TCC II - Gabriela Farias Pimenta - 28-01-2021

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
UNIDADE CURVELO 
Departamento de Engenharia Civil e Meio Ambiente 
Curso de Graduação em Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
GABRIELA FARIAS PIMENTA 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DAS LAJES DO TABULEIRO DE UMA PONTE 
RODOVIÁRIA EM CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
CURVELO – MG 
2021 
 
ii 
GABRIELA FARIAS PIMENTA 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DAS LAJES DO TABULEIRO DE UMA PONTE 
RODOVIÁRIA EM CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao 
Curso de Engenharia Civil do Centro Federal de 
Educação Tecnológica de Minas Gerais, Unidade 
Curvelo, como requisito para a aprovação na 
disciplina TCC II. 
 
Orientadora: Profa. Msc. Glaucimar Lima Dutra 
Fernandes 
Coorientador: Prof. Msc. Thiago Pena Bortone 
Supervisora: Profa. Msc. Carolina Vieira de 
Andrade 
 
 
CURVELO – MG 
2021 
iii 
GABRIELA FARIAS PIMENTA 
 
DIMENSIONAMENTO DAS LAJES DO TABULEIRO DE UMA PONTE 
RODOVIÁRIA EM CONCRETO ARMADO 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao 
Curso de Graduação em Engenharia Civil do 
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas 
Gerais, Unidade Curvelo, como requisito parcial 
para obtenção do título de Bacharel em Engenharia 
Civil. 
 
Área de concentração: Estruturas e Geotecnia 
 
Banca Examinadora: 
 
______________________________________________ 
Profa. Msc. Glaucimar Lima Dutra Fernandes (orientadora) 
 
_____________________________________________ 
Prof. Msc. Thiago Pena Bortone (coorientador) 
 
_______________________________________________ 
Profa. Msc. Carolina Vieira de Andrade (supervisora) 
 
_______________________________________________ 
Prof. Msc. Antônio Ribeiro de Oliveira Neto (CEFET-MG) 
 
_______________________________________________ 
Profa. Msc. Bárbara Héllen Rodrigues (CEFET-MG) 
 
Curvelo, 14 de janeiro de 2021 
 
iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho à minha família por estar 
sempre ao meu lado. 
 
v 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradeço primeiramente à Deus por estar ao meu lado, me abençoando e guiando meus 
pensamentos e ideias. Aos meus professores pela oportunidade e pela orientação, mesmo em 
tempos difíceis como os que vivemos fizeram o que estava ao alcance deles. A professora 
Glaucimar por acolher na orientação deste trabalho, sendo sempre solicita e gentil. A professora 
e amiga Carolina Vieira por me aconselhar, estar sempre presente e ter sempre uma solução 
para os problemas nos momentos mais difíceis. Aos meus pais que me deram apoio sentimental 
e afetivo, mesmo em meio as adversidades que vivemos. E por fim a comunidade, servidores e 
amigos do CEFET-MG, sempre solícitos, me proporcionando as condições adequadas para a 
elaboração deste relatório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
RESUMO 
 
Este estudo teve como objetivo geral dimensionar as lajes do tabuleiro de uma Obra de Arte 
Especial rodoviária em concreto armado com duas longarinas. A fim de atingir ao objetivo 
proposto, foi definido como objeto de estudo uma ponte rodoviária, em viga de alma cheia, de 
concreto armado, com tabuleiro superior, isostática, moldada in loco. O comprimento total 
adotado é de 36 metros, e largura total da OAE é de 8,60 metros. Por meio dos parâmetros 
geométricos do projeto e conforme as prescrições das normas NBR 6120 (ABNT, 2019), NBR 
7187 (ABNT, 2003) e NBR 7188 (ABNT, 2013), foram definidos os carregamentos e os 
esforços solicitantes na estrutura. A análise estrutural das lajes no ELU e ELS foi feita com o 
auxílio do software T. Rusch, e o dimensionamento foi realizado de acordo com as prescrições 
normativas da NBR 6118. Concluiu-se assim, que o dimensionamento de estruturas de pontes 
é complexo e dispendioso, e devem assim seguir à risca as normativas vigentes, levando em 
consideração todas as prescrições propostas. Quanto a verificação do Estado Limite Último de 
ruptura à fadiga foi de suma importância neste trabalho, aumentando substancialmente a área 
de aço em aproximadamente 91% (valor médio), com um desvio padrão baixo, cerca de 14% e 
o coeficiente de variação de Pearson também baixo de 7%, o que garante a representatividade 
da amostra estudada. 
 
Palavras-chave: Obras de arte especiais. Concreto armado. Estruturas. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
ABSTRACT 
 
This study had as general objective to dimension the slabs of the board of a Special Road Art 
Work in reinforced concrete with two stringers. In order to achieve the proposed objective, a 
road bridge, with a reinforced concrete beam, with an isostatic upper deck, molded in loco, was 
defined as the object of study. The total length adopted is 36 meters, and the total width of the 
OAE is 8.60 meters. Through the geometric parameters of the project and in accordance with 
the requirements of the standards NBR 6120 (ABNT, 2019), NBR 7187 (ABNT, 2003) and 
NBR 7188 (ABNT, 2013), the loads and efforts required in the structure were defined. The 
structural analysis of the slabs in the ELU and ELS was done with the aid of the T. Rusch 
software, and the design was carried out in accordance with the normative requirements of NBR 
6118. It was concluded, therefore, that the design of bridge structures is complex and expensive, 
and must therefore strictly follow the current regulations, taking into account all the proposed 
prescriptions. Regarding the verification of the Ultimate Limit State of fatigue failure was of 
paramount importance in this work, substantially increasing the steel area by approximately 
91% (average value), with a low standard deviation, around 14% and Pearson's coefficient of 
variation also low of 7%, which guarantees the representativeness of the studied sample. 
 
Keywords: Special works of art. Reinforced concrete. Structures. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Desenho estrutural de uma ponte ou viaduto ........................................................... 15 
Figura 2 - Primeira ponte de grande porte construída no Brasil ............................................... 18 
Figura 3 - Ponte Rio Niterói ..................................................................................................... 18 
Figura 4 - Subsistemas de uma Obra de Arte Especial............................................................. 23 
Figura 5 - Componentes de uma ponte em viga ....................................................................... 23 
Figura 6 – Classes de agressividade ambiental ........................................................................ 26 
Figura 7 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto .......... 26 
Figura 8 – Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal
 .................................................................................................................................................. 27 
Figura 9 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à protensão da armadura, em 
função das classes de agressividade ambiental......................................................................... 28 
Figura 10 - Disposição das cargas estáticas .............................................................................. 30 
Figura 11 - Convenção de apoios de lajes Tabelas de Rusch ................................................... 33 
Figura 12 – Distribuição das cargas de tráfego ........................................................................ 34 
Figura 13 – Lajes com cargas aplicadas em zonas retangulares ............................................... 34 
Figura 14 – Linha de influência de momento fletor em uma viga ........................................... 36 
Figura 15 – Superfície de influência de Mxm (a) perspectiva(b) vista ..................................... 37 
Figura 16 – Superfície de influência no momento engastado Mxe (a) perspectiva (b) vista..... 37 
Figura 17 - Plano da superfície de influência de uma placa circular ........................................ 38 
Figura 18 - Tipos de carregamentos numa superfície de influência da laje ............................. 39 
Figura 19 - Seção transversal básica......................................................................................... 45 
Figura 20 -Vista longitudinal .................................................................................................... 45 
Figura 21- Tela principal TRüsch ............................................................................................. 46 
Figura 22 - Pressão na roda do trem-tipo ................................................................................. 47 
Figura 23 - Localização das lajes ............................................................................................. 48 
Figura 24 - Valores de entrada no programa ............................................................................ 49 
Figura 25 - Valores de entrada no programa ............................................................................ 49 
Figura 26 - Carregamento e momento na extremidade da laje ................................................. 53 
Figura 27 - Momentos Fletores Analíticos de Carga Móvel nas Lajes (kN.m/m) ................... 55 
Figura 28 - Momentos Fletores de Carga Permanente nas Lajes (kN.m/m) ............................ 55 
Figura 29 - Momentos Fletores de Carga Móvel nas Lajes (kN.m/m) ..................................... 56 
Figura 30 - Momentos Fletores de Carga Permanente nas Lajes (kN.m/m) ............................ 56 
ix 
Figura 31 - Área crítica da seção submetida a fissuração ......................................................... 65 
Figura 32 – Comparação de área de aço efetiva sem fadiga e com fadiga (cm²) .................... 68 
 
 
x 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 - Classificação de Pontes ........................................................................................... 19 
Tabela 2 - Definições dos Estados Limites .............................................................................. 24 
Tabela 3 - Peso específico dos elementos e carga distribuída .................................................. 29 
Tabela 4 - Coeficientes de Ponderação..................................................................................... 31 
Tabela 5 - Combinações últimas .............................................................................................. 40 
Tabela 6 - Combinações de serviço .......................................................................................... 41 
Tabela 7 – Coeficiente de Minoração das cargas móveis ......................................................... 42 
Tabela 8 – Pré-dimensionamento da superestrutura ................................................................. 44 
Tabela 9 - Resultados e diagramas de momentos da laje 2 ...................................................... 50 
Tabela 10 - Resultados e diagramas de momentos da laje 1 e 3 .............................................. 52 
Tabela 11 - Cálculo de As (cm²) ............................................................................................... 59 
Tabela 12 - Composição da área de aço da laje no ELU .......................................................... 60 
Tabela 13 – Momentos de inércia e combinação de serviço frequente .................................... 62 
Tabela 14 - Cálculo das tensões submetidas a fadiga ............................................................... 63 
Tabela 15 – Composição da área de aço da laje submetida a fadiga ........................................ 63 
Tabela 16 – Tensão no aço tracionado ..................................................................................... 65 
Tabela 17 - Verificação da laje à fissuração ............................................................................. 66 
Tabela 18 – Comparação de área de aço efetiva sem fadiga e com fadiga .............................. 67 
 
