Eletrostática e a distribuição de cargas discretas

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DESCRIÇÃO
A construção dos principais conceitos e das aplicações fundamentais da eletrostática para distribuições
discretas de cargas como ponto de partida da moderna teoria eletrodinâmica clássica.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos e as aplicações de carga elétrica, força elétrica, campo elétrico e potencial
elétrico para adquirir as habilidades essenciais à teoria eletromagnética, modernamente chamada de
eletrodinâmica clássica.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer a relação entre a carga elétrica e a Lei de Coulomb
MÓDULO 2
Identificar o campo elétrico de cargas discretas
MÓDULO 3
Calcular o potencial elétrico de cargas discretas
INTRODUÇÃO
A experiência humana com o universo ocorre por meio do eletromagnetismo. Os fenômenos químicos e
biológicos, as forças típicas da mecânica, os princípios elétricos e magnéticos naturais, toda a nossa
tecnologia e os meios de observar a natureza. Tudo isso gira em torno do eletromagnetismo.
Neste tema, você visitará a eletrostática para distribuições discretas de cargas elétricas: a carga elétrica,
a Lei de Coulomb, o campo elétrico e o potencial elétrico.
ELETROSTÁTICA E A DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
ELÉTRICAS
MÓDULO 1
 Reconhecer a relação entre a carga elétrica e a Lei de Coulomb
TEORIA ELETRODINÂMICA CLÁSSICA
No presente estado de evolução do universo, sabemos que existem quatro interações fundamentais na
natureza: forte, eletromagnética, fraca e gravitacional.
A despeito de modelos teóricos e de algumas evidências indicando haver algo mais entre o céu e a terra,
principalmente quando investigamos os modelos cosmológicos e de partículas fundamentais, são essas
quatro interações que temos por fortes fenomenologias, experiências e teorias físicas.
Mas e as forças de fricção? E a força normal que nos impede de afundar no chão? E as forças químicas
que mantêm moléculas e células? E as tensões e as forças de contato que tanto estudamos em
mecânica newtoniana?
A resposta é que todas essas forças fazem parte da interação eletromagnética. Não só isso, mas toda a
nossa experiência diária, o contato com a natureza e o universo ocorrem por meio da interação
eletromagnética.
 VOCÊ SABIA?
Toda a química e a biologia são derivações dessa interação, porque as interações nucleares forte e fraca são
de curtíssimo alcance no domínio de escalas das partículas subatômicas.
A interação gravitacional é tão pouco intensa que somente grandes massas de corpos cósmicos são
capazes de causar efeitos sobre nossa existência. Para termos ideia da diferença de escalas, se a força
de ligação entre um elétron e um próton, em um átomo de hidrogênio, tivesse a mesma intensidade da
interação gravitacional, esse simples átomo seria maior que nosso universo conhecido.
 EXEMPLO
A repulsão elétrica entre dois elétrons é 1042 vezes maior que sua atração gravitacional.
Assim, percebemos a interação gravitacional somente nas vizinhanças das grandes massas da Terra, da
Lua, do Sol, das galáxias e de todos os corpos cósmicos muito massivos que admiramos ao vislumbrar
o universo.
Além disso, a teoria eletromagnética, que chamaremos de teoria eletrodinâmica clássica, é o modelo
teórico e fenomenológico mais bem-sucedido que pudemos construir e o conjunto de fenômenos mais
bem compreendidos que conhecemos. A teoria foi sendo descoberta ao longo de séculos por inúmeros
cientistas e pesquisadores, como:
 
(Fonte: Wikipedia)
BENJAMIN FRANKLIN (1706-1790)
Político, cientista e inventor americano cujos experimentos mostraram que as nuvens são carregadas de
eletricidade e que os raios são, portanto, essencialmente descargas elétricas, o que lhe permitiu a
invenção dos para-raios. Seu trabalho sobre eletricidade o levou a formular conceitos como eletricidade
negativa e positiva ou condutor elétrico.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
 
(Fonte: Wikipedia)
CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB (1736-1806)
Físico francês que enunciou a Lei de Coulomb, cujo princípio afirma que a força entre duas cargas
elétricas é proporcional ao produto dessas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre elas. As forças de Coulomb são umas das mais importantes envolvidas nas interações entre
átomos.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
 
(Fonte: Wikipedia)
ANDRÉ-MARIE AMPÈRE (1775-1836)
Físico francês que fundou a lei empírica do eletromagnetismo, conhecida como Lei de Ampère, a qual
descreve matematicamente a força magnética entre duas correntes elétricas.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
 
(Fonte: Wikipedia)
HANS CHRISTIAN OERSTED (1777-1851)
Físico e químico dinamarquês que descobriu a ação magnética de correntes elétricas. Com base em
uma série de experimentos, ele estabeleceu a conexão entre os fenômenos elétricos e magnéticos.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
 
(Fonte: Wikipedia)
MICHAEL FARADAY (1791-1867)
Cientista britânico, um dos físicos mais proeminentes do século XIX, que descreveu matematicamente a
lei que governa a produção de eletricidade por um ímã através da dinâmica de campos magnéticos
sobre circuitos ou enrolamentos de condutores. Ele também realizou vários experimentos
eletroquímicos que lhe permitiram relacionar diretamente a matéria com a eletricidade.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
 
(Fonte: Wikipedia)
HENDRIK LORENTZ (1853-1928)
Físico holandês cujo trabalho afirma que os fenômenos da eletricidade se devem a movimentos de
partículas elétricas elementares por ele chamadas de elétrons. Em sua teoria, a matéria aparece como
um complexo de átomos formado por elétrons negativos. Logo depois, com efeito, afirmou-se que o
átomo é composto por elétrons que viajam por órbitas elípticas em torno do núcleo. A força de interação
entre partículas carregadas e de correntes elétricas com campos elétricos e magnéticos leva seu nome
(Força de Lorentz), por relevantes contribuições.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
Mas foi James Clerk Maxwell que, reunindo todas essas contribuições, compreendeu sua matemática,
unificou a eletricidade e o magnetismo, ajustou o que faltava, explicou os fenômenos ópticos e
ondulatórios em uma única teoria unificada sobre a qual discutiremos agora.
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(Fonte: Wikipedia)
JAMES CLERK MAXWELL (1831-1879)
Físico britânico que introduziu o conceito de onda eletromagnética, o qual permite uma descrição
matemática adequada da interação entre eletricidade e magnetismo por meio de suas famosas
equações, que descrevem e quantificam campos de força. Sua teoria sugeria a possibilidade de
geração de ondas eletromagnéticas em laboratório, fato comprovado anos após sua morte, que,
mais tarde, marcou o início da era da comunicação rápida a distância.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
Após Maxwell, ficou claro que os fenômenos elétricos, magnéticos, ópticos e toda radiação
eletromagnética, desde as ondas de rádio e as micro-ondas até as radiações infravermelhas e
ultravioletas, os raios-X e os raios gama são manifestações da mesma teoria eletrodinâmica clássica.
A CONEXÃO ENTRE LUZ E ELETRICIDADE ESTÁ AGORA
ESTABELECIDA [...]. EM CADA CHAMA, EM CADA PARTÍCULA
LUMINOSA, NÓS VEMOS UM PROCESSO ELÉTRICO [...]. ASSIM,
O DOMÍNIO DA ELETRICIDADE SE ESTENDE POR TODA A
NATUREZA E NOS AFETA ATÉ INTIMAMENTE: PERCEBEMOS
QUE POSSUÍMOS [...] UM ÓRGÃO ELÉTRICO – O OLHO.”
(HERTZ, 1888)
A teoria eletromagnética é o modelo de interação entre cargas elétricas, campos elétricos e magnéticos.
Na presença desses campos, as cargas experimentam forças.
Os campos elétricos variáveis geram campos magnéticos, e os campos magnéticos variáveis geram
campos elétricos.Não é possível separá-los. Os campos elétricos e magnéticos são os mediadores da
interação entre cargas, mas a teoria também prevê os campos puros, sem fontes.
CARGAS ELÉTRICAS
Os fenômenos elétricos eram conhecidos há milênios apesar de não compreendidos. Não faz muito
tempo, nossos antepassados estavam tentando entender a causa desses fenômenos.
Vamos dar um salto histórico e seguir diretamente à pergunta que preocupou as gerações nas ciências:
QUAL É A CAUSA DOS FENÔMENOS ELÉTRICOS? O QUE
OS PROVOCA?
Por fenômenos elétricos, podemos citar uma infinidade de fenômenos em consequência da interação
elétrica. Na eletrodinâmica clássica, duas são as interações que compõem a interação eletromagnética:
a interação elétrica e a interação magnética.
Inicialmente, devemos pensar nos fenômenos elétricos estáticos não dinâmicos e refazer a pergunta:
QUAL É A CAUSA DA INTERAÇÃO ELETROSTÁTICA, A
CONHECIDA FORÇA DE ATRAÇÃO E REPULSÃO
ELETROSTÁTICA?
A RESPOSTA OBJETIVA É QUE A CAUSA, A ORIGEM DOS
FENÔMENOS ELETROSTÁTICOS SÃO AS CARGAS ELÉTRICAS.
ENTÃO, CARGAS ELÉTRICAS SÃO A FONTE DAS INTERAÇÕES
ELETROSTÁTICAS.
Manteremos nosso foco na causa desses fenômenos eletrostáticos clássicos, isto é, não vamos
adentrar, neste tema, no universo quântico da origem desses fenômenos: as cargas elétricas do ponto
de vista quântico. Antes, nos situaremos somente nos fenômenos clássicos eletrodinâmicos. Por esse
viés, a carga elétrica clássica não precisa de uma explicação de origem microscópica, mesmo porque,
na escala de energias e tamanhos dos fenômenos eletrodinâmicos clássicos, da teoria de Maxwell, não
existem partículas quânticas.
Assim, a carga elétrica é a fonte da interação eletrostática, usualmente presente na matéria, que pode
acumular ou ceder cargas elétricas, dando origem à interação eletrostática.
 EXEMPLO
Um material carregado eletricamente ou eletrizado terá um superávit de cargas elétricas negativas, e aquele
carregado positivamente terá um déficit de cargas elétricas negativas.
Só há uma carga elétrica clássica, negativa por convenção, sendo as cargas positivas a ausência de
cargas negativas. Os materiais podem se carregar negativamente, com excesso de cargas elétricas
negativas, ou se descarregar, com déficit de cargas negativas, apresentando carga efetiva positiva.
Esta compreensão introduz o princípio de conservação da carga. A totalidade das cargas elétricas deve
ser conservada nos sistemas físicos clássicos.
 RESUMINDO
Na teoria de Maxwell, observaremos e trataremos das cargas elétricas com dois atributos: cargas atributo
negativas e cargas atributo positivas.
Atualmente, conhecemos a origem quântica das cargas elétricas, a existência do elétron, mas a origem
dessa partícula fundamental não está prevista nos fenômenos clássicos, pois a teoria não atinge escala
de energias em que possam ser definidas. No entanto, estão sujeitas às interações eletromagnéticas
clássicas também.
Apesar de sabermos da existência do elétron, como origem fundamental das cargas elétricas de atributo
negativas, a teoria clássica não os prevê. Para isso, temos uma teoria quântica: a eletrodinâmica
quântica, na qual os elétrons e pósitrons são corretamente definidos.
ELÉTRON
O elétron, partícula fundamental da natureza, descoberto por J.J. Thomson em 1897, não foi
antecipado teoricamente pela Teoria Eletrodinâmica Clássica de J.C. Maxwell, em 1867, ou seja, 30
anos antes. Na verdade, a Teoria Eletrodinâmica Clássica de Maxwell apresenta a carga elétrica
como causa dos fenômenos elétricos, mas não apresenta a partícula fundamental de carga
elétrica, pois habitam escalas de energias e distâncias completamente diferentes, apesar de
sabermos hoje em dia do que são constituídas as cargas de Maxwell em essência. Para a
descrição dinâmica da Teoria do Elétron, como partícula fundamental, temos a Eletrodinâmica
Quântica, proposta nos anos 1920, por P. M. Dirac. Esta teoria também antecipou a descoberta
posterior de outra partícula fundamental chamada por Dirac de pósitron. Assim, a teoria clássica
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de Maxwell apenas necessita da existência de cargas elétrica como causa de fenômenos, mas não
do que são constituídas as cargas elétricas. Essa diferença de escalas de energias físicas costuma
provocar incompreensão conceitual muito comum.
 DICA
Na teoria clássica de Maxwell, basta compreendermos que existem cargas elétricas que são, por convenção,
negativas. As cargas positivas são efetivamente ausências de cargas negativas.
Vale o princípio de conservação da carga. Podemos tratar a teoria com dois atributos de cargas, que são
a causa dos fenômenos eletrostáticos. Sabemos, fenomenologicamente, com alta precisão, o valor da
carga fundamental eletrônica, e que os materiais se carregam em múltiplos inteiros dessa carga
fundamental, mas isso é objeto da teoria quântica.
Nas figuras a seguir estão os esquemas dos aparatos experimentais usados por Joseph John Thomson,
na descoberta do elétron, e por Robert Andrews Millikan, que mediu a carga fundamental eletrônica:
 
