Concreto Armado II

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Apostila 
 
 
CONCRETO ARMADO II 
 
De acordo com a NBR 6118/2014 
 
 
 Prof. Clauderson Basileu Carvalho 
 
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 e-mail: profclauderson@gmail.com 
 telefone: 31 9 9999-1979 
 Link curriculo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2759161121752780 
 site: www.basisengenharia.com.br 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte, Fevereiro de 2017 
 2 
SUMÁRIO 
 
1. PILARES ........................................................................................................ 3 
2.TORÇÃO ....................................................................................................... 26 
3. PUNÇÃO ...................................................................................................... 35 
4. LAJES NERVURADAS................................................................................ 50 
5. LAJES LISAS E LAJES COGUMELOS ...................................................... 63 
6. ESCADAS E CAIXAS D’ÁGUA ................................................................... 70 
7. INTRODUÇÃO A FUNDAÇÕES – ELEMENTOS MAIS COMUNS ............. 82 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 88 
9. ANEXOS ...................................................................................................... 89 
 
 
 
 
 3 
1. PILARES 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
 De acordo com a NBR 6118/2014 o conceito de pilar seria: 
Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças 
normais de compressão são preponderantes. Contudo, devido a excentricidades 
acidentais, efeitos de segunda ordem (análise p-delta) e não conformidades geométricas 
(desalinhamento ou desaprumo); bem como as próprias flexões provocadas pelas vigas, 
as solicitações associadas à flexão são extremamente importantes, e não podem ser 
negligenciadas. Além disso, e até pela definição estabelecida pela teoria das estruturas; 
esforços cisalhantes, cortantes ou tangenciais também devem ser avaliados nos 
dimensionamentos desses elementos, com a presença destes momentos. 
Na engenharia estrutural clássica os pilares em concreto armado devem ser 
verificados, além da capacidade resistente em relação aos esforços solicitantes (flexão, 
cisalhamento e esforços axiais), o comportamento com relação à instabilidade estrutural, 
mais precisamente às questões referentes à flambagem – fenômeno estudado em 
resistência dos materiais, que indica a aplicação de uma carga inferior à carga de colapso, 
e que leva os elementos a um comportamento instável. 
Os esforços que solicitam a estrutura de uma edificação qualquer, intuitivamente 
falando, são aplicados em 90% dos casos diretamente às lajes e vigas (elementos tratados 
no volume 1 do presente material), para posteriormente serem descarregados em pilares 
e conseqüentemente nos elementos de fundação e no solo propriamente dito, conforme 
visto na figura 1. 
 
Figura 1 – Fluxo dos carregamentos em uma edificação 
 4 
Os pilares de concreto armado podem apresentar-se de diversas formas de eixos e de 
seção transversal, porém, a seção retangular ou seção quadrada são as mais comumente 
empregadas. Exemplificando outra das formas comuns da engenharia moderna, temos a 
de formato circular. 
Quando um dos lados da seção é muito maior que o outro (bw  5h) utiliza-se a 
denominação de pilar-parede. Os pilares-parede podem ser elementos de superfície plana 
ou casca cilíndrica e também podem ser compostos por uma ou mais superfícies 
associadas. Embora elas aconteçam em muitos empreendimentos da vida prática, não 
serão tratadas neste estudo. 
Os pilares de edifícios podem ser classificados de acordo com a posição que ocupam 
no edifício, em planta, em (figura 2): 
 
Figura 2 – Pilares de canto, intermediários e de extremidade ou borda 
A NBR 6118/2014 abrange simplificadamente colunas com índice de esbeltez () 
limitado ao valor máximo de 90, a fim de utilizar-se expressão aproximada da curvatura, 
no tratamento de excentricidades de segunda ordem, bem como poder desprezar a 
deformação lenta do concreto, estudada nos fenômenos reológicos de fluência e retração. 
Já para  de 90 a 200 a norma brasileira exige um maior rigor nos critérios de 
dimensionamento; mas também abrange tal característica física. 
 
 
 
Figura 3 – Seções transversais usuais em pilares das edificações 
 5 
Como revisão da disciplina resistência dos materiais tem-se que o índice de esbeltez 
é:
 i
l fl

 
onde lfl é o comprimento de flambagem (figura 4), também conhecido como 
comprimento destravado e i é o raio de giração dado por: 
hitemosgularesrestranversaiseçõespara
A
Ii 289,0:,tan 
 
 
 
Figura 4 – Pontos de inflexão para determinação do comprimento de flambagem 
 
Pode-se dizer que, quanto maior a esbeltez, maior a possibilidade do elemento 
comprimido flambar. 
 
Figura 5 – Flambagem de uma placa 
 
 
 6 
Análise de 2ª ordem (p-delta) 
Os momentos fletores originados a partir de excentricidades de 2ª ordem são os 
acréscimos de solicitações provenientes das deformações que ocorrem nas estruturas em 
um “instante após” a aplicação do carregamento, conforme mostrado na figura 6. 
 
Figura 6 – Teoria de segunda ordem 
 
1.2. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS – GLOBAIS E LOCAIS 
 
Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser 
consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos do pórtico espacial 
descarregado. Essas imperfeições podem ser divididas em imperfeições globais e 
imperfeições locais. 
Na análise global dessas estruturas deve ser considerado um desaprumo dos 
elementos verticais conforme mostra a figura 7 
 
 n prumadas de pilares 
Figura 7 – Imperfeições geométricas globais 
 7 
onde 
1mín = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 
1máx = 1/200; 
H é a altura total da edificação, expressa em metros; 
n é o número de prumadas de pilares no pórtico plano. 
Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo, considerar a = 1. 
Já na análise local mais precisamente na verificação de um lance de pilar, deve ser 
considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar. 
 
Figura 8 – Imperfeições geométricas locais 
200
1
100
1
300
1
1 
iH

→ Hi = altura do pilar em metros 
Admite-se que, nos casos usuais de estruturas reticuladas, a consideração apenas da 
falta de retilineidade ao longo do lance de pilar seja suficiente nos estudos de estabilidade 
(figura 8 – letra “b”). 
 8 
1.3. ROTEIRO PARA DIMENSIONAMENTO DE PILARES 
 
a) Características geométricas 
Comprimentos equivalentes e índice de esbeltez 
b) Excentricidades 
Inicial (eix; eiy) – Base e topo do pilar; 
Acidental (eax; eay) – Seção intermediária: 
Verificar o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín) 
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem: 
Esbeltez limite (λ1) 
Efeitos de 2ª ordem: Métodos simplificados/aproximados 
c) Situações de cálculo 
Seção de topo, seção de Base, seção Intermediária 
d) Dimensionamento das armaduras 
Situação mais desfavorável, equações adimensionais, escolha do ábaco, taxa 
mecânica de armadura (ω), ou equações pelo método “k”, área de aço 
e) Detalhamento 
Armadura Longitudinal, diâmetro das barras, taxas mínimas e máximas de 
armadura longitudinal, número mínimo de barras, espaçamentos para armadura 
longitudinal, detalhamento, armadura transversal, diâmetro, espaçamentos para 
armadura transversal, proteção contra flambagem localizadadas armaduras, 
comprimento dos estribos, comprimento dos estribos suplementares, número de 
estribos, número de estribos suplementares, desenho da seção transversal, 
comprimento das esperas, comprimento total das barras longitudinais 
f) Desenhos 
 
1.4. DIMENSÕES MÍNIMAS 
 
Conforme o item 13.2.3 da norma brasileira de projetos em estruturas de concreto, a 
seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer que seja sua forma, não 
pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Porém, em casos especiais, permite-se a 
consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços 
solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente 
adicional γn, de acordo com a tabela 1. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção 
transversal de área inferior a 360 cm². 
 9 
Esse “novo” coeficiente de majoração γn (que deve ser acrescentado ao coeficiente de 
majoração tratado nas combinações dos esforços solicitantes em ELU) é calculado por: 
γn = 1,95 - 0,05b 
onde b é a menor dimensão do pilar 
Tabela 1 – Valores do coeficiente adicional γn para pilares e pilares-parede 
b cm 19 18 17 16 15 14 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu dimensionamento 
 
O comprimento equivalente do pilar, supostamente vinculado nas duas extremidades, 
é o menor dos valores das designações ilustradas na figura 9. 
 
Figura 9 – Esquema para cálculo do comprimento le 
No caso de pilares engastados na base e livres no topo, o valor de le é igual a 2l. 
 
1.5. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO A ESBELTEZ 
 
 Pilares curtos →   1 → podem ser desprezados os efeitos de 2ª ordem. 
 Pilares medianamente esbeltos → 1 <   90 → devem ser considerados os 
efeitos de 2ª ordem em processo simplificado e pode-se desprezar o efeito da 
fluência. 
 Pilares esbeltos → 90 <   140→ devem ser considerados os efeitos de 2ª 
ordem em processo aproximado e deve-se incluir os efeitos da fluência, 
através de uma excentricidade complementar equivalente (ecc). 
 Pilares muito esbeltos → 140 <   200→ os efeitos de 2ª ordem e a fluência 
devem ser considerados e calculados em processo complexo e rigoroso, além 
 10 
de terem os coeficientes de ponderação das ações majorados. 
 
