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ELETRICIDADE 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Felipe Neves Souza 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, estudaremos os circuitos em corrente alternada, os quais 
compõem a grande maioria dos equipamentos elétricos existentes. 
Apresentaremos uma nova forma de trabalhar com grandezas alternadas, que 
é o fasor. Além disso, abordaremos o conceito de impedância, em que todos 
os elementos (resistores, capacitores e indutores) são representados por 
impedâncias. Em seguida, apresentaremos as relações entre impedâncias e as 
leis de Kirchhoff, com fasores para a realização da análise de circuitos em 
corrente alternada. 
Até o momento, limitamos nosso estudo a circuitos em tensão/corrente 
contínua. Agora, abordaremos os circuitos em tensão/corrente alternada, cujos 
valores não são constantes no decorrer do tempo. 
Os sistemas em corrente alternada são os mais utilizados em 
equipamentos elétricos. Visto que a geração, a transmissão e a distribuição de 
energia elétrica se dá, na maior parte, em corrente alternada (CA), o estudo 
dessa forma de energia é fundamental para a continuidade de nosso curso de 
engenharia elétrica. 
TEMA 1 – SENOIDES E FASORES 
1.1 Senoides 
Nas aulas anteriores, realizamos análises de circuitos elétricos utilizando 
corrente contínua (CC), ou seja, a corrente que não varia ao longo do tempo. 
Agora, continuaremos nossos estudos utilizando as fontes senoidais – 
que apresentam uma variação de amplitude ao longo do tempo –, a que 
chamamos de corrente alternada (CA). O comportamento de uma fonte 
senoidal pode ser representado por uma função seno ou uma função cosseno. 
A equação a seguir descreve o comportamento de uma fonte de tensão 
senoidal: 
𝒗𝒗(𝒕𝒕) = 𝑽𝑽𝒎𝒎. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎. 𝒕𝒕 + 𝜙𝜙) 
sendo 𝑉𝑉𝑚𝑚 a amplitude da senoide, 𝜔𝜔 a frequência angular em radianos por 
segundo (𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎/𝑠𝑠), 𝜙𝜙 o ângulo de fase e (𝜔𝜔. 𝑡𝑡 + ∅) o argumento da senoide. 
 
 
3 
A figura a seguir ilustra o comportamento da senoide com 𝜙𝜙 = 𝟎𝟎 ao 
longo do tempo. 
Figura 1 – Tensão senoidal 
 
Na Figura 1, podemos observar que a senoide apresenta oscilações 
entre valores positivos e negativos em intervalos de tempos regulares, e por 
isso essa função é denominada periódica. O intervalo de tempo para que a 
senoide passe por todos os seus valores possíveis, ou seja, complete um ciclo 
completo, é chamado de período da função (T), e é medido em segundos. 
𝑇𝑇 =
2.𝜋𝜋
𝜔𝜔
 
O número de ciclos por segundo é chamado de frequência cíclica ou 
simplesmente de frequência, e é medido em Hertz (Hz). A frequência de uma 
senoide é o inverso do período: 
𝑓𝑓 =
1
𝑇𝑇
 
Portanto, 
𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓 
O ângulo de fase (𝜙𝜙) determina o valor da função senoidal no instante 
de tempo t = 0 e, portanto, fixa o ponto em que o período começa. Mudar o 
ângulo de fase significa deslocar a onda senoidal ao longo do eixo dos tempos. 
Um ângulo 𝜙𝜙 > 𝟎𝟎 desloca a onda para a esquerda, e um ângulo 𝜙𝜙 < 𝟎𝟎 desloca 
a onda para a direita. 
É importante ressaltar que o ângulo de fase não provoca nenhuma 
variação na amplitude máxima (Vm) e nem na frequência angular (𝜔𝜔). 
 
 
4 
Considere agora as duas senoides representadas pelas equações a 
seguir e ilustradas na Figura 2. Elas possuem as mesmas amplitude e 
frequência, porém, com fases distintas. A primeira delas tem fase igual a zero 
(𝜙𝜙 = 𝟎𝟎), enquanto a segunda possui uma fase ∅ diferente de zero. 
𝑣𝑣1(𝑡𝑡) = V𝑚𝑚. s𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
𝑣𝑣2(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝑚𝑚. s𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) 
Figura 2 – Duas fontes senoidais com fases distintas 
 
Podemos observar que a função 𝑣𝑣2(𝑡𝑡) inicia o seu ciclo antes da função 
𝑣𝑣1(𝑡𝑡); portanto, podemos dizer que a função 𝑣𝑣2(𝑡𝑡) está adiantada em relação a 
𝑣𝑣1(𝑡𝑡), ou que 𝑣𝑣1(𝑡𝑡) está atrasada em relação a 𝑣𝑣2(𝑡𝑡). Caso o valor 𝜙𝜙 ≠ 0, 
dizemos que 𝑣𝑣1 e 𝑣𝑣2 estão fora de fase, e se 𝜙𝜙 = 0, dizemos que 𝑣𝑣1 e 𝑣𝑣2 estão 
em fase. Isso significa que elas possuem os valores máximos, mínimos e nulos 
nos mesmos instantes de tempo. Diferentes senoides podem estar em fase 
sem necessariamente possuir a mesma amplitude. 
Conforme já mencionado, uma senoide pode ser expressa utilizando 
uma função seno ou uma função cosseno. Quando comparamos duas 
senoides é preciso que a amplitude em ambas as equações seja positiva. Para 
isso, basta utilizarmos as seguintes identidades trigonométricas: 
𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐴𝐴 ± 𝐵𝐵) = 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐴𝐴) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝐵𝐵) ± 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐵𝐵) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝐴𝐴) 
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝐴𝐴 ± 𝐵𝐵) = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝐴𝐴) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝐵𝐵) ± 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐴𝐴) 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐴𝐴) 
 
 
 
5 
Com essas identidades trigonométricas, podemos comprovar que: 
𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡 ± 180°) = −𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 ± 180°) = −𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 90°) = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 90°) = −𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 90°) = −𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 90°) = 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
Dessa forma, com essas identidades, podemos transformar uma função 
seno em uma função cosseno subtraindo 90°: 
s𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) = cos(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙 − 90°) 
Outra característica importante de uma tensão ou corrente senoidal é o 
seu valor eficaz ou RMS (do inglês root mean square). O valor eficaz para uma 
periódica senoidal é obtido por meio da equação a seguir: 
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = �
1
𝑇𝑇
� 𝑉𝑉𝑚𝑚2. 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒2(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙).𝑎𝑎𝑡𝑡
𝑡𝑡0+𝑇𝑇
𝑡𝑡0
 
Resolvendo, temos que: 
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑉𝑉𝑚𝑚
√2
 
Observamos que o valor eficaz da tensão depende somente da 
amplitude máxima e não sofre nenhuma influência da frequência ou do ângulo 
de fase. 
1.2 Fasores 
Um fasor é um número complexo que representa as informações de 
amplitude e ângulo de fase de uma função senoidal. A utilização da 
representação fasorial nos possibilita realizar de uma forma mais fácil a análise 
de circuitos lineares com fontes senoidais. 
 
