Matemática 1

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M
atem
ática – Vol. I 
CURRÍCULO COMUM
Matemática 
Vol. I 
9 788583 932185
ISBN 978-85-8393-218-5
Esta publicação integra uma série da 
Editora SENAI-SP especialmente criada 
para apoiar os alunos dos cursos técnicos e 
dos cursos de formação inicial e continuada.
O mercado de trabalho em permanente 
mudança exige que o profissional se atualize 
continuamente ou, em muitos casos, busque 
novas qualificações. É para esse profissional, 
sintonizado com a evolução tecnológica e 
com as inovações nos processos produtivos, 
que o SENAI-SP oferece muitas opções em 
cursos, nas diversas áreas tecnológicas.
Matemática 
Vol. I
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
SENAI. Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial 
 Matemática Vol. I / SENAI. Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. 
– São Paulo : SENAI-SP Editora, 2019.
 248 p. : il
 Inclui referências
 ISBN 978-85-8393-218-5
 
 1. Matemática I. Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial II. Título.
 CDD 510
Índice para o catálogo sistemático:
1. Matemática 510 
SENAI-SP Editora
Avenida Paulista, 1313, 4o andar, 01311 923, São Paulo – SP
F. 11 3146.7308 | editora@sesisenaisp.org.br | www.senaispeditora.com.br
Matemática 
Vol. I
CURRÍCULO COMUM
Departamento Regional 
de São Paulo
Presidente 
Paulo Skaf
Diretor Superintendente Corporativo 
Igor Barenboim
Diretor Regional 
Ricardo Figueiredo Terra
Gerência de Assistência 
à Empresa e à Comunidade 
Celso Taborda Kopp
Gerência de Inovação e de Tecnologia 
Osvaldo Lahoz Maia
Gerência de Educação 
Clecios Vinícius Batista e Silva
Colaboração 
Marcos Antonio Togni 
Reginaldo Rodrigues de Sousa
Material didático encaminhado pela Gerência 
de Educação do SENAI-SP e validado pela 
Escola “Nadir Dias de Figueiredo”.
Material didático utilizado nos cursos do SENAI-SP.
O caderno de exercícios deste livro está disponível para download no 
seguinte link: https://www.senaispeditora.com.br/downloads/respostas/
matematica_vol_1_caderno_exercicios.pdf.
Apresentação
Com a permanente transformação dos processos produtivos e das formas de 
organização do trabalho, as demandas por educação profissional multiplicam-se 
e, sobretudo, diversificam-se.
Sintonizado com essa realidade, o SENAI-SP oferece várias opções em cursos 
técnicos, que proporcionam habilitação profissional em áreas tecnológicas 
específicas do setor industrial. 
Esse tipo de curso corresponde à educação profissional de nível técnico, prevista 
na regulamentação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. 
Com satisfação, apresentamos ao leitor esta publicação, que integra uma série da 
SENAI-SP Editora, especialmente criada para apoiar os alunos de cursos técnicos.
Sumário
1. Números naturais 9
Correspondência um a um 9
O número natural 11
Sistema de numeração decimal – base dez 14
Leitura de um número natural 17
Operações e propriedades 18
Expressões aritméticas 33
2. Números inteiros relativos 36
Conjunto dos números inteiros relativos positivos e negativos 36
Operações 41
3. Números racionais 68
Números racionais absolutos 68
Operações 84
4. Números reais 109
Números irracionais 109
Conjunto dos números reais 111
Operações com radicais 122
5. Equações e inequações do 1o grau 133
Sentenças matemáticas 133
Sentenças matemáticas abertas e fechadas 134
Conjunto universo e conjunto verdade 135
Equação do 1o grau 138
Equações literais 146
6. Equação do 2o grau 161
Equações fracionárias redutíveis a uma equação do 2º grau 166
7. Razão e proporção 180
8. Medidas físicas e unidades 193
Grandezas físicas 193
9. Conceitos fundamentais 209
Ponto 209
Reta 209
Plano 210
10. Razões trigonométricas 217
Conceitos básicos sobre razão e proporção 217
Seno, cosseno e tangente 219
Tabela de razões trigonométricas 227
11. Desvio-padrão 241
Aplicações 241
Referências 245
Números naturais
Correspondência um a um
O número natural
Sistema de numeração decimal – base dez
Leitura de um número natural
Operações e propriedades
Expressões aritméticas
Correspondência um a um
Observe os conjuntos a seguir:
A → conjunto de carteiras
B → conjunto de alunos
Vamos estabelecer uma correspondência entre esses conjuntos por meio de uma linha, 
de modo que cada aluno tenha uma carteira ou que cada carteira seja de um aluno.
1. 
10 NÚMEROS NATURAIS
Note que sobrou uma carteira, isto é, uma carteira não está em correspondência 
com aluno. Nesse caso, dizemos que não há correspondência um a um.
Agora, observe esta outra situação:
Veja que cada carteira está associada a um aluno e cada aluno está associado a 
uma carteira. Logo, há uma correspondência um a um.
A correspondência um a um também é chamada de correspondência biunívoca 
e pode ser estabelecida entre mais de dois conjuntos.
Observe que cada carteira corresponde a um aluno e cada aluno corresponde a uma 
cadeira. Portanto, existe correspondência um a um entre os conjuntos A, B e C.
Note que os conjuntos A, B, e C têm o mesmo número de elementos, ou seja, 3. Os 
conjuntos que têm o mesmo número de elementos são chamados equipotentes.
MATEMÁTICA VOL. I 11
Exercícios
1. Entre quais dos conjuntos a seguir é possível estabelecer uma correspon-
dência biunívoca?
2. Quais são os conjuntos equipotentes?
A = conjuntos das vogais
B = conjunto dos dias da semana
C = conjunto dos dedos de uma das mãos
D = conjunto dos jogadores de um time de futebol de salão
O número natural
Observe os conjuntos a seguir.
Note que existe uma propriedade comum entre eles. É a quantidade de elementos: 
um. Veja estes outros conjuntos.
12 NÚMEROS NATURAIS
Neles, a quantidade de elementos é três. Essa mesma quantidade de elementos 
dos conjuntos é que dá a ideia de número natural.
Para representar essa ideia, usamos palavras ou símbolos gráficos. 
Exemplos
 1 = I = um dois = 2 = II III = 3 = três
São palavras: um, dois, três etc. São símbolos gráficos: I, 1, II, III, 3 etc. Portanto, 
o número é ideia de quantidade e o numeral é a palavra ou o símbolo gráfico.
Na prática, costumamos usar a palavra número, quando o mais correto seria nu-
meral. Assim, é comum se escrever, por exemplo, o número é 5 no lugar de o 
numeral é 5.
Vamos ver, agora, o conjunto dos números naturais. Ele é representado pela letra N:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Quando o zero não pode fazer parte do conjunto de números naturais, repre-
sentamos o conjunto por N*. Portanto, N* é o conjunto dos números naturais, 
excluindo-se o zero.
N✳ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representação na reta
Em uma reta, vamos tomar um ponto como origem e marcar outros pontos, de 
modo que todos fiquem a uma mesma distância uns dos outros. Assim:
Agora, vamos considerar o conjunto dos números naturais.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
MATEMÁTICA VOL. I 13
E associar, a partir de uma das divisões, cada número com um ponto.
Essa é a representação gráfica dos números naturais.
Observe, na reta numerada, que:
• Zero é o menor dos números naturais.
• Todo número natural tem um sucessivo: 1 é o sucessivo de zero, 2 é o sucessivo 
de 1, o sucessivo de 10 é 11 etc.
• Todo número natural, exceto o zero, tem um antecessor: 1 é o antecessor de 2, 
2 é o antecessor de 3 etc.
• Os números 3 e 4 ou então 6, 7 e 8 são chamados consecutivos.
• A sucessão dos números naturais é infinita, não existe maior dos números 
naturais.
Note também que, na reta numerada, um número é maior do que os que antece-
dem e é menor do que os que sucedem.
Para indicar maior e menor, em Matemática, são usados sinais de desigualdade:
> → maior < → menor
Assim:
• 3 maior que 2 pode ser escrito: 3 > 2
• 5 menor que 6 pode ser escrito: 5 < 6
Esses símbolos podem aparecer combinados com o de igualdade:
> → maior ou igual < → menor ou igual
Exemplos
a) 3 – 2 maior ou igual a 1 pode ser escrito: 3 – 2 > 1.
b) 5 + 1 menorou igual a 8 pode ser escrito: 5 + 1 < 8.
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .
14 NÚMEROS NATURAIS
Exercícios
3. Represente, na reta numérica, os números naturais menores que 10.
4. Escreva, em ordem decrescente, os números naturais maiores do que 5 
e menores do que 12.
5. Substitua o Δ com os símbolos < ou >:
a) 5 Δ 8 
b) 101 Δ 100 
c) 0 Δ 3 
d) 51 Δ 49
Sistema de numeração decimal – base dez
Sistema de numeração é o conjunto de regras para representação dos números.
No sistema de numeração decimal são usados dez símbolos (algarismos): 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Com eles, representamos qualquer número.
Vamos, por exemplo, usar o sistema decimal para contar os elementos do con-
junto a seguir.
MATEMÁTICA VOL. I 15
Separando os elementos em grupos de dez, temos:
Observe que o conjunto tem três grupos de 10 e mais 6 elementos. Portanto, esse 
conjunto tem 36 elementos.
Como, para contar, juntamos grupos de dez, dizemos que a base do sistema é dez. 
Poderíamos ter juntado grupos de dois, três, quatro etc. Nesse caso, teríamos base 
dois, base três, base quatro etc.
O sistema de numeração mais usado é o decimal. A base desse sistema é dez, isto 
é: dez unidades de uma ordem formam uma ordem imediatamente superior. Or-
dem é a posição que um algarismo ocupa em um número.
Veja, no número a seguir, a ordem dos algarismos.
Cada grupo de três algarismos de um número forma uma classe. As classes são 
contadas da direita para a esquerda e a última pode ter um ou dois algarismos. Na 
figura a seguir, temos o nome das classes.
Após a classe dos milhões, temos a base dos bilhões, a dos trilhões etc.
9a 8a 7a 6a 5a 4a 3a 2a 1a ordem
3 1 4 0 1 7 5 3 7
9a 8a 7a
m
ilh
õe
s
6a 5a 4a
m
ilh
ar
es
3a 2a 1a
un
id
ad
es
 
