Cap 37 Relatividade

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Capítulo 37:
Relatividade
Albert Einstein
Nasceu em 14 de março de 1879 em Ulm, 
Alemanha
Faleceu em 8 de abril de 1955 em Princeton, 
EUA
•Relatividade Restrita: 1905
•Efeito Fotoelétrico: 1905
•Premio Nobel: 1921 (Efeito Fotoelétrico)
•Relatividade Geral: 1916
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Einstein1921_by_F_Schmutzer_4.jpg
Capítulo 37:
Relatividade
Relatividade: 
É o campo da Física dedicado ao estudo de medidas dos eventos que ocorrem em
referenciais que se movem com velocidades próximas a velocidade da luz: onde e
quando ocorrem, qual a distância que os separa no espaço e no tempo. Além disso, a
relatividade tem a ver com a relação entre os valores medidos em referenciais que se
movem, um em relação ao outro.
Relatividade Restrita: 
Aplica-se apenas aos referenciais inerciais, ou seja, aqueles nos quais as leis de
Newton são validas (v = 0 ou cte).
Relatividade Geral: 
Aplica-se à situações mais complexas, nos referenciais não inerciais, aqueles que
apresentam aceleração não nula.
Capítulo 37:
Relatividade
Postulados da Relatividade
 Primeiro Postulado: As Lei da física (não apenas a mecânica, mas
também o eletromagnetismo e a óptica) são as mesmas para todos os
observadores situados em referenciais inerciais. Não existe um
referencial absoluto!
 Segundo Postulado: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor
c = 2,998*108 m/s em todas as direções e em todos os referenciais
inerciais. (Não existe partícula com massa diferente de zero capaz de
atingir o limiar de velocidade da luz c)
Capítulo 37:
Relatividade
A velocidade Limite
Verificações experimentais
mostram que mesmo
fornecendo alta energia a
uma partícula, ela nunca irá
superar a velocidade limite
c = 299792458 m/s.
Capítulo 37:
Relatividade
Registrando um Evento
 Evento: É algo que acontece. Um observador pode atribuir 4 coordenadas a
um evento, três espaciais e uma temporal.
 Coordenadas espaciais: sistema tridimensional de réguas perpendiculares
usado para determinar a localização espacial do evento.
 Coordenadas temporais: para determinar cada ponto de interseção da rede
de réguas é instalado um relógio, sincronizado com os outros através de pulsos
luminosos.
Capítulo 37:
Relatividade
 Coordenadas espaçotemporais:
O observador pode atribuir
coordenadas epaçotemporais a um
evento registrando o tempo
indicado no relógio mais próximo
do evento e registrando a posição
indicada nas réguas mais próximas
do evento. No caso de dois eventos,
o observador considera a distância
no tempo como a diferença entre os
tempos indicados pelos relógios
mais próximos dos dois eventos, e a
distância no espaço como a
diferença entre as coordenadas
indicadas pelas réguas mais
próximas dos dois eventos.
Registrando um Evento
Capítulo 37:
Relatividade
Simultaneidade
 Em geral, dois observadores em movimento
relativo não concordam em relação a simultaneidade
de dois evento. Sem um observador considera que
são simultâneos o outro em geral conclui que não são
simultâneos.
 A simultaneidade não é um conceito absoluto e sim um conceito relativo, que
depende do movimento do observador.
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=dilata%C3%A7%C3%A3o+do+tempo&source=images&cd=&cad=rja&docid=m8xtu6IONvZjjM&tbnid=F8H7vriW8mCniM:&ved=0CAUQjRw&url=http://tempusplenus.wordpress.com/tag/tempo-e-consciencia/&ei=kD0hUfiuOfDU0gH72ICQBQ&bvm=bv.42553238,d.dmQ&psig=AFQjCNHdMS29S7UcmaQ2XgcbO-nm6Ak_Ng&ust=1361219200293779
Capítulo 37:
Relatividade(a)
Simultaneidade
Capítulo 37:
Relatividade
Relatividade do Tempo
 O intervalo de tempo entre dois eventos depende da distância entre os
eventos no espaço assim como no tempo, ou seja, a separação espacial e
temporal são interdependentes.
Exemplo:
Maria está dentro de um trem e observa a luz de uma lanterna sendo emitida em
direção a um espelho preso no teto do vagão (evento 1) e refletida em direção a
lanterna (evento 2). João também observa os eventos, porém, está fora do
vagão.
Capítulo 37:
Relatividade
Capítulo 37:
Relatividade
Relatividade do Tempo
 Para Maria:
c
D
t
2
0 
 Para João:
c
L
t
2
   22
2
DtvL 
   
