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LÓGICA MATEMÁTICA – TEOREMAS , PROPRIEDADES , FNC , FND , ARGUMENTOS , 
REGRAS DE INFERÊNCIA , VALIDADE DE UM ARGUMENTO , DEMONSTRAÇÃO 
Conjunção � Propriedades da Equivalência Lógica: Regra de dupla negação 
Disjunção(inclusivo) � CONECTIVOS: � � � � � 1. Reflexiva: P(p,q,r,...) � P(p,q,r,…) ~~ p � p 
Disjunção(exclusivo) � 2. Simétrica: Se P(p,q,r,...) � Q(p,q,r,…)então Regra de Clavius 
 Q(p,q,r,...) � P(p,q,r,…) ~ p � p � p 
 Tautologia V 3. Transitiva: Se P(p,q,r,...) � Q(p,q,r,…) e Regra de absorção 
 Contradição F Q(p,q,r,...) � R(p,q,r,…) então p� p � q � p � q 
 Contingência V / F P(p,q,r,...) � R(p,q,r,…) Regra exportação-importação 
 p � q � r � p � ( q � r ) 
 Método de demonstração 
 Lógica Clássica IMPLICAÇÕES LÓGICAS: por absurdo 
1. Princípio da Identidade Adição p � ~ q � c � p � q 
p�p p�p p�p�q e p�q�p Propriedades da 
2. Princípio da Não-Contradição Simplificação Conjunção 
 ~(p�~p) p�q�p e p�q�q Idempotente Propriedades da 
3.Princípio do Terceiro Excluído Silogismo Disjuntivo p�p � p Disjunção 
 p�~p (p�q) � ~p � q Comutativa Idempotente 
Propriedades da Implicação L. (p�q) � ~q � p p�q � q�p p�p � p 
1.Reflexiva: P � P Modus ponens(afirmar) Associativa Comutativa 
2.Transitiva: Se P � Q e (p�q) � p � q ( p�q ) � r � p�(q �r) p�q � q�p 
 Q � R então Modus tollens(negar) Identidade Associativa 
 P � R (p�q) � ~q � �p p�t � p El. Neutro ( p�q ) � r � p� (q�r) 
 Silogismo hipotético p�c � c El. Abs. Identidade 
 Proposições Associadas a uma (p�q) � (q�r) � (p�r) p � t � t El. Abs. 
 Condicional p � c � p El. Neutro 
 Recíproca: p � q : q � p Negação da Condicional 
 Contrária: p � q : ~ p � ~ q Negação Conjunta: p�q � �p � �q � ( p � q ) � p � � q 
Contrapositiva: p � q : ~ q � ~ p Negação Disjunta: p�q � �p � �q Negação da Bicondicional ( p�q ) � ~ ( p � q ) 
 �( p � q ) � ( p � � q ) � ( � p � q ) 
p q p�q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 Propriedades da Conjunção e da Disjunção Princípio da Dualidade Argumentos Válidos Fundamentais 
 P: (p�p) � (p�q) 1) AD: p ⊢ p � q ; p ⊢ q � p 
 Distributiva: p � (q�r) � (p�q) � (p�r) Dual: (p�p) � (p�q) 2) SIMP: p � q ⊢ p ; p � q ⊢ q 
 p � (q�r) � (p�q) � (p�r) 3) CONJ: p , q ⊢ p � q ; p , q ⊢ q � p 
 Absorção: p � (p�q) � p 4) ABS: p � q ⊢ p � ( p � q ) 
 p � (p�q) � p Argumento 5) MP: p � q , p ⊢ q 
 Leis de De Morgan: ~( p � q ) � ~p � ~q P1,P2,P3,...,Pn ⊢ Q 6) MT : p � q , ~q ⊢ ~p 
 ~( p � q ) � ~p � ~q P1,P2,...,Pn: Premissas 7) SD: p � q , ~p ⊢ q ; p � q , ~q ⊢ p 
 Q: Conclusão 8) SH: p � q , q � r ⊢ p � r 
 9) DC: p � q , r � s , p � r ⊢ q � s 
 10) DD: p � q , r � s , ~q � ~s ⊢ ~p � ~r 
 Forma Normal Teorema EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS 
FN: ~ , � , � P1,P2,P3,...,Pn ⊢ Q 1) (ID): p � p � p ; p � p � p 
FNC ( � ): 1. ~ , � , � P1�P2�P3�,....,�Pn � Q 2) (COM): p � q � q � p 
 2. ñ aparece ~~ � Tautologia p � q � q � p 
 ~(p�q) e ~(p�q) ARGUMENTO VÁLIDO 3) (ASSOC): p � ( q � r ) � ( p � q ) � r 
 3. p � (q � r) (não pode acontecer) � p � ( q � r ) � ( p � q ) � r 
 (p�q) � (p�r) ARGUMENTO INCONSISTENTE 4) (DIST): p � ( q � r ) � ( p � q ) � ( p � r ) 
 (p � q) � r (não pode acontecer) � 	 PREMISSAS GERAM UMA p � ( q � r ) � ( p � q ) � ( p � r ) 
 (p�r) � (q�r) CONTRADIÇÃO5) (DN): p � �� p 
FND ( � ): 1. ~ , � , � 6) (DM): � ( p � q ) � � p � � q 
 2. ñ aparece ~~ P1, P2, ... , Pn 
 Q ( DEDUÇÃO ) � ( p � q ) � � p � � q 
 ~(p�q) e ~(p�q) 	 P1, P2, ... , Pn � SEQ. FINITA 7) (COND): p � q � � p � q 
 3. p � (q � r) (não pode acontecer) � X1, X2, ... , Xk 	 Xk � Q 8) (BICOND): p � q � ( p � q ) � ( q � p ) 
 (p�q) � (p�r) p � q � ( p � q ) � ( �p � �q ) 
 (p� q) � r (não pode acontecer) � PROVA CONDICIONAL: 9) (CP): p � q � � q � � p 
 (p�r) � (q�r) p � ( q � r ) � ( p � q ) � r 10) (E-I): p � q � r � p � ( q � r ) 
 
Nand : ( p � q ) � � ( p � q ) DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL(DC) DEMONSTRAÇÃO INDIRETA(DI) � ABSURDO 
Nor : ( p � q ) � � ( p � q ) P1,P2, … , Pn � A� B (1) P1, P2, … , Pn 
 Q (1) 
Negação : � p � ( p � q ) ; � p � ( p � p ) P1 � P2 � ... � Pn � A � B P1, P2, … , Pn, �Q 
 C (2) 
 P1, P2, ... , Pn, A � B (2) (1) É VÁLIDO � (2) É VÁLIDO