 
6 
O conceito de fasor é baseado na identidade de Euler, que relaciona a 
função trigonométrica com a função exponencial 
𝑒𝑒±𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜙𝜙) ± 𝑗𝑗 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜙𝜙) 
em que podemos afirmar que 
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜙𝜙) = 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗� 
𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜙𝜙) = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗) 
em que 𝑅𝑅𝑒𝑒 e 𝐼𝐼𝐼𝐼 significam a parte real e a parte imaginária do fasor, 
respectivamente. 
Para obtermos uma representação fasorial de uma senoide, esta deve 
estar expressa pela função cosseno, de modo que possa ser escrita como a 
parte real de um número complexo. 
Considere uma fonte de tensão expressa por meio da seguinte função 
no domínio do tempo: 
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) 
Aplicando a identidade de Euler, podemos reescrevê-la da seguinte 
forma: 
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑗𝑗(𝜔𝜔𝑡𝑡+𝑗𝑗)� = 𝑅𝑅𝑒𝑒�𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗. 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡� 
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑒𝑒(�̇�𝑉. 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡) 
em que a sua representação no domínio dos fasores será: 
�̇�𝑉 = 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 
ou então: 
�̇�𝑉 = 𝑉𝑉𝑚𝑚∠𝜙𝜙 
O ponto em cima da letra V indica que �̇�𝑉 é a representação fasorial da 
senoide 𝑣𝑣(𝑡𝑡). Um fasor também pode ser indicado por uma letra em negrito (V). 
Examinando a equação �̇�𝑉. 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡, podemos dizer que o fasor de uma 
senoide pode ser considerado como um fasor rotacional, em que este gira em 
 
 
7 
um círculo de raio Vm no sentido anti-horário a uma velocidade angular 𝜔𝜔. 
Dessa forma, na representação de um fasor, o termo 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 está implicitamente 
presente. 
Um fasor é representado em forma polar, e um vetor girante no plano 
complexo equivale à representação de uma grandeza senoidal, como mostra a 
Figura 3, em que a projeção no eixo vertical do vetor girante é igual à amplitude 
da senoide. 
Figura 3 – Representação de um fasorgirando no sentido anti-horário 
 
TEMA 2 – MATEMÁTICA COM NÚMEROS COMPLEXOS 
Antes de começarmos a resolver circuitos envolvendo fasores, 
precisamos relembrar alguns conceitos de números complexos, os quais 
podem ser escritos em forma retangular, polar ou exponencial. 
A representação de um número complexo na forma retangular é dada 
pela equação a seguir: 
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 
em que z é um número complexo e j é a unidade imaginária, sendo 𝑗𝑗 = √−1. 
Os termos x e y são chamados de parte real e parte imaginária, 
respectivamente. 
Vale ressaltar que em matemática é utilizada a letra i para representar 
os números imaginários; porém, em engenharia, a letra i designa correntes 
elétricas, e por isso representaremos os números complexos utilizando a letra j. 
 
 
 
8 
Como 𝑗𝑗 = √−1, temos que: 
1
𝑗𝑗
= −𝑗𝑗 
1
𝑗𝑗. 10
= −𝑗𝑗. 0,1 
𝑗𝑗2 = −1 
𝑗𝑗3 = 𝑗𝑗. 𝑗𝑗2 = −𝑗𝑗 
𝑗𝑗4 = 𝑗𝑗2. 𝑗𝑗2 = 𝑗𝑗 
Um número complexo representado na forma retangular nada mais é do 
que um ponto no plano que contém o eixo real (Re) e o eixo imaginário (Im), 
semelhante ao plano cartesiano, conforme apresenta a Figura 4. Além da 
forma retangular, um número complexo pode ser representado de duas outras 
formas: a polar e a exponencial, como mostram as equações a seguir, 
respectivamente: 
𝑧𝑧 = 𝑟𝑟∠𝜙𝜙 
𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 
em que 𝑟𝑟 é a magnitude e 𝜙𝜙 é a fase. 
Figura 4 – Número complexo z representado no plano dos números complexos 
 
Para realizar a transformação de um número complexo de forma 
retangular para a polar, basta utilizar as propriedades do triângulo, ou seja: 
𝑟𝑟 = �𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗2 
 
 
9 
𝜙𝜙 = 𝑡𝑡𝑡𝑡−1 �
𝑗𝑗
𝑥𝑥
� 
E um número complexo em forma polar pode ser escrito em forma 
retangular, usando: 
𝑥𝑥 = 𝑟𝑟. cos(𝜙𝜙) 
𝑗𝑗 = 𝑟𝑟. sen(𝜙𝜙) 
Ou seja: 
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑟𝑟. cos(𝜙𝜙) + 𝑗𝑗 𝑟𝑟. sen(𝜙𝜙) 
Dado o número complexo 𝑧𝑧 = 3 + 𝑗𝑗4, obtemos a sua representação em 
forma polar: 
𝑟𝑟 = �32 + 42 = 5 
𝜙𝜙 = 𝑡𝑡𝑡𝑡−1 �
4
3
� = 53,13° 
Portanto, 
𝑧𝑧 = 3 + 𝑗𝑗4 = 5∠53,13° 
Agora, dado o número 𝑧𝑧 = 10∠126,87°, encontramos a sua forma 
retangular: 
𝑧𝑧 = 10. cos(𝜙𝜙126,87°) + 𝑗𝑗10. sen(126,87°) 
𝑧𝑧 = −6 − 𝑗𝑗8 
As operações matemáticas de adição e subtração de números 
complexos tornam-se mais fáceis quando utilizamos a forma retangular. 
Considere os dois números complexos a seguir: 
𝑧𝑧1 = 𝑥𝑥1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗1 = 𝑟𝑟1∠𝜙𝜙1 
𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗2 = 𝑟𝑟2∠𝜙𝜙2 
 
 
 
