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#MANUTENÇÕES 
--CORRETIVA (REATIVA): TEVE INÍCIO COM A REVOLUÇÃO INDUSTRIAL (1830). É ESPERAR QUE A 
MÁQUINA E OU EQUIPAMENTO ENTRE EM PANE PARA ENTÃO REPARÁ-LO. NÃO É COMPATÍVEL COM A 
NOÇÃO BÁSICA DE SEGURANÇA OPERACIONAL. 
--PREVENTIVA: TEVE INÍCIO COM A ERA DOS AVIÕES. SIGNIFICA A SUBSTITUIÇÃO DE UM COMPONENTE 
QUE SUPÕE-SE NO LIMIAR DE SUA VIDA ÚTL. A SUBSTITUIÇÃO É BASEADA EM ESTATÍSTICAS DE 
CONFIABILIDADE BASTANTE DUVIDOSAS E É COMUM O APARECIMENTO DE RUPTURA NO COMPONENTE 
SUBSTITUÍDO. 
--PREDITIVA: A MANUTENÇÃO AUXILIADA POR ACOMPANHAMENTO DE ÍNDICES. A SUBSTITUIÇÃO É 
BASEADA EM DADOS NUMÉRICOS ORIGINÁRIOS DA MEDIÇÃO DE PARÂMETROS RELATIVOS AO PRÓPRIO 
COMPONENTE. A SUBSTITUIÇÃO É EXECUTADA QUANDO NECESSÁRIA, INDEPENDENTE DO TEMPO DE 
USO. PORTANTO, O PROCEDIMENTO CONSISTE EM PREVER A FALHA EM LUGAR DE PRESUMÍ-LA OU 
ADMITÍ-LA COMO ALGO INESPERADO. A MANUTENÇÃO PREDITIVA NÃO É EXECUTADA A VALORES 
ÚNICOS MAS SIM BASEADA TOTALMENTE NA EVOLUÇÃO DOS VALORES NUMÉRICOS. SABENDO-SE QUAL 
O VALOR CORRESPONDENTE A UMA DETERMINADA FALHA E, SABENDO-SE QUAL O GRADIENTE DE 
VARIAÇÃO DO PARÂMETRO, TORNA-SE O PROBLEMA DE SOLUÇÃO RELATIVAMENTE FÁCIL E ASSEGURA 
FIXAR QUANDO A FALHA VAI SE DAR. COM TAIS DADOS, A PROGRAMAÇÃO DA MANUTENÇÃO TORNA-SE 
ALGO POSSÍVEL E VANTAJOSO. INDICES ACOMPANHADOS PELA PREDITIVA: VIBRAÇÕES, DESGASTE DE 
ÓLEO, CORRENTE ELÉTRICA, ULTRASOM, VAZÃO, VELOCIDADE, TEMPERATURA... 
--PROATIVA: NA MANUTENÇÃO PROATIVA ESTAMOS INTERESSADOS NA ELIMINAÇÃO DA RAIZ DO 
PROBLEMA, EXTINGUIR A VERDADEIRA CAUSA DA FALHA E/OU DEFEITO OCORRIDO. CONSIDERA-SE QUE 
TODAS AS FALHAS, SEM EXCEÇÃO, PERTENCEM A UMA OU MAIS DESSAS 7 CATEGORIAS: PROJETO 
DEFEITUOSO; DEFEITO DE MATERIAL; ERROS DE FABRICAÇÃO; DEFEITOS DE MONTAGEM OU 
INSTALAÇÃO; CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO FORA DE PROJETO OU NÃO ATENDIDAS; DEFICIÊNCIA DE 
MANUTENÇÃO; OPERAÇÃO IMPRÓPRIA. 
--MANUTENÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE: É A MANUTENÇÃO DA ATUALIDADE. UM BALANÇO 
LÓGICO ENTRE AS VÁRIAS MANUTENÇÕES PRATICADAS VISANDO A MÁXIMA DISPONIBILIDADE DOS 
EQUIPAMENTOS ASSISTIDOS A UM CUSTO MÍNIMO. SÃO AS TECNOLOGIAS DE FLUXO MAGNÉTICO, 
TERMOGRAFIA, BALANCEAMENTO, ANÁLISE DE ÓLEO, ANÁLISE DE VIBRAÇÃO E ALINHAMENTO 
INTEGRADAS 
#CONFIABILIDADE: TAXA DE FALHAS; INVESTIMENTO; GARANTIA; MTBF; PROBABILIDADE CONDICIONAL; 
QUALIDADE INTRÍNSECA; CAPITAL; FOPRNECEDOR. 
#MANTENABILIDADE: CAPITAL; TRABALHO; MTTR; DESPESAS; TAXA DE REPARO; INVESTIMENTO; 
SERVIÇO; MANUTENÇÃO CORRETIVA. 
#DISPONIBILIDADE: CAPITAL; RECEITA; SISTEMA; PRODUTIVIDADE; ESPECIFICADA EM PROJETO; 
#QOS DE CAPACIDADE: CAPITAL; CAPACIDADE DE PRODUÇÃO; INVESTIMENTO; SISTEMA; 
PRODUTIVIDADE; VELOCIDADE DE PRODUÇÃO; ESPECIFICADO EM PROJETO. 
#QOS FUNCIONAL: CAPITAL; FORNECEDOR; PRODUTIVIDADE; TERCEIRIZAÇÃO; PROBABILIDADE 
INSTANTÂNEA; ESPECIFICADO EM PROJETO. 
#1. ANALISE E DISCUTA OS SEGUINTES CONCEITOS DA MANUTENÇÃO 
a)CONFIABILIDADE: É A PROBABILIDADE DE UM EQUIPAMENTO OU SISTEMA, EM PERFEITO 
FUNCIONAMENTO NO INSTANTE INICIAL DE OBSERVAÇÃO T0, NÃO FALHAR DENTRO DE UM INTERVALO 
DE TEMPO DELTA T. 
b)MANTENABILIDADE: É A PROBABILIDADE DE QUE UM EQUIPAMENTO OU SISTEMA, QUE SE ENCONTRA 
EM FALHA NO INSTANTE INICIAL DE OBSERVAÇÃO T0, SER REPOSTO EM PERFEITO ESTADO DE 
FUNCIONAMENTO DENTRO DE UM INTERVALO DE TEMPO DELTA T. 
c)DISPONIBILIDADE: É A PROBABILIDADE DE UM EQUIPAMENTO OU SISTEMA ESTAR EM CONDIÇÕES DE 
OPERAR, DENTRO DOS LIMITES PARA O QUAL FOI ESPECIFICADO, NO INSTANTE EM QUE FOR SOLICITADO. 
d)QUALIDADE DE SERVIÇO: É DEFINIDA COMO A CONFORMIDADE ENTRE O GRAU DE FUNCIONAMENTO 
E A CAPACIDADE DO EQUIPAMENTO OU SISTEMA, ASSOCIADA A DEGRADAÇÃO, QUANDO O 
EQUIPAMENTO ENCONTRA-SE EM OPERAÇÃO E NÃO É PRODUZIDA UMA MUDANÇA NAS 
CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONAMENTO ALÉM DO LIMITE DESEJÁVEL PARA O QUAL O EQUIPAMENTO OU 
