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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 39 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br CAPÍTULO 4 – AULA 5 4. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES 4.1 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO De forma geral, a localização de uma partícula pode ser especificada através do vetor posição ( 𝑟 ),um vetor que liga um ponto de referencia (origem) à partícula. O vetor posição pode ser escrito em função de seus vetores unitários como: 𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂� Onde, 𝑥𝑖̂, 𝑦𝑗̂ 𝑒 𝑧�̂� são as componentes vetoriais do vetor deslocamento e x, y, z são as componentes escalares que fornecem a localização da partícula ao longo dos eixos coordenados em relação a origem. Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de tal forma que sem- pre ligara a partícula ao ponto de referência (origem). Se uma partícula varia sua po- sição de uma posição 𝑟1 para a posição 𝑟2, durante um intervalo de tempo, o deslo- camento da partícula nesse tempo pode ser calculado por: ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 Exemplo 4.1 Uma partícula se move da posição 1 dada por 𝑟1 = 3𝑖 ̂ + 4𝑗 ̂ − 2�̂�, para a posição 2 dada por 𝑟2 = 2𝑖 ̂ − 𝑗 ̂ + 6�̂�. Calcule o deslocamento da partícula. Resolução: CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 40 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br Para determinar o vetor deslocamento, basta realizar a subtração entre as componen- tes vetoriais dos vetores posição. Lembrando que só poderá realizar essa operação entre componentes que estiverem sobre os mesmos eixos cartesianos. Assim temos: ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 ∆𝑟 = (2𝑖̂ − 𝑗̂ + 6�̂�) − (3𝑖̂ + 4𝑗̂ − 2�̂�) ∆𝑟 = (2𝑖̂ − 3𝑖̂) + (−𝑗̂ − 4𝑗̂) + (6�̂� − −(2�̂�)) ∆𝑟 = (−𝑖̂ − 5𝑗̂ + 8�̂�) 4.2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA Se um corpo ou uma partícula se move de um ponto para outro, podemos determinar sua velocidade média ou sua velocidade instantânea. Em casos de movi- mentos em duas ou três dimensões, devemos considerar essas grandezas como ve- tores. Se uma partícula sofre um deslocamento ∆�⃗⃗⃗� em um intervalo de tempo ∆𝑡 sua velocidade média é dada por: �⃗�𝑚é𝑑 = ∆𝑟 ∆𝑡 , onde: �⃗�𝑚é𝑑 , é o vetor velocidade média, ∆𝑟 o vetor deslocamento e ∆t a variação de tempo. Exemplo 4.2 Uma partícula se move da posição 1 dada por 𝑟1 = 3𝑚𝑖 ̂ + 4𝑚𝑗 ̂ + 2𝑚�̂�, para a posi- ção 2 dada por 𝑟2 = 5𝑚𝑖 ̂ + 2𝑚𝑗 ̂ + 6𝑚�̂� , em um intervalo de tempo de 2s.Calcule a velocidade média da partícula nesse deslocamento. CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 41 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br Resolução: Comece calculando o deslocamento da partícula e em seguida use a equação de ve- locidade média. ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 ∆𝑟 = (5𝑚𝑖̂ + 2𝑚𝑗̂ + 6𝑚�̂�) − (3𝑚𝑖̂ + 4𝑚𝑗̂ + 2𝑚�̂�) ∆𝑟 = (5𝑚𝑖̂ − 3𝑚𝑖̂) + (2𝑚𝑗̂ − 4𝑚𝑗̂) + (6𝑚�̂� − 2𝑚�̂�) ∆𝑟 = 2𝑚𝑖̂ − 2𝑚𝑗̂ + 4𝑚�̂� �⃗�𝑚é𝑑 = ∆𝑟 ∆𝑡 �⃗�𝑚é𝑑 = 2𝑚𝑖̂ − 2𝑚𝑗̂ + 4𝑚�̂� 2𝑠 �⃗�𝑚é𝑑 = 2𝑚𝑖̂ 2𝑠 − 2𝑚𝑗̂ 2𝑠 + 4𝑚�̂� 2𝑠 �⃗�𝑚é𝑑 = 1𝑚 𝑠 𝑖̂ − 1𝑚 𝑠 𝑗̂ + 2𝑚 𝑠 �̂� No geral, quando falamos sobre velocidade, normalmente estamos nos refe- rindo à velocidade instantânea. Esta velocidade é o valor para o qual a velocidade média tende a zero, quando o intervalo de tempo tende para zero. Assim temos: �⃗� = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 A direção da velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula. Logo, podemos dizer que a velocidade de uma partícula é a derivada da função de posição da partícula em relação do tempo. CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 42 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br �⃗� = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 �⃗� = 𝑑 𝑑𝑡 (𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂�) �⃗� = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑖̂ + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑗̂ + 𝑑𝑧 𝑑𝑡 �̂� �⃗� = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ + 𝑣𝑧�̂� Exemplo 4.3 Um objeto se move sobre uma superfície plana. As posições do objeto no plano em função do tempo são: 𝑥𝑡 = −0,31𝑡 2 + 7,2𝑡 + 28 e 𝑦𝑡 = 0,22𝑡 2 − 9,1𝑡 − 30. Calcule a velocidade do objeto no instante 15 segundos. Resolução: Comece calculando as velocidades do objeto nas direções x e y através da derivada da função de posição. �⃗�𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑖̂ �⃗�𝑥 = 𝑑 𝑑𝑡 (−0,31𝑡2 + 7,2𝑡 + 28)𝑖̂ �⃗�𝑥 = (−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ �⃗�𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑗̂ �⃗�𝑦 = 𝑑 𝑑𝑡 (0,22𝑡2 − 9,1𝑡 − 30)𝑗 ̂ �⃗�𝑦 = (0,44𝑡 − 9,1)𝑗 ̂ CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 43 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br Em termos dos vetores unitários a velocidade no instante t = 15s é: �⃗� = (−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ + (0,44𝑡 − 9,1)𝑗 ̂ �⃗�15 = (−0,62(15) + 7,2)𝑖̂ + (0,44(15) − 9,1)𝑗 ̂ �⃗�15 = (−9,3 + 7,2)𝑖̂ + (6,6 − 9,1)𝑗 ̂ �⃗�15 = (−2,1𝑚/𝑠)𝑖̂ + (−2,5𝑚/𝑠)𝑗 ̂ Essa velocidade possui modulo igual a: |�⃗�| = √(𝑣𝑥𝑖̂)² + (𝑣𝑦𝑗)̂² |�⃗�15| = √( −2,1𝑚 𝑠 𝑖̂) ² + ( −2,5𝑚 𝑠 𝑗̂) ² |�⃗�15| = √4,41𝑚 2/𝑠² + 6,25𝑚2/𝑠² |�⃗�15| = √10,66𝑚 2/𝑠² |�⃗�15| = 3,26𝑚/𝑠 A direção e o sentido da velocidade podem ser determinados encontrando o ângulo do vetor velocidade com o eixo x positivo. 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑣𝑦 𝑣𝑥 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 −2,5𝑚/𝑠 −2,1𝑚/𝑠 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔1,19 = −130° Logo: 𝜃 = 180° − 130° = 50° CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 44 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 4.3 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA Quando a velocidade de uma partitura ou objeto varia de �⃗�1 para �⃗�2 em um intervalo de tempo ∆𝑡 ,sua aceleração média pode ser determinada por: �⃗�𝑚é𝑑 = �⃗�2 − �⃗�1 ∆𝑡 = ∆�⃗� ∆𝑡 Se ∆𝑡 tende a zero no entorno de um certo instante, a aceleração média tende para a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) �⃗� neste instante, ou seja: �⃗� = 𝑑�⃗� 𝑑𝑡 Se o módulo ou a orientação da velocidade variar, a partícula irá possuir aceleração. 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ + 𝑣𝑧�̂� �⃗� = 𝑑 𝑑𝑡 (𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ + 𝑣𝑧�̂�) �⃗� = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑖̂ + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑗̂ + 𝑑𝑧 𝑑𝑡 �̂� �⃗� = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗̂ + 𝑎𝑧�̂� Assim, podemos dizer que o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em função do tempo. CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 45 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br Exemplo 4.4 Retornando ao exemplo 4.3, determine a aceleração do objeto no instante 15 segun- dos. Resolução: No exemplo 4.3 encontramos �⃗�𝑥 = (−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ para a velocidade do objeto na direção do eixo x e �⃗�𝑦 = (0,44𝑡 − 9,1)𝑗̂ para a velocidade da partícula na direção do eixo y. Assim basta derivar essas funções nos seus respectivos eixos para determinar a aceleração do objeto. �⃗�𝑥 = 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑖̂ �⃗�𝑥 = 𝑑𝑑𝑡 (−0,62𝑡 + 7,2)𝑖̂ �⃗�𝑥 = (−0,62𝑚/𝑠²)𝑖̂ �⃗�𝑦 = 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑗 ̂ �⃗�𝑦 = 𝑑 𝑑𝑡 (0,44𝑡 − 9,1)𝑗 ̂ �⃗�𝑦 = (0,44𝑚/𝑠²)𝑗 ̂ Assim a aceleração do objeto será dada pelo vetor: �⃗� = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗 ̂ �⃗� = (−0,62𝑚/𝑠²)𝑖̂ + (0,44𝑚/𝑠²)𝑗 ̂ CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC / EAD DISCIPLINA: FÍSICA I NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 46 Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br O módulo da aceleração no tempo t = 15 s é dado por: |�⃗�| = √(𝑎𝑥𝑖̂)² + (𝑎𝑦𝑗)̂² |�⃗�15| = √( −0,62𝑚 𝑠² 𝑖̂) ² + ( 0,44𝑚 𝑠² 𝑗)̂ ² |�⃗�15| = √0,38𝑚 2/𝑠4 + 0,2𝑚2/𝑠4 |�⃗�15| = √0,58𝑚²/𝑠 4 |�⃗�15| = 0,76𝑚/𝑠² O ângulo do vetor aceleração com o eixo x positivo é dado por: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑎𝑦 𝑎𝑥 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 0,44𝑚/𝑠² −0,62𝑚/𝑠² = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 − 0,71 = −35,36° Logo: 𝜃 = 180° − 35,36° = 144,64° Resolva os EXERCÍCIOS PROPOSTOS DO CAPÍTULO 4 que estão em ATI- VIDADE COMPLEMENTAR.
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