(Fonte: Wikimedia)
JOSEPH JOHN THOMSON (1856-1940)
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Físico britânico que investigou a natureza dos raios catódicos e mostrou que os campos elétricos
podem desviá-los. Em 1897, descobriu uma nova partícula, a qual seria batizada com o nome de
elétron, que era cerca de mil vezes mais leve que o hidrogênio. Thomson foi, portanto, o primeiro a
identificar partículas subatômicas e chegou a conclusões importantes sobre partículas carregadas
negativamente: com o aparelho que construiu, obteve a relação entre a carga elétrica e a massa do
elétron.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
 
(Fonte: Wikipedia)
ROBERT ANDREWS MILLIKAN (1868-1953)
Físico americano cujos trabalhos tinham o objetivo de medir a carga do elétron, bem como estudar
o efeito dos campos elétricos e gravitacionais sobre uma gota de água e óleo. Também realizou
estudos sobre a absorção de raios-X, o movimento browniano dos gases, o espectro ultravioleta e
a natureza dos raios cósmicos, especificando a variação sazonal de sua intensidade com a
altitude.
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
 
(Fonte: Openstax)
 Equipamento da experiência do tubo de raios catódicos de Thomson e a descoberta do elétron.
 
(Fonte: Wikipedia)
 Experimento da gota líquida de Millikan e a medida da carga fundamental eletrônica.
Vamos resumir o já que sabemos e definir, agora, as cargas elétricas com base em alguns princípios.
CARGAS ELÉTRICAS OCORREM EM DOIS ATRIBUTOS
Cargas elétricas são acúmulos ou déficit de cargas eletrônicas fundamentais. Assim, um material
carregado positivamente possui um déficit de cargas fundamentais eletrônicas. E um material carregado
negativamente possui um superávit de cargas fundamentais eletrônicas.
Para os fenômenos da teoria eletrodinâmica, esse mecanismo, de motivação histórica, de atribuição de
sinais às cargas, não faz diferença desde que possamos identificar os dois atributos
fenomenologicamente diferentes do superávit ou déficit de cargas fundamentais eletrônicas, que foram
historicamente chamadas de cargas negativas e positivas, respectivamente, e mantidas por razões
operatórias e de convenção.
O fato é que cargas elétricas ocorrem em dois atributos, e essas nomenclaturas de cargas positivas e
negativas são, atualmente, apenas convencionais, usadas somente para identificar os dois atributos de
cargas, não possuindo maior fundamentação física.
CARGAS ELÉTRICAS SÃO CONSERVADAS
A totalidade de cargas elétricas no universo é constante. Se retirarmos cargas negativas ou positivas de
um corpo, essas cargas irão para outro corpo. Dizemos que as cargas se conservam global e
localmente.
A CARGA ELÉTRICA É QUANTIZADA
Todo material carregado eletricamente o será em múltiplos inteiros da carga fundamental eletrônica.
Esse fato de origem quântica não tem explicaçãona teoria eletrodinâmica de Maxwell. Essa questão
habita o universo das teorias quânticas.
CARGAS ELÉTRICAS SÃO A FONTE (CAUSA) DOS CAMPOS E
DAS FORÇAS ELÉTRICAS ESTÁTICAS
Ao “gerarem” campos eletrostáticos, as cargas elétricas estáticas informam o universo vizinho de sua
existência. Do ponto de vista quântico, são partículas de luz (fótons) que constituem os campos, bem
como percorrem o espaço disponível até excitarem outras cargas e induzirem forças elétricas de
Coulomb a distância.
LEI DE COULOMB
A interação eletrostática é a força de interação entre duas cargas elétricas estacionárias. É um
fenômeno da natureza.
Cargas eletrostáticas interagem segundo uma lei vetorial de força, proporcional ao produto das cargas,
inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa essas cargas, agindo na mesma
direção da linha de ação entre as cargas, com sentido atrativo, se as cargas tiverem atributos opostos,
de acordo com a convenção, positiva e negativa, ou sentido repulsivo, se as cargas tiverem o mesmo
atributo, positiva e positiva ou negativa e negativa.
 SAIBA MAIS
A Lei de Coulomb foi obtida por Charles Augustin de Coulomb, em 1783, modelando o fenômeno diretamente
da experimentação. É fundamental que você perceba que a Lei de Coulomb das interações eletrostáticas é
uma lei vetorial, e assim deve ser tratada.
 
(Fonte: Wikipedia)
Forças são objetos vetoriais, e suas magnitudes são somente parte da informação sobre uma força, que
chamamos de módulo ou magnitude da força. Então, para representar matematicamente uma força,
precisamos, além de seu módulo, descrever sua direção e sua orientação (sentido).
Vamos entender, agora, como se relaciona a Lei de Coulomb com as cargas elétricas, a existência da
força eletrostática entre cargas elétricas.
Considere duas cargas elétricas estáticas (q1 e q2). A força de Coulomb entre elas será:
A força de Coulomb atua na direção da linha de ação entre as cargas sobre cada carga. Assim, a carga
q2 experimenta uma força , da esquerda para a direita, na direção de , e a carga q1
experimenta uma força , da direita para a esquerda, na mesma direção de .
 DICA
→
F 1,2
→
r 1,2
→
F 2,1
→
r 1,2
Essas duas forças terão o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentidos opostos. Se calcularmos uma,
saberemos a outra.
Se tivermos uma distribuição discreta de cargas elétricas (qi ) e uma carga de prova (Q0), poderemos
utilizar o princípio da superposição, que estabelece que a interação elétrica entre duas cargas não é
afetada pela presença das outras cargas.
Assim, podemos calcular a força de Coulomb entre cada carga fonte (qi ) e a carga de prova (Q0),
somando todas as contribuições de forças ao final:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 RELEMBRANDO
Para cada duas dessas cargas, o vetor deslocamento relativo entre elas ( ) será, em princípio, diferente.
Logo, temos:
→
F R =  
→
F 1 +  
→
F 2  +  
→
F 3  + …
→
r i, 0
 
(Fonte: o Autor)
A permissividade do vácuo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a constante de Coulomb no vácuo é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DEMONSTRAÇÃO
Sejam duas cargas elétricas (+q e –q), que estão posicionadas sobre o eixo x, de um sistema
coordenado xy, nas posições –a e +a, respectivamente. Obteremos a força elétrica de Coulomb
resultante ( ) experimentada por uma carga de prova (Q) em um ponto qualquer do eixo y.
RESOLUÇÃO
Vamos aos cálculos:
ϵ0 = 8,85. 10
−12 C 2
N .m2
k = = 8,99. 1091
4π ϵ0
 N .m2
C 2
→
F R
→
F 1 = k r̂1  
qQ
∣
∣
→
r 1∣∣
2
→
r 1 = aî + y ȷ̂
∣
∣
→
r 1
∣
∣ = √a
2 + y2
r̂1 = =
→
r 1
∣
∣
→
r 1∣∣
aı̂ +y ȷ̂
√a2+y2
→
F 1 = k ⋅[ ]
qQ
(a2+y2)
aı̂ +y ȷ̂
(a2+y2)1/2
→
F 1 = k [aı̂ + y ȷ̂]
qQ
(a2+y2)3/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: o Autor)
Assim, aqui, só terá componente horizontal. Como a segunda carga tem atributo negativo, a força 
 sobre Q será atrativa. Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
→
F 2 = −k r̂2
qQ
∣
∣
→
r 2
∣
∣
2
→
r 2 = −aı̂ + y ȷ̂
∣
∣
→
r 2
∣
∣ = √a
2 + y2
r̂2 = =
→
r 2
∣
∣
→
r 2
∣
∣
−aı̂ +yĵ
√a2+y2
→
F 2 = −k [ ]
qQ
(a2+y2)
−aı̂ +y ȷ̂
√a2+y2
→
F 2 = −k [−aı̂ + y ȷ̂]
qQ
(a2+y2)3/2
→
F R
→
F 2
→
F R =
→
F 1 +
→
F 2 = k [2aı̂ ]
qQ
(a2+y2)3/2
1. CONSIDEREMOS O MESMO PROBLEMA ANTERIOR, MAS, AGORA, COM OS
SEGUINTES DADOS NUMÉRICOS:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
LEMBRE-SE DE QUE E . TODAS AS UNIDADES DEVEM
SER EXPRESSAS NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI), PARA QUE O
RESULTADO DA INTENSIDADE DA FORÇA SEJA EM NEWTONS (N). CALCULE A FORÇA
RESULTANTE:
A) 
B) 
C) 
D) 
2. SEJAM DUAS CARGAS ELÉTRICAS IGUAIS (Q E Q), POSICIONADAS SOBRE O EIXO
X, DE UM SISTEMA COORDENADO XY, NAS POSIÇÕES –A E +A, RESPECTIVAMENTE.
O CÁLCULO DA FORÇA ELÉTRICA DE COULOMB RESULTANTE ( ),
EXPERIMENTADA POR UMA CARGA DE PROVA (Q), EM UM PONTO QUALQUER DO
EIXO Y, É:
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
q = 2nC
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
Q = 1nC
a = 10cm
y =  17,32cm
1nC = 10−9C 1cm = 10−2m
−→
FR = 4,5N î
−→
FR = 4,5 .  10
−7N î
−→
FR = 4,5 .  10
−7N
−→
FR = 4,5 .  10
−7Nĵ
→
F R
−→
FR = k  [2y]  î
qQ
(a2+y2)3/2
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
3. UMA CARGA POSITIVA, , FOI POSICIONADA NA ORIGEM DE UM
SISTEMA COORDENADO XY. OUTRA CARGA POSITIVA, , FOI
POSICIONADA NO PONTO (4,4) DESSE PLANO CARTESIANO. 
 