SISTEMA FOI ESPECIFICADO E PROJETADO. 
*QUALIDADE DE SERVIÇO FUNCIONAL: ESTÁ ASSOCIADA À QUALIDADE INTRÍNSECA PARA O QUAL O 
EQUIPAMENTO OU SISTEMA FOI PROJETADO, AO FUNCIONAMENTO DO EQUIPAMENTO OU SISTEMA. 
*QUALIDADE DE SERVIÇO DE CAPACIDADE: ESTÁ ASSOCIADA À CAPACIDADE MÁXIMA PARA O QUAL O 
EQUIPAMENTO OU SISTEMA FOI PROJETADO. 
e)EFICÁCIA E EFICIÊNCIA: É DEFINIDA COMO A OBTENÇÃO DOS RESULTADOS, É FAZER O QUE DEVE SER 
FEITO (O QUE), ALCANÇANDO-SE ASSIM OS OBJETIVOS DESEJADOS. EFICIÊNCIA É FAZER DA MELHOR 
MANEIRA POSSÍVEL, É FAZER BEM FEITO (COMO). 
f)CUSTOS: É FUNÇÃO DE PESSOAL, ENERGIA, RESERVA TÉCNICA, EQUIPAMENTOS DE SUPORTE E 
FERRAMENTAL, APOIO LOGÍSTICO E ESTRUTURA DE GERENCIAMENTO E PLANEJAMENTO, BEM COMO DO 
INVESTIMENTO INICIAL DO SISTEMA, CORRESPONDENDO ASSIM AO LCC (LIFE CYCLE COST), OU SEJA O 
CUSTO DO CICLO DE VIDA ÚTIL DO EQUIPAMENTO OU SISTEMA. 
g)DESEMPENHO: SIGNIFICA OBTER UM ALTO NÍVEL DE DISPONIBILIDADE E DE QUALIDADE DE SERVIÇO. 
COM EFICÁCIA E EFICIÊNCIA, A UM CUSTO OTIMIZADO. 
h)CONCEITO DE MANUTENÇÃO: É UM CONJUNTO DE ATIVIDADES, GERENCIAIS E EXECUTIVAS, COM A 
FINALIDADE DE GARANTIR E MELHORAR A DISPONIBILIDADE (FUNÇÃO DA CONFIABILIDADE E DA 
MANETENABILIDADE), A QUALIDADE DE SERVIÇO E EFICIÊNCIA DOS TRABALHOS NO SETOR PRODUTIVO E 
DE ESCRITÓRIO, COM A FINALIDADE DE OTIMIZAÇÃO DE CUSTOS, CONTRIBUINDO COM A OBTENÇÃO DE 
EFICÁCIA E ELEVAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DA EMPRESA. 
h1)AFNOR: ASSOCIATION FRANÇAISE DE NORMALISATION -> CONJUNTO DE AÇÕES QUE PERMITAM 
MANTER OU REESTABELECER, A UM SISTEMA, O ESTADO DE FUNCIONAMENTO. 
h2)ABNT: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS -> CONJUNTO DE AÇÕES DESTINADAS A 
MANTER OU RECOLOCAR UM ITEM NO ESTADO NO QUAL PODE EXECUTAR SUA FUNÇÃO REQUERIDA. 
i)PRODUTIVIDADE: A PRODUTIVIDADE É BASICAMENTE DEFINIDA COMO A RELAÇÃO ENTRE A PRODUÇÃO 
E OS FATORES DE PRODUÇÃO UTILIZADOS. A PRODUÇÃO É DEFINIDA COMO OS BENS PRODUZIDOS. OS 
FATORES DE PRODUÇÃO SÃO DEFINIDOS COMO SENDO PESSOAS, MÁQUINAS, MATERIAIS E OUTROS. 
QUANTO MAIOR FOR A RELAÇÃO ENTRE A QUANTIDADE PRODUZIDA POR FATORES UTILIZADOS, MAIOR 
A PRODUTIVIDADE. 
#2. POR QUE NÃO SE FAZ UM GERENCIAMENTO EFICIENTE NA MANUTENÇÃO SEM CONHECIMENTO 
ACERCA DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA? 
PORQUE A MANUTENÇÃO VISA GARANTIR A DISPONIBILIDADE DOS EQUIPAMENTOS, ANALISANDO A 
PROBABILIDADE DE QUE UM ITEM POSSA DESEMPENHAR SUA FUNÇÃO, POR UM INTERVALO DE TEMPO 
[0,t], SOB CONDIÇÕES DEFINIDAS DE USO. O VALOR DE t NÃO PODE SER PREVISTO POR UM MODELO 
DETERMINÍSTICO, ISTO É, COMPONENTES IDÊNTICOS SUJEITOS A ESFORÇOS IDÊNTICOS FALHARÃO EM 
DIFERENTES E IMPREVISTOS INSTANTES. DESSA FORMA, O EMPREGO DE UM MODELO PROBABILÍSTICO, 
CONSIDERANDO t UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA, CONSTITUI-SE NO ÚNICO TRATAMENTO REALISTA DO 
ASSUNTO E A MANEIRA MAIS EFICIENTE DE SE FAZER UM GERENCIAMENTO NA MANUTENÇÃO. 
#3. CONCEITUE PROBABILIDADE E INDIQUE SEUS AXIOMAS. 
PROBABILIDADE É UM NÚMERO [0,1] ASSOCIADO A UM EVENTO DESTINADO A MEDIR A CUA 
POSSIBILIDADE DE OCORRÊNCIA. A PALAVRA PROBABILIDADE DERIVA DO LATIM PROBARE (PROVAR OU 
TESTAR). INFORMALMENTE, PROVÁVEL É UMA DAS MUITAS PALAVRAS UTILIZADAS PARA ENVENTOS 
INCERTOS OU CONHECIDOS, SENDO TAMBÉM SUBSTITUÍDA POR ALGUMAS PALAVRAS COMO SORTE, 
RISCO, AZAR, INCERTEZA, DUVIDOSO, DEPENDENDO DO CONTEXTO. OS TEOREMAS SEGUINTES SUPÕEM 
QUE O UNIVERSO É UM CONJUNTO FINITO, O QUE NEM SEMPRE É O CASO, COMO POR EXEMPLO NO 
CASO DO ESTUDO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE SEGUE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL. 
SABENDO QUE: (OHM) -> ESPAÇO AMOSTRAL; Q -> EVENTO; P -> PROBABILIDADE 
1.A PROBABILIDADE DE QUALQUER ACONTECIMENTO É MAIOR OU IGUAL A ZERO P(A) >= 0 
2.A PROBABILIDADE DO ACONTECIMENTO CERTO P(OHM) = 1 
3.SE A E B SÃO EVENTOS EXCLUDENTES (A INTERSEÇÃO B) = 0 : P(A U B) = P(A)+P(B) 
 