10 
A soma entre eles é dada por: 
𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 𝑗𝑗(𝑗𝑗1 + 𝑗𝑗2) 
Enquanto a subtração é dada por: 
𝑧𝑧1 − 𝑧𝑧2 = (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) + 𝑗𝑗(𝑗𝑗1 − 𝑗𝑗2) 
Entretanto, as operações de multiplicação e divisão podem ser 
realizadas mais facilmente em forma polar. 
Para a multiplicação, devemos realizar: 
𝑧𝑧1 . 𝑧𝑧2 = 𝑟𝑟1. 𝑟𝑟2∠(𝜙𝜙1 + 𝜙𝜙2) 
Utilizando a forma retangular, basta aplicar a propriedade distributiva da 
multiplicação e lembrar que 𝑗𝑗2 = −1: 
𝑧𝑧1. 𝑧𝑧2 = 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗. 𝑥𝑥1. 𝑗𝑗2 + 𝑗𝑗. 𝑗𝑗1. 𝑥𝑥2 + 𝑗𝑗2.𝑗𝑗1.𝑗𝑗2 
𝑧𝑧1. 𝑧𝑧2 = (𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 − 𝑗𝑗1.𝑗𝑗2) + 𝑗𝑗( 𝑥𝑥1.𝑗𝑗2 + 𝑗𝑗1. 𝑥𝑥2) 
E, por fim, para a divisão: 
𝑧𝑧1
𝑧𝑧2
=
𝑧𝑧1
𝑧𝑧2
∠(𝜙𝜙1 − 𝜙𝜙2) 
A tabela a seguir apresenta outras operações matemáticas: 
Tabela 1 – Operações matemáticas com fasores 
Recíproco 
1
z1
=
1
𝑟𝑟
∠(−𝜙𝜙) 
Raiz quadrada √𝑧𝑧 = √𝑟𝑟 ∠�
𝜙𝜙
2
� 
Complexo 
conjugado 
𝑧𝑧∗ = 𝑥𝑥 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑟𝑟∠(−𝜙𝜙) = 𝑟𝑟 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 
TEMA 3 – IMPEDÂNCIAS E ADMITÂNCIAS 
Agora que vimos como representar a tensão e a corrente no domínio da 
frequência ou domínio fasorial, precisamos aprender como aplicar esses 
conceitos nos elementos passivos. Para isso, precisamos transformar as 
 
 
11 
relações corrente-tensão do domínio do tempo em domínio fasorial para cada 
um destes elementos. 
3.1 Resistores 
Primeiramente, considere um resistor alimentado por uma fonte de 
tensão senoidal, a qual faz circular uma corrente no resistor 𝑖𝑖𝑅𝑅(𝑡𝑡) =
𝐼𝐼𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙). Pela lei de Ohm, a tensão que surge em seus terminais será 
de: 
𝑣𝑣𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) 
A forma fasorial dessa tensão é: 
𝑉𝑉𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 𝐼𝐼𝑚𝑚∠𝜙𝜙 
Como a representação fasorial da corrente é: 
𝐼𝐼𝑅𝑅 = 𝐼𝐼𝑚𝑚∠𝜙𝜙 
Então: 
𝑉𝑉𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 𝐼𝐼𝑅𝑅 
Analisando a última equação, percebemos que a relação fasorial entre o 
fasor da tensão e o fasor da corrente continua sendo a lei de Ohm. Na Figura 
5, encontram-se ilustrados os casos com a tensão e a corrente no domínio do 
tempo (a) e os fasores da corrente e da tensão no resistor (b). 
Figura 5 – Relação corrente-tensão para um circuito no domínio do tempo (a) e 
fasorial (b) 
 
 (a) (b) 
 
 
12 
Quando um resistor é alimentado por uma fonte de tensão senoidal, a 
corrente que flui através dele também é senoidal. Para circuitos puramente 
resistivos, as formas de onda estarão em fase, ou seja, as duas terão picos de 
máximo, mínimo e nulos nos mesmos instantes de tempo, como apresenta a 
Figura 6. 
Figura 6 –Gráfico de tensão e corrente para um circuito resistivo 
 
O diagrama fasorial para esse circuito é apresentado na Figura 7. Como 
as duas formas de onda estão em fase, os fasores são sobrepostos, o que 
mostra que não há defasagem entre eles. 
Figura 7 – Fasores de tensão e de corrente para um circuito resistivo 
 
3.2 Indutores 
Quando um indutor é alimentado por uma fonte senoidal, o 
comportamento entre os fasores de tensão e os de corrente é diferente do caso 
do resistor. Considere um indutor alimentado por uma fonte de tensão senoidal, 
a qual faz circular uma corrente no indutor da seguinte forma: 
𝑖𝑖𝐿𝐿 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) 
 
 
13 
Sabemos que a tensão nos terminais de um indutor é obtida da seguinte 
forma: 
𝑣𝑣𝐿𝐿 = 𝐿𝐿
𝑎𝑎𝑖𝑖𝐿𝐿
𝑎𝑎𝑡𝑡
= 𝐿𝐿
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑡𝑡
[𝐼𝐼𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙)] 
𝑣𝑣𝐿𝐿 = −𝜔𝜔 𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡𝜙𝜙) 
Porém, pelas identidades trigonométricas, vimos que: 
−𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐴𝐴) = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝐴𝐴 + 90°) 
Dessa forma, podemos escrever a tensão nos terminais do indutor da 
seguinte forma: 
𝑣𝑣𝐿𝐿 = 𝜔𝜔 𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙 + 90°) 
Transformando o domínio do tempo em domínio fasorial: 
𝑉𝑉�̇�𝐿 = 𝜔𝜔 𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑗𝑗(𝑗𝑗+90°) = 𝜔𝜔 𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗𝑒𝑒𝑗𝑗90° = 𝜔𝜔 𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑚𝑚∠(𝜙𝜙𝑒𝑒𝑗𝑗90°) 
A partir da identidade de Euler, 𝑒𝑒𝑗𝑗90° = 𝑗𝑗. Além disso, sabemos que 
𝐼𝐼𝑚𝑚∠𝜙𝜙 = 𝐼𝐼�̇�𝐿. Assim, finalmente temos: 
𝑉𝑉�̇�𝐿 = 𝑗𝑗.𝜔𝜔. 𝐿𝐿. 𝐼𝐼�̇�𝐿 
Analisando a equação anterior, podemos notar que a amplitude da 
tensão no indutor é de 𝜔𝜔. 𝐿𝐿. 𝐼𝐼𝑚𝑚 e que a fase é de 𝜙𝜙 + 90°. Dessa forma, 
podemos concluir que, quando uma fonte senoidal alimenta um indutor, uma 
corrente senoidal defasada em 90° da tensão circula no indutor, conforme 
ilustra a Figura 8: 
Figura 8 –Gráfico de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
 
