Matrizes Flexibilidade e Rigidez

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 8: Matrizes Flexibilidade e Rigidez
Apresentação
Esta aula será a continuação da Aula 7, pois aqui vamos calcular as reações de apoio usando as matrizes de �exibilidade e
rigidez.
Serão apresentados os coe�cientes de rigidez locais, os princípios dos deslocamentos virtuais, a matriz de rigidez local no
sistema global e a estrutura composta por duas hastes com solicitação axial.
Objetivos
Calcular reação de apoio a uma estrutura hiperestática aplicando a matriz de �exibilidade;
Calcular reação de apoio a uma estrutura hiperestática aplicando a matriz de rigidez.
Introdução ao método da �exibilidade e do método da rigidez
 Equações da física (Fonte: Shutterstock)
O método da �exibilidade (também conhecido como método das forças) determina um conjunto de reações Ou esforços
seccionais superabundantes ao equilíbrio estático de uma estrutura hiperestática, permitindo que as outras reações ou esforços
seccionais sejam calculados com as leis da estática. É o método das forças apresentado em forma matricial.

Uma superposição de soluções faz com que o método da rigidez tenha uma
discretização do comportamento contínuo de uma estrutura. Os que formam a base do
processo de discretização do método da rigidez direta são as configurações deformadas
de barras isoladas; são as soluções fundamentais para o método.
MARTHA, s./d., cap. 5
Há dois tipos de soluções fundamentais de barras isoladas, segundo Martha (s./d., cap. 5):
1
Coe�cientes de rigidez locais
Correspondem força e momento que
devem atuar nas extremidades de uma
barra para equilibrá-la quando são
impostos, isoladamente, deslocamentos
ou rotações unitárias nas suas
extremidades.
2
Reações de engastamento perfeito de uma barra isolada
provocadas por solicitações externas
As reações de apoio para uma barra com as extremidades
engastadas resultantes da aplicação de uma solicitação
externa.
Os tipos de solicitações externas são forças concentradas, momentos concentrados, forças distribuídas e variação de
temperatura.
Nesta aula, são deduzidos coe�cientes de rigidez locais para barras com seção transversal que não variam ao longo do seu
comprimento. As propriedades de materiais, de comprimento de barra e geométricas de seção transversal, utilizadas pelas
soluções fundamentais de rigidez, são:
E ➜ módulo de elasticidade do material [F/L ];
L ➜ comprimento de uma barra [L];
A ➜ área da seção transversal [L ];
I ➜ momento de inércia à �exão da seção transversal [L ];
Jt ➜ momento de inércia à torção da seção transversal [L ].
2
2
4
4
Coe�cientes de rigidez locais
São momentos e forças que devem atuar nas barra isolada, suas extremidades, para equilibrá-la quando é imposto um
deslocamento (ou rotação) unitário, em uma das suas extremidades (Figura 1).
 Figura 1 – Viga biapoiada com deslocamento nos nós. Fonte: McCORMAC,
s./d.
Os momentos M e M nas extremidades produzem as rotações � e � naquelas extremidades. Usando o procedimento do
método das inclinações, nessas expressões, k é igual a I/L, o denominado coe�ciente de rigidez.
1 2 1 2
=  2EK(2 +  ) = +   M1 θ1 θ2 4EIL  θ1
2EI
L 
θ2
=  2EK( + 2  ) = +   M2 θ2 θ2 2EIL  θ1
4EI
L 
θ2
Em forma matricial, temos:
[ ]  =   [ ]  [ ]M1
M2
4EI
L
2EI
L
2EI
L
4EI
L
θ1
θ2
Os coe�cientes 4EI/L e 2EI/L podem ser escritos simbolicamente como K , onde os subscritos de�nem a linha e a coluna do local
dos coe�cientes na matriz de rigidez.
ij
[ ]  =   [ ]  [ ]M1
M2
K11
K21
K12
K22
θ1
θ2
O coe�ciente de rigidez K pode ser interpretado como o momento que deve ser aplicado à extremidade 1 a �m de produzir uma
rotação unitária ( = 1), enquanto a extremidade oposta da viga permanece �xa ( = 0) conforme a �gura abaixo.
O coe�ciente K é o momento resultante na extremidade 2 da viga para essa situação. De modo semelhante, temos os
coe�cientes K e K . Como podem ser vistos na Figura 2.