 
#4.CONCEITUE ESTATÍSTICA E IDENTIFIQUE OS TIPOS EXISTENTES. 
ESTATÍSTICA É A PARTE DA MATEMÁTICA APLICADA QUE FORNECE MÉTODOS PARA A COLETA, 
ORGNAIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS E PARA A UTILIZAÇÃO DOS MESMOS 
NA TOMADA DE DECISÕES. EXISTEM DOIS RAMOS DA ESTATÍSTICA: A DESCRITIVA (DEDUTIVA) E A 
INFERENCIAL (INDUTIVA). A ESTATÍSTICA DESCRITIVA SE ENCARREGA DE DESCREVERO CONJUNTO DE 
DADOS DESDE A ELABORAÇÃO DA PESQUISA ATÉ O CÁLCULO DE DETERMINADA MEDIDA. A ESTATÍSTICA 
INFERENCIAL ANALISA E INTERPRETA OS RESULTADOS. 
#5. CONCEITUE VARIÁVEL ALEATÓRIA, DANDO TIPOS E EXEMPLOS. 
PODE-SE ENTENDER COMO VARIÁVEL ALEATÓRIA UMA FUNÇÃO QUE ASSOCIA UM NÚMERO REAL A 
CADA ELEMENTO DE UM ESPAÇO AMOSTRAL, PODENDO SER: 
*QUALITATIVA -> ATRIBUTOS: SEXO, COR, ETC; 
*QUANTITATIVA -> DISCRETA: TOMA VALORES QUE PODEM SER CONTADOS, ISTO É, UM CONJUNTO 
FINITO OU INFINITO ENUMERÁVEL: EX -> NÚMERO DE FALHAS DE UM EQUIPAMENTO, NÚMERO DE 
CARAS EM 5 LANÇAMENTO DE UMA MOEDA... 
*QUANTITATIVA -> CONTÍNUA: PODE TOMAR QUALQUER VALOR NUMÉRICO EM UM DETERMINADO 
INTERVALO OU COLEÇÃO DE INTERVALOS (CONJUNTO INFINITO NÃO ENUMERÁVEL): EX -> PESO, ALTURA, 
TEMPERATURA... 
#6.IDENTIFIQUE AS PRINCIPAIS ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS UTILIZADAS E CONCEITUE CADA UMA DELAS 
(MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E DISPERSÃO). 
*MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL SÃO AQUELAS QUE INDICAM A LOCALIZAÇÃO DOS DADOS: 
-MÉDIA: É O VALOR QUE APONTA PARA ONDE MAIS SE CONCENTRAM OS DADOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO. 
-MEDIANA: É O VALOR QUE SEPARA A METADE SUPERIOR DA METADE INFERIOR DE UMA AMOSTRA DE 
DADOS, UMA POPULAÇÃO OU UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE. 
-MODA: É O VALOR QUE OCORRE COM MAIS FREQUÊNCIA EM UMA DISTRIBUIÇÃO. 
*MEDIDAS DE DISPERSÃO: SÃO AS MEDIDAS MAIS COMUNS DE VARIABILIDADE: 
-DESVIO PADRÃO: MOSTRA A QUANTIDADE DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO) EXISTENTE EM RELAÇÃO À 
MÉDIA. 
-VARIÂNCIA: VERIFICA A DISTÂNCIA ENTRE OS VALORES DA MÉDIA ARITMÉTICA. É A MÉDIA ARITMÉTICA 
DOS QUADRADOS DOS DESVIOS. 
-DESVIO MÉDIO (DESVIO ABSOLUTO): A MÉDIA ARITMÉTICA DOS DESVIOS CONSIDERADOS EM VALOR 
ABSOLUTO. 
-AMPLITUDE TOTAL: É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E O MENOR DOS VALORES DA SÉRIE. 
-COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: MEDIDA RELATIVA DE DISPERSÃO, ÚTIL PARA COMPARAÇÃO EM TERMOS 
REALTIVOS DO GRAU DE CONCENTRAÇÃO EM TORNO DA MÉDIA DE SÉRIES DISTINTAS. 
#7.O QUE É FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE (FDP)? QUE TIPOS EXISTEM? EXEMPLIFIQUE. 
É UMA FUNÇÃO QUE DESCREVE A PROBABILIDADE RELATIVA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA ASSUMIR 
DETERMINADO VALOR. ELA PODE SER: 
-NORMAL, UNIFORME, BINOMIAL, EXPONENCIAL, WEIBULL. 
#8.O QUE É FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (FDA)? QUE TIPOS EXISTEM? EXEMPLIFIQUE. 
A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA NOS DÁ UMA MANEIRA DE DESCREVER COMO AS 
PROBABILIDADES SÃO ASSOCIADAS AOS VALORES OU INTERVAOS DE VALORES DE UMA VARIÁVEL 
ALEATÓRIA. 
TIPOS: BERNOULLI. 
#9.O QUE VOCÊ ENTENDE ACERCA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL? JUSTIFIQUE E DÊ EXEMPLOS. 
A PROBABILIDADE CONDICIONAL É A PROBABILIDADE DE OCORÊNCIA DE UM EVENTO A SABENDO DA 
OCORRÊNCIA DE OUTRO EVENTO B, AMBOS SENDO EVENTOS DE UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO. 
P(A/B) = P(A INTERSEÇÃO B)/P(B) 
#10.DEMONSTRE O CÁLCULO DE TAXA DE FALHAS INDICANDO O SEU CONCEITO. 
A TAXA DE FALHAS É USADA COMO PARÂMETRO PARA A FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DA 
CONFIABILIDADE E PODE SER DEFINIDA COMO A FREQUÊNCIA COM QUE AS FALHAS OCORREM, SENDO A 
PROBABILIDADE (INSTANTÂNEA) DE FALHAS DE UM EQUIPAMENTO E CORRESPONDE ÀS SOLICITAÇÕES 
DO SISTEMA/EQUIPAMENTO À MANUTENÇÃO. 
LÂMBDA = k/nDt 
ONDE k REPRESENTA O NÚMERO DE FALHAS OCORRIDAS EM UM DETERMINADO PERÍODO DE TEMPO Dt, 
E n O NÚMERO DE EQUIPAMENTOS, OU AINDA: 
LÂMBDA = f(t)/R(t), 
ONDE f(t) É A FUNÇÃO DENSIDADE E R(t) A FUNÇÃO CONFIABILIDADE DEFINIDA POR R(t) = 1 - F(t), ONDE 
F(t) É A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA. 
#11.DESCREVA AS PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS E CONTÍNUAS ASSOCIADAS À ENGENHARIA 
DA MANUTENÇÃO, E INDIQUE: 
a)EM QUE FENÔMENOS PODEM SER UTILIZADAS; 
b)FÓRMULAS E APLICAÇÕES; 
c)MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E DISPERSÃO; 
d)TAXA DE FALHAS; 
 