 
xi 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
 
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas 
DNIT Departamento Nacional de Infraestruturas de Transportes 
OAE Obra de Arte Especial 
ELU Estado Limite Último 
ELS Estado Limite de Serviço 
ELS-F Estado limite de formação de fissuras 
ELS-W Estado limite de abertura das fissuras 
ELS-DEF Estado limite de deformações excessivas 
ELS-D Estado limite de descompressão 
ELS-DP Estado limite de descompressão parcial 
ELS-CE Estado limite de compressão excessiva 
ELS-VE Estado limite de vibrações excessivas 
CA Concreto armado 
CP Concreto protendido 
CAA Classes de agressividade ambiental 
TB Trem tipo rodoviário brasileiro 
CIV Coeficiente de impacto vertical 
CNF Coeficiente do número de faixas 
CIA Coeficiente de impacto vertical 
SICRO Sistema de Custos Referenciais de Obras 
 
xii 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 14 
2 OBJETIVOS .................................................................................................................... 16 
2.1 OBJETIVO GERAL ................................................................................................ 16 
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................... 16 
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................... 17 
3.1 HISTÓRICO ............................................................................................................ 17 
3.2 CLASSIFICAÇÃO DE PONTES ............................................................................ 19 
3.3 SUBSISTEMAS DE OBRA DE ARTE ESPECIAL ............................................... 23 
3.4 MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES .................................................................... 24 
3.5 EXIGÊNCIAS DE DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ... 25 
3.6 AÇÕES EM OBRAS DE ARTE ESPECIAIS ......................................................... 28 
3.6.1 AÇÕES PERMANENTES ........................................................................... 28 
3.6.2 AÇÕES VARIÁVEIS .................................................................................. 30 
3.6.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS ........................................................................... 32 
3.7 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS LAJES DE OAEs ........ 32 
3.8 CÁLCULO DAS PONTES EM LAJE .................................................................... 33 
3.8.1 PROCEDIMENTO DAS SUPERFÍCIES DE INFLUÊNCIA..................... 34 
3.8.2 LINHAS DE INFLUÊNCIA ........................................................................ 35 
3.8.3 SUPERFÍCIES DE INFLUÊNCIA .............................................................. 36 
3.9 COMBINAÇÕES DE AÇÕES ................................................................................ 39 
3.10 VERIFICAÇÃO DA FADIGA DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS ............ 42 
4 MATERIAIS E MÉTODOS ........................................................................................... 43 
4.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA..................................................................... 43 
4.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL ............................... 44 
5 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES DO TABULEIRO ........................................... 46 
5.1 DIMENSIONAMENTO DA LAJE AO ELU ......................................................... 46 
5.2 VERIFICAÇÃO DAS ARMADURAS DAS LAJES QUANTO AO ELU DE 
RUPTURA POR FADIGA ....................................................................................................... 60 
5.2.1 VERIFICAÇÃO DO CONCRETO DASLAJES QUANTO AO ELU DE 
RUPTURA POR FADIGA................................................................................................ 60 
5.3 VERIFICAÇÃO DA LAJE À FISSURAÇÃO ........................................................ 64 
6 ANÁLISE À FADIGA ..................................................................................................... 67 
xiii 
7 CONCLUSÃO.................................................................................................................. 70 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 71 
APÊNDICE A ......................................................................................................................... 74 
 
 
14 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Desde os primórdios são utilizadas Obras de Arte Especiais (OAEs) que, de acordo com 
Marchetti (2018), são sistemas estruturais utilizados como forma de vencer obstáculos, sejam 
eles naturais (cursos d’água ou vales) ou não naturais (pistas de rolamento, estradas ou vias de 
trânsito). Essas OAEs não só ligam um lugar ao outro, mas também oferecem possibilidades 
para a humanidade explorar diferentes aspectos culturais e tecnológicos. Independentemente do 
motivo de sua construção, essas estruturas são certamente uma ótima maneira de transpor 
obstáculos físicos. 
As OAEs se dividem basicamente em pontes, viadutos e túneis, e são estruturas que por 
suas características peculiares e proporções, requerem um projeto específico. As pontes são 
estruturas com o objetivo de permitir a transposição de obstáculos líquidos. Os viadutos buscam 
permitir que a via vença vales, estradas, grotas, contorne encostas e até para suprir a necessidade 
de aterros. Os túneis são galerias subterrâneas para passagem de estradas ou outros meios de 
transporte como canais e dutos (DNIT, 1997). 
As OAEs podem ser de estrutura metálica, madeira, concreto armado ou protendido. No 
Brasil, as pontes rodoviárias convencionais são usualmente em concreto armado. Segundo 
Diniz (2009), o concreto é o segundo material mais consumido do mundo, ficando atrás somente 
da água, sendo na maioria das vezes a solução mais economicamente viável. O concreto resiste 
muito bem aos esforços de compressão, porém não apresenta boa resistência a tração, para 
suprir essa carência barras de aço são adicionadas ao concreto, devido à alta resistência a tração 
do aço, formando o concreto armado, que é o material construtivo mais utilizado no mundo 
(PORTO; FERNANDES, 2015). 
Tendo em vista os argumentos apresentados, optou-se por utilizar-se do concreto 
armado como material da superestrutura da OAE aproveitando, assim, as melhores 
características dos dois materiais (aço e concreto), uma vez que o concreto apresenta boa 
resistência à compressão, ficando a cargo do aço, a absorção das tensões de tração. 
O intuito deste trabalho é analisar e dimensionar as lajes do tabuleiro de uma OAE 
rodoviária em concreto armado do tipo ponte em viga, inspirado no projeto proposto por 
Marchetti (2018). O sistema de ponte em viga, como pode ser visto na Figura 1, caracteriza-se 
pela utilização de vigas longitudinais, intituladas de longarinas, destinadas a suportar o 
15 
tabuleiro, e as transversais, que são introduzidas no sistema estrutural para dar rigidez a Obra 
de Arte Especial (LOBATO, 2019). 
 
Figura 1 - Desenho estrutural de uma ponte ou viaduto 
 
Fonte: Jovem (2017) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
2 OBJETIVOS 
 
2.1 OBJETIVO GERAL 
 
O objetivo principal do trabalho é dimensionar as lajes do tabuleiro de uma Obra de 
Arte Especial rodoviária em concreto armado com duas longarinas. 
 
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
Neste contexto, os objetivos específicos a serem alcançados com o presente trabalho 
são: 
• Apropriar-se da base teórica envolvida para o projeto de uma obra de arte especial; 
• Dimensionar as lajes com as cargas atuantes de acordo com a norma técnica vigente; 
• Analisar o efeito da fadiga sobre o dimensionamento das lajes do tabuleiro de uma 
ponte rodoviária de concreto armado. 
 
 
 
17 
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
3.1 HISTÓRICO 
 
Desde a era pré-histórica, o homem utilizava simples passarelas de madeira para vencer 
obstáculos, já na antiguidade foram construídas as primeiras pontes de madeiras para essa 
finalidade. Os etruscos1 inventaram os arcos de alvenaria de pedra que foram amplamente 
utilizados pelos romanos para construção de pontes e aquedutos. Na revolução industrial, 
surgiram as pontes metálicas, na época em que os produtos siderúrgicos apareceram no mercado 
competitivo. As pontes de concreto armado surgiram no início do século XX. A princípio, o 
concreto foi utilizado como substituição à alvenaria de pedra na construção de arcos 
triarticulados. Já o concreto armado foi utilizado inicialmente para a construção de lajes e 
longarinas do tabuleiro. Por fim surgiu o concreto protendido após a Segunda Guerra Mundial, 
associando concretos de alta performance e aços com grande resistência, sendo capaz de vencer 
grandes vãos a preços cada vez mais competitivos. (PFEIL, 1987) 
No Brasil, a primeira ponte de grande porte construída foi sobre o rio de Caparibe, em 
Recife, inaugurada em 28 de fevereiro de 1643, sob administração do príncipe holandês 
Mauricio de Nassau. A ponte foi construída de madeira com elevação adequada a permitir a 
passagem de embarcações. Esta passou por várias reformas e em 1985 foi substituída por uma 
de ferro, porém teve pouca durabilidade devido a maresia, e em 1917, foi reconstruída em 
concreto armado e reinaugurada com o nome de Ponte Mauricio Nassau e se encontra 
conservada até os dias atuais (MACHADO, 2007). A Figura 2 mostra um dos poucos registros 
encontrados da primeira ponte no Brasil. 
As estruturas de pontes no Brasil evoluíram, assim como no mundo, , e as pontes em 
madeira estão cada vez mais em desuso sendo substituídas em razão de sua baixa durabilidade 
e susceptibilidade aos agentes externos, o que diminui sua vida útil consideravelmente, quando 
comparadas com pontes de concreto armado, concreto protendido ou aço. 
 
 
1 Etruscos: Povo que ocupou o norte da Itália no período de 1.200 a 700 a.C., na região entre os rios Arno e 
Tibre, atual Toscana. (Albuquerque) 
18 
Figura 2 - Primeira ponte de grande porte construída no Brasil 
 
Fonte: Oliveira (2019) 
 
Um grande marco para a engenharia brasileira foi a construção da Ponte Rio-Niterói, 
inaugurada em 4 de março de 1974, ligando a capital do estado do Rio de Janeiro a Niterói, se 
tornando a maior ponte do hemisfério sul com o maior vão de viga contínua do mundo. A OAE 
apresenta nove quilômetros de extensão e foi erguida sobre o mar, como mostrado na Figura 3, 
sendo necessário para instalação de sua infraestrutura a perfuração de subsolo oceânico, o que 
foi um desafio para os envolvidos em sua construção (FINEP, 2019). 
 
