Aulas 5 e 6 - Fundamentos da matemática (partes I e II) (1)

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Aulas 5 e 6 - Fundamentos da matemática (partes I e II)
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Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagem. 
 
Meu povo, acabamos a parte de Raciocínio Lógico! Chegou a hora de ver a parte de matemática 
que está sendo cobrado no edital. 
Vamos iniciar com a parte de Conjuntos, ok? 
 
 TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjunto: representa uma coleção de objetos. 
O conjunto de todos os cearenses. 
O conjunto de todos os números naturais. 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. 
É fácil identificar as questões de conjunto que são cobradas em prova. Em todas elas, teremos 
pessoas (ou animais, ou objetos) divididas em grupos sobre determinado critério. E esses grupos 
apresentam elementos em comum, significando que há intersecção entre eles. Também serão 
informadas quantidades relativas a esses grupos. Na solução, consideraremos os grupos como 
conjuntos, em seguida faremos os desenhos deles por meio de círculos, mostrando as intersecções 
entre eles, e acrescentando as quantidades informadas no enunciado. Após isso, efetuaremos 
alguns desenvolvimentos aritméticos simples para encontrarmos a solução da questão. 
Vendo na prática... 
01. Numa turma de 50 alunos, 32 jogam futebol, 20 jogam vôlei, 10 jogam futebol e vôlei. Quantos 
não jogam nem futebol nem vôlei? 
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 
Dica de Resolução: 
Sempre comece pela intersecção! 
 
 
02. Em uma pequena cidade, circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma 
pesquisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, 
e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por cento não leem nenhum dos dois jornais? 
(A) 15% (B) 25% (C) 27% (D) 29% (E) 35% 
 
 
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Mas, e se a questão não apresentar o valor da intersecção dos conjuntos? O que fazer? 
03. Numa classe com 40 alunos, na primeira prova, 28 alunos obtiveram nota acima da média e na 
segunda prova 35. Quantos alunos obtiveram nota acima da média em ambas as provas? 
(A) 13. (B) 23. (C) 28. (D) 35. 
 
04. Uma perfumaria realizou uma pesquisa sobre a preferência dos clientes quanto a dois novos 
perfumes lançados no mercado, para garantir a imparcialidade chamou de perfume A e perfume B. 
Observou-se que: 187 votaram no perfume A, 204 votaram no perfume B e 20 não votaram em 
nenhum dos dois. Sabendo que foram entrevistados 300 clientes, quantos escolheram os dois 
perfumes? 
(A) 91. (B) 103. (C) 111. (D) 147. 
 
Outra forma de cobrança desse assunto é quando temos 3 conjuntos, ao invés de 2. Continuamos 
com a mesma ideia: intersecção entre os 3 conjuntos, ok? 
05. Dos 100 pacientes de um hospital, 52 consomem o medicamento A, 45 consomem o 
medicamento B e 41 consomem o medicamento C. Além disso, 16 consomem A e B, 17 B e C e 20 
consomem A e C. Há pacientes que consomem os três medicamentos. Mas 7 não consomem 
nenhum desses remédios, O numero total de pacientes que consomem apenas um dos 
medicamentos é igual a: 
(A) 47 (B) 53 (C) 56 (D) 60 (E) 63 
 
Vou deixar também um breve resumo contendo algumas operações sobre conjuntos. Vale a pena 
dar uma olhada... 
Já sabemos o conceito de Conjuntos. Precisamos conhecer outros! 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. 
Paulo Henrique é um elemento do conjunto dos cearenses. 
1 é um elemento do conjunto dos números naturais. 
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., 
z. 
Relações de pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. 
 (pertence),  (não pertence) 
2  {0, 1, 2, 5} 
4  {0, 1, 2, 5} 
Relações de inclusão: relacionam um conjunto com outro conjunto. 
 (contém),  (está contido),  (está contido) 
{2, 5}  {0, 1, 2, 5} 
{0, 1, 2, 5}  {2, 5} 
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Subconjunto: diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. 
{2} é subconjunto de {0, 1, 2, 5} 
{0, 1, 2} é subconjunto de {0, 1, 2, 5} 
Também precisamos conhecer operações que podemos ter quando falamos de elementos dos 
conjuntos. 
Operações Exemplos 
União 
( ) 
A  B = 
{x | x  A ou x  B} 
{1, 2, 3}  {2, 5, 8} 
= {1, 2, 3, 5, 8} 
Interseção (  ) A  B = 
{x | x  A e x  B} 
{1, 2, 3}  {2, 5, 8} 
= {2} 
Diferença ( – ) A – B = 
{x | x  A e x  B} 
{1, 2, 3} – {2, 5, 8} 
= {1, 3} 
 
Conjuntos numéricos fundamentais  Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto 
cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados 
conjuntos numéricos fundamentais, a saber: 
Números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } 
Números inteiros Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,... } 
Números 
racionais 
Q = {x | x = p/q com p  Z, q  Z e q ≠ 0} 
2/3, -3/7 
0,001=1/1000 
0,333... = 1/3 
Números 
irracionais 
I = {x | x é uma dízima não periódica} 
π = 3,1415926... 
√ 3 = 1,732050807... 
Números reais R = { x | x é racional ou x é irracional}. 
 