sim
pl
es
ordem
cl
as
se
3 1 4 0 1 7 5 3 7
16 NÚMEROS NATURAIS
Veja, agora, o nome que cada algarismo recebe, conforme a sua ordem.
Cada algarismo que compõe um número possui dois valores: um absoluto e outro 
relativo.
Valor absoluto é o que ele representa sozinho. Veja:
 3 4 5 6 
 Valor absoluto: 6
 Valor absoluto: 5
 Valor absoluto: 4
 Valor absoluto: 3
Valor relativo é o valor de posição, conforme a sua ordem: unidade, dezena, cen-
tena etc. Veja:
 3 4 5 6 
 Valor absoluto: 6
 Valor absoluto: 50 ou 5 dezenas
 Valor absoluto: 400 ou 4 centenas
 Valor absoluto: 3.000 ou 3 milhares
9a 8a 7a
ce
nt
en
a 
de
 m
ilh
õe
s
de
ze
na
 d
e 
m
ilh
õe
s
un
id
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de
 m
ilh
õe
s
6a 5a 4a
ce
nt
en
a 
de
 m
ilh
ar
de
ze
na
 d
e 
m
ilh
ar
un
id
ad
e 
de
 m
ilh
ar
3a 2a 1a
ce
nt
en
a 
sim
pl
es
de
ze
na
 si
m
pl
es
un
id
ad
e 
sim
pl
es
ordem
3 1 4 0 1 7 5 3 7
MATEMÁTICA VOL. I 17
Exercícios
6. A que classe pertencem as unidades de:
a) 7a ordem? 
b) 5a ordem?
c) 2a ordem? 
d) 6a ordem?
7. Dê o valor absoluto e o valor relativo dos algarismos 1 e 5 do número 13.508.
Leitura de um número natural
É muito importante saber a leitura dos números para que se possa escrever corre-
tamente quantidades por extenso.
Para fazer a leitura dos números, tomamos como base as suas classes. Veja:
Portanto, escrevendo a forma de se ler desse número, temos:
12.594.386 = doze milhões quinhentos e noventa e quatro mil trezentas e oitenta 
e seis unidades.
Observação
A palavra unidades, no final da leitura, pode ser suprimida.
12
classe 
dos 
milhões
classe 
dos 
milhares
classe 
das 
unidades
594 386
18 NÚMEROS NATURAIS
Exercício
8. Escreva como são lidos os números:
a) 8.654 d) 3.018.005
b) 15.162 e) 345.663
c) 935
Observe, agora, o número 5.396. Já vimos que ele é composto por:
5 milhares + 3 centenas + 9 dezenas + 6 unidades
Podemos, também, escrever esse número assim:
5 × 1.000 + 3 × 100 + 9 × 10 + 6
ou
5 × 103 + 3 × 102 + 9 × 101 + 6 × 100
Essa maneira de escrever um número chama-se forma polinômica.
Veja como fica o número 12.905 escrito na forma polinômica:
12.905 = 1 × 104 + 2 × 103 + 9 × 102 + 0 × 101 + 5 100
Exercício
9. Escreva os números a seguir na forma polinômica.
a) 85 c) 1.985 
b) 104 d) 10.320 
Operações e propriedades
Adição
Observe a operação a seguir.
 5
+ 2
 7
MATEMÁTICA VOL. I 19
Essa operação chama-se adição. Pela adição, fazemos dois ou mais números da-
dos corresponderem a um só. Estes são os nomes dos termos da adição:
Em 5 + 2 = 7,
5 é chamado de parcela
2 é chamado de parcela
e 7 é chamado de soma ou total.
Propriedades da adição
• Comutativa
A ordem das parcelas não altera a soma.
5 + 2 = 7
2 + 5 = 7
Portanto, 5 + 2 = 2 + 5.
• Fechamento
A soma de dois números naturais é um número natural.
5 + 2 = 7
5 e 2 ∈ N
7 também ∈ N.
• Elemento neutro
Zero é o elemento neutro da adição.
3 + 0 = 0 + 3 = 3
Adicionando-se zero a qualquer número, obtém-se o próprio número.
• Associativa
Para adicionar três parcelas, pode-se associar as duas primeiras à terceira ou a 
primeira às duas últimas. Veja:
(3 + 5) + 2 = 8 + 2 = 10, ou 3 + (5 + 2) = 3 + 7 = 10
20 NÚMEROS NATURAIS
Subtração
Observe a operação a seguir:
 5
– 2
 3
Essa operação chama-se subtração.
Em 5 − 2 = 3, esses são os nomes dos termos:
5 é chamado de minuendo
2 é chamado de subtraendo
e 3 é chamado de resto ou diferença.
Propriedades da subtração
• Comutativa
A subtração não é comutativa.
5 − 2 = 3
2 − 5 = ?
Portanto, 5 − 2 ≠ 2 − 5.
• Fechamento
A subtração de dois números naturais nem sempre dá, como resultado, um nú-
mero natural.
5 − 4 = 1 → 5 ∈ N, 4 ∈ N e 1 ∈ N
5 − 5 = 0 → 5 ∈ N, 0 ∈ N
5 − 6 = ? → 5 ∈ N, 6 ∈ N e ? ∉ N
Portanto, a propriedade de fechamento não existe na subtração.
MATEMÁTICA VOL. I 21
• Elemento neutro
Como a subtração não é comutativa, também não é válida a propriedade do ele-
mento neutro. Veja:
3 − 0 ≠ 0 − 3
• Associativa
Na subtração, não é válida a propriedade associativa.
(8 − 4) − 2 = 4 − 2 = 2
8 − (4 − 2) = 8 − 2 = 6
Portanto, (8 − 4) – 2 ≠ 8 − 4 (4 − 2)
Observe que 
• na adição, quando da soma subtrairmos uma das parcelas, encontramos a 
outra parcela.
• a adição e a subtração são operações inversas.
 7 – 2 = 5
5 + 2 = 7
 7 – 5 = 2
Exercício 
10. Substitua o valor do Δ nas adições a seguir:
a) 15 + Δ = 25
b) Δ + 30 = 45
c) 20 + 12 = Δ
Na subtração, é valida a seguinte relação:
Minuendo = resto + subtraendo
Veja o porquê:
 10 → minuendo 7
– 3 → subtraendo + 3
 7 → resto 10
22 NÚMEROS NATURAIS
Usando essa relação, podemos calcular qualquer um dos termos da subtração.
Exemplo
Como calcular o valor do Δ nas operações?
a) Δ − 4 = 11 b) 15 − Δ = 11
 Δ = 11 + 4 15 = 11 + Δ
 Δ = 15 Δ = 15 − 11
 Δ = 4
Exercícios 
11. Calcule o valor do Δ nas subtrações a seguir:
a) 35 − 15 = Δ
b) 20 − Δ = 8
c) Δ − 8 = 15
12. Em cada operação a seguir escreva o nome dos termos:
a) 15 − 8 = 7
b) 28 + 12 = 40
13. Escreva o nome da propriedade que está sendo usada:
a) 5 ∈ N e 6 ∈ N → (5 + 6) ∈ N
b) 5 + 0 = 0 + 5 = 5
c) (4 + 8) + 3 = 4 + (8 + 3)
d) 8 + 2 = 2 + 8
14. Calcule o valor do Δ nas operações a seguir:
a) Δ − 25 = 30 d) Δ + 30 = 42 
b) 18 + Δ = 27 e) 90 + 15 = Δ
c) 40 − Δ = 16 f) 17 − Δ = 9
15. Qual é o valor do minuendo, sabendo-se que a diferença é 11 e o sub-
traendo é 35?
MATEMÁTICA VOL. I 23
Multiplicação
A multiplicação é uma adição de parcelas iguais. Veja:
8 + 8 + 8 + 8 = 32
Encontramos o mesmo resultado se fizermos:
4 × 8 = 32
A operação 4 × 8 = 32 é chamada de multiplicação. Ela pode também ser indica-
da por: 4 . 8 = 32. Portanto, os sinais . e × indicam a multiplicação.
Em 4 × 8 = 32, estes são os nomes dos termos:
4 é chamado de multiplicando,
8 é chamado de multiplicador
e 32 é chamado de produto.
O multiplicando e o multiplicador também são chamados de fatores.
Propriedades da multiplicação
• Comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
Veja:
2 × 8 = 16
8 × 2 = 16
Portanto, 2 × 8 = 8 × 2.
• Fechamento
O produto de dois números naturais é sempre um número natural.
8 × 2 = 16
8 e 2 ∈ N
Logo, 16 também∈ N.
24 NÚMEROS NATURAIS
• Elemento neutro
O elemento neutro da multiplicação é 1.
5 × 1 = 1 × 5 = 5
Multiplicando-se qualquer número por 1, obtém-se o próprio número.
• Associativa
Quando se multiplicam três fatores, pode-se associar os dois primeiros ao tercei-
ro ou o primeiro aos dois últimos. Veja:
(5 × 2) × 3 = 10 × 3 = 30 ou 5 × (2 × 3) = 5 × 6 = 30
• Distributiva
Para se multiplicar um fator por uma adição ou subtração, pode-se multiplicar 
esse fator pelos termos da adição ou subtração, adicionando-se ou subtraindo-se 
os resultados. Assim:
3 × (4 + 2) − 3 × 4 + 3 × 2 = 12 + 6 = 18
3 × (5 − 1) = 3 × 5 − 3 × 1 = 15 − 3 = 12
2 × (5 + 4 − 2) = 2 × 5 + 2 × 4 − 2 × 2 = 10 + 8 − 4 = 14
(3 + 8) × 5 = 5 × 8 + 5 × 3 = 40 + 15 = 55
Divisão
Observe:
8 2 21 4
0 4 1 5
A operação efetuada chama-se divisão. Geralmente, a divisão é indicada por : ou ÷.
Assim:
8 : 2 ou 21 ÷ 4
MATEMÁTICA VOL. I 25
Veja os nomes dos termos da divisão.
Dividendo → 21 4 ← Divisor
 Resto → 1 5 ← Quociente
Quando o resto é zero, dizemos que a divisão é exata. Se o resto for diferente de 
zero, a divisão não é exata. O resto na divisão sempre deve ser menor que o divisor.
Propriedades da divisão
Na divisão, não existem propriedades:
• comutativa;
• fechamento;
• elemento neutro;
• associativa.
Exercício
16. Dê todos os restos possíveis numa divisão em que o divisor é:
a) 7 c) 3
b) 5 d) 8
Observe que em uma multiplicação, quando dividimos o produto por um dos 
fatores, encontramos o outro fator:
 10 : 2 = 5
2 × 5 = 10
 10 : 5 = 2
A multiplicação e a divisão exata são operações inversas.
Observe também que, na divisão exata, vale a relação:
Dividendo = quociente × divisor
8 4 → 8 = 2 × 4
0 2
26 NÚMEROS NATURAIS
E, quando não é exata, é válida a relação:
Dividendo = quociente × divisor + resto
21 5 → 21 = 4 × 5 + 1 = 21
 1 4
O zero nunca pode ser o divisor.
Com essas informações, podemos calcular qualquer termo de uma divisão, como 
no exemplo a seguir.
Exemplo
Como calcular o valor do Δ nas divisões?
a) Δ : 5 = 7 b) 45 : Δ = 3
 Δ = 7 × 5 3 × Δ = 45
 Δ = 35 Δ = 45 : 3
 Δ = 15
Exercícios
17. Calcule o valor do Δ nas divisões.
a) Δ : 15 = 6
b) 54 : Δ = 9
c) 360 : Δ = 45
18. Calcule o dividendo, sabendo-se que o divisor é 8, o quociente é 10 e o 
resto é 6.
19. Escreva o nome da propriedade que está sendo usada:
a) 5 × 8 = 8 × 5 f) (18 − 6) × 3 = 18 × 3 − 6 × 3
b) 5 ∈ N, 4 ∈ N, 5 × 4 ∈ N g) 7 × (6 × 5) = (7 × 6) × 5
c) 1 × 8 = 8 × 1 = 8 h) (5 + 6) × 4 = 5 × 4 + 6 × 4
d) 3 × 5 = 5 × 3 i) 3 × (5 − 4) = 3 × 5 − 3 × 4
e) 9 × (5 + 3) = 9 × 5 + 9 × 3 j) 4 × 1 = 1 × 4 = 4
MATEMÁTICA VOL. I 27
20. Determine o valor do Δ nas operações:
a) Δ : 31 = 186 d) 8 × Δ = 72
b) 36 : Δ = 6 e) 64 : Δ = 4
c) Δ × 9 = 45 f) Δ × 7 = 63
21. Resolva os problemas escrevendo, em primeiro lugar, a sentença com o Δ.
a) Sabendo-se que o produto é 108 e um dos fatores é 12, determine o 
outro fator.
b) Calcule o divisor sabendo que o dividendo é 106, o quociente é 26 e 
o resto é 2.
Potenciação
Potenciação é a multiplicação de fatores iguais. Assim:
3 × 3 × 3 × 3 = 34
 fatores iguais potenciação
Note que a potenciação é uma forma mais simples de se escrever um produto de 
fatores iguais.
Os termos da potenciação chamam-se base, expoente e potência. Veja quais são 
eles na representação.
Expoente
Base Potência34 = 81→
→
→
Exercício
22. Resolva os exercícios conforme o exemplo:
a) 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
b) 82
c) 103 
d) 55
28 NÚMEROS NATURAIS
Veja agora o que acontece com as potenciações em que o expoente ou a base são 
zero ou um.
Qualquer número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.
30 = 1; 140 = 1; 1580 = 1
Caso o expoente seja um, a potência será a própria base.
21 = 2; 41 = 4; 81 = 8
Se a base for zero, qualquer que seja o expoente, diferente de zero, a potência 
será zero.
03 = 0 × 0 × 0 = 0 portanto 03 = 0
05 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0 portanto 05 = 0
Quando a base é 1, a potência será sempre 1. Assim,
11 = 1; 13 = 1; 1 15 = 1; 1 1000 = 1
Exercício
23. Dê o valor das potências:
a) 61 e) 08 
b) 10 f) 101 
c) 60 g) 100 
d) 51 h) 02 
Observe as potenciações a seguir:
101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000
Note que todas possuem base 10 e, para essas potenciações, existe uma regra prá-
tica para se encontrar o resultado: quando a base é 10, a potência é igual a 1, 
seguido de zeros conforme o número do expoente.
MATEMÁTICA VOL. I 29
Exercício
24. Calcule as potências:
a) 105 c) 108 
b) 106 
Propriedades da potenciação
• Multiplicação
Para multiplicar potências com a mesma base, conserva-se a base e adicionam-se 
os expoentes. Veja:
25 × 22 = 25 + 2 = 27
32 × 3 × 33 = 32+1+3 = 36
• Divisão
Para dividir potências com a mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes.
25 : 22 = 25-2 = 23
34 : 3 = 34-1 = 33
• Potência de potência
(23)2 chama-se potência de potência. Dizemos que 2 está elevado ao expoente 3 e 
essa potência (23) está elevada ao expoente 2. Como potenciação é uma multipli-
cação de fatores iguais, temos:
(23)2 = 23 × 23 = 23+3 = 26
Veja que, multiplicando-se os expoentes, encontramos diretamente o expoente 6 
do resultado. Então, para resolver uma potência de potência, só é preciso multi-
plicar os expoentes e conservar a base.
(23)2 = 26
a) Observe que 232= 29, pois 32 = 9
30 NÚMEROS NATURAIS
Exercício
25. Resolva as potências aplicando as propriedades:
a) 33 × 32 d) 35 : 35 
b) 46 : 42 e) (32)5
c) 52 × 50 × 51 f) (32)2
• Distributiva em relação à multiplicação
Observe a operação a seguir.
(2 × 3)2 = 
Ela indica a potência de um produto. Podemos, nela, aplicar a propriedade dis-
tributiva.
Assim: (2 × 3)2 = 22 × 32
Note que, para isso, cada fator é elevado à potência indicada.
Exercício
26. Aplique a propriedade distributiva:
a) (3 × 4)2 c) (3 × 5 × 2)2
b) (5 × 2)3 
• Distributiva em relação à divisão
Essa propriedade é semelhante à distributiva em relação à multiplicação. Veja:
(12 : 3)2 = 122 : 32
Exercício
27. Aplique a propriedade distributiva:
a) (15 : 5)2 
b) (24 : 4)3 
c) (4 : 2)5 
MATEMÁTICA VOL. I 31
Radiciação
Radiciação é a operação inversa da potenciação. Veja:
23 = 8 → 3 8 = 2 = 2
Eis os nomes dos componentes da radiciação:
Radical
Índice Raiz→
→
→3 8 = 2
Radicando
→
Portanto, a raiz de um número é um número que, quando elevado ao índice in-
dicado, dá como o resultado o radicando.
2 9 = 3, pois 32 = 9.
Não é usual colocar-se o índice 2 no radical. Quando não há índice indicado no 
radical, a raiz é quadrada.
Exemplos
a) 16 = 4, pois 42 = 16
b) 3 27 = 3, pois 33 = 27
c) 36 = 6, pois 62 = 36
d) 3 125 = 5, pois 53 = 125
e) 5 32 = 2, pois 25 = 32
f) 3 1 = 1, pois 13 = 1
g) 5 0 = 0, pois 05 = 0
Podemos calcular a raiz exata de um número natural, quando ela existe, fazendo 
o seguinte:
• decompomos o número em fatores primos;
32 NÚMEROS NATURAIS
• escrevemos os fatores primos em produto de potências, onde o expoente seja 
igual ao índice;
• multiplicamos as bases do produto de potências, obtendo a raiz.
Exemplos
a) 3 64
Decompondo 64 em fatores primos e escrevendo-os em produto de 
potências, em que o expoente é igual ao índice, temos:
64 2
32 2 23
16 2
8 2
4 2 23
2 2
1
b) 225 
225 3
75 3 3
2 
 32  52, logo 225 = 32  52 = 3  5 = 15
25 5
5 5 5
2
1 
Exercício
28. Calcule as raízes a seguir:
a) 5 32 d) 4 81 
b) 3 27 e) 3 125 
c) 144 f) 324 
23  23 logo 3 64 = 3 23  23 = 2  2 = 4
MATEMÁTICA VOL. I 33
Nem todos os números possuem raiz exata, como os que foram vistos nos exer-
cícios anteriores. Aqueles em que a raiz é exata chamam-se números quadrados 
perfeitos.
Veja agora: qual é a raiz quadrada de 6?
Sabe-se que:
22 = 4
32 = 9
Portanto, a raiz quadrada de 6 é um número que fica entre 2 e 3. Isto é, 2 por faltae 3 por excesso.
Isso também pode ser escrito:
 6 ≈ 2 por falta
 6 ≈ 3 por excesso.
Exercícios
29. Determine as raízes a seguir por falta:
a) 8 c) 3 9
b) 12
30. Determine as raízes a seguir por excesso:
a) 15 c) 3
b) 3 18
Expressões aritméticas
Uma expressão aritmética é composta por números, sinais de uma operação e 
sinais de agrupamento.
34 NÚMEROS NATURAIS
Os sinais de agrupamento são:
( ) parênteses
[ ] colchetes
{ } chaves
Veja como é uma expressão aritmética:
(9 − 5) + 6 + (10 : 5) × 2
Resolver uma expressão aritmética é calcular o seu valor numérico.
Para resolver uma expressão, é preciso seguir algumas regras. Faça as operações 
na seguinte ordem:
1o. potenciação e radiciação;
2o. multiplicação e divisão;
3o. adição e subtração; e na ordem em que aparecerem.
Se na expressão existirem sinais de agrupamento, faça as operações dentro desses 
sinais, na seguinte ordem:
1o. parênteses;
2o. colchetes;
3o. chaves.
Veja como ficaria resolvida a expressão aritmética que você viu anteriormente:
{(9 − 5) + [6 + (10 : 5) × 2]} =
Existem sinais de agrupamento. Resolvendo as operações dos parênteses, temos:
{4 + [6 + 4]} = 
Como existem ainda colchetes na expressão, resolve-se o que está nos colchetes.
{4 + 10} =
Finalmente, resolve-se dentro das chaves.
14
Note que, ficando um só número no sinal de agrupamento, esse sinal deixa de 
existir na expressão.
MATEMÁTICA VOL. I 35
Exercício
31. Resolva as expressões:
a) 5 + 3 × 4 − 6 
b) 7 + (3 + 1) × (2 + 3) 
c) (12 + 3) − (4 + 8) 
d) 51 − [(7 – 3) × 4 + 5 × (4 − 3)] 
e) [7 + (18 + 5 × 6) : 16 − 2] 
f) 14 + {8 − [(48 − 3) − (38 + 1 + 5)]} – 1 
g) 18 − {15 − [7 × 3 − (15 − 18 : 6)] + 1} 
h) {5 + [43 : (32 − 1) + 15 × 3]} : (6 − 2)2 
i) 25 + (17 − 32) + 51 
Números inteiros relativos
Conjunto dos números inteiros relativos 
positivos e negativos
Operações
Conjunto dos números inteiros relativos 
positivos e negativos
Já estudamos o conjunto dos números naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}.
A subtração no conjunto dos números naturais não era possível quando o primei-
ro termo da subtração era menor do que o 2o termo. Assim:
5 − 7 = ? 3 − 4 = ?
Para tornar possível a subtração nas situações anteriores, foi criado o conjunto dos 
números inteiros relativos (Z).
Z = {...−3, −2, −1, 0, +1, +2, +3...}. Os números −1, −2, −3... são os números 
inteiros negativos e os números +1, +2, +3... são os números inteiros positivos. O 
zero não é positivo nem é negativo.
É conveniente conhecer os subconjuntos de Z que seguem:
Z✳ = {...−3, −2, −1, +1, +2, +3, +4...}
conjunto dos números inteiros diferente de zero;
Z–
✳ = {−1, −2, −3...}
conjunto dos números inteiros negativos;
Z✳+ = {+1, +2, +3...}
conjunto dos números inteiros positivos;
Z– = {..., −3, −2, −1, 0}
2. 
MATEMÁTICA VOL. I 37
conjunto dos números inteiros não positivos;
Z+ = {0, +1, +2, +3, ...}
conjunto dos números inteiros não negativos.
Como os números inteiros não negativos têm o mesmo comportamento dos nú-
meros naturais, para facilitar o estudo podemos estabelecer as igualdades:
+1 = 1 +2 = 2 +3 = 3 +4 = 4 etc.
Logo, todo número positivo poderá ser escrito sem o sinal +.
Assim, podemos estabelecer o diagrama a seguir:
–1
–2
–3
 –4 –5...
 1 4
 0 3 
 2 5...
Z
N
Exercícios
1. Escreva os conjuntos a seguir.
a) Z+
b) Z–
c) Z✳
d) Z–
✳
e) Z✳+
f) Conjunto dos números inteiros maiores do que −5 e menores do que + 5.
g) Conjunto dos números inteiros menores do que 4.
h) Conjunto dos números inteiros maiores do que −7.
38 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
2. Substitua o Δ por ∈ ou ∉.
a) −5 Δ Z d) 0 Δ Z✳
b) +4 Δ Z– e) −3 Δ Z–
✳
c) −4 Δ Z–
✳ f) + 7 Δ Z–
✳
Representação do conjunto Z na reta numérica
Podemos representar o conjunto Z na reta numérica. Veja:
Exercício
3. Na reta numérica que se segue, escreva os números inteiros correspon-
dentes aos pontos A, B, C, D e E.
Oposto ou simétrico
Números inteiros situados à mesma distância do zero são chamados opostos ou 
simétricos. Assim:
O oposto de −3 é +3 
O oposto de −4 é +4
O oposto de +5 é −5
O oposto de +49 é −49
O oposto de 0 é 0
O oposto de +150 é −150 
Você pôde observar que para obter o oposto de um número basta trocar o seu sinal.
 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4
inteiros negativos inteiros positivos
 –1 0 +1
 B C E D D A
MATEMÁTICA VOL. I 39
Valor absoluto ou módulo
O valor absoluto de um número inteiro é dado pela distância do zero ao número. 
Assim:
O valor absoluto de −5 é 5 e indica-se |−5| = 5. 
O valor absoluto de +5 é 5 e indica-se |+5| = 5.
Observe que +5 e –5 têm o mesmo valor absoluto, que é 5.
O valor absoluto de zero é zero e indica-se |0| = 0.
Exercícios
4. Dê o oposto dos números inteiros a seguir conforme o exemplo:
a) +5 → −5 d) 0
b) −3 e) −7
c) +1
5. Determine o valor absoluto conforme o exemplo:
a) |−3| = 3 d) |−10|
b) |−4| e) |+10| 
c) |+1|
Comparação
Na reta numérica, os números inteiros aparecem em ordem crescente da esquerda 
para a direita. Na reta numérica a seguir:
podemos observar que:
+4 é maior do que +2 (indica-se +4 > +2)
+3 é maior do que zero (indica-se +3 > 0)
+1 é maior do que −5 (indica-se +1 > −5)
zero é maior do que −4 (indica-se 0 > −4) 
−2 é maior do que −5 (indica-se –2 > −5)
 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 ...
40 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Com base nessas afirmações, podemos concluir que:
• Zero é menor do que qualquer número inteiro positivo:
 0 < +3 0 < +4 0 < +20
• Zero é maior do que qualquer número inteiro negativo:
 0 > −1 0 > −4 0 > −120
• Qualquer número inteiro positivo é maior do que qualquer número inteiro 
negativo:
 +5 > −3 +2 > −152 +8 > −1
• Entre dois números inteiros negativos o maior é o de menor valor absoluto:
 −2 > –6 porque |−2| < |−6|
Exercícios
6. Substitua o Δ pelos símbolos > ou < tornando verdadeiras as sentenças:
a) +5 Δ +2 e) −2 Δ +5
b) +6 Δ 0 f) +1 Δ −15
c) +3 Δ +7 g) −12 Δ −3
d) 0 Δ +8 h) −1 Δ −20
7. Escreva, em ordem crescente, os seguintes números inteiros:
a) −5, +2, −3, −1, +3, +4 
b) 0, −52, +12, +49, −35, +4
8. Escreva, em ordem decrescente, os seguintes números inteiros:
a) +7, +4, −8, −42, +42, 0
b) −6, +6, +4, 0, −9, −20
MATEMÁTICA VOL. I 41
Operações
Adição
Para adicionar números inteiros, consideraremos os seguintes casos:
10. As parcelas têm sinais iguais.
Nesse caso, conservamos o sinal comum e adicionamos os valores absolutos das 
parcelas.
Exemplos
a) (+5) + (+7) = + (5 + 7) = +12 = 12
 conserva-se o sinal
b) (−5) + (−7) = – (5 + 7) = −12
 conserva-se o sinal
c) (+3) + (+8) + (+4) = + (3 + 8 + 4) = +15 = 15
d) (−3) + (−8) + (−4) = − (3 + 8 + 4) = −15
 
