Resumo sobre constantes elásticas em materiais compósitos

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GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE MATERIAIS 
FUNDAÇÃO CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTADUAL DA ZONA OESTE - UEZO 
 
Disciplina: Materiais Compósitos – 2/P - 2020 
Prof (a). Alex Siqueira 
Aluno: Pedro Henrique Poubel Mendonça da Silveira Data: 24/05/2021 
 
Atividade: Resumo sobre constantes elásticas em materiais compósitos 
 
INTRODUÇÃO 
Segundo a norma ASTM D3878 (2016), a definição de material compósito é de uma 
substância composta por dois ou mais materiais, insolúveis um ao outro, no qual estes materiais 
são combinados de maneira a serem úteis em aplicações de engenharia, onde essas aplicações 
não seriam obtidas da mesma maneira satisfatória se estes materiais fossem usados de maneira 
isolada. 
Os compósitos possuem propriedades específicas, e por essa razão, são utilizados em 
uma vasta gama de aplicações, como: indústria aeroespacial, indústria automotiva, 
bioengenharia, transportes, entre diversas outras. A combinação de propriedades de maneira 
engenhosa, permite que diversos tipos de materiais possam ser usados nos compósitos, tais 
como: metais, cerâmicas e polímeros, resultando propriedades superiores aos materiais originais, 
satisfazendo os requisitos para as aplicações desejadas. 
Os compósitos e principalmente os compósitos plásticos vêm ganhando espaço 
significativo nas pesquisas atuais, na busca por combinar alto desempenho e facilidade de 
fabricação, já que atendem bem a esses requisitos, somando-se ainda a vantagem de possuírem 
baixo peso, parâmetro imprescindível em aplicações estruturais. Sua durabilidade e integridade 
em vários ambientes de serviço podem ser alterados pela resposta de seus constituintes, isto é, 
fibra, matriz polimérica, e devido a existência da interface entre a matriz e a fibra (SETHI; RAY, 
2015). 
 
CARACTERÍSTICAS E CLASSIFICAÇÕES 
Os compósitos possuem diversas características que os diferenciam de outras classes de 
materiais, essas características estão relacionadas com sua composição, orientação das fibras 
de reforço e geometria do material. Os reforços são os materiais que apresentam maior 
resistência nos compósitos. Geralmente são indicados como a fase dispersa, sendo os principais 
meios para transportar a carga nos materiais compósitos, apresentando maior resistência e 
módulo e elasticidade. As fibras sintéticas são o tipo de reforço mais comum, e em maioria, são 
produzidas a partir de resinas derivadas do petróleo. Algumas das principais fibras utilizadas 
como material de reforço nos compósitos são: náilon, vidro, polipropileno, polietileno, carbono 
e a aramida. 
A matriz é o constituinte contínuo do compósito, mas nem sempre está presente em 
maior concentração. O segundo constituinte, disperso na fase matriz, é chamado como fase de 
reforço, que atua melhorando as propriedades mecânicas da matriz. 
O material da matriz é o elemento utilizado para aglutinar o reforço ao material 
compósito, preenchendo os espaços vazios que ficam entre os elementos de reforço e mantendo-
os em suas posições relativas, fazendo a matriz se ligar a este reforço, e agindo como um 
intermediário, onde as tensões são transmitidas e distribuídas ao longo deste reforço. 
Uma característica importante é que a resposta mecânica dos materiais compósitos 
depende de uma gama de fatores, como acerca da natureza de seus constituintes, ou seja, tipos 
de reforço e matriz, o percentual de seus constituintes, como também a distribuição e orientação 
das fibras (MATTHEWS; RAWLINGS, 1994). 
 
CONSTANTES DE ENGENHARIA PARA MATERIAIS COMPÓSITOS 
Os materiais compósitos são submetidos aos mais diversos tipos de esforços. Esses 
esforços, por sua vez, chegam a deformar o material de maneira elástica e plástica, chegando 
mesmo a levá-los à ruptura. A maneira como esses esforços influenciam o material vai depender 
das suas constantes elásticas. Na engenharia damos o nome a essas constantes de constantes de 
engenharia, que representam suas propriedades elásticas. 
Os ensaios mecânicos são processos responsáveis pela identificação das propriedades 
mecânicas de um material. Nestes ensaios é necessário que o estado de tensões aplicado seja 
simples, preferencialmente uniaxial, de forma que a relação tensão-deformação envolva apenas 
um parâmetro (CÂMARA, 2013). 
Para investigar as propriedades elásticas do material, existem os módulos de engenharia. 
Segundo Nielsen e Landel (1993), para materiais unidirecionais, por ser um material 
ortotrópico, temos apenas 5 módulos. Para melhor entendimento, essas constantes são 
encontradas na equação 2 a partir da equação 1, onde os valores antes de S serão substituídos 
pelos valores das constantes de engenharia. A partir da definição de matérias ortotrópicos 
(MENDONÇA, 2005), é possível chegar nas seguintes expressões das equações 3 e 4. Logo, 
para esses materiais, podemos considerar as seguintes propriedades mecânicas como 
independentes: E1, E2, v12, v23 e G12. As outras constantes acabam sendo dependentes, por isso 
é considerado que estes materiais possuem 5 constantes de engenharia. 
 
