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CÁLCULO - CONCEITOS
 
 
TEMA 1 – CONCEITO DE CONJUNTO
Quando você pensa na palavra conjunto, sem considerar o contexto da matemática, que significado você atribui a esse termo? Se buscarmos a palavra no dicionário, encontraremos definições que indicam que um conjunto pode ser comparado a uma reunião de itens, a um agrupamento ou a uma coleção. Na matemática, a palavra tem esse mesmo significado. Refere-se uma coleção de objetos distintos e bem definidos. Esses objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos podem ser: números, pessoas, outros conjuntos, entre outros.
Vejamos alguns exemplos de conjuntos:
Conjunto das regiões brasileiras;
Conjunto dos números ímpares;
Conjunto das notas musicais;
Conjunto das letras da palavra conjunto.
Como você percebeu, os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. As regiões brasileiras, por exemplo, formam um conjunto de cinco elementos. Já os números ímpares formam um conjunto infinito.
Um detalhe importante na definição de conjunto é que os seus elementos são distintos. Por esse motivo, quando indicamos as letras da palavra conjunto, não elencamos com duplicidade as letras que se repetem. Nesse caso, teríamos um conjunto com as letras c, o, n, j, u e t.
REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS
Para representar os conjuntos, usamos letras maiúsculas. Seus elementos podem ser representados por meio de enumeração, compreensão ou de forma gráfica. Na enumeração, os elementos são indicados dentro de chaves. Veja os exemplos a seguir:
A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si};
B = {1, 3, 5, 7, 9...};
C = {c, j, n, o, t, u}.
Nesse modelo, é conveniente que deixemos os elementos ordenados, respeitando a ordem alfabética ou numérica. Outra maneira de representar os conjuntos ocorre pela indicação da condição ou da propriedade do conjunto. Nesse caso, é necessário compreender quais são os elementos determinados por uma certa regra.
Veja, no exemplo a seguir, como os elementos não são elencados, mas podemos identificá-los mesmo assim: D = Nesse exemplo, temos um conjunto infinito que se inicia com o número 6.
Além da chave e da condição, podemos representar os conjuntos de forma gráfica, por meio de diagramas. Esses diagramas são conhecidos como Diagramas de Venn. Exemplo, em um conjunto F:
 RELAÇÃO DO ELEMENTO COM O CONJUNTO
Em geral, usamos uma letra minúscula para indicar os elementos de um conjunto. Dizemos que cada elemento pertence ao conjunto em questão. Indicamos essa relação com o símbolo Para indicar que um objeto qualquer não pertence ao conjunto, usamos o símbolo Assim, quando temos , lemos: “a pertence ao conjunto A”. Por outro lado, indica que “a não pertence ao conjunto A”.:
Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio. Podemos representá-lo com o símbolo ou com a chave vazia: { }.
CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO
Define-se a cardinalidade de um conjunto A como o número de elementos que pertencem ao conjunto A: card (A), o(A) ou, ainda, n(A). Exemplos:
Seja o conjunto A = {1, 0, 3, 7}, então n(A) = 4, pois o conjunto A possui quatro elementos;
Seja B = {3, 33, 333, 3333, 33333}, então card (B) = 5, pois o conjunto B possui cinco elementos.
 TEMA 2 – SUBCONJUNTOS E OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Neste tema, estudaremos os subconjuntos e três operações com conjuntos: a união, a intersecção e a diferença.
SUBCONJUNTOS
Em algumas situações, é possível que os mesmos elementos façam parte de mais de um conjunto ao mesmo tempo. Imagine, por exemplo, o conjunto dos seres vivos. Agora, considere o conjunto dos animais. Se você analisar o elemento cachorro, conseguirá dizer que ele pertence aos dois conjuntos, tanto o de seres vivos como o de animais. Se você continuar escolhendo animais para analisar, perceberá que todos também são seres vivos. Em casos como esses, podemos identificar subconjuntos.