CALCULE O VETOR FORÇA DE COULOMB RESULTANTE SOBRE UMA TERCEIRA
CARGA ELÉTRICA NEGATIVA, , LOCALIZADA NO PONTO (2,2), NO
MESMO PLANO CARTESIANO. AS UNIDADES DE COMPRIMENTO ESTÃO EM METROS.
O RESULTADO DO CÁLCULO É:
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
−→
FR = k  [2y]
qQ
(a2+y2)3/2
−→
FR = k  [2a]  î
qQ
(a2+y2)3/2
−→
FR = k  [2y] ĵ
qQ
(a2+y2)3/2
q1 = 4nC
q2 = 12nC
q3 = −2nC
−→
FR =(12,75 nN)  î + (12,75nN)ĵ
−→
FR =(12,75 nN)+(12,75nN)
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
4. (ADAPTADO DE: TIPLER, 2011) EM UM ÁTOMO DE HIDROGÊNIO, O ELÉTRON ESTÁ
SEPARADO DO PRÓTON NUCLEAR POR, APROXIMADAMENTE, .
CALCULE A RELAÇÃO ENTRE A INTENSIDADE DA FORÇA DE COULOMB ENTRE AS
PARTÍCULAS E A INTENSIDADE DA FORÇA DE ATRAÇÃO GRAVITACIONAL ENTRE
ELAS. 
 
CONSIDERE A CARGA ELETRÔNICA FUNDAMENTAL E A CARGA
ELÉTRICA DO PRÓTON . USE . 
 
A CONSTANTE DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL DE NEWTON É , E
AS MASSAS DO ELÉTRON E DO PRÓTON SÃO, RESPECTIVAMENTE, DADAS POR 
 E , NO SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES (SI).
 
O RESULTADO DO CÁLCULO É:
A) 
B) 
C) 
D) 
−→
FR =(12,75 N)  î + (12,75N)ĵ
−→
FR =(12,75nN) î
r = 5,3. 10−11m
e = −1,6. 10−19C
ep ≈ 1,6. 10
−19C k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
G = 6,67. 10−11 N .m
2 
(Kg)2
me = 9,1. 10
−31Kg mp = 1,67. 10
−27Kg
2,28 × 1039
8,2 × 10−8
3,6 × 10−47
1,0 × 1042
5. UMA CARGA ELÉTRICA Q1 = 6NC ESTÁ SOBRE O EIXO Y EM Y = 3CM, E OUTRA
CARGA Q2 = - 6NC ESTÁ SOBRE O EIXO Y EM Y = - 3CM. CONSIDERE A CONSTANTE
DE COULOMB NO VÁCUO . 
 
CALCULE A FORÇA ELÉTRICA SOBRE UMA CARGA DE PROVA Q0 = 2NC, LOCALIZADA
NO EIXO X EM X = 4CM.
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilizea rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
6. NOS VÉRTICES DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO DE 3M DE LADO, ESTÃO
POSICIONADAS TRÊS CARGAS: E .
CONSIDERE . CALCULE A INTENSIDADE DA FORÇA RESULTANTE
QUE ATUA EM Q3:
A)
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
−→
FR = 4,5N î
−→
FR = −5,184 .  10
−5N   î
−→
FR = −5,184 .  10
−5Nĵ
−→
FR = 4,5 .  10
−7Nĵ
q1 = q2 = 4,0. 10
−7C q3 = 1,0. 10
−7C
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. Consideremos o mesmo problema anterior, mas, agora, com os seguintes dados numéricos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que e . Todas as unidades devem ser expressas no
Sistema Internacional de Unidades (SI), para que o resultado da intensidade da força seja em newtons
(N). Calcule a força resultante:
∣
∣
∣
−→
F3
∣
∣
∣
= 4,0. 10−5N
∣
∣
∣
−→
F3
∣
∣
∣
= 3,87. 10−7N
∣
∣
∣
−→
F3
∣
∣
∣
= 6,93. 10−5N 
∣
∣
∣
−→
F3
∣
∣
∣
= 2,5. 10−7N
q = 2nC
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
Q = 1nC
a = 10cm
y =  17,32cm
1nC = 10−9C 1cm = 10−2m
A alternativa "B " está correta.
Como já obtivemos o resultado algébrico, vamos utilizá-lo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se não tivéssemos a cota de , o resultado seria uma função de , .
2. Sejam duas cargas elétricas iguais (q e q), posicionadas sobre o eixo x, de um sistema coordenado
xy, nas posições –a e +a, respectivamente. O cálculo da força elétrica de Coulomb resultante ( ),
experimentada por uma carga de prova (Q), em um ponto qualquer do eixo y, é:
A alternativa "D " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
SUPERPOSIÇÃO DE FORÇAS 1
3. Uma carga positiva, , foi posicionada na origem de um sistema coordenado xy. Outra
carga positiva, , foi posicionada no ponto (4,4) desse plano cartesiano. 
 
Calcule o vetor força de Coulomb resultante sobre uma terceira carga elétrica negativa, ,
−→
FR = k [2aı̂ ]
qQ
(a2+y2)
3/2
→
F R =
⎡
⎣
2 ⋅ 10 ⋅ 10−2 ı̂
⎤
⎦
(9⋅109)⋅(2⋅10−9)⋅(1⋅10−9)
[(10⋅10−2)
2
+(0,1732)
2
]
3/2
→
F R = ⋅ [0,2ı̂ ]
18⋅10−9
[0,01+0,02999]
3/2
→
F R =
18⋅10−9 ⋅ 0,2ı̂
0,00799
→
F R = 4,5 ⋅ 10
−7N î
y y
→
F R =  
→
F R(y)
→
F R
q1 = 4nC
q2 = 12nC
q3 = −2nC
localizada no ponto (2,2), no mesmo plano cartesiano. As unidades de comprimento estão em metros.
O resultado do cálculo é:
A alternativa "A " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
SUPERPOSIÇÃO DE FORÇAS 2
4. (Adaptado de: TIPLER, 2011) Em um átomo de hidrogênio, o elétron está separado do próton nuclear
por, aproximadamente, . Calcule a relação entre a intensidade da força de Coulomb
entre as partículas e a intensidade da força de atração gravitacional entre elas. 
 
Considere a carga eletrônica fundamental e a carga elétrica do próton 
. Use . 
 
A constante da gravitação universal de Newton é , e as massas do elétron e
do próton são, respectivamente, dadas por e , no
Sistema Internacional de Unidades (SI). 
 
O resultado do cálculo é:
A alternativa "A " está correta.
Como o problema solicita o cálculo das intensidades, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
r = 5,3. 10−11m
e = −1,6. 10−19C
ep ≈ 1,6. 10
−19C k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
G = 6,67. 10−11 N .m
2 
(Kg)
2
me = 9,1. 10−31Kg mp = 1,67. 10−27Kg
FCoulomb = = = 8,2 × 10
−8Nke
2
r2
(9×109)(1,6×10−19)
2
(5,3×10−11)
2
FGravitacional = = = 3,6 × 10
−47N
Gmemp
r2
(6,67×10−11)(9,1×10−31)(1,67×10−27)
(5,3×10−11)
2
= ≈ 2,28 × 1039FCoulomb
FGravitacional
8,2×10−8
3,6×10−47
Logo, a força de Coulomb é, aproximadamente, 1039 mais intensa que a força gravitacional entre elétron
e próton em um átomo de hidrogênio.
5. Uma carga elétrica q1 = 6nC está sobre o eixo y em y = 3cm, e outra carga q2 = - 6nC está sobre o
eixo y em y = - 3cm. Considere a constante de Coulomb no vácuo . 
 
Calcule a força elétrica sobre uma carga de prova q0 = 2nC, localizada no eixo x em x = 4cm.
A alternativa "C " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
DIPOLO ELÉTRICO E FORÇA DE COULOMB
6. Nos vértices de um triângulo equilátero de 3m de lado, estão posicionadas três cargas: 
 e . Considere . Calcule a intensidade
da força resultante que atua em q3:
A alternativa "C " está correta.
Como foi solicitado o cálculo da intensidade da força resultante sobre a carga q3, podemos utilizar a
regra do paralelogramo para calcular a força resultante pela Lei dos Cossenos, lembrando que o ângulo
formado entre a duas forças sobre q3, devido às cargas q1 e q2, é de 60°. Assim, temos:
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
q1 = q2 = 4,0. 10
−7C q3 = 1,0. 10
−7C k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
→
F 3 =
→
F 1,3 +
→
F 2,3
→
F 1,3 = k ⋅ r̂1,3
q1⋅q3
∣
∣
→
r 1,3
∣
∣
2
→
F 2,3 = k ⋅ r̂2,3
q2⋅q3
∣
∣
→
r 2,3
∣
∣
2
∣
∣ ∣
∣
→
F 1,3
∣
∣ ∣
∣
= =
k⋅q1q3
∣
∣
→
r 1,3
∣
∣
2
(9×109)(4×10−7)(1×10−7)
9
→ →
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Uma partícula livre, com massa , foi eletrizada com uma pequena carga 
 e está sob a ação elétrica de outra partícula, porém imóvel, com carga 
. A partícula q gira em um plano horizontal, sem fricção, em um Movimento Circular
Uniforme (MCU), sob a ação da força elétrica devido à carga Q.
Determine o valor da velocidade tangencial da partícula em movimento, supondo um raio de curvatura
do movimento . Considere todo o sistema no vácuo e .
RESOLUÇÃO
Para solucionarmos o problema, basta escrevermos a força elétrica e a força centrípeta, que devem ser
iguais em módulo para uma trajetória circular em raio constante de um MCU. Assim, obteremos a
velocidade tangencial da partícula q. Vamos aos cálculos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∣
∣
∣
→
F 1,3
∣
∣
∣
= 4 × 10−5N =
∣
∣
∣
→
F 2,3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
→
F 3
∣
∣
∣
2
=
∣
∣
∣
→
F 1,3
∣
∣
∣
2
+
∣
∣
∣
→
F 2,3
∣
∣
∣
2
+ 2
∣
∣
∣
→
F 1,3
∣
∣
∣
→
F 2,3
∣
∣
∣
(cos 60o)
∣
∣
∣
−→
F3
∣
∣
∣
2
= 16 × 10−10 + 16 × 10−10 + 2 × 16 × 10−10( )1
2
= 48 × 10−10
∣
∣
∣
→
F 3
∣
∣
∣
= 6,93 × 10−5N
m = 1,80. 10−9Kg
q = 32. 10−19C
Q = −32. 102C
R = 1m k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
→
F Coulomb = − r̂
kq|Q|
r2
→
F Centripeta = − r̂
mv2
r
=
kqQ
r2
mv2
r
v2 =
kqQ
mr
v2 =
(9×109)(32×10−19)(32×102)
(1,80×10−9)(1)
v2 = 51.200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA GOTÍCULA DE ÓLEO, COM MASSA , QUE FOI ELETRIZADA
COM UMA PEQUENA CARGA , ESTÁ SOB A AÇÃO ELETROSTÁTICA
DE OUTRA PARTÍCULA, IMÓVEL, COM CARGA POSITIVA . AMBAS
ESTÃO EM UMA MESMA VERTICAL EXATA, MAS A PARTÍCULA ESTÁ APOIADA
SOBRE UMA MESA. O SISTEMA TODO SE ENCONTRA NO VÁCUO. 
 