RESPOSTAS: 
-POISSON: É APLICADA AO DIMENSIONAMENTO DE SOBRESALENTES E CÁLCULO DE RISCO DE ESTOQUE. 
P(X) = ((ALFA^X)*e^(ALFA))/X! 
MÉDIA = mi = ALFA 
VARIÂNCIA = ALFA = DP² 
DP = RAIZ(ALFA) 
 
-BINOMIAL (BERNOULLI): É APLICADA À DISPONIBILIDADE. 
P(X) = COMB(N,X)*(p^X)*q^(N-X) = (N!/(X!(N-X)!)*(p^X)*q^(N-X) 
MÉDIA = mi = N*p 
VARIÂNCIA = N*p*q 
DP = RAIZ(N*p*q) 
 
-UNIFORME: É APLICADA À CONFIABILIDADE: 
f(t) = 1/(b-a) 
F(t) = (t-a)/(b-a) 
LÂMBDA(t) = f(t)/R(t) = f(t)/(1-F(t)) = 1/(b-t) 
É UMA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CRESCENTE COM PROBABILIDADE INFINITA DE FALHA EM b (EM t=b 
O EQUIPAMENTO COM CERTEZA IRÁ FALHAR) 
MÉDIA: E(t) = (a+b)/2 
VARIÂNCIA: V(t) = (b-a)^2/12 
 
-EXPONENCIAL: APLICADA À CONFIABILIDADE 
f(t) = 0, t<0 OU LÂMBDA*e^(-LÂMBDA*t), t>=0 (LÂMBDA>0) 
F(t) = 1 - e^(-LÂMBDA*t) 
R(t) = 1 - F(t) = e^(-LÂMBDA*t) 
LÂMBDA(t) = f(t)/(1-F(t)) = f(t)/R(t) = LÂMBDA -> TAXA DE FALHAS CONSTANTE 
SÓ É POSSÍVEL FALAR EM CURVA DA BANHEIRA QUANDO A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL ESTÁ 
ENVOLVIDA (VIDA ÚTIL = CONSTANTE) 
MÉDIA: E(t) = 1/LÂMBDA 
VARIÂNCIA: V(t) = 1/LÂMBDA^2 
É REALIZADA A MANUTENÇÃO PREDITIVA (RELACIONADA A EQUIPAMENTOS ELÉTRICOS E ELETRÔNICOS) 
LÂMBDA = 1/MTBF 
MTBF = TEMPO MÉDIO PARA FALHAR 
R(MTBF) = R(1/LÂMBDA) 
R(t) = e^(-LÂMBDA*t) = e^(-1) = 37% 
 
-NORMAL: É APLICADA À CONFIABILIDADE. TAXA DE FALHAS CRESCENTE, MANUTENÇÃO PREVENTIVA 
(MECÂNCIA) 
f(t) = (1/RAIZ(2*PI*DP))*e^((-1/2)*((T-u)/DP)^2) PARA TODO T 
*DP = DESVIO PADRÃO 
F(t) = INTEGRAL DE -INF A +INF DE f(t)dt 
LÂMBDA(t) = Z(t) = f(t)/R(t) = f(t)/(1-F(t)) 
MÉDIA: E(t) = u (mi) 
VARIÂNCIA: V(t) = DP^2 
 
-WEIBULL: APLICADA À CONFIABILIDADE 
f(t) = 0, t<0 OU (ALFA*BETA)*t^(BETA-1)*e^(-ALFA*t^(BETA)), t>=0 
ALFA, BETA >0 
F(t) = 1-e^(-ALFA*t^(BETA)) 
LÂMBDA(t) = f(t)/R(t) = f(t)/(1-F(t)) = (ALFA*BETA)*t^(BETA-1) 
SE BETA = 1 -> f(t) = ALFA*e^(-ALFA*t) -> EXPONENCIAL (TAXA DE FALHAS CONSTANTE) 
SE BETA > 1 -> NORMAL COM TAXA DE FALHAS CRESCENTE 
SE BETA < 1 -> HIPERBÓLICA COM TAXA DE FALHAS DECRESCENTE 
 
*CURVA DA BANHEIRA 
1.MORTALIDADE INFANTIL: PRIMEIRO ESTÁGIO DA CURVA, REPRESENTADA PELA DISTRIBUIÇÃO 
HIPERBÓLICA. ESTA FASE É CONSIDERADA CRÍTICA POIS POSSUI UMA TAXA DE FALHAS ALTA, PORÉM 
DECRESCENTE. 
2.VIDA ÚTIL: A TAXA DE FALHAS É BAIXA E CONSTANTE, REPRESENTADA PELA DISTRIBUIÇÃO 
EXPONENCIAL. 
3.ENVELHECIMENTO: A TAXA DE FALHAS É CRESCENTE, REPRESENTADO PELA DISTRIBUIÇÃO NORMAL. 
#12.NAS QUESTÕES A SEGUIR, CADA ALTERNATIVA É VERDADEIRA (V), FALSA (F) OU NADA PODE-SE 
AFIRMAR (NA). ESCREVA V, F OU NA E JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA PARA CADA ALTERNATIVA. 
12.1 QUANDO UMA DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA É POSITIVA: 
a)A MEDIANA É MAIOR QUE A MÉDIA; (F) A MEDIANA É MENOR QUE A MÉDIA 
b)A DISTRIBUIÇÃO É UNIMODAL; (NA) UNIMODAL = 1 ÚNICA MODA 
c)A CAUDA NA ESQUERDA É MAIS CURTA DO QUE A CAUDA NA DIREITA; (V) 
d)O DESVIO PADRÃO É MENOR DO QUE A VARIÂNICA; (NA) 
e)A MAIORIA DAS OBSERVAÇÕES É MENOR DO QUE A MÉDIA. (V) -> A MODA É MENOR QUE A MEDIANA 
QUE É MENOR QUE A MÉDIA. 
SINAL DA ASSIMETRIA = MÉDIA - MODA 
 
