Geo-I-U1

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1
EA
D
Geometria: Conceitos 
Básicos
1. OBJETIVOS
• Rever conceitos básicos sobre noções primitivas e axiomas.
• Identificar e reconhecer ângulos.
• Rever conceitos de paralelismo e perpendicularismo.
• Conceituar polígonos, circunferência, semelhança de 
triângulos e triângulos retângulos.
2. CONTEÚDOS
• Noções e proposições primitivas.
• Segmento, ângulo, triângulo.
• Paralelismo e perpendicularismo.
• Polígonos e circunferência.
© Geometria I4040
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, é importante que 
você leia as orientações a seguir:
1) Tenha sempre à mão o significado dos conceitos explicita-
dos no Glossário e suas ligações pelo Esquema de Concei-
tos-chave para o estudo de todas as unidades deste CRC. 
Isso poderá facilitar sua aprendizagem e seu desempenho.
2) Compreenda que o conhecimento básico de alguns concei-
tos relacionados à Geometria é imprescindível como ferra-
menta facilitadora no aprimoramento do aprendizado.
3) Leia e analise com atenção os conteúdos e os exemplos 
disponíveis nesta unidade, pois eles facilitam o entendi-
mento dos conceitos e das teorias relacionados.
4) Resolva as questões autoavaliativas disponibilizadas no 
final desta unidade, a fim de que você possa aferir seu de-
sempenho. Se você encontrar dificuldades em resolvê-las, 
procure revisar os conteúdos estudados nesta unidade.
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Nesta primeira unidade, revisaremos conceitos básicos de 
Geometria, seus axiomas e noções primitivas, segmentos, ângu-
los, triângulos, polígonos, circunferência, paralelismo, perpendicu-
larismo, semelhança de triângulos e o Teorema de Tales.
Você deve compreender que tais conceitos são fundamen-
tais para um bom entendimento das unidades subsequentes. Fi-
que atento, portanto, às revisões realizadas.
5. NOÇÕES PRIMITIVAS
Conceitos primitivos e postulados
As noções primitivas da Geometria são motivadas informal-
mente e, em geral, por intuição, imaginação ou experiência do co-
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41© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
tidiano. Assim, as noções primitivas são adotadas sem definição. 
São elas: ponto, reta e plano.
O Quadro 1 indica a notação e a representação geométrica 
de cada um destes três conceitos:
Quadro 1 Ponto, reta e plano.
Ponto Letras maiúsculas latinas: A, B, C, ... . P
Reta Letras minúsculas latinas: a, b, c, ... ____________________ r
Plano Letras gregas minúsculas: , ,  
Plano 

Os postulados ou axiomas são aceitos sem demonstração. 
Entre os filósofos gregos antigos, um postulado ou axioma era 
uma afirmação que poderia ser vista como verdadeira, sem ne-
nhuma necessidade de prova.
Postulado da existência
• Existe uma reta e numa reta, bem como fora dela, há infi-
nitos pontos (tantos pontos quantos quisermos).
• Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infini-
tos pontos. 
Posições relativas entre dois pontos
Dados dois pontos A e B, de duas uma: A e B são coincidentes, 
ou A e B são distintos, como podemos ver, a seguir, no Quadro 2:
Quadro 2 Posições relativas entre dois pontos.
A e B são coincidentes A.B (A = B)
A e B são distintos
A.
 .B
(A B)
© Geometria I4242
Posições relativas entre um ponto e uma reta
Dados um ponto P e uma reta r: P pertence a r, ou P não 
pertence a r, como mostrado no Quadro 3, a seguir:
Quadro 3 Posições relativas entre ponto e reta.
O ponto está na reta r __________________ rP P r
O ponto não está na reta r
__________________ r
. P
P r
Pontos colineares são três ou mais pontos que pertencem a 
uma mesma reta (Figura 1). 
Figura 1 A, B, C são pontos colineares e R, S, T são pontos não colineares.
Postulado da determinação
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que 
passa por eles (Figura 2). Escrevemos: (A B, Ar, Br) 
 r = AB

.
Figura 2 Determinação de uma reta AB

.
• Três pontos não colineares determinam um único plano 
que passa por eles (Figura 3). 
Figura 3 Determinação de um plano ABC.
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43© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Postulado da inclusão
• Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, 
então ela está contida no plano (Figura 4). Então, 
( , , , )A B r AB A B r        .
Figura 4 Reta contida em um plano.
Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um 
único ponto comum (Figura 5). A interseção entre as retas é um 
ponto P, ou seja, r s P  .
Figura 5 Intersecção de duas retas r e s.
Retas paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, são coincidentes 
ou coplanares e não têm ponto comum (Figura 6). Podemos escre-
ver: 
( , , ) / /a b a b a b      
Figura 6 Retas paralelas.
© Geometria I4444
Segmento de reta
Dados dois pontos distintos A e B. A reunião desses dois pon-
tos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmen-
to de reta (Figura 7). 
Portanto: 
{ , } { / está entre e }AB A B x x A B 
Figura 7 Segmento de reta AB .
Os pontos A e B são as extremidades do segmento AB , e 
os pontos que estão entre A e B são pontos internos do segmento 
AB .
Se os pontos A e B coincidem (A = B), podemos afirmar que 
o segmento AB é nulo. 
Semirreta
Dados dois pontos distintos A e B (Figura 8), a reunião do 
segmento de reta AB

 com o conjunto dos pontos x, tais que B 
está entre A e x, é chamada semirreta AB

. 
Portanto, { , } { / está entre e x}AB A B x B A 

.
Figura 8 Semirreta AB

.
O ponto A é a origem da semirreta AB

.
Segmentos consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos (Figura 9) se, e somen-
te se, uma extremidade de um deles é também extremidade do outro. 
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45© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 9 AB e BC ; RS e ST são segmentos consecutivos. 
Segmentos colineares
Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, es-
tão em uma mesma reta s. Portanto, os segmentos MN e NP 
(Figura 10) são colineares consecutivos.
Figura 10 Segmentos colineares.
Segmentos adjacentes
Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, 
e somente se, apresentam em comum apenas uma extremidade 
(não têm pontos internos comuns). Portanto, os segmentos MN e 
NP (Figura 11) são colineares consecutivos adjacentes, pois têm 
em comum apenas o ponto N.
Figura 11 Segmentos adjacentes.
Ponto médio de um segmento
Um ponto M é ponto médio do segmento AB se, e somente se:
• M está entre A e B;
• AM MB .
Na Figura 12, se MAB, e M é ponto médio de AB, então 
AM MB . Observe que a medida do segmento 2,88 AM cm é 
igual à medida do segmento 2,88 MB cm .
© Geometria I4646
Figura 12 Ponto médio de um segmento.
Medida de um segmento – comprimento
A medida de um segmento AB será indicada por m(AB) ou 
simplesmente AB . A medida de um segmento (não nulo) é um 
número real positivo associado ao segmento.
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos distintos A e B (Figura 13), a distância en-
tre A e B (indicada por ,A Bd ) é o comprimento AB ou qualquer 
segmento congruente a AB ou, ainda, a medida (número, compri-
mento) do segmento AB .
Figura 13 Distância entre dois pontos ,A Bd .
Veja alguns exemplos de aplicações dos conceitos estudados 
anteriormente.
Exemplo 1
No esquema da Figura 14 a seguir, determine PQ , sendo 
31AB  ; 1AP x  ; 2AQ x e 1QB x  .
Figura 14. 
Para resolvermos a questão, é preciso determinar o valor de 
x. Para isso, devemos observar na Figura 14 que AB AQ QB  . 
Então, temos: 
31 2 1 31 1 3 10AB AQ QB x x x x          
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47© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Como 2AQ x , e 1AP x  , podemos afirmar que 
2 ( 1) 1PQ AQ AP PQ x x PQ x         .
Portanto: 1 10 1 11PQ x     .
Exemplo 2
No esquema da Figura 15 a seguir, determine o segmen-
to AB , sendo M ponto médio de AB , AM x , 7BP x  e 
4 5AP x  . 
Figura 15.
Para resolvermos a questão, é preciso determinar o valor de 
x, observandoque, na Figura 15, se M é ponto médio de AB , então 
AM MB . Se AM x , 2AB x e, como AP BP AB  , temos: 
4 5 7 2 12AP BP AB x x x x        
Como 2AB x , temos que 2 (12) 24AB    .
Exemplo 3
P, Q e R são três pontos distintos, nesta ordem, de uma reta 
qualquer. Se o comprimento de PQ é igual a um terço de QR e 
12 PR cm , determine as medidas dos segmentos PQ e QR .
Para resolvermos a questão, é preciso determinar o valor do 
segmento QR ou do segmento PQ . Para isso, devemos observar 
se P, Q e R são três pontos distintos de uma reta, conforme o es-
quema da Figura 16: 
Figura 16. 
© Geometria I4848
Assim, PR PQ QR  . Como PQ é igual a um terço de 
QR , então 
1 .
3
PQ QR . Se substituirmos PQ na equação 
PR PQ QR  , obteremos:
1 312 4 36 9 
3 3
QR QRPR QR QR QR QR cm       
Então, 
____
9 cm QR  e 
____ ____ ____ ____1 1 . 9 3cm 
3 3
PQ QR PQ PQ     .
6. ÂNGULOS E TRIÂNGULOS
Faremos, a seguir, uma revisão dos conceitos e definições de 
ângulos e triângulos.
Ângulos
Denomina-se ângulo à reunião de duas semirretas de mes-
ma origem, não contidas numa mesma reta (não colineares). Na 
Figura 17, AOB OA OB 
 
