ESTÁCIO-CCE1530-AULA 07-LAJES EM CONCRETO ARMADO - PRÉ-DIMENSIONAMENTO (todo completa)

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CCE1530
ESTRUTURAS I - CONCRETO
Aula 06 e 07
Lajes em concreto armado: Pré-dimensionamento.
Profa. MSc. Savina Laís Silva Nunes
savinalaissilva@gmail.com
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
Introdução
• As lajes são elementos planos, horizontais, com duas dimensões maiores
que a terceira (sua espessura);
• A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no
pavimento, provenientes das ações das pessoas, dos equipamentos e dos
móveis sobre a construção (cargas de utilização), e transferi-los para os
apoios;
• Nos edifícios convencionais, as lajes maciças têm grande contribuição no
consumo de concreto, sendo este de aproximadamente 50%.
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
• Quanto à armação das lajes, a armação metálica é classificada em
Positiva e Negativa onde a primeira fica embaixo e a segunda fica na
parte de cima da laje;
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
• Isto ocorre, pois o momento fletor 
pode ser positivo ou negativo e por
armação metálica é 
para combater estes
isso a 
posicionada 
esforços;
• Por exemplo, 
momento fletor
usualmente o 
negativo está
localizado nas regiões sobre as vigas.
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
• Laje maciça é aquela onde toda a espessura é composta por concreto,
contendo, principalmente armaduras longitudinais de flexão, apoiada em vigas
ou paredes ao longo das bordas.
• As lajes maciças de concreto, com espessuras
que normalmente variam de 7 cm a 15 cm, são
projetadas para os mais variados tipos de
construção, como edifícios de múltiplos
pavimentos.
Laje em Concreto Armado
ESPESSURA MÍNIMA
A NBR 6118 (item 13.2.4.1) estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças 
deve respeitar:
a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
f) 15 cm para lajes com protensão apoiada em vigas, com o mínimo de ℓ /42 para lajes
de piso biapoiadas e ℓ /50 para lajes de piso contínuas;
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel.
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COBRIMENTOS MÍNIMOS
A NBR 6118 (item 7.4.7.2) estabelece os valores a serem prescritos para o 
cobrimento nominal das armaduras das lajes.
Laje em Concreto Armado
COBRIMENTOS MÍNIMOS
A NBR 6118 (item 7.4.7.2) estabelece os valores a serem prescritos para o cobrimento 
nominal das armaduras das lajes.
AGRESSIVIDADE
DO AMBIENTE
(NBR 6118/2014)
Laje em Concreto Armado
COBRIMENTOS MÍNIMOS
A NBR 6118 (item 7.4.7.2) estabelece os valores a serem prescritos para o cobrimento 
nominal das armaduras das lajes.
ESPESSURA DO 
COBRIMENTO 
DA ARMADURA
(NBR 6118/2014)
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CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES
• As lajes maciças podem ser classificadas em convencionais e protendidas;
• As Lajes Maciças Convencionais são construídas com fôrmas, no local da
obra, com vergalhões metálicos em seu interior (geralmente aço CA 50 e CA
60);
• São as lajes mais comuns em obras convencionais (em sua maioria,
residenciais e comerciais), e são apoiadas em vigas.
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CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO
Existem dois casos: laje armada em uma direção ou laje armada em duas 
direções.
a) Laje armada em uma direção
As lajes armadas/calculadas em uma direção tem relação entre o lado maior e
o lado menor superior a dois, isto é:
(Lambda (Λ ou λ)
Laje em Concreto Armado
CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO
a) Laje armada em uma direção
Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção 
do menor vão, chamada direção principal.
Na outra direção, chamada secundária, os esforços solicitantes são bem 
menores e, por isso, são comumente desprezados nos cálculos.
Os esforços solicitantes e as flechas são calculados supondo-se a laje 
como uma viga com largura de 1 m, segundo a direção principal da laje.
Laje em Concreto Armado
CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO
b) Laje armada em duas direções (ou em cruz)
Nas lajes armadas/calculadas em duas direções, os esforços solicitantes 
são importantes segundo as duas direções principais da laje. A relação 
entre os lados é menor que dois, tal que:
(Lambda (Λ ou λ)
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CLASSIFICAÇÃO QUANTO ADIREÇÃO
• Nas lajes armadas em duas direções, as duas armaduras são
calculadas para resistir os momentos fletores nessas direções.
• As denominações lajes armadas em uma direção, na realidade,
também têm armaduras nas duas direções. A armadura principal, na
direção do menor vão, é calculada para resistir o momento fletor
nessa direção, obtido ignorando-se a existência da outra direção.
Portanto, a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa
na direção do menor vão.