20. Duas parcelas de sinais diferentes.
Nesse caso, subtraímos os valores absolutos e colocamos o sinal da parcela com 
maior valor absoluto.
Exemplos 
a) (+10) + (−7) = + (10 − 7) = +3 = 3
 10 > 7, sinal do 10
b) (−10) + (+7) = − (10 − 7) = −3
 10 > 7, sinal do 10
42 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
c) (+12) + (−17) = − (17 − 12) = −5
 17 > 12
d) (−12) + (+17) = + (17 − 12) = +5 = 5
 17 > 12
30. Mais que duas parcelas de sinais diferentes.
Nesse caso, podemos adicionar as duas primeiras parcelas e o resultado à terceira 
parcela, e assim sucessivamente.
Exemplos
a) (–5) + (−3) + (+4) =
 (−8) + (+4) = −4
b) (+5) + (−3) + (+4) = 
 (+2) + (+4) = +6 = 6
c) (+5) + (−3) + (−4) = 
 (+2) + (−4) = −2
d) (−5) + (+3) + (−4) =
 (−2) + (−4) = −6
Exercício
9. Efetue as adições a seguir:
a) (+10) + (+13) e) (+27) + (−3) 
b) (−8) + (−22) f) (+8) + (−32) 
c) (+8) + (−2) g) (−12) + 0 
d) (−9) + (+16) h) (+7) + 0 
MATEMÁTICA VOL. I 43
i) (−5) + (−12) + (−3) k) (−8) + (−12) + (+25) 
j) (+7) + (+11) + (+15) l)(+13) + (−8) + (−22) 
Propriedades da adição em Z
A adição em Z apresenta as seguintes propriedades:
• Fechamento
A adição de dois números inteiros resulta em um número inteiro. Assim:
(+5) + (−8) = −3
+5 ∈ Z e −8 ∈ Z; então, −3 ∈ Z
Generalizando, se a ∈ Z e b ∈ Z, então a + b ∈ Z.
• Comutativa
A ordem das parcelas não altera a soma. Assim:
(+15) + (−18) = –3 
logo (+15) + (−18) = (−18) + (+15)
(−18) + (+15) = –3
Generalizando, a + b = b + a
• Associativa
Para calcular a soma de três parcelas, podemos associar as duas primeiras parcelas 
ou as duas últimas parcelas sem que o resultado se altere. Assim:
[(+5) + (−3)] + (−7) = (+2) + (−7) = −5
(+5) + [(−3) + (−7)] = (+5) + (−10) = −5
Logo, [(+5) + (−3)] + (−7) = (+5) + [(−3) + (−7)]
e, generalizando, (a + b) + c = a + (b + c)
44 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
• Elemento neutro
Zero é o elemento neutro da adição. Assim:
0 + (+7) = 7 
0 + (+7) = (+7) + 0 = 7
(+7) + 0 = 7
Generalizando: a + 0 = 0 + a = a
• Elemento simétrico ou oposto
A soma de dois números inteiros simétricos é igual a zero. Assim:
(+12) + (−12) = 0.
Generalizando, a + (−a) = 0
Exercício
10. Escreva o nome da propriedade aplicada:
a) (+9) + (−3) = (−3) + (+9)
b) (−7) + 0 = −7
c) (−15) + (+15) = 0
d) [(−3) + (−6)] + (+15) = (−3) + [(−6) + (+15)]
e) (−20) + (−4) = (−4) + (−20)
f) 0 + (+11) = 11
Subtração
Calcular (+12) − (+3) é procurar um número que, adicionado ao +3, resulte em 
+12. O número procurado é +9, pois (+9) + (+3) = +12. Então, podemos escre-
ver: (+12) − (+3) = +9.
Também sabemos que (+12) + (−3) = +9. Podemos observar que (+12) − (+3) = 
= (+12) + (−3) = +9.
Generalizando, a diferença entre dois números inteiros é igual à soma do minuen-
do com o oposto o subtraendo.
MATEMÁTICA VOL. I 45
Exemplos
a) (+9) − (+7) = (+9) + (−7) = +2
b) (−10) − (−6) = (−10) + (+6) = −4
c) (+15) − (−7) = (+15) + (+7) = +22
d) (−19) − (+5) = (−19) + (−5) = −24
Exercício
11. Efetue as subtrações a seguir:
a) (+6) − (+3) 
b) (−7) − (−4) 
c) (−8) − (+1) 
d) (+8) − (−1) 
e) (+15) − (−12) 
f) (−12) − (+15) 
g) (−16) − (−4) 
h) (+1) − (−21) 
i) 0 − (+25) 
j) (−32) − 0 
k) 0 − (−32) 
l) (+20) − (+20) 
Propriedades da subtração
• Fechamento
A subtração de dois números inteiros resulta em um número inteiro. Assim:
(+12) − (−8) = (+12) + (+8) = +20
+12 ∈ Z e −8 ∈ Z; então + 20 ∈ Z
Generalizando, se a ∈ Z e b ∈ Z, então a − b ∈ Z.
Não valem as propriedades comutativa e associativa na subtração. Também não 
existe elemento neutro na subtração.
• Adição algébrica
A adição e a subtração entre números inteiros podem ser transformadas numa úni-
ca operação, denominada adição algébrica, cujo resultado chama-se soma algébrica.
46 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Exemplos
a) (+13) + (−5) = 13 − 5 = 8
b) (−13) + (−5) = −13 − 5 = −18
c) (−13) + (+5) = −13 + 5 = −8
d) (+13) − (−5) = (+13) + (+5) = 13 + 5 = 18
e) (−13) − (+5) = (−13) + (−5) = −13 − 5 = −18
Observe que, na adição, eliminamos os parênteses e o sinal da operação (+); na 
subtração, a transformamos em adição e eliminamos os parênteses e o sinal da 
operação (+).
Assim, podemos concluir que adição algébrica é uma forma simplificada de se 
apresentar a adição de números inteiros, em que são omitidos o sinal da operação 
(+) e os parênteses.
Exemplos
a) 5 − 8 = −3
b) −7 − 3 = −10
c) −4 − 7 − 1 = −12
d) −6 + 5 − 9 = − 1 − 9 = −10
Para calcular a soma algébrica de adição com várias parcelas de sinais diferentes, 
podemos agrupar as parcelas positivas e as parcelas negativas e, depois, efetuar a 
adição.
Exemplos
a) 5 − 3 − 7 + 2 − 1 =
 − 3 − 7 − 1 =
 7 − 11 = −4
b) − 7 − 3 + 5 − 2 + 4 − 8 =
 − 7 − 3 − 2 − 8 =
 9 − 20 = −11
MATEMÁTICA VOL. I 47
Exercício
12. Calcule as somas algébricas:
a) 7 − 5 
b) −2 − 3 + 7 + 1 − 4 + 10 
c) −12 + 3 
d) 15 − 20 − 5 + 13 − 1 
e) 4 + 3 + 8 − 6 − 2 − 13 
f ) −5 − 3 − 2 − 7 + 13 
g) 9 − 12 − 3 + 2 − 1 + 7 
h) 8 + 2 − 6 − 1 + 3 − 15 
i ) −10 + 3 − 2 − 1 + 6 + 9 − 5 
j ) −20 + 10 + 30 + 40 − 1 
k ) 1 − 4 − 5 + 6 + 3 − 11 + 7 
l) 7 − 9 + 1 − 6 + 2 − 4 
Numa adição algébrica, duas parcelas simétricas podem ser canceladas.
Exemplos
a) 5 + 1 – 6 – 5 – 2 + 6 – 1 = –2
b) 3 – 4 – 25 + 4 + 153 + 4 + 25 – 153 – 7 = 3 + 4 – 7 = 7 – 7 = 0
Exercício
13. Calcule as somas algébricas, utilizando o cancelamento quando possível:
a) 8 − 2 − 5 + 1 + 2 − 8 − 1 
b) 4 − 7 + 4 − 5 − 16 + 5 + 16 
c) −3 + 9 − 7 + 3 − 12 + 12 
d) −10 − 52 + 6 + 10 + 52 
e) −251 + 36 + 251 − 36 
f ) 1 − 1 + 3 − 2 + 2 − 3 + 6 − 3 
Quando cancelamos todas as parcelas, a soma algébrica é zero.
Multiplicação
Ao multiplicar dois números inteiros, devemos observar os sinais dos fatores.
Para multiplicar dois números inteiros de sinais iguais, multiplica-se os valores 
absolutos e dá-se ao resultado o sinal positivo (+).
48 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Exemplos
a) (+4) . (+5) = +(4 . 5) = +20 = 20
b) (+3) . (+7) = +21 = 21
c) (−4) . (−5) = +20 = 20
d) (−3) . (−7) = +21 = 21
Observe que o produto de dois números inteiros de sinais iguais é um número 
positivo. Assim, temos:
(+) . (+) = + (−) . (−) = +
Para multiplicar dois números de sinais diferentes, multiplicamos os valores abso-
lutos e dá-se ao resultado o sinal negativo (−).
Exemplos
a) (−7) . (+3) = − (7 . 3) = −21
b) (+7) . (−3) = −21
c) (+4) . (−5) = −20
Observe que o produto de dois números inteiros de sinais diferentes é um número 
negativo. Assim, temos:
(−) . (+) = − (+) . (−) = −
O produto de um número inteiro por zero é zero. Assim:
(+36) . 0 = 0
(−36) . 0 = 0
Exercício
14. Calcule os produtos:
a) (−6) . (−4) 
b) (+6) . (+4) 
c) 5 . (−7) 
d) (−8) . 9 
e) (−7) . (+4) 
f ) 12 . 3 
MATEMÁTICA VOL. I 49
g) (−25) . 2 
h) −6 . (−7) 
i ) (+15) . (+2) 
j) (−3) . (−11) 
k) (−7) . (+2) 
l) (+8) . 0 
Para efetuar uma multiplicação com vários fatores, observe os exemplos a seguir:
a) (+3) . (+2) . (+1) . (+5) = 
 (+6) . (+5) = +30
Todos os fatores são positivos, o resultado será positivo.
b) (+3) . (−2) . (−1) . (+5) = 
 (−6) . (−5) = +30
Dois fatores negativos, o resultado será positivo.
c) (+3) . (−2) . (−1) . (−5) . (−2) . (+3) = 
 (−6) . (+5) . (−6) = 
 (−30) . (−6) = 180
Quatro fatores negativos, o resultado será positivo.
d) (+3) . (+2) . (+1) . (−5) = 
 (+6) . (−5) = −30 
Um fator negativo, o resultado será negativo.
e) (+3) . (−2) . (−1) . (−5) = 
 (−6) . (+5) = −30 
Três fatores negativos, o resultado será negativo.
Nos exemplos anteriores, pudemos observar que:
• quando o número de fatores negativos for par, o resultado será positivo;
• quando o número de fatores negativos for ímpar, o resultado será negativo.
50 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Exercício
15. Calcule os produtos:
a) (−2) . (+5) . (+3) . (−1) . (−1) 
b) (+4) . (+3) . (+5) . (−3) . (−2) 
c) (+7) . (+1) . (+2) . (+1) . (+3) 
d) (−2) . (−2) . (−2) . (−2) . (−2) 
e) (−2) . (−2) . (−2) . (−2) 
f) (−3) . (+3) . (−2) . (−5) 
g) (+4) . (−2) . (+3) . (+1) 
h) (−5) . (−1) . (+3) . (+2) 
Observação
Quando um dos fatores for igual a zero, o resultado será zero. Assim:
(−3) . (−5) . (+10) . 0 . (−8) = 0
Propriedades da multiplicação
O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Assim:
(+5) . (−7) = −35
+5 ∈ Z e −7 ∈ Z; então, −35 ∈ Z.
Generalizando, se a ∈ Z e b ∈ Z, então a . b ∈ Z.
• Comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto. Assim:
(−3) . (−8) = 24 
 (−3) . (−8) = (−8) . (−3)
(−8) . (−3) = 24
Generalizando, a . b = b . a.
MATEMÁTICA VOL. I 51
• Associativa
Para determinar o produto de três números inteiros, podemos associar os dois 
primeiros ou os dois últimos.Assim:
[(−8) . (−2)] . (+3) = (+16) . (+3) = 48
(−8) . [(−2) . (+3)] = (−8) . (−6) = 48
[(−8) . (−2)] . (+3) = (−8) . [(−2) . (+3)]
Generalizando, a . (b . c) = (a . b) . c.
• Elemento neutro
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Assim:
(−5) . 1 = 1 . (−5) = −5
Generalizando, a . 1 = 1 . a = a.
• O zero na multiplicação
O produto de um número por zero é zero. Assim:
(+8) . 0 = 0 . (+8) = 0
Generalizando, 0 . a = a . 0 = 0.
• Distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração
Observe os exemplos a seguir:
a) (−3) . [(−2) + (+6)] = (−3) . (+4) = −12
 ou: (−3) . (−2) + (−3) . (+6) = (+6) + (−18) = −12
 então: (−3) . [(−2) + (+6)] = (−3) . (−2) + (−3) . (+6) = −12
b) (−5) . [(−4) − (+2)] = (−5) . [− 4 − 2] = (−5) . (−6) = +30 
 ou: (−5) . (−4) − (−5) . (+2) = (+20) − (−10) = 20 + 10 = 30
 então: (−5) . [(−4) − (+2)] = (−5) . (−4) − (−5) . (+2) = 30
Podemos generalizar assim:
a . (b + c) = a . b + a . c
(b + c) . a = a . b + a . c
52 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
a . (b − c) = a . b − a . c
(b − c) . a = a . b − a . c
Exercícios
16. Escreva o nome das propriedades aplicadas:
a) (+5) . (−9) = (−9) . (+5)
b) (−15) . 1 = 1 . (−15) = − 15
c) [(−3) . (+2)] . (−7) = (−3) . [(+2) . (−7)]
d) 4 . (−5 + 2) = 4 . (−5) + 4 . 2
e) (−8 − 3) . (−7) = (−8) . (−7) − 3 . (−7)
f) a . b = b . a
g) a . 1 = 1 . a = a
h) a . (b . c) = (a . b) . c