.
Figura 17 Ângulo AÔB .
As semirretas OA

 e OB

 são os lados do ângulo.
O interior do ângulo AÔB (Figura 18) é a intersecção de dois 
semiplanos abertos, a saber: 
• 1 com origem na reta OA

 e que contém o ponto B. 
• 1 com origem na reta OB

 e que contém o ponto A. 
Portanto, o interior de  1 1AOB    .
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49© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 18 Interior do ângulo AÔB .
Os pontos do interior de um ângulo são pontos internos ao 
ângulo. O exterior do ângulo AÔB é o conjunto dos pontos que 
não pertencem ao ângulo AÔB , nem ao seu interior.
Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de 
um deles é também lado do outro (possuem um lado comum). 
Então, na Figura 19, AÔB e AÔC são ângulos consecutivos e OA

 
é lado comum.
Figura 19 Ângulos consecutivos.
Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, 
não têm pontos internos comuns. Na Figura 20, AÔB e BOC são 
ângulos adjacentes. Note que OB

 é lado comum, e os ângulos 
AÔB e BOC não possuem pontos internos comuns. 
© Geometria I5050
Figura 20 Ângulos adjacentes.
Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os 
lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos la-
dos do outro. Na Figura 21, OA

 e OC

, OB

 e OD

 são semirretas 
opostas e, portanto, AÔB e COD são ângulos opostos pelo vér-
tice, assim como AÔD e BOC .
Figura 21 Ângulos opostos pelo vértice.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (possuem 
a mesma medida), ou seja,  AOB COD e  AOD BOC .
Bissetriz de um ângulo
Uma semirreta OC

 interna a um ângulo AÔB é bissetriz do 
ângulo (Figura 22) se, e somente se, AÔC BÔC .
Figura 22 Bissetriz de um ângulo.
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A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, 
com origem no vértice do ângulo e dividindo-o em dois ângulos 
congruentes.
Ângulo suplementar adjacente
Dado o ângulo AÔB , a semirreta OC

 oposta à semirreta 
OA

 e a semirreta OB

 determinam um ângulo BOC , que se 
chama ângulo suplementar adjacente (Figura 23), ou suplemento 
adjacente de AÔB . A soma de dois ângulos suplementares 
adjacentes resulta sempre 180o. Então,   180ºAOB BOC  . 
Figura 23 Ângulo suplementar adjacente.
Ângulos reto, agudo e obtuso – medida
Ângulo reto
Ângulo reto é todo ângulo congruente a seu suplementar 
adjacente. Na Figura 24, a seguir, AÔB é um ângulo reto.
Figura 24 Ângulo reto.
© Geometria I5252
Ângulo agudo
Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto. Na 
Figura 25, AÔB é um ângulo agudo.
Figura 25 Ângulo agudo.
Ângulo obtuso
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto. O 
ângulo AÔB da Figura 26 é um ângulo obtuso.
Figura 26 Ângulo obtuso.
Região convexa
Um conjunto de pontos  é convexo (ou é uma região con-
vexa) se, e somente se, dois pontos distintos quaisquer A e B de  
são extremidades de um segmento AB contido em  .
Veja que, na Figura 27, temos uma região convexa, pois 
AB   :
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53© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 27 Região convexa.
Em contrapartida, na Figura 28, vemos uma região não con-
vexa, pois AB   .
Figura 28 Região não convexa.
Medida de um ângulo – amplitude
A medida de um ângulo AÔB é indicada por m( AÔB ) e cor-
responde a um número real positivo associado ao ângulo. À medi-
da de um ângulo dá-se o nome de amplitude do ângulo.
Unidades de medida de ângulos
Um ângulo reto tem 90 graus (90o). A medida de um ângulo 
agudo é menor que 90°, e a de um ângulo obtuso é maior que 90°.
Ângulo de medida um grau (1o) é o ângulo submúltiplo se-
gundo 90 (noventa) de um ângulo reto. Assim, 1º
90
ângulo reto
 . 
Ângulo de medida um minuto (1') é o ângulo submúltiplo 
segundo 60 (sessenta) do ângulo de um grau, ou seja, 11'
60

 . Um 
grau tem, portanto, 60 minutos (60’).
© Geometria I5454
Ângulo de um segundo (1'') é o ângulo submúltiplo segundo 
60 (sessenta) do ângulo de um minuto, ou seja, o ângulo de um 
segundo = 1'1''
60
 . Portanto, um minuto tem 60 segundos (60’’).
Ângulos complementares e ângulos suplementares
Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma 
de suas medidas é 90o. Um deles é o complemento do outro. 
Então,   90ºAOB BOC  . Podemos afirmar que AÔB é o com-
plemento de BOC . Assim, 70° é o complemento de 20°, pois 
70 20 90º    . 
Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma 
de suas medidas é 180o. Um deles é suplemento do outro. Então, 
  180ºAOB BOC  . Podemos afirmar que AÔB é o suplemento 
de BOC . Assim, 70° é o suplemento de 110°, pois 70 110 180º    . 
Ângulo nulo e ângulo raso
No ângulo nulo, os lados são coincidentes (0o). No ângulo 
raso, os lados são semirretas opostas (180o).
Portanto, a medida  de um ângulo é tal que 0 180    .
Veja alguns exemplos de aplicações dos conceitos estudados 
anteriormente.
Exemplo 1
Determine o valor de x no esquema da Figura 29.
4x-250
x
Figura 29. 
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Para resolver este exercício, devemos observar que o maior 
ângulo é reto, então, podemos escrever: 
4 25º 90º 5 90º 25º 23ºx x x x       
Exemplo 2
Determine o valor de x no esquema da Figura 30.
Figura 30.
Para resolver este exercício, devemos observar que o maior 
ângulo é um ângulo raso (180o), então, podemos escrever: 
35º 90º 180º 55ºx x    
Exemplo 3
Determine o valor de â no esquema da Figura 31. 
Figura 31.
Para resolver este exercício, devemos observar que ângulos 
opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma 
medida. 
Assim, temos: 2x y x y   , 4 2x y a  e 
4 2 2 180ºx y x y    . Simplificando esta última expressão, ob-
© Geometria I5656
temos: 2 60ºx y  . Simplificando a primeira expressão, obte-
mos: 2 2x y x y x y     .
Agora, substituímos 2x y na expressão 2 60ºx y  , ob-
tendo: 2(2 ) 60º 4 60º 20ºy y y y y       .
Substituindo 20ºy  na expressão 2x y , obtemos 
2(20º ) 40ºx   .
Portanto, 20ºy  e 40ºx  . Substituindo esses valores 
na expressão 4 2x y a  , obtemos 4(40º ) 2(20º ) a  , o que 
resulta 120ºa  . 
Exemplo 4
Se OP