 
14 
Um diagrama fasorial de um indutor alimentado por uma fonte senoidal 
pode ser visto na Figura 9. Nesse diagrama fasorial, nota-se que os fasores 
estão a 90° um do outro, em que pelo sentido positivo no sentido anti-horário 
da frequência angular, o fasor da tensão está adiantado com relação àquele da 
corrente (ou a corrente está atrasada da tensão). 
Figura 9 – Fasores de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
3.3 Capacitores 
Quando um capacitor é alimentado por uma fonte senoidal, o 
comportamento entre os fasores de tensão e os de corrente são diferentes 
daquele de resistores e indutores. Considere um capacitor alimentado por uma 
fonte de tensão senoidal: 
𝑣𝑣𝐶𝐶 = 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙), 
a qual faz circular uma corrente no capacitor da seguinte forma: 
𝑖𝑖𝐶𝐶 = 𝐶𝐶
𝑎𝑎𝑣𝑣𝐶𝐶
𝑎𝑎𝑡𝑡
=𝐶𝐶
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑡𝑡
�𝑉𝑉𝑚𝑚 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙)� 
𝑖𝑖𝐶𝐶 = −𝜔𝜔 𝐶𝐶 𝑉𝑉𝑚𝑚 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) 
Utilizando o desenvolvimento realizado com um indutor ligado a uma 
fonte de tensão senoidal, de forma análoga, podemos analisar a situação de 
um capacitor ligado a uma fonte de tensão senoidal. O fasor da corrente será 
o seguinte: 
𝐼𝐼�̇�𝐶 = 𝑗𝑗.𝜔𝜔.𝐶𝐶.𝑉𝑉�̇�𝐶 
 
 
 
15 
Dessa forma, 
𝑉𝑉�̇�𝐶 =
𝐼𝐼�̇�𝐶
𝑗𝑗.𝜔𝜔.𝐶𝐶
 
Analisando essa equação, podemos concluir que a amplitude da tensão 
no capacitor é de 1
𝑗𝑗.𝜔𝜔.𝐶𝐶
. 𝐼𝐼𝑚𝑚 e que a fase é de 𝜙𝜙 − 90°. Assim, notamos que 
quando uma fonte senoidal alimenta um capacitor, uma corrente senoidal 
defasada em 90° da tensão circula no capacitor, como mostra a Figura 10: 
Figura 10 – Gráfico de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
Portanto, o diagrama fasorial de um capacitor alimentado por uma fonte 
senoidal pode ser visto na Figura 11, em que podemos notar que os fasores 
estão a 90° um do outro, em que pelo sentido positivo no sentido anti-horário 
da frequência angular o fasor da tensão está atrasado com relação ao da 
corrente (ou a corrente está adiantada em termos de tensão). 
Figura 11 – Fasores de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
Agora que já sabemos qual é a relação fasorial de tensões e correntes 
com os três elementos passivos (resistores, capacitores e indutores), essas 
 
 
16 
relações podem ser reescritas em termos da razão entre a tensão fasorial pela 
corrente fasorial, mais conhecida como impedância. 
Em outras palavras, a impedância (𝑍𝑍) de um circuito é a razão da tensão 
fasorial �̇�𝑉 pela corrente fasorial 𝐼𝐼 ̇medida em Ohms (Ω). 
𝑍𝑍 =
�̇�𝑽
�̇�𝑰
 
Semelhante à lei de Ohm, podemos reescrever essa equação da 
seguinte forma: 
�̇�𝑉 = 𝑍𝑍. 𝐼𝐼 ̇
A impedância representa a oposição do circuito ao fluxo de corrente 
senoidal. Apesar de a impedância ser a razão entre dois fasores, ela não é um 
fasor, pois não corresponde a uma grandeza senoidal variante no tempo. A 
simbologia utilizada para a representação de uma impedância é mostrada pela 
Figura 12. 
Figura 12 – Simbologia para impedância 
 
As impedâncias de resistores, indutores e capacitores podem ser obtidas 
diretamente a partir das seguintes equações, respectivamente: 
𝑉𝑉𝑅𝑅
𝐼𝐼𝑅𝑅
= 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 
𝑉𝑉𝐿𝐿
𝐼𝐼𝐿𝐿
= 𝑍𝑍 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐿𝐿 
𝑉𝑉𝐶𝐶
𝐼𝐼𝐶𝐶
= 𝑍𝑍 =
1
𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶
 
Um fato muito importante deve ser levado em consideração quando 
falamos sobre impedâncias: aquelas de capacitores e indutores são funções da 
 
 
17 
frequência do sinal senoidal que está aplicado sobre eles. Pelas equações 
anteriores, notamos que a impedância de um indutor é diretamente 
proporcional à frequência do sinal, enquanto a impedância de um capacitor é 
inversamente proporcional à frequência do sinal. 
Em resumo: uma análise dessas equações nos permite concluir que nos 
casos extremos das frequências, teremos: 
• para uma frequência nula (𝜔𝜔 = 0), ou seja, quando a fonte de 
alimentação é contínua (não é alternada), a impedância do indutor é 
nula (curto circuito) e a impedância do capacitor é infinita (circuito 
aberto); 
• para frequências elevadas (𝜔𝜔 → ∞), a impedância de um indutor é infinita 
(curto circuito), enquanto que a impedância de um capacitor é nula 
(curto circuito). 
A impedância é uma grandeza complexa que pode ser representada na 
forma retangular da seguinte forma: 
𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 
em que 𝑅𝑅 é a resistência e X é denominada reatância. 
A reatância pode ser positiva ou negativa, sendo positiva quando o 
circuito possui uma característica indutiva e negativa quando o circuito possui 
uma característica capacitiva. Dessa forma, uma impedância 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 é 
indutiva, pois a corrente estará atrasada em relação à tensão. Por outro lado, 
uma impedância 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 é capacitiva, pois a tensão estará atrasada em 
relação à corrente. A impedância, a resistência e a reatância são todas 
medidas em Ohms (Ω). A impedância também pode ser expressa na forma 
polar: 
𝑍𝑍 = |𝑍𝑍|∠𝜃𝜃 
Como já demonstramos, as conversões da forma polar para a 
retangular, e vice-versa são dadas por: 
𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = |𝑍𝑍|∠𝜃𝜃 
Sendo: 
 