17. Calcule aplicando a propriedade distributiva, conforme os exemplos:
a) 5 . (−8 + 7) = 5 . (−8) + 5 . 7 
 −40 + 35 = − 5
b) 4 . (a − b) = 4a − 4b
c) 12 . (5 + 4) 
d) p . (x + y) 
e) 2 . (a − b) 
Divisão
Para dividir dois números inteiros de sinais iguais, dividemos os valores absolutos 
e dá-se ao resultado o sinal positivo (+).
Exemplos
a) (+36) : (+2) = +(36 : 2) = +18 = 18
b) (−36) : (−2) = +(36 : 2) = +18 = 18 
MATEMÁTICA VOL. I 53
c) (+27) : (+3) = +9 = 9
d) (−27) : (−3) = +9 = 9 
Observe que o quociente entre dois números de sinais iguais resulta em um 
número positivo (+). Assim, temos:
(+) : (+) = + (−) : (−) = +
Para dividir dois números inteiros de sinais diferentes dividem-se os valores abso-
lutos e dá-se ao resultado o sinal negativo (−).
Exemplos
a) (−36) : (+2) = −(36 : 2) = −18
b) (+36) : (−2) = −(36 : 2) = −18
c) (+27) : (−3) = −9
d) (−27) : (+3) = −9
Observe que o quociente entre dois números de sinais diferentes resulta em nú-
mero negativo ( − ). Assim, temos:
(+) : (−) = − (−) : (+) = −
Zero dividido por um número inteiro diferente de zero é zero.
Exemplos
a) 0 : (−47) = 0
b) 0 : (+35) = 0
Observação
Não se divide por zero!
54 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Exercício
18. Calcule os quocientes:
a) (+42) : (+7) 
b) (−42) : (−7) 
c) (+54) : (−6) 
d) (−54) : (+6) 
e) 39 : (−13) 
f) (−75) : 3 
g) 0 : (−16) 
h) (−26) : 1 
i) (−56) : (−7) 
j) (+64) : (+4) 
k) −35 : 5 
l) 0 : 23 
Potenciação
Potenciação é outra forma de representar multiplicação de fatores iguais.
Exemplos
a) (+5)2 = (+5) . (+5) = +25
b) (−2)3 = (−2) . (−2) . (−2) = −8
c) (−3)2 = (−3) . (−3) = +9
d) (+6)3 = (+6) . (+6) . (+6) = +216
e) (−2)4 = (−2) . (−2) . (−2) . (−2) = +16
f) (−2)5 = (−2) . (−2) . (−2) . (−2) . (−2) = −32
Os elementos de uma potenciação chamam-se: base, expoente e potência. Assim:
(−2)5 = −32
−2 é a base 5 é o expoente −32 é a potência
MATEMÁTICA VOL. I 55
Exercício
19. Calcule as potências, transformando-as em produto de fatores iguais:
a) (+2)2 
b) (+2)3 
c) (+2)4 
d) (+2)5 
e) (−2)2 
f) (−2)3 
g) (−2)4 
h) (−2)5 
i) (+3)2 
j) (+3)3 
k) (+3)4 
l) (+3)5 
m) (−3)2 
n) (−3)3 
o) (−3)4 
p) (−3)5 
Observe que o resultado da potenciação será negativa só quando a base for nega-
tiva e o expoente for ímpar.
Exemplos
a) (−2)3 = −8
b) (−2)5 = −32
c) (−3)5 = −243
Exercício
20. Calcule:
a) (+5)2 
b) (−5)2 
c) (−5)3 
d) (+4)2 
e) (−4)2 
f) (−4)3 
g) (+7)2 
h) (−7)2 
i) (−2)7 
56 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Agora, veja as situações a seguir.
52 = 5 . 5 = 25
(+5)2 = (+5) . (+5) = +25
(−5)2 = (−5) . (−5) = +25
−52 = −(5 . 5) = −25
(−5)3 = (−5) . (−5) . (−5) = −125
−53 = −(5 . 5 . 5) = −125
Observe que:
(+5)2 = 52 = 25
(−5)3 = −53 = −125
(−5)2 = +25
(−5)2 é diferente de −52
−52 = −25
Exercício
21. Calcule:
a) (−6)3 
b) −63 
c) (−5)4 
d) −54 
e) (−8)2 
f) −82 
Potências especiais
Zero elevado a qualquer expoente diferente de zero é igual a zero.
a) 02 = 0
b) 05 = 0
c) 012 = 0
1 elevado a qualquer expoente é igual a 1.
a) 12 = 1
b) 15 = 1
c) 123 = 1
MATEMÁTICA VOL. I 57
Qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a este número.
a) (−15)1 = −15
b) (+15)1 = +15
c) 01 = 0
d) 11 = 1
Observe que número sem o expoente é igual a potência de expoente 1.
Qualquer número, diferente de zero, elevado ao expoente zero é igual a 1.
a) (−20)0 = 1
b) (+20)0 = 1
c) 10 = 1
A potência de base 10 é igual ao algarismo 1 seguido de zeros. O número de zeros 
é igual ao expoente.
a) 103 = 1.000 (o expoente é 3, logo é 1 seguido de três zeros).
b) 104 = 10.000 (o expoente é 4, logo é 1 seguido de quatro zeros).
Exercício
22. Determine as potências:
a) (−17)0 
b) 06 
c) 60 
d) (−6)0 
e) 17 
f) (+12)1 
g) (−12)1 
h) (+12)0 
i) 105 
j) 102 
k) (−10)3 
l) (−10)4 
Propriedades da potenciação
As propriedades da potenciação em N também são válidas quando a base da po-
tência é número inteiro.
58 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
• Produto de potências de mesma base
Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Exemplos
a) (−5)6 . (−5)2 = (−5)6 + 2 = (−5)8
b) (+2)3 . (+2)2 = (+2)3 + 2 = (+2)5
c) (−3)4 . (−3) = (−3)4 + 1 = (−3)5
Exercício
23. Aplicar a propriedade do produto de potências de mesma base:
a) (−2)2 . (−2)4 
b) (−2) . (−2)3 
c) (+6)2 . (+6)3 
d) a2 . a3 
e) a2 . a4 . a 
f) b3 . b4 
g) x 2 . x 2 . x 2 
h) x 5 . x 4 
i) (+5)2 . (+5)3 . (+5) 
• Potência de potência
Para elevar uma potência a um expoente, conserva-se a base e multiplica-se os 
expoentes.
Exemplos
a) [(+2)3 ]4 = (+2)3 . 4 = (+2)12
b) [(−3)2 ]3 = (−3)2 . 3 = (−2)6
c) [(+5)4 ]0 = (+5)4 . 0 = (+5)0 = 1
d) {[(−2)3 ]2 }2 = (−2)3 . 2 . 2 = (−2)12
MATEMÁTICA VOL. I 59
Exercício
24. Aplicar a propriedade da potência de potência:
a) [(−3)3]2 
b) [(+3)4]2 
c) [(−5)2]2 
d) [(+6)2]3 
e) [(−7)3]3 
f) (a2)4 
g) (b3)4 
h) [(x2)2]2 
i) [(p3)1]2 
• Quociente de potências de mesma base
Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
Exemplos
a) (+5)6 : (+5)4 = (+5)6 − 4 = (+5)2
b) (+2)5 : (+2)4 = (+2)5 − 4 = (+2)1 = +2
c) (−3)7 : (−3)3 = (−3)7 − 3 = (−3)4
d) p5 : p2 = p5 − 2 = p3
p ≠ 0 (lembre-se que o divisor deve ser diferente de zero)
Exercício
25. Aplicar a propriedade do quociente de potências de mesma base:
a) (−2)6 : (−2)2 
b) (+5)4 : (+5)3 
c) (−3)7 : (−3)4 
d) (+7)3 : (+7) 
e) (−2)10 : (−2)2 
f) (+3)5 : (+3)2 
g) a5 : a2 a ≠ 0
h) b3 : b b ≠ 0
i) x 6 : x 3 x ≠ 0
Observe que essa propriedade só vale quando o primeiro expoente for maior ou 
igual ao segundo expoente.
60 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
• Potência de um produto
A potência de um produto é igual a cada um dos fatores elevado ao expoente do 
produto.
Exemplos
a) [(+2) . (−5)]2 = (+2)2 . (−5)2
b) [(−3) . (+4)]3 = (−3)3 . (+4)3
c) [(−5) . (−3)]2 = (−5)2 . (−3)2
Exercício
26. Aplicar as propriedades de potências:
a) [(+3) . (+7)]3 
b) [(−3) . (+2)]2 
c) (a . b)2 
d) [(+5) . (−3)]2 
e) [(−6) . (−2)]3 
f) (x . y)3 
g) [(−2) . (−5)]4 
h) [(+2) . (−6)]5 
i) (p . q)4 
Radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação.
Observe que: (+2)3 = 8, então 3 8 = 2
 (−2)3 = −8, então 3 –8 = −2
Observe que, quando o índice é ímpar, a raiz tem o mesmo sinal do radicando.
Agora, veja as situações a seguir:
(+5)2 = 25 e (−5)2 = 25
Existem dois números que, elevados ao quadrado, dão 25. Para diferenciá-los, 
indicaremos assim:
(+5)2 = 25, então 25 = 5
(−5 )2 = 25, então – 25 = −5
MATEMÁTICA VOL. I 61
Observeque para indicar a raiz quadrada negativa colocamos o sinal menos (−) 
antes do radical.
a) – 36 = −6
b) – 9 = −3
c) – 4 = −2
Quando não colocamos sinal antes do radical, convencionamos que a raiz qua-
drada é positiva.
a) 36 = 6
b) 9 = 3
c) 4 = 2
Não podemos calcular a raiz, em Z, quando o índice for par e o radicando, negativo.
Exemplos
a) –25 = ?
Não existe um número inteiro que elevado a 2 dê −25.
b) 4 –16 = ?
Não existe um número inteiro que elevado a 4 dê −16.
Para calcular a raiz de um número, fazemos o seguinte:
• Decompomos o número em fatores primos.
• Escrevemos o número em produto de potência de expoente igual ao índice.
• Quando necessário, aplicamos a propriedade da potência de um produto.
Veja os exemplos que seguem.
a) 25 = 25 5
 5 5 
52 = 25
 25 = 5
 1
62 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
b) 4 16 = 16 2
 8 2
 4 2 
24 = 16
 2 2
 1 4 16 = 2
c) 3 64 = 64 2
 32 2 23
 16 2
 8 2 
23 . 23 = 43 = 64
 4 2 23
 2 2
 1 3 64 = 4
d) 3 –216 216 2
 108 2 23
 54 2
 27 3 
23 . 33 = (2 . 3)3 = 63 = 216
 9 3 33
 3 3
 1 3 –216 = –6
Observe que se não for possível transformar em potências em que o expoente é 
igual ao índice não existe a raiz em Z.
Exercício
27. Calcule as raízes:
a) 49 
b) 3 125 
c) 3 –125 
d) 64 
e) 225 
f) 144 
g) –64 
h) 3 1.000 
MATEMÁTICA VOL. I 63
Expressões
Eliminação de parênteses
Numa expressão com números inteiros, podem ocorrer situações em que apare-
cem os sinais + ou − antes dos parênteses. Nessas situações, podemos recorrer à 
regra dos sinais da multiplicação e eliminar os parênteses.
Exemplos
a) +(−5) = −5 é o mesmo que +1 . (−5) = −5
b) +(+5) = +5 é o mesmo que +1 . (+5) = +5
c) −(−5) = +5 é o mesmo que −1 . (−5) = +5
d) −(+5) = −5 é o mesmo que −1 . (+5) = −5
Observe que:
+(+) dá +
−(+) dá −
−(−) dá +
+(−) dá −
Exercício
28. Elimine os parênteses e calcule conforme o exemplo:
a) (+5) − (−3) + (−7) − (+2) + (+4) 
Eliminando os parênteses:
= + 5 + 3 − 7 − 2 + 4 
Agrupando os positivos e os negativos:
= 5 + 3 + 4 – 7 – 2 
= 12 – 9 = 3
b) (−6) − (−1) − (+4) + (−4) − (−5) + (+3) 
c) (+7) + (−3) − (−2) + (+6) − (+4) − (−1) 
d) (−5) − (−2) + (−7) − (+8) − (−3) + (−5) 
e) (+7) − (+5) + (−5) − (−7) − (−4) 
f) (−4) − (−1) + (−1) + (−1) − (+1) − (−5) + (−5) 
64 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Agora, observe as seguintes situações:
− (5 + 2 − 3 − 6) e + (−4 + 3 − 2 − 6)
Nessas situações, podemos recorrer à propriedade distributiva da multiplicação.
Exemplos
a) − (5 + 2 − 3 − 6) = − 5 − 2 + 3 + 6 é o mesmo que: 
− 1 . (5 + 2 − 3 − 6) = − 5 − 2 + 3 + 6
b) + (−4 + 3 − 2 − 6) = − 4 + 3 − 2 − 6 é o mesmo que: 
+ 1 . (−4 + 3 − 2 − 6) = − 4 + 3 − 2 − 6
Exercício
29. Elimine os parênteses e calcule conforme o exemplo:
a) (− 4 + 3 − 2 − 6) − (5 + 2 − 3 − 6) 
Eliminando os parênteses:
= − 4 + 3 − 2 − 6 − 5 − 2 + 3 + 6 
Cancelando os simétricos e agrupando os positivos e os negativos:
= 3 + 3 − 4 − 2 − 5 − 2 
= + 6 − 13 = − 7
b) + (5 − 6 + 3) − (− 2 + 6 − 7) 
c) − (4 − 7 + 5) + (− 3 − 4 + 2) 
d) (− 7 + 2) − (− 9 − 1) + (− 6 + 5 − 3) 
e) 12 − (4 − 3 + 5) + (− 3 − 7) 
f) 1 − (− 8 + 5 − 2) − (+ 6 − 9) 
Expressões envolvendo operações com números inteiros
Para resolver expressões envolvendo números inteiros, devemos observar a se-
guinte ordem:
10) Efetuam-se potências e raízes na ordem em que aparecem.
20) Efetuam-se as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem.
30) Efetuam-se as adições e as subtrações na ordem em que aparecem.
MATEMÁTICA VOL. I 65
Exemplos
a) 5 − 2 . (−3) + 12 : (−4) = 
= 5 + 6 − 3 =
= 11 − 3 = 8
 