CONSIDERE QUE A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE LOCAL É, EM MÓDULO, 
, E QUE A CONSTANTE DE COULOMB NO VÁCUO É 
. 
 
COM QUAL DISTÂNCIA VERTICAL ( ) ENTRE AS CARGAS ESSA CIRCUNSTÂNCIA DE
EQUILÍBRIO PODERIA SER POSSÍVEL?
A) 
B) 
C) 
D) 
2. (TIPLER, 2011) TRÊS CARGAS ELÉTRICAS PUNTIFORMES ESTÃO ALINHADAS
SOBRE O EIXO . A CARGA ESTÁ NA ORIGEM, ESTÁ EM 
, E ESTÁ EM , COMO MOSTRA O GRÁFICO A SEGUIR:
v = 226,27m/s
m = 1,80. 10−9Kg
q = 16. 10−19C
Q = 16. 10−2C
Q
∣
∣
→
g ∣∣= 9,81m/s
2
k = 8,99. 109  N .m
2 
C 2
y
y = 0,130m
y = 0,361m
y = 234,6m
y = 256,0m
x q1 = 25μC q2 = 10μC
x = 2m q3 = 25μC x = 3m
CONSIDERE . QUAL É A FORÇA RESULTANTE SOBRE A CARGA Q3?
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1. Uma gotícula de óleo,com massa , que foi eletrizada com uma pequena carga 
, está sob a ação eletrostática de outra partícula, imóvel, com carga positiva 
. Ambas estão em uma mesma vertical exata, mas a partícula está apoiada sobre
uma mesa. O sistema todo se encontra no vácuo. 
 
Considere que a aceleração da gravidade local é, em módulo, , e que a constante de
Coulomb no vácuo é . 
 
Com qual distância vertical ( ) entre as cargas essa circunstância de equilíbrio poderia ser possível?
A alternativa "B " está correta.
 
A força peso da gotícula de óleo e a força de Coulomb entre as cargas devem se equilibrar neste
problema. Assim, para encontrarmos a distância entre as partículas, seus módulos devem ser iguais.
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
−→
FR = 0,50N î
−→
FR = 3,20N    î
−→
FR = 2,30N  î
−→
FR = 1,80N ĵ
m = 1,80. 10−9Kg
q = 16. 10−19C
Q = 16. 10−2C Q
∣
∣
→
g ∣∣= 9,81m/s
2
k = 8,99. 109  N .m
2 
C 2
y
Vamos aos cálculos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (TIPLER, 2011) Três cargas elétricas puntiformes estão alinhadas sobre o eixo . A carga 
 está na origem, está em , e está em , como
mostra o gráfico a seguir:
Considere . Qual é a força resultante sobre a carga q3?
A alternativa "C " está correta.
 
Vamos aos cálculos:
→
P = −mg ȷ̂
→
F Coulomb = ȷ̂
KqQ
y2
∣
∣
∣
→
P
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
→
F Coulomb
∣
∣
∣
mg =
kqQ
y2
(1,8 × 10−9)(9,81)y2 =(8,99 × 109)(16 × 10−19)(16 × 10−2)
y2 = 0.13033
y = 0,361m
x
q1 = 25μC q2 = 10μC x = 2m q3 = 25μC x = 3m
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
→
F 1,3 = ı̂
kq1q3
x21,3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Identificar o campo elétrico de cargas discretas
CAMPO ELÉTRICO
A despeito de sua importância na previsão do cálculo da interação eletrostática, a Lei de Coulomb é uma
lei de força fenomenológica, obtida da observação e experimentação do fenômeno e modelada para
representá-lo.
 SAIBA MAIS
Em nenhum momento, a Lei de Coulomb explica como o fenômeno ocorre. De outra forma, se ela prevê o
surgimento da força eletrostática entre duas cargas posicionadas em pontos espaciais determinados, é certo
que se trata de uma lei de ação a distância, ou seja, sem contato.
Logo, como é possível que uma carga elétrica saiba, ou melhor, detecte a existência da outra carga
elétrica e, então, sobre ela atue a força de Coulomb? Quem transmite a informação da interação
eletrostática?
→
F 2,3 = ı̂
kq2q3
x22,3
→
F R =
→
F 1,3 +
→
F 2,3
→
F 1,3 = ı̂
(9×109)(25×10−6)(20×10−6)
32
→
F 2,3 = ı̂
(9×109)(10×10−6)(20×10−6)
12
→
F R = 0,5N ı̂ + 1,8N ı̂
→
F R = 2,30N ı̂
TODA CARGA ELÉTRICA, NECESSARIAMENTE, É FONTE
DE CAMPO MEDIADOR DA INTERAÇÃO ELÉTRICA, QUE
CHAMAMOS DE CAMPO ELÉTRICO. O CAMPO ELÉTRICO
MEDIA OU TRANSPORTA A INTERAÇÃO ELÉTRICA, OU
SEJA, A FORÇA ELÉTRICA DE COULOMB.
Todos os materiais carregados eletricamente são emissores e detectores de campo elétrico e somente
cargas elétricas podem emitir e detectar campo elétrico.
 VOCÊ SABIA?
Nosso órgão óptico (olho) possui cargas elétricas disponíveis em nossas células fotossensíveis da retina
humana, que são excitadas eletricamente na presença de campo elétrico.
A luz, composta por radiação eletromagnética, com componente elétrica e magnética, ao atingir a retina
de qualquer animal, excita, essencialmente, as cargas nessas células por meio do campo elétrico. Essa
excitação elétrica ou vibração é transmitida por canais neurais até nosso cérebro, que decodifica essa
informação como imagem. Então, o que enxergamos são campos elétricos. Nossa evolução e de todas
as espécies vivas com visão nos permitiu compreender essa radiação elétrica detectada como um de
nossos sentidos.
 RESUMINDO
Quem transmite a informação elétrica é o campo elétrico. Por campo, definimos como uma distribuição
contínua de certa grandeza em uma região do espaço.
O CAMPO ELÉTRICO, PORTANTO, É ESSENCIALMENTE O
MEDIADOR DA INTERAÇÃO ELÉTRICA A DISTÂNCIA.
ESSA É A INTERPRETAÇÃO MAIS MODERNA.
Intrinsecamente, o campo eletromagnético é composto por partículas luminosas que Albert Einstein
chamou de fótons. Todas as cargas elétricas emitem seu campo elétrico, que informa à vizinhança que
aquela carga existe.
 
(Fonte: Wikipedia)
ALBERT EINSTEIN (1879-1955)
javascript:void(0)
“Físico alemão que explicou as leis que regem o movimento dos corpos e das estrelas, unificando
a física terrestre e celeste. Um de seus trabalhos deu uma interpretação do efeito fotoelétrico com
base na hipótese de que a luz é composta de quantum individual, mais tarde chamado de fótons.
Outros trabalhos lançaram as bases da Teoria da Relatividade – ponto de partida da física
moderna.”
Fonte: Biografías y Vidas – La Enciclopedia Biográfica en Línea. Tradução livre.
Essa é a essência da interação a distância mediada por um mediador de interação a distância, que os
físicos de partículas chamam, em uma representação matemática elegante de campos potenciais, de
campo de Gauge, campo mediador ou campo de fótons – esta última em uma descrição quântica.
Duas cargas elétricas interagem mediadas por um campo elétrico, que transmite a informação elétrica –
nesse caso, eletrostática.
Mas a teoria eletrodinâmica clássica não prevê fenômenos de partículas fundamentais. Assim, apesar
de conhecermos a natureza do campo elétrico, como um campo Fotônico, a teoria de Maxwell não lida
com essa escala de energias e tamanhos.
A teoria de Einstein do efeito fotoelétrico e a teoria de Paul Dirac do elétron, a Eletrodinâmica Quântica
(QED), não pertencem à escala clássica de Maxwell. Do ponto de vista clássico de Maxwell, o campo
elétrico é o mediador da interação, no sentido de uma interação ondulatória.
 
(Fonte: Wikipedia)
javascript:void(0)
PAUL DIRAC (1902-1984)
Físico britânico que enunciou as leis que regem o movimento das partículas subatômicas com a
ideia revolucionária de uma descrição quântica e relativística desses fenômenos, onde a dinâmica
do elétron pode ser descrita por uma equação quântico-relativística quadridimensional, numa
extensão da mecânica quântica de Erwin Schrödinger. Conclui-se dessa representação que o
elétron deve possuir um grau de liberdade intrínseco (spin eletrônico), estritamente quântico, e
também que pode ser encontrado em estados de energia negativa. A esse respeito, Dirac sugeriu
que um elétron naquele estado seria equivalente a uma partícula carregada positivamente de vida
curta. Posteriormente, sua hipótese se mostrou correta e a nova partícula detectada foi chamada
de pósitron, a primeira partícula de anti-matéria detectada após sua descrição teórica prévia. Uma
inversão da ordem natural até então. Uma frase famosa de Dirac diz: Se a matemática é elegante e
bela, deve satisfazer algum fenômeno da natureza. A partir de Dirac, os modelos teóricos de
partículas passaram a anteceder as observações”.
O que a teoria eletrodinâmica clássica prevê perfeitamente é que esse fenômeno, da mediação de uma
interação por um campo de interação a distância, é relativístico, a despeito de Maxwell ter acreditado na
hipótese do éter.
 RESUMINDO
A interação entre duas cargas não se processa instantaneamente.
A informação propaga à velocidade limite das informações, à velocidade da luz, exatamente como
previsto por Einstein em sua relatividade especial.
A grande curiosidade disso é que a teoria de Maxwell e todas as suas interpretações foram propostas
por ele em 1867, enquanto a teoria da relatividade especial de Einstein, em 1905, mas a teoria de
Maxwell satisfaz os princípios relativísticos de Einstein.
ENTÃO, POR QUE NÃO VEMOS O CAMPO ELÉTRICO DE
CARGAS ELETROSTÁTICAS COMO A LUZ?
A radiação luminosa corresponde a um pequeno intervalo de comprimentos de ondas do espectro
eletromagnético. A radiação luminosa é eletromagnética, ou seja, ondulatória, e o campo eletrostático é
um campo constante deação a distância. Assim, nossos olhos não foram preparados para detectar
essa radiação elétrica constante, ainda que semelhante à luz. Da mesma maneira, não enxergamos
radiação na faixa de micro-ondas, das comunicações, nem na faixa de radiofrequência, dos sinais de
rádio e TV. Mas podemos detectá-los. O campo eletrostático pode ser visualizado por seus efeitos na
matéria.
Se colocarmos uma carga pontual ( ) no fundo de um recipiente com óleo fino, e sobre o recipiente,
pulverizarmos limalha ou cavaca de ferro, que são pequenas lascas de ferro, verificaremos o surgimento
de linhas de campo ou linhas de força, pois o material ferroso decanta ao longo das linhas do campo
elétrico. Assim, temos a visualização do campo elétrico e suas linhas de campo, como mostram as
figuras a seguir:
 
(Fonte: o Autor)
 Linhas de campo eletrostático.
Convencionamos as linhas de campo elétrico assim:
Cargas de atributo positivo
Representamos por linhas de campo elétrico repulsivas.