 
18 
|𝑍𝑍| = �𝑅𝑅2 + 𝑗𝑗² 
𝜃𝜃 = 𝑇𝑇𝑡𝑡−1 �
𝑗𝑗
𝑅𝑅
� 
Com isso, temos: 
𝑅𝑅 = |𝑍𝑍| 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(𝜃𝜃) 
𝑗𝑗 = |𝑍𝑍| 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜃𝜃) 
Em alguns casos de circuitos, é conveniente trabalharmos com o 
recíproco da impedância, denominado admitância (𝑌𝑌), medida em Siemens (𝑆𝑆). 
A admitância de um circuito é a relação entre o fasor de corrente e o fasor de 
tensão existentes no elemento: 
𝑌𝑌 =
1
𝑍𝑍
=
𝐼𝐼̇
�̇�𝑉
 
Como a admitância é o recíproco da impedância, esta, que por sua vez é 
um número complexo, faz com que a admitância também seja um número 
complexo que pode ser representado da seguinte forma: 
𝑌𝑌 = 𝐺𝐺 + 𝑗𝑗𝐵𝐵 
Em que 𝐺𝐺 é a condutância e B é denominada susceptância, ambas com 
unidades em Siemens (𝑆𝑆). 
A partir das equações anteriores, temos: 
𝐺𝐺 + 𝑗𝑗𝐵𝐵 =
1
𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗
 
𝐺𝐺 + 𝑗𝑗𝐵𝐵 =
1
𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗
×
𝑅𝑅 − 𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑅𝑅 − 𝑗𝑗𝑗𝑗
 
Dessa forma, chegamos às seguintes expressões: 
𝐺𝐺 =
𝑅𝑅
𝑅𝑅2 + 𝑗𝑗2
 
𝐵𝐵 = −
𝑗𝑗
𝑅𝑅2 + 𝑗𝑗2
 
 
 
19 
Observando a equação de G, percebemos que, diferentemente do que 
ocorre em circuitos puramente resistivos, 𝐺𝐺 ≠ 1
𝑅𝑅
, exceto quando 𝑗𝑗 = 0. 
3.4 Combinação de impedâncias 
Assim como ocorre com resistores, capacitores e indutores, as 
impedâncias também podem ser combinadas em série e em paralelo para que 
possamos realizar simplificações de circuitos e facilitar a sua análise. 
Considere as 𝑁𝑁 impedâncias conectadas em série ilustradas na Figura 
13. Esse circuito é alimentado por uma fonte de tensão �̇�𝑉 que faz com que uma 
corrente elétrica 𝐼𝐼 ̇ se estabeleça no circuito, provocando as diferenças de 
potencial (𝑉𝑉1̇,𝑉𝑉2̇, … ,𝑉𝑉�̇�𝑁) em cada impedância do circuito (𝑍𝑍1,𝑍𝑍2, … ,𝑍𝑍𝑁𝑁). 
Esse circuito, por apresentar todas as impedâncias conectadas em série 
e percorridas pela mesma corrente elétrica, pode ser representado por apenas 
uma impedância equivalente (𝑍𝑍𝑒𝑒𝑒𝑒), em que o fasor da tensão (�̇�𝑉) e o fasor da 
corrente (𝐼𝐼)̇ não se alteram. 
Figura 13 – Associação de impedância em série 
 
= 
 
A impedância equivalente do circuito (𝑍𝑍𝑒𝑒𝑒𝑒) é calculada da seguinte 
forma: 
𝒁𝒁𝒔𝒔𝒆𝒆 = 𝒁𝒁𝟏𝟏 + 𝒁𝒁𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒁𝒁𝑵𝑵 
Se o número de impedâncias conectadas em série for igual a dois (𝑁𝑁 =
2), teremos um circuito bastante utilizado denominado divisor de tensão, como 
vemos na Figura 14. 
 
 
 
20 
Figura 14 – Divisor de tensão 
 
As tensões 𝑉𝑉1̇ e 𝑉𝑉2̇ podem ser calculadas da seguinte forma: 
𝑉𝑉1̇ =
𝑍𝑍1
𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2
 �̇�𝑉 
𝑉𝑉2̇ =
𝑍𝑍2
𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2
 �̇�𝑉 
Considere o circuito ilustrado pela Figura 15, com 𝑁𝑁 impedâncias em 
paralelo conectadas a uma fonte �̇�𝑉 na qual circula uma corrente 𝐼𝐼.̇ 
Figura 15 – Associação de impedância em paralelo 
 
Esse circuito também pode ser representado pela mesma fonte de 
tensão �̇�𝑉 conectada a uma impedância equivalente 𝑍𝑍𝑒𝑒𝑒𝑒 na qual consumirá a 
mesma corrente elétrica 𝐼𝐼.̇ 
A forma de cálculo da impedância equivalente de N impedâncias ligadas 
em paralelo é realizada da seguinte forma: 
𝟏𝟏
𝒁𝒁𝒔𝒔𝒆𝒆
 =
𝟏𝟏
𝒁𝒁𝟏𝟏
+
𝟏𝟏
𝒁𝒁𝟐𝟐
+ ⋯+
𝟏𝟏
𝒁𝒁𝑵𝑵
 
Se o número de impedâncias conectadas em paralelo for igual a dois 
(𝑁𝑁 = 2), teremos um circuito bastante utilizado denominado divisor de corrente, 
como vemos na Figura 16. 
 
 
21 
Figura 16 – Divisor de corrente 
 
As correntes 𝐼𝐼1 e 𝐼𝐼2 podem ser calculadas da seguinte forma: 
𝐼𝐼1 =
𝑍𝑍2
𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2
 𝐼𝐼 
𝐼𝐼2 =
𝑍𝑍1
𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2
 𝐼𝐼 
3.5 Transformação delta-estrela ou triângulo-estrela (Δ-Y) 
Assim como a transformação Δ-Y que vimos com os resistores,essa 
transformação também pode ser aplicada a fasores. Considere o circuito da 
Figura 17, em que as impedâncias 𝑍𝑍1, 𝑍𝑍2 e 𝑍𝑍3 estão conectados em Δ. Essas 
três impedâncias podem ser transformadas no conjunto em Y formado pelas 
impedâncias 𝑍𝑍𝐴𝐴, 𝑍𝑍𝐵𝐵 e 𝑍𝑍𝐶𝐶. 
Figura 17 – Transformação triângulo-estrela para impedâncias 
 
As formas de cálculo da transformação Δ− Y e também da 
transformação contrária (Y − Δ) encontram-se na tabela a seguir. 
 