12.2 AS SEGUINTES VARIÁVEIS PODEM SER REPRESENTADAS POR UMA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL: 
a)O NÚMERO DE SEIS QUE OCORREM EM 10 JOGADAS DE UM DADO. (?) 
b)O PESO HUMANO; (F) 
c)O NÚMERO DE EQUIPAMENTOS, DE UMA AMOSTRA ALEATÓRIA, QUE SE ENCONTRA DISPONÍVEL.(V) 
d)A PROPORÇÃO DE HIPERTENSOS DE UMA AMOSTRA ALEATÓRIA DE HOMENS ADULTOS. (?) 
12.3 DEPOIS DE UM ESTUDO, ANÁLISE E MODIFICAÇÕES EM EQUIPAMENTOS ATRAVÉS DE 
TRATAMENTO COM PROBABILICINA, 66,67% DOS EQUIPAMENTOS TIVERAM RECUPERAÇÃO 
COMPLETA. PODE-SE CONCLUIR QUE: 
a)PROBABILICINA É UM REMÉDIO MARAVILHOSO; (?) 
b)ESTA INFORMAÇÃO PODE SER ENGANOSA PORQUE O DENOMINADOR NÃO FOI DADO. (F) 
c)A FDP DE FALHAS PARA ESTES EQUIPAMENTOS É EXPONENCIAL. (NA) 
d)ESTA CONFIABILIDADE É MUITO BOA. (F) 
 
12.4 A FORMA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA PODE SER DESCRITA USANDO-SE: 
a)MÉDIA, DESVIO PADRÃO, MÁXIMO E MÍNIMO; 
b)UM HISTOGRAMA; 
c)MÉDIA, MEDIANA, DESVIO PADRÃO, MÍNIMO, MÁXIMO, ASSIMETRIA E CURTOSE; (V?) 
d)MÉDIA E VARIÂNCIA; 
e)MÉDIA, ERRO PADRÃO E QUARTIS. 
 
12.5A DISTRIBUIÇÃO NORMAL: 
a)É TAMBÉM CHAMADA DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA; (V) 
b)É SEGUIDA POR MUITAS VARIÁVEIS; 
c)É CHAMADA ASSIM PORQUE É AQUELA QUE É USUALMENTE SEGUIDAPELAS QUANTIDADES QUE 
OCORREM NATURALMENTE; (V) 
d)É SEGUIDA POR TODAS AS MEDIDAS FEITAS EM PESSOAS SAUDÁVEIS; (V) 
e)É A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON QUANDO SUA MÉDIA CRESCE. (V) 
 
12.6A MÉDIA DE UMA GRANDE AMOSTRA: 
a)É SEMPRE MAIOR QUE A MEDIANA; (F) 
b)É CALCULADA A PARTIR DA FÓRMULA; (V) 
c)TEM APROXIMADAMENTE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL; 
d)CRESCE À MEDIDA QUE A AMOSTRA CRESCE; 
e)É SEMPRE MAIOR QUE O DESVIO PADRÃO. 
#P1.NAS QUESTÕES A SEGUIR, CADA ALTERNATIVA É VERDADEIRA (V), FALSA (F) OU NADA PODE-SE 
AFRIMAR (NA). ESCREVA V, F OU NA E JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA PARA CADA ALTERNATIVA. 
1.1 PARA A AMOSTRA 3,1,7,2,2: 
a)A MÉDIA É 3; (V) 
b)A MEDIANA É 7; (F) A MEDIANA É 2 
c)A MÉDIA É 2; (F) 
d)A FAIXA É 1; (F) 1 - 7 
e)A VARIÂNCIA É 5,5; (V) V(x) = SOMATÓRIO (Xi - MÉDIA)^2/(N-1) 
 
1.2 A PROBABILIDADE DE UMA MULHER DE 50 ANOS TER A CONDIÇÃO X É DE 0,20 E A PROBABILIDADE 
DELA TER A CONDIÇÃO Y É DE 0,05. ESTES EVENTOS SÃO INDEPENDENTES: 
a)A PROBABILIDADE DELA TER AMBAS AS CONDIÇÕES É 0,01; (V) 
b)A PROBABILIDADE DELA NÃO TER AMBAS AS CONDIÇÕES É 0,25; (F) 
c)A PROBABILIDADE DELA TER X OU Y OU AMBAS É 0,24; (F) 
d)SE ELA TEM A CONDIÇÃO X, A PROBABILIDADE DELA TER TAMBÉM Y É 0,01; (F) 
e)SE ELA TEM A CONDIÇÃO Y, A PROBABILIDADE DELA TER TAMBÉM X É 0,2; (F) 
 
1.3 SE UMA MOEDA É JOGADA DUAS VEZES SEGUIDAS: 
a)O VALOR ESPERADO DO NÚMERO DE COROAS É 1,5; ? 
b)A PROBABILIDADE DE DUAS COROAS É 0,25; (V) 
c)O NÚMERO DE COROAS SEGUE UMA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL; (V?) 
d)A PROBABILIDADE DE PELO MENOS UMA COROA É 0,5; 
e)A DISTRIBUIÇÃO DO NÚMERO DE COROAS É SIMÉTRICA; (V) 
 
1.4 AS TAXAS DE FALHAS DE UM GRUPO DE EQUIPAMENTOS SÃO DISTRIBUIDAS NORMALMENTE COM 
MÉDIA DE 300FALHAS/ANO E UM DESVIO PADRÃO DE 20 FALHAS/ANO. 
a)CERCA DE 95% DOS EQUIPAMENTOS TÊM TAXAS DE FALHAS ENTRE 260 E 340; (F) 
b)50% DOS EQUIPAMENTOS TÊM TAXAS DE FALHAS ACIMA DE 300. (V) 
c)OS EQUIPAMENTOS SÃO EXTREMAMENTE CONFIÁVEIS; (NA) 
d)CERCA DE 5% DOS EQUIPAMENTOS TÊM TAXAS DE FALHAS ABAIXO DE 260; (F) 
e)TODAS AS TAXAS DE FALHAS DEVEM SER MENORES DO 340; (F) 
 
#P2.EM UM SISTEMA DE MEDIDAS ELÉTRICAS A MÉDIA FOI 72 E A VARIÂNCIA DE 225. DETERMINAR A 
VARIÁVEL REDUZIDA (ISTO É, OS NÍVEIS EXPRESSOS EM UNIDADES DE DESVIO PADRÃO) DAS 
SEGUINTES MEDIDAS: 
a)60 
60-72 = -12/15 = -0,8 
b)93 
93-72 = 21/15 = 1,4 
c)72 
72-72 = 0 
 
#P3. DUAS MEDIDAS FORAM RETIRADAS E OBTEVE-SE OS RESULTADOS 0,8 E -0,4 EM UNIDADES 
REDUZIDAS. SE SEUS VALORES REAIS FORAM 88 E 64 RESPECTIVAMENTE, DETERMINAR A MÉDIA E O 
DESVIO PADRÃO DAS MEDIDAS TOMADAS. 
(88-M)/DP = 0,8 
(64-M)/DP = -0,4 
M = 72 
DP = 20 
 