1.6. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO 
 
A NBR 6118/2014 não admite pilares com índice de esbeltez λ superior a 200, 
exceto no caso de elementos pouco comprimidos, com força normal menor que 0,10 fcdAc. 
Para pilares com índice de esbeltez maior ou igual a 140, na análise de 2ª ordem, devem-
se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional: 
]4,1/)140(01,0[11   n
 
A esbeltez limite (λ1) corresponde ao valor da variável que a partir do qual os 
efeitos de 2ª ordem provocam uma redução da capacidade resistente do pilar no estado 
limite último, quando comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a 
teoria de 1ª ordem. Essa redução é definida arbitrariamente, não devendo ser superior a 
10%, segundo a NBR 6118/2014. 
O valor de 1 pode ser calculado pela expressão: 
b
h
e


1
1
5,1225 

 onde 35  1 90 
e1/h é a excentricidade relativa de 1ª ordem na extremidade do pilar onde ocorre 
o momento de 1ª ordem de maior valor absoluto. Com os diagramas de esforços normais 
e de momentos fletores em cada tramo do pilar, calculam-se as excentricidades iniciais 
no topo e na base, dividindo-se o valor do momento pela força axial. 
N
M
e
topo
topoi ,
 e 
N
M
e basebasei ,
  (excentricidades iniciais) 
h é a dimensão da seção na direção considerada. 
Com relação ao parâmetro b temos as seguintes considerações a serem feitas: 
a) Para pilares biapoiados sem carga horizontal, com pelo menos um dos momentos 
que atuam nas extremidades do pilar sendo maior que o momento mínimo: 
14,0,40,040,060,0  b
A
B
b sendo
M
M 
 
Onde MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, obtidos na 
análise de 1ª ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1ª ordem e 
2ª ordem global) no caso de estruturas de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior 
 11 
valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma 
face que MA, e negativo, em caso contrário (figura 10a). 
 
Figura 10a - Curvaturas simples e dupla dos pilares – cálculo de αb. 
b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da 
altura: 
αb = 1,0 
c) Para pilares em balanço: 
85,020,080,0 
A
C
b
M
M
Onde: MA é o momento de 1ª ordem no engaste e 
MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço (figura 10b). 
d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores (ou iguais) 
que o momento mínimo: 
αb = 1,0 
 
Momento mínimo e excentricidade mínima (emín) 
O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilares-paredes (ver item 1.2) pode 
ser substituído, em estruturas reticuladas, pela consideração do momento mínimo de 1ª 
ordem dado a seguir: 
M1d,mín = Nd x emín = Nd (0,015 + 0,03h) 
onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, expressa em 
metros. 
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais 
esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. 
No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser 
Figura 10b – Curvatura simples/pilares em balanço 
 12 
respeitado em cada uma das direções principais, separadamente. 
 
Excentricidade de 2ª ordem 
A força normal atuante no pilar, sob ação das excentricidades de 1ª ordem 
(excentricidade inicial ou excentricidade mínima/acidental), provoca deformações que 
dão origem a uma nova excentricidade, denominada excentricidade de 2ª ordem. A 
determinação dos efeitos locais de 2ª ordem em barras submetidas à flexo-compressão 
normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. A consideração 
da fluência, como dito anteriormente é obrigatória para índices de esbeltez λ > 90, 
acrescentando-se ao momento de 1ª ordem (M1d) a parcela relativa à excentricidade 
suplementar ecc. 
A NBR 6118/2014, em seu item 15.8.3.3.1 afirma que a determinação dos 
esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados, como o do pilar 
padrão e do pilar padrão melhorado. Com isso dois processos serão estudados: 
 Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. 
 
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
Pode ser empregado apenas no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção 
constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. 
Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, 
analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente. 
Ad
e
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,1,
1
10

 
 
Sendo 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão 
aproximada: 
hhr
005,0
)5,0(
005,01




 
onde: 
)fA(
N
cdc
d
 
 13 
αb e o coeficiente de uniformidade dos momentos e tem as mesmas definições do 
exposto acima. 
M1d,A e o valor de cálculo do momento de 1ª ordem MA (maior momento no 
extremo do pilar); 
h é a dimensão da seção do pilar, na direção analisada; 
ν é a força normal adimensional; 
fcd é a resistência a compressão de cálculo do concreto; 
M1d,min é o momento mínimo de 1ª ordem. 
 
Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada 
Pode ser empregado no dimensionamentode pilares com λ ≤ 90, com seção 
retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. 
Este método pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, 
analisando-se cada uma das duas direções principais, simultaneamente. 
O valor de cálculo do momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir 
da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão: 
Ad
Adb
totSd M
M
M ,12
,1
,
120
1







 
sendo: 
Md1,A é o valor de cálculo do momento MA; 
κ é a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por: 
 






d
totRd
aprox
hN
M ,
5132
 
Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot. Em um processo 
de verificação, onde a armadura é conhecida, MRd,tot é o momento resistente calculado 
com essa armadura e com Nd = NSd = NRd. 
As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas nas páginas anteriores. 
Usualmente, duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo 
iterativo. 
 O processo aproximado acima, em um caso de dimensionamento, recai na 
formulação direta dada abaixo: 
0CM.BM.A tot,Sd
2
tot,Sd 
 
 14 
onde: 
A = 5h (com h sendo a dimensão da seção transversal do pilar na direção 
analisada); 
c
2
ed
d
2 M.h.5
320
lN
N.hB 
, com Mc sendo o momento a ser amplificado pelo 
efeito de 2ª ordem (= αb.M1d,A ≥ Md1,min) 
c
2
d M.h.NC 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, tem-se, como raiz positiva, o seguinte 
valor: 
A2
AC4BB
M
2
tot,Sd


 
 
Nesse presente estudo trataremos de pilares com esbeltez menor do que 90, 
desconsiderando assim os efeitos mais agudos da instabilidade em segunda ordem e 
também da fluência e qualquer efeito reológico associado. 
 
Pilares esbeltos 
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares   140 (de 90 a 140, mais 
precisamente) pode ser feita pelos métodos do pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado, 
utilizando-se para a curvatura da seção crítica os valores obtidos de diagramas M, N e 1/r 
específicos para o caso, considerando-se obrigatoriamente os efeitos da fluência como 
dito anteriormente e estudado a seguir. 
 
Consideração da Fluência 
Embora não estudemos os pilares esbeltos nesse material com muita ênfase, torna-se 
interessante o conhecimento teórico da fluência para possíveis aplicações futuras, e outras 
aplicações práticas na vida do profissional de engenharia. 
A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice 
de esbeltez  > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a 
excentricidade adicional ecc dada a seguir: 



















1718,2 Sge
Sg
NN
N
a
Sg
Sg
cc e
N
M
e

 
 15 
onde 
 2
10
e
cci
e
l
IE
N 
; 
ea é a excentricidade devida a imperfeições locais como visto no item 1.2 (= tg 
x le ou tg x le/2). 
MSg e NSg são respectivamente, momento e normal, devido à combinação quase 
permanente; 
 é o coeficiente de fluência (na falta de dados, o autor recomenda o valor =2) ; 
Eci é o modulo de elasticidade inicial do concreto; 
Ic é o momento de inércia da seção de concreto; 
le é o comprimento equivalente do pilar. 
 
Pilares muito esbeltos 
 Pilares com  > 140 (e até 200) são considerados muito esbeltos, como visto 
anteriormente, e devem ser calculados com um maior rigor técnico, em termos de 
deformações não lineares ou efeitos de segunda ordem (análise p-delta ou outro método 
semelhante). Com isso deve ser utilizada bibliografia específica, que contenham os 
ábacos de iterações (vide alguns ábacos em anexo), bem como as suas avaliações 
apropriadas. Pode-se também recorrer a softwares ou programas mais sofisticados para 
tais dimensionamentos, já que não serão tratados em nosso estudo. 
 