Cargas de atributo negativo
Q
Representamos por linhas de campo elétrico atrativas.
 
(Fonte: o Autor)
 Convenção da orientação do campo elétrico.
E QUANTO ÀS CARGAS ELETROSTÁTICAS? SÃO AS
FONTES DE CAMPOS ELETROSTÁTICOS?
Sim, as cargas eletrostáticas são fontes dos campos eletrostáticos, emitidos e detectados por
distribuições discretas de cargas — objetivo de estudo neste módulo.
Na presença de cargas eletrostáticas, a estrutura de campo eletrostático se modifica. Um exemplo
clássico é o campo de dipolo elétrico.
As figuras a seguir nos auxiliam na compreensão desse fenômeno das linhas de campo elétrico em três
situações:
 
(Fonte: o Autor)
FIGURA A
Esta figura é da distribuição do campo elétrico visualizado indiretamente, pelo depósito da limalha de
ferro no fundo do recipiente, indicando haver campo elétrico emitido pela carga .
 
(Fonte: o Autor)
FIGURA B
Q
Denota as linhas de campo elétrico emitidas e recebidas por duas cargas, uma carga positiva e outra
negativa. Repare que com cargas opostas, as linhas de campo parecem se abraçar, pois a força elétrica
é atrativa nesse caso.
 
(Fonte: o Autor)
FIGURA C
Denota as linhas de campo elétrico emitidas por duas cargas positivas. As linhas de campo se repelem,
pois a força de Coulomb é repulsiva nesse caso.
Sempre que detectarmos força elétrica de Coulomb, haverá campo elétrico, que faz a mediação entre as
cargas. Então, funciona assim:
SE UMA CARGA ELÉTRICA É POSICIONADA, COMO É
POSSÍVEL QUE OUTRAS CARGAS NA VIZINHANÇA
SOFRAM SUA INTERAÇÃO ELÉTRICA SE NÃO HÁ
CONTATO E A FORÇA DE COULOMB É A DISTÂNCIA?
A resposta é que essa informação ou mediação é transmitida pelo campo elétrico. Somente se houver
campo elétrico, a força de Coulomb poderá atuar ou existir.
Mas como identificamos o campo elétrico de cargas elétricas? Vejamos a partir de agora.
CAMPO ELETROSTÁTICO DE COULOMB
Consideremos uma distribuição discreta de cargas elétricas ( ) com
diferentes distâncias ( ) de uma carga de prova . A força resultante sobre 
será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
Permissividade do vácuo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Constante de Coulomb no vácuo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, podemos definir o campo eletrostático ( ) a partir da Lei de Coulomb. Toda carga elétrica fonte
será emissora de campo elétrico. Além disso, toda carga elétrica de prova será excitada por campo
elétrico, sofrendo a ação da força de Coulomb.
q1,  q2,  q3,  q4,  … ,  qn
r1,  r2,  r3, r4,  … ,  rn Q Q
→
F =
→
F 1 +
→
F 2 +
→
F 3 … = ( r̂1 + r̂2 + r̂3 + …)
1
4πϵ0
q1Q
r21
q2Q
r22
q3Q
r23
= ( + + + …)
Q
4πϵ0
q1r̂1
r21
q2r̂2
r22
q3r̂3
r23
→
F = Q
→
E
→
E (r)≡
n
∑
i=1
r̂ i
1
4πϵ0
qi
r2i
ϵ0 = 8,85 × 10
−12 C 2
N .m2
k = = 8,99 × 10914πϵ0
 N .m2
C 2
→
E
DEMONSTRAÇÃO
Sejam duas cargas elétricas (+q e –q) que estão posicionadas sobre o eixo x, de um sistema
coordenado xy, nas posições –a e +a, respectivamente. Vamos obter o campo elétrico de Coulomb
resultante ( ) em um ponto qualquer do eixo y.
RESOLUÇÃO
Neste exemplo, terá somente componente horizontal. Por convenção, o campo elétrico da carga +q
( ) será repulsivo. Como a segunda carga fonte tem atributo negativo (-q), seu campo elétrico ( )
será, por convenção, atrativo.
Estas convenções são largamente usadas: cargas positivas têm campo repulsivo, e cargas negativas
têm campo atrativo, como nas linhas de campos das figuras a, b e c analisadas anteriormente.
 
(Fonte: o Autor)
Vamos aos cálculos:
→
E R
→
E R
→
E 1
→
E 2
→
E 1 = k r̂1
q
∣
∣
→
r 1∣∣
2
→
r 1 = aî + y ȷ̂
∣
∣
→
r 1
∣
∣ = √a
2 + y2
r̂1 = =
→
r 1
∣
∣
→
r 1∣∣
aı̂ +y ȷ̂
√a2+y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, será igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. VAMOS CONSIDERAR O MESMO PROBLEMA ANTERIOR, MAS, AGORA, COM OS
SEGUINTES DADOS NUMÉRICOS:
→
E 1 = k ⋅ [ ]
q
(a2+y2)
aı̂ +y ȷ̂
(a2+y2)1/2
→
E 1 = k [aı̂ + y ȷ̂]
q
(a2+y2)3/2
→
E 2 = −k r̂2
q
∣
∣
→
r 2
∣
∣
2
→
r 2 = −aı̂ + y ȷ̂
∣
∣
→
r 2
∣
∣ = √a
2 + y2
r̂2 = =
→
r 2
∣
∣
→
r 2∣∣
−aı̂ +yj
√a2+y2
→
E 2 = −k [ ]
q
(a2+y2)
−aı̂ +yj
√a2+y2
→
E 2 = −k [−aı̂ + y ȷ̂]
q
(a2+y2)3/2
→
E R
→
E R =
→
E 1 +
→
E 2
→
E R = k [2aı̂ ]
q
(a2+y2)3/2
q = 2nC
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
a = 10cm
y = 17,32cm
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
LEMBRE-SE DE QUE E . TODAS AS UNIDADES DEVEM
SER EXPRESSAS NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI), PARA QUE O
RESULTADO DA INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO SEJA EM NEWTONS/COULOMB (
). O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE É:
A) 
B) 
C) 
D) 
2. SEJAM DUAS CARGAS ELÉTRICAS IGUAIS (Q E Q), POSICIONADAS SOBRE O EIXO
X, DE UM SISTEMA COORDENADO XY, NAS POSIÇÕES –A E +A, RESPECTIVAMENTE.
O CAMPO ELÉTRICO DE COULOMB RESULTANTE ( ), EXPERIMENTADO POR UMA
CARGA DE PROVA ( ), EM UM PONTO QUALQUER DO EIXO Y, É:
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
1nC = 10−9C 1cm = 10−2m
N/C
→
E R = 450,56Nĵ
→
E R = 450,56   ĵ
N
C
→
E R = 450,56
→
E R = 450,56    î
N
C
→
E R
Q
→
E R = k  [2y]ĵ
q
(a2+y2)3/2
→
E R = k  [2y]
q
(a2+y2)3/2
→
E R = k  [2a]ĵ
qQ
(a2+y2)3/2
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
3. UMA CARGA POSITIVA, , FOI POSICIONADA NA ORIGEM DE UM
SISTEMA COORDENADO XY. OUTRA CARGA POSITIVA, , FOI
POSICIONADA NO PONTO (4,4) DESSE PLANO CARTESIANO. 
 
CALCULE O CAMPO ELETROSTÁTICO RESULTANTE QUE ATUA SOBRE UMA
TERCEIRA CARGA ELÉTRICA NEGATIVA, , LOCALIZADA NO PONTO (2,2),
NO MESMO PLANO CARTESIANO. AS UNIDADES DE COMPRIMENTO ESTÃO EM
METROS. O RESULTADO DO CÁLCULO É:
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
→
E R = k  [2y] î
q
(a2+y2 )
3
2
q1 = 4nC
q2 = 12nC
q3 = −2nC
→
E R =(12,75N) î + (12,75N)ĵ
→
E R =(−6,37N/C)+(−6,37N/C)
→
E R =(−6.37N/C) î + (−6,37N/C)ĵ
→
E R =(−12,74N/C)
D)
4. UMA CARGA ELÉTRICA ESTÁ SOBRE O EIXO Y EM Y = 3CM, E OUTRA
CARGA ESTÁ SOBRE O EIXO Y EM Y = - 3CM. CONSIDERE A CONSTANTE
DE COULOMB NO VÁCUO . 
 
QUAL É O CAMPO ELÉTRICO QUE ATUA SOBRE UMA CARGA DE PROVA ,
LOCALIZADA NO EIXO X, EM X = 4CM?
A)
A) 
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
5. UM ELÉTRON É LANÇADO EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME DE MÓDULO 
, COM VELOCIDADE INICIAL, EM MÓDULO, ,
PERPENDICULAR A ESSE CAMPO. 
q1 = −6nC
q2 = −6nC
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
q0 = 2nC
→
E R = 4,5N/C  î
→
E R = −5,184. 10
−5N ĵ
→
E R = −25.920N/C ĵ
→
E R = 25.920N/C
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
= 2.000N/C ∣∣
→
v0
∣
∣ = 10
6m/s
 
SUPONHA QUE A VELOCIDADE DO ELÉTRON AINDA POSSA SER CONSIDERADA UM
PROBLEMA CLÁSSICO. CONSIDERE A CARGA ELÉTRICA ABSOLUTA 
, A MASSA DO ELÉTRON E O MÓDULO DA
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE . 
 