#P4.A MÉDIA DOS DIÂMETROS INTERNOS DE UMA AMOSTRA DE 200 ARRUELAS PRODUZIDAS POR 
UMA CERTA MÁQUINA É 0,502CM E O DESVIO PADRÃO É DE 0,005CM. A FINALIDADE PARA A QUAL 
ESSAS ARRUELAS SÃO FABRICADAS PERMITE A TOLERÂNCIA MÁXIMA PARA O DIÂMETRO, DE 0,496 A 
0,508CM, SE ISSO NÃO SE VERIFICAR, AS ARRUELAS SERÃO CONSIDERADAS DEFEITUOSAS. 
DETERMINAR A PORCENTAGEM DE ARRUELAS DEFEITUOSAS PELA MÁQUINA, ADMITINDO-SE QUE OS 
DIÂMETROS SÃO DISTRIBUÍDOS NORMALMENTE. 
MÉDIA = 0,502 CM 
DESVIO PADRÃO = 0,005 CM 
 
TOLERÂNCIA: 0,496 - 0,508 CM 
 
CURVA NORMAL: MÉDIA - 4*DP ATÉ MÉDIA + 4*DP 
0,482 ATÉ 0,522 
CALCULAR P(0,496<Z<0,508) 
Z1 = (t-MÉDIA)/DP = (0,496-0,502)/0,005 = -1,2 
Z2 = (0,508-0,502)/0,005 = 1,2 
P(-1,2<Z<1,2) = P(1,2)-P(-1,2) -> VER TABELA 
 
#P5.SE X É UMA VARIÁVEL ALATÓRIA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL N(mi,DP^2) CALCULAR: 
a)P([X-mi]<=DP) 
b)O NÚMERO c TAL QUE P([X-mi] <=c*DP) 
c)OS PARÂMETROS mi E DP^2 SABENDO QUE: P(X<160) = 1/2 E P(X<140)=1/4 
 
a)P(X-mi<=DP) = P(X<=DP+mi) 
Z = (t - mi)/DP -> t = DP+mi 
Z = (DP + mi - mi)/DP = 1 
P(Z<=1) -> VER TABELA 
 
b)P(X-mi<=c*DP) = P(X<=c*DP+mi) = 0,4 
Z = (c*DP+mi-mi)/DP = c 
P(X<=C) = 0,4 -> VER Z NA TABELA 
 
c)P(X<160)=0,5 -> DA TABELA P(X<0)=0,5 
0 = (160-mi)/DP -> mi = 160 
mi = DP²/2 -> DP² = 320 
 
P(X<140) = 0,25 -> DA TABELA P(Z<-1,96)=0,25 
-1,96 = (140-mi)/DP 
mi = DP²/2 
DP = 18,8 
DP² = 353,72 
mi = 176,86 
 
#P6.SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE MÉDIA 10 E VARIÂNCIA 100, 
CALCULAR: 
a)P(5<X<15) 
b)P(X>20) 
MÉDIA = 10 
DESVIO PADRÃO = 10 
CURVA NORMAL: MÉDIA - 4*DP ATÉ MÉDIA + 4*DP 
-30 ATÉ 50 
CALCULAR P(5<X<15) 
Z1 = (t-MÉDIA)/DP = (5-10)/10 = -0,5 
Z2 = (15-10)/10 = 0,5 
P(-0,5<Z<0,5) = P(0,5)-P(-0,5) -> VER TABELA 
 
#P7.O DIÂMETRO DE UM CABO ELÉTRICO É NORMALMENTE DISTRIBUÍDO COM MÉDIA 0,8CM E A 
VARIÂNCIA 0,0004 CM². SE O DIÂMETRO DE UM CABO DIFERIR DE SUA MÉDIA EM MAIS DE 0,025 ELE É 
CONSIDERADO DEFEITUOSO. QUAL A PROBABILIDADE DE UM CABO, ESCOLHIDO AO ACASO, TER 
DIÂMETRO MAIOR QUE 0,81? QUAL A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR UM CABO DEFEITUOSO? 
MÉDIA = 0,8 CM 
VARIÂNCIA = 0,004 CM² 
DESVIO PADRÃO = 0,02 CM 
TOLERÂNCIA: 0,775 - 0,825 CM 
 
CURVA NORMAL: MÉDIA - 4*DP ATÉ MÉDIA + 4*DP 
0,72 ATÉ 0,88 
a) P(X>0,81) = 1 - P(X<0,81) 
Z = (0,81-0,8)/0,02 = 0,5 
P(X>0,81) = 1 - P(0,5) -> VER TABELA 
b)P(0,775<Z<0,825) 
Z1 = (0,775-0,8)/0,02 = -1,25 
Z2 = (0,825-0,8)/0,02 = 1,25 
P(-1,25<Z<1,25) = P(1,25)-P(-1,25) -> VER TABELA 
 
#P8.SE X = N(mi,DP²) CALCULAR K TAL QUE P(X<=K)=2P(X>K). 
 
#P9.A CARGA DE RUPTURA DE UM CABO ELÉTRICO X TEM DISTRIBUIÇÃO N(100KG,16KG²). CADA ROLO 
DE 100 METROS DE CABO DÁ UM LUCRO DE $25000 DESDE QUE X>95. CASO CONTRÁRIO O CABO 
DEVERÁ SER UTILIZADO PARA A FINALIDADE DIFERENTE E O LUCRO PASSA A SER DE $10000.CALCULAR 
O LUCRO ESPERADO POR METRO DE CABO. 
MÉDIA = 100 
VARIÂNCIA = 16 
DESVIO PADRÃO = 4 
PARA X>95 -> L=$25000 
PARA X<95 -> L=$10000 
CURVA NORMAL: MÉDIA - 4*DP ATÉ MÉDIA + 4*DP 
84 ATÉ 116 
CALCULAR LUCRO ESPERADO: 
E(LUCRO) = L1*P(L1)+L2*P(L2) 
Z = (t-MÉDIA)/DP = (95-100)/4 = -1,25 
P(-1,25) = P(L1) -> VER TABELA 
P(>-1,25) = P(L2) = 1-P(L1) -> VER TABELA 
 
#P10.UM EXPERIMENTO É REPETIDO 50 VEZES, ONDE OBTEM-SE OS SEGUINTES RESULTADOS: 
0010111100 
0011111101 
1101011001 
1000011100 
1101011011 
a)QUE DISTRIBUIÇÃO ESTÁ ASSOCIADA A ESTE EVENTO? (BINOMIAL) 
b)DESENHE A SUA FDP E FDA. 
 