1.7. ARMAÇÕES EM FLEXÃO NORMAL COMPOSTA (FNC) 
 
De acordo com as formulações estudadas anteriormente na flexão simples associando-
se aos esforços axiais; e introduzindo-se os critérios estabelecidos pelo professor José de 
Miranda Tepedino, as seções de concreto armado submetidas à flexão normal composta 
(extrapolando-se para flexão oblíqua composta com a associação dos dois momentos nas 
 16 
direções principais), temos as seguintes expressões: 
1º Caso 
Nd > 0 se compressão 









duplaArmaçãokkkk
simplesArmaçãokkkk
dbf
M
h
dN
k
LL
L
wc
dd
'
'
²
)
2
( 















)
'
1(
)'(
)'211(
2
1
21
d
d
kk
f
dbf
A
f
Nkdbf
A
AAA
yd
wc
s
yd
dwc
s
sss
 

2' ss
A
A 
 
Caso As < 0 → passar ao 2º caso 
Caso k < 0 → passar ao 4º caso 
 
2º Caso 
As < 0 no 1º caso ou Nd(h/2 – d’) >> Md 
h
bf
Md
h
N
ddy
wc
dd




)'
2
(
2'' 2
 
As = 0 
0' 



yd
wcd
s
f
ybfN
A

 
Caso y > h → passar ao 3º caso 
Caso A’s < 0 → nenhuma armadura é necessária teoricamente. Adotar armadura 
 17 
mínima. 
3º Caso 
y > h 
1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s 
)'(
)'
2
)((
ddf
Md
h
hbfN
A
yd
dwcd
s



 ; )'(
)
2
)((
'
ddf
M
h
dhbfN
A
yd
dwcd
s



 
2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e 
uma adicional As, junto à borda mais comprimida. 
 
yd
d
wcd
s
f
d
h
M
hbfN
A





)
'
2
(
* 
 
yd
d
s
f
d
h
M
A




'
2
 
 
4º Caso 
 
Seção totalmente tracionada – k < 0 no 1º caso 
 
1ª alternativa: adotando duas armaduras As e A’s 
)'(
)'
2
(
ddf
Md
h
N
A
yd
dd
s



; )'(
)
2
(
'
ddf
M
h
dN
A
yd
dd
s



 
2ª alternativa: adotando uma armadura centrada A*s e 
uma adicional As, junto à borda mais tracionada. 
 
yd
d
d
s
f
hd
M
N
A 2*


 
 
 
yd
d
s
f
hd
M
A 2


 
 18 
1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
 
A armadura longitudinal dos pilares deve obedecer aos seguintes valores: 
 As,mín= 0,15Nd/fyd ≥ 0,004Ac 
 As,máx = 8% Ac 
Para a armadura máxima devem-se considerar a região das emendas. 
As barras devem ter diâmetro igual ou superior a 10 mm e não mais que 1/8 da 
menor dimensão da seção do pilar. 
O espaçamento transversal, e, da armadura longitudinal deve atender aos seguintes 
limites: 
e  maior (20 mm, фL, 1,2 DMA) 
e  menor (40 cm, 2bw) 
(DMA = dimensão máxima do agregado) 
O diâmetro dos estribos, фt, deve ter no mínimo 5 mm ou ¼ do diâmetro das barras 
longitudinais isoladas (фL). O espaçamento longitudinal entre eles, medido na direção do 
eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras e garantir 
a costura das emendas, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: 
- 200 mm; 
- 12фL para aço CA-50 e 24 фL para aço CA-25; 
- menor dimensão da seção do pilar; 
Salienta-se que para seções poligonais temos 1 barra em cada canto (no mínimo) e 
para seções circulares pelo menos 6 barras distribuídas no perímetro. 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por 
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória 
sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. 
Pode ser usado фt < фL/4 desdeque as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo 
de aço e o espaçamento respeite a limitação: 
L
L
L
L
ykL
t
máx
MPaf
s  1250025,090000500125,090000)(190000
222





















 
Caso hajam força cortante e/ou momentos torsores consideráveis no pilar, os estribos 
devem ser dimensionados da mesma maneira que em vigas. 
Com vistas a garantir a ductilidade dos pilares, recomenda-se que os espaçamentos 
máximos entre os estribos sejam reduzidos em 50% para concretos de classe C51 a C90, 
com inclinação dos ganchos pelo menos 135º. 
 19 
Para proteger as barras longitudinais contra flambagem os estribos devem ser 
complementados com outros estribos ou barras retas terminadas em ganchos conforme 
figura 11 abaixo (conhecidos como “sargentos”): 
 
 
Figura 11 – Proteção contra a flambagem das barras 
Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal localizadas 
nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo, 20фt dos cantos, 
desde que neste trecho não existam mais de duas barras (NBR 6118, item 18.2.4). 
 
1.9. ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS – PARÂMETROS  e 
γz 
 
Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se 
horizontalmente. Os esforços de 2ª ordem decorrentes desses deslocamentos são 
chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, 
os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos de 2ª ordem que, em 
princípio, afetam os esforços solicitantes ao longo delas, conforme visto anteriormente. 
 
Classificação das Estruturas: de nós fixos e de nós móveis 
São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos 
deslocamentos horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem 
são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas 
estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem. 
As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são 
pequenos, e em decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores 
a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados 
tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados. 
 
 
 20 
Análise de estruturas de nós móveis 
Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente 
considerados os efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física, e, 
portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos 
globais e locais de 2ª ordem. 
 
Consideração aproximada da não linearidade física 
Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no 
mínimo quatro andares, pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira 
aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: 
- Lajes: (EI)sec = 0,3EcIc 
- Vigas: (EI)sec = 0,4 EcIc para A’s  As e 
 (EI)sec = 0,5 EcIc para A’s = As 
- Pilares: (EI)sec = 0,8 EcIc 
onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I), incluindo, quando 
for o caso, as mesas colaborantes; e Ec é o valor representativo do módulo de deformação 
do concreto, igual a: Eci = αE . 5600 fck1/2 
Os valores de rigidez adotados nesta seção são aproximados e não podem ser 
usados para avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da 
modelagem. 
Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem 
 Parâmetro de instabilidade  
 Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos 
se seu parâmetro de instabilidade  for menor que o valor 1, conforme expressão 
abaixo. Esse parâmetro é aplicado de forma aproximada, em edificações de pequeno 
porte, com até 4 pavimentos. 
ccs
k
tot
IE
N
H
 
 
onde 1 = 0,2 + 0,1n se n  3 ou 1 = 0,6 se n  4; 
n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de 
um nível pouco deslocável do subsolo; 
 21 
Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um 
nível pouco deslocável do subsolo; 
Nk é somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível 
considerado para Htot), com seu valor característico; 
Ecs é módulo de elasticidade secante do concreto; 
Ic é a somatória dos momentos de inércia dos pilares na direção considerada, 
considerando a seção bruta (estádio I), podendo ser utilizado a rigidez de um pilar 
equivalente. 
A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma: 
- calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação 
do carregamento horizontal na direção considerada. 
- calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base 
e livre no topo, de mesma altura Htot tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o 
mesmo deslocamento no topo. 
Em resumo, este método baseia-se na verificação da deslocabilidade da estrutura 
geral para uma carga horizontal qualquer, aplicada no topo da edificação, a partir da 
equação da flecha elástica para vigas em balanço com uma carga concentrada na 
extremidade (f = PL³/3EI – vide anexo). 
O valor-limite 1 = 0,6 prescrito para n  4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais 
de edifícios. 
Para associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-parede, adotar 
1 = 0,6. No caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, 
adotar 1 = 0,7. Quando só houver pórticos, adotar 1 = 0,5. 
Coeficiente γz 
O coeficiente γz, de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais, 
é valido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser 
determinado a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada 
caso de carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados na página 20. 
O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão: 
d,tot,1
d,tot
z
M
M
1
1




 
onde 
 22 
M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as 
forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à 
base da estrutura. 
Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , 
na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos 
horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem. 
Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz  1,1, e 
neste caso pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem. 
Para estruturas com γz até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e 
por conseqüência devem ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor 
dos esforços horizontais devem ser majorados em 95% do valor de γz, variando de 1,05 a 
1,24. Para estruturas com γz maiores que 1,3 esta solução aproximada não pode ser 
utilizada, devendo para tal ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem, 
como por exemplo, uma análise não linear em elementos finitos. 
 