Figura 3 - Ponte Rio Niterói 
 
Fonte: Wilson (2018) 
 
19 
3.2 CLASSIFICAÇÃO DE PONTES 
 
As OAEs podem ser classificadas de acordos com variadas características, ter 
conhecimento destas é fundamental para iniciar um estudo sobre o tema, assim está exposto na 
Tabela 1, algumas dessas classificações. A Tabela 1 apresenta as pontes segundo a extensão do 
vão, a durabilidade, a natureza do tráfego, o sistema estrutural da superestrutura, o material da 
superestrutura, a posição do tabuleiro, o tipo estático da estrutura e o tipo construtivo da 
superestrutura. 
Tabela 1 - Classificação de Pontes 
Característica Tipos 
Segundo a extensão do vão 
Vão de 2 a 10 metros – Pontilhões 
Vão maior que 10 metros – Pontes 
Segundo a durabilidade 
Permanentes – construídas em caráter definitivo 
Provisórias – duração limitada. 
Segundo a natureza do 
tráfego 
Pontes rodoviárias 
Pontes ferroviárias 
Pontes para pedestres (passarelas) 
Pontes canal 
Pontes aquedutoPontes aeroviárias 
Pontes mistas 
Segundo o sistema estrutural 
da superestrutura 
Ponte em laje 
 
Fonte: Marchetti (2018, adaptado) 
 
20 
Tabela 1 - Classificação de Pontes (continuação) 
Característica Tipos 
Segundo o sistema estrutural 
da superestrutura 
Ponte em viga de alma cheia 
 
Ponte em viga reta de treliça 
 
Ponte em quadro rígido 
 
Ponte em abóbada 
 
Ponte em arco superior 
 
Fonte: Adaptado de Marchetti (2018) 
 
21 
Tabela 1 - Classificação de Pontes (continuação) 
Característica Tipos 
Segundo o sistema estrutural 
da superestrutura 
Ponte Pensil 
 
Segundo o material da 
superestrutura 
Pontes de madeira 
Pontes de alvenaria (pedras, tijolos) 
Pontes de concreto armado 
Pontes de concreto protendido 
Pontes de aço 
Segundo a posição do 
tabuleiro 
Tabuleiro superior 
 
Tabuleiro Intermediário 
 
Tabuleiro inferior 
 
Fonte: Marchetti (2018, adaptado) 
22 
Tabela 1 - Classificação de Pontes (continuação) 
Característica Tipos 
Segundo a posição do 
tabuleiro 
Tabuleiro inferior 
 
Segundo o tipo estático da 
estrutura 
Isostáticas 
Hiperestáticas 
Segundo o tipo construtivo 
da superestrutura 
“In loco” - A superestrutura é executada no próprio local da 
ponte, sobre escoramento apropriado, apoiando-se 
diretamente nos pilares. 
“Pré-moldada” – Os elementos da superestrutura são 
executados fora do local definitivo, e a seguir, transportados 
e colocados. 
“Em balanços sucessivos” – A ponte tem sua superestrutura 
executada progressivamente a partir dos pilares já 
construídos. Cada parte nova da superestrutura apoiando 
em balanço na parte já executada. A grande vantagem deste 
processo é a eliminação quase total dos escoramentos 
intermediários. 
“Em aduelas ou segmentos” – Este processo construtivo é 
semelhante ao dos balanços sucessivos, permitindo eliminar 
o cimbramento, sendo também utilizado em concreto 
protendido. Difere, porém, do processo anterior, em que as 
partes sucessivamente colocadas em balanço e apoiadas no 
trecho já construído são pré-moldadas. 
Fonte: Marchetti (2018, adaptado) 
 
A partir das classificações especificadas na Tabela 1, definiu-se que o trabalho trataria 
de uma ponte rodoviária, em viga de alma cheia, de concreto armado, com tabuleiro superior, 
isostática, moldada in loco. 
 
23 
3.3 SUBSISTEMAS DE OBRA DE ARTE ESPECIAL 
 
No geral, as OAEs são divididas em três (3) subsistemas: a infraestrutura, a 
mesoestrutura e a superestrutura, conforme mostrado na Figura 4. 
 
Figura 4 - Subsistemas de uma Obra de Arte Especial 
 
Fonte: Adaptado de Amorim; Barboza; Barbirato (2010, adaptado) 
 
A superestrutura da ponte tem a função de vencer o vão entre os pontos a serem ligados 
além de receber as cargas dos veículos, esta é composta pela laje, chamada de tabuleiro, e pelas 
vigas longitudinais ao eixo da rodovia (longarinas) e transversais (transversinas), conforme 
ilustrado na Figura 5. Sobre a laje encontra-se o guarda corpo, elemento de segurança que 
auxiliam os carros a manterem-se na via. Também são encontrados na superestrutura os 
consoles, alas e cortinas. As cargas chegam à mesoestrutura, que é composta pelos pilares e 
aparelhos de apoio, geralmente pilares parede, e suas respectivas vigas de contraventamento. A 
infraestrutura é composta pela fundação, geralmente profundas devido as elevadas cargas 
atuantes, que tem a função de receber as cargas dos pilares e as transferir ao terreno de suporte. 
 
Figura 5 - Componentes de uma ponte em viga 
 
Fonte: Cavalcanti (2016) 
 
24 
3.4 MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES 
 
Atualmente, o método utilizado para o cálculo de estruturas de concreto armado é o 
Método dos Estados Limites. Tal método é composto de dois tipos de verificação: Estado 
Limite Último (ELU) e Estado Limite de Serviço (ELS). Segundo a NBR 7187 (ABNT, 2003), 
o ELU caracteriza o colapso ou qualquer forma de ruína que paralise o uso da estrutura. Já o 
ELS refere-se à durabilidade e apropriada utilização funcional da estrutura, assim como sua 
aparência e bem-estar dos usuários. 
A NBR 6118 (ABNT, 2014) define uma série de estados limites que são passiveis de 
verificação em uma estrutura de concreto armado, estes estão listados na Tabela 2. 
 
Tabela 2 - Definições dos Estados Limites 
Estado Limite Característica 
Estado limite último (ELU) 
Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra 
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do 
uso da estrutura. 
Estado limite de formação de 
fissuras (ELS-F) 
Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se 
que este estado limite é atingido quando a tensão de tração 
máxima na seção transversal for igual a 𝑓𝑐𝑡,𝑓. 
Estado limite de abertura das 
fissuras (ELS-W) 
Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas 
iguais aos máximos especificados na Figura 9. 
 
Estado limite de deformações 
excessivas (ELS-DEF) 
Estado em que as deformações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal dados em Figura 9. 
 
Estado limite de 
descompressão (ELS-D): 
Estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal 
a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da 
seção. Verificação usual no caso do concreto protendido. 
Fonte: NBR 6118 (2014, adaptado) 
 
 
 
25 
Tabela 2 - Definições dos Estados Limites (continuação) 
Estado limite de 
descompressão parcial (ELS-
DP) 
Estado no qual garante-se a compressão na seção 
transversal, na região onde existem armaduras ativas. Essa 
região deve se estender até uma distância da face mais 
próxima da cordoalha ou da bainha de protensão. 
Estado limite de compressão 
excessiva (ELS-CE) 
Estado em que as tensões de compressão atingem o limite 
convencional estabelecido. Usual no caso do concreto 
protendido na ocasião da aplicação da protensão. 
Estado limite de vibrações 
excessivas (ELS-VE) 
Estado em que as vibrações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção. 
Fonte: NBR 6118 (2014, adaptado) 
 
3.5 EXIGÊNCIAS DE DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), a durabilidade das estruturas depende em grande 
parte das características do concreto, da qualidade e espessura do concreto do cobrimento da 
armadura. É necessário analisar ainda o ambiente que será localizado a estrutura para escolher 
o tipo de concreto adequado, assim como o cobrimento da sua armadura. 
A perda de qualidade e durabilidade das estruturas está relacionada, principalmente, pela 
agressividade do meio ambiente. Portanto, a NBR 6118 (ABNT, 2014), define as classes de 
agressividade ambiental (CAA) como o nível representativo das ações físicas e químicas que 
atuam sobre a estrutura de concreto, independentemente das ações mecânicas, sendo 
classificadas de I a IV, da menos agressiva para a mais agressiva, conforme Figura 6. 
 
26 
Figura 6 – Classes de agressividade ambiental 
 
Fonte: NBR 6118 (2014) 
 
A Figura 7 apresenta dados de exigências de durabilidade relacionadas à fissuração do 
concreto na região da armadura tracionada, o fator água/cimento e a classe de concreto em 
função das classes de agressividade ambiental. A classificação é feita através da designação da 
letra C (concreto) seguida de um número que representa a resistência à compressão 
característica do concreto (fck) dada em mega Pascal. Esses grupos de concreto são estabelecidos 
pela NBR 8935 (ABNT, 2015). 
 
Figura 7 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto 
 
Fonte: NBR 6118 (2014) 
 
27 
De acordo com a classe ambiental em que se encontra a estrutura, é definido o 
cobrimento nominal da armadura, a depender também do tipo de elemento estrutural a ser 
tratado, que pode ser viga, pilar, laje ou um elemento estrutural em contato com o solo. Os 
valores de cobrimento mínimos estão dispostos na Figura 8. 
 
Figura 8 – Correspondênciaentre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal 
 
Fonte: NBR 6118 (2014) 
 
Os valores máximos de abertura de fissuras permitidas para as estruturas são definidos 
de acordo com a classe ambiental e com a qualidade concreto a ser utilizado, conforme Figura 
9. 
28 
Figura 9 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à protensão da 
armadura, em função das classes de agressividade ambiental 
Fonte: Adaptado de NBR 6118, 2014. 
 
3.6 AÇÕES EM OBRAS DE ARTE ESPECIAIS 
 
As ações consideradas, de acordo com a NBR 8681 (ABNT, 2003), são classificadas 
em ações permanentes, variáveis e excepcionais. As ações permanentes são praticamente 
constantes durante toda a vida útil da estrutura, tais como o peso próprio, empuxo do solo, 
pavimentação, entre outras. Já as cargas variáveis apresentam variações significativas durante 
a vida útil da construção, como por exemplo as cargas móveis e o vento. Já as cargas 
excepcionais têm duração extremamente curta e probabilidade baixa de ocorrência durante toda 
vida útil da estrutura, tais como explosões ou catástrofes ambientais. 
 
3.6.1 AÇÕES PERMANENTES 
 
As cargas permanentes de uma OAE estão descritas na NBR 7187 (ABNT, 2003a) e, 
estão compreendidas entre elas as cargas provenientes do peso próprio da estrutura, da 
pavimentação e recapeamento, empuxo de terra e água, retração e fluência do concreto. 
29 
Para a determinação das cargas devido ao peso próprio da estrutura, deve ser 
considerado um peso específico de 25 kN/m³ para o concreto armado e 24 kN/m³ para o 
concreto simples. Para pavimentação deve ser considerado um peso específico de 24 kN/m³ 
prevendo uma carga adicional de 2 kN/m² para um provável recapeamento (ABNT, 2003a). As 
cargas advindas do lastro ferroviário, trilhos e dormentes não são consideradas nesse caso por 
tratar-se de uma OAE rodoviária. 
O empuxo de terra deve ser definido de acordo com a teoria clássica da mecânica dos 
solos, levando em conta as características do terreno, sua natureza (ativo, passivo ou em 
repouso), a inclinação dos taludes e outros parâmetros. A fim de simplificação, considera-se 
que o solo não é coeso e que não exista atrito entre o solo e a estrutura, tomando como fato que 
as solicitações são determinadas a favor da segurança. O peso específico do solo úmido deve 
ser de no mínimo 18 kN/m³ e o ângulo de atrito interno de no máximo 30º. Nas situações mais 
desfavoráveis devem ser considerados empuxo d’agua e a subpressão, dando atenção especial 
a análise dos níveis máximos e mínimos dos cursos d’água e lençóis freáticos (NBR 7187, 
2003a). Os pesos específicos ou cargas distribuídas das ações permanentes considerados, estão 
contidos na Tabela 3. 
 
