
0
1
1
2
2
3
3
4
5
5
6
6
26
26
25
25
24
24
23
23
22
22
211
1
22
21
3
4
5
z
43 5 6
2
2
2
2
6
5
4
3
x
120
P3_106a126_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 120P3_106a126_V4_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 120 9/17/20 10:16 AM9/17/20 10:16 AM
 Inicialmente, isolamos uma incógnita de uma das equações. Por exemplo, isolando y na segunda equação 
5x 1 y 5 7 do sistema, obtemos:
5x 1 y 5 7 ~ y 5 7 2 5x
Em seguida, substituímos y por 7 2 5x na primeira equação 2x 2 3y 5 24 do sistema:
2x 2 3(7 2 5x) 5 24 ~ 2x 2 21 1 15x 5 24 ~ 17x 5 17 ~ x 5 1
 Agora, para determinar o valor de y, substituímos x por 1 em uma das equações do sistema. Escolhendo 
a primeira equação, por exemplo, obtemos:
2 ? 1 2 3y 5 24 ~ 23y 5 26 ~ y 5 2
 A solução desse sistema linear é o par ordenado (1, 2) e essa solução é única. Logo, o conjunto solução 
é S 5 {(1, 2)}.
	b) Considere agora este sistema linear 3 3 3:
2 1 5 2
2 1 5
1 2 5
x y z
x y z
x y z
2 3 1
2 0
3 4





 Para resolver esse sistema, podemos inicialmente escolher uma das incógnitas a ser eliminada, para que 
tenhamos um novo sistema linear com apenas duas equações e duas incógnitas. Por exemplo, para elimi-
nar a incógnita y, usando o método da substituição, podemos isolá-la na terceira equação 3x 1 y 2 z 5 4:
3x 1 y 2 z 5 4 ~ y 5 4 2 3x 1 z 
Então, substituímos y por 4 2 3x 1 z nas outras duas equações do sistema dado.
•	 Em 2x 2 3y 1 z 5 21:
2x 2 3(4 2 3x 1 z) 1 z 5 21 ~ 2x 2 12 1 9x 2 3z 1 z 5 21 ~ 11x 2 2z 5 11 
•	 Em x 2 y 1 2z 5 0:
x 2 (4 2 3x 1 z) 1 2z 5 0 ~ x 2 4 1 3x 2 z 1 2z 5 0 ~ 4x 1 z 5 4
 Com as duas equações encontradas, formamos um novo sistema linear 2 3 2:
2 5
1 5
x z
x z
11 2 11
4 4



Agora, resolvendo esse sistema pelo método da substituição, 
chegamos a x 5 1 e z 5 0.
 Então, substituímos x por 1 e z por 0 em uma das equações do sistema. Escolhendo, por exemplo, a equa-
ção 3x 1 y 2 z 5 4 do sistema inicial, obtemos:
3 ? 1 1 y 2 0 5 4 ~ y 5 1 
A solução do sistema linear inicial é o terno ordenado (1, 1, 0). Logo, S 5 {(1, 1, 0)}.
Método da adição
	a) Considere o sistema linear 2 3 2 a seguir:
2 5
1 5
x y
x y
2 4 16
3 2 0



Neste exemplo, vamos usar o método da adição para determinar o conjunto solução S do sistema.
 Inicialmente, observando os coeficientes da incógnita x, optamos por multiplicar ambos os membros da 
primeira equação 2x 2 4y 5 16 por 3 e ambos os membros da segunda equação 3x 1 2y 5 0 por 22. 
Fazemos isso para que, em seguida, ao adicionar membro a membro as duas equações, obtenhamos uma 
nova equação linear sem a incógnita x.
2 5 ?
1 5 ? (2 )
~
2 5
2 2 5
2 5 ~ 5 2
x y
x y
x y
x y
y y
2 4 16 3
3 2 0 2
6 12 48
6 4 0
16 48 3







Observe os coeficientes das incógnitas 
desse sistema linear. Quais incógnitas são 
mais convenientes de se isolar nesse caso?
Reflita
Faça no caderno a resolução desse sistema 
linear 2 3 2 pelo método da substituição e 
verifique que x 5 1 e z 5 0.
ReflitaO exemplo de resolução 
encontra-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
Podemos multiplicar ambos os membros 
de uma equação de um sistema linear 
por qualquer número real diferente de 0.
Fique atento
A incógnita z da primeira equação, as incógnitas x ou y na segunda 
equação ou as incógnitas y ou z na terceira equação. 
Professor, espera-se 
que os estudantes 
indiquem as incógnitas com coeficiente 1 (ou 21). Depois, sugira a eles que façam o isolamento de 
uma das incógnitas que citaram como resposta e comparem com o isolamento de outra incógnita 
que não foi escolhida. Por exemplo, isolando y na 
terceira equação, como na resolução apresentada 
nesta página, obtemos y 5 4 2 3x 1 z; se tivéssemos 
escolhido isolar x nessa equação, obteríamos: 
x 5 
2 1y z4 
3
.
Não escreva no livro.
121
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Agora, substituímos y por 23 em uma das equações do sistema. Escolhendo, por 
exemplo, a segunda equação 3x 1 2y 5 0 do sistema inicial, obtemos:
3x 1 2(23) 5 0 ~ 3x 5 6 ~ x 5 2 
A solução desse sistema linear é o par ordenado (2, 23). Logo, S 5 {(2, 23)}.
	b) Considere agora o sistema linear 3 3 3 a seguir:
1 2 5
1 1 5
2 1 5
x y z
x y z
x y z
2 3 4
6
3 2 11





 Inicialmente, escolhemos uma das incógnitas a ser eliminada para, então, formar um novo sistema linear 
com apenas duas equações com duas incógnitas. Por exemplo, vamos eliminar a incógnita z usando o 
método da adição.
•	 Adicionando as duas primeiras equações, obtemos uma equação sem a incógnita z:
3x 1 4y 5 10
•	 Multiplicamos a segunda equação do sistema inicial por 22 de modo que, ao adicionar a equação ob-
tida e a terceira equação do sistema, vamos obter uma nova equação sem a incógnita z:
1 2 5
1 1 5 ? (2 )
2 1 5
~
1 2 5
2 2 2 5 2
2 1 5
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
2 3 4
6 2
3 2 11
2 3 4
2 2 2 12
3 2 11










Agora, adicionamos a segunda e a terceira equações desse novo sistema:
x 2 3y 5 21
Com as duas equações encontradas, formamos um novo sistema linear 2 3 2:
1 5
2 5 2
x y
x y
3 4 10
3 1



 Agora, resolvendo esse sistema pelo método da adição, chegamos a x 5 2 e y 5 1.
 Então, substituímos x por 2 e y por 1 em uma das equações do sistema. Es-
colhendo, por exemplo, a equação x 1 y 1 z 5 6 do sistema inicial, obtemos:
2 1 1 1 z 5 6 ~ z 5 3
A solução do sistema linear inicial é o terno ordenado (2, 1, 3). Logo, S 5 {(2, 1, 3)}.
	25.	Resolva no caderno cada sistema linear dado. Use o 
método que preferir.
	a) 
x y
x y
5
1



1 5
2 5
	b) 
1 5
1 5
2 0
4 14



x y
x y
	26.	Junte-se com um colega, pensem em situações do 
cotidiano e elaborem problemas que possam ser re-
presentados com cada sistema linear da atividade an-
terior.