b) 12 + 4 − 20 : (−4) + 3 . (−5) = 
= 12 + 4 + 5 − 15 =
= 21 − 15 = 6
 
c) 14 : (−2) − 5 − 36 : 3 = 
= −7 − 5 − 12 = −24
d) (−6)2 : (−9) + 42 . (−1) + 8 = 
= (+36) : (−9) + 42 . (−1) + 8 = 
= −4 −42 + 8 = 
= −46 + 8 = −38 
 
Exercício
30. Calcule as expressões:
a) 20 − 48 : (−6) + 5 . (−6) 
b) −5 + 7 . (−3) − 56 : 8 + 1 
c) (−24) : (−3) + 6 . (−9) 
d) 9 + 27 : (−3) − 5 . (+6) − 20 
e) (−3)2 . 2 − 36 : (−9) + 12 
f) 4 . (−2)3 + 10 − 50 . (−7) + 2 
g) 7 − (−5)2 + (−3)3 . 2 − 36 : (−2)2 
h) 3 64 − (−2)3 . [10 − 2 . (5 − 6)] 
66 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Expressões envolvendo parênteses e colchetes
Nas expressões em que aparecem ( ) e [ ] devemos obedecer à seguinte ordem:
10. Calcular as expressões entre os parênteses ( ).
20. Calcular as expressões entre os colchetes [ ].
 Em cada uma das etapas, deve ser observada a ordem das operações.
Exemplos
a) 20 − [15 + (− 7 − 3)] + 6 =
 = 20 − [15 + (− 10)] + 6 =
 = 20 − [15 − 10] + 6 =
 = 20 − [5] + 6 =
 = 20 − 5 + 6 = 21
b) − 12 + [24 − (19 − 3 . 4) − 2] =
 = − 12 + [24 − (19 − 12) − 2] =
 = − 12 + [24 − 7 − 2] =
 = − 12 + 15 = 3
c) (−5)2 − [− 13 − 2 . (5 − 8)] =
 = (−5)2 − [− 13 − 2 . (−3)] =
 = (−5)2 − [− 13 + 6] =
 = (−5)2 − [−7] =
 = (−5)2 + 7 =
 = 25 + 7 = 32
d) (7 − 9)3 − 3 . [13 − (4 − 7)3] =
 = (−2)3 − 3 . [13 − (−3)3] =
 = (−2)3 − 3 . [13 − (−27)] =
 = (−2)3 − 3 . [13 + 27] =
 = (−2)3 − 3 . 40 =
 = (−2)3 − 120 =
 = − 8 − 120 = −128
MATEMÁTICA VOL. I 67
Exercício
31. Calcule as expressões:
a) 4 + (5 . 8 − 64) : (−3) 
b) 10 + 2 . (− 2 + 3 − 5) 
c) 2 − 42 : [− 2 + 3 . (5 − 2)] 
d) 5 − 2 . [− 3 − (4 − 1)] + 3 
e) [24 : (−10 + 23)] − 11 
f) 52 – 32 – (3 –8 + 5) . (–1) 
Números racionais
Números racionais absolutos
Operações
Números racionais absolutos
Dada uma fração irredutível, se multiplicarmos o numerador e o denominador 
por todos os números naturais, diferentes de zero, obteremos o conjunto de todas 
as frações equivalentes à fração dada.
Por exemplo:
a) 5 , 10 , 15 , 20 , ...
 2 4 6 8 
As frações
 5 , 10 , 15 , 20 etc.
 2 4 6 8 
representam o mesmo número racional absoluto porque são frações equivalentes.
Outros exemplos:
b) 3 , 6 , 9 , 12 , ...
 1 2 3 4 
As frações
 3 , 6 , 9 , 12 etc.
 1 2 3 4 
representam o mesmo número racional absoluto porque são frações equivalentes.
c) 0 , 0 , 0 , 0 , ...
 1 2 3 4 
As frações
 0 , 0 , 0 , 0 etc.
 1 2 3 4 
representam o mesmo número racional absoluto porque são frações equivalentes.
3. 
MATEMÁTICA VOL. I 69
Generalizando, podemos representar um número racional absoluto na forma 
onde a ∈ N e b ∈ N✳.
Representaremos o conjunto dos números racionais absolutos por Q+.
Noções de número racional
Se aos números racionais absolutos diferentes de zero atribuirmos os sinais + e −, 
obteremos os números racionais positivos e negativos.
Exemplos
+ 5 ; – 1 ; + 3 ; + 8 ; – 10
 3 4 7 2 2
O conjunto formado por todos os números racionais positivos, os negativos 
e o zero chama-se conjunto dos números racionais e é indicado por Q.
Como fizemos em Z, os números positivos podem ser escritos sem o 
sinal +.
• Qualquer número racional pode ser representado sob a forma 
onde a ∈ Z e b ∈ Z✳.
Exemplos
 2 ; – 5 ; – 6 ; 5 
 3 4 – 1 – 3 
• Quando, no número racional escrito sob a forma de fração 
 a 
 b , o a 
for múltiplo do b, este número é equivalente a um número inteiro.
Exemplos
a) 10 = 5 
 2
b) – 20 = – 10 
 2
 
c) 0 = 0 
12
 a 
 b
 a 
 b
70 NÚMEROS RACIONAIS
d) 5 = 1 
 5
e) – 4 = –1 
 4 
Assim podemos estabelecer o diagrama:
Pelo diagrama, podemos dizer que:
• todo número natural é número inteiro, e que
• todo número inteiro é número racional.
Os números racionais podem ser representados sob a forma decimal.
Para se obter a representação decimal dos números racionais, dividimos o nume-
rador pelo denominador.
Exemplos
a) 5 = 2,5 
 2 
5 2
 10 2,5
 0
b) – 4 = –0,8 
 5 
4,0 5
 0 0,8
ℚ
ℤ
ℕ
MATEMÁTICA VOL. I 71
c) – 3 = –0,12 
 25 
3,0 25
 50 0,120
d) 5 = 1,666... 
 3 
5 3
 20 1,666
 20
 20
 2
e) 5 = 0,8333... 
 6 
5 6
 20 0,8333
 20
 20
 2
Observe que, quando o resto começa a repetir, o algarismo do quociente também 
começa a repetir. Essa repetição é representada por reticências (...).
Exercício
1. Escreva os números racionais sob forma decimal:
a)
 
11 
 2 
b) 7 
 5 
c) – 1 
 8
 
d) – 11 
 20
 
e) 1 
 3 
f)
 
– 1 
 3
 
g) – 4 
 9
 
h)
 