 
 
22 
Tabela 1 – Transformações delta-estrela e estrela-delta 
Transformação 
𝚫𝚫 − 𝐘𝐘 
Transformação 𝒀𝒀 − 𝚫𝚫 
𝑍𝑍𝐴𝐴 =
𝑍𝑍1𝑍𝑍2
𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 + 𝑍𝑍3
 
 
𝑍𝑍1
=
𝑍𝑍𝐴𝐴𝑍𝑍𝐵𝐵 + 𝑍𝑍𝐴𝐴𝑍𝑍𝐶𝐶 + 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑍𝑍𝐶𝐶
𝑍𝑍𝐶𝐶
 
 
𝑍𝑍𝐵𝐵 =
𝑍𝑍1𝑍𝑍3
𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 + 𝑍𝑍3
 
 
𝑍𝑍2
=
𝑍𝑍𝐴𝐴𝑍𝑍𝐵𝐵 + 𝑍𝑍𝐴𝐴𝑍𝑍𝐶𝐶 + 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑍𝑍𝐶𝐶
𝑍𝑍𝐵𝐵
 
 
𝑍𝑍𝐶𝐶 =
𝑍𝑍2𝑍𝑍3
𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 + 𝑍𝑍3
 
𝑍𝑍3
=
𝑍𝑍𝐴𝐴𝑍𝑍𝐵𝐵 + 𝑍𝑍𝐴𝐴𝑍𝑍𝐶𝐶 + 𝑍𝑍𝐵𝐵𝑍𝑍𝐶𝐶
𝑍𝑍𝐴𝐴
 
TEMA 4 – MÉTODOS DE ANÁLISE POR TENSÃO DOS NÓS NO DOMÍNIO 
FASORIAL 
Como apresentamos no tema anterior, as impedâncias representam as 
relações entre os fasores de tensão e os de corrente. Dessa forma, podemos 
dar continuidade ao estudo da análise de circuitos em corrente alternada. 
A aplicação das leis de Kirchhoff se dará de forma similar ao visto 
anteriormente. A lei de Kichhoff das correntes (LCK) que é dada pela somatória 
de todas as correntes fasoriais que entram e saem de uma só é igual a zero. Já 
a lei de Kirchhoff das tensões que é a somatória de todas as tensões fasoriais 
de uma malha será sempre igual a zero. 
Sendo assim, a aplicação dos métodos de análise das tensões dos nós 
e do método de análise das correntes de malhas será igual àquela apresentada 
em aulas anteriores, com a diferença que usaremos fasores no lugar de 
resistências. 
Considere o circuito da figura a seguir. Nele temos conectado uma fonte 
de tensão senoidal com o valor de 𝑣𝑣 = 20 c𝐶𝐶𝑠𝑠(4𝑡𝑡) 𝑉𝑉. Determinemos o valor da 
corrente ix utilizando o método de análise nodal. 
 
 
 
23 
Figura 18 – Circuito no domínio do tempo 
 
O primeiro passo para a aplicação desse método em circuitos de 
corrente alternada é converter o circuito em domínio fasorial. Em seguida, 
devemos resolver o problema aplicando o método da tensão dos nós, e, por 
último, devemos converter o fasor em sua forma senoidal novamente. 
Da fonte de tensão de 𝑣𝑣 = 20 c𝐶𝐶𝑠𝑠(4𝑡𝑡) 𝑉𝑉, sabemos que o argumento da 
senoide é dada por (𝜔𝜔. 𝑡𝑡); portanto, a frequência angular da fonte de tensão é 
𝜔𝜔 = 4 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎/𝑠𝑠. 
O valor da fonte de tensão no domínio fasorial será: 
𝑣𝑣 = 20 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(4𝑡𝑡) 
 
⇒ 𝑉𝑉 = 20 ∠0° 𝑉𝑉 
Para os elementos passivos, basta obtermos os valores de impedância: 
Resistor de 10 Ω 
 
⇒ Z1 = 10 Ω 
Indutor de 1 𝐻𝐻 
 
⇒ Z2 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐿𝐿 = 𝑗𝑗4 Ω 
Indutor 0,5 𝐻𝐻 
 
⇒ Z3 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐿𝐿 = 𝑗𝑗2 Ω 
Capacitor de 0,1 𝐹𝐹 
 
⇒ Z4 =
1
𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶
= −𝑗𝑗2,5 Ω 
O circuito no domínio fasorial é mostrado na Figura 19: 
 
 
 
24 
Figura 19 – Circuito no domínio fasorial 
 
Agora, aplicamos o método de análise nodal. Primeiramente, definimos o 
nó de referência e os demais nomeados como 𝑉𝑉1̇ e 𝑉𝑉2̇. Em seguida, 
convencionamos os sentidos das correntes em cada um dos ramos do circuito, 
como ilustra a Figura 19. O próximo passo consiste em aplicarmos a LCK em 
cada um dos nós: 
Para o nó 𝑉𝑉1̇: 
𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼𝑋𝑋 + 𝐼𝐼2 
Aplicando a lei de Ohm para reescrever cada uma das correntes em 
função das tensões dos nós, temos: 
20∠0° − 𝑉𝑉1̇
10
=
𝑉𝑉1̇
−𝑗𝑗. 2,5
+
𝑉𝑉1̇ − 𝑉𝑉2̇
𝑗𝑗4
 
Como demonstramos anteriormente, temos que 
1
𝑗𝑗
= −𝑗𝑗 𝑒𝑒 
1
−𝑗𝑗
= 𝑗𝑗 
Portanto, 
1
−𝑗𝑗. 2,5
.𝑉𝑉1̇ = 𝑗𝑗. 0,4.𝑉𝑉1̇ 
E 
1
𝑗𝑗. 4
. �𝑉𝑉1̇ − 𝑉𝑉2̇� = −𝑗𝑗. 0,25. (𝑉𝑉1̇ − 𝑉𝑉2̇) 
Substituindo na equação: 
 