 
{
 
 
 
 
𝜀1
𝜀2
𝜀3
𝛾23
𝛾31
𝛾12}
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
𝑆11 𝑆12 𝑆13 0 0 0
𝑆12 𝑆22 𝑆23 0 0 0
𝑆13 𝑆23 𝑆33 0 0 0
0 0 0 𝑆44 0 0
0 0 0 0 𝑆55 0
0 0 0 0 0 𝑆66]
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
𝜎1
𝜎2
𝜎3
𝜏23
𝜏31
𝜏12}
 
 
 
 
 (1) 
 
 
{
 
 
 
 
𝜀1
𝜀2
𝜀3
𝛾23
𝛾31
𝛾12}
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
𝐸1
−𝑣21
𝐸2
−𝑣31
𝐸3
0 0 0
−𝑣12
𝐸1
1
𝐸2
−𝑣31
𝐸3
0 0 0
−𝑣13
𝐸1
−𝑣23
𝐸2
1
𝐸3
0 0 0
0 0 0
1
𝐺23
0 0
0 0 0 0
1
𝐺31
0
0 0 0 0 0
1
𝐺12]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
𝜎1
𝜎2
𝜎3
𝜏23
𝜏31
𝜏12}
 
 
 
 
 (2) 
 
 𝐸3 = 𝐸2 ∴ 𝑣13 = 𝑣12 ∴ 𝑣23 = 𝑣32 (3) 
 
 𝐺31 = 𝐺12 ∴ 𝐺23 = 
𝐸2
2(1+𝑣23)
 (4) 
 
ANÁLISE DE CISALHAMENTO EM COMPÓSITOS 
O módulo de cisalhamento é uma propriedade que está relacionada com a tensão de 
cisalhamento e a deformação cisalhante. Em compósitos unidirecionais, temos o módulo de 
cisalhamento longitudinal (G12) e o módulo de cisalhamento transversal (G23). 
A maneira de averiguar determinada propriedade mecânica dos materiais é através dos 
ensaios mecânicos, no caso do módulo de cisalhamento é necessário realizar experimentos que 
envolvam um estado puro e uniforme de tensões cisalhantes, sendo este mais complexo que os 
ensaios de tração e compressão. De acordo com Odegard e Kumosa (2000) existem vários tipos 
métodos de ensaio de cisalhamento, cada um com suas particularidades e limitações que são: o 
ensaio de Iosipescu, tubo torcional, slotted tensile, tração a ±45º, two-rail, cross-beam 
sandwich, picture-frame panel, Arcan, e o ensaio de cisalhamento a 10º fora do eixo (10º off-
axis shear tests). Contudo os principais métodos são o ensaio de Iosipescu e o ensaio de tração 
a 45º. 
O ensaio de Iosipescu, desenvolvido por Nicolai Iosipescu, aplicado em metais, 
posteriormente esse ensaio foi aplicado a materiais compósitos unidirecionais. Os fatores 
dominantes que são responsáveis pela não-linearidade dos materiais compósitos utilizando os 
materiais compósitos são: deslizamento do corpo prova, não linearidade geométrica, 
plasticidade da matriz, dano causado por esmagamento e dano intralaminar na seção do galgo 
depois da formação da divisão axial (ODEGARD; KUMOSA, 2000). 
O ensaio de tração à 45° foi modelado por Rosen (1972), que propôs um simples 
procedimento para avaliar o valor do módulo de cisalhamento longitudinal em compósitos 
unidirecionais. Através de valores experimentais de tração uniaxial, das deformações 
longitudinais e transversais foi possível obter o valor do módulo G12 pela seguinte expressão:𝐺12 = 
𝜎𝑥
2(𝜀𝑥−𝜀𝑦)
 (5) 
 
Onde: 
G12 = módulo de cisalhamento longitudinal da lâmina; 
σx = tração uniaxial aplicada 
εx e εy = deformação longitudinal da lâmina e transversal da lâmina. 
 