é bissetriz de AÔB , determine AÔB na Figura 32, a 
seguir. 
Figura 32.
Se OP

 é bissetriz de AÔB , então AÔP PÔB , e podemos 
escrever que 3 5 2 10 15x x x      . 
Neste caso, se 15ºx  , podemos escrever que o ângulo 
  AOB AOP POB  , o que resulta  3 5 2 10AOB x x    . Então, 
 5 5 5(15º ) 5º 80ºAOB x     . 
Exemplo 5
Dado um ângulo de medidax, indique:
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57© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
a) o seu complemento:  90º x ; 
b) o seu suplemento:  180º x ;
c) o triplo do seu complemento: 3 (90º )x  ;
d) o complemento do triplo:  90º 3x ;
e) a terça parte do seu suplemento:  180º
3
x ; 
f) o suplemento da terça parte: 180º
3
x  
 
;
g) o complemento da quarta parte do dobro do suplemen-
to: 180º90º 2
4
x   
 
.
Exemplo 6
Dois ângulos são suplementares e a razão entre o comple-
mento de um e o suplemento do outro, nesta ordem, é 1/8. Deter-
mine estes ângulos. 
Para resolver este exercício, fazemos 180ºx y  e 
90º 1
180 8
x
y



. Em seguida, isolamos y na primeira equação, obten-
do 180ºy x  , e o substituímos na segunda expressão, para ob-
termos 80ºx  e 100ºy  .
Triângulos
Definição: dados três pontos A, B e C não colineares, à reu-
nião dos segmentos AB , AC e BC chama-se triângulo ABC (Fi-
gura 33). 
Indicamos: triângulo ABC = ABC e ABC AB AC BC    .
Elementos do triângulo:
• vértices: os pontos A, B e C;
• lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida 
b) e BC (de medida a);
© Geometria I5858
• ângulos: BÂC ou  , ABC ou B e ACB ou C ;
• os lados BC , AC e AB , e os ângulos  , B e C são, 
respectivamente, opostos a cada lado.
Figura 33 Triângulo ABC.
Classificação dos triângulos
Quanto aos lados
Equilátero
É o triângulo que possui três lados e três ângulos congruen-
tes. Todo triângulo equilátero é também um equiângulo, ou seja, 
possui três ângulos congruentes e iguais a 60o (Figura 34).
Figura 34 Triângulo ABC equilátero.
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59© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Isósceles
Possui dois lados congruentes e os ângulos da base também 
congruentes. Os lados congruentes opõem-se aos ângulos con-
gruentes (Figura 35). 
Figura 35 Triângulo ABC isósceles.
Escaleno
Possui dois quaisquer de seus lados não congruentes, ou 
seja, os três lados possuem medidas diferentes (Figura 36). 
Figura 36 Triângulo ABC escaleno.
Quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, os triângulos classificam-se em retân-
gulos, acutângulos e obtusângulos (Figura 37).
• retângulos: têm um ângulo reto (= 90o);
• acutângulos: têm os três ângulos agudos (< 90o);
• obtusângulos: têm um ângulo obtuso (> 90o). 
© Geometria I6060
Figura 37 Triângulos ABC: retângulo, acutângulo e obtusângulo. 
Congruência de triângulos
Um triângulo é congruente (símbolo  ) a outro se, e somen-
te se, for possível estabelecer uma correspondência (Figura 38) 
entre seus vértices, de modo que: 
• seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do 
outro. Portanto, ´ ´AB A B , ' 'AC A C e ' 'BC B C .
• seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângu-
los do outro, ou seja,   'A A ,  'B B e  'C C .
Figura 38 Triângulo ABC congruente ao triângulo A'B'C'. 
Casos de congruência de triângulos
1o Caso – LAL – postulado
Se dois triângulos (Figura 39) têm, ordenadamente, con-
gruentes dois lados AB e ' 'A B e AC e ' 'A C e o ângulo com-
preendido entre eles (A e A’, respectivamente), então os triângulos 
ABC e A’B’C’ são congruentes. 
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Figura 39 Triângulo ABC congruente ao triângulo A'B'C'.
Teorema do triângulo isósceles
Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são con-
gruentes.
2o Caso – ALA – postulado
Se dois triângulos (Figura 40) têm ordenadamente congruen-
tes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triân-
gulos são congruentes.
Figura 40 Triângulo ABC congruente ao triângulo A'B'C'. 
Recíproca do teorema do triângulo isósceles
Se um triângulo apresenta dois ângulos congruentes, então 
esse triângulo é isósceles.
3o Caso – LLL – postulado
Se dois triângulos (Figura 41) têm ordenadamente congruen-
tes os três lados, então esses triângulos são congruentes.
© Geometria I6262
Figura 41 Triângulo ABC congruente ao triângulo A'B'C'.
4o Caso – LAAo – postulado
Se dois triângulos (Figura 42) têm ordenadamente congruen-
tes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, 
então esses triângulos são congruentes.
Figura 42 Triângulo ABC congruente ao triângulo A'B'C'.
Caso especial de congruência de triângulos retângulos
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente con-
gruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são 
congruentes.
Mediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades 
num vértice e no ponto médio do lado oposto. Então, no triângulo 
ABC (Figura 43), se o ponto M é ponto médio do segmento BC , 
temos que BM MC . Logo, o segmento AM é mediana relativa 
ao lado BC ou AM é mediana relativa ao vértice A.
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Figura 43 Mediana relativa ao BC .
Bissetriz interna de um triângulo
É o segmento, com extremidades num vértice e no lado 
oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos con-
gruentes.
No triângulo ABC (Figura 44), S BC ,  S AB S AC . Logo, 
AS é bissetriz relativa ao lado BC ou AS é bissetriz relativa ao 
vértice A.
Figura 44 Bissetriz relativa ao BC .
Teorema do ângulo externo
Dado um ABC (Figura 45) e sendo CX