 
 FRAÇÕES E PORCENTAGEM
Chama-se fração todo par a/b de números naturais, com o segundo diferente de zero, onde: 
 O segundo número (b), chamado denominador, indica em quantas partes iguais a unidade foi 
dividida; 
 O primeiro número (a), chamado numerador, indica quantas partes tomamos da unidade; 
 O numerador e o denominador são os termos da fração. 
 
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Podemos ter: 
 Frações próprias: são aquelas em que o numerador é menor que o denominador. 
 Frações impróprias: são aquelas em que o numerador é maior ou igual ao denominador. 
 Frações aparentes: são as frações impróprias em que o numerador é múltiplo do denominador. 
Recordar é viver... 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Quando vamos somar ou subtrair frações pode ocorrer uma das seguintes situações: 
1ª situação: as frações têm denominadores iguais. 
A soma de frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao da 
parcelas e cujo numerador é a soma dos numeradores das parcelas. 
Exemplo: 
 
A diferença entre a duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual 
ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença dos numeradores. 
 
2ª situação: as frações têm denominadores diferentes. 
Quando os denominadores forem diferentes, deve-se reduzir as frações ao mesmo denominador. 
Para tanto, calcula-se o MMC dos denominadores, que será o denominador comum. Após isso, 
divide-se o denominador comum entre cada denominador, multiplicando-se, a seguir, o resultado 
pelo correspondente numerador. 
Exemplo: 
 
 
 
 
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 B) MULTIPLICAÇÃO 
Para multiplicar frações, multiplicamos numerador por numerador e denominador por 
denominador. 
Exemplo: 
 
C) DIVISÃO 
Na divisão de duas frações, conservamos a primeira fração e multiplicamos pela inversa da 
segunda. 
Exemplo: 
 
06. Considere que certo remédio deve ser administrado em doses de 1/6 do frasco em que é 
vendido. Após gastar 5 frascos e meio, quantas doses terão sido administradas? 
(A) 30. (B) 31. (C) 32. (D) 33. (E) 34. 
 
07. Marcia recebeu seu salário e gastou 3/8 no mercado e um quinto do restante com vestuário, e 
ainda lhe sobrou do salário R$ 1400,00. O salário que Marcia recebeu é igual a: 
(A) Um valor menor que R$ 2.500,00 
(B) R$ 2.800,00 
(C) Um valor entre R$ 2.500,00 e R$ 2.750,00 
(D) Um valor maior que R$ 2.800,00 
 
08. Da festa de aniversário de Aline sobraram vários doces, que ela resolveu distribuir entre várias 
pessoas. Considere que Aline deu 1/4 desses doces para sua melhor amiga, distribuiu os 2/3 
restantes para um grupo de amigos e, ainda, sobraram 60 doces. A quantidade total de doces 
distribuídos foi: 
(A) 120. (B) 150. (C) 160. (D) 170. (E) 180. 
 
Um símbolo que aparece bastante em prova, sobretudo em matemática financeira, é o símbolo de 
porcentagem: %. Significa apenas: dividido por 100. 
É isso mesmo! O símbolo % sempre vem depois de um número. Ele quer dizer apenas que este 
número está dividido por 100. 
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Olhem alguns exemplos: 
Ex.1: O aumento dos combustíveis foi de 
15% 
Isso significa que em cada R$100,00 houve um 
acréscimo de R$15,00. 
Ex.2: Foi dado um desconto de 20% em 
todas as mercadorias 
Isso significa que em cada R$100,00 foi dado um 
desconto de R$20,00. 
Ex.3: 11% do seu salário deve ser pago a 
título de contribuição previdenciária” 
de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 
devem ser pagos para a previdência. 
Ex.4: o número de adolescentes grávidas 
cresceu 10% em 2011, em relação ao ano 
anterior” 
para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 
2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 
adolescentes grávidas. 
 
As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões centesimais, percentagem 
ou porcentagem. Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento). Ou 
seja, 
 
Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para obter a taxa unitária, 
basta dividir o numerador por 100. 
 
Agora, Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número 100
x
. 
 