Tabela 3 - Peso específico dos elementos e carga distribuída 
Material Peso específico Carga distribuída 
Concreto armado 25 kN/m³ - 
Concreto simples 24 kN/m³ - 
Pavimentação 24 kN/m³ - 
Recapeamento - 2 kN/m² 
Solo úmido 18 kN/m³ - 
Fonte: NBR 7187 (2003a) 
 
A NBR 7187 (ABNT, 2003a) também estabelece que deve ser analisado os 
deslocamentos das fundações caso a natureza do terreno e a fundação proporcione efeitos 
consideráveis na estrutura. Já a fluência, retração e protensão também devem ser considerados 
de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014). 
 
30 
3.6.2 AÇÕES VARIÁVEIS 
 
As ações variáveis em uma estrutura de OAE estão prescritas na NBR 7188 (ABNT, 
2013). Para pontes, galerias e viadutos é determinada a carga móvel rodoviária padrão TB-450 
(trem tipo rodoviário brasileiro) que, é constituída de um veículo de 450 kN, com seis rodas, P 
= 75 kN, e três eixos de carga distanciados 1,5 m entre si, ocupando uma área de 18,0 m², 
envolvida por uma carga uniformemente distribuída de p = 5 KN/m², como representado na 
Figura 10. A carga móvel deve ser aplicada na condição mais desfavorável, além de ser 
distribuída de maneira espacial sobre a superfície de contato em um ângulo de 45º. 
 
Figura 10 - Disposição das cargas estáticas 
 
Fonte: NBR 7188 (2013) 
 
As cargas móveis representadas na Figura 10, devem ser ponderadas por três 
coeficientes: o coeficiente de impacto vertical (CIV), que amplia a ação da carga estática, 
simulando o efeito dinâmico da carga em movimento e a suspensão dos veículos automotores; 
o coeficiente do número de faixas (CNF), que consiste na probabilidade da carga móvel ocorrer 
em função do número de faixas da rodovia; e coeficiente de impacto adicional (CIA) destinado 
à majoração da carga móvel devido a imperfeição ou descontinuidade da pista de rolamento, a 
31 
formulação para o cálculo desses coeficientes estão descritos a seguir na Tabela 4 (ABNT, 
2013). 
 
Tabela 4 - Coeficientes de Ponderação 
Coeficiente Cálculo 
Coeficiente de 
impacto vertical 
(CIV) 
𝐶𝐼𝑉 = 1,35 para estruturas com vão de até 10 m. 
𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 ∗ (
20
𝐿𝑖𝑣+50
), para estruturas com vão entre 10 m e 
200m 
𝐿𝑖𝑣 representa o vão em metros conforme o tipo da estrutura; 
Coeficiente do 
número de faixas 
(CNF) 
𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,06 ∗ (n − 2) > 0,9 
n é o número inteiro de faixas de tráfego rodoviário a carregarem um 
tabuleiro; 
Coeficiente de 
impacto adicional 
(CIA) 
CIA = 1,25 (obras de concreto armado ou mistas) 
CIA= 1,15 (obras de aço) 
Fonte: NBR 7188 (2013) 
 
Assim são definidas as cargas concentradas 𝑄, em quilonewtons, e carga distribuída q, 
em quilonewtons por metro quadrado, que segundo a NBR 7188 (ABNT, 2013), conforme 
Equação 1 e 2. 
 𝑄 = 𝑃 ∗ 𝐶𝐼𝑉 ∗ 𝐶𝑁𝐹 ∗ 𝐶𝐼𝐴 (Equação 1) 
 
 𝑞 = 𝑝 ∗ 𝐶𝐼𝑉 ∗ 𝐶𝑁𝐹 ∗ 𝐶𝐼𝐴 (Equação 2) 
Onde: 
𝑃 é o valor estático de uma roda do veículo; 
𝑄 é o valor estático de uma roda do veículo, acrescido pelos coeficientes de ponderação; 
𝑞 é o valor estático da carga distribuída, acrescida pelos coeficientes de ponderação; 
𝐶𝐼𝑉 é o coeficiente de impacto vertical; 
𝐶𝑁𝐹 é o coeficiente do número de faixas; 
𝐶𝐼𝐴 é o coeficiente de impacto vertical; 
32 
TB define o trem tipo rodoviário brasileiro. 
Nos passeios destinados a pedestres, deve-se admitir uma carga distribuída de 3kN/m² 
na posição mais desfavorável em relação a carga móvel rodoviária, sem a consideração do 
impacto dinâmico. 
Também é importante considerar as forças horizontais advindas da aceleração ou 
frenagem aplicadas no pavimento (Hf), que são um percentual da carga dos veículos sobre o 
tabuleiro, na localização mais prejudicial a estrutura, que é calculada conforme Equação 3 
(ABNT, 2013). 
 
 𝐻𝑓 = 0,25 ∗ 𝐵 ∗ 𝐿 ∗ 𝐶𝑁𝐹 (Equação 3) 
Onde: 
𝐻𝑓 ≥ 135𝑘𝑁; 
B é a largura efetiva, em metros, da carga distribuída de 5kN/m²; 
L é o comprimento concomitante, em metros, da carga distribuída; 
A carga de vento exercida nas estruturas deve ser calculada conforme a NBR 6123 
(ABNT, 1988). 
 
3.6.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
 
As ações excepcionais ocorrem em circunstâncias anormais, como choques de objetos 
móveis, explosões ou ainda fenômenos naturais pouco frequentes como ventos, enchentes 
catastróficas, sismos entre outros. 
De acordo com a NBR 7188 (ABNT, 2013), devem ser verificados a segurança quanto 
a choques nos pilares sujeitos de serem atingidos por embarcações, veículos móveis ou 
embarcações em movimento. Porém, se no projeto estiver incluído dispositivos que protejam 
os pilares de acidentes essa verificação pode ser dispensada. Outras verificações quanto as 
demais ações excepcionais devem ser realizadas somente em construções especiais, a critério 
do proprietário da obra. 
 
3.7 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS LAJES DE OAEs 
 
Para a determinação dos esforços internos nas lajes de Obras de Arte Especiais, são 
utilizadas as tabelas de Rüsch, que estabelecem etapas e parâmetrospara o dimensionamento 
dessas estruturas. Este método foi desenvolvido na norma alemã DIN 1072 (1939), para o trem 
33 
tipo alemão, porém pode ser adaptado ao trem tipo brasileiro, realizando as adequações 
necessárias (OLIVEIRA; PIERROT, 2016). 
 
As normas brasileiras de cargas rodoviárias foram adotadas com carregamentos de 
mesma geometria da norma alemã para que as tabelas de Rusch pudessem ser 
utilizadas com as NBR. As tabelas de Rusch permitem determinar as solicitações em 
lajes através de condições de apoio pré-estabelecidas, são elas apoio simples, engaste 
perfeito, bordo livre e indefinido. A opção indefinida se aplica quando a relação ly/lx 
é muito grande e uma dimensão da placa é muito maior que a outra. (STRECHAR, 
2018, pag. 38) 
 
De acordo com Strechar (2018), nas tabelas de Rüsch convenções de apoio para entrada 
nas tabelas de lajes estão dispostas na Figura 11. 
 
Figura 11 - Convenção de apoios de lajes Tabelas de Rusch 
 
Fonte: Strechar (2018) 
 
3.8 CÁLCULO DAS PONTES EM LAJE 
 
Os esforços oriundos de pontes em lajes são calculados por meio dos métodos elásticos 
ou pelo método de ruptura. Os métodos elásticos se baseiam nos estudos da teoria de Kirchoff-
Love, das placas, considerando a distribuição das cargas do tráfego em retângulos ou em 
superfície (Figura 12). Já o método de ruptura, se baseia na teoria das charneiras plásticas, no 
entanto, deve-se analisar a configuração de ruptura mais desfavorável (FRANÇA, 2016). 
 
 
34 
Figura 12 – Distribuição das cargas de tráfego 
 
Fonte: Mason (1997) 
 
França (2016) explica que a deve-se definir a posição das forças que resultam em 
solicitações mais deformáveis. Assim, se deve analisar a solução apresentada na literatura, para 
lajes sujeitas a cargas aplicadas em áreas retangulares (Figura 13), usando a superposição de 
efeitos para diversas soluções. 
 
Figura 13 – Lajes com cargas aplicadas em zonas retangulares 
 
Fonte: Mason (1997) 
 
Contudo, o cálculo é extenso e dispendioso, assim foram desenvolvidas demais métodos 
de cálculo que facilitam a sistematização do trabalho de encontrar a posição mais desfavorável 
do trem-tipo, como as tabelas de Rüsch (FRANÇA, 2016). 
 
3.8.1 PROCEDIMENTO DAS SUPERFÍCIES DE INFLUÊNCIA 
 
Como as lajes são elementos estruturais bidimensionais ou de superfície, o 
dimensionamento das solicitações delas é, usualmente, desenvolvido por meio da Teoria 
Clássica de Placas, supondo material elástico e isotrópico (FRANÇA, 2016). 
 
 
35 
Existe na literatura, para a solução de placas elásticas, diversas tabelas tais como as 
de Marcus e as de Czerny usadas para o caso de carregamento distribuído. No caso 
das pontes, as cargas móveis das rodas dos veículos pesados atuam de forma 
concentrada e provocam solicitações preponderantes em relação as outras cargas. 
Na prática é usual o emprego de outras tabelas, sendo a mais conhecida para o 
cálculo das lajes de pontes a que foi desenvolvida por H. Rüsch para o trem-tipo da 
norma alemã DIN-1072, frequentemente empregadas no cálculo de lajes de pontes 
no Brasil, que adotou em suas normas de cargas rodoviárias, carregamentos com a 
mesma geometria das cargas de cálculo das normas alemãs. (FRANÇA, 2016, pag. 
33) 
 
Durante o cálculo das lajes de pontes, a principal problemática é a definição das posições 
da carga móvel que resultam nas cargas mais deformáveis. Essas cargas definem-se por meio 
do auxílio das superfícies de influência representando uma extensão da conceituação de linhas 
de influência do espaço unidimensional para o espaço bidimensional da laje (FRANÇA, 2016). 
 