2
0
2
222 



 
tctvtc  
00
2
1
1
tt
c
v
t 

 
Capítulo 37:
Relatividade
Relatividade do Tempo
 Quando dois eventos ocorrem no mesmo ponto de um referencial inercial, o
intervalo de tempo entre os eventos, medido neste referencial, é chamado de
intervalo de tempo próprio, ou tempo próprio, Δt0. Quando o intervalo de
tempo é medido em um outro referencial, o resultado é sempre maior que o
intervalo de tempo próprio.
 
0
2
1
1
t
c
v
t 


   22 1
1
1
1






c
v
0tt  
 João medirá um intervalo de tempo maior que
Maria. Isso ocorre em função das diferenças de
velocidade entre os referencial inerciais de João
e Maria. Esse fenômeno é denominado de
Dilatação do Tempo.
 γ é denominado de fator de Lorentz que é
sempre maior ou igual a 1.
 β é denominado de parâmetro de velocidade.
Capítulo 37:
Relatividade
Exemplo:
Você leitor está dentro de uma espaçonave que passa pela terra com velocidade
relativa de 0,9990c. Depois de viajar durante 10 anos (tempo do leitor), para na
estação espacial EE13, faz meia-volta e se dirige para a terra com a mesma
velocidade relativa. A viagem de volta também dura 10 anos (tempo do leitor).
Quanto tempo leva a viagem de acordo com um observador terrestre? (Despreze
os efeitos da aceleração)
 Dois referenciais: Terra e a espaçonave
 Dois eventos: A ida e a volta
 10 anos é o tempo próprio Δt0 já que as
medidas foram realizadas na mesma posição
da espaçonave e no mesmo referencial do
leitor
 21
1
c
v

0tt  
37.22
anost 3,447)20(  
 Enquanto o leitor envelheceu 20
anos, as pessoas que ficaram na
terra envelheceram 447,3 anos
Capítulo 37:
Relatividade
Exemplo:
Uma partícula elementar conhecida como Káon-mais (K+) tem tempo médio de
meia vida de 0,1237 μs quando está em repouso, isto é quando o tempo é
medido no referencial do Káon. Se um Káon-mais está se movendo com
velocidade de 0,990c, em relação ao referencial do laboratório quando é
produzido, a) que distância ele percorre nesse referencial (laboratório) de acordo
com a física clássica? b) E de acordo com a relatividade restrita?
a) Física Clássica:
0tvx 
0tt 
mx 7,36
b) Relatividade:
Δt0 é o tempo próprio no referencial do
Káon. Temos que encontrar Δt no referencial
do laboratório.
 
st
c
v
t 70
2
10769,8
1
1 

 mtvxrel 3,260
Capítulo 37:
Relatividade
Relatividade das Distâncias
Capítulo 37:
Relatividade
Relatividade das Distâncias
 O comprimento L0 de um corpo medido no referencial em que o corpo se
encontra estacionário é chamado de comprimento próprio, ou comprimento de
repouso. O comprimento medido em um outro referencial em relação ao qual o
corpo está se movendo (na direção que foi realizada a medida) é sempre menor
que o comprimento próprio.
 

0
2
0 1
L
c
vLL 
γ é sempre maior que 1 para v ≠ 0
Capítulo 37:
Relatividade
Relatividade das Distâncias
Maria está dentro de um trem, João esta na plataforma e ambos querem medir a plataforma.
João, usando uma trena, descobre o comprimento próprio da plataforma, L0, pois a
plataforma está em repouso em relação a João. Ele também observa Maria, a bordo do
trem, que percorre a plataforma em um intervalo de tempo dado por:
v
L
t 0 tvL 0
Para Maria, é a plataforma que está em movimento, porém os dois eventos medidos
por João se encontram no mesmo local. O tempo que Maria irá medir estão será o
tempo próprio.
0tvL  
10
0