1.10 RESUMO DAS EXIGÊNCIAS DA NBR6118/2014 
 
 
 
 
 
 
 23 
Exercício 
Um pilar de concreto armado com seção transversal de 30 cm x 30 cm e pé-direito de 
290 cm apresenta vigas superiores e inferiores de 20/50. Utilizou-se concreto com 
resistência a compressão de 30 MPa, aço CA-50 e cobrimento de 4 cm. O carregamento 
axial foi de 20 tf de compressão e tivemos dois momentos fletores,nas duas direções 
principais, indo de +5 tfxm no topo a -5 tfxm na base. Considerar a atuação de cargas 
horizontais. Dimensione o pilar descrito no enunciado. 
Resolução 
cmloul ee 3203203029034050290 
 
91,36
30
320
46,3  yx 
 
42,35
1
30
20
500
5,1225
1 


 
 > 1 → deverá ser considerada as excentricidades de segunda ordem 
Excentricidade mínima: 0,015 + 0,03x0,3 = 0,024 metros = 2,4 cm 
Excentricidade inicial: 500/20 = 25 cm 
 M1d,mín = 1,4x20000x2,4 = 67200 kgfxcm 
 
Excentricidade de segunda ordem (curvatura aproximada): 
145,0
)
4,1
300
3030(
4,120000




 
000167,0
30
005,0
)!oknão(000258,0
)5,0145,0(30
005,0
r
1



 
 
cm71,1000167,0
10
320
e
2
2 
 
 
kgfxcm74788271,1200004,15000004,11M tot,d 
 
 Excentricidade total a ser considerada: 
 
cm71,26
200004,1
747882
etotal 


 
 Excentricidade de segunda ordem (rigidez aproximada): 
 A = 5x30 = 150 
 24 
 
887600005000004,11305
320
320200004,1
200004,1.30B
2
2 


 
 
000017640000005000004,1130200004,1C 2 
 
kgfxcmM totSd 28,748787
1502
000017640000001504)88760000(88760000 2
, 



 
 
32,25145,0
200004,130
28,748787
5132aprox 







 
 
kgfxcmM totSd 82,748674
145,0
32,25120
91,36
1
4,15000001
2,





 
 Excentricidade total a ser considerada: 
 
cm74,26
200004,1
82,748674
etotal 


 
1º Caso 
duplaArmaçãok 


 295,0301,0
²253014,182
82,748674)1525(28000
 

















²24,0
)
25
5
1(
)295,0301,0(
4348
253014,182
²86,4
4348
28000)295,0211(253014,182
2
1
21 cmA
cmA
AAA
s
s
sss
 
 As = 4,86 + 0,24 = 5,1 cm² - 316 mm 
 A’s= 0,24 cm² < 316 mm 
Astotal = 316 mm + 316 mm + 116 mm + 116 mm = 16 cm² (sem sobreposição 
das barras de canto) 
Porém, devido à superposição dos efeitos oblíquos, recomenda-se sobrepor as 
áreas de aço nas duas direções. Assim: 5,1 x 4 = 20,4 cm² → 1016 mm 
Para se manter a simetria temos 1216 mm. 
 
Verificação através dos Ábacos de Iteração 
Para =0,1 
 25 
 
Para =0,2 
 
Interpolando para =0,17 
Ast = 8,48 + (0,17- 0,10)x(25,64-8,48)/0,10 = 20,49 cm² → 1216 mm 
 
Exercício 
Uma edificação de 4 pavimentos apresentou em seu modelo de cálculo 7,5 cm de 
deslocamento horizontal em seu topo após a aplicação de uma carga horizontal de 500 
kN. Sabendo-se que a altura efetiva do pórtico é de 12 metros e o somatório de cargas 
verticais, incluindo carga permanente e carga variável, é de 14200 kN. Verificar se esta 
estrutura é classificada como de nós fixos ou móveis utilizando o parâmetro  da NBR 
6118 e fazer uma conclusão sobre os conceitos envolvidos nesta variável. 
Resolução 
f = PL³/3EI  7,5 cm = 500 x 1200³/3EI  EI = 3,84x1010 
6,073,0
1084,3
14200
1200 110 
 
 
Esta edificação é de nós móveis, pois apresentou um coeficiente maior que o limite 
para 4 pavimentos. Deve-se então levar em consideração nos cálculos os efeitos de 
segunda ordem globais, ou, redimensionar a estrutura enrijecendo-o nesta direção. Seja 
com o aumento da inércia das peças estruturantes (pilares e vigas de travamento) ou com 
o engastamento das colunas na fundação. 
 
Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)
 0,17
ex/b= 0,89
ey/h= 0,89
w= 0,225
r 0,01
Ast= 8,48
Flexão Composta Oblíqua (N, Mx e My)
 0,17
ex/b= 0,89
ey/h= 0,89
w= 0,68
r 0,03
Ast= 25,64
 26 
2. TORÇÃO 
 
2.1 CONCEITOS 
 
O momento torsor em elementos usuais de edifícios pode ser classificado em dois 
grupos: 
- Torção de Equilíbrio – essenciais ao combate à ruptura das estruturas. 
 
Figura 12 – Viga em balanço 
 
Figura 13 - Laje engastada na viga 
- Torção de compatibilidade – momentos considerados secundários, que aparecem por 
efeito de coação ou impedimento à deformação. 
 
Figura 14 – Viga em grelha 
 
 27 
As condições fixadas pela NBR 6118/2014 pressupõem um modelo resistente 
constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção 
vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar, conforme visto na teoria das 
paredes finas em resistência dos materiais. Ensaios como o de Stuttgart, mostram que a 
resistência à torção é mobilizada, quase que integralmente, junto à capa da seção 
transversal. Este efeito pode ser melhor visualizado através dos gráficos na figura 15. 
 
Figura 15 – Gráficos comparativos 
Ambas as seções possuem o mesmo contorno, porem, a primeira é maciça e a segunda 
vazada. As duas seções apresentam momentos torsores resistentes praticamente iguais, 
apenas a torção correspondente ao inicio da fissuração é menor na seção vazada. 
Em seções de mesma área, porém, com relações h/bw distintas, a rigidez efetiva e a 
resistência a torção são praticamente as mesmas no ELU. Isto ocorre por que a resistência 
a torção é obtida junto à capa externa da seção transversal. 
 
Figura 16 – Evolução da Torção em uma seção retangular vazada 
 
Podemos concluir então que uma seção quadrada maciça, no estádio II (concreto não 
plastificou a compressão), apresenta a mesma capacidade resistente de uma seção vazada, 
 28 
com armaduras iguais. 
As diagonais de compressão dessa treliça espacial descrita acima e mostrada na figura 
abaixo, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada pelo 
projeto no intervalo 30º    45º (45º seria conservador). 
 
Figura 17 – Treliça espacial para viga com torção simples com armadura 
longitudinal e transversal (Leonhardt & Mönnig, 1982) 
 
Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir 
armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura 
deve ser constituída por estribos verticais periféricos normais ao eixo do elemento 
estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente, 
calculada de acordo com as prescrições normativas e com a taxa geométrica mínima dada 
pela seguinte expressão: 
MPafcom
sb
A
uh
A
ywkmínw
w
sw
sw
ee
sl
sl
500, 









r
r
r
 
3/2
3/2
, %012,0
3,0
2,02,0 ck
y
ck
ywk
ctm
mínw f
f
f
f
f
r
(fck em MPa e menor que C55) 
)11,01ln(%0848,0
)11,01ln(12,2
2,02,0, ck
y
ck
ywk
ctm
mínw f
f
f
f
f


r (fck em MPa e 
maior que C55) 
Quando a torção não for necessária ao equilíbrio, caso da torção de compatibilidade, 
 29 
é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a capacidade adequada de 
adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os 
efeitos por ela provocados. Em regiões onde o comprimento do elemento sujeito a torção 
seja menor ou igual às 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação 
plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que: 
Vsd  0,7 VRd2. 
Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras 
longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente (em 
armaduras duplas os ramos devem ser avaliados no que tange seu posicionamento). 
Os estribos por torção devem ser fechados em todo seu contorno, envolvendo as 
barras longitudinais de tração, e com asextremidades adequadamente ancoradas por meio 
de ganchos em ângulo de 45º. 
As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou 
concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm. 
Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo 
menos uma barra longitudinal. 
O diâmetro da barra que constitui o estribo (como visto no estudo do cisalhamento), 
segundo a NBR 6118/2014, deve ser maior ou igual a 5 mm, sem exceder 1/10 da largura 
da alma da viga – bw. 
O espaçamento mínimo entre estribos, medidos segundo o eixo longitudinal do 
elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O 
espaçamento máximo deve atender às seguintes recomendações. 
- se 




cm
d
sVV máxRdd 30
6,0
67,0 2
 
- se 





cm
d
sVV máxRdd 20
3,0
67,0 2
 
 
 
 
 
 
 30 
2.2 MÉTODO DE VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA A TORÇÃO 
 
Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural, em uma dada seção, 
quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições: 
1. TSd  TRd,2 
2. TSd  TRd,3 
3. TSd  TRd,4 
onde 
TSd é o momento torsor solicitante de cálculo na seção. 
TRd,2 representa o limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto; 
TRd,3 representa o limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do 
elemento estrutural; 
TRd,4 representa o limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, 
paralelas ao eixo do elemento estrutural. 
 Verificação da compressão diagonal do concreto 
A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida 
por: 
TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 
onde 
v2 = 1 – fck/250, com fck expresso em MPa; 
 é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º    45º; 
Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, 
incluindo a parte vazada; 
he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto 
considerado. 
u
A
hc e 12
 
onde c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do 
elemento estrutural. 
A é a área e u é o perímetro da seção cheia. 
Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/u  bw – 2c1 e a superfície média 
da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto, respeitando 
 31 
o cobrimento exigido nos estribos. 
Verificação da armadura transversal 
Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à 
parede equivalente, sendo que a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do 
elemento estrutural é dada por: 
TRd3 = (As90/s) fywd 2Ae cotg 
onde fywd é o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço da armadura passiva, 
limitada a 435 MPa. 
 Verificação da armadura longitudinal 
A resistência decorrente das armaduras longitudinais é dada pela seguinte 
expressão: 
TRd4 = (Asl/ue) fywd 2Ae tg 
onde Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais e ue é o perímetro de Ae. 
A armadura longitudinal de torção, de área total Asl, deve manter obrigatoriamente 
constante a relação Asl/u, onde u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, 
correspondente a cada barra ou feixe de barras de área Asl. 
 