 a semirreta oposta 
à semirreta CB

, o ângulo e ACX é o ângulo externo do ABC 
adjacente ao ângulo C e não adjacente aos ângulos A e B . O ân-
gulo ê (externo) é o suplementar adjacente do ângulo C .
© Geometria I6464
Teorema: um ângulo externo de um triângulo é maior do 
que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
O ângulo externo ê é igual à soma dos ângulos internos não 
adjacentes, ou seja,  e A B  .
Figura 45 Ângulo externo.
Desigualdades nos triângulos
1) Ao lado maior de um triângulo qualquer se opõe o maior 
ângulo. Se dois lados de um triângulo não são congruen-
tes, então os ângulos opostos a eles não são congruen-
tes e o maior deles está oposto ao maior lado.
2) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado, se dois ângulos 
de um triângulo não são congruentes, então os lados 
opostos a eles não são congruentes e o maior deles está 
oposto ao maior lado.
3) Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença 
dos outros dois.
4) Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, 
devemos ter as três condições: a b c  , b a c  e 
c a b  b c a b c     .
Veja alguns exemplos de aplicações dos conceitos estudados 
anteriormente.
Exemplo 1
Se o triângulo ABC é isósceles de base BC , determine BC , 
sendo 3 10AB x  , 2 6BC x  e 4AC x  .
Claretiano - Centro Universitário
65© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Para resolver este problema, devemos considerar que, se a 
base do triângulo é BC e o triângulo é isósceles, então:
3 10 4 7AB AC x x x      
Portanto, 2 (7) 6 20BC     .
Exemplo 2
Se o ABC é isósceles de base BC , determine x e y.
Figura 46.
Se o triângulo ABC é isósceles de base BC, então
ˆABC y . Logo: 45º 180ºy x   e 2 40º 180ºx y   . Portanto, 
2 40º 45ºx y y x     , o que resulta em 85ºx  e 50ºy  .
Exemplo 3
Na Figura 47, o triângulo CBA é congruente ao triângulo 
CDE. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros des-
ses triângulos, sabendo que 35AB  , 2 6AC x  , 22CE  e 
3 5DE y  .
© Geometria I6666
Figura 47.
Se o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE, en-
tão é possível afirmar que 35 3 5 10AB DE y y      e 
2 6 22 8AC CE x x      . Se os triângulos são congruen-
tes, a razão entre os seus perímetros é 1.
Exemplo 4
Na Figura 48, o triângulo PDC é congruente ao triângulo PAB. 
Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triân-
gulos PCA e PBD, sabendo que 15AB  , 5CD x  , 2 17AP y  , 
3 2PD y  e PC PB .
Figura 48.
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67© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Se o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA, en-
tão é possível afirmar que 15 5 10AB DC x x     e 
2 17 3 2 19PA PD y y y       . Finalmente, se os triângu-
los são congruentes, a razão entre os seus perímetros é 1.
7. PARALELISMO E PERPENDICULARISMO
Vamos estudar algumas particularidades e conceitos de re-
tas paralelas e perpendiculares.
Paralelismo
Duas retas são paralelas (Figura 49) (símbolo: //) se, e so-
mente se:
• são coincidentes (iguais); ou
• são coplanares e não têm nenhum ponto comum.
Então, ( , , ) / /a b a b a b      :
Figura 49 Retas paralelas.
Sejam a e b duas retas distintas, paralelas, e t uma reta trans-
versal concorrente com a e b (Figura 50):
Figura 50 Retas paralelas interceptadas por uma transversal.
© Geometria I6868
• Os pares de ângulos 3 e 5, 4 e 6 recebem o nome de al-
ternos internos.
• Os pares de ângulos 1 e 7, 2 e 8 recebem o nome de al-
ternos externos.
• Os pares de ângulos 3 e 6, 4 e 5 recebem o nome de co-
laterais internos.
• Os pares de ângulos 1 e 8, 2 e 7 recebem o nome de cola-
terais externos.
Existência da paralela
Se duas retas coplanares distintas e uma transversal deter-
minam ângulos alternos (ou ângulos correspondentes destacados 
na Figura 51) congruentes, então essas duas retas são paralelas 
(Figura 51).
Figura 51 Retas paralelas.
Unicidade da paralela – postulado de Euclides
A unicidade da reta paralela a uma reta dada é o postulado 
de Euclides (300 a.C.) ou postulado das paralelas que caracteriza a 
Geometria Euclidiana. "Por um ponto passa uma única reta parale-
la a uma reta dada" (BRASIL ESCOLA, 2013). 
Recíproco: se duas retas paralelas distintas interceptam uma 
transversal, então os ângulos alternos (ou os ângulos correspon-
dentes) são congruentes. 
Claretiano - Centro Universitário
69© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Ângulo externo
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma 
dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Hipótese: ê é ângulo externo adjacente a Ĉ .
Tese:  ê A B 
Demonstração: por Ĉ conduzimos a reta CD

 paralela à reta 
AB

, determinando os ângulos a e b̂ caracterizados na Figura 52.
Figura 52 Ângulo externo.
Então, 
ˆ/ /AB CD a A 
 