– 7 
 6
 
72 NÚMEROS RACIONAIS
Quando transformamos um número da forma fracionária para a forma decimal 
ocorrem três situações:
1a. O resultado é exato.
Exemplos
a) 5 = 2,5
 2 
b) – 4 = –0,8
 5
 
c) – 3 = –0,12
 25
 
Nesse caso, chamaremos de decimal exato.
2a. O resultado não é exato e um ou mais algarismos começam a se repetir indefi-
nidamente, logo após a vírgula.
Exemplos
a) 5 = 1,666...
 3 
b) – 1 = –0,333...
 3
 
c) 5 = 0,454545...
 11
 
O número racional que na forma decimal apresenta essa situação é chamado de 
dízima periódica simples. O número formado pelo algarismo que se repete é o 
período.
Exemplos 
–1,666... é o 6 que se repete, logo o período é 6.
0,454545... é o 45 que se repete, logo o período é 45.
MATEMÁTICA VOL. I 73
Também podemos representar dízimas periódicas simples assim:
–1,666... = 1,6 o ponto ( . ) significa que 6 é o período.
0,454545... = 0, o traço ( ) significa que 45 é o período.
3a. O resultado não é exato e ocorre a repetição de um ou mais algarismos inde-
finidamente, mas entre a vírgula e o período existem algarismos que não se 
repetem.
Exemplos
a) 11 = 1,8333...
 6 
b) – 47 = –0,5222...
 90
 
c) 101 = 0,102
 990
 
O número racional que na forma decimal apresenta essa situação é chamado de 
dízima periódica composta. Na dízima periódica composta, a parte decimal que 
se repete recebe o nome de período e a parte decimal que não se repete recebe o 
nome de parte não periódica.
Exercícios
2. Classifique os números racionais que seguem em decimal exato, dízima 
periódica simples e dízima periódica composta:
a) 0,25
b) 0,252525...
c) −5,333...
d) 4,5333...
e) 5,2
3. Qual é o período do número 5, 42?
4. Quais são o período e a parte não periódica do número 0,5232323...?
74 NÚMEROS RACIONAIS
Transformação da forma decimal em fração
Decimal exato
Para transformar um número racional de forma decimal exata em fração, fazemos 
o seguinte:
• Colocamos, no numerador da fração, o número decimal sem a vírgula.
• Colocamos, no denominador da fração, o algarismo 1 seguido de tantos zeros 
quantas forem as casas decimais do número.
Exemplos
a) 0,25 = 25 = 25 : 5 = 5 : 5 = 1 
 100 100 : 5 20 : 5 4 
 2 casas 2 zeros
b) 1,5 = 15 = 15 : 5 = 3 
 10 10 : 5 2
 
 1 casa 1 zero
c) 0,005 = 5 = 5 : 5 = 1 
 1.000 1.000 : 5 200 
 
 3 casas 3 zeros
d) –3,75 = –375 = –375 : 5 = –75 : 5 = –15 
 100 100 : 5 20 : 5 4
Exercício 
5. Escreva sob a forma 
 
 a 
 b
 os números decimais:
a) 0,5
b) 3,2
c) 1,25
d) −0,45
e) 3,125
f) −0,016
g) 2,05
h) 0,025
MATEMÁTICA VOL. I 75
Dízima periódica simples
Para transformar uma dízima periódica simples em fração, fazemos o seguinte:
• Colocamos o período da dízima no numerador.
• Colocamos, no denominador, tantos noves quantos forem os algarismos do 
período.
• Se a dízima apresentar a parte inteira diferente de zero, devemos colocá-la an-
tes da fração, obtendo, assim, um número misto. Se for necessário, a transfor-
mamos em fração imprópria.
Exemplos
a) 0,555 ... = 5 
 9 
Observe que o período 5 tem um algarismo.
b) 0,363636 ... = 36 = 36 : 9 = 4 
 99 99 : 9 11 
Observe que o período 36 tem dois algarismos.
c) 5,324 = 5 324 = 5 324 : 3 = 5 108 = 5 108 : 3 = 5 36 : 3 
 999 999 : 3 333 333 : 3 111 : 3 
parte inteira
 
 = 5 12 ou 197 
 37 37
Observe que o período 324 tem 3 algarismos.
Exercício
6. Escreva sob a forma 
 
 a 
 b 
as dízimas periódicas simples:
a) 0,333...
b) −2,666...
c) 4,060606...
d) 0,4
e) 0,242424...
f ) 0,513
76 NÚMEROS RACIONAIS
Dízima periódica composta
Para transformar uma dízima periódica composta em fração fazemos o seguinte:
• Colocamos no numerador a parte não periódica seguida do período e subtraí mos 
a parte não periódica.
• Colocamos no denominador tantos noves quantos forem os algarismos do 
período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não 
periódica.
• Se apresentar parte inteira diferente de zero, esta deve ser colocada antes da 
fração, obtendo-se assim um número misto. Se for necessário, transformá-lo 
em fração imprópria.
Exemplos
a) 0,8333 = 83 – 8 = 75 = 75 : 3 = 25 : 5 = 5 
 90 90 90 : 3 30 : 5 6
 
 Observe que a parte não periódica 8 tem um algarismo e o período 
3 tem um algarismo.
b) 2,1363636... = 2 136 – 1 = 2 135 = 2 135 : 5 = 2 27 : 9 = 2 3 
 990 990 990 : 5 198 : 9 22
 
 Observe que a parte não periódica 1 tem um algarismo e o período 
36 tem 2 algarismos.
c) 3,0666... = 3 06 – 0 = 3 6 = 3 1 
 90 90 15 
d) 0,253 = 253 – 25 = 228 : 3 = 76 : 2 = 38 : 2 = 19 
 900 900 300 : 2 150 : 2 75
 
Exercício
7. Escreva sob a forma 
 
 a 
 b 
as dízimas periódicas compostas:
a) 0,3555...
b) 2,0444...
c) 0,375
d) 2,4666...
e) 0,513
f ) 1,627
MATEMÁTICA VOL. I 77
Representação na reta numérica
Os números racionais podem ser representados na reta numérica. Assim:
Oposto ou simétrico
Já vimos, no conjunto Z, que:
• oposto de +3 é −3
• oposto de −5 é 5
• oposto de 0 é 0
Do mesmo modo, temos que:
• oposto de – 3 
 4
 é + 3 
 4
• oposto de – 7 
 3 
é + 7 
 3
• oposto de 2,5 é −2,5
Generalizando temos: se a é um número racional, o oposto de a é –a.
Exercício
8. Dê o oposto dos números racionais a seguir:
a) – 1 
 2 
b) 3 
 5 
c) −1,25
d) 0,6
e) –2 1 
 4
 
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6–5,5 3,5 4,5
–4,75 –3,5
– 5 2 –
 3 
 2 –
 1 
 2
– 3 4 –
 1 
 4
 1 
 2
 3 
 2
 5 
 2
 5 
 4
78 NÚMEROS RACIONAIS
–2,5 –2 –1 0 1 2 +2,5
e) – 1 
 2 
f) + 10 
 7
 
g) |–15|
Comparação
Para comparar números racionais, podemos observar as posições que estes ocu-
pam na reta numérica. Os números crescem da esquerda para a direita. Observe 
a reta numérica:
Valor absoluto ou módulo
Observe a reta numérica abaixo.
Veja que −2,5 e +2,5 estão à mesma distância do zero, logo têm os módulos iguais. 
Indicaremos do mesmo modo que em Z.
|–2,5| = 2,5 |+2,5| = 2,5
Como o módulo de um número positivo e o módulo de um número negativo não 
têm sinais, podemos dizer que módulo de um número racional é sempre um 
número racional absoluto.
Exercício
9. Escreva os valores correspondentes aos módulos a seguir:
a) – 3 
 7 
 
b)
 
+ 5 
 6 
c) |0| 
d) |–0,25|
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6–5,5 3,5 4,5
–4,75 –3,5
– 5 2 –
 3 
 2 –
 1 
 2
– 3 4 –
 1 
 4
 1 
 2
 3 
 2
 5 
 2
 5 
 4
MATEMÁTICA VOL. I 79
Veja que:
0 < 1 
 2
– 1 < 0
 2
–2,5 < – 1 
 2
– 7 < 4,5
 2
 5 < 4,5
 2
Exercícios
10. Observe a reta numérica dada anteriormente e escreva em ordem 
crescente os números:
 
 3 ; – 5 ; –2,5; 9 ; – 3 e 0
 4 4 4 2
11. Observe a reta numérica e escreva em ordem decrescente os números:
 
–4,5; 4,5; 0; – 3 ; – 7 ; 5 ; e 5 
 2 2 24
12. Substitua o Δ pela palavra maior ou menor (observe a reta numérica):
a) Qualquer número positivo é Δ que zero.
b) Qualquer número negativo é Δ que zero.
c) Qualquer número negativo é Δ que qualquer número positivo.
d) Entre dois números negativos o Δ será o que possuir o maior valor 
absoluto.
Dois números racionais
 
 a 
 b 
e
 
 c 
 d 
são equivalentes se:
a . d = b . c
Exemplos
a) 5 = 15
 3 9 
 porque 5 . 9 = 3 . 15
80 NÚMEROS RACIONAIS
b) 3 = 12
 1 4
 porque 3 . 4 = 1 . 12
Para comparar dois números racionais positivos 
 a 
 b 
e
 
 c 
 d 
podemos fazer o seguinte:
• multiplicar o numerador da 1a fração pelo denominador da 2a fração;
• multiplicar o numerador da 2a fração pelo denominador da 1a fração;
• comparar os resultados.
Exemplos
a) 5 > 4 
 3 5
 pois 5 . 5 > 4 . 3
b) 7 < 5 
 6 4 
 pois 7 . 4 < 5 . 6
Exercício
13. Substitua o Δ pelo sinal > ou < tornando verdadeiras as sentenças:
a) 5 Δ 4 
 3 5
 
b)
 
 8 Δ 7 
 9 8
 
c) 3 Δ 5 
 2 7
 
d)
 
 3 Δ 5 
 4 7
 
e) 10 Δ 11 
 9 8
 
f ) 7 Δ 9 
 6 8
 
Para comparar dois números racionais negativos
 a 
 b 
e
 
 c 
 d 
podemos fazer o seguinte:
MATEMÁTICA VOL. I 81
• compararmos os valores absolutos dos números racionais;
• se, na comparação, o valor absoluto da 1a fração for menor do que o valor ab-
soluto da 2a fração, conclui-se que a 1a fração é maior do que a 2a fração.
Lembremos que, dados dois números racionais negativos, o número de menor 
valor absoluto é maior do que o número de maior valor absoluto.
Exemplos
a) – 6 e – 7 
 5 6 
 
Comparando os valores absolutos,
– 6 e – 7 
 5 6
 pois 6 . 6 > 5 . 7
Logo: – 6 < – 7 
 5 6
 
b) – 3 e – 6 
 7 13
 
Comparando os valores absolutos,
– 3 > – 6 
 7 13
 pois 3 . 13 > 7 . 6
Logo: – 3 > – 6 
 7 13
Exercício
14. Substitua o Δ pelo sinal < ou > tornando verdadeiras as sentenças:
a) – 5 Δ – 8 
 7 11
 
b)
 
– 9 Δ – 3 
 13 5
 
c) – 21 Δ – 5 
 7 2
 
d)
 
– 3 Δ – 4 
 2 3
 
e) – 7 Δ – 9 
 6 8
 
f ) – 12 Δ – 4 
 11 3
 
82 NÚMEROS RACIONAIS
Outro modo de comparar números racionais sob a forma é a seguinte:
• Se forem positivos com denominadores iguais, comparamos os numeradores.
Exemplos
a) 3 < 5 
 4 4
 pois 3 > 5
b) 7 > 5 
 6 6 
 pois 7 > 5
• Se forem negativos com denominadores iguais, atribuímos o sinal negativo aos 
numeradores e os comparamos.
Exemplos
a) – 3 > – 5 
 4 4
 pois –3 > –5
b) _ 7 < – 5 
 6 6 
 pois –7 < –5
• Se os denominadores forem diferentes reduzimos ao mesmo denominador e 
recaímos nos casos anteriores.
Exemplos
a) 11 e 7 
 6 4 
• Reduzindo ao mesmo denominador:
 mmc (6, 4) = 12
 
 11 = (12 : 6) 
. 11 = 22 
 6 12 12
 
 
 7 = (12 : 6) 
. 7 = 21 
 4 12 12
MATEMÁTICA VOL. I 83
 
 22 > 21 logo 11 > 7 
 12 12 6 4
b) – 13 e – 7 
 8 3 
• Reduzindo ao mesmo denominador:
 mmc (8, 3) = 24
 