2.3 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: FLEXÃO E TORÇÃO 
 
Determinar as armaduras longitudinais para cada solicitação individualmente. 
 - Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção deve ser acrescentada à 
armadura necessária para as solicitações normais, considerando-se em cada seção os 
esforços que agem concomitantemente. 
 - No banzo comprimido pela flexão, a armadura de torção pode ser reduzida em 
função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de 
comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas. 
 Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais 
intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente 
em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal não deve superar 0,85fcd. 
Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a 
partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão 
 32 
tangencial de torção calculada por: 
ee
d
Td
hA
T
2

 
2.4 SOLICITAÇÕES COMBINADAS: TORÇÃO E FORÇA CORTANTE 
 
Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de 
inclinação das bielas de concreto  coincidentes para os dois esforços. 
Quando for utilizado o modelo I para o estudo do cisalhamento, que se subentende  
= 45º, esse deve ser o valor considerado também para a torção. 
A verificação da resistência à compressão do concreto deve ser realizada através da 
seguinte fórmula: 
1
22

Rd
Sd
Rd
Sd
T
T
V
V
 
onde VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção. 
A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas 
separadamente para VSd e TSd. 
Exercício 
 Determinar a armadura transversal e verificar a seção de concreto para a viga 
esquematizada abaixo. Dados: fck = 25 MPa e aço CA-50. 
Resolução 
Diagramas de esforços solicitantes 
 
 33 
Força Cortante 
Adotando o Modelo I (= 90º e = 45º) 
Verificação do concreto: 
dbfV wcdvRd 22 27,0 
 
90,0250/251250/12  ckv f 
kNVkNV máxdRd 56404,13,2342720
4,1
5,2
90,027,0 ,2 
 
Biela comprimida ok! 
Armadura transversal necessária 
Vc= 0,09 x fck
2/3 x bw x d = 0,09 x 25
2/3 x 20 x 27 = 415,52 = 41,55 kN 
%0683,0000683,0
48,4327209,0
55,4156
9,0






ywdw
cd
w
sw
sw
dfb
VV
sb
Ar
)1(/²00683,0
2
01366,01
/²01366,020000683,0 ramocmcm
s
As
cmcm
s
Asw 
Momento Torsor 
Espessura da parede equivalente 
 
he = 6 cm 
Verificação do concreto (adotando = 45º) 
TRd,2 = 0,50 v2 fcd Ae he sen2 = 0,50 x 0,90 x 2,5/1,4 x 6 x 336 x sen90º = 
1620 kNxcm 
onde Ae = (30 - 6) x (20 - 6) = 336 cm² 
TRd2 = 16,2 kNxm > Td,máx = 1,4x8 = 11,2 kNxm 
Armadura transversal necessária 
%192,000192,0
120336248,43
1120
cot2


 r gbAf T weywd dsw
 
)1(/²0384,02000192,090 ramocmcm
s
As 
 
Armadura longitudinal necessária 
²91,2
148,433362
761120
2
cm
tgfA
uT
A
ywde
d
s 


 
 
u = 2 x 14 + 2 x 24 = 76 cm 
 
cmch
cm
u
A
h
e
e
6322
6
30202
3020
1 




 34 
Solicitações combinadas: torção e força cortante 
193,0
2,16
2,11
3,234
56
1
22

Rd
Sd
Rd
Sd
T
T
V
V
 
Detalhamento 
Armadura transversal 
)1(/²04523,00384,000683,0901 ramocmcm
s
A
s
A ss 
 
Taxa de armadura mínima 
sw
ywk
ctm
mínsw
f
f rr   %103,01003,1
500
253,0
2,02,0 3
3/2
,
 
%260,0068,0192,0  swVswTsw rrr 
Armadura transversal total  0,0683% x 20 x 100/2 + 0,192% x 20 x 100 = 
4,523 cm²/m 
Adotando 8 mm (Asф= 0,503 cm²) temos: 
cmen 11
99,8
100
99,8
503,0
523,4

 


 

cm
cm
smáx 30
16276,0
3,23467,056
 
8 mm a cada 11 cm 
 
 
 
 
 
 35 
3. PUNÇÃO 
 
 
 
Figura 18 – Panorama da fissuração em uma laje puncionada 
 
 
3.1 COMPORTAMENTO DE LAJES SOB CARGA DE PUNÇÃO 
 
Com relação ao comportamento das lajes sob o carregamento de punção, os ensaios 
mostram que as deformaçõescircunferenciais são inicialmente maiores que as 
deformações radiais [Leonhardt e Mönnig (1979)]. Por isso, as fissuras radiais surgem 
em primeiro lugar. Somente no ato do colapso há formação de uma fissura quase circular, 
que limita o contorno de um sólido deslocado ao redor do pilar. Segundo CORDOVIL 
(1997), a distância dessa fissura circular indica até onde a superfície de ruptura se estende. 
Em lajes sem armadura de cisalhamento, essa superfície atinge distâncias que variam 
entre duas a três vezes a altura útil d da laje, como ilustra a figura 19. O sólido deslocado 
tem a semelhança de um tronco de cone, entretanto, com uma irregularidade acentuada. 
 
 
 
 
Figura 19 – Zona de ruptura em lajes submetidas à punção, sem armadura transversal 
CORDOVIL (1997) ressalta ainda que, no caso de lajes com armadura de 
cisalhamento, a superfície de ruptura pode ocorrer em três posições diferentes: 
- na zona entre o pilar e a primeira camada da armadura de cisalhamento, com 
ruptura somente do concreto adjacente ao pilar (punção restrita); 
 36 
- na zona com armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto e da armadura 
transversal (punção não restrita internamente à armadura transversal); 
- na zona situada além da armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto 
(punção não restrita externamente à armadura transversal). 
A situação ideal seria a segunda condição, isto é, quando há ruptura da armadura 
transversal. Assim, a armadura entraria em escoamento plástico, aumentando a 
ductilidade da estrutura antes do colapso da laje. A figura 20 mostra os tipos de ruptura 
em lajes com armadura de punção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Zonas de ruptura em lajes submetidas à punção com armadura transversal 
 
3.2 MODELO MECÂNICO 
 
KINNUNEN e NYLANDER (1960) apud CORDOVIL (1997) apresentaram um 
modelo mecânico para a ruptura da laje, sem armadura transversal, por punção de pilar 
circular no qual a ruína ocorre a partir deste com o deslocamento de um sólido interno 
(vide figura 21). Esse sólido teria a forma aproximada de um tronco de cone, com a 
superfície inclinada entre 25º e 30º em relação ao plano da laje. 
Na zona contígua ao tronco de cone, a laje seria dividida em elementos rígidos 
iguais, limitados pela superfície inclinada e por fissuras radiais. Cada elemento rígido 
produziria um trabalho decorrente da rotação em torno de um ponto chamado “centro de 
 37 
rotação” CR, como mostra a figura 22. Esse ponto seria o limite entre dois estágios ideais 
de fissuração: as fissuras que limitam a superfície inclinada, bem como as fissuras radiais, 
seriam formadas antes da ruptura da laje, e a fissura localizada entre a periferia do pilar e 
o CR somente seria formada no instante da ruptura da laje. 
A partir dessas hipóteses de funcionamento, é possível estabelecer as condições de 
equilíbrio entre os esforços externos e internos, mostrados na figura 21. Nessas 
circunstâncias, há condições de se estabelecer uma teoria próxima da realidade, bastando, 
para isso, aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, supondo a rotação do elemento como 
mostra a figura 22. Porém, como o modelo estudado por KINNUNEN e NYLANDER foi 
realizado em pilares circulares, quando se tenta estender essa teoria para formas 
quadradas ou retangulares, a formulação fica pouco confiável. 
 
