APOSTILA 06

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CURSO: BACHARELADO EM PSICOLOGIA 3º PERÍODO SEMESTRE: 2020/1 
COMPONENTE CURRICULAR: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
PROFESSOR ESP. MÁRCIO SANTANA 
CARGA HORÁRIA: 80 HORAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.escolainteracao.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLINAS DO TOCANTINS, 2020. 
 
Medidas de dispersão 
Medidas de dispersão são parâmetros estatísticos usados para determinar o grau de 
variabilidade dos dados de um conjunto de valores. 
 
A utilização desses parâmetros tornam a análise de uma amostra mais confiável, visto que as 
variáveis de tendência central (média, mediana, moda) muitas vezes escondem a 
homogeneidade ou não dos dados. 
Por exemplo, vamos considerar que um animador de festas infantis selecione as atividades de 
acordo com a média das idades das crianças convidadas para uma festa. 
Vamos considerar as idades de dois grupos de crianças que irão participar de duas festas 
diferentes: 
 Festa A: 1 ano, 2 anos, 2 anos, 12 anos, 12 anos e 13 anos 
 Festa B: 5 anos, 6 anos, 7 anos, 7 anos, 8 anos e 9 anos 
Em ambos os casos, a média é igual a 7 anos de idade. Entretanto, ao observar as idades dos 
participantes podemos admitir que as atividades escolhidas sejam iguais? 
Portanto, neste exemplo, a média não é uma medida eficiente, pois não indica o grau de 
dispersão dos dados. 
As medidas de dispersão são utilizadas para indicar o grau de variação dos elementos de 
um conjunto numérico em relação à sua média. Nesse texto trataremos de quatro medidas de 
dispersão: amplitude, desvio, variância e desvio padrão. 
Amplitude 
Essa medida de dispersão é definida como a diferença entre a maior e a menor observação 
de um conjunto de dados, isto é: 
A = Xmaior - Xmenor 
Por ser uma medida que não leva em consideração como os dados estão efetivamente 
distribuídos, não é muito utilizada. 
Tomando como exemplo as idades nas festas citadas, temos: 
Festa A: A = 13 – 1 = 12 
Festa B: A = 9 – 5 = 4 
Apesar de que as duas festas tiveram a mesma média de idades observa-se a amplitude da 
primeira é bem maior que a da segunda. 
Desvio 
A partir dessa medida é possível saber a “distância” de cada uma informações numéricas até 
a média aritmética delas. O desvio é obtido a partir do módulo da subtração de cada um dos 
valores de um conjunto da média aritmética, assim obtém-se sempre um valor positivo, pode 
também efetuar a diferença entre a média e variável, caso a média seja maior. 
Exemplo: 
 
 
Ao final do ano letivo, os estudantes Joana e Marcos tiveram a mesma média final em 
matemática, 7. Em cada uma das quatro unidades as notas desses estudantes foram: 
 
Joana: 8,0; 7,0; 7,0 e 6,0. 
Marcos: 4,0; 5,0; 9,0 e 10,0. 
 
A amplitude da nota de Joana foi: 8 (maior nota) - 6 (menor nota) = 2. Enquanto a amplitude 
da nota de Marcos foi: 10 (maior nota) - 4 (menor nota) = 6 
 
Somente com essa medida não é possível saber qual dos dois estudantes teve obteve o melhor 
desempenho anual. Mas a partir dela, podemos notar que a variação das notas de Joana é 
menor do que a de Marcos. 
 
Vamos considerar as notas de Joana para realizar o cálculo do desvio: 
 
d1 = 8,0 – 7,0 = 1,0 
d2 = 7,0 – 7,0 = 0,0 
d3 = 7,0 – 7,0 = 0,0 
d4 = 7,0 – 60 = 1,0 
 
Desvio médio 
O desvio médio é dado pela média entre todos os desvios. 
𝒅𝒎 =
𝒅𝟏 + 𝒅𝟐 + 𝒅𝟑 + 𝒅𝟒 + ⋯ + 𝒅𝒏
𝒏
 
Usando o exemplo temos: 
𝒅𝒎 = 
𝟏+𝟎+𝟎+𝟏
𝟒
 = 0,5 
Variância 
 
Indica o quão distante está cada valor dos números do valor central. Dito isso, quanto menor 
a variância, mais próximos os valores da média; quanto maior a variância, mais distantes os 
valores estão da média. 
 
A medida de variância é calculada a partir da média aritmética dos quadrados dos desvios ou, 
ainda, pela diferença entre a média aritmética dos quadrados e o quadrado da média 
aritmética. Para achar o seu valor, os seguintes passos devem ser realizados: 
 
1. Realizar o cálculo da média das amostras; 
2. Realizar o cálculo das diferenças de todos elementos em relação à média, ou seja, o desvio; 
3. Elevar ao quadrado as diferenças, sejam elas positivas ou negativas; 
4. Realizar a soma de todas as diferenças elevadas ao quadrado e então dividir pelo número 
de elementos da amostra. 
 
Exemplo: 
 
Considere o conjunto numérico: 10, 12, 14, 16, 18 e 20. 
 
A média aritmética de tais elementos é obtida a partir do cálculo: 
 
�̅� =
(𝟏𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟔 + 𝟏𝟖 + 𝟐𝟎)
𝟔
=
𝟗𝟎
𝟔
= 𝟏𝟓 
A próxima etapa consiste em encontrar o desvio: 
 
d1 = 15 – 10 = 5 
d2 = 15 – 12 = 3 
d3 = 15 – 14 = 1 
d4 = 16 – 15 = 1 
d5 = 18 – 15 = 3 
d6 = 20 – 15 = 5 
 
Por último, a variância é: 
 
V = 
𝟓𝟐+𝟑𝟐+𝟏𝟐+𝟏𝟐+𝟑𝟐+𝟓𝟐
𝟔
= 
𝟐𝟓+𝟗+𝟏+𝟏+𝟗+𝟐𝟓
𝟔
=
𝟕𝟎
𝟔
= 𝟏𝟏, 𝟔