COMPARANDO O PESO DO ELÉTRON À FORÇA ELÉTRICA QUE ATUA SOBRE ELE,
CALCULE A RELAÇÃO DO MÓDULO DA FORÇA ELÉTRICA SOBRE O MÓDULO DE SEU
PESO, :
A) 
B) 
C) 
D) 
6. SEJA UMA CARGA DE PROVA , POSICIONADA EM DETERMINADO
PONTO DO ESPAÇO, SOB AÇÃO DE UMA FORÇA ELÉTRICA:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
QUAL É O VETOR CAMPO ELÉTRICO NO PONTO CONSIDERADO?
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∣∣e∣∣ = 1,6. 10
−19C me = 9,1. 10
−31Kg
∣
∣
→
g ∣∣= 9,81m/s
2
∣
∣
∣
−−→
Fele.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
→
P
∣
∣
∣
2,8 × 10−14
2,8 × 1013
3,6 × 10−14
3,6 × 1013
Q = 5nC
→
F elet. =(2. 10
−4 N) î + (4. 10−3 N)ĵ
→
E R =(4 × 10
4N/C) î + (8 × 105N/C)ĵ
→
E R =(4 × 103N/C) î + (8 × 104N/C)ĵ
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. Vamos considerar o mesmo problema anterior, mas, agora, com os seguintes dados numéricos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que e . Todas as unidades devem ser expressas no
Sistema Internacional de Unidades (SI), para que o resultado da intensidade do campo elétrico seja em
newtons/coulomb ( ). O campo elétrico resultante é:
A alternativa "D " está correta.
Como já obtivemos o resultado algébrico, vamos utilizá-lo:
→
E R =(8 × 10
4N/C) î + (4 × 105N/C)ĵ
→
E R =(4 × 10
4N) î + (8 × 105N)ĵ
q = 2nC
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
a = 10cm
y = 17,32cm
1nC = 10−9C 1cm = 10−2m
N/C
→
E R = k [2aî]
q
(a2+y2)3/2
→
E R =
⎡
⎣
2 ⋅ 10 ⋅ 10−2 ı̂
⎤
⎦
(9⋅109)⋅(2⋅10−9)
[(10⋅10−2)
2
+(0,1732)
2
]
3/2
→
E R = ⋅ [0,2ı̂ ]18
[0,01+0,02999]
3/2
→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se não tivéssemos a cota de , o resultado seria uma função de .
2. Sejam duas cargas elétricas iguais (q e q), posicionadas sobre o eixo x, de um sistema coordenado
xy, nas posições –a e +a, respectivamente. O campo elétrico de Coulomb resultante ( ),
experimentado por uma carga de prova ( ), em um ponto qualquer do eixo y, é:
A alternativa "A " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
SUPERPOSIÇÃO DE CAMPOS 1
3. Uma carga positiva, , foi posicionada na origem de um sistema coordenado xy. Outra
carga positiva, , foi posicionada no ponto (4,4) desse plano cartesiano. 
 
Calcule o campo eletrostático resultante que atua sobre uma terceira carga elétrica negativa, 
, localizada no ponto (2,2), no mesmo plano cartesiano. As unidades de comprimento
estão em metros. O resultado do cálculo é:
A alternativa "C " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
SUPERPOSIÇÃO DE CAMPOS 2
→
E R = ı̂
18⋅0,2
0,00799
→
E R = 450,56 î
N
C
y y :  
→
E R =
→
E R(y)
→
E R
Q
q1 = 4nC
q2 = 12nC
q3 = −2nC
4. Uma carga elétrica está sobre o eixo y em y = 3cm, e outra carga está
sobre o eixo y em y = - 3cm. Considere a constante de Coulomb no vácuo . 
 
Qual é o campo elétrico que atua sobre uma carga de prova , localizada no eixo x, em x =
4cm?
A alternativa "C " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
CAMPO DE DIPOLO ELÉTRICO
5. Um elétron é lançado em um campo elétrico uniforme de módulo , com
velocidade inicial, em módulo, , perpendicular a esse campo. 
 
Suponha que a velocidade do elétron ainda possa ser considerada um problema clássico. Considere a
carga elétrica absoluta , a massa do elétron e o módulo da
aceleração da gravidade . 
 
Comparando o peso do elétron à força elétrica que atua sobre ele, calcule a relação do módulo da força
elétrica sobre o módulo de seu peso, :
A alternativa "D " está correta.
Vamos aos cálculos:
q1 = −6nC q2 = −6nC
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
q0 = 2nC
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
= 2.000N/C
∣
∣
→
v0
∣
∣ = 10
6m/s
∣∣e∣∣ = 1,6. 10
−19C me = 9,1. 10
−31Kg
∣
∣
→
g ∣∣= 9,81m/s
2
∣∣
∣
−−→
Fele.
∣∣
∣
∣
∣
∣
→
P
∣
∣
∣
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Seja uma carga de prova , posicionada em determinado ponto do espaço, sob ação de uma
força elétrica:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual é o vetor campo elétrico no ponto considerado?
A alternativa "A " está correta.
Vamos aos cálculos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Considere os antigos tubos de imagem de TV. Um dos elétrons emitidos dentro do tubo possui
velocidade inicial, em módulo, , perpendicular a um campo elétrico uniforme de
módulo .
Qual será a deflexão vertical desse elétron após percorrer 1cm horizontalmente?
Suponha que essa velocidade do elétron possa ainda ser considerada como de um problema clássico.
Considere a carga elétrica absoluta e a massa do elétron .
RESOLUÇÃO
Para o elétron percorrer 1cm na horizontal, será necessário um tempo t, tal que, nesse intervalo de
tempo, desloque-se na vertical como em um Movimento Uniformemente Variado (MUV), pois sua
= =
∣
∣
∣
→
F ele
∣
∣
∣
∣
∣
∣
→
P
∣
∣
∣
e
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
m∣∣
→
g ∣∣
(1,6×10−19)⋅(2.000)
(9,1×10−31)(9,81)
= 3,6 × 1013
Q = 5nC
→
F elet. =(2. 10
−4 N) î + (4. 10−3 N)ĵ
→
F elet. = Q
→
E
→
E =
(2×10−4N)ı̂ +(4×10−3N) ȷ̂
5×10−9C
→
E =(4 × 104 )ı̂ +( 8 × 105 ) ȷ̂N
C
N
C
∣
∣
→
v0
∣
∣ = 10
6m/s
∣∣
∣
→
E
∣∣
∣ = 2.000N/C
∣∣e∣∣ = 1,6. 10
−19C me = 9,1. 10
−31Kg
aceleração será fornecida pela força elétrica de Coulomb, partindo de velocidade inicial vertical nula.
Assim, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ADAPTADO DE: TIPLER, 2011) UMA CARGA POSITIVA ( ) ESTÁ NA ORIGEM DE
UM SISTEMA COORDENADO, E UMA SEGUNDA CARGA ( ) ESTÁ SOBRE O EIXO EM
. OBSERVE:
CALCULE O CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE EM PONTOS SOBRE O EIXO , NA
REGIÃO , ENTRE AS CARGAS, OU SEJA, O CAMPO COMO FUNÇÃO DE ,
PARA ESSA REGIÃO, RELATIVA ÀS CARGAS. O RESULTADO DO CÁLCULO É:
A)
t = = = 10−8sΔx
v0
10−2m
106m/s
Δy = at2 =
⎛
⎝
⎞
⎠
t2
1
2
1
2
∣∣
∣e
∣∣
∣
∣∣
∣
→
E
∣∣
∣
me
Δy = ( )(10−8)
21
2
1,6×10−19⋅2000
9,1×10−31
Δy = 0 ,01758 m ≡ 1 ,76 cm
q1
q2 x
x = a
x
0 < x < a x
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. UMA CARGA POSITIVA ( ) ESTÁ NA ORIGEM DE UM SISTEMA COORDENADO, E
UMA SEGUNDA CARGA ( ) ESTÁ SOBRE O EIXO EM . OBSERVE:
→
E = −   î −   î
kq1
x2
kq2
(x−a)2
→
E =   î +   î
kq1
x2
kq2
(x−a ) 2
→
E =   −  
kq1
x2
kq2
(x−a)2
→
E =   î −   î
kq1
x2
kq2
(x−a)2
q1
q2 x x = a
CALCULE O CAMPO ELÉTRICORESULTANTE EM UM PONTO P SOBRE O EIXO , OU
SEJA, O CAMPO COMO FUNÇÃO DE ( ) EM P. O RESULTADO DO CÁLCULO É:
A)
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
y
x, y
→
E R = −   î +
⎡
⎢
⎣
  +
⎤
⎥
⎦
 ĵ
kq2a
(a2+y
2
)
3
2
kq1
y2
kq2y
a3
→
E R = −   î +
⎡
⎢
⎣
  +
⎤
⎥
⎦
ĵ
kq2a
(a2+y
2
)
3
2
kq1
a2
kq2y
(a2+y
2
)
3
2
→
E R = −   î +
⎡
⎢
⎣
  +
⎤
⎥
⎦
ĵ
kq2a
(a2+y
2
)
3
2
kq1
y2
kq2y
(a2+y
2
)
3
2
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. (Adaptado de: TIPLER, 2011) Uma carga positiva ( ) está na origem de um sistema coordenado, e
uma segunda carga ( ) está sobre o eixo em . Observe:
Calcule o campo elétrico resultante em pontos sobre o eixo , na região , entre as cargas, ou
seja, o campo como função de , para essa região, relativa às cargas. O resultado do cálculo é:
A alternativa "D " está correta.
 
Temos aqui três regiões de campo elétrico ao longo do eixo , e . Nessas
regiões, o campo elétrico terá sentidos diferentes.
Na região , o campo terá orientação positiva para as duas cargas. Na região , o
campo de terá orientação positiva, mas o campo de terá orientação negativa. Na região , o
campo será negativo para ambas as cargas. Assim, temos:
→
E R = −   î +
⎡
⎢
⎣
  +
⎤
⎥
⎦
 ĵ
kq1a
y2
kq2
y2
kq2y
(a2+y
2
)
3
2
q1
q2 x x = a
x 0 < x < a
x
x :  x > a 0 < x < a x < 0
x > a 0 < x < a
q1 q2 x < 0
→
E = ı̂ + ı̂                (x > a)kq1
x2
kq2
(x−a)
2
→
E = ı̂ − ı̂                (0 < x < a)kq1
x2
kq2
(x−a)
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma carga positiva ( ) está na origem de um sistema coordenado, e uma segunda carga ( ) está
sobre o eixo em . Observe:
Calcule o campo elétrico resultante em um ponto P sobre o eixo , ou seja, o campo como função de (
) em P. O resultado do cálculo é:
A alternativa "C " está correta.
 