#11.DOIS EQUIPAMENTOS TEM DISTRIBUIÇÕES DE FALHAS NORMAIS DE MÉDIAS 50,70 E DESVIOS 
PADRÕES 20,5 RESPECTIVAMENTE. SE O TEMPO DE MISSÃO DESSES EQUIPAMENTOS FOR DE 100H, 
QUAL DELES VC USARIA? E SE FOR 20H? E 65H? ESCLAREÇA SUAS RESPOSTAS. DESENHE AS FDP DESSAS 
FUNÇÕES DE CONFIABILIDADE FAZENDO UMA ANÁLISE CRÍTICA DAS RESPOSTAS. 
(I) N1(50,20) -> [-30,130] 
(II) N2(70,5) -> [50,90] 
*DISTRIBUIÇÕES NORMAIS COM INTERVALOS DE [MÉDIA-4*DP,MÉDIA+4*DP] 
-PARA UMA MISSÃO DE 100H: O EQUIPAMENTO MAIS ADEQUADO É O I POIS EM 100H DE USO AINDA 
EXISTE CHANCE DO EQUIPAMENTO NÃO FALHAR, ENQUANTO QUE PARA O EQUIPAMENTO II, EM 100 H 
DE USO O EQUIPAMENTO COM CERTEZA TERÁ FALHADO. 
-PARA UMA MISSÃO DE 20H: O EQUIPAMENTO MAIS ADEQUADO É O II POIS EM 20 HORAS DE USO A 
CHANCE DO EQUIPAMENTO FALHAR É NULA, ENQUANTO QUE PARA O EQUIPAMENTO I EXISTIRIA 
CHANCE DE FALHAR. 
-PARA UMA MISSÕA DE 65H: O EQUIPAMENTO MAIS ADEQUADO É O II POIS EM 65H DE USO A CHANDE 
DO EQUIPAMENTO FALHAR É MUITO MENOR DO QUE A DO EQUIPAMENTO I. 
 
#P12.UM CERTO TIPO DE MOTOR ELÉTRICO FALHA SE OCORRER UMA DAS SEGUINTES SITUAÇÕES: 
I)EMPERRAMENTO DOS MANCAIS. 
II)QUEIMA DOS ENROLAMENTOS. 
III)DESGASTE DAS ESCOVAS. 
SUPONHA QUE I EMPERRAMENTO SEJA DUAS VEZES MAIS PROVÁVEL DO QUE A QUEIMA, ESTA SENDO 
QUATRO VEZES MAIS PROVÁVEL DO QUE O DESGASTE DAS ESCOVAS. 
a)QUAL SERÁ A PROBABILIDADE DE QUE A FALHA SEJA DEVIDA A CADA UMA DESSAS CIRCUNSTÂNCIAS? 
b)QUAL DESSES COMPONENTES VOCÊ DEVERIA COMPRAR MAIS PARA MANTER NO ESTOQUE? 
c)SE NO SISTEMA TIVESSEM FALHADO 100 MOTORES SIMILARES A ESTE QUAL O VALOR ESPERADO DE 
CADA TIPO DE FALHA? 
 
a)E - EMPERRAMENTO 
Q - QUEIMA 
D - DESGASTE 
Q = 4D 
E = 2Q = 8D 
P(D) = 1/13 
P(Q) = 4/13 
P(E) = 8/13 
b)MANCAIS 
c)EM 100 FALHAS: 
E - (8/13)*100 = 61,538% 
Q - (4/13)*100 = 30,769% 
D - (1/13)*100 = 7,69% 
 
#P13.UM LOTE É FORMADO DE 10 EQUIPAMENTOS BONS, 4 COM DEFEITOSPEQUENOS E 2 COM 
DEFEITOS GRAVES. UM EQUIPAMENTO É COMPRADO E O ESTOQUISTA ESCOLHE O MESMO AO ACASO. 
ACHE A PROBABILIDADE DE QUE: 
a)O EQUIPAMENTO NÃO TENHA DEFEITO. 
b)ELE NÃO TENHA DEFEITOS GRAVES. 
c)ELE TENHA DEFEITO 
d)ELE SEJA BOM 
 
B - BOM 
DP - DEFEITO PEQUENO 
DG - DEFEITO GRAVE 
D - DEFEITO 
 
a)P(ND) = 1 - P(D) = 1 - (P(DP)+P(DG)) = 1 - 4/16 - 2/16 = 10/16 
b)P(NDG) = 1 - P(DG) = 1 - 2/16 = 14/16 
c)P(D) = P(DP) + P(DG) = 4/16 + 2/16 = 6/16 
d)P(B) = 10/16 
 
 
#P14.SE O FABRICANTE DO EQUIPAMENTO DO EXERCÍCIO ANTERIOR TEM UM LUCRO DE 40% COM A 
VENDA DE EQUIPAMENTOS BONS, UMA PERDA DE 10% COM A VENDA DE EQUIPAMENTOS COM 
DEFEITOS PEQUENOS E UMA PERDA DE 15% COM A VENDA DE EQUIPAMENTOS COM DEFEITOS 
GRAVES, DETERMINE A CURVA DE LUCRATIVIDADE DESTA EMPRESA E VERIFIQUE SE A MESMA DEVERÁ 
SOBREVIVER, MESMO QUE OS CLIENTES CONTINUEM COMPRANDO SEUS EQUIPAMENTOS. 
 
#P15.UM MECANISMO COMPLETO PODE FALHAR EM 15 ESTÁGIOS, CONSIDERANDO QUE TODOS OS 
ESTÁGIOS TEM MESMA PROBABILIDADE DE FALHAR (CONFIABILIDADE^-1). CALCULE: 
a)DE QUANTAS MANEIRAS POSSÍVEIS PODE OCORRER QUE ELE FALHE EM 3 ESTÁGIOS? 
b)SE A CONFIABILIDADE DE CADA ESTÁGIO É DE 0,6(60%) NO INTERVALO DE 1 ANO (8760h), QUAL É A 
PROBABILIDADE DE QUE 3 ESTÁGIOS VENHAM A FALHAR? 
c)QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ATÉ 14 ESTÁGIOS VENHAM A FALHAR? 
 
a)COMBINAÇÃO DE 15-3,3 = 455 MANEIRAS 
b) 
 
#P16.UM DADO É ATIRADO N VEZES. QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE 6 APAREÇA UMA ÚNICA VEZ 
EM N JOGADAS? E PELO MENOS UMA ÚNICA VEZ? 
PROBABILIDADE DE SAIR "6" = 1/6 
 
a)UM ÚNICO "6": P(1) = COMB(N,1)*(1/6)¹*(1-1/6)^(N-1) 
b)AO MENOS UM "6": P(>=1) = P(1)+P(2)+...+P(N) 
 