Figura 21 – Modelo mecânico de KINNUNEN e NYLANDER 
 
 
 38 
Figura 22 – Esquema da fissuração inclinada e da rotação dos segmentos da laje 
 
3.3 CRITÉRIOS DA NBR 6118/2014 
 
O modelo de cálculo proposto pela NBR 6118/2014 corresponde à verificação do 
cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas ou seções de controle, definidas no 
entorno de forças concentradas. 
Na primeira superfície crítica, denominada de contorno C do pilar ou carga 
concentrada, verifica-se, indiretamente, a tensão de compressão diagonal do concreto, por 
meio de uma tensão de cisalhamento. 
Na segunda superfície crítica, denominada de contorno C’ e localizada a uma 
distância 2d do pilar ou carga concentrada, verifica-se a capacidade da ligação à punção, 
associada à ruína por tração diagonal, por meio também de uma tensão de cisalhamento. 
Caso haja necessidade, essa ligação deve ser reforçada por uma armadura transversal. 
A terceira superfície crítica, denominada de contorno C”, apenas deve ser 
verificada quando for necessário se colocar armadura transversal. 
Seções de Controle 
Apresentam-se, a seguir, as formas dos perímetros críticos utilizados nas análises 
de punção para pilares internos em lajes lisas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 - Perímetros críticos em pilares internos 
No caso de pilares com capitel (engrossamento localizado da laje), em lajes 
denominadas cogumelo, devem ser feitas verificações nos contornos críticos C’1 e C’2, 
conforme ilustra a figura 24. As verificações são: 
 se lc  2(dc – d), verifica-se somente o Contorno C’2; 
 se 2(dc – d) < lc  2 dc , basta verificar o Contorno C’1; e 
 se lc > 2 dc, é necessário verificar os Contornos C’1 e C’2. 
 39 
 
 
d = altura útil da laje no Contorno C’2; 
dc = altura útil da laje na face do pilar ou da carga concentrada; 
da = altura útil da laje no Contorno C’1; e 
lc = distância entre a borda do capitel e a face do pilar. 
Figura 24 - Perímetros críticos em lajes cogumelo 
A NBR 6118/2014 apresenta ainda prescrições para pilares com geometrias 
irregulares, pilares com reentrâncias e próximos a aberturas. Nesses casos, os contornos 
C e C’ são determinados conforme mostra a figura 25. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 - Perímetros críticos em casos de pilares especiais 
Cálculo da tensão solicitante nas superfícies críticas de contorno C e C’ 
Pilar com carregamento simétrico 
Neste caso, a tensão de cisalhamento é dada por: 
ud
Fsd
sd 
, 
d = (dx + dy)/2, 
 40 
onde: 
 
 Fsd é a força ou reação concentrada de cálculo; 
 u é o valor numérico do perímetro do contorno crítico (u0 para C e u para C’); 
 d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C ou C’; e 
 dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais. 
Pilar com efeito de momento 
Devido à assimetria do carregamento, a tensão de cisalhamento é dada por: 
dW
kM
ud
F
p
sdsd
sd 
, 
onde: 
 
 Msd é o momento de cálculo transmitido da laje ao pilar; 
 k é o coeficiente que fornece a parcela de Msd, transmitida ao pilar por cisalhamento, 
que depende da relação c1/c2; e 
 Wp é o módulo de resistência plástica do perímetro crítico em questão. Wp pode ser 
calculado nas duas direções, tendo assim uma variação de x em relação a y e vice-
versa. Esta variação do parâmetro será chamado, nas equações, de Wp1 e Wp2. 
O coeficiente k assume os valores dados na tabela abaixo. 
Tabela 2 - Valores de k 
c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0 
k 0,45 0,60 0,70 0,80 
c1 é a dimensão do pilar, paralela à excentricidade da força e 
c2 é a dimensão do pilar, perpendicular à excentricidade da força. 
 
Para pilares circulares internos, deve ser adotado o valor K= 0,6. 
Os valores de Wp devem ser calculados pelas expressões a seguir: 
- para um pilar retangular: 
 contorno C  Wp1 = c1²/2 + c1c2 & Wp2 = c2²/2 + c2c1 
 contorno C’ Wp1 = c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 & Wp2 = c2²/2 + c2c1 
+ 4c1d + 16d² + 2dc2 
 41 
 contorno C” Wp1 = c1²/2 + c1c2 + 4c2d + 16d² + 2dc1 + 2c2β + 16dβ + 4β²+ c1β & Wp2 = c2²/2 + c2c1 + 4c1d + 16d² + 2dc2 + 2c1β + 16dβ + 4β² + c2β 
onde β é a distância da face do pilar até a última linha de conectores, ou haste da armadura 
de punção. 
- para um pilar circular: 
 contorno C  Wp = D² 
 contorno C’ Wp = (D + 4d)² 
 contorno C” Wp = (D + 2β +4d)² 
onde D é o diâmetro do pilar, d é a altura útil da laje e β é a distância da face do pilar até 
a última linha de conectores, ou haste da armadura de punção; 
 
Wp pode ser calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico através 
da seguinte expressão: 
 
dleW
u
p  
0
, 
onde: 
 
 dl é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u; 
 e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua o 
momento em questão. 
No caso de existirem momentos em duas direções ortogonais, a expressão de sd é dada 
por: 
dW
M
k
dW
M
k
du
F
p
sd
p
sdsd
sd




2
2
2
1
1
1
.

, 
Fazendo-se as adaptações necessárias para k1 e k2, bem como para Wp1 e Wp2. A figura 26 
esclarece as associações dos momentos com os lados da seção. 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 - Associação dos lados da seção do pilar com os momentos fletores 
 42 
 
Cálculo da tensão resistente nas superfícies críticas de contorno C, C’ e C’’ 
Contorno C 
Neste caso a tensão resistente de compressão diagonal do concreto é igual a: 
cdvRdsd f 27,02 
, 
v = (1 - fck/250), com fck em MPa, 
onde: 
 αv é o fator de fragilidade do concreto; e 
 fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto. 
O valor de Rd2 poderá ser ampliado em 20%, quando os vãos que chegam ao pilar em 
questão não diferem entre si em mais de 50%, e se não existirem aberturas junto ao pilar, 
ou seja, 
cdvRd f 324,02 
. 
Contorno C’ 
a) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos sem armadura de punção: 
  3
1
1 100
20
113,0 ckRdsd f
d
r 







, 
yx rrr 
, 
onde: 
 d é a altura útil média da laje ao longo do contorno crítico C’, em centímetros; 
 r é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente; 
 fck é a resistência característica à compressão do concreto, em MPa; 
 rx e ry são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais, assim calculadas: 
- na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar, acrescida de 3d para cada 
um dos lados; 
- no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor 
que 3d. 
b) Tensão resistente em elementos estruturais ou trechos com armadura de punção: 
 
)(
5,1100
20
110,0 3
1
3
uds
senfdA
f
d r
ywdsw
ckRdsd
r 







, 
 43 
onde: 
 sr é o espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, sempre menor ou 
igual a  0,75d; 
 Asw é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo a C´; 
 α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; 
 u é o valor numérico do perímetro crítico; 
 fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para 
conectores, ou 250 MPa para estribos (CA-50 ou CA-60). Para lajes com espessura 
maior que 15 cm, pode assumir os seguintes valores: 
fywd = 250 + 185(h-15)/20 MPa, para 15 < h ≤ 35 cm 
fywd = 435 MPa, para h > 35 cm 
Quando for necessário utilizar armadura de combate à punção, ela deve ser estendida em 
contornos paralelos a C’ até que, em um contorno C’’ afastado 2d do último contorno de 
armadura (figura 27), não seja mais necessária armadura, isto é 
1Rdsd  
. 
 
 Figura 27 - Disposição da armadura de punção em planta e contorno C’’ 
Pilares de borda e canto 
A Norma brasileira NBR 6118/2014 analisa individualmente as situações de aplicação 
de cargas concentradas nas áreas limites das lajes, mais especificamente as bordas e os 
cantos. 
Tratando dos pilares de borda, quando não agir momento no plano paralelo à borda 
livre: 
 44 
d W
 MK
d*u
F
τ
p1
Sd11Sd
Sd 
 
sendo: 
MSd1 = (MSd - MSd*)  0 (pode-se considerar MSd* igual a zero à favor da segurança) 
onde: 
FSd é a reação de apoio; 
u* é o perímetro crítico reduzido; 
MSd é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre; 
MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido 
u* em relação ao centro do pilar; 
 WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o 
perímetro u. 
O coeficiente K1 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, com c1 e c2 
de acordo com a figura 28 
 
 
Figura 28 - Perímetro crítico em pilares de borda 
 
Quando agir momento no plano paralelo à borda livre: 
d W
 MK
d W
 MK
d*u
F
2p
2Sd2
1p
1Sd1Sd
Sd 
 
onde: 
MSd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre; 
WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo 
perímetro u. 
O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos para K na tabela 2, substituindo-
se c1/c2 por c2/2c1 (sendo c1 e c2 estabelecidos na figura 28). 
 45 
Com relação aos pilares de canto aplica-se o disposto para o pilar de borda quando 
não age momento no plano paralelo à borda. 
Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação 
separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é 
perpendicular à borda livre adotada. 
Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção c1/c2, sendo c1 e c2, 
respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, 
conforme tabela 2 (ver figura 29). 
 