Vamos aos cálculos:
→
E = − ı̂ − ı̂             (x < 0)kq1
x2
kq2
(x−a)
2
q1 q2
x x = a
y
x, y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
→
E R =
−→
E1 +
−→
E2
−→
E1 = r̂1
kq1
∣
∣
→
r 1∣∣
2
→
r 1 = y ȷ̂
r̂1 = ȷ̂
−→
E1 = ȷ̂
kq1
y2
−→
E2 = r̂2
kq2
∣
∣
→
r2
∣
∣
2
→
r 2 = −aı̂ + y ȷ̂
∣
∣
→
r 2
∣
∣ = √a
2 + y2
 r̂2 = −
aı̂ +y ȷ̂
√a2+y2
−→
E2 = (−aı̂ + y ȷ̂)
kq2
(a2+y2)3/2
→
E R = − ı̂ +[ + ] ȷ̂
kq2a
(a2+y2)3/2
kq1
y2
kq2y
(a2+y2)3/2
MÓDULO 3
 Calcular o potencial elétrico de cargas discretas
POTENCIAL ELÉTRICO
Potencial elétrico é a energia potencial elétrica, por unidade de carga elétrica, necessária para deslocar
uma carga de prova na presença de um campo elétrico, com unidade volt, do Sistema Internacional de
Unidades (SI), também chamada de Diferença de Potencial Elétrico (DDP) ou tensão elétrica.
Para termos um potencial elétrico, é necessário um campo elétrico.
 EXEMPLO
Se estabelecermos uma Diferença de Potencial Elétrico entre dois pontos, digamos, uma tomada elétrica, ao
posicionarmos cargas elétricas nesse campo elétrico, isto é, cargas disponíveis em um fio condutor, essas
cargas serão deslocadas.
Carga de prova é a que detecta a existência de campo elétrico. Somente cargas elétricas detectam
campos elétricos.
A definição mais simples do conceito de potencial elétrico é a energia potencial elétrica por carga de
prova para trazer tal carga da região de potencial zero, também chamado de neutro, até o ponto de
localização da carga.
 RESUMINDO
Se liberarmos uma carga de prova positiva em uma região de campo elétrico repulsivo, ela tenderá à posição
do potencial neutro.
Para cada estrutura de campo elétrico, teremos uma Diferença de Potencial Elétrico entre dois pontos
diferentes. De outra maneira, entre dois pontos quaisquer em um campo elétrico haverá uma Diferença
de Potencial Elétrico entre eles, que é a energia, por unidade de Carga, necessária para deslocar uma
carga elétrica entre os mesmos dois pontos.
 
(Fonte: o Autor)
 DDP entre dois pontos na presença de campo elétrico.
O potencial elétrico é uma grandeza escalar com comportamento dependente de cada estrutura de
campo elétrico a ser definida pela fonte do campo. Mas será sempre a energia, por carga, que cargas
elétricas adquirem entre dois pontos, como na imagem anterior. Assim, em uma rede ou instalação
elétrica, a DDP é a energia, por carga, que as cargas disponíveis nessa rede adquirem e as faz mover.
Para cada estrutura de campo elétrico, teremos superfícies equipotenciais, ou seja, superfícies de
mesmo potencial elétrico nessa estrutura de campo elétrico, de forma que, nessas superfícies, a energia
por carga será a mesma ao longo dessas superfícies.
Nas figuras a seguir, vemos superfícies equipotenciais para cargas puntuais e placas paralelas
carregadas. Repare que as Superfícies Equipotenciais têm o mesmo valor de potencial elétrico, a
depender da distância da fonte de campo elétrico:
 
(Fonte: o Autor)
 Superfícies equipotenciais.
Considere uma carga elétrica de prova ( ) submetida à força elétrica em um campo
elétrico ( ). Se quisermos deslocar a carga de um ponto inicial a até um ponto final b,
necessariamente, deveremos executar um trabalho mecânico. A força necessária ao trabalho, com
velocidade constante, deverá ser , que é oposta à força elétrica.
Pense no exemplo gravitacional. Se o peso que age sobre uma massa é uma força vertical, de cima
para baixo, igual a , para levantarmos essa mesma massa, à velocidade constante e
contrariamente à atração gravitacional, deveremos executar um trabalho mecânico com uma força
oposta ao peso: .
O trabalho mecânico é definido como:
Se substituirmos, nesta equação, a força necessária ao trabalho mecânico sobre uma carga de prova (
) entre os pontos inicial e final, na presença de um campo elétrico ( ), teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo, ainda, esse trabalho mecânico pela carga de prova , teremos a definição da Diferença
de Potencial Elétrico: .
Assim, a Diferença de Potencial Elétrico é definida como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Q
→
F = Q 
→
E
→
E
−Q
→
E
m
→
P = −mg ĵ
→
F = mg ĵ
Q
→
E
W = − ∫ b
a
Q
→
E .  d
→
l
( )W
Q
ΔV = Vb − Va =
W
Q
ΔV = Vb − Va = − ∫
b
a
→
E .  d
→
l
 
(Fonte: o Autor)
Nesse momento, é necessário que o campo elétrico seja conservativo, isto é, que o trabalho mecânico
em uma trajetória fechada seja nulo, o que equivale à integral acima ser 0 (zero) quando a = b. Logo,
temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, o potencial elétrico não dependerá do caminho como a carga de prova ( ) se desloca
desde a até b, mas somente desses pontos inicial e final.
 ATENÇÃO
Isso é válido para campos conservativos, como os eletrostáticos.
Em termos do potencial elétrico, a diferença de potencial entre um ponto e ele mesmo, em uma trajetória
fechada, deverá ser 0 (zero). Parece óbvio, quando medimos o potencial elétrico (tensão elétrica ou
DDP) em uma rede elétrica no mesmo ponto, mas somente forças e campos conservativos satisfazem a
esse princípio.
 EXEMPLO
∮
→
E .  d
→
l = 0
Q
Por exemplo, campos elétricos induzidos por variações de fluxos de campos magnéticos não satisfazem a
esse preceito, como veremos mais tarde. Forças de fricção também não satisfazem a esse princípio de
conservação.
Mas, por enquanto, as forças elétricas com que lidamos são coulombianas, ou seja, inversamente
proporcionais ao quadrado da distância entreas cargas, o que garante comportamento conservativo,
pois pertencem à classe das forças centrais, assim como a atração gravitacional de Newton.
Assim sendo, não se preocupe. Por ora, estamos lidando com campos eletrostáticos, que satisfazem à
Lei de Coulomb e à definição de Diferença de Potencial Elétrico da equação anterior. Além disso, o
princípio de conservação da energia se aplica local e globalmente.
 ATENÇÃO
Cuidado com a similaridade de nomenclaturas entre a Diferença de Potencial Elétrico e a energia potencial
elétrica, que são conceitos diferentes.
Diferença de Potencial Elétrico
A Diferença de Potencial Elétrico tem, como definição de unidade no SI, 
.

Energia potencial elétrica
A energia potencial elétrica ( ) tem unidade de energia, que, no SI, é .
É muito comum o uso, como unidade de campo elétrico, de . Então, generalizando
a definição de potencial elétrico, temos:
POTENCIAL ELÉTRICO É O TRABALHO POR UNIDADE DE
CARGA NECESSÁRIO PARA DESLOCAR UMA CARGA DE
PROVA POSITIVA, À VELOCIDADE CONSTANTE, DE UM
1 V olt = 1 joule/coulomb
U = QV joule
1 = 1newton
coulomb
volt
metro
PONTO DE REFERÊNCIA INICIAL A AO PONTO FINAL R,
DEFINIDO POR:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual é um ponto de referência espacial, em que . O potencial será positivo ou negativo,
dependendo da carga fonte do campo.
CARGAS DE PROVA SÃO, POR CONVENÇÃO, POSITIVAS
DEFINIDAS.
Também podemos inverter a operação da equação e escrever, de forma equivalente, o campo como o
gradiente da função potencial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta última forma é muito útil quando temos a função potencial e desejamos calcular o campo elétrico.
DEMONSTRAÇÃO
Se nossa carga de prova ( ) for deixada em uma região de campo elétrico ( ), sofrerá a ação da força
elétrica acelerada na direção e no sentido das linhas de campo elétrico, como mostra a
figura a:
V (r)= − ∫
r
a
→
E .  d
→
l
a V (a)= 0
→
E = −
→
∇  V (r)
Q
→
E
→
F = Q 
→
E
 