tv
tv
L
L

0LL 
Capítulo 37:
Relatividade
Exemplo:
Conforme a figura abaixo, Maria (no ponto A) e João (a bordo de uma
espaçonave cujo comprimento é L0 = 230 m) passam um pelo outro com
velocidade relativa próxima v da velocidade da luz. Segundo Maria, a nave leva
3,57 μs para passar (intervalo de tempo entre a passagem do ponto B e a
passagem do ponto C). Em termosda velocidade da luz, qual a velocidade
relativa v entre Maria e a nave?
Relatividade das Distâncias
 Usaremos o referencial de Maria para determinar a velocidade.
 No referencial de Maria Δt = 3,57 μs.
 O comprimento da espaçonave (L0 = 230 m) no referencial de Maria é L = L0/γ.
Sendo assim:  
t
c
vL
t
Lv











2
0 1 c
Ltc
cL
v 21,0
)(
2
0
2
0 


Capítulo 37:
Relatividade
Exemplo:
Surpreendidos pela explosão de uma supernova, você acelera sua espaçonave ao
máximo para fugir da onda de choque. O fator de Lorentz γ da sua espaçonave
em relação ao referencial inercial das estrelas próximas é 22,4.
a) Para atingir uma distância segura, você deve viajar 9,00*1016 m no referencial
das estrelas próximas. Quanto tempo é necessário para isso no mesmo
referencial?
b) Quanto tempo leva a viagem do seu ponto de vista, ou seja, no referencial da
nave?
Relatividade das Distâncias
Capítulo 37:
Relatividade
 Calcular a velocidade:
Relatividade das Distâncias
 21
1
c
v

smccv /10*995,2 8
2
2 






v ~ c quando γ é grande
a) No referencial das estrelas:
s
v
L
v
L
t
estref
estref
8
8
16
0.
. 103
10995,2
1000,9




b) No referencial da nave:
s
v
L
v
L
t
navref
navref
7
8
16
0.
. 1034,1
10995,2)4,22(
1000,9





Capítulo 37:
Relatividade
Transformação de Galileu
O referencial S’ está se movendo em relação ao referencial S
vtxx '
tt '
Em uma dimensão:
Válidas quando v << c!
Capítulo 37:
Relatividade
Transformação de Lorentz
O referencial S’ está se movendo em relação ao referencial S
Válidas para qualquer v fisicamente possível!
)(' vtxx  
 2' cvxtt  
yy '
zz '
Para baixas v
c ∞
equações clássicas
Capítulo 37:
Relatividade
Transformação de Lorentz
Diferenças entre as coordenadas de pares de eventos.
)(' tvxx  
 2' cxvtt  
)''( tvxx  
 2'' cxvtt  
Para o 
Referencial S’:
Para o 
Referencial S:
   22 1
1
1
1






c
v
12 xxx 
12 ttt 
Capítulo 37:
Relatividade
Transformação de Lorentz: Simultaneidade
Se dois eventos ocorrerem em locais diferentes no referencial S’, Δx’ não é
zero. Assim, dois eventos simultâneos no referencial S’ (Δt’ = 0), não são
simultâneos no referencial S. Nesse caso, o intervalo entre de tempo entre os
dois eventos no referencial S é dado por:
Uma separação espacial ΔS’ acarreta uma separação temporal Δt.
 2'' cxvtt  
2
'
c
xvt  
Capítulo 37:
Relatividade
Transformação de Lorentz: Dilatação do Tempo
Se dois eventos ocorrerem no mesmo local no referencial S’, Δx’ = 0. Assim, o
intervalo de tempo medido no referencial S’ é o intervalo de tempo próprio
(Δt’ = Δt0). Dessa forma temos:
O intervalo de tempo Δt medido no referencial S sempre será maior que o 
intervalo Δt’ o intervalo de tempo próprio, medido no referencial S’.
 2'' cxvtt  
0' ttt  
Dilatação do Tempo.
Capítulo 37:
Relatividade
Transformação de Lorentz: Contração da Distância
Uma régua está orientada paralelamente ao eixo dos x e x’, e se encontra em
repouso no referencial S’. Assim, o comprimento da régua medido no
referencial S’ é o comprimento próprio (Δx’ = L0). Já no referencial S, uma
medida do comprimento dessa régua L, só pode ser tomada caso as
coordenadas iniciais e finais (Δx =L = x2 - x1) forem tomadas simultaneamente
(Δt = 0 Lembrem-se dos Pinguins). Dessa forma temos:
Contração das Distâncias.
)(' tvxx  