3.8.2 LINHAS DE INFLUÊNCIA 
 
Albuquerque (2010) explica que, a fim de dimensionar uma estrutura demanda-se 
calcular as forças internas e analisar, para cada seção, o caso mais desfavorável, ou seja, a 
posição e a intensidade da carga que provocará os esforços mínimos e máximos. 
Para OAEs, demanda-se considerar o efeito das cargas móveis, pois, quando se trata de 
cargas móveis e acidentais, a análise da estrutura é realizada de modo diferente as edificações 
submetidas apenas a influência de cargas permanentes. Martha (2010) defende que essa 
ocorrência se dá por meio da variação dos esforços internos provocados pelas movimentações 
das cargas, ou seja, além da magnitude destas, o posicionamento ao qual se encontram deve-se 
considerar, já que resultam valores mínimos e máximos das forças internas na seção transversal 
da estrutura. 
Em pontes, a fim de determinar efeitos e esforços das cargas móveis e acidentais, 
considerando diversas combinações de ações, em todas as posições possíveis e, por fim, definir, 
para as seções da estrutura, os esforços. Segue-se com a definição dos valores extremos dos 
esforços internos. Assim, atuam as linhas de influência (LI) que visam auxiliar os cálculos 
desses esforços (FRANÇA, 2016). 
Conforme Martha (2010, pag. 22) a LI é: 
Uma linha de influência (LI) descreve a variação de um determinado efeito (por 
exemplo, uma reação de apoio, um esforço cortante ou um momento fletor em uma 
36 
seção transversal) em função da posição de uma força vertical (orientada para baixo) 
e unitária que percorre a estrutura. Assim, a LI de momento fletor em uma seção 
transversal é a representação gráfica ou analítica do momento fletor, na seção de 
estudo, produzida por uma força concentrada unitária que passeia sobre a estrutura. 
 
França (2016) define que por meio da definição da LI de um elemento é possível definir 
o momento fletor, reação de apoio, força cortante em uma seção específica, considerando as 
áreas em que a carga gera os valores mínimos e máximos, uma vez que, em consequência, estes 
influenciam de maneira direta no cálculo dos esforços. 
A Figura 14 ilustra a linha de influência de momento fletor em uma seção definida como 
S, de uma viga contínua. A ordenada Ms(x), consiste no momento fletor na seção S produzida 
por uma carga unitária na posição x (MARTHA, 2010). 
 
Figura 14 – Linha de influência de momento fletor em uma viga 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
França (2016, pag. 35) explica que: 
 
As lajes de pontes são consideradas elementos de superfície, ou seja, bidimensionais. 
Então, trabalhando com este tipo de elemento, o conceito de superfícies de influência 
surge. As estruturas consideradas bidimensionais possuem componentes de carga 
atuando transversalmente à sua superfície. 
 
3.8.3 SUPERFÍCIES DE INFLUÊNCIA 
 
Mason (1977) explica que a superfície de influência de um efeito elástico E em um 
ponto S da laje consiste no valor deste efeito, no ponto S, desencadeado pela carga concentrada 
unitária que atuam em outro ponto qualquer da laje definido como A. Na Figura 15 ilustra-se a 
superfície de influência de um momento Mxm na área central de uma laje retangular, 
simplesmente apoiada no contorno. Já a Figura 16 apresenta o aspecto da superfície de 
37 
influência do momento de engastamento perfeito Mxe no meio do lado de uma laje engastada 
nos quatro lados. 
 
Figura 15 – Superfície de influência de Mxm (a) perspectiva (b) vista 
 
Fonte: Mason (1977) 
 
Figura 16 – Superfície de influência no momento engastado Mxe (a) perspectiva (b) vista 
 
Fonte: Mason (1977) 
38 
As Figura 15 e Figura 16, representam-se as curvas de nível e o local onde busca-se o 
efeito considerado, as ordenadas da superfície de influência, acima do plano de referência 
usados, se elevam indefinidamente. Isso ocorre em resultante da solução definida pela teoria 
elástica das placas, que apresenta divergência no ponto de aplicação de cargas concentradas, 
que constituem locais de singularidade das soluções (FRANÇA, 2016). 
A fim de melhorar a descrição do comportamento da superfície de influências nas 
regiões singulares, Pucher aplicou uma equação visando resolver o deslocamento da placa do 
tipo, conforme Equação 4. 
 
 𝑤(𝑢, 𝑥, 𝑦) = 𝑤𝑜(𝑢,𝑣, 𝑥, 𝑦) + (𝑤1(𝑢, 𝑣, 𝑥, 𝑦) (Equação 4) 
 
Onde: 
u,v: coordenadas do ponto no qual é procurado o efeito (momento e força cortante); 
x, y: coordenadas dos pontos correntes da placa, onde são aplicados os carregamentos; 
wo (u, v, x, y): parte singular da solução, definida conforme a Equação 5. 
 
 𝑤𝑜 =
1
𝐷.8𝜋
𝑟2𝑙𝑛𝑟 (Equação 5) 
 
Onde? 
D= rigidez da placa obtida da solução da placa circular, sujeita a carga concentrada no 
centro; 
r= distância a partir do ponto (u, v), conforme ilustrado na Figura 17. 
 
Figura 17 - Plano da superfície de influência de uma placa circular 
 
Fonte: Mason (1977) 
 
A parcela w (u,v, x, y) 1 corresponde a parte regular da solução, que visa atender às 
demais condições do problema. 
39 
Este processo possibilitou a aplicação das superfícies de influência, sendo possível 
desprezar a contribuição da parte da superfície acima de uma certa cota w, h, (Figura 15), nas 
regiões próximas da singularidade. 
Frente ao caráter bidimensional da superfície de influência, é possível que haja demanda 
por calcular áreas ou volumes interceptados pelas linhas ou áreas de aplicação das cargas 
(Figura 18). 
 
Figura 18 - Tipos de carregamentos numa superfície de influência da laje 
 
Fonte: Mason (1977) 
 
 
3.9 COMBINAÇÕES DE AÇÕES 
 
Segundo a NBR 8681 (ABNT, 2003b), a verificação da segurança acerca aos estados 
limites últimos é realizada em função das combinações últimas de ações. Já a verificação da 
segurança em relação aos estados limites de serviço é realizada em relação das combinações de 
serviço. As combinações últimas são divididas em normais, especiais ou de construção, e 
excepcionais. As combinações de serviço são as quase permanentes, as frequentes e as raras. 
(ABNT, 2003b) 
As combinações gerais são estabelecidas na NBR 8681 (ABNT, 2003b), sendo 
genéricas para todos materiais. A NBR 6118 (ABNT, 2014) reproduz essas combinações na 
norma para estruturas de concreto armado. A Tabela 5 traz as combinações para o ELU e a 
Tabela 6 lista as combinações do ELS. As combinações últimas normais devem incluir as ações 
permanentes e a ação variável principal com seus valores característicos, juntamente com as 
ações variáveis secundárias com seus valores reduzidos de combinação. As combinações 
40 
especiais ou de construção devem apresentar as ações permanentes e a ação variável especial 
com seus valores característicos e, as demais ações, com a probabilidade de ocorrência 
simultânea com seus valores reduzidos de combinação. As combinações últimas excepcionais 
devem constar as ações permanentes e excepcionais quando existir, com seus valores 
representativos e, as demais ações com a probabilidade de ocorrência simultâneas com seus 
valores reduzidos de combinação (ABNT, 2014). 
 
Tabela 5 - Combinações últimas 
Combinações 
Últimas (ELU) 
Cálculo das solicitações 
Normais 𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜀𝑔𝐹𝜀𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞1𝑘 + Σ𝛹0𝑗𝐹𝑞𝑖𝑘) + 𝛾𝜀𝑞𝛹0𝜀𝐹𝜀𝑞𝑘 
Especiais ou de 
construção 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜀𝑔𝐹𝜀𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞1𝑘 + Σ𝛹0𝑗𝐹𝑞𝑖𝑘) + 𝛾𝜀𝑞𝛹0𝜀𝐹𝜀𝑞𝑘 
Excepcionais 𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜀𝑔𝐹𝜀𝑔𝑘 + 𝐹𝑞1𝑒𝑥𝑐 + 𝛾𝑞Σ𝛹0𝑗𝐹𝑞𝑖𝑘 + 𝛾𝜀𝑞𝛹0𝜀𝐹𝜀𝑞𝑘 
𝐹𝑑 é o valor de cálculo das ações para combinação última; 
𝐹𝑔𝑘 representa as ações permanentes diretas; 
𝐹𝜀𝑘 representa ações indiretas como a retração e variáveis como a temperatura; 
𝐹𝑞𝑘 representa ações variáveis das quais 𝐹𝑞1𝑘 é a principal; 
𝛾𝑔 representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes; 
𝛾𝜀𝑔 representa o coeficiente de ponderação para ações indiretas permanentes; 
𝛾𝑞representa o coeficiente de ponderação paras as ações variáveis diretas; 
𝛾𝜀𝑞 representa o coeficiente de ponderação para as ações indiretas variáveis; 
𝛹0𝑗 representa o fator de redução para as ações variáveis diretas; 
𝛹0𝜀 representa o fator de redução para as ações variáveis indiretas; 
Fonte: NBR 6118 (2014, adaptado) 
 
De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014), as análises de serviço são classificadas 
conforme sua permanência nas estruturas, conforme descrito abaixo: 
a) quase permanentes: tem possibilidade de atuar durante grande parte do período de 
vida da estrutura, e sua avaliação pode ser primordial na verificação do estado limite 
de deformações excessivas; 
41 
b) frequentes: repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua 
análise pode ser indispensável na verificação dos estados limites de formação de 
fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser 
consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas 
decorrentes de vento ou temperatura que podem danificar as vedações; 
c) raras: podem ocorrer algumas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua 
consideração pode ser essencial na verificação do estado limite de formação de 
fissuras. 
As fórmulas utilizadas nos cálculos de combinações de serviço estão descritas na Tabela 
6. 
 