 (ângulos alternos) e 
ˆ/ /AB CD b B 
 
 (ângulos correspondentes). 
Somando as duas relações, obtemos: 
   ˆâ b A B ê A B     
Soma dos ângulos de um triângulo
A soma dos ângulos de qualquer triângulo (Figura 53) é igual 
a dois ângulos retos. 
Hipótese: ABC é um triângulo.
Tese: ˆ ˆˆ 2 ângulos retosA B C   . 
Demonstração: sendo ê o ângulo externo adjacente a Ĉ , e 
aplicando o teorema do ângulo externo, temos: 
© Geometria I7070
Figura 53 Teorema do ângulo externo.
• ê e Ĉ são ângulos suplementares  180ê C    .
• Teorema anterior ˆ ˆê A B   .
• Resulta ˆ ˆˆ 180A B C     .
Ângulos de lados paralelos
Dois ângulos (Figura 54) de lados, respectivamente, parale-
los são congruentes ou suplementares. 
Figura 54 Ângulos de lados paralelos.
Verificamos que: ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ , , a c b c a b   , o que corresponde a 
escrever que ' ', ' 180 , ' 180a b a b a b       .
Veja alguns exemplos de aplicações dos conceitos estudados 
anteriormente. 
Exemplo 1 
No esquema da Figura 55, as retas r e s são paralelas. Deter-
mine o valor de x e y.
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71© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 55.
Como r e s são retas paralelas interceptadas por uma trans-
versal, podemos afirmar que 2 30º 150ºx   , pois são ângulos al-
ternos externos. Neste caso, 60ºx  e y é o seu complemento, o 
que resulta 150º 180º 30ºy y    .
Exemplo 2
No esquema (Figura 56), as retas r e s são paralelas. Deter-
mine o valor de x e y.
Figura 56.
Como r e s são retas paralelas interceptadas por uma trans-
versal, podemos afirmar que 3 20º 10ºx y   , pois são ângulos 
opostos pelo vértice, e que 2 3 20ºx x  , pois são ângulos alter-
nos internos, o que determina 20ºx  . Substituindo x na equação 
3 20º 10ºx y   , obtemos 30ºy  .
Exemplo 3
No esquema (Figura 57), as retas r e s são paralelas intercep-
tadas por uma transversal. Determine o valor de x e y.
© Geometria I7272
Figura 57. 
Como r e s são retas paralelas interceptadas por uma transver-
sal, podemos afirmar que 8 9ºx y  , pois são ângulos correspon-
dentes, e que 17 9º 180ºy x   , pois são ângulos suplementares. 
Substituindo 8 9ºy x  na equação 17 9º 180ºy x   , obtemos: 
8 9º 17 9º 180º 25 180º 7,2ºx x x x       
Substituindo 7,2ºx  na equação 8 9ºy x  , obtemos: 
8 (7,2º ) 9º 66,6ºy     .
Exemplo 4
No esquema (Figura 58), as retas r e s são paralelas intercep-
tadas por uma transversal. Determine o valor de x e y.
Figura 58.
Como r e s são retas paralelas interceptadas por uma trans-
versal, podemos afirmar que 3 10ºx y  , pois são ângulos alter-
nos internos, e que 90º 2 180ºy x   , pois os três ângulos são 
suplementares.
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73© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Substituindo a equação 3 10ºx y  na equação 
90º 2 180ºy x   , obtemos: 
3 10 90 2 180 5 100 20x x x x          
Substituindo 20ºx  na equação 3 10ºx y  , obtemos: 
3.(20º ) 10º 50ºy    .
Exemplo 5
A soma dos quatro ângulos agudos formados por duas retas 
paralelas cortadas por uma reta transversal é igual a 80°. Determi-
ne o ângulo obtuso.
Neste caso, devemos nos lembrar de que os ângulos agudos 
formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transver-
sal são todos congruentes, pois são opostos pelo vértice ou cor-
respondentes. Considerando x o ângulo agudo, podemos escrever: 
4 80º 20ºx x   , ou seja, cada ângulo agudo possui medida 
20º .
Lembrando que o ângulo obtuso y é o suplemento do ângulo 
agudo x, escrevemos: 180ºx y  .
Como o ângulo agudo mede 20º , temos: 
20º 180º 160ºy y    .
Exemplo 6
Na Figura 59, temos os ângulos â e b̂ de lados, respectiva-
mente, paralelos. Sendo ˆ 8a x e ˆ 2 30ºb x  , determine o su-
plemento de b̂ .
Figura 59.
© Geometria I7474
Neste caso, devemos nos lembrar de que os ângulos agudos 
ˆ e b̂ são congruentes, pois são correspondentes. Podemos escre-
ver, então, que ˆâ b . Assim, 8 2 30º 6 30º 5ºx x x x      . 
Substituindo x na equação ˆ 8a x , obtemos ˆˆ 8 (5º ) 40ºa b    .
Se chamarmos de ẑ o suplemento do ângulo b̂ , podemos 
escrever: ˆ ˆ 180ºb z  .
Como ˆ 40ºb  , então:
ˆ ˆ ˆ40º 180º 180º 40º 140ºz z z      
Portanto, o suplemento de b̂ é ˆ 140ºz  .
Perpendicularidade
Retas perpendiculares
Duas retas são perpendiculares (Figura 60) (símbolo  ) se, 
e somente se, são concorrentes e formam ângulos adjacentes su-
plementares congruentes.
Figura 60 Retas perpendiculares.
Portanto, ( ) { }a b a b P    e  1 1 1 2a Pb a Pb , em que 1a 
e 2a são semirretas de a, com origem em P; 1b e 2b são semirretas 
opostas de b, com origem em P.
Consequências:
• Duas semirretas são perpendiculares se, e somente se, 
estão contidas em retas perpendiculares e têm um ponto 
comum.
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75© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
• Dois segmentos de reta são perpendiculares se, e somen-
te se, estão contidos em retas perpendiculares e têm um 
ponto comum.
Retas oblíquas
Se duas retas são concorrentes e não são perpendiculares, 
diz-se que estas retas são oblíquas. De outra forma, se { }r s P  
e r não é perpendicular a s, então r e s são oblíquas.
Unicidade da perpendicular
• Em um plano, por um ponto P de uma reta r existe uma 
única reta s perpendicular a r.
• Por um ponto P fora de uma reta r passa uma única reta s 
perpendicular a r.
Altura de um triângulo
Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à 
reta suporte de um lado do triângulo com extremidades nesta reta 
e no vértice oposto ao lado considerado.
• Nas Figuras 61 e 62, H é a intersecção do segmento BC 
com o segmento perpendicular AB . 
• AH é a altura relativa ao lado BC , ou AH é a altura 
relativa ao vértice A e H é dito péda altura.
A altura de um triângulo retângulo (Figura 61) é o próprio 
cateto. No triângulo retângulo ABC, AH é a altura relativa ao lado 
BC .
Figura 61 Altura de um triângulo retângulo.
© Geometria I7676
No triângulo acutângulo ABC (Figura 62), AH é a altura re-
lativa ao lado BC .
Figura 62 Altura de um triângulo acutângulo.
No triângulo obtusângulo ABC (Figura 63), AH é a altura re-
lativa ao lado BC . Observe que esta altura é externa ao triângulo.
Figura 63 Altura de um triângulo obtusângulo.
Mediatriz de um segmento
A mediatriz m de um segmento AB (Figura 64) é a reta 
perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio M. Portanto, 
AM MB .
Figura 64 Mediatriz de um segmento AB de comprimento 6 cm.
Projeção de um ponto sobre uma reta
Chama-se projeção ortogonal (ou projeção) de um ponto P 
sobre uma reta r ao ponto de intersecção da reta com a perpendicu-
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77© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
lar a ela conduzida por aquele ponto (Figura 65). P' é a projeção de 
P sobre a reta r e, neste caso, temos 'PP r

 e ' { '}PP r P 

, em 
que P’ é o pé da perpendicular à reta r conduzida por P. Se rP , 
então P' = P.
Figura 65 Projeção de um ponto P sobre a reta r. 
Projeção de um segmento sobre uma reta
A projeção de um segmento de reta AB (Figura 66) não 
perpendicular a uma reta r sobre esta reta é o segmento de reta 
' 'A B , em que A' é a projeção de A sobre r e B' é a projeção de B 
sobre r.
Figura 66 Projeção de um segmento AB sobre a reta r.
Distância entre um ponto e uma reta
A distância de um ponto a uma reta (Figura 67) é a distância 
desse ponto à projeção dele sobre a reta. A distância entre P e r é 
a distância entre P e P', em que P' é a projeção de P sobre a reta r. 
Então, podemos escrever , , 'P r P Pd d . 
© Geometria I7878
Figura 67 Distância de um ponto P a uma reta r.
Distância entre duas retas paralelas
A distância entre duas retas paralelas (Figura 68) é a distân-
cia entre um ponto qualquer de uma delas a outra reta. Se duas 
retas distintas são paralelas, os pontos de uma delas estão à igual 
distância (são equidistantes) da outra.
Demonstração: de fato, sendo r e s duas retas paralelas e 
distintas, tomando dois pontos distintos A e B em r, vamos provar 
que , ,A s B sd d .
 
Figura 68 Distância de uma reta r a uma reta s, paralela.
• Os ângulos  e Â' são colaterais e, sendo Â' reto, conclui-se 
que  é reto.
• Considerando os triângulos AA'B e BB'A', verificamos que:
• 'A B (lado comum); 
•  ' ' 'A BA BA B (alternos). 
Logo, pelo caso de congruência de triângulos oLAA , concluí-
mos que: 
• , ,' ' ' ' ' A s B sA AB BB A AA BB d d      
•  'A B  (retos)
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79© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Propriedade dos pontos da mediatriz
Todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante 
das extremidades do segmento. Esta propriedade pode ser obser-
vada na Figura 69, em que PA PB .
Figura 69 Propriedade da mediatriz.
Propriedade dos pontos da bissetriz
Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante dos la-
dos do ângulo. Portanto, na Figura 70, , ,P a P bd d e , ,Q a Q bd d .
Figura 70 Propriedade da bissetriz.
Veja alguns exemplos de aplicações dos conceitos estudados 
anteriormente. 
Exemplo 1 
Sendo AH a altura relativa ao lado BC do ABC (Figura 
71), determine B e C nos casos:
© Geometria I8080
Figura 71.
Para resolver este problema, devemos nos lembrar de que 
o ângulo ˆAHB é reto e, portanto, no triângulo AHB a soma dos 
ângulos internos resulta 180o.
Então, ˆ ˆ22,9º 90º 180º 67,1ºB B     .
A mesma propriedade vale para o triângulo AHC, em que o 
ângulo ˆAHC é reto e, portanto, a soma dos ângulos internos re-
sulta 180o.
Concluímos que: ˆ ˆ50,5º 90º 180º 39,5ºC C     .
Exemplo 2
Determine o valor de x na Figura 72.
Figura 72.
Para resolver este problema, devemos nos lembrar de que 
o ângulo ˆABC é reto e, portanto, no triângulo ABC a soma dos 
ângulos internos resulta 180o.
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81© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Então, ˆ ˆ30º 90º 180º 60ºC C     .
A mesma propriedade vale para o triângulo CDE, em que o 
ângulo ˆCDE é reto, o ângulo agudo ˆ 60ºC  , pois é oposto pelo 
vértice, e a soma dos ângulos internos resulta 180o.
Logo: ˆ ˆ60º 90º 180º 30ºE E x      . 
Exemplo 3
No triângulo ABC (Figura 73), AH é altura e AS é bissetriz 
relativa ao lado BC do triângulo ABC. Se  70B   e ˆ 15HAS   , 
determine C .
Figura 73.
Para resolver este problema, devemos nos lembrar de que no 
triângulo AHB, o ângulo ˆAHB é reto, pois AH é altura,  70B   e, 
portanto, o ângulo ˆ 20HAB   .
No triângulo AHS, o ângulo ˆ 15HAS   . Como o segmento 
AS é bissetriz, vemos que no triângulo ASC o ângulo ˆ 35SAC   , 
pois, por ser o segmento AS uma bissetriz, divide o ângulo ˆBAC 
em dois outros ângulos: ˆ ˆ 35BAS SAC   . 
Para finalizar, no triângulo AHS, o ângulo ˆ 90ºAHC  , o ân-
gulo ˆ ˆ ˆ 15º 35º 50ºHAC HAS SAC     e, portanto, o ângulo 
ˆ ˆ90º 50º 180º 40ºACH ACH     .
© Geometria I8282
8. POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIA
Estudaremos a seguir algumas importantes propriedades e 
conceitos sobre polígonos e circunferência.
Quadriláteros
Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos 
distintos e três não colineares. Se os segmentos AB , BC , CD e 
DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses 
quatro segmentos é um quadrilátero (Figura 74).
Figura 74 Quadrilátero ABCD.
No quadrilátero ABCD AB BC CD DA    , AB , BC , 
CD e DA são lados;  A DAB ,  B ABC ,  C BCD e  D CDA 
são ângulos e AC e BD são diagonais do quadrilátero ABCD.
Um quadrilátero possui 2 diagonais e a soma dos ângulos 
internos e externos é 360o.
Quadriláteros notáveis
Um quadrilátero plano convexo é trapézio se, e somente se, 
possui dois lados paralelos.
Um quadrilátero ABCD é trapézio se, e somente se, / /AB CD 
ou / /AD BC , e os lados paralelos são as bases do trapézio. De 
acordo com os outros dois lados não paralelos, vemos, na Figura 
75, os diversos tipos de trapézios: 
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83© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
 