O laminado deve estar com configuração ± 45º, sendo requerido apenas o ensaio de 
tração uniaxial. A literatura explicita que esse método também pode ser utilizado para obter as 
curvas não lineares de tensão e deformação cisalhantes. Contudo, as curvas resultantes podem 
refletir uma possível relação entre os módulos cisalhantes, longitudinal e transversal, por isso 
infere-se que esse método ainda requer mais estudo. 
 
TENSÃO ÚLTIMA EM COMPÓSITOS 
A tensão última longitudinal, também chamada de resistência última do material, é uma 
propriedade mecânica que se relaciona com o módulo de elasticidade e com a deformação 
longitudinal. 
Nos materiais compósitos não se tem uma relação direta dessas propriedades, como por 
exemplo nos metais, e isso dificulta sua predição. Para estes materiais, as propriedades 
mecânicas são determinadas em função da fração volumétrica (Vf). 
A resistência longitudinal do compósito é controlada pela tensão última da fibra (σult,f). 
Um método para predizer a tensão última longitudinal foi desenvolvido por Kelly e Davies em 
1965, onde há uma equação em função da fração volumétrica de fibra (Vf), da resistência da 
fibra (σult,f) e da resistência da matriz (σm), que é exibida a seguir na equação 6. Eles também 
especificaram valores críticos de fração volumétrica requeridos para que a resistência do 
compósito seja maior que a da matriz (HARAKOVICH, 2012). 
 
 𝜎𝑢𝑙𝑡,𝑐 = 𝜎𝑢𝑙𝑡,𝑓𝑉𝑓 + 𝜎𝑚(1 − 𝑉𝑓) (6) 
 
FRAÇÃO MÁSSICA E VOLUMÉTRICA DO COMPÓSITO 
Os teores de fibra e matriz nos materiais compósitos são expressos em frações 
volumétricas e mássicas, indicadas a seguir nas equações 7 e 8: 
 
 𝑉𝑓 =
𝐴𝑓
𝐴𝑐
 ∴ 𝑉𝑚 =
𝐴𝑚
𝐴𝑚
 ∴ 𝑉𝑣 =
𝐴𝑣
𝐴𝑣
 (7) 
 
 𝑀𝑓 =
𝑚𝑓
𝑚𝑐
 ∴ 𝑀𝑚 =
𝑚𝑚
𝑚𝑐
 (8) 
 
Na equação 7 é possível observar uma razão que determina o valor da fração volumétrica 
dos componentes do compósito, sendo o termo o volume composto pelos subíndices f, m, v e c, 
que indicam os valores para fibra, matriz, vazios e do compósito, respectivamente. Da mesma 
forma, a equação 8 é uma razão que relaciona as massas (mf e mm) da fibra e matriz com a total 
(mc), do material compósito, indicando suas frações mássicas (M). 
Outra forma de se obter a fração mássica da fibra e matriz é através da densidade dos 
seus constituintes, de forma que ficamos com as equações 9 e 10: 
 
 𝑉𝑓 = (
𝜌𝑓
𝜌𝑐
) 𝑉𝑓 (9) 
 
 𝑉𝑚 = (
𝜌𝑚
𝜌𝑐
) 𝑉𝑚 (10) 
 
Os compósitos unidirecionais com fibras de seção circular exibem uma limitação com 
relação ao volume máximo teórico de reforço em fibras. Nessa análise é considerada puramente 
as configurações geométricas da fibra distribuída na matriz, levando em conta sua secção 
transversal e o tipo de fibra. 
Considerando a situação onde as fibras estão dispostas ordenadamente e em fileiras com 
uma fibra em cima da outra é possível demonstrar que o valor máximo de volume de fibra que 
pode ser obtido em um compósito é de 78,5%, por isso é considerado que o percentual 
volumétrico de fibra só pode atingir 70% em uma lâmina unidirecional. 
 
MICROMECÂNICA DE COMPÓSITOS UNIDIRECIONAIS 
No estudo da micromecânica das propriedades de um compósito unidirecional, além das 
propriedades individuais da fibra e matriz é importante se conhecer os percentuais volumétricos 
de cada fase, determinando sua influência no material. Também existem fatores, que podem 
influenciar no comportamento das propriedades mecânicas, tais como, nível de aderência entre 
a fibra e a matriz, tensões residuais, disposição geométrica das fibras, porém a análise completa 
de todos esses fatores inviabiliza o cálculo e dificulta sua aplicação (CÂMARA, 2013; 
MENDONÇA, 2005; HERAKOVICH, 1998). 
No estudo da micromecânica, um dos modelos mais simples é chamado de regra das 
misturas (MENDONÇA, 2005), ou de modelo de primeira ordem (VASILIEV; MOROZOV, 
2001). Esse modelo requer as propriedades da fibra e matriz à fração volumétrica de fibras. Na 
figura 1 o esquema desse modelo com a lâmina constituída de fibra (região escura) e de matriz 
(região clara). Assumindo que o modelo está sob carregamento no plano, com as respectivas 
tensões σ1, σ2 e τ12, é possível fazer as seguintes proposições: 
 
Figura 1. Modelo de primeira ordem de compósito unidirecional (VASILIEV e MOROZOV, 2001). 
 
