Análise Matemática I-D 2006/2007

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Análise Matemática I-D
2006/2007
1 Noções Topológicas
1. Dados os conjuntos
A = {x ∈ N : 1 ≤ 3x− 2 < 16} ∪ {0}
B = {x ∈ R : 1 ≤ 3x− 2 < 16} ∪ {0}
determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado, o conjunto dos
minorantes, o conjunto dos majorantes, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo (caso
existam) e o conjunto dos pontos isolados.
2. Considere o conjunto
C =
{
x ∈ R : |1− x|
1 + x
≤ 0
}
\ {−2}.
determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado, o conjunto dos
minorantes, o conjunto dos majorantes, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo (caso
existam). Averigúe ainda se o conjunto é aberto ou fechado.
3. Considere o seguinte conjunto
D = {x ∈ Q : |x| < 2} ∪ {x ∈ R \ Q : 1 ≤ x ≤
√
10 }
Indique o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado.
4. Dado o conjunto
E = {x ∈ R : x = (−1)
n n
n + 4
∧ n ∈ N} ∪ [2, 3[
(a) Determine int(E), ext(E), fr(E), o derivado e o conjunto dos pontos isolados.
(b) Verifique que o conjunto é limitado.
5. Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado e o conjunto dos
pontos isolados.
F =
{
sen
(nπ
4
)
: n ∈ N
}
∪
[
−1
2
, 1
]
6. Seja
G = {x ∈ Q : |x + 4| < 3} ∪ {x ∈ R \ Q : x2 − 3 < 0}
Determine int(G), ext(G), fr(G), ad(G) e G′.
1
2 Indução Matemática
1. Observe que:
1 = 2− 1
1 + 2 = 4− 1
1 + 2 + 4 = 8− 1
1 + 2 + 4 + 8 = 16− 1
(a) Escreva uma expressão que generalize estes exemplos.
(b) Prove, por indução matemática, que a expressão encontrada é válida para todo o
número natural n.
2. Prove que:
(a) ∀n ∈ N, 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+1)
2
.
(b) ∀n ∈ N, 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.
(c) ∀n ∈ N, 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2.
3. Mostre que:
(a) ∀n ∈ N \ {1, 2, 3} , n2 > 3n.
(b) ∀n ∈ N ,
n∑
k=1
(k − 1)3 < n
4
4
<
n∑
k=1
k3.
2