Figura 75 Trapézios isósceles, escaleno, retângulo e escaleno.
Propriedades dos trapézios
• Em qualquer trapézio a soma dos ângulos internos é 360o.
• Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são 
congruentes.
• As projeções ortogonais dos lados de um trapézio isósce-
les, sobre a base maior, são congruentes. 
• As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Um quadrilátero plano convexo é paralelogramo (Figura 76) 
se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.
ABCD é paralelogramo  / / / /AB CDe AD BC 
Figura 76 Paralelogramo ABCD.
© Geometria I8484
Propriedades dos paralelogramos 
1) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer 
são congruentes.
2) Todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos 
congruentes é paralelogramo.
3) Todo retângulo é paralelogramo.
4) Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer 
são congruentes.
5) Todo quadrilátero convexo que tem lados opostos con-
gruentes é paralelogramo.
6) Todo losango é paralelogramo.
7) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se 
nos respectivos pontos médios.
8) Todo quadrilátero convexo em que as diagonais intercep-
tam-se nos respectivos pontos médios é paralelogramo.
9) Consequência: se dois segmentos de reta interceptam-
-se nos respectivos pontos médios, então suas extremi-
dades são vértices de um paralelogramo.
10) Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos 
e congruentes é um paralelogramo.
11) Consequência: se dois segmentos de reta são paralelos 
e congruentes, então suas extremidades são vértices de 
um paralelogramo.
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo (Figura 77) 
se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes.
ABCD é retângulo ˆ ˆˆ ˆA B C D   .
Figura 77 Retângulo ABCD.
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Além das propriedades do paralelogramo, o retângulo pos-
sui diagonais congruentes, e todo paralelogramo que tem diago-
nais congruentes é um retângulo.
Um quadrilátero plano convexo é um losango (Figura 78) se, 
e somente se, possui os quatro lados congruentes.
ABCD é losango AB CD AD BC    .
Figura 78 Losango ABCD.
Além das propriedades do paralelogramo, o losango possui 
diagonais perpendiculares, e todo paralelogramo que possui dia-
gonais perpendiculares é um losango.
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado (Figura 79) 
se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os qua-
tro lados congruentes.
ABCD é quadrado AB CD AD BC    e    A B C D   .
Conclui-se, então, que todo quadrado é retângulo e também 
é losango.
Figura 79 Quadrado ABCD.
© Geometria I8686
Portanto, se um quadrilátero convexo
• possui diagonais que se interceptam ao meio, é um para-
lelogramo;
• possui diagonais que se interceptam ao meio e são con-
gruentes, é um retângulo;
• possui diagonais que se interceptam ao meio e são per-
pendiculares, é um losango;
• possui diagonais que se interceptam ao meio, são con-
gruentes e perpendiculares, é um quadrado.
Polígonos
Dada uma sequência de pontos de um plano ( 1A , 2A , ...., nA ), 
com 3n  , todos distintos, em que três pontos consecutivos não são 
colineares, considerando-se consecutivos 1nA  , nA e 1A , assim como 
nA , 1A e 2A , chama-se polígono à reunião dos segmentos 1 2A A , 2 3A A
,....., 1n nA A , 1nA A .
Na Figura 80, vemos exemplo de um polígono ABCDE:
Figura 80 Polígono ABCDE.
Elementos 
No polígono da Figura 80, os pontos A, B, C, D, E são vérti-
ces do polígono, e os segmentos , , , , AB BC CD DE EA são lados 
do polígono. Então, são ângulos do polígono: ˆABC , ˆBCD , ˆCDE , 
DEA , ˆEAB . 
Se dois lados têm um vértice em comum, então eles são con-
secutivos. Se não possuem vértice em comum, então são diago-
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87© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
nais. Portanto, na Figura 80, os segmentos , , , , AC AD EB EC DB 
são diagonais do polígono. 
Um polígono é convexo (Figura 81) se, e somente se, a reta 
determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos 
os demais (n − 2) vértices em um mesmo semiplano dos dois que 
ela determina. Portanto, qualquer diagonal do polígono convexo 
“está no interior” desse polígono.
Figura 81 Polígono convexo ABCDE.
Um polígono é não convexo (Figura 82) se, e somente se, 
a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer não 
deixa todos os demais (n − 2) vértices em um mesmo semiplano 
dos dois que ela determina. Portanto, qualquer diagonal do polí-
gono não convexo pode “não estar no interior” desse polígono, 
como acontece com a diagonal BD , por exemplo. 
Figura 82 Polígono não convexo ABCDE.
O conjunto dos pontos internos de um polígono constitui seu 
interior e o conjunto dos pontos externos ao polígono constitui 
seu exterior.
A reunião de um polígono com o seu interior é uma região 
poligonal ou superfície poligonal.
© Geometria I8888
O nome dos polígonos varia de acordo com o número n de 
lados:
1) n = 3: triângulo ou trilátero.
2) n = 4: quadrangular ou quadrilátero.
3) n = 5: pentágono.
4) n = 6: hexágono.
5) n = 7: heptágono.
6) n = 8: octógono.
7) n = 9: eneágono.
8) n = 10: decágono.
9) n = 11: undecágono.
10) n = 12: dodecágono. 
11) n = 15: pentadecágono.
12) n = 20: icoságono.
Polígono regular
Um polígono que possui os lados congruentes é equilátero. 
Se possuir os ângulos congruentes, é equiângulo. Um polígono é 
regular se, e somente se, possui todos os lados congruentes e to-
dos os ângulos congruentes.
O número de diagonais de um polígono de n lados  3n 
é dado por: ( 3)
2
n nd   , em que d é o número de diagonais do 
polígono e n é o número de lados do polígono.
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n 
lados  3n  é dada por: ( 2) 180Si n    .
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é: 
360Se   .
Os ângulos internos de um polígono regular são congruentes 
e têm medida: ( 2) 180i
na
n
  