11
1 2
21
12 22
 Figura 2 – Viga biapoiada com deslocamento nos nós. Fonte: McCORMAC,
s./d.
Veja a seguir, mais três abordagens importantes.
Princípio dos deslocamentos
virtuais
Para dar uma condição de
equilíbrio a um sistema de força é
imposto o princípio dos
deslocamentos virtuais (PDV).
Arbitra-se uma con�guração
deformada, chamada virtual, da
qual se sabe que satisfaz as
condições de compatibilidade.
A principal utilidade do PDV é a
determinação de forças e
momentos que são necessários
para garantir o equilíbrio da
con�guração de um modelo
estrutural.
Matriz de rigidez local no sistema
global
A in�uência de uma barra, na
matriz de rigidez global, tem que
transformar as propriedades
mecânicas da barra, para o
sistema de coordenadas
generalizadas globais.
Introdução da Matriz de
Flexibilidade
Esse é, na realidade, o método das
forças (aulas 2 e 3) consistente
colocado na forma matricial.
Ainda sobre a introdução da Matriz de Flexibilidade veja o roteiro de calculo:
 Figura 3 – Estrutura hiperestática (viga).
⇩
 Figura 4 – Sistema principal (com 3 x).
Neste contexto o, é importante saber os seguintes passos:
Deve-se iniciar transformando a estrutura hiperestática (Figura 3), rompendo-se tantos vínculos
quantos necessários para se obter um modelo isostático (sistema principal, Figura 4);
O sistema principal deverá ser compatibilizado com a estrutura original através da aplicação de ações
(x) nos locais e nas direções onde houve cortes de vínculos;
Um valor unitário é aplicado à estrutura principal no local e na direção onde foi rompido o vínculo. É
calculada a de�exão devida a uma carga unitária no ponto 1 e denominada aqui de � , e a de�exão no
ponto 2 devido à carga unitária devido ao ponto 1 é denominada � , assim por diante. Os
deslocamentos devidos à carga unitária são chamados de coe�cientes de �exibilidade. O
deslocamento real no nó 1, devido à redundante estática X1, vale X1 vezes a de�exão por uma carga
unitária agindo ali, isto é, X * , o deslocamento transversal no nó 2 devido a X , vale X * , e assim
por diante;
Finalmente, são escritas as equações simultâneas de compatibilidade de deformações no local de
cada uma das redundantes estáticas. As incógnitas dessas equações são as forças redundantes. As
equações são expressas na forma matricial e resolvidas a �m de fornecerem o valor das redundantes.
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21
1 11 1 1 21
Para ilustrar esses procedimentos, observe as �guras abaixo:
 Figura 5 – Estrutura hiperestática com carregamento qualquer.
⇩
 Figura 6 – Sistema Principal (com 3 grau de hiperestaticidade).
⇩
 Figura 7 – Deformação com o carregamento (Estado 0 – só carga).
⇩
 Figura 8 – Deformação aplicando a carga de X (Estado 1 – só X ).1 1
⇩
 Figura 9 – Deformação aplicando a carga de X (Estado 2 – só X ).2 2
⇩
 Figura 10 – Deformação aplicando a carga de X (Estado 3 – só X ).3 3
Somando as deformações do ponto 1, temos:
� + � X + � X + � X = 0
Somando as deformações do ponto 2, temos:
� + � X + � X + � X = 0
Somando as deformações do ponto 3, temos:
� + � X + � X + � X = 0
10 11 1 12 2 13 3
20 21 1 22 2 23 3
30 31 1 32 2 33 3
Essa equação indica que os deslocamentos devidos às cargas, mais a matriz de �exibilidade, vezes as redundantes estáticas são
iguais à deformação �nal nos apoios. Ela pode ser escrita na forma compacta, como a seguir:
[� ]  +  [F ][R]  =  [ ]�L �R
Onde:
[ ] ➜ é um vetor de deslocamento devido à carga imposta;
[F] ➜ é a matriz dos coe�cientes de �exibilidade;
[R] ➜ é um vetor das forças redundantes;
[ ] ➜ é um vetor das deformações �nais nos apoios (todos iguais a zero aqui).
L
R
Essa equação pode ser escrita de outra forma, a �m de serem encontrados os valores das redundantes.
[� R]  +  [F  [ ]  −   � ]]−1 �R �L
O símbolo [F] representa a matriz inversa de [F].-1
Saiba mais
Agora, veja um exemplo de como determinar as reações de apoios da viga <galeria/aula8/anexo/doc01.pdf> .