 
Figura 29 - Perímetro crítico em pilares de canto 
 
 Devido a um certo grau de complexidade nas interpretações das superfícies 
críticas nos casos onde há pilares de canto e de borda, bem como na determinação dos 
respectivos módulos de resistência plástica, optou-se por apresentar em anexo todas as 
expressões práticas para aplicação direta (ANEXO 9.4 – página 106). 
Detalhamento da armadura de punção 
As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem 
como as distâncias regulamentares a serem obedecidas estão na figura 30. 
 
 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 - Detalhamento da armadura de punção 
No caso de a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, 
deve ser prevista armadura de punção, mesmo que Sd seja menor que Rd1. Essa armadura 
deve equilibrar um mínimo de 50% de FSd. 
A armadura de colapso progressivo, vista na figura 30, deve ser tal que: 
yd
Sd
ccp,s
f
F5,1
A 
 
onde As,ccp é o somatório de todas as áreas das barras inferiores que cruzam cada 
uma das faces do pilar e FSd pode ser calculado com γf (coeficiente de majoração dos 
carregamentos) igual a 1,2. 
A NBR 6118/2014 apresenta ainda as seguintes prescrições referentes ao 
detalhamento da armadura: 
 para resistir à punção, as armaduras devem ser constituídas, de preferência, por 
conectores do tipo “stud”, sendo permitido o uso de estribos verticais; 
 o diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20, onde h é a espessura da laje. 
Além disso, deve haver contato mecânico das barras longitudinais com os cantos dos 
estribos (ancoragem mecânica), conforme mostra a figura31; 
mínimo de 3 linhas de conectores, estribos ou pinos, com suas 
extremidades ancoradas fora do plano da armadura de flexão 
Armadura contra colapso 
progressivo (armadura que 
aumenta a ductilidade da ligação 
na fase de pós puncionamento, 
redistribuindo os esforços de 
modo a evitar a ocorrência do 
colapso progressivo) 
 47 
 as armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento 
durante a concretagem. 
 
 
Figura 31 - Ancoragem da armadura de punção 
 
Exercício 
Considerando as seguintes características para o dimensionamento à punção da laje com 
carregamento usual para prédios de apartamentos convencionais. 
 
Trata-se de um pilar de centro com carga total de 300 kN/pavimento (Fsd = 300x1,4 = 
420kN) e dimensões 100 x 35 cm, laje de espessura total de 17 cm (altura útil 15 cm) e 
concreto fck = 30 MPa. 
Os vários contornos críticos a se considerar são: 
Ao longo da superfície crítica C: u = 2 × 100 + 2 × 35 = 270,00 cm 
Ao longo da superfície crítica C’: u* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  ×30 = 458,50 cm 
Ao longo da superfície crítica C”: uo* = 2 × 100 + 2 × 35 + 2 ×  × 60 = 647,00 cm 
 
 
 48 
 
Taxa de armadura: 
rx = 10 c/ 20 → rx = As/Ac → rx = 4 cm² / 100 cm x 15 cm – 0,27% 
10 = 0,79 cm² → 100/20 = 5 → 5 x 0,79  4 cm² 
ry = 10 c/ 20 → ry = As/Ac → ry = 4 cm² / 100 cm x 15 cm – 0,27% 
10 = 0,79 cm² → 100/20 = 5 → 5 x 0,79  4 cm² 
%27,027,027,0 r
 
Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica 
2RdSd  
 
MPa
du
FSd
Sd 04,1
15,070,2
420,0





 
MPaff cdckRd 09,54,1/30)250/301(27,0)250/1(27,02  
!09,504,12 okMPaRdSd  
Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’ para não armar 
1RdSd  
 
MPa
du
FSd
Sd 61,0
15,058,4
420,0
*





 
MPafd ckRd 56,0)300027,0100)(15/201(13,0)100)(/201(13,0
3/13/1
1  r
 
ArmarokNãoMPaRdSd  !56,061,01 
Cálculo da armadura 
3RdSd  
 
MPaSd 61,0
 
 49 
*
5,1
3,1
1
3
us
fA
r
ywdswRd
Rd




 
Isolando Asw/sr tem-se: 
²cm204,0
5,2685,1
5,458)3,1/56,061,0(
f5,1
*u)3,1/(
s
A
ywd
1RdSd
r
sw 







 
Com 
MPaf ywd 5,268
20
)1517(185
250 


 
Definindo sr = 11,3 cm → Asw = 0,204 x 11,3 = 2,31 cm² 
Seguindo as premissas da norma para o correto posicionamento da armadura obtemos: 
nciacircunferêporbarras17barras62,16
139,0
31,2
Quantidade 
 
Utilizaremos, portanto, como forma de melhorar a distribuição das armaduras 
transversais, 18 barras de 4,2 mm de diâmetro – 4 barras paralelas a face maior + 3 barras 
paralelas a face menor + 1 barra em cada prolongamento de canto – por “perímetro”. 
Porém, nada impediria a utilização das 17 barras, aleatoriamente, conforme calculado. 
 
Verificação da tensão resistente na superfície crítica C” 
1RdSd  
 
MPa
du
FSd
Sd 43,0
15,047,6
420,0
*0





 
MPafd ckRd 56,0)300027,0100)(15/201(13,0)100)(/201(13,0
3/13/1
1  r
!56,043,01 okMPaRdSd  
Armadura de colapso progressivo 
5,1210m/²cm42,12
²cm/kN48,43
kN3005,12,1
f
*F
A
yd
Sd
s 
 
 50 
4. LAJES NERVURADAS 
4.1 Introdução 
 
Figura 32 – Elementos da laje nervurada 
Uma laje nervurada é constituída por um conjunto de vigas que se cruzam, 
solidarizadas pela mesa. Esse elemento estrutural terá comportamento intermediário entre 
o de uma laje maciça e o de uma grelha. 
Segundo a NBR 6118/2014, lajes nervuradas são "lajes moldadas no local ou com 
nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas 
nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte." 
As evoluções arquitetônicas, que forçaram o aumento dos vãos (de 5 a 15 metros), 
e o alto custo das formas tornam as lajes maciças desfavoráveis economicamente, em 
alguns casos. Surgem, como uma das alternativas, as lajes nervuradas (ver figura 33). 
 
Figura 33 – Laje nervurada bidirecional 
Resultantes da eliminação do concreto abaixo da linha neutra, elas propiciam uma 
redução no peso próprio e um melhor aproveitamento do aço e do concreto. A 
resistência à tração é concentrada nas nervuras, e os materiais de enchimento têm 
como função única substituir o concreto, sem colaborar na resistência. 
 Essas reduções propiciam uma economia de materiais, de mão-de-obra e de 
formas, aumentando assim a viabilidade do sistema construtivo. Além disso, o emprego 
de lajes nervuradas simplifica a execução e permite a industrialização, com redução de 
 51 
perdas e aumento da produtividade, racionalizando a construção. 
 Essas nervuras podem ser numa só direção ou nas duas direções constituindo, 
como nas lajes maciças, lajes nervuradas armadas em uma só direção e lajes de armaduras 
cruzadas. 
 No anexo desse estudo um catálogo técnico é apresentado, mais precisamente de 
uma das mais conceituadas empresas, em termos nacionais, da comercialização e 
otimização deste tipo de laje: a forma ATEX. 
 
4.2 Prescrições Normativas 
Para que essas lajes gozem do todos os dispositivos regulamentares no tocante a 
regime de cálculo, a NBR 6118 estabelece que a espessura da mesa (elemento laminar), 
quando não existirem tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 
da distância entre as faces das nervuras (a) e não menor que 4 cm. 





15
a
cm4
h f
 
O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm, quando existirem 
tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm. Para tubulações com 
diâmetro maior que 10 mm, a mesa deve ter a espessura mínima de : 
 - 4 cm + o diâmetro da tubulação ou 4 cm + duas vezes o diâmetro da tubulação 
no caso de haver cruzamento destas tubulações. 
A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm. 
Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de 
compressão (armadura dupla). Nesses casos adotamos expedientes como “alargar” as 
nervuras nestas regiões. 
Para o projeto das lajes nervuradas, devem ser obedecidas as seguintes condições: 
a) para lajes com espaçamentos entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, 
pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do 
cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios 
da laje; 
b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 e 110 cm, exige-
se a verificação da flexão da mesa, e as nervuras devem ser verificadas ao 
cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o 
espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das 
 52 
nervuras for maior que 12 cm; 
c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 
cm, a mesa deve ser projetada como lajes maciça, apoiada na grelha de vigas, 
respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. 
Os apoios das lajes nervuradas devem sempre ser feitos ao longo das nervuras, 
podendo também ser necessária a utilização de capitéis ou engrossamentos locais nas 
lajes. 
As lajes pré-moldadas devem atender adicionalmente às prescrições das normas 
brasileiras especificas (ABNT NBR 9062). 
As lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das 
nervuras, desprezadas a rigidez transversal e a rigidez á torção. Por outro lado, as lajes 
nervuradas bidirecionais, podem ser calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como 
lajes maciças. 
 