A força resultante, resultante no produto σ1a, é distribuída entre as tiras de fibra e matriz, 
e a deformação longitudinal (direção 1), que é a mesma nas tiras e lâmina como um todo. Outro 
resultado observado é que sob carregamento transversal, a tensão sob as tiras é a mesma e é 
dada por σ2, enquanto a deformação na direção transversal é dada pela soma das deformações 
da fibra e matriz. 
A partir desse modelo, é possível obter algumas propriedades dos compósitos, como por 
exemplo os módulos de elasticidade longitudinal (E1) e transversal (E2), e o coeficiente de 
Poisson (v12). A seguir, é mostrada as equações 11 e 12, que determinam os módulos de 
elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson, respectivamente: 
 
 𝐸1 = 𝐸𝑓𝑉𝑓 + 𝐸𝑚𝑉𝑚 (11) 
 
 𝑣12 = 𝑣𝑓𝑉𝑓 + 𝑣𝑚𝑉𝑚 (12) 
 
Nas equações 8 e 9, Ef, Em, vf e vm são os módulos de elasticidade da fibra e matriz, e os 
coeficientes e Poisson da fibra e matriz, respectivamente. Os termos Vf e Vm representam as 
frações volumétricas da fibra e matriz, respectivamente. As equações para o E1 e v12 apresentam 
boas correspondências com os valores experimentais. As equações para o módulo de 
elasticidade transversal (E2) e para o módulo de cisalhamento longitudinal (G12) são mostradas 
abaixo nas equações 13 e 14. 
 
 
1
𝐸2
=
𝑉𝑓
𝐸𝑓
+
𝑉𝑚
𝐺𝑚
 (13) 
 
 
1
𝐺12
=
𝑉𝑓
𝐺𝑓
+
𝑉𝑚
𝐺𝑚
 (14) 
 
Os termos Gf e Gm representam os módulos de cisalhamentos para a fibra e matriz, 
respectivamente. Apesar de as equações 11 e 12 serem bem fundamentadas matematicamente, 
seu uso em projetos de engenharia é impraticável. Na prática, para o módulo de cisalhamento 
(G12), têm-se um comportamento que tende a não linearidade. 
Na realidade, nenhuma secção do compósito é constituída somente de matriz e fibra. A 
hipótese de que as tensões distribuídas na fibra e matriz são iguais é errônea. Outro fator é a 
existência de tensões internas, e da falta de aderência da fibra e matriz que são desprezadas 
nesse modelo. Isso faz com que seus valores fiquem destoantes dos valores experimentais 
(GIBSON, 1994; MENDONÇA, 2005). 
REFERÊNCIAS 
 
ASTM INTERNATIONAL. D3878 – 16: Standard Terminology for Composite Materials. 
West Conshohocken, PA, 2016. 
 
CÂMARA, E. C. B. Previsão do módulo de elasticidade transversal de compósitos 
unidirecionais atravésde redes mistas. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica), p. 78, 
2013 – Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio 
Grande do Norte, Natal, 2013. 
 
GIBSON, R. F. Principles of composite material mechanics. McGraw-Hill, [s. l], 1994 
 
MATTHEWS, F. L.; RAWLINGS, R. D. Composite materials: Engineering and Science. 
Londres: Chapman & Hall, 1994 
 
MENDONÇA, P. DE T. R. DE. Materiais compostos e estruturas-sanduíche : projeto e análise. 
Barueri: Manole, 2005. 
 
NIELSEN, L.; LANDEL, R. Mechanical properties of polymers and composites. New York: 
Marcel Dekker, 1994. 
 
ODEGARD, G.; KUMOSA, M. Determination of shear strength of unidirectional composite 
materials with the Iosipescu and 10° off-axis shear tests. Composites Science and Technology, 
v. 60, n. 16, p. 2917–2943, 2000. 
 
SETHI, S.; RAY, B. C. Environmental effects on fibre reinforced polymeric composites: 
Evolving reasons and remarks on interfacial strength and stability. Advances in Colloid and 
Interface Science, v. 217, p. 43–67, 2015. 
 
VALERY V. VASILIEV; EVGENY V MOROZOV. Mechanics and Analysis of Composite 
Materials. 1 ed. [s.l.] Elsevier Science, 2001.