Tabela 6 - Combinações de serviço 
Combinações de 
Serviço (ELS) 
Descrição Cálculo das solicitações 
Combinações 
quase permanentes 
de serviço (CQP) 
Nas combinações quase 
permanentes 
de serviço, todas as ações 
variáveis são 
consideradas com seus valores 
quase permanentes 𝛹2 𝐹𝑞𝑘 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟𝑣 = Σ𝐹𝑔𝑖,𝑘 + Σ𝛹0𝑗𝐹𝑞𝑗,𝑘 
Combinações 
frequentes de 
serviço (CF) 
Nas combinações frequentes de 
serviço, a ação variável principal 
𝐹𝑞1 é tomada com seu valor 
frequente 𝛹1 𝐹𝑞1𝑘 e todas as 
demais ações variáveis são 
tomadas com seus valores quase 
permanentes 𝛹2 𝐹𝑞𝑘 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟𝑣 = Σ𝐹𝑔𝑖𝑘 + Σ𝛹1𝑘𝐹𝑞1𝑘
+ Σ𝛹2𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘 
Combinações raras 
de serviço 
Nas combinações raras de serviço, 
a ação variável principal 𝐹𝑞1 é 
tomada com seu valor 
característico 𝐹𝑞1𝑘 e todas as 
demais ações são tomadas com 
seus valores frequentes 𝛹1 𝐹𝑞𝑘 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟𝑣 = Σ𝐹𝑔𝑖𝑘 + 𝐹𝑞1𝑘
+ Σ𝛹1𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘 
Fonte: NBR 6118 (2014) 
 
Onde: 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟𝑣 é o valor de cálculo das ações para as combinações de serviço; 
𝐹𝑞1𝑘 é o valor característico das ações variáveis principais diretas; 
𝛹1 é o fator de redução de combinação frequente para ELS; 
42 
𝛹2 é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS. 
 
3.10 VERIFICAÇÃO DA FADIGA DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
 
As armaduras de ponte estão submetidas às cargas móveis, assim é preciso considerar 
que o aço está submetido a uma variante de tensão ao longo de sua vida útil. Logo deve-se 
calculá-lo para tal variação (NUNES, 2017). 
Nunes (2017) explica que em casos onde a armadura calculada a fim de suportar as 
cargas demandadas à flexão não atenda as verificações à fadiga, se deve estabelecer um valor 
maior de área de aço, para garantir a variação de tensão resistente superior à variação de tensão 
solicitante, de acordo com Equação 6, 7, 8, 9 e 10. 
 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑔 + ψ. Mq (Equação 6) 
 Mmin = Mg (Equação 7) 
 𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝐴𝑠.(𝑑−
𝑥
3
)
 (Equação 8) 
 𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝑀𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑠.(𝑑−
𝑥
3
)
 (Equação 9) 
 𝑥 = (
𝛼.𝐴𝑠
𝑏
) . (√1 +
2.𝑏𝑤.𝑑
𝛼.𝐴𝑠
− 1) (Equação 10) 
 
Onde: 
𝑀𝑚𝑎𝑥: Momento Fletor Máximo aplicado na armadura; 
𝑀𝑚𝑖𝑛: Momento Fletor Mínimo aplicado na armadura; 
𝜎𝑚𝑎𝑥: Tensão Máxima aplicada na armadura; 
𝜎𝑚𝑖𝑛: TensãoMínima aplicada na armadura; 
𝜓: Coeficiente de redução da carga móvel obtido pela Tabela 7; 
𝑥: Altura da linha neutra na seção de cálculo. 
Tabela 7 – Coeficiente de Minoração das cargas móveis 
 
Fonte: NBR 8681 (2004, adaptada) 
43 
4 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Para atingir aos objetivos propostos neste estudo, realizou-se inicialmente a apropriação 
da base teórica com a realização de um referencial teórico, onde foram estabelecidos os 
parâmetros básicos para dimensionar uma OAE, para assim definir os parâmetros de projeto no 
que diz respeito ao vão da estrutura, tipo de concreto utilizado, classe de agressividade 
ambiental e cobrimento da armadura. 
A partir dos parâmetros geométricos do projeto e conforme as prescrições das normas 
NBR 6120 (ABNT, 2019), NBR 7187 (ABNT, 2003) e NBR 7188 (ABNT, 2013), foram 
definidos os carregamentos e os esforços solicitantes na estrutura. A análise estrutural das lajes 
no ELU e ELS foi feita com o auxílio do software T. Rusch, e o dimensionamento foi realizado 
de acordo com as prescrições normativas da NBR 6118 (ABNT, 2014). 
 
4.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA 
 
A partir das classificações especificadas na Tabela 1, foi definido como objeto de 
estudo uma ponte rodoviária, em viga de alma cheia, de concreto armado, com tabuleiro 
superior, isostática, moldada in loco. O comprimento total adotado é de 36 metros, e largura 
total da OAE é de 8,60 metros, inspirado no modelo proposto por Marchetti (2018), 
assegurando duas faixas de rolamento mínimas para pista simples, os dois dispositivos de 
segurança (guarda-rodas) e inclinação transversal da pista de 2% conforme o DNIT (1999). 
A classe de agressividade ambiental que foi adotada no projeto é a CAA II, de 
ambiente urbano, conforme a Figura 6. Com base na CAA, é possível determinar tipo de 
concreto a ser utilizado, que segundo a Figura 7, deve possuir resistência característica à 
compressão mínima 𝑓𝑐𝑘 = 25𝑀𝑃𝑎, porém segundo os preços da base SICRO (DNIT, 2019), 
existe uma diferença de apenas 6,3% do preço por metro cúbico do concreto de 𝑓𝑐𝑘 = 25𝑀𝑃𝑎, 
quando comparado ao de concreto 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎, por isso optou-se utilizar o último, visando 
o aumento da resistência do concreto e aumento de durabilidade da estrutura. Para a CAA II, 
segundo a Figura 8, é necessário um cobrimento nominal da armadura de 25 mm para laje e de 
30 mm para vigas. O aço será o CA-50 que tem resistência ao escoamento característica de 500 
MPa. 
Analisando a Tabela 5, definiu-se as combinações no ELU normais, pois as cargas são 
significativamente maiores do que nas etapas de construção. De acordo com a Figura 9, 
possível afirmar que para a CAA II em estruturas de concreto armado, foi possível afirmar que 
44 
para a CAA II, em estruturas de concreto armado, a verificação a fadiga e realizada através da 
combinação de serviço frequente (Tabela 6), tendo como valor máximo de abertura de fissuras 
0,3mm. 
 
4.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL 
 
O pré-dimensionamento da superestrutura de concreto armado foi realizado de acordo 
com os valores mínimos estabelecidos pela American Association of State Highway and 
Transportation Officials, AASHTO LRFD Bridge (2012), presentes na Tabela 8. 
 
Tabela 8 – Pré-dimensionamento da superestrutura 
Superestrutura Altura mínima incluindo a laje 
Material Tipo Vão simples Vão contínuo 
Concreto armado 
Viga T 0,070L 0,065L 
Viga caixão 0,060L 0,055L 
Passarela para pedestres 0,035L 0,033L 
 L é o comprimento do vão 
Fonte: AASHTO (2012, adaptado) 
 
De acordo com a Tabela 8, a altura mínima da superestrutura, para laje com viga T, foi 
definida conforme cálculo apresentado na Equação 11, a representação do vão central encontra-
se no Apêndice A, prancha 1. 
 
 h=0,070*L (Equação 11) 
 h=0,070*26 
h=1,82m 
 
Adotou-se uma altura total da seção transversal das vigas de 2 m, assim, o corte 
transversal da OAE, na região dos vãos, se deu de acordo com a Figura 19. A vista longitudinal 
está representada na Figura 20. Os demais desenhos do projeto básico se encontram no 
Apêndice A. 
45 
Figura 19 - Seção transversal básica 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Figura 20 -Vista longitudinal 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
5 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES DO TABULEIRO 
 
O dimensionamento das lajes do tabuleiro foi realizado utilizando o software TRüsch 
em conformidade com as normas vigentes, e a resistência da estrutura em relação aos ELU e ao 
ELS. 
 
5.1 DIMENSIONAMENTO DA LAJE AO ELU 
 
Os esforços solicitantes nas lajes foram calculados utilizando o T-Rüsch, um software 
gratuito que utiliza como a base de dados as Tabelas de Rüsch. Com sua utilização foi possível 
obter a exibição das Tabelas de Rüsch utilizadas na análise estrutural. O programa fez a 
interpolação dos dados para encontrar os esforços externos a partir do trem-tipo TB-240 e TB-
450 de acordo com a normativa vigente, bem como elabora os gráficos de momentos fletores 
internos e a memória de cálculo (TQS, 2020). A Figura 21 mostra a tela de inicialização do 
software. 
 
Figura 21- Tela principal T-Rüsch 
 
Fonte: T-Rüsch (2020) 
 
Para calcular os momentos na laje foi preciso a inserção dos seguintes dados: 
47 
𝑙𝑥 : comprimento da laje no eixo x (distância entre os apoios); 
𝑙𝑦 : comprimento da laje no eixo y; 
𝑡 ∶ 𝑡’ : lado do quadrado de área equivalente à projeção da roda do trem tipo. 
O trem tipo e a unidade de medida são escolhidas na janela “Opções”. 
A Figura 22 mostra como a pressão exercida pelo pneu de lado quadrado 𝑡’ age no meio 
da laje, que é calculado a partir dos princípios do espraiamento de tensões, utilizando o trem 
tipo TB-450 e o ângulo de 45º. 
 
Figura 22 - Pressão na roda do trem-tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: TRush1.0 (2020) 
 
 𝑡 = 𝑡′ + 2𝑒 +
2ℎ
2
 (Equação 12) 
Onde: 
t’ = 0,32m, ou seja, o lado do quadrado de área equivalente à projeção da roda do trem 
tipo 
e = espessura da pavimentação; 
h = espessura da laje. 
 
 𝑡 = 𝑡′ + 2𝑒 + ℎ (Equação 13) 
 
Para fins de cálculo, no software foi utilizado apenas o coeficiente de impacto vertical 
estabelecido como 1. 
Para a análise estrutural da laje L2, tomou-se como referência de divisória da laje o meio 
da longarina. Conforme a Figura 23 e Apêndice A, é possível perceber que o 𝑙𝑥 = 5,06𝑚, e 
48 
𝑙𝑦 = 36𝑚, a espessura da pavimentação (𝑒) é igual a 5 cm e altura da laje (ℎ) igual a 25 cm, 
conforme Equação 14. 
 