Exemplo da estrutura composta de 2 hastes com solicitação axial
Para identi�car e ordenar matricialmenteas ações mecânicas (forças e momentos) seguir o exemplo abaixo (Figura 12).
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc01.pdf
 Figura 12 – Estrutura composta de 2
hastes com solicitação axial: 
(a) - Sistema de coordenadas globais (1 e 2); 
(b) e (c) – Coeficientes de rigidez; 
(d) e (e) – Coeficientes de
flexibilidade.
Neste contexto, ainda temos os conceitos de:
Clique nos botões para ver as informações.
Da resistência dos materiais obtém-se as relações da haste com solicitação normal:
A matriz de �exibilidade da estrutura pode, então, ser montada a partir do conceito de seus coe�cientes: f - é o
deslocamento na coordenada 1 provocado pela aplicação de uma força unitária também na coordenada 1:
f - é o deslocamento na coordenada 2 provocado pela aplicação de uma força unitária na coordenada 1:
f - é o deslocamento na coordenada 1 provocado pela aplicação de uma força unitária na coordenada 2:
f - é o deslocamento na coordenada 2 provocado pela aplicação de uma força unitária também na coordenada 2:
Logo, obtém-se:
Solicitação normal 
11
21
12
22
A viga abaixo está sujeita a uma carga normal. Determinar as reações de apoios da viga.
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
I = 0,002604 m (seção da viga 0,25 x 0,50) ➜ A = 0,125 m
EI = 260400 kNm
Reações de apoios da viga: exemplo 
8 2
4 2
2
Solução
1º Passo: Sistema Principal (SP):
2º Passo: Diagrama de momento �etor no Estado 0 (só carga):
3º Passo: Diagrama de momento �etor no Estado 1 (só X ):
Um elemento sujeito a uma carga axial varia de comprimento segundo valor de �L=PL/AE, assim sendo:
1
=  (L) +     (L)  δ20 1200
AE
500
AE
=  (1, 5)  +    (2, 0) = 0, 08602 mδ20 1200(0,125 x 260400)
500
(0,125 x 260400)
= 1( ) = 1 ( ) = 0, 0001536 mδ22 L
AE
5
(0,125 x 260400)
A seguir, é calculada a reação em 2:
20 + 11R2 = 0
0,028602 + 0,0001536 R2 = 0
R2 = -560 kN
R1 = 700 + 500 -560 = 640 kN
Introdução à Matriz de Rigidez
A matriz de rigidez pode ser obtida pela simples inversão da matriz �exibilidade, obtendo-se:
k - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 1, mantendo-se as demais
coordenadas restringidas.
k - k - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 2, mantendo-se as
demais coordenadas restringidas.
k - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 2, mantendo-se as demais
coordenadas restringidas.
Obtendo-se, por �m, a mesma matriz de rigidez:
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12 12
22
Saiba mais
Agora, veja um exemplo de como deduzir a matriz de rigidez de uma viga (barra) com dois nós <galeria/aula8/anexo/doc02.pdf> .
Matrizes de Rigidezes
Nas matrizes abaixo foram de�nidos os coe�cientes de rigidez a partir das relações de ações e deslocamentos.
Saiba mais
Veja a de�nição completa em: Análise Matricial de Estruturas <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> .
Saiba mais
Agora, veja um exemplo de como determinar a rotação e as reações de apoios da viga <galeria/aula8/anexo/doc03.pdf> .
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc02.pdf
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc03.pdf
Atividades
1. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de �exibilidade:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,35m x 0,50m
8 2
2. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de �exibilidade:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,25m x 0,60m
8 2
3. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de rigidez:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,25m x 0,45m
8 2
4. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de rigidez:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,25m x 0,45m
8 2
5. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de rigidez:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,25m x 0,45m
8 2
NotasReferências
ARAGÃO Filho, Luiz A. C. Moniz de. Notas de aula. Disponível em: //aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
<//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> . Acesso em: 27 fev. 2019.
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 9. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 22. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estruturas – formulação matricial. cap. 1. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, s/d.
Próxima aula
O método da matriz de rigidez direta sendo aplicada para desenhar os diagramas solicitantes e calcular as reações de apoio.
Desenhar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas usando o método das matrizes rigidez direta.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, acesse:
Aquarius IME <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/>
Aquarius IME <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/>
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/