 .
Claretiano - Centro Universitário
89© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Os ângulos externos de um polígono regular são congruen-
tes e têm medida: 360ea n

 .
A soma dos ângulos internos e externos de um polígono re-
gular é: 180e ia a   .
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.
Veja alguns exemplos de aplicações dos conceitos estudados 
anteriormente sobre polígonos. 
Exemplo 1
Calcule as medidas de um ângulo interno e de um ângulo 
externo dos polígonos regulares:
• Pentágono: 
É um polígono de 5 lados. Portanto, o ângulo interno é 
dado por: 
( 2) 180 (5 2) 180 108º
5i
na
n
     
   .
A medida do ângulo externo é dada por 
360 360 72º
5e
a
n
 
   .
• Dodecágono: 
É um polígono de 12 lados. A medida do ângulo interno é: 
( 2) 180 (12 2) 180 150º
12i
na
n
     
   .
A medida do ângulo externo é: 
360 360 30º
12e
a
n
 
   .
Exemplo 2
O polígono ABCDE (Figura 83) é um pentágono regular ins-
crito em uma circunferência de centro O. Determine a medida, em 
graus, do ângulo C AD .
© Geometria I9090
Figura 83.
Para resolvermos este problema, é preciso lembrar que o 
ângulo central (cujo vértice está contido no centro O da circunfe-
rência) 360ºˆ 72º
5
COD   . Sendo o ângulo central igual a 72o, o 
ângulo ˆCAD é inscrito na circunferência (possui o vértice na cir-
cunferência) e, portanto, a metade do ângulo central.
Concluímos, então, que 72ºˆ 36º
2
CAD   . 
Exemplo 3
Determine a soma das medidas dos ângulos internos, a soma 
das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais dos 
polígonos regulares:
• Octógono: 
É um polígono de 8 lados. Então, o ângulo interno é: 
( 2) 180 (8 2) 180 135º
8i
na
n
     
   .
A medida do ângulo externo é: 360 360 45º
8e
a
n
 
   .
O número de diagonais é: ( 3) 8(8 3) 20
2 2
n nd     .
Claretiano - Centro Universitário
91© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
• Icoságono: 
É um polígono de 20 lados. Então, o ângulo interno é: 
( 2) 180 (20 2) 180 162º
20i
na
n
     
   .
A medida do ângulo externo é: 360 360 18º
20e
a
n
 
   .
O número de diagonais é: ( 3) 20(20 3) 170
2 2
n nd     .
Circunferência
Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja 
distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância 
(não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o 
raio da circunferência.
Dado um plano  , um ponto O de  e uma distância r, 
,( , ) { }P OO r P d r    , em que ( , )O r representa a circunfe-
rência de centro O e raio r. 
Na Figura 84, os segmentos , , AB CD OP representam, res-
pectivamente, corda, diâmetro e raio da circunferência. 
Figura 84 Circunferência, corda, diâmetro e raio.
Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremi-
dades pertencem à circunferência. 
© Geometria I9292
Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa 
pelo centro da circunferência.
Raio de uma circunferência é um segmento com uma extre-
midade no centro e a outra em um ponto da circunferência.
Círculo
Círculo é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância 
a um ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância 
(não nula) dada.
Dados um plano  , um ponto O de  e uma dis-
tância r, o círculo de centro O e raio r é representado por: 
}{),( , rdPrOc OP   .
O círculo (Figura 85) é a reunião da circunferência com seu interior. 
Figura 85 Círculo, corda, diâmetro e raio.
O centro, o raio, a corda e o diâmetro de um círculo são, res-
pectivamente, o centro, o raio, a corda e o diâmetro da respectiva 
circunferência.
Posições relativas de reta e circunferência
Secante
Uma reta s secante (Figura 86) a uma circunferência é uma 
reta que intercepta a circunferência () em dois pontos dis-
tintos. A reta e a circunferência são secantes se, e somente se, 
},{ BAs  .
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93© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 86 Circunferência  .
Propriedade da reta s secante a uma circunferência
Se uma reta s, secante a uma circunferência ( , )O r , não 
passa pelo centro O, intercepta  nos pontos distintos A e B, e se 
M é o ponto médio da corda AB, então o segmento OM é perpen-
dicular à secante s (ou à corda AB), como pode ser observado na 
Figura 87.
Figura 87 Reta s secante a uma circunferência  .
Tangente
Uma reta tangente a uma circunferência (Figura 88) é uma 
reta que intercepta a circunferência em um único ponto. O ponto 
comum entre a reta e a circunferência é denominado ponto de 
tangência. 
Na Figura 88, vemos { }t T  .
© Geometria I9494
Figura 88 Reta t tangente a uma circunferência  .
Propriedade da tangente
Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da 
circunferência é tangente à circunferência e toda tangente a uma 
circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Posições
Considere uma reta s, uma circunferência ( , )O r e d a 
distância do centro O à reta s ,( )O sd d . Há três possibilidades 
para s e  :
 d r : },{ BAs  , isto é, s e  são secantes.
 d r : { }s T  , isto é, s e  são tangentes.
 d r : s   , isto é, s e  são externas ou não se 
interceptam.
Posições relativas de duas circunferências
Uma circunferência 2 é interna a outra circunferência 1 
(Figura 89) se todos os pontos da primeira são pontos internos da 
segunda ( 2 interna à 1 ).
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95© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 89 Circunferências internas.
Uma circunferência 2 é tangente interna a outra 1 (Figura 
90) se tem um único ponto comum, e os demais pontos da primeira 
são pontos internos da segunda ( 2 tangente interna à 1 ). 
Figura 90 Circunferências tangentes internas.
Duas circunferências são secantes (Figura 91) se têm dois 
pontos comuns ( 2 e 1 são secantes). 
Figura 91 Circunferências secantes. 
© Geometria I9696
Uma circunferência 2 é tangente externa (Figura 92) a ou-
tra 1 se tem um único ponto comum, e os demais pontos de uma 
são pontos externos a outra ( 2 tangente externa à 1 ).
 