(Fonte: o Autor)
A carga de prova ganhará energia cinética, perdendo, em troca, sua energia potencial, e se deslocará da
região de campo elétrico com maior potencial elétrico, onde o campo elétrico é mais intenso, pois as
linhas estão mais próximas, para a região de campo elétrico com menor potencial elétrico, onde as
linhas de campo estão mais afastadas (figura a).
 DICA
As linhas de campo elétrico sempre apontam na direção e no sentido do potencial elétrico decrescente.
Na configuração mais simples para o cálculo da Diferença de Potencial Elétrico, considere uma única
carga eletrostática positiva ( ) como fonte do campo eletrostático radial, conforme apresentado na
figura b anterior.
Agora, calculemos a Diferença de Potencial Elétrico, quando uma carga de prova ( ) se desloca vindo
de regiões mais afastadas, no sentido de encontrar a fonte .
 ATENÇÃO
A Diferença de Potencial Elétrico será o trabalho, por unidade de carga, necessário para deslocar a carga de
prova ( ) desde o ponto a até o ponto b, mais próximo da fonte do campo.
Logo, aplicando a definição de cálculo da Diferença de Potencial Elétrico, conforme a figura b, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
q
Q
q
Q
ΔV = Vb − Va = − ∫
b
a
→
E .  d
→
l
Mas pela Lei de Coulomb, ainda na figura b, , na direção radial, e . Então,
como sabemos da álgebra vetorial que , temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando lidamos com energias e potenciais, precisamos definir a referência de zero energia e potencial
de cada sistema físico. No caso de distribuições discretas de cargas eletrostáticas, usamos a distância
infinita , em que o potencial elétrico será claramente 0 (zero): .
Assim, a Diferença de Potencial Elétrico deste problema e de toda carga eletrostática discreta terá
solução para qualquer valor de (potencial coulombiano), com exceção da origem, onde não é definida
na teoria clássica:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a carga será fonte de campo elétrico coulombiano e do potencial elétrico da equação acima.
Então, o trabalho mecânico para trazer a carga de prova ( ) desde a distância onde o potencial elétrico 
 é zero, no infinito, até uma distância será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O potencial elétrico de uma distribuição discreta de cargas eletrostáticas, com N cargas e distâncias 
 de cada carga fonte ao ponto de medida , será a superposição dos potenciais individuais de cada
fonte (princípio de superposição):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. TRÊS CARGAS PUNTIFORMES ESTÃO SOBRE O EIXO X: Q1 NA ORIGEM, Q2 EM X =
3M E Q3 EM X = 6M. CONSIDERE . SE Q1 = Q3 = - Q2 = 2C, QUAL É O
POTENCIAL ELÉTRICO TOTAL NO PONTO X = 0 E Y = 3M?
−→
Eq = k   r̂
q
r2
d
→
l = r̂  dr
(r̂. r̂) = 1
 Vb − Va = − ∫
b
a
k dr = −
q
r2
k q
rb
k q
ra
ra → ∞ Va→∞ = 0
r
V (r)=
k q
r
q
Q
V (r) r
W = QV (r)=  
k qQ
r
qi
ri p
qi
V (p)= V1 +  V2 + V3 + …VN =  
N
∑
i=1
k
 qi
ri
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
A) volts
B) volts
C) volts
D) volts
2. TRÊS CARGAS ELETROSTÁTICAS POSITIVAS DE CADA ESTÃO NOS VÉRTICES
DE UM QUADRADO COM 3M DE ARESTA. QUAL É O POTENCIAL ELÉTRICO MEDIDO
NO VÉRTICE VAZIO?
A) 
B) 
C) 
D) 
3. TRÊS CARGAS ELETROSTÁTICAS POSITIVAS DE CADA ESTÃO NOS VÉRTICES
DE UM QUADRADO COM 2M DE ARESTA. QUAL É O TRABALHO ( ) NECESSÁRIO
PARA POSICIONAR UMA QUARTA CARGA DE IGUAL VALOR NO VÉRTICE VAZIO?
A) 
B) 
C) 
D) 
4. CONSIDERE UMA PARTÍCULA COM CARGA ELÉTRICA E MASSA 
, QUE É ACELERADA, NA PRESENÇA DE UM CAMPO ELÉTRICO
UNIFORME E UNIDIMENSIONAL, DESDE O REPOUSO ATÉ ATINGIR UMA VELOCIDADE
DE . QUAL É A DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO NECESSÁRIA PARA
FAZER A PARTÍCULA ATINGIR ESSA VELOCIDADE?
A) volts
B) volts
C) volts
V (P)= 9,0 × 109
V (P)= 4,44 × 109 
V (P)= 7,56 × 109 
V (P)= 12,93 × 109
2μC
V (P)= 9,0 × 109V
V (P)= 4,44 × 104V
V (P)= 1,62 × 104V
V (P)= 12,93 × 104V
3μC
W
W = 0,11J
W = 10,95J
W = 1,62J
W = 12,93J
Q = 10−6C
m = 10−3kg
50m/s
ΔV = 1,25 × 10−5
ΔV = 1,25 × 105
ΔV = 1,25 × 106
D) volts
5. CONSIDERE DUAS CARGAS ELÉTRICAS (+Q E –Q), DE UM DIPOLO ELÉTRICO, QUE
ESTÃO POSICIONADAS SOBRE O EIXO X DE UM SISTEMA COORDENADO XY, NAS
POSIÇÕES –A E +A, RESPECTIVAMENTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO EM UM
PONTO P AO LONGO DA DIREÇÃO Y:
A) 
B) 
C) 
D) 
6. CONSIDERE DUAS CARGAS ELÉTRICAS POSITIVAS (+Q E +Q) QUE ESTÃO
POSICIONADAS SOBRE O EIXO X, DE UM SISTEMA COORDENADO XY, NAS POSIÇÕES
–A E +A, RESPECTIVAMENTE. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO EM UM PONTO P
QUALQUER AO LONGO DA DIREÇÃO Y:
A) 
B) 
C) 
D) 
GABARITO
1. Três cargas puntiformes estão sobre o eixo x: q1 na origem, q2 em x = 3m e q3 em x = 6m. Considere 
. Se q1 = q3 = - q2 = 2C, qual é o potencial elétrico total no ponto x = 0 e y = 3m?
A alternativa "B " está correta.
Desenhe o ponto de medida P, em P = (0,3)m, e calcule as distâncias diagonais desse ponto às três
cargas sobre o eixo x nas posições das cargas: em x = 0, x = 3m e x = 6m. Aplicando o princípio de
superposição, temos:
ΔV = 1,25 × 10−6
V (p)=
kq
(a2+ y2)1/2
V (p)= 0
V (p)=
2kq
(a2+ y2)1/2
V (p)=
2kq
(a+ y)1/2
V (p)=
kq
(a2+ y2)1/2
V (p)= 0
V (p)=
2kq
(a2+ y2)1/2
V (p)=
2kq
(a+ y )
1
2
k ≈ 9. 109  N .m
2 
C 2
V (P) = V1 + V2 + V3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Três cargas eletrostáticas positivas de cada estão nos vértices de um quadrado com 3m de
aresta. Qual é o potencial elétrico medido no vértice vazio?
A alternativa "C " está correta.
Duas das cargas distam 3m, e a outra, m do vértice vazio. Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Três cargas eletrostáticas positivas de cada estão nos vérticesde um quadrado com 2m de
aresta. Qual é o trabalho ( ) necessário para posicionar uma quarta carga de igual valor no vértice
vazio?
A alternativa "A " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
SUPERPOSIÇÃO DE POTENCIAIS
4. Considere uma partícula com carga elétrica e massa , que é acelerada,
na presença de um campo elétrico uniforme e unidimensional, desde o repouso até atingir uma
V (P) = + +kq1
r1
kq2
r2
kq3
r3
V (P) = 9 × 109[ − + ]2C3
2C
3√2
2C
√45
V (P) = 9 × 109[0,6667 − 0,4714 + 0,2981]
V (P)= 4,44 × 109 volts
2μC
3√2
V = + +
kq1
r1
kq2
r2
kq3
r3
V = (9 × 109)( + + )2×10
−6
3
2×10−6
3
2×10−6
3√2
V = 1,62 × 104V
3μC
W
Q = 10−6C m = 10−3kg
velocidade de . Qual é a Diferença de Potencial Elétrico necessária para fazer a partícula atingir
essa velocidade?
A alternativa "C " está correta.
Vamos usar o teorema trabalho-energia e a definição de trabalho e Diferença de Potencial Elétrico:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere duas cargas elétricas (+q e –q), de um dipolo elétrico, que estão posicionadas sobre o eixo
x de um sistema coordenado xy, nas posições –a e +a, respectivamente. Calcule o potencial elétrico em
um ponto p ao longo da direção y:
A alternativa "B " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
POTENCIAL DE DIPOLO
6. Considere duas cargas elétricas positivas (+q e +q) que estão posicionadas sobre o eixo x, de um
sistema coordenado xy, nas posições –a e +a, respectivamente. Calcule o potencial elétrico em um
ponto p qualquer ao longo da direção y:
A alternativa "C " está correta.
Pela definição de potencial elétrico de cargas discretas, basta calcular a distância escalar entre as
cargas fonte e o ponto p e somar as duas contribuições. Assim, temos:
50m/s
W = ΔK
W = mv2final − mv
2
inicial
1
2
1
2
W = × (1 × 10−3) × (50)
21
2
W = 1,25 Joules
W = QΔV ⇒ ΔV = 1,25 × 106 volts
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Uma carga elétrica puntiforme (q) gera, a partir da origem de um espaço tridimensional (x, y, z), uma
função potencial com expressão: . Calcule a componente do campo
elétrico na direção x.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
CAMPO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO
RESOLUÇÃO
Vamos aplicar a definição do campo elétrico a partir do gradiente do potencial e expressar o campo .
Assim, temos:
V1(p)=                     V2(p) =
kq
(a2+y2 )
1/2
kq
(a2+y2)
1/2
V (p) = V1(p) + V2(p)
V(p) = 2kq
(a2+y2)
1/2
V (x,  y,  z) =  
k q
√(x2+y2+z2) 
Ex
→
E = −
→
∇V
→
E = −(ı̂ + ȷ̂ + k̂ )V(x, y, z)∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ex = − V (x, y, z)
∂
∂x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O CAMPO ELÉTRICO COULOMBIANO TRIDIMENSIONAL DE UMA
PARTÍCULA CARREGADA COM CARGA ELÉTRICA (Q) POSITIVA, OU SEJA, 
. CALCULE O POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR ESSA PARTÍCULA
COMO FUNÇÃO DA DISTÂNCIA RADIAL ESFÉRICA:
A) 
B) 
C) 
D) 
2. CONSIDERE O POTENCIAL ELÉTRICO TRIDIMENSIONAL DE UMA PARTÍCULA
CARREGADA COM CARGA ELÉTRICA (Q) POSITIVA, OU SEJA, , NA QUAL R
É A DISTÂNCIA RADIAL ESFÉRICA. CALCULE O VETOR CAMPO ELÉTRICO GERADO
POR ESSA PARTÍCULA COMO FUNÇÃO DA DISTÂNCIA RADIAL:
A) 
B) 
C) 
D) 
Ex = − [ ]
∂
∂x
kq
√(x2+y2+z2)
Ex = −kq ⋅ (− ) ⋅ (x2 + y2 + z2)
−3/2
⋅ 2x1
2
Ex =
k q x
(x2+y2+z2)3/2
−−→
E(r) = k   r̂
q
r2
V(r)= k 
q
r2
V(r)= −k   
q
r
V(r) = k 
q
r
V(r)= k
q2
r
V(r)= k
q
r
→
E (r)= k
q
r2
→
E (r)= k
q
r
→
E (r)= k r̂
q
r
→
E (r)= k  r̂
q
r2
GABARITO
1. Considere o campo elétrico coulombiano tridimensional de uma partícula carregada com carga
elétrica (q) positiva, ou seja, . Calcule o potencial elétrico gerado por essa partícula
como função da distância radial esférica:
A alternativa "C " está correta.
 
Aplicando a definição de potencial elétrico para uma partícula carregada, vamos considerar, como de
hábito, que o potencial seja nulo na distância infinita da fonte do campo :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o potencial elétrico tridimensional de uma partícula carregada com carga elétrica (q)
positiva, ou seja, , na qual r é a distância radial esférica. Calcule o vetor campo elétrico
gerado por essa partícula como função da distância radial:
A alternativa "D " está correta.
 
Aplicando a definição do campo elétrico como o gradiente do potencial em coordenadas esféricas,
usaremos somente a componente radial do operador gradiente, pois há simetria radial esférica:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
−−→
E(r) = k   r̂
q
r2
(V (∞)= 0)
→
E (r)= k r̂
q
r2
V (r)= − ∫ r
ref
→
E ⋅ d
→
l         onde           d
→
l = r̂dr
V (r')= − ∫ r
'
∞
(r̂ ⋅ r̂)dr
kq
r2
V (r')= − ∫ r
'
∞
dr = ∣∣
r'
∞
kq
r2
kq
r
V (r)=
kq
r
V(r)= k
q
r
V (r)=
kq
r
−→
E (r)= −
→
∇V (r)
→
∇ ≡ r̂ + θ̂ + ϕ̂∂
∂r
1
r
∂
∂θ
1
r  sen θ
∂
∂ϕ
−→
E (r)= −r̂ [ ]∂
∂r
kq
r
−→
E (r)= r̂
kq
r2
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A compreensão da teoria eletromagnética e de seus fenômenos pressupõe o estudo dos conceitos de
carga elétrica, campo elétrico, potencial elétrico e suas relações, o que entendemos hoje como teoria
eletrodinâmica clássica. Esses conceitos são a base de toda a nossa tecnologia e experiência
contemporânea.
Neste tema, você estudou os fenômenos, os conceitos e as definições da eletrostática para distribuições
discretas de cargas elétricas. Aqui, discutimos e exercitamos os fundamentos clássicos da carga
elétrica, da Lei de Coulomb, do campo elétrico, do potencial elétrico e suas aplicações práticas.
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AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BARROS, L. M. Física Teórica Experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017.
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 10. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2018. v. 3.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo: Blucher, 2018.
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015.
v. 3.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
James Clerk Maxwell. Grupo de História, Teoria e Ensino de Ciências da Universidade de São
Paulo (GHTC/USP);
A força eletrostática e a Lei de Coulomb. Pós-Graduação da Universidade Federal do ABC (UFABC);
Charges and fields. Simulador de cargas e campos da Universidade do Colorado.
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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