Estática e mecânica dos materiais

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estática e mecânica 
dos materiais
Beer | Johnston | deWolf | mazurek
estática e mecânica 
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Beer
Johnston
deWolf
mazurek
Mantendo a metodologia de ensino tradicional dos seus famosos livros-texto, 
Beer e Johnston unem nesta obra conceitos e aplicações de duas importantes 
áreas da engenharia – a estática e a mecânica dos materiais – permitindo que 
os estudantes desenvolvam a habilidade de compreender e solucionar um deter-
minado problema de maneira coesa, simples e lógica.
 Os capítulos têm início com exemplos reais e com um sumário resumido 
dos conteúdos que serão trabalhados.
 Os conceitos são introduzidos passo a passo, de forma clara e objetiva.
 Seções opcionais oferecem tópicos avançados.
 As seções Problemas resolvidos são apresentadas em uma única página, 
o que proporciona melhor visualização dos problemas-chave.
 Todos os capítulos oferecem um conjunto de problemas que devem 
ser resolvidos com o auxílio de programas computacionais.
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Engenharia
bEEr, johnston, dEwolf & mazurEk
Estática e mecânica dos materiais
BEER, JOHNSTON & CORNWELL
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 9.ed.
BEER, JOHNSTON, MAZUREK & EISENBERG
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática, 9.ed.
BLANK & TARQUIN
Engenharia Econômica, 6.ed.
BUDYNAS & NISBETT
Elementos de Máquinas de Shigley: Projeto de Engenharia Mecânica, 8.ed. 
*ÇENGEL & BOLES
Termodinâmica: Uma Abordagem da Engenharia, 7.ed.
ÇENGEL & CIMBALA
Mecânica dos Fluidos 
ÇENGEL & GHAJAR
Transferência de Calor e Massa, 4.ed.
CHAPRA & CANALE
Métodos Numéricos para Engenharia, 5.ed.
CHAPRA, S.C.
Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas, 3.ed.
DYM & LITTLE
Introdução à Engenharia: Uma Abordagem Baseada em Projeto, 3.ed.
GILAT, A.
MATLAB com Aplicações em Engenharia, 4.ed. 
HSU, H.P.
Sinais e Sistemas, 2.ed. (Coleção Schaum)
LEET, UANG & GILBERT
Fundamentos da Análise Estrutural, 3.ed.
NAHVI & EDMINISTER
Circuitos Elétricos, 4.ed. (Coleção Schaum)
NAVIDI, W.
Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas
NORTON, R.L.
Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos
ROSA, E.S. 
Escoamento Multifásico Isotérmico 
SMITH & HASHEMI
Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais, 5.ed.
TREMBLAY, T.
Autodesk Inventor 2012 e Inventor LT 2012: Essencial 
WHITE, F.M.
Mecânica dos Fluidos, 6.ed.
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E79 Estática e mecânica dos materiais / Ferdinand P. Beer ... [et al.] ; 
tradução: Antônio Eustáquio de Melo Pertence; revisão 
técnica: Antonio Pertence Júnior. – Porto Alegre : AMGH, 
2013.
xviii, 706 p. : il. color. ; 28 cm.
ISBN 978-85-8055-164-8
1. Engenharia mecânica. 2. Mecânica dos materiais. 3. Está-
tica. I. Beer, Ferdinand P. 
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Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
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463Capítulo 11 � Flexão pura
 11.24 Um momento fletor de 24 kN � m é aplicado a uma viga W200 × 46.1 mm 
de aço laminado. (a) Considerando que o momento seja aplicado em tor-
no do eixo z, como mostra a figura, determine a tensão máxima e o raio 
de curvatura da viga. (b) Resolva a parte a levando em conta que o mo-
mento fletor seja aplicado em torno do eixo y. Use E = 200 GPa.
z
24 kN � m
y
C
Figura P11.24
11.5 Flexão de barras constituídas de vários 
materiais
As deduções dadas na Seção 11.4 baseavam-se na hipótese de que o mate-
rial era homogêneo com um módulo de elasticidade E. Se a barra submeti-
da à flexão pura for constituída de dois ou mais materiais com diferentes 
módulos de elasticidade, nossa abordagem para a determinação das ten-
sões na barra precisará ser modificada.
Considere, por exemplo, uma barra formada por duas partes de mate-
riais diferentes unidas como mostra a seção transversal na Fig. 11.18. Essa 
barra composta se deformará conforme descrito na Seção 11.3, pois sua 
seção transversal permanece a mesma em todo o comprimento, e não foi 
feita nenhuma suposição na Seção 11.3 referente à relação tensão-defor-
mação do material ou dos materiais envolvidos. Assim, a deformação es-
pecífica normal �x ainda varia linearmente com a distância y da linha neu-
tra da seção (Fig. 11.19a e b), e vale a Eq. (11.8):
 �x = – 
y
� 
(11.8)
1
2
L. N.
x = – — 
x
�
� xσ
ρ
y
2 = – —– σ ρ
E2y
1 = – —– σ ρ
E1y
y y
(a) (b) (c)
Figura 11.19 Distribuição de deformação específica e tensão 
em barra constituída de dois materiais.
M
1
2
Figura 11.18
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464 Estática e mecânica dos materiais
1
2
L. N.
x = – — 
x
�
� xσ
ρ
y
2 = – —– σ ρ
E2y
1 = – —– σ ρ
E1y
y y
(a) (b) (c)
Figura 11.19 (repetida) Distribuição de deformação específica e tensão 
em barra constituída de dois materiais.
Entretanto, não podemos supor que a linha neutra passe pelo centroide da 
seção composta, uma vez que um dos objetivos desta análise será determi-
nar a localização dessa linha neutra.
Como os módulos de elasticidade E1 e E2 dos dois materiais são dife-
rentes, as expressões obtidas para a tensão normal em cada material tam-
bém serão diferentes. Escrevemos
 