– 13 = – (24 : 8) 
. 13 = – 39 
 8 24 24
 
 
– 7 = – (24 : 3) 
. 7 = – 56 
 4 24 24
 
– 39 > – 56 logo – 13 > – 7 
 24 24 8 3
Esse processo é trabalhoso, porém será útil para ordenar números 
racionais escritos sob a forma.
Outro exemplo:
Escrever em ordem crescente os números racionais:
 5 ; 3 ; 7 e 7 
 6 4 8 12 
Observe que, reduzindo ao mesmo denominador, basta comparar os 
numeradores.
Então, vamos reduzi-los ao mesmo denominador:
 5 , 3 , 7 , 7 
 6 4 8 12 
mmc (6, 4, 8, 12) = 24
 (24 . 6) . 5 ; (24 
. 4) . 3 ; (24 
. 8) . 7 ; (24 
. 12) . 7 
 24 24 24 24 
 20 , 18 , 21 , 14 → 14 , 18 , 20 , 21 logo 7 < 3 < 5 < 7 
 24 24 24 24 24 24 24 24 12 4 6 8
84 NÚMEROS RACIONAIS
Exercício
15. Escreva na ordem crescente os números racionais:
a) 3 ; – 1 ; 0 ; 5 ; – 3 
 4 2 6 4
 
b) 7 ; – 2 ; 7 ; – 1 
 8 3 12 2
 
Operações
Nas operações com números racionais, levamos em consideração as regras estu-
dadas em números decimais, frações e números inteiros.
Adição e subtração
Para efetuar adição e subtração de números racionais (sob a forma a 
 b
), conside-
ramos as seguintes situações:
• Os denominadores são iguais:
Conserva-se o denominador comum e adicionam-se ou subtraem-se os numeradores.
Exemplos
a)
 
 5 + 1 = 5 + 1 = 6 = 3 
 8 8 8 8 4
b) 11 – 10 = 11 – 10 = 1 
 4 4 4 4
c) – 3 – 2 = –3 – 2 = –5 = – 5 
 7 7 7 7 7
d) – 5 – – 1 = –5 + 1 = –5 + 1 = –4 = – 4 
 9 9 9 9 9 9 9
 eliminando os parênteses
MATEMÁTICA VOL. I 85
Se aparecer número misto na operação, é conveniente transformá-lo em fração 
imprópria.
Exemplos 
a)
 
 + 1 2 – –2 1 = +1 2 + 2 1 = 3 
. 1 + 2 + 3 
. 1 + 2 = 5 + 7 =
 3 3 3 3 3 3 3 3
= 12 = 4
 3 
b) 5 + – 3 – –1 7 = 5 – 3 + 1 7 = 5 – 3 + 15 = 5 – 3 + 15 =
 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
 
= 17 = 2 1 
 8 8
Exercícios
16. Calcule a soma ou a diferença conforme o caso:
a) – 5 + – 4 
 11 11 
 
b) + 7 – – 2 
 15 15 
c) + 3 + – 2 
 7 7
 
d) – 1 – – 5 
 6 6 
e) –1 5 + + 7 
 9 9 
f) –1 9 – + 7 
 13 13 
17. Calcule o valor das expressões:
a) 8 – 7 + 4 
 15 15 15 
b) 1 + 1 2 – 3 1 
 5 5 5
 
c) – 4 – 5 – 7 
 9 9 9
 
d) 3 1 – – 4 – 1 
 7 7 7 
transformando em fração imprópria
eliminando os parênteses
86 NÚMEROS RACIONAIS
• Os denominadores são diferentes:
Nesse caso, devemos reduzir ao mesmo denominador.
Exemplos
 eliminando os parênteses
a) – 5 + + 3 = – 5 + 3 = –10 + 9 = – 1 
 6 4 6 4 12 12 
 reduzindo ao mesmo denominador
mmc (6,4) = 12
b) + 7 – –1 2 = 7 +1 2 = 7 + 5 = 7 + 15 = 22 = 2 4 
 9 3 9 3 9 3 9 9 9
 
mmc (9,3) = 9
c) – 5 + – 1 – – 3 = – 5 – 1 + 3 = –20 – 8 + 9 = – 19 
 6 3 8 6 3 8 24 24 
mmc (6, 3, 8) = 24
d)
 
1 1 – (+2) + – 1 = 5 – 2 – 1 = 15 – 24 – 4 = – 13 = –1 1 
 4 3 4 1 3 12 12 12
 
 mmc (4, 3) = 12
 Observe que 2 = 2 
 1
Exercícios
18. Calcule as diferenças ou somas:
a) – 5 + – 1 
 6 4
 
b) – 6 – – 1 
 7 14 
c) + 1 + – 1 
 3 6 
d) (–2) – + 3 
 8 
e) +1 2 + +7 
 9 6 
f) (–0,5) – + 1 
 5 
MATEMÁTICA VOL. I 87
19. Calcule o valor das expressões:
a) 2 – 4 – – 5 + 3 
 3 5 6 10 
b) 3 – 1 – 2 – 7
 4 8 
c) (0,2 – 0,3) – 1 – 1 
 3 2 
d) 0,8 – 4 – 0,5 – 3 
 5 10 
Propriedade da adição e subtração
• Fechamento
 + 3 + – 1 = 2 
 5 5 5
 + 3 ∈ Q, – 1 ∈ Q e 2 ∈ Q
 5 5 5 
Generalizando:
a ∈ Q, b ∈ Q então a + b ∈ Q
• Comutativa
 + 3 + – 1 = 2 
 5 5 5
 – 1 + + 3 = 2 
 5 5 5
 + 3 + – 1 = – 1 + + 3 
 5 5 5 5
Generalizando:
a + b = b + a
• Associativa
 + 3 + + 1 + – 5 = – 2 + – 5 = – 7 
 8 8 8 8 8 8
 – 3 + + 1 + – 5 = – 3 + – 4 = – 7 
 8 8 8 8 8 8
 – 3 + + 1 + – 5 = – 3 + + 1 + – 5 
 8 8 8 8 8 8
Generalizando:
(a + b) + c = a + (b + c)
88 NÚMEROS RACIONAIS
• Elemento neutro
 – 5 + 0 = 0 + – 5 = – 5 
 9 9 9
Generalizando:
a + 0 = a e 0 + a = a
• Oposto ou simétrico
 5 + – 5 = 0
 8 8 
– 5 + + 5 = 0
 8 8 
Generalizando:
a + (−a) = 0 e −a + a = 0
Para qualquer número racional a, existe o oposto que é –a.
Observe que a subtração é fechada em Q.
 
– 3 – – 5 = 2 
 7 7 7
– 3 ∈ Q, – 5 ∈ Q e 2 ∈ Q
 7 7 7
Generalizando:
se a ∈ Q e b ∈ Q, então a − b ∈ Q.
Multiplicação
Na multiplicação em Q, valem as mesmas regras de sinais usadas em Z.
Assim, temos:
O produto de dois números racionais de sinais iguais é positivo.
(+) . (+) = + e ( − ) . ( − ) = +
O produto de dois números de sinais diferentes é negativo.
( − ) . (+) = − e (+) . ( − ) = −
MATEMÁTICA VOL. I 89
Para multiplicar números racionais (na forma ) fazemos o seguinte:
• multiplicamos os numeradores;
• multiplicamos os denominadores;
• colocamos o sinal de acordo com a regra.
Exemplos
a) – 2 . + 1 = – 2 
. 1 = – 2 
 5 3 5 . 3 15
b) + 3 . + 2 = + 3 
. 2 = 6 = 3 
 4 5 4 . 5 20 10 
c) –1 1 . – 5 = – 3 . – 5 = + 15 = 5 = 1 1 
 2 6 2 6 12 4 4 
d) (–0,2) . + 3 = – 2 . + 3 = – 6 = – 3 
 4 10 4 40 20 
e) 4 . – 5 = 4 . – 5 = – 20 – 10 = –3 1 
 6 1 6 6 3 3
 
 
Na multiplicação, podemos simplificar o numerador de uma fração com o deno-
minador da outra fração.
Exemplos
a) 12 . – 10 = – 4 
. 2 = – 8 = –2 2 
 5 9 1 . 3 3 3
4
1
2
3
b) – 15 . – 12 . – 5 = – 15 = –1 7 
 8 5 12 8 8
1
1
1
1
Observe que a simplificação na própria fração é válida.
90 NÚMEROS RACIONAIS
Exercícios
20. Calcule os produtos:
a) + 5 . – 2 
 6 3 
b) – 
 5 . + 4 . – 3 
 8 3 10
 
c) – 3 . – 6 
 4 5 
 
d) – 
 7 . – 6 . – 1 
 3 7 4
 
e) –2 1 . + 3 
 2 5 
f) (+0,2) . + 
 10 . – 3 
 3 5 
g) + 18 . (–3) 
 21 
h) – 6 . (–14) . – 5 
 7 12
 
21. Calcule o valor das expressões:
a) 
 3 + – 5 . – 3 
 4 6 5
 
b) 
 3 + – 5 . – 3 
 4 6 5
 
c) 
 3 . – 5 + – 3 
 4 6 5 
d) 
 3 . – 5 – – 3 
 4 6 5
 
Propriedades da multiplicação
• Fechamento
+ 5 . – 1 = – 5 
 3 2 6
+ 5 ∈ Q, – 1 ∈ Q e – 5 ∈ Q
 3 2 6
Generalizando:
se a ∈ Q e b ∈ Q, então a . b ∈ Q.
• Comutativa
 – 2 . – 4 = + 8 
 3 5 15
 – 4 . – 2 = + 8 
 5 3 15
 – 2 . – 4 = – 4 . – 2 
 3 5 5 3
Generalizando:
a . b = b . a
MATEMÁTICA VOL. I 91
• Associativa
 + 5 . – 1 . – 7 = – 5 . – 7 = 35 
 3 2 2 6 2 12
 + 5 . – 1 . – 7 = + 5 . + 7 = 35 
 3 2 2 3 4 12
Generalizando:
(a . b) . c = a . (b . c)
• Elemento neutro
O elemento neutro na multiplicação é o número 1.
1 . – 3 = – 3 e – 3 . 1 = – 3 
 4 4 4 4
Generalizando:
a = a . 1 = a
O zero na multiplicação
0 . + 6 = 0 
 7 
+ 6 . 0 = 0 
 7 
Generalizando:
0 . a = a . 0 = 0
• Distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração
 2 . 5 + 1 = 2 . 6 = 4 
 3 7 7 3 7 7
1
2
 2 . 5 + 2 . 1 = 10 + 2 = 12 = 4 
 3 7 3 7 21 21 21 7
 2 . 5 + 1 = 2 . 5 + 2 . 1 = 4 
 3 7 7 3 7 3 7 7
Generalizando:
a . (b + c) = a . b + a . c
a . (b − c) = a . b − a . c
92 NÚMEROS RACIONAIS
• Inverso ou recíproco
– 3 . – 5 = + 15 = 1
 5 3 15
(+4) . + 1 = + 4 = 1 
 4 4 
Generalizando:
 a . b = ab = 1
 b a ba
 a e b ≠ 0
ou
a . 1 = a = 1
 b a 
 a ≠ 0
Para qualquer número racional
 
 a 
 b
, diferente de zero, existe o inverso que é
 
 b 
 a
.
Exemplos
a) O inverso de + 3 
 4 
é – 4 
 3 
b) O inverso de – 5 
 3 
é – 2 
 5 
c) O inverso de −7 é – 1 
 7 
Observe que:
• zero não tem inverso;
• inverso de 1 é 1;
• um número racional e seu inverso têm o mesmo sinal.
Exercícios
22. Dê o inverso de:
a) – 4 
 5 
b)
 
+ 3 
 2 
MATEMÁTICA VOL. I 93
c) − 2 
d) – 8 
 3 
e) – 3 
 8 
f) +10 
g) – 1 
 5 
h) −1 
23. Aplique a propriedade comutativa, sem efetuar os cálculos.
– 2 . + 5 
 3 7 
24. Aplique a propriedade distributiva, sem efetuar os cálculos.
– 1 + 2 . + 7 
 4 5 3 
As palavras de, da, das e dos podem ser utilizadas para indicar uma multiplicação.
Exemplos
a) 2 de 1 = 2 . 1 = 2 
 3 5 3 5 15
b) 
 5 dos 8 = 5 . 8 = 10 
 4 9 4 9 9
2
1
c) 
 3 de 120 km = 3 . 120 km = 90 km 
 4 4 1
30
1
d) 
 2 dos 3 de 30 dias = 2 . 3 . 30 dias = 9 dias
 5 4 5 4 1
1
1 1
1
15
3
94 NÚMEROS RACIONAIS
Exercícios
25. Calcule:
a)
 
 3 de 5 
 4 6 
b) 5 da metade de 90 minutos 
 6 
 
c) 2 dos 5 de 48 h
 5 8 
d) 1 dos 2 de 36 polegadas
 3 3 
26. Resolva.
 Um operário recebe R$ 18.000,00 e gasta
 
 1 
 3 
de aluguel.
 Quanto ele gasta de aluguel?
Divisão
Para dividir números racionais (na forma