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CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO
• Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição, com
seção transversal mínima dada pela NBR 6118. Como a armadura
principal é calculada para resistir à totalidade dos esforços, a
armadura de distribuição tem o objetivo de solidarizar as faixas de
laje da direção principal, prevendo-se, por exemplo, uma eventual
concentração de esforços.
Laje em Concreto Armado
VÃOS EFETIVOS
• A primeira etapa no projeto de
lajes consiste em determinar os
h
𝑏 𝑏ℓ0
ℓ0 
2
ℓ
vãos livres (ℓ0) e os vãos teóricos 
(ℓ)
• O vão livre ( ℓ0 ) é a distância
existente livre entre as faces dos
apoios da laje
• O vão teórico ( ℓ ) é a distância 
entre os centros dos apoios
Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
• De modo geral são três os tipos de apoio das lajes: paredes de
alvenaria ou de concreto, vigas ou pilares de concreto. Dentre eles,
as vigas nas bordas são o tipo de apoio mais comuns nas construções.
• Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes
torna-se necessário estabelecer os vínculos da laje com os apoios,
sejam eles pontuais como os pilares, ou lineares como as vigas de
borda.
Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
• A etapa seguinte do projeto das lajes consiste em identificar os tipos
de vínculo de suas bordas.
• Existem, basicamente, três tipos: borda livre, borda simplesmente
apoiada e borda engastada (Tabela 1).
Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
CONDIÇÕES DE APOIO
➢ engaste: Quando duas lajes contínuas têm
espessuras muito diferentes, como mostrado
na Figura, pode ser mais adequado considerar
a laje de menor espessura (L2) engastada na
de maior espessura (L1), mas a laje com maior
espessura pode ser considerada apenas
apoiada na borda comum as duas lajes.
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CONDIÇÕES DE APOIO
➢ No caso onde as lajes não têm continuidade ao longo de toda a borda comum,
o critério simplificado para se considerar a vinculação é o seguinte (Figura):
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Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro bordas
das lajes retangulares, as lajes recebem números que diferenciam as
combinações de vínculos nas bordas, como indicados na Figura a seguir.
Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
• Em lajes em balanço, o engaste pode ser classificado como perfeito;
• Este tipo de engaste é normalmente utilizado em varandas, marquises e outros;
• Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a
consideração de borda engastada somente para a laje com menor espessura, admitindo-
se simplesmente apoiada a laje com maior espessura. É claro que cuidados devem ser
tomados na consideração dessas vinculações, devendo-se ainda analisar a diferença
entre os momentos atuantes nas bordas das lajes, quando consideradas engastadas.
• Uma diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes
poderia levarà consideração de borda engastada para uma das lajes e simplesmente
apoiada para a outra, em vez de engastada para ambas.
Laje em Concreto Armado
VINCULAÇÃO NAS BORDAS
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJESMACIÇAS
1º passo: Definir os valores dos vãos
teóricos
Laje em Concreto Armado
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Onde,
ℓ0 é a distância existente livre entre as 
faces dos apoios da laje
𝑡1 é a largura do apoio 1 (no caso das
lajes, as vigas)
𝑡2 é a largura do apoio 2 (no caso das
lajes, as vigas)
Não importando se o apoio 1 é o da
direita e o apoio 2 o da esquerda, ou
vice-versa.
Ou seja, em ambos os casos, para a
laje L8, devemos adotar 𝑡1 = 𝑡2 = 20
𝑐 𝑚 .
Ou seja, temos um vão livre horizontal de 480 cm
Laje em Concreto Armado
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Com isso, o vão teórico será:
Laje em Concreto Armado
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Laje em Concreto Armado
2º passo: Definir se a laje é unidirecional ou bidirecional
→ bidirecional
→ unidirecional
λ=
500
300
= 1,67 < 2
(Lambda (Λ ou λ)
Laje em Concreto Armado
3º passo: Identificar os tipos de vínculos de cada borda da laje
Laje em Concreto Armado
3º passo: Identificar os tipos de vínculos de cada borda da laje
Laje em Concreto Armado
3º passo: Identificar os tipos de vínculos de cada borda da laje
n = número de bordas engastadas
Laje em Concreto Armado
4º passo: Calcular a altura útil da laje
A altura útil, identificada na figura abaixo pela letra d, é a distância entre o
centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra mais
comprimida de concreto.
Laje em Concreto Armado
4º passo: Calcular a altura útil da laje
No nosso caso, temos:
𝑙 𝑥 = 300 𝑐 𝑚
e
0,7 × 𝑙 𝑦 = 0,7 × 500 𝑐 𝑚 = 350 𝑐 𝑚
Lembrando que o valor de 𝒍∗ deve estar em cm!
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4º passo: Calcular a altura útil da laje
No nosso caso, temos:
Dos dois valores que encontramos, vemos que 𝑙 𝑥 = 300 cm é o menor deles. 