 σ 1 = E1�x = – 
E1 y
�
 σ 2 = E2�x = – 
E2 y
� 
(11.22)
e obtemos uma curva de distribuição de tensões consistindo em dois seg-
mentos de reta (Fig. 11.19c). Conclui-se das Eqs. (11.22) que a força dF1 
que atua no elemento de área dA da parte superior da seção transversal é
 dF1 = σ 1 dA = – 
E1 y
� dA 
(11.23)
enquanto a força dF2 que atua em um elemento de mesma área dA da parte 
inferior é
 dF2 = σ 2 dA = – 
E2 y
� dA (11.24)
Todavia, chamando de n a relação E2/E1 dos dois módulos de elasticidade, 
podemos expressar dF2 como
 dF2 = – 
(nE 1)y
� dA = – 
E1 y
� (n dA) 
(11.25)
Comparando as Eqs. (11.23) e (11.25), notamos que a mesma força dF2 
atuaria em um elemento de área n dA do primeiro material. Em outras 
palavras, a resistência à flexão da barra permaneceria a mesma se ambas 
as partes fossem feitas do primeiro material, desde que a largura de cada 
elemento da parte inferior fosse multiplicada pelo coeficiente n. Note que 
esse alargamento (se n > 1), ou estreitamento (se n < 1), deve ser feito em 
uma direção paralela à linha neutra da seção, pois é essencial que a dis-
tância y de cada elemento em relação à linha neutra permaneça a mesma. 
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465Capítulo 11 � Flexão pura
A nova seção transversal obtida dessa maneira é chamada de seção trans-
formada da barra (Fig. 11.20).
Como a seção transformada é equivalente à seção transversal de uma 
barra feita de um material homogêneo com módulo de elasticidade E1, o 
método descrito na Seção 11.4 pode ser usado para determinar a linha neu-
tra e a tensão normal em vários pontos. A linha neutra será traçada através 
do centroide da seção transformada (Fig. 11.21), e a tensão σx em qualquer 
ponto da seção da barra homogênea fictícia será obtida da Eq. (11.16)σ x = – 
My
I
 