#P17.SUPONHA "T", A DURAÇÃO ATÉ FALHAR DE UMA PEÇA, SEJA NORMALMENTE DISTRIBUÍDA COM 
MÉDIA E(t)=90h E DESVIO PADRÃO DP=5h. QUANTAS HORAS DE OPERAÇÃO DEVERÃO SER 
CONSIDERADAS A FIM DE SE ACHAR UMACONFIABILIDADE DE 0,90; 0,95 E 0,99? 
mi = 90h 
DP = 5h 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL: mi-4DP ATÉ mi+4DP = 70h ATÉ 110h 
R(t) = 1-F(t) -> F(t) = 1-R(t) 
a)F(t) = 1-0,9 = 0,1 
P(Z) = 0,1 -> ENCONTRAR O Z CORRESPONDENTE A 0,1 NA TABELA 
(t-mi)/DP = Z -> t 
 
b)F(t) = 1-,095 = 0,05 
P(Z) = 0,05 -> ENCONTRAR O Z CORRESPONDENTE A 0,05 NA TABELA 
(t-mi)/DP = Z -> t 
 
c)F(t) = 1-0,99 = 0,01 
P(Z) = 0,01 -> ENCONTRAR O Z CORRESPONDENTE A 0,01 NA TABELA 
(t-mi)/DP = Z -> t 
 
#18.SUPONHA QUE A DURAÇÃO DE VIDA DE UM DISPOSIIVO ELETRÔNICO SEJA EXPONENCIALMENTE 
DISTRIBUÍDA. SABE-SE QUE A CONFIABILIDADE DESSE DISPOSITIVO (PARA UM PERÍODO DE 100h DE 
OPERAÇÃO) É DE 90%. QUANTAS HORAS DE OPERAÇÃO DEVEÃO SER LEVADAS EM CONTA PARA 
CONSEGUIR-SE UMA CONFIABILIDADE DE 95%? E DE 63%. 
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCITAL: R(t)=e^(-LÂMBDA*t) 
PARA R(t) = 0,9 -> t = 100h 
0,9 = e^(-LÂMBDA*100) -> LÂMBDA = 0,0010536 
a)PARA R(t) = 0,95 
0,95 = e^(-0,0010536*t) 
t = LN(0,95)/(-0,0010536) 
 
b)PARA R(t) = 0,63 
0,63 = e^(-0,0010536*t) 
t = LN(0,63)/(-0,0010536) 
 
#P19.A DURAÇÃO DE VIDA DE UM SATÉLITE É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA EXPONENCIALMENTE 
DISTRIBUÍDA, COM DURAÇÃO DE VIDA ESPERADA DE 1,5 ANOS. SE TRÊS DESSES SATE´LITES FOREM 
LANÇADOS SIMULTÂNEAMENTE, QUAL SERÁ A PROBABILIDADE DE QUE AO MENOS DOIS AINDA 
VENHAM A ESTAR EM ÓRBITA DEPOIS DE 2 ANOS? E AO MENOS UM APÓS 10 ANOS? 
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL: f(t) = LÂMBDA*e^(-LÂMBDA*t) 
LÂMBDA = 1/MTBF 
MTBF = 1,5 ANOS 
1.CALCULAR A PROBABILIDADE DE SUCESSOS (CONFIABILIDADE) 
2.CALCULAR QUANTOS AINDA FUNCIONAM (BINOMIAL) 
a)R(t) = e^(-LÂMBDA*t) = e^(-2*LÂMBDA) = e^(-2/1,5) = 26,36% = p 
P(X>=2) = P(2)+P(3) 
P(2) = COMB(3,2)*p^(2)*q^(3-2) = COMB(3,2)*(0,2636)²*(1-0,2636) = 0,1535 
P(3) = COMB(3,3)*p^(3)*q^(3-3) = COMB(3,3)*(0,2636)³*1 = 0,0183 
P(X>=2) = 0,1535+0,0183 = 17,18% 
 
b)R(t) = e^(-10/1,5) = 0,00127 = 0,127% 
P(X>=1) = P(1)+P(2)+P(3) 
P(1) = COMB(3,1)*(0,00127)*(1-0,00127)² = 3,8*10^(-3) 
P(2) = COMB(3,2)*(0,00127)²*(1-0,00127) = 4,83*10^(-6) 
P(3) = COMB(3,3)*(0,00127)³*1 = 2,04*10^(-9) 
P(X>=1) = 0,0038 = 0,38% 
 
#P20.SE UM FOGUETE QUE VIAJA AO ESPAÇO TEM UM TEMPO DE MISSÃO DE 1 ANO (8760h) E A SUA 
CONFIABILIDADE TEM UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE FALHAS EXPONENCIAL, QUAL DEVE 
SER O VALOR ESPERADO DE VIDA ÚTIL PARA QUE O MESMO TENHA 90% DE CHANCES DE SUCESSO? 
VALOR ESPERADO DE VIDA ÚTIL = MTBF 
R(t) = e^(-LÂMBDA*t) 
PARA R(t) = 0,9 EM 1 ANO: 0,9 = e^(-LÂMBDA*1) 
LÂMBDA = -LN(0,9) = 0,10 ANO^(-1) 
MTBF = 1/LÂMBDA = 10 ANOS 
 
#P21.TEMPO DE VIDA DE UM COMPONENTE. CONSIDERE O EXPERIMENTO QUE CONSISTE EM 
OBSERVAR O TEMPO TOTAL QUE UM COMPONENTE LEVA PARA SE DANIFICAR A PARTIR DO PRIMEIRO 
MOMENTO QUE ELE FOI COLOCADO PARA FUNCIONAR. SUPONHA QUE ESTE TEMPO É UMA VA CUJA 
FDP É DADA POR: 
f(t) = 0, SE t<0; (1/1000)*e^(-t/1000), SE t>=0 
CALCULE: 
a)A SUA TAXA DE FALHAS; 
b)O TEMPO MÉDIO PARA O COMPONENTE FALHAR (MTTF); 
c)A PROBABILIDADE DE QUE O COMPONENTE POSSA FALHAR ATÉ O MTTF; 
d)A PROBABILIDADE DE QUE O COMPONENTE POSSA FALHAR ENTRE 100 E 1000 HORAS DE 
FUNCIONAMENTO; 
e)A PROBABILIDADE DE QUE O COMPONENTE POSSA FALHAR DEPOIS DE 1000 HORAS DE 
FUNCIONAMENTO. 
 
a)TAXA DE FALHAS = LÂMBDA = 1/1000 
b)MTBF(MTTF?) = 1/LÂMBDA = 1000 
c)PARA t = MTBF -> R(t) = 37% LOGO, A PROBAILIDADE DE FALHAR É 1-37% = 63% 
d)A = 1-e^(-LÂMBDA*t) -> A(1000) - A(100) 
A(1000) = 63% 
A(100) = 9,5% 
A(1000)-A(100) = 53,5% 
e)R(t) = 37% 
 
#P22 DESENHE OS DIAGRAMAS DE ESTADO (CADEIRA DE MARKOV) PARA UM SISTEMA (1 + 1) EM SÉRIE 
E EM PARALELO INDICANDO OS ESTADOS DISPONÍVEIS E INDISPONÍVEIS.