Aplicando os valores na equação acima:
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5º passo: Calcular a altura total da laje
A altura total da laje, ou a espessura total, é calculada somando-se a altura útil
com a metade do diâmetro da armadura tracionada e com o cobrimento da laje.
Colocando em forma de equação:
𝒉 = 𝒅 + ∅ /𝟐 + 𝒄
Como não sabemos ainda o diâmetro da armadura (∅) e nem o cobrimento da laje (𝑐 ) ,
devemos supor esses dois valores. Para o diâmetro da armadura, supomos um valor
de bitola frequentemente utilizado em lajes maciças de concreto, como 5 mm ou 8
mm. E para o valor do cobrimento adotaremos o valor usado para ambiente urbano de
2,5 cm.
Laje em Concreto Armado
5º passo: Calcular a altura total da laje
Laje em Concreto Armado
5º passo: Calcular a altura total da laje
Para o nosso caso, podemos usar os maiores valores para sermos mais
conservadores. Com isso:
Laje em Concreto Armado
5º passo: Calcular a altura total da laje
A tabela a seguir fornece a estimativa das espessuras das lajes.
Tabela – Estimativa de h
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJESMACIÇAS
1º passo: Definir os valores dos vãos teóricos
Para a laje em balanço L1
Laje em Concreto Armado
Para a laje em balanço L1
λ=
600
170
= 3,52 > 2 → unidirecional
ly =600cm
lx= 170cm
2º passo: Definir se a laje é unidirecional ou bidirecional
Laje em Concreto Armado
Para lajes em balanço, o pré-dimensionamento é diferente
3º passo: Calcular a altura útil da laje
Laje em Concreto Armado
Para lajes em balanço, o pré-dimensionamento é diferente
• Coeficientes
3º passo: Calcular a altura útil da laje
Laje em Concreto Armado
Para lajes em balanço, o pré-
dimensionamento é diferente
• Coeficientes
L -> maior vão(ly) 
l -> menor vão(lx)
3º passo: Calcular a altura útil da laje
Laje em Concreto Armado
Para lajes em balanço, o pré-dimensionamento é diferente
• Coeficientes
3º passo: Calcular a altura útil da laje
Laje em Concreto Armado
Para a laje em balanço L1
3º passo: Calcular a altura útil da laje
Laje em Concreto Armado
Para a laje em balanço L1
d=
170
0,5 𝑥 25
= 13,6
A altura útil d será igual a:
3º passo: Calcular a altura útil da laje
Laje em Concreto Armado
4º passo: Calcular a altura total da laje
Para o nosso caso, podemos usar os maiores valores para sermos mais
conservadores. Com isso:
ℎ = 13,6𝑐𝑚 +
0,8𝑐𝑚
2
+ 2,5𝑐𝑚
ℎ = 16,5𝑐𝑚
Laje em Concreto Armado
4º passo: Calcular a altura total da laje
A tabela a seguir fornece a estimativa das espessuras das lajes.
Tabela – Estimativa de h
L1 170 600 3,52 13,6 16,5 (17cm)
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
Peso Próprio
O peso próprio da laje é o peso do concreto armado que forma a laje
maciça. Para o peso específico do concreto armado ( γconc) a NBR
6118 indica o valor de 25 kN/m3 .
O peso próprio para lajes com espessura constante é uniformemente
distribuído na área da laje.
Laje em Concreto Armado
Lajes Maciças
Peso Próprio
Deste modo:
𝑷 . 𝑷 = γconc 𝒙 𝑽
Onde:
P.P = Peso Próprio;
γconc = Peso específico do material, onde para o concreto armado é 
estipulado o valor de 2 . 5 0 0𝑘𝑔 /𝑚 3 (25 KN/m³);
V = Volume do sólido
Laje em Concreto Armado
Exemplo
Em uma edificação uma de suas lajes de piso tem dimensões lx = 2,20 m,
ly = 2,45 m e espessura h = 0,1 m. Qual o Peso Próprio desse elemento
estrutural?
𝑷 . 𝑷 = γconc 𝒙 𝑽
h = 10 cm
Laje em Concreto Armado
h = 10 cm
Exemplo
Em uma edificação uma de suas lajes de piso tem dimensões lx = 2,20 m,
ly = 2,45 m e espessura h = 0,1 m. Qual o Peso Próprio desse elemento
estrutural?
P.P. = γconc .V
P.P. = 25 KN/m³ . 0,539 m³
P.P. = 13,475 KN
PRÉ – DIMENSIONAMENTO DE LAJES
SIMPLIFICAÇÃO
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PRÉ – DIMENSIONAMENTO DE LAJES
SIMPLIFICAÇÃO
Um método também conhecido (e bastante grosseiro) para estimar a altura
basicamente dividir o menor vão da mesma por 30 (nervurada) ou 25 (treliçada):
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da laje é
Obrigada pela atenção!
Contato: savinalaissilva@gmail.com