Figura 92 Circunferências tangentes externas.
Duas circunferências são externas (Figura 93) se os pontos 
de uma delas são pontos externos a outra ( 2 externa à 1 ).
Figura 93 Circunferências externas.
Segmentos tangentes – quadriláteros circunscritíveis
Se de um ponto P externo a uma circunferência ),( rO con-
duzirmos os segmentos PA e PB , ambos tangentes à  , com A e 
B na circunferência, então PA PB , como pode ser observado na 
Figura 94. O centro O de  pertence à bissetriz de ˆAPB .
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97© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 94 Segmentos tangentes à circunferência.
Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferên-
cia ( , )O r se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à 
circunferência. 
Na Figura 95, o quadrilátero ABCD é circunscrito a  ou  é 
inscrita no quadrilátero ABCD.
Figura 95 Quadrilátero circunscrito a uma circunferência.
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunfe-
rência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros 
dois. AB CD AD BC   (Condição necessária). 
Ângulos na circunferência
Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que 
tem o vértice no centro da circunferência (Figura 96). Se em uma 
circunferência de centro O um ângulo central determina um arco 
AB (ou AB ), podemos afirmar que:
© Geometria I9898
• AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB.
• AB é arco subentendido por AÔB.
• A medida de um arco de circunferência é igual à medida 
do ângulo central correspondente.
Figura 96 Ângulo central AÔB em uma circunferência.
Ângulo inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo 
que tem o vértice na circunferência e os lados são secantes a ela 
(Figura 97).
• Na Figura 97, ˆAPB é ângulo inscrito.
• AB é o arco correspondente ao ângulo ˆAPB .
• AÔB é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito 
ˆAPB .
• A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da me-
dida do arco correspondente ou igual à medida do ângulo 
central. 
• Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. 
Na Figura 97, se considerarmos um triângulo com os vértices 
nos pontos A, B e P, o triângulo ABP é retângulo em B, pois o seg-
mento AP é o diâmetro da circunferência. 
Claretiano - Centro Universitário
99© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 97 Ângulo inscrito em uma circunferência.
Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito (Figura 98) 
relativo a uma circunferência é um ângulo que tem o vértice na 
circunferência, um lado secante e o outro lado tangente à circun-
ferência:
• Um ângulo de segmento é metade do ângulo central cor-
respondente, ou a medida de um ângulo de segmento é 
metade da medida do arco correspondente.
• Na Figura 98, BAP é ângulo de segmento.
• AB é o arco correspondente ao ângulo BAP .
• AÔB é o ângulo central correspondente ao ângulo de seg-
mento BAP .
• A medida de um ângulo de segmento é igual à metade 
da medida do arco correspondente ou do ângulo central.
Figura 98 Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito.
© Geometria I100100
Veja alguns exemplos de aplicações dos conceitos estudados 
anteriormente sobre circunferências.
Exemplo 1
Considere duas circunferências de raios 4 r cm e 6 R cm 
(Figura 99), com centros distantes 12 cm . Calcule o raio da menor 
circunferência tangente externamente às duas circunferências da-
das e faça um esboço (desenho).
Para resolver este problema, devemos considerar que se a 
distância entre os centros das circunferências é 12 cm e se a soma 
dos raios das duas circunferências resulta 10 cm, deduz-se que estas 
circunferências são externas entre si e, portanto, sobram dois centí-
metros entre elas. Podemos, então, construir uma circunferência de 
raio 1 cm que seja tangente as outras duas circunferências.
Figura 99.
Exemplo 2
Determine a medida do ângulo x nas Figuras 100 e 101, con-
siderando O como centro da circunferência.
Na Figura 100, o ângulo BÔC é central e corresponde ao ân-
gulo inscrito BÂC. Portanto, BÂC é metade de BÔC:
ˆ 121ºˆ 60,5º
2 2
BOCBAC x   
Claretiano - Centro Universitário
101© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
Figura 100.
Da mesma forma, na Figura 101, o ângulo BÔC é central e 
corresponde ao ângulo inscrito BÂC. 
Figura 101.
Portanto, BÂC é metade de BÔC:
ˆ 88ºˆ 44º
2 2
BOCBAC x   
Exemplo 3
Calcule x nas Figuras 102 e 103, sendo O centro da circunfe-
rência.
Na Figura 102, o triângulo BOC é isósceles e, portanto, a 
soma dos ângulos internos é igual a 180°. Assim, os ângulos CBO e 
BCO são congruentes de medida 42°. 
Portanto, obtemos: 180 42 42 96BÔC BÔC       . 
© Geometria I102102
Figura 102.
Como o ângulo BAC é inscrito, temos: 
ˆ 96ˆ 48º
2 2
BOCBAC x     . 
Se o ângulo ˆ 106ºABC  , então o arco AC mede o do-
bro do ângulo ˆABC , ou seja, o arco AC mede 212o (Figu-
ra 103). Então, o arco CA , que corresponde ao ângulo inscri-
to ˆADC , mede 360º 212º 148º  . Portanto, o ângulo inscrito 
148ºˆ 74º
2
ADC x   .
Figura 103.
9. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Sugerimos que você procure responder, discutir e comentar 
as questões a seguir que tratam da temática desenvolvida nesta 
unidade, ou seja, dos conceitos básicos de Geometria.
Claretiano - Centro Universitário
103© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
A autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para você 
verificar o seu desempenho. Se você encontrar dificuldades em respon-
der a essas questões, procure revisar os conteúdos estudados para sa-
nar as suas dúvidas. Esse é o momento ideal para que você faça uma 
revisão desta unidade. Lembre-se de que, na Educação a Distância, a 
construção do conhecimentoocorre de forma cooperativa e colabora-
tiva; compartilhe, portanto, as suas descobertas com os seus colegas.
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
desempenho no estudo desta unidade:
1) Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas 
retas podemos construir?
2) É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um 
piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas, 
se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de Geometria, por que 
isso não acontece com uma mesa de 3 pernas. 
3) Em uma reta r, tomemos os segmentos AB e BC e um ponto P, de modo que 
AB seja o quíntuplo de PC , BC seja o quádruplo de PC e 80 AP cm . Sen-
do M e N os pontos médios de AB e BC , respectivamente, determine MN .
4) Na figura a seguir, determine o valor do ângulo â.
5) Na figura a seguir, determine os valores de x e y, sabendo que o segmento 
OP é bissetriz do ângulo AOB .
© Geometria I104104
6) Se o ABC é isósceles de base BC , determine x, sabendo que  2 10B x   
e  30C   .
7) Na figura a seguir, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determi-
ne o valor de a e b . 
8) Escreva o nome de um polígono regular de 15 lados e calcule as medidas de 
um ângulo interno e de um ângulo externo desse polígono regular.
9) Considere duas circunferências de raios 6 r cm e 8 R cm , com centros 
distantes 20 cm. Calcule o raio da menor circunferência tangente externa-
mente às duas circunferências, tal que os três centros sejam colineares.
10) Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência. Deter-
mine a medida do ângulo BCD .
Gabarito
Confira, a seguir, as respostas corretas para as questões au-
toavaliativas propostas:
Claretiano - Centro Universitário
105© U1 - Geometria: Conceitos Básicos
1) Quatro retas distintas.
2) Postulado da determinação de um plano.
3) Três possibilidades: 36 cm, 45 cm 20 cm.
4) 120o.
5) o10x  e o50y  .
6) 20.
7) 10 e 10. 
8) Pentadecágono; 156o; 24o.
9) O raio é 3 cm. 
10) 92o.
10. CONSIDERAÇÕES
Com o estudo desta unidade, você teve a oportunidade de 
revisar conceitos e conteúdos relacionados às noções e às proposi-
ções primitivas, segmento, ângulo, triângulo, paralelismo, perpen-
dicularismo, polígonos e circunferência.
Na Unidade 2, estudaremos os conceitos matemáticos re-
ferentes aos conteúdos do Teorema de Tales, da semelhança de 
triângulos, triângulos retângulos, polígonos regulares, além da 
equivalência plana, figuras equivalentes, áreas de superfícies pla-
nas, áreas de polígonos, área do círculo e razão entre áreas. 
11. E REFERÊNCIAS
NOÉ, M. Geometria plana. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/
geometria-plana.htm>. Acesso em: 19 set. 2013a.
______. Paralelismo. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/
paralelismo-1.htm>. Acesso em: 19 set. 2013b.
© Geometria I106106
12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. 5. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.
BORGES, G. C. M. Noções de Geometria descritiva: teoria e exercícios. 7. ed. Porto Alegre: 
Sagra Luzzatto, 1998.
DINIZ, M. I. S. V. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 3. ed. São Paulo: IME-USP, 
1998. v. 3.
KALEFF, A. M. M. R. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. 2. ed. Niterói: EdFF, 
1999.
LINDQUIST, M. M. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução de Hygino H. 
Domingues. São Paulo: Atual, 2003.
OCHI, F. H. O uso de quadriculados no ensino da Geometria. 3. ed. São Paulo: IME-USP, 
1997. v. 1.
PINHEIRO, V. A. Noções de Geometria descritiva: ponto, reta, plano. 3 ed. Rio de Janeiro: 
Ao Livro Técnico, 2000. v. 1.
REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções 
geométricas. Campinas: Editora da Unicamp, 2000.