 𝑡 = 0,32 + 2.0,05 + 0,25 (Equação 14) 
𝑡 = 0,67𝑚 
 
Figura 23 - Localização das lajes 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Para o cálculo da carga permanente também é necessário encontrar o valor de g, para 
determinar os momentos devido a carga permanente, conforme Equação 15. 
 
 𝑔 = 𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 + 𝑔𝑝𝑎𝑣 + 𝑔𝑟𝑒𝑐 (Equação 15) 
 
Onde: 
grec= é a carga de recapeamento, definida pela NBR 7187:2003; 
 
 𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐 ∙ 𝑒𝑙𝑎𝑗𝑒 (Equação 16) 
 𝑔𝑝𝑎𝑣 = 𝛾𝑝𝑎𝑣 ∙ 𝑒𝑝𝑎𝑣 (Equação 17) 
 
Assim: 
 
 𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 = 25𝑘𝑁/𝑚³ ∙ (
0,25𝑚+0,35𝑚
2
) = 7,5𝑘𝑁/𝑚² (Equação 18) 
49 
 𝑔𝑝𝑎𝑣= 24𝑘𝑁/𝑚³ ∙ 0,05𝑚 = 1,2𝑘𝑁/𝑚² (Equação 19) 
𝑔𝑟𝑒𝑐 = 2𝑘𝑁/𝑚² 
 
Assim: 
 
 𝑔 = 7,5 + 1,2 + 2 (Equação 20) 
𝑔 = 10,7𝑘𝑁/𝑚² 
 
Lançados os valores encontrados no programa (Figura 24 e 25), encontrou-se os 
seguintes resultados e gráficos conforme Tabela 9. 
 
Figura 24 - Valores de entrada no programa 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Figura 25 - Valores de entrada no programa 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
50 
 Tabela 9 - Resultados e diagramas de momentos da laje 2 
Resultados Diagrama de carga 
móvel 
Diagrama de 
carga permanente 
 
𝑀𝑥𝑚=1,07∗10,7 
𝑀𝑥𝑚 = 11,45 
 
 
𝑀𝑦𝑚 = 0,18 ∗ 10,7 
𝑀𝑦𝑚 = 1,07 
 
 
𝑀𝑥𝑒 = −2,13 ∗ 10,7 
𝑀𝑥𝑒 = −22,79 
Fonte: Adaptado de TRush1.0 (2020) 
 
51 
A determinação dos momentos da laje 1 e 3 foi desenvolvida da mesma forma, alterando 
as condições de contorno, os valores de espessura e vão, portanto, o apoio externo da laje em 
relação a laje central mudará para balanço, lx 1,77m e ly 36m, a espessura da laje 20 cm e a 
pavimentação continua sendo 5cm. 
 
 𝑡 = 0,32 + 2 ∙ 0,05 + 0,20 (Equação 21) 
𝑡 = 0,62𝑚 
 
Para o cálculo da carga permanente também foi necessário encontrar o valor de g, para 
determinar os momentos devido a carga permanente, conforme Equação 22. 
 
 𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐 ∙ 𝑒𝑙𝑎𝑗𝑒 = 25𝑘𝑁/𝑚³ ∙ (
0,20+0,35𝑚
2
) = 6,88𝑘𝑁/𝑚² (Equação 22) 
𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑝𝑎𝑣 ∙ 𝑒𝑝𝑎𝑣 = 24𝑘𝑁/𝑚³ ∙ 0,05𝑚 = 1,2𝑘𝑁/𝑚² 
𝑔𝑟𝑒𝑐 = 2𝑘𝑁/𝑚² 
 
Assim: 
 𝑔 = 7,88 + 1,2 + 2 (Equação 23) 
𝑔 = 10,08𝑁/𝑚² 
 
Lançados os valores encontrados no programa, encontram-se os seguintes resultados e 
gráficos para a laje 1 e 3, conforme Tabela 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
Tabela 10 - Resultados e diagramas de momentos da laje 1 e 3 
Resultados Diagrama de carga móvel Diagrama de carga 
permanente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de TRush1.0 (2020). 
53 
Tabela 10 - Resultados e diagramas de momentos da laje 1 e 3 (continuação) 
 
 
 
Fonte: Adaptado de TRush1.0 (2020). 
 
Visto que o momento devido a cargas permanentes concentradas não pode ser calculado 
pelo software TRush, o momento para carga permanente no sentido transversal da ponte (Mxe) 
foi calculado com o auxílio do software Ftoll, a partir do peso próprio da laje e do guarda rodas 
conforme carregamento mostrado na Figura 26, onde a carga concentrada é o guarda rodas e o 
peso próprio a carga distribuída (Equação 24). 
 
Figura 26 - Carregamento e momento na extremidade da laje 
 
 
Fonte: Adaptado de Ftool (2020) 
 
 𝑀𝑥𝑒1,𝑔 = −28,00 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 (Equação 24) 
 
Iniciando pelos momentos de carga móvel, entre as lajes 1 e 2 e 2 e 3 existem os 
seguintes momentos na direção de X, entre as lajes 1 e 2 (representada pela nomenclatura 1) e 
lajes 2 e 3 (representada pela nomenclatura 2) existem os seguintes momentos fletores na 
direção x, conforme Equação 25. 
 𝑀𝑥𝑒1,𝑞 = −76,58 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 (Equação 25) 
54 
𝑀𝑥𝑒2,𝑞 = −54,52 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Para realizar a compatibilização dos momentos, utiliza-se a Equação 26. 
 
 𝑀𝑥𝑒 ≥ {
𝑀𝑥𝑒1+𝑀𝑥𝑒2
2
0,8. 𝑀𝑥𝑒1
 (Equação 26) 
 
Substituindo os valores encontrados na Equação 27. 
 
 𝑀𝑥𝑒,𝑞 ≥ {
−76,58−54,52
2
0,8(−76,58)
 (Equação 27) 
𝑀𝑥𝑒,𝑞 ≥ {
−65,55 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚
−61,26 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚
 
𝑀𝑥𝑒,𝑞 = −65,55 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Da mesma forma para o carregamento permanente, substituindo os resultados na 
Equação 28. 
 
 𝑀𝑥𝑒,𝑔 ≥ {
−28,00−22,79
2
0,8(−28,00)
 (Equação 28) 
𝑀𝑥𝑒,𝑔 ≥ {
−25,40𝑘𝑁. 𝑚/𝑚
−22,40𝑘𝑁. 𝑚/𝑚
 
𝑀𝑥𝑒,𝑞 = −25,40 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
Após a realização da compatibilização de momentos, elaborou-se as Figuras 27 e Figura 
28, com os momentos fletores de carga móvel e permanente na laje, assim respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
Figura 27 - Momentos Fletores de Carga Móvel nas Lajes (kN.m/m) 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Figura 28 - Momentos Fletores de Carga Permanente nas Lajes (kN.m/m) 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
A partir dos dados encontrados na Figura 11 foi elaborado um diagrama com os 
momentos fletores internos de carga móvel e permanente no sentido transversal da ponte, 
extremidades, apoios e três lugares entre as longarinas, a 76cm, a 152cm e no meio da ponte, 
56 
para que fosse possível observar a variação dos momentos conforme a posição transversal da 
ponte, Figura 29 e Figura 30, respectivamente. 
 
Figura 29 - Momentos Fletores de Carga Móvel Transversal nas Lajes (kN.m/m) 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Figura 30 - Momentos Fletores de Carga Permanente Transversal nas Lajes (kN.m/m) 
 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Para realizar as combinações no ELU, será utilizada a Equação 29. 
 
 𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜀𝑔𝐹𝜀𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞1𝑘 + Σ𝛹0𝑗𝐹𝑞𝑖𝑘) + 𝛾𝜀𝑞𝛹0𝜀𝐹𝜀𝑞𝑘 (Equação 29) 
 
Sendo simplificada para a Equação 29a. 
 
57 
 𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞𝜑𝐹𝑞1𝑘 (Equação 29a) 
 
Onde: 
𝛾𝑔 =coeficiente de carga permanente para pontes 
𝐹𝑔𝑘 =peso próprio da superestrutura 
𝐹𝑞1𝑘 = cargas móveis 
 
Segundo a NBR 8681 (ABNT, 2003), os coeficientes de ponderação para pontes em 
ações variáveis conjuntamente e permanente direta na combinação normal, assim 
respectivamente. 
 
𝛾𝑔 = 1,35 
𝛾𝑞 = 1,5 
 
Resultando assim a Equação (29b). 
 
 𝑀𝑑 = 1,35𝑀𝑔𝑘 + 1,5𝜑𝑀𝑞1𝑘 (Equação 29b) 
 
Primeiramente será encontrado o coeficiente de impacto vertical, a partir do Liv que é 
o comprimento do vão em metros (Equação 30). 
 
 𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 ∗ (
20
𝐿𝑖𝑣+50
) (Equação 30) 
 
Onde Liv será: 
 
 𝐿𝑖𝑣 = 5 + 26 + 5 = 36𝑚 (Equação 31) 
 
Logo: 
 𝐶𝐼𝑉 = 1 + 1,06 ∗ (
20
36+50
) (Equação 30a) 
𝐶𝐼𝑉 = 1,25 
Em seguida foi determinado o coeficiente do número de faixas (Equação 31). 
58 
 
 𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,06 ∗ (n − 2) > 0,9 (Equação 31) 
 
Onde n é o número de faixas, que neste caso são duas faixas (Equação 32). 
 
 𝐶𝑁𝐹 = 1 − 0,06 ∗ (2 − 2) (Equação 32) 
𝐶𝑁𝐹 = 1 
 
Já o coeficiente de impacto adicional (CIA) é de 1,25 por se tratar de uma obra de 
concreto armado. 
Logo o coeficiente de ponderação para as cargas móveis define-se conforme Equação 
33. 
 
 𝜑 = 𝐶𝐼𝑉 ∗ 𝐶𝑁𝐹 ∗ 𝐶𝐼𝐴 (Equação 33) 
𝜑 = 1,25 ∗ 1 ∗ 1,25 
𝜑 = 1,56 
 
Voltando na Equação 29b para o cálculo da armadura serão considerados os maiores 
valores calculados de esforços de tração e compressão e estes foram combinados da seguinte 
forma respeitando as posições determinadasna Figura 26 e Figura 27. 
 