 
25 
20
10
−
𝑉𝑉1̇
10
= 𝑗𝑗. 0,4.𝑉𝑉1̇ − 𝑗𝑗. 0,25. (𝑉𝑉1̇ − 𝑉𝑉2̇) 
2 − 0,1.𝑉𝑉1̇ = 𝑗𝑗. 0,4.𝑉𝑉1̇ − 𝑗𝑗. 0,25.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,25.𝑉𝑉2̇ 
Organizando a equação: 
0,1.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,4.𝑉𝑉1̇ − 𝑗𝑗. 0,25.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,25.𝑉𝑉2̇ = 2 
Colocando 𝑉𝑉1̇ e 𝑉𝑉2̇ em evidência: 
(0,1 + 𝑗𝑗0,15)𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗0,25𝑉𝑉2̇ = 2 
Aplicando a LCK no nó 𝑉𝑉2̇: 
𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 = 𝐼𝐼4 
Nesse circuito, temos uma fonte de corrente dependente e, assim como 
ocorre com as fontes de corrente independente, a corrente que flui por esse 
ramo será o próprio valor da fonte. Então, teremos 
𝐼𝐼3 = 2. 𝐼𝐼𝑋𝑋 
A corrente 𝐼𝐼�̇̇�𝑋 será dada por: 
𝐼𝐼�̇�𝑋 =
𝑉𝑉1̇
−𝑗𝑗. 2,5
 
Aplicando a lei de Ohm para reescrevermos as correntes em função das 
tensões dos nós e substituindo 𝐼𝐼�̇�𝑋: 
𝑉𝑉1̇ − 𝑉𝑉2̇
𝑗𝑗4
+ 2
𝑉𝑉1̇
−𝑗𝑗2,5
=
𝑉𝑉2̇
𝑗𝑗2
 
−𝑗𝑗. 0,25. �𝑉𝑉1̇ − 𝑉𝑉2̇� + 2. �𝑗𝑗0,4.𝑉𝑉1̇� = −𝑗𝑗0,5.𝑉𝑉2̇ 
−𝑗𝑗. 0,25.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,25.𝑉𝑉2̇ + 𝑗𝑗0,8.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗0,5.𝑉𝑉2̇ = 0 
𝑗𝑗. 0,55.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0 
 
 
26 
Agora, basta resolvermos o sistema linear de duas equações e duas 
incógnitas: 
�
(0,1 + 𝑗𝑗0,15)𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗0,25𝑉𝑉2̇ = 2
𝑗𝑗. 0,55.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0
 
A resolução desse sistema ocorre da mesma forma que com os 
anteriores; porém, devemos utilizar números complexos. Resolvendo pelo 
método de escalonamento de Gauss, multiplicamos a primeira equação pelo 
número real -3; assim, temos o termo j.0,75 multiplicando 𝑉𝑉2̇ nas duas 
equações: 
�
(−3). (0,1 + 𝑗𝑗0,15)𝑉𝑉1̇ + (−3). �𝑗𝑗0,25.𝑉𝑉2̇� = (−3) . ( 2)
𝑗𝑗. 0,55.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0
 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 
�
(−0,3 − 𝑗𝑗0,45)𝑉𝑉1̇ − 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = −6
𝑗𝑗. 0,55. �̇�𝑉1 + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0
 
Somando as duas equações: 
(−0,3− 𝑗𝑗0,45)𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,55.𝑉𝑉1̇ − 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = −6 + 0 
(−0,3 + 𝑗𝑗0,1).𝑉𝑉1̇ = −6 
𝑉𝑉1̇ =
−6
(−0,3 + 𝑗𝑗0,1)
=
6∠180°
0,316∠161,56°
 
𝑉𝑉1̇ = 18,974𝑉𝑉1∠18,435° V 
Ou na forma retangular: 
𝑉𝑉1̇ = 18 + 𝑗𝑗. 6 𝑉𝑉 
Para obter o valor de 𝑉𝑉2, basta substituir 𝑉𝑉1̇ em qualquer uma das 
equações anteriores. 
𝑗𝑗. 0,55.𝑉𝑉1̇ + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0 
𝑗𝑗. 0,55. (18 + 𝑗𝑗.6) + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0 
 
 
27 
Aplicando a propriedade da multiplicação distributiva: 
𝑗𝑗. 9,9 + 𝑗𝑗2. 3,3 + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0 
Sabendo que 𝑗𝑗2 = −1 
𝑗𝑗. 9,9 − 3,3 + 𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 0 
Isolando o termo 𝑉𝑉2̇ 
𝑗𝑗. 0,75.𝑉𝑉2̇ = 3,3 − 𝑗𝑗. 9,9 
𝑉𝑉2̇ =
3,3 − 𝑗𝑗. 9,9
𝑗𝑗. 0,75
=
10,435∠ − 71,565°
0,75∠90°
 
𝑉𝑉2̇ = 13,914∠ − 161,565° 𝑉𝑉 
Para finalizar o exercício, basta substituirmos o valor de 𝑉𝑉1̇ na equação 
de 𝐼𝐼�̇�𝑋: 
𝐼𝐼�̇�𝑋 =
𝑉𝑉1̇
−𝑗𝑗. 2,5
=
18,97∠18,435°
2,5∠ − 90°
 
𝐼𝐼�̇�𝑋 = 7,59∠108,4° 𝐴𝐴 
Convertendo para o domínio do tempo: 
𝑖𝑖𝑋𝑋 = 7,59 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑠𝑠(4𝑡𝑡 + 108,4°) 𝐴𝐴 
TEMA 5 – MÉTODOS DE ANÁLISE POR CORRENTES DE MALHA NO 
DOMÍNIO FASORIAL 
Assim como ocorre no método de análise nodal, podemos aplicar o 
método de análise de malhas em um circuito no domínio fasorial. Porém, as 
incógnitas das equações serão as correntes fasoriais em cada uma das 
malhas. 
Considere o circuito no domínio fasorial apresentado na Figura 20. Note 
que as fontes já foram dadas como fasores e os elementos passivos já estão 
apresentados como impedâncias. 
 
 
28 
Para esse circuito, obteremos os valores das correntes de malha 
utilizando o método de análise de malha. O primeiro passo consiste em 
determinar o sentido das correntes em cada uma das malhas para, em 
seguida, aplicar a LTK em cada uma delas. 
Figura 20 – Circuito no domínio fasorial 
 