Dizemos que B é um subconjunto de A se todos os elementos de B também são elementos de A. Nesse caso, B está contido em A :
Na situação hipotética anterior, o conjunto dos animais é um subconjunto do conjunto de seres vivos, pois todos os elementos do conjunto dos animais também pertencem ao conjunto dos seres vivos. Quando um conjunto não está contido em outro, usamos o símbolo 
 TEMA 3 – DIAGRAMA DE VENN
É possível que representemos as operações entre conjuntos por meio de diagramas. Isso nos auxilia a resolver problemas com conjuntos. Nos diagramas, devemos representar graficamente as intersecções entre os conjuntos. Sejam dois conjuntos A e B, representados nos diagramas a seguir:
Devemos escrever os elementos que são comuns aos conjuntos no espaço de intersecção das curvas fechadas. Exemplo: dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, vamos representar esses conjuntos por meio de diagramas:
A intersecção entre os conjuntos A e B forma o conjunto {3, 4}. A união entre os dois conjuntos culmina no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Preste atenção no que podemos observar no diagrama: o conjunto A tem quatro elementos, o conjunto B também tem quatro elementos. A quantidade de elementos do conjunto é igual a seis. Ou seja, a cardinalidade do conjunto não é obtida apenas com a soma das cardinalidades dos conjuntos A e B.
Essa informação é muito importante para resolução de problemas que envolvam conjuntos, fazendo uso dos diagramas de Venn. Representamos, no diagrama, a cardinalidade de cada conjunto, ou seja, a quantidade de elementos que aquele conjunto possui. Mas não podemos esquecer que o que é comum aos conjuntos fica registrado nos campos de intersecção. Vejamos um exemplo, para melhor compreensão.
Uma turma foi entrevistada para saber quantos alunos gostavam de chocolate preto e quantos gostavam de chocolate branco. Vinte e oito alunos disseram que gostavam de chocolate preto e 18 disseram que gostavam de chocolate branco. Sabe-se, ainda, que 17 alunos disseram que gostavam dos dois tipos de chocolate. Quantos alunos há na sala? Vamos chamar o conjunto de alunos que gostam de chocolate preto de A e dos que gostam de chocolate preto, de B. Logo:
n(A) = 28;
n(B) = 18;
n= 17.
Queremos saber a quantidade de alunos no total, por isso queremos saber a cardinalidade do conjunto Não devemos apenas somar 28 + 18, pois precisamos levar em conta a intersecção. Representando isso graficamente, temos:
A deve ter o total de 28 alunos, assim como B deve ter 18 alunos no total. Quando incluirmos a intersecção, devemos diminuir esse valor de 28 e de 18:
Assim, podemos concluir que a turma tem 29 alunos (11 + 17 + 1). Logo, 
Vejamos, agora uma situação com três conjuntos. Alguns clientes de um mercado foram entrevistados para saber se gostavam dos temperos de uma marca, dos quais:
120 clientes disseram que gostavam do tempero A;
80 clientes gostavam do tempero B;
70 clientes gostavam do tempero C;
35 clientes gostavam de A e de B;
42 clientes gostavam de A e C;
30 clientes gostavam de B e C;
18 clientes gostavam dos três temperos;
12 clientes entrevistados não gostavam de nenhum dos três temperos.
Vamos começar indicando a intersecção e os clientes que não gostavam de nenhum dos temperos:
Para indicar as intersecções de A e B, A e C e B e C, devemos levar em consideração a quantidade de 18 já indicada. Temos que:
. 
Considere que devemos subtrair 18 desses números para completar o diagrama:
Para finalizar o diagrama, devemos considerar a quantidade total que deve estar em cada conjunto: em A, em B e em C. No conjunto A, por exemplo, são 120 pessoas. Devemos descontar as que já estão elencadas no conjunto A = 17 + 18 + 24. Ou seja, descontamos de 120 o valor de 59, resultando em 61. Fazemos o mesmo para os conjuntos B e C:
Somando todos os valores, constatamos que o total de entrevistados foi de 193 clientes.
 TEMA 4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ao longo da sua história, o homem foi desenvolvendo técnicas e criando artefatos para melhorar sua sobrevivência. Uma das criações humanas foi o número e com ele o processo de contagem. A necessidade de contar deuorigem ao primeiro conjunto de números que conhecemos.
 NÚMEROS NATURAIS
Os números que usamos para contar formam o conjunto dos números naturais . Não há um consenso, na literatura, sobre a inclusão do zero nesse conjunto. Nesse texto, consideraremos que o zero faz parte do conjunto dos naturais. Assim:
. 