𝑀𝑑,𝑥1 = 1,35 ∗ 11,45 + 1,5 ∗ 1,56 ∗ 27,6 = 80,04/𝑚 (Posição 1 - No meio da laje 2) 
𝑀𝑑,𝑦 = 1,35 ∗ (1,07) + 1,5 ∗ 1,56 ∗ (14,18) = 34,63𝑘𝑁/𝑚 (Posição 2 - No meio da laje 2) 
𝑀𝑑,𝑥2 = 1,35 ∗ (−24,40) + 1,5 ∗ 1,56 ∗ (−65,55) = −186,33𝑘𝑁/𝑚 (Posição 3 - Para o 
encontro das lajes) 
𝑀𝑑,𝑥3 = 1,35 ∗ (−9,25) + 1,5 ∗ 1,56 ∗ (−37,4) = −100,00𝑘𝑁/𝑚 (Posição 4 - Para a 
distância de 76 cm do encontro das lajes) 
𝑀𝑑,𝑥4 = 1,35 ∗ (3,85) + 1,5 ∗ 1,56 ∗ (27,6) = 69,78𝑘𝑁/𝑚 (Posição 5 - Para a distância de 
152 cm do encontro das lajes) 
Com os momentos calculados, é possível determinar a ferragem necessária conforme a 
Equação 34. 
59 
 𝐾 =
𝑀𝑑
𝑓𝑐∗𝑏∗𝑑
2 (Equação 34) 
Onde: 
𝑓𝑐 é a resistência final de cálculo do concreto: 𝑓𝑐 = 0,85
𝑓𝑐𝑘
1,4
= 0,85 ∗
30000
1,4
=
18214,29𝑘𝑁/𝑚² 
𝑏𝑓 : largura da mesa colaborante: 1,00m para laje; 
ℎ𝑓 : espessura da laje: ℎ𝑓 = (
0,25𝑚+0,35𝑚
2
) = 0,25𝑚; 
𝑑´ : profundidade da armadura, que deve ser de no mínimo 2,5cm, adotou-se 5cm; 
d : altura útil da laje, atribuindo-se um d’=0,05m: 𝑑 = ℎ − 𝑑’ = 0,25 − 0,05 = 0,20𝑚. 
Assim apenas o 𝑀𝑑 será diferente para cada caso, logo é possível elaborar a Tabela 11 
com os valores da posição da linha neutra (x) e seu respectivo domínio (x/d), o coeficiente de 
cálculo K e a área de aço (As). 
 
Tabela 11 - Cálculo de As (cm²/m) 
𝑀𝑑(𝑘𝑁/𝑚) x(cm) x/d K 𝐴𝑠(cm²)/m 
80,04 0,03 0,17 0,11 9,77 
34,63 0,01 0,07 0,05 4,08 
-186,33 0,09 0,46 0,26 25,22 
-100,00 0,04 0,22 0,14 12,42 
69,78 0,03 0,15 0,10 8,45 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
O domínio de deformações será o domínio 2 e 3 (x/d < 0,628), logo não será necessária 
armadura dupla. 
O cálculo da área mínima de aço para a laje é, conforme Equação 35: 
 
 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,150% ∗ 𝐴𝑐 (Equação 35) 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,150% ∗ 100 ∗ 25 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,150% ∗ 100 ∗ 25 
60 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 3,75𝑐𝑚²/m 
Logo a Tabela 12 mostra a composição da área de aço da laje com apresentará a área de 
aço efetiva, com o espaçamento e quantidade de barras. 
 
Tabela 12 - Composição da área de aço da laje no ELU 
𝐴𝑠(cm
2/m) ∅(mm) 𝑛 (bar/m) 𝐴𝑠,𝑒𝑓(cm
2/m) S (cm) 
9,77 10 13 10,21 7 
4,08 10 6 4,71 16 
25,22 16 13 26,14 7 
12,42 16 7 14,07 14 
8,45 10 11 8,64 9 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
5.2 VERIFICAÇÃO DAS ARMADURAS DAS LAJES QUANTO AO ELU DE RUPTURA 
POR FADIGA 
 
5.2.1 VERIFICAÇÃO DO CONCRETO DAS LAJES QUANTO AO ELU DE RUPTURA 
POR FADIGA 
 
A laje será verificada também em relação ao ELS de combinações frequentes, ou seja, 
à fadiga, realizando a comparação entre tensões máximas e mínimas de serviço, conforme 
Equação 36. 
 ∆𝜎𝑠𝑤 ≤ ∆𝑓sd,fad (Equação 36) 
 𝛥𝜎𝑠𝑤 = 𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 – 𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 (Equação 36a) 
Onde: 
∆𝜎𝑠𝑤 é variação de tensões de cálculo com frequência n vezes; 
∆𝑓sd,fad é a tensão limite de fadiga; 
𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 é a tensão máxima no aço com frequência 𝑛 vezes; 
𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 é a tensão mínima no aço com frequência 𝑛 vezes. 
61 
Foi utilizada a combinação frequente de serviço conforme a Equação 37. 
 
 𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟𝑣 = Σ𝐹𝑔𝑖𝑘 + Σ𝛹1𝑘𝐹𝑞1𝑘 (Equação 37) 
 
Para pontes rodoviárias: 
𝛹1 = 0,5, para verificação das vigas; 
𝛹1 = 0,7, para verificação das transversinas; 
𝛹1 = 0,8, para verificação das lajes de tabuleiro. 
Foi utilizado assim o 𝛹1 = 0,8, por se tratar de lajes. A verificação da fadiga deve ser 
realizada para o Estádio II do concreto, portanto, deve-se determinar a posição da linha neutra 
x e o momento de inércia da seção para esse Estádio. Para uma seção retangular, admitindo-se 
inicialmente que a linha neutra passando na mesa (ℎ𝑓 > 𝑥), de modo que 𝑏𝑤 = 𝑏𝑓, e área de 
armadura de compressão igual a zero (𝐴′𝑠 = 0), tem-se, que, a linha neutra para o Estádio II, 
conforme Equação 38. 
 
 𝑥 =
−(𝛼𝑒∗𝐴𝑠)±√(𝛼𝑒∗𝐴𝑠)
2−4(𝑏𝑓 2⁄ )(−𝑑∗𝛼𝑒∗𝐴𝑠)
2(𝑏𝑓 2⁄ )
 (Equação 38) 
 
Simplificando a equação 38. 
 
 𝑥 = α𝑒
𝐴𝑠,𝑒𝑓
𝑏𝑓
[−1 + √1 +
2𝑑
α𝑒
𝐴𝑠,𝑒𝑓
𝑏𝑓
] (Equação 38a) 
 
Onde: 
𝛼𝑒é a relação entre o módulo de elasticidade do aço e do concreto (αe = 10); 
𝐴𝑠,𝑒𝑓 é a área da seção transversal efetiva determinada no ELU; 
Realizando as mesmas considerações admitidas para a posição da linha neutra, o 
momento de inércia será calculado de acordo com Equação 39. 
 
 𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑓∗𝑥³
3
+ α𝑒 ∗ 𝐴𝑠,𝑒𝑓(𝑑 − 𝑥)² (Equação 39) 
62 
 
Foi calculada também o momento para a combinação frequente de ações dado fazendo 
as devidas alterações na Equação 40. 
 
 𝑀𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑀𝑔 + 0,8𝑀𝑞 (Equação 40) 
Assim para cada área de aço efetiva terá cada posição de linha neutra, a relação dos 
momentos de inércia e combinação de serviço frequente, conforme explícito na Tabela 13. 
 
Tabela 13 – Momentos de inércia e combinação de serviço frequente 
𝐴𝑠,𝑒𝑓(cm
2/m) x(m) 𝐼𝐼𝐼(𝑚
4) 𝑀𝑠𝑒𝑟𝑣 
10,21 0,054 0,000270 45,89 
4,71 0,039 0,000142 12,41 
26,14 0,079 0,000547 76,84 
8,64 0,062 0,000348 55,93 
8,64 0,051 0,000236 38,29 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Também foram calculadas as tensões máxima e mínima no concreto que serão dadas 
conforme Equações 41 e 42. 
 
 𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑠𝑒𝑟𝑣(𝑥)
𝐼𝐼𝐼
 (Equação 41) 
 
 𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 =
𝑀𝑔(𝑥)
𝐼𝐼𝐼
 (Equação 42) 
 
Já para o aço, as tensões foram calculadas por meio das Equações 43 e 44. 
 
 𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥 = α𝑒𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥 (
𝑑−𝑥
𝑥
) (Equação 43) 
 
 𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛 = α𝑒𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛 (
𝑑−𝑥
𝑥
) (Equação 44) 
E por fim a variação das tensões foi calculada conforme a Equação 36a. A Tabela 14 
apresenta todos estes resultados. 
 
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Tabela 14 - Cálculo das tensões submetidas a fadiga 
𝜎𝑐,𝑚𝑎𝑥(𝑘𝑁/𝑚²) 𝜎𝑐,𝑚𝑖𝑛(𝑘𝑁/𝑚²) 𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥(𝑘𝑁/𝑚²) 𝜎𝑠,𝑚𝑖𝑛(𝑘𝑁/𝑚²) 𝛥𝜎𝑠𝑤(𝑀𝑃𝑎) 
9263 2311 247328 61704 186 
5153 294 213052 12147 201 
15415 3541 234109 53784 180 
10021 1657 221643 36660 185 
241 828 242238 24354 218 
Fonte: Elaborado pela autora (2020) 
 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), parâmetros para as curvas S-N (Woeller) para os 
aços dentro do concreto, o ∆𝑓sd,fad para 2𝑥10
6 ciclos vale 105 MPa, logo foi calculada a área 
de aço corrigida, aumentando a armadura conforme Equação 45. 
 
 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔 = 𝐴𝑠 ∗ 𝐾𝑓𝑎𝑑 (Equação 45) 
Onde: 
 𝐾𝑓𝑎𝑑 = (
𝛥𝜎𝑠𝑤
∆𝑓sd,fad
) (Equação 46) 
 
Com esses valores, foi desenvolvida a Tabela 15, com a armadura final das lajes. 
 
Tabela 15 – Composição da área de aço da laje submetida a fadiga 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝐾𝑓𝑎𝑑 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔(𝑐𝑚
2) ∅(mm) n(bar/m) 𝐴𝑠𝑒(cm
2/m) s(cm) 
1 1,77 18,05 16,00 9,00 18,10 11 
2 1,91 9,02 10,00 12,00 9,42 8