Figura 34 – Seção típica de uma laje nervurada4.3 Tipos de Lajes Nervuradas 
As lajes nervuradas podem ser moldadas no local ou podem ser executadas com 
nervuras pré-moldadas. 
a) Laje moldada no local 
Todas as etapas de execução são realizadas "in loco". Portanto, é necessário o uso 
de formas e de escoramentos, além do material de enchimento. Pode-se utilizar formas 
para substituir os materiais inertes. Essas formas já são encontradas em polipropileno ou 
em metal, com dimensões moduladas, sendo necessário utilizar desmoldantes iguais aos 
empregados nas lajes maciças (figura 35). 
b) Laje com nervuras pré-moldadas 
Nessa alternativa, as nervuras são compostas de vigotas pré-moldadas, que 
dispensam o uso do tabuleiro da forma tradicional. Essas vigotas são capazes de suportar 
 53 
seu peso próprio e as ações de construção, necessitando apenas de cimbramentos 
intermediários. Além das vigotas, essas lajes são constituídas de elementos de 
enchimento, que são colocados sobre os elementos pré-moldados, e também de concreto 
moldado no local. Há três tipos de vigotas (figura 36). 
 
Figura 35 – Laje nervurada moldada no local 
 
Figura 36 – Vigotas pré-moldadas 
 
4.4 Vinculação 
Para as lajes nervuradas, procura-se evitar engastes e balanços, visto que, nesses 
casos, têm-se esforços de compressão na face inferior, região em que a área de concreto 
é reduzida. Nos casos em que o engastamento for necessário, duas providências são 
possíveis: 
• limitar o momento fletor ao valor correspondente à resistência da nervura à 
compressão; 
• utilizar mesa na parte inferior (figura 37), situação conhecida como laje 
dupla, ou região maciça de dimensão adequada (capitéis como visto acima). 
 54 
 
 
Figura 37 – Diagrama de momentos para lajes nervuradas contínuas 
 
4.5 Dimensionamento 
O dimensionamento das lajes nervuradas é feito através da consideração das 
nervuras como vigas “T” ou “L”. Assim devem-se observar as orientações normativas, 
bem com os cálculos, referentes a estas peças, conforme estudado anteriormente. 
 
Figura 38 – Considerações em vigas “T” ou “L” 




2
1
5,0
1,0
b
a
b
 



4
3
1,0
b
a
b
 
onde 








balançoemvigaeml
contínuavigadeernovãoeml
contínuavigadeextremovãoeml
isostáticavigaeml
a
2
int6,0
75,0
 com l igual ao vão da viga 
 55 
 
No caso dos momentos fletores devemos fazer duas considerações: 
Caso 1 – se as nervuras e o espaçamento entre elas são iguais (inércias iguais nas duas 
direções), conforme visto na figura 39. 
 
Figura 39 – Laje nervurada com inércias iguais (env(a) = env(b)) 
 
Caso 2 – se as nervuras e/ou os espaçamentos entre elas são diferentes (inércias 
diferentes entre as duas direções), conforme visto na figura 40. 
 
 
Figura 40 – Laje nervurada com inércias diferentes (env(a)  env(b)) 
 
No caso 1 calculamos os esforços como lajes comuns utilizando para tal qualquer 
tabela de laje, exceto as que consideram como princípio básico as “linhas de ruptura”. 
Sendo assim utilizaremos a tabela de “Bares” de momentos fletores em regime elástico. 
 
Tabela 3 – Momentos Fletores – Regime elástico 
 56 
 
 
No caso 2 os esforços são calculados utilizando-se a “teoria das grelhas” que tem 
como princípio básico a compatibilidade das flechas das nervuras nas direções a e b. 
Assim determinam-se “quinhões de carga” para cada direção. Procedendo-se assim 
reduzimos o problema da bi-flexão das lajes em duas flexões ortogonais “independentes”. 
Neste caso não levamos em consideração o efeito benéfico dos momentos volventes que 
reduzem o efeito dos momentos fletores positivos atuantes. 
Assim temos: 
qa = ka x q ou qb = kb x q 
ab4
a
b
b
a
a k1kou
b
a
I
I
c
c
1
1
k 








 
onde q é a carga total atuante na laje; 
qa é o quinhão de carga atuante na direção a; 
ca é o coeficiente do tipo de apoio na direção a; 
Ia é o momento de inércia na direção a em uma faixa unitária (1 metro); 
qb é o quinhão de carga atuante na direção b; 
cb é o coeficiente do tipo de apoio na direção b; 
Ib é o momento de inércia na direção b em uma faixa unitária (1 metro); 
 57 
a e b são os vãos da laje. 
 
Teoria das Grelhas 
Se observarmos as fórmulas das flechas (ou deslocamentos elásticos) de vigas de um 
só tramo, conforme anexo, notamos que elas podem ser escritas da seguinte forma: 
EI
ql
cf
4

onde c pode ter os seguintes valores conforme os tipos de apoios 
1) c = 5/384  viga bi-apoiada → caso 6; 
2) c= 3/554 (ou 2,07/384)  viga apoiada-engastada → caso 14; 
3) c= 1/384  viga bi-engastada → caso 18; 
Assim, podemos escrever para cada direção, considerando representativa uma “faixa 
unitária”: 
bb
4
b
bb
aa
4
a
aa
IE
bq
cfe
IE
aq
cf 
 
onde fa é a flecha máxima, da faixa unitária, na direção a; 
fb é a flecha máxima, da faixa unitária, na direção b; 
Ea e Eb são os módulos de elasticidade do material nas direções a e b respectivamente. 
 
Figura 41 – “Faixas unitárias” na laje nervurada 
 Mas fa = fb (equação de compatibilidade), logo; 
bb
4
b
b
aa
4
a
a
IE
bq
c
IE
aq
c 
desenvolvendo, temos: 
4
bba
4
aab
b
a
aIEc
bIEc
q
q




4
aab
4
bba
4
aab
ba
a
bIEcaIEc
bIEc
qq
q




 
Porém sabemos que qa + qb = q e como o concreto armado tem o mesmo módulo 
de elasticidade nas duas direções, temos: 
 58 
q
bIcaIc
bIc
q
4
ab
4
ba
4
ab
a 



ou 
q
b
a
I
I
c
c
1
1
q
4
a
b
b
a
a 








 ou ainda 
qa = ka x q onde 
4
a
b
b
a
a
b
a
I
I
c
c
1
1
k








 
Analogamente: 
qb = kb x q onde 
4
b
a
a
b
b
a
b
I
I
c
c
1
1
k








 
Exercício 
Dimensionar a laje nervurada abaixo para um concreto com fck = 20 MPa, aço CA-50, 
sobrecarga de 200 kgf/m², 50 kgf/m² de revestimento e utilizando tijolos cerâmicos 
furados como enchimento das nervuras. Adotar cobrimento igual a 2 cm. 
 
Cálculo do peso próprio 
Volume da unidade: 0,50 x 0,50 x 0,17 = 0,0425 m³ 
Volume de tijolos: 0,4 x 0,4 x 0,1 = 0,0160 m³ 
Volume de concreto: 0,0425 – 0,0160 = 0,0265 m³ 
Peso da unidade 
0,0265 x 2500 + 0,0160 x 1300 = 87,05 kgf 
Peso por metro quadrado de laje 
87,05  0,5 x 0,5 = 348,20 kgf/m²  350 kgf/m² 
Carga total na laje: 
q = 350 + 200 + 50 = 600 kgf/m² 
Cálculo dos momentos fletores 
Neste caso a laje tem inércias iguais nas duas direções. Assim adotaremos a tabela 3 para 
o cálculo. 
 59 
b/a = 1000/800 = 1,25  laje tipo 1  ma = 16,45 e mb = 23,95 
Ma = 600 x 8²/ 16,45 = 2334 kgf x m/m 
Mb = 600 x 8²/ 23,95 = 1603 kgf x m/m 
ou 
Ma = 2334 x 0,50/1,00 = 1167 kgf x m/nervura 
Mb = 1603 x 0,50/1,00 = 801 kgf x m/nervura 
Dimensionamento como viga “T” 
Para Ma 
Cálculo de bf 






20405,0
808001,0
b1
 
bf = 10 + 20 + 20 = 50 cm 
Armadura para as nervuras 
²cm/kgf43,121
4,1
20085,0
fc 


 
d = h – d’ = 17 – 3 = 14 cm 



















duplaArmaçãokkkk
hbgularreSeçãok
simplesArmaçãokkkk
d
h
d
h
b
b
dbf
M
k
LL
f
L
ff
w
f
wc
d
'
tan0
'
)
2
1(1
²
 
hbgulartanreSeção0k813,0)
142
7
1(
14