'xx 

0LL 
Capítulo 37:
Relatividade
Exercício:
37.23) Na figura abaixo um observador S detecta dois clarões. Um grande clarão
acontece em x1 = 1200 m e, 5,00 μs depois, um clarão menor acontece em x2 =
480 m. De acorde com o observador em S’, os dois clarões ocorreram na mesma
posição. a) Qual é o parâmetro de velocidade, β, de S’? b) S’ está se movendo no
sentido positivo ou negativo do eixo x? De acordo com S’ c) qual evento ocorre
primeiro? d) Qual é o intervalo de tempo entre os clarões?
a) Sabemos Δx, Δx’ e Δt.
mxxx 720120048012 
sttt 00,512  0'x
)(' tvxx  
smv /1044,1 8 480,0
c
v

Capítulo 37:
Relatividade
Exercício:
37.23) Na figura abaixo um observador S detecta dois clarões. Um grande clarão
acontece em x1 = 1200 m e, 5,00 μs depois, um clarão menor acontece em x2 =
480 m. De acorde com o observador em S’, os dois clarões ocorreram na mesma
posição. a) Qual é o parâmetro de velocidade, β, de S’? b) S’ está se movendo no
sentido positivo ou negativo do eixo x? De acordo com S’ c) qual evento ocorre
primeiro? d) Qual é o intervalo de tempo entre os clarões?
b) Como v é negativo, S’ está se movendo no sentido negativo do eixo x.
c) e d)Para sabermos qual dos clarões ocorre primeiro, devemos calcular Δt’, caso for
positivo a sequência dos eventos em S’ é a mesma que em S.
    s
c
xvt
cvc
xvtt  39,4
)/(1
1
' 2
2
2 



Como podemos ver, Δt’ é positivo, e sendo assim, tanto no referencial S, quanto no S’, o
grande clarão é visto primeiro e depois o clarão menor.
Capítulo 37:
Relatividade
A relatividade das velocidades
Uma partícula tem velocidade u’ no
referencial S’. O referencial S’ se move
com velocidade v em relação ao
referencial S. A mesma partícula tem
velocidade u em relação ao referencial S.
)
'
'1('
)''(
2ct
xvt
tvx
u




)'1(
)'(
2c
vu
vu
u



)''( tvxx  
 2'' cxvtt  
Capítulo 37:
Relatividade
O Efeito Doppler para a Luz
Efeito Doppler Clássico:











s
o
o
vv
vv
ff
 Na aproximação a frequência aumenta!
 No afastamento a frequencia diminui!
f = frequêncai detectada
f0 = frequência emitida pela fonte
v = velocidade da onda no meio
vo = velocidade do observador
vs = velocidade da fonte
Do ponto de vista da relativístico, a luz não precisa de um meio para se
propagar. Além do mais possui a mesma velocidade em todos os referenciais
inerciais, o que simplifica a interpretação do Efeito Doppler!
Capítulo 37: Relatividade
O Efeito Doppler para a Luz
S2S1
d
dcos(θ)
r1
r2
O
No referencial do Detector O:
t1 = 0, instante em que o sinal sai de S1
t2 = r1/c, instante em que o sinal de S1 
chega em O.
Δt’ = instante em que o sinal sai de S2
Δt’ +r2/c = instante em que o sinal de S2 
chega ao detector O.
Tempo de separação entre os sinais:
crcrtt //' 12 
cos21 drr 
'tvd 
ctvtt /)cos(''  Caso Clássico
Na relatividade Δt será dilatado, pois Δt’= Δt0 que é o tempo próprio. Como: Δt = γ Δt0
)/)cos(1(0 cvtt   tf  /1 )/)cos(1)(/1(/1 0 cvff  








cv
cvff
/)cos(1
1
))/(1( 20

Para a aproximação!
Capítulo 37: Relatividade
O Efeito Doppler para a Luz








cv
cvff
/)cos(1
1
))/(1( 20

Na direção do movimento, para θ
= 0° temos:











)/1)(/1(
)/1)(/1(
0
cvcv
cvcv
ff
)/1(
)/1(
0
cv
cv
ff



Aproximação:
Blueshift
)/1(
)/1(
0
cv
cv
ff



Afastamento:
Redshift
Note que o Efeito Doppler depende apenas das velocidades relativas
entre a fonte e o detector!
Capítulo 37: Relatividade
O Efeito Doppler para a Luz
Para obter o limite de baixas velocidades podemos expandir as
expressões da frequência em séries de potencia.
)1(
)1(
0




 ffNo Afastamento: Redshift
...
!3
))(('''
!2
))((''
!1
))(('
))(()(
321
0 






axafaxafaxaf
axafxf
Expandindo em torno de a = 0, temos







2
1
2
0

ff cv /
O termo de β2 expressa a contribuição da relatividade no Efeito Doppler
em baixas velocidades, e como esse termo é pequeníssimo,
permaneceu muito tempo sem ser observado.
Capítulo 37: Relatividade
O Efeito Doppler para a Luz
O Efeito Doppler na Astronomia pode ser usado para determinar a
velocidade de estrelas, considerando a velocidade da terra muito baixa,
e desprezando o termo de β2.
  10ff 
cf 
 

 1
11
0 0
0 )(

 
 cv
O Efeito Doppler Transversal ocorre quando odetector está
posicionado a 90° da direção do movimento. Dessa forma:








cv
cvff
/)cos(1
1
))/(1( 20

)1( 20  ff
Expandindo em séries de potencias,
para baixas velocidades:







2
1
2
0
ff
Capítulo 37: Relatividade
Momento Relativístico
t
x
mmvp


 Momento Linear Clássico

t
x
m
t
t
t
x
m
t
x
mp











00
Na Visão Relativística:
Δx = distância medida em S (Observador externo)
Δt0 = Intervalo de tempo medido em S’
(Observador que esteja se movendo com a partícula)
vmp

 Momento Relativístico
Capítulo 37: Relatividade
Energia Relativística
2
0 mcE 
A massa de um objeto está diretamente associada com sua energia.
Energia de Repouso.
De uma maneira geral, considerando a variação de energia potencial
nula, temos:
KEE  0
2mcE A energia total é:
)1(2  mcK Energia Cinética Relativística
Capítulo 37: Relatividade
Energia Relativística
KmcE  2
2222 )()( mcpcE 
22222 )()()( mcpcKmc 
222 2)( KmcKpc 
cvmcmvcEpcsen ///)( 2    )(sen
222 //)cos( mcmcEmc   
 1)cos( 
Capítulo 37:
Relatividade
Exemplo 7)
a) Qual é a energia total de um elétron de 2,53 MeV (energia cinética)?
b) Qual é o módulo do momento p do elétron em unidades de MeV/c?
a) Sabendo que: KmcE  2 kgme
3110109,9 
MeVE 04,3
b) Sabendo que:
2222 )()( mcpcE 
222 )(mcEpc 
cMeVp /00,3
Capítulo 37:
Relatividade
Exercício 37.47)
Enquanto você lê esta pagina, um próton proveniente do espaço sideral atravessa
a pagina da esquerda para a direita com velocidade relativa v e uma energia total
de 14,24nJ. No seu referencial a largura da página é 21,0 cm. a) Qual a largura da
página no referencial do próton? Determine o tempo que o próton leva para
atravessar a página b) no seu referencial e c) no referencial do próton.
a) Calcular γ, e depois o comprimento!
2mcE  73,94/
2  mcE mLL
3
0 1022,2/
 
b) Com γ, podemos encontrar a velocidade relativa!
ccv 99994,0
1
1
2








No seu referencial!
svLt 100 1001,7/

c) No referencial do próton:
0tt   st
12
0 1040,7

Capítulo 37:
Relatividade
Lista de Exercícios 8ª Edição
1, 3, 5, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 29, 31, 33, 37, 39, 45,
47, 51, 57, 71, 87.
Lista de Exercícios 10ª Edição
1, 5, 7, 9, 15, 13, 19, 23, 25, 27, 33, 31, 35, 39, 51, 
49, 57, 45, 75, 87.