09. Em uma coleção de selos, a quantidade de selos estrangeiros representa 72% da quantidade de 
selos nacionais. Se a coleção tem menos que 80 selos, o número de selos estrangeiros é igual a 
(A) 12. (B) 18. (C) 24. (D) 30. (E) 36. 
 
10. Carlos comprou um produto e pagou R$ 144,00 já incluso um desconto de 20% sobre o preço à 
vista do produto. Se preferisse poderia ter pago o produto após 30 dias da compra com juros de 5% 
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sobre o preço à vista. O valor que Carlos pagaria pelo produto se optasse por pagá-lo após 30 dias 
seria de: 
(A) R$ 151,20 (B) R$ 120,96 (C) R$ 181,44 (D) R$ 189,00 
 
11. Uma escola de Educação Básica atende do 1º ao 9º ano do Ensino Fundamental e da 1ª à 3ª série 
do Ensino Médio.Sabe-se que 65% dos alunos estão matriculados no Ensino Fundamental e que 1/4 
dos alunos estão matriculados na 3ª série do Ensino Médio. Nessas condições, a percentagem de 
alunos matriculados nas outras duas séries do Ensino Médio é : 
(A) 5%. (B) 7,5%. (C) 10%. (D) 12%. (E) 15%. 
 
É isso aí, meu povo! Encerramos aqui o nosso curso! Espero que tenham gostado! 
 
Beijo no papai e na mamãe, 
 
PH 
 
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Exemplo1: Num estudo realizado com 1000 professores constatou-se que 470 possuíam um cargo 
público, 230 possuíam um cargo municipal e 450 não tinham nem cargo público, nem municipal. 
Qual o número de professores que possuem um cargo público e municipal simultaneamente? 
(A) 150. (B) 240. (C) 360. (D) 410. 
 
Exemplo2: Uma prova para candidatos a determinado emprego verificou se eles conheciam 
razoavelmente os idiomas inglês e espanhol. A correção das provas de todos quanto a esse quesito 
indicou que 14 candidatos sabiam inglês, 12 sabiam espanhol, 5 sabiam ambas e 10 não sabiam 
nenhuma. Um dos candidatos colocou uma observação dizendo que sabia francês. Qual era o 
número de candidatos? 
(A) 31. (B) 32. (C) 36. (D) 41. (E) 42. 
 
Exemplo3: Beatriz ganhou duas caixas de bombons, uma grande e uma pequena. Considere que ela 
comeu 2/3 dos bombons da caixa grande mais 7 bombons e ainda sobraram 9. Sabe- se que na caixa 
pequena havia inicialmente
metade dos bombons da caixa grande. Quantos bombons Beatriz ainda 
possui? 
(A) 29 (B) 31 (C) 33 (D) 35 (E) 37 
 
Exemplo4: Mauro gastou 3/8 de seu salário com aluguel e 20% do restante com vestuário e ainda 
restou de seu salário o valor de R$ 1.400,00. O valor que Mauro pagou de aluguel foi de: 
(A) R$ 1.250,00 (B) R$ 1.050,00 (C) R$ 1.235,00 (D) R$ 840,00 
 
Exemplo5: Marcio gastou metade do seu salário e mais R$ 234,00 ficando com 35% do seu salário. O 
valor do salário que sobrou para Marcio foi de: 
(A) R$ 1014,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 546,00 (D) R$ 669,00 
 
Exemplo6: Quero comprar um carro avaliado em R$ 35.000,00. Se eu pagar 3/4 do valor total à vista, 
quanto do carro faltará para pagar? 
(A) R$ 8.000,00 (B) R$ 8.250,00 (C) R$ 8.500,00 
(D) R$ 8.750,00 (E) R$ 9.000,00 
 
 
1 Gabarito: letra A 
2 Gabarito: letra B 
3 Gabarito: letra C 
4 Gabarito: letra B 
5 Gabarito: letra C 
6 Gabarito: letra D 
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Exemplo7: Em uma pequena cidade, circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. 
Uma pesquisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o 
jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por cento não leem nenhum dos dois 
jornais? 
(A) 15% (B) 25% (C) 27% (D) 29% (E) 35% 
 
Exemplo8: Lúcia é dona de uma pequena loja de roupas e, para aumentar as vendas, ela deu um 
desconto excelente em todas as peças da loja. Se ela costumava vender em média 40 peças de 
roupas por dia, e com a promoção esse número subiu 30%, quantas peças de roupa em média Lúcia 
passou a vender? 
(A) 52. (B) 50. (C) 42. (D) 28. (E) 12. 
 
 
 
 
 
7 Gabarito: letra A 
8 Gabarito: letra A 
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