 
(11.16)
onde y é a distância medida a partir da linha neutra, e I, o momento de 
inércia da seção transformada em relação ao eixo que passa pelo seu pró-
prio centroide.
C L. N.
x = – —– σ
My
I
yy
σx
Figura 11.21 Distribuição de tensões 
na seção transformada.
Para obtermos a tensão σl em um ponto localizado na parte superior da 
seção transversal da barra composta original, simplesmente calculamos a 
tensão σx no ponto correspondente da seção transformada. Entretanto, 
para obtermos a tensão σ2 em um ponto na parte inferior da seção trans-
versal, devemos multiplicar por n a tensão σx calculada no ponto corres-
pondente da seção transformada. Sem dúvida, conforme vimos anterior-
mente, a mesma força elementar dF2 é aplicada a um elemento de área n dA 
da seção transformada e a um elemento de área dA da seção original. As-
sim, a tensão σ2 em um ponto da seção original deve ser n vezes maior do 
que a tensão no ponto correspondente da seção transformada.
As deformações de uma barra de material composto também podem 
ser determinadas usando a seção transformada. Não podemos esquecer de 
que a seção transformada representa a seção transversal de uma barra fei-
ta de material homogêneo de módulo E1, que se deforma da mesma manei-
ra que a barra composta. Portanto, usando a Eq. (11.21), escrevemos que a 
curvatura de uma barra de material composto é
1
�
=
M
E1I
onde I é o momento de inércia da seção transformada em relação à sua linha 
neutra.
b
dA ndA
nbb
b
=
Figura 11.20 Seção transformada 
para a barra de seção composta.
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466 Estática e mecânica dos materiais
Exemplo 11.3. Uma barra obtida a partir de duas peças de aço (Eaço = 203 GPa) 
e latão (Elatão = 105 GPa) tem a seção transversal mostrada na Fig. 11.22. Determi-
ne a tensão máxima no aço e no latão quando a barra estiver em flexão pura com 
um momento fletor M = 4,5 kN � m.
19 mm
10 mm 10 mm
76 mm
Aço
Latão Latão
36,7 mm
56,7 mm
10 mm 10 mm
76 mm
c = 38 mm
Só latão
L. N.
Figura 11.22 Figura 11.23
A seção transformada correspondente a uma barra equivalente feita inteira-
mente de latão é mostrada na Fig. 11.23. Como
n =
Eaço
E latão
=
203 GPa
105 GPa
= 1,933
a largura da parte central de latão, que substitui a parte de aço original, é obtida 
ao multiplicarmos a largura original por 1,933, temos
(19 mm)(1,933) = 36,7 mm
Note que essa variação na dimensão ocorre em uma direção paralela à linha neu-
tra. O momento de inércia da seção transformada em relação ao seu eixo que 
passa pelo centroide da seção é 
I = 112 bh3 =
1
12 (0,567 m)(0,076 m)
3 = 2 × 10–6 m4
e a distância máxima da linha neutra é c = 0,038 m. Usando a Eq. (11.15), encon-
tramos a tensão máxima na seção transformada:
σ m =
Mc
I
=
(4,5 kN � m)(0,038 m)
2 × 10–6 m4
= 85,5 MPa
O valor obtido também representa a tensão máxima na parte de latão da barra 
composta original. No entanto, a tensão máxima na parte de aço será maior que o 
valor obtido para a seção transformada, pois a área da parte central deve ser redu-
zida pelo coeficiente n = 1,933 quando retornamos da seção transformada para a 
original. Concluímos então que
 (σ latão)máx = 85,5 MPa
 (σ aço )máx = (1,933) (85,5 MPa) = 165,3 MPa ■
Um exemplo importante de elementos estruturais constituídos de dois 
materiais diferentes é encontrado em vigas de concreto reforçado (Foto 
11.4). Essas vigas, quando submetidas a momentos fletores positivos, são 
reforçadas por barras de aço colocadas a uma pequena distância da face Foto 11.4
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467Capítulo 11 � Flexão pura
inferior (Fig. 11.24a). Como o concreto tem baixa resistência à tração, ele 
trincará abaixo da superfície neutra e as barras de aço suportarão toda a 
força de tração, enquanto a parte superior da viga de concreto suportará o 
esforço de compressão.
Para obtermos a seção transformada de uma viga de concreto reforça-
do, substituímos a área total da seção transversal Aaço das barras de aço por 
uma área equivalente nAaço, em que n é a relação Eaço /Econc entre o módulo 
de elasticidade do aço e do concreto (Fig. 11.24b). Em contrapartida, como 
o concreto na viga atua efetivamente somente em compressão, apenas a 
parte da seção transversal localizada acima da linha neutra deverá ser usa-
da na seção transformada.
bb
d
1
2 x
x
L. N.
d – x
C
nAaço Faço
σ
(a) (b) (c)
Figura 11.24
A posição da linha neutra é obtida ao determinarmos a distância x da 
face superior da viga até o centroide C da seção transformada. Chamando 
de b a largura da viga e de d a distância da face superior até a linha de 
centro das barras de aço, escrevemos que o momento estático da seção 
transformada com relação à sua linha neutra deve ser zero. Como o mo-
mento estático de cada uma das duas partes da seção transformada é obti-
do ao multiplicarmos sua área pela distância de seu próprio centroide até a 
linha neutra, temos
(bx) 
x
2
– nAaço (d – x) = 0
ou
 
1
2
 bx2 + nAaço x – nAaço d = 0 
 
(11.26)
Resolvendo essa equação do segundo grau para x, obtemos a posição da 
linha neutra da viga, e a parte da seção transversal da viga de concreto que 
é efetivamente usada.
A determinação das tensões na seção transformada é feita conforme 
explicado anteriormente nesta seção (ver Problema Resolvido 11.4). A dis-
tribuição das tensões de compressão no concreto e a resultante Faço das 
forças de tração nas barras de aço são mostradas na Fig. 11.24c.
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	11.5 Flexão de barras constituídas de vários materiais