Podemos indicar o conjunto sem zero, incluindo um asterisco ao lado da letra 
. 
 NÚMEROS INTEIROS
A noção de dívida, as temperaturas abaixo de zero, os andares abaixo do térreo são exemplos de situações que demandam outros tipos de números. Assim, expandimos o conjunto dos naturais acrescentando os opostos desses números, para formarmos o conjunto dos números inteiros 
.
Perceba que o conjunto dos naturais é um subconjunto dos inteiros:
Ambos os conjuntos são infinitos.
 NÚMEROS RACIONAIS
Assim como, em algum momento da história, houve a necessidade de certas subtrações que resultavam nos números negativos, algumas divisões não resultam em números inteiros. Por esse motivo, uma nova necessidade faz com que surja o conjunto dos números racionais 
Esse conjunto é formado por números que são escritos da seguinte forma:
. 
Todo número que possa ser escrito em forma de fração de inteiros, com o denominador diferente de zero, é um número racional. Nesse caso, o conjunto dos inteiros está todo contido nos racionais, já que qualquer inteiro pode ser escrito na forma de fração.
Veja:
; 
; 
;
Os números decimais também são racionais, desde que possam ser escritos na forma de fração. Para saber se um decimal é racional, devemos observar as suas casas decimais: se forem finitas ou se formarem uma dízima periódica, então esse decimal será um número racional. Exemplos: 0,25; 1,3333333; 0,4; 5,23232323...
 NÚMEROS IRRACIONAIS
Os números decimais que possuem casas decimais infinitas, sem dízima periódica, formam o conjunto dos números irracionais Como exemplo, temos o número Algumas raízes também resultam em números irracionais, mas não podemos dizer que toda raiz é irracional: é um número racional (também inteiro e natural); , por sua vez, é um número irracional.
 NÚMEROS REAIS
A união do conjunto dos números racionais com o dos irracionais forma o conjunto dos números reais :
Assim, o conjunto dos números reais contém os naturais, os inteiros e os racionais, além dos irracionais:
 TEMA 5 – INTERVALOS
Os números reais podem ser escritos em uma reta numérica. Em alguns casos, para resolver alguns problemas, pode ser necessário limitar uma parte dessa reta, para nossa solução. Considere, por exemplo, que você está visualizando um quadrado e sabe que sua área é menor que 16 cm². Você sabe que a medida do lado desse quadrado é um número real, mas pode limitar uma faixa de números possíveis para essa medida. Podemos indicar que o lado desse quadrado será maior que 0 (já que não existe medida negativa) e menor que 4 (uma vez que um lado com medida maior que 4 resultaria em uma área maior que 16). Nesse caso, a medida estaria compreendida no intervalo de números reais entre 0 e 4. 
Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais (R).
A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo numérico.
Podemos representar os intervalos de forma gráfica, na reta numérica, por descrição ou notação. Veja o exemplo de um intervalo representado graficamente:
Esse intervalo pode ser descrito da seguinte forma: Ou, por notação: [ -1, 2].
 INTERVALO FECHADO OU INTERVALO ABERTO
Quando os extremos fazem parte de um intervalo destacado, dizemos que esse intervalo é fechado e usamos colchetes para representá-lo. Um intervalo pode ser parcialmente fechado, com apenas uma das suas extremidades abertas. Isso significa que apenas um dos extremos pertence ao intervalo. 
No exemplo, e , bem como todos os infinitos números compreendidos entre -2 e 1 pertencem ao intervalo. Logo, o intervalo pode ser escrito como . Ou, por notação: ]-2, 1] ou (-2, 1]. Para representar que um intervalo é aberto, usamos parênteses; ou então colchetes, estes virados para o seu lado de fora. Se nenhum dos extremos pertence a um intervalo dado, ele é aberto. 
Uma imagem contendo objeto, relógio, placar, bola
Descrição gerada automaticamente.
Nesse caso, e Podemos escrever o intervalo como . Ou, por notação: ]-2, 1[ ou (-2, 1).
 INTERVALO TENDENDO AO INFINITO
Também podemos indicar intervalos que tendam ao infinito, para a direita ou para a esquerda.
Podemos escrever o intervalo, por descrição: . Já por notação: [-2, + ¥ [ ou [-2, +¥).