Aplicando a LTK na malha 1: 
𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 + 𝑉𝑉3 = 0 
Aplicando a lei de Ohm para reescrever cada uma das tensões em 
função da corrente: 
8. 𝐼𝐼1̇ + 𝑗𝑗. 10�𝐼𝐼1̇ − 𝐼𝐼3̇� − 𝑗𝑗. 2. �𝐼𝐼1̇ − 𝐼𝐼2̇� = 0 
(8 + 𝑗𝑗. 8). 𝐼𝐼1̇ + 𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼2̇ − 𝑗𝑗. 10. 𝐼𝐼3̇ = 0 
Figura 21 – Circuito no domínio fasorial29 
Aplicando a LTK na malha 2: 
𝑉𝑉3 + 𝑉𝑉6 + 𝑉𝑉4 + 𝑉𝑉5 = 0 
−𝑗𝑗. 2. �𝐼𝐼2̇ − 𝐼𝐼1̇� + [−𝑗𝑗. 2. �𝐼𝐼2̇ − 𝐼𝐼3̇�] + 4. 𝐼𝐼2̇ + 𝑗𝑗20 = 0 
𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼1̇ + (4 − 𝑗𝑗. 4). 𝐼𝐼2̇ + 𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼3̇ = −𝑗𝑗20 
Analisando a malha 3, podemos observar que a corrente 𝐼𝐼3̇ é igual ao 
próprio valor da fonte de corrente. Portanto: 
𝐼𝐼3̇ = 5 𝐴𝐴 
Substituindo 𝐼𝐼3̇ nas equações anteriores, obtemos o seguinte sistema 
linear: 
�
(8 + 𝑗𝑗. 8)𝐼𝐼1̇ + 𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼2̇ = 𝑗𝑗50
𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼1̇ + (4 − 𝑗𝑗. 4). 𝐼𝐼2̇ = −𝑗𝑗30
 
Para resolvermos esse sistema, podemos multiplicar a primeira equação 
por − 𝑗𝑗. 2 e a segunda equação por (8 + 𝑗𝑗. 8); assim, ao somarmos as duas 
equações, teremos o termo 𝐼𝐼1̇ multiplicado por zero. 
�
(−𝑗𝑗. 2). (8 + 𝑗𝑗. 8)𝐼𝐼1̇ + (−j. 2). (𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼2)̇ = (−j. 2) . (𝑗𝑗50)
(8 + 𝑗𝑗. 8). (𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼1)̇ + (8 + 𝑗𝑗. 8). (4 − 𝑗𝑗. 4). 𝐼𝐼2̇ = (8 + 𝑗𝑗. 8). (−𝑗𝑗30)
 
�
(−𝑗𝑗.16 − 𝑗𝑗2.16)𝐼𝐼1̇ − j2. 4. 𝐼𝐼2̇ = −𝑗𝑗2100
(𝑗𝑗.16 + 𝑗𝑗2.16)𝐼𝐼1̇ + (32 − j32 + j32 − 𝑗𝑗2. 32). 𝐼𝐼2̇ = (−j. 240 − 𝑗𝑗2240)
 
�
(16 − 𝑗𝑗.16)𝐼𝐼1̇ + 4. 𝐼𝐼2̇ = 100
(−16 + 𝑗𝑗. 16)𝐼𝐼1̇ + 64. 𝐼𝐼2̇ = 240 − j. 240
 
Somando as duas equações: 
(16 − 𝑗𝑗. 16 − 16 + 𝑗𝑗.16)𝐼𝐼1̇ + (4 + 64). 𝐼𝐼2̇ = 100 + 240 − ȷ. 240̇ 
(4 + 64). 𝐼𝐼2̇ = 340 − ȷ. 240̇ 
𝐼𝐼2̇ =
340 − j. 240
68
=
416,173∠ − 35,218°
68∠0°
 
𝐼𝐼2̇ = 6,12∠ − 35,218° 𝐴𝐴 
 
 
30 
𝐼𝐼2̇ = 5 − 𝑗𝑗. 3,529 𝐴𝐴 
Substituindo 𝐼𝐼2̇ em uma das equações anteriores: 
(8 + 𝑗𝑗. 8)𝐼𝐼1̇ + 𝑗𝑗. 2. 𝐼𝐼2̇ = 𝑗𝑗50 
(8 + 𝑗𝑗. 8)𝐼𝐼1̇ + 𝑗𝑗. 2. (5 − 𝑗𝑗. 3,529 ) = 𝑗𝑗50 
(8 + 𝑗𝑗. 8)𝐼𝐼1̇ + 𝑗𝑗. 2. (5 − 𝑗𝑗. 3,529 ) = 𝑗𝑗50 
(8 + 𝑗𝑗. 8)𝐼𝐼1̇ + (7,059 + 𝑗𝑗10) = 𝑗𝑗50 
(8 + 𝑗𝑗. 8)𝐼𝐼1̇ = −7,059 − 𝑗𝑗10 + 𝑗𝑗50 
Isolando 𝐼𝐼1̇: 
𝐼𝐼1̇ =
−7,059 + 𝑗𝑗40
8 + 𝑗𝑗. 8
=
40,618∠100°
11,314∠45°
 
𝐼𝐼1̇ = 3,59∠55° A 
Assim, foram obtidas as três correntes de malhas dos circuitos. A partir 
delas é possível obter a tensão fasorial de cada um dos elementos do circuito. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, apresentamos os circuitos em corrente alternada, em que a 
utilização de fasores facilita a análise. Além disso, apresentamos o conceito de 
impedância, que é de fundamental importância para o curso de engenharia 
elétrica, visto que ele é abordado na maioria das disciplinas. 
A análise fasorial simplifica o entendimento do comportamento de 
diversos circuitos elétricos. Uma das formas mais utilizadas de aplicação de 
fasores é realizar a representação do sistema elétrico desde a usina geradora 
de eletricidade, passando pelas linhas de transmissão de energia até nossas 
residências, como ilustra a Figura 22. 
 
 
 
31 
Figura 22 – Sistema elétrico 
 
Os equipamentos existentes no sistema elétrico (transformadores, linhas 
de transmissão etc.) não são ideais e podem ser representados por 
componentes resistivos, capacitivos e indutivos. O fato de o sistema elétrico ser 
em corrente alternada nos permite trabalhar com fasores e impedâncias, 
fazendo com que a análise do circuito elétrico que representa o sistema seja 
mais fácil de compreender em vez da utilização de grandezas senoidais. 
As concessionárias de energia utilizam diagramas simplificados do 
sistema como o que vemos na Figura 22 para poder monitorar os valores das 
tensões elétricas que saem do gerador, assim como os valores das que entram 
e saem das linhas de transmissão para que o valor da tensão em nossas 
residências esteja dentro dos limites estabelecidos. 
Essa análise com fasores permite que eles corrijam essas tensões, visto 
que em todos os sistemas reais existem perdas, as quais podem variar de 
acordo com o horário de pico de utilização de energia, dentre outros fatores. 
Os sistemas reais são mais complexos do que aquele que mostramos 
nesse exemplo, pois alguns componentes ainda necessitam ser estudados 
para que possamos analisar uma situação mais próxima da realidade. 
 
 
 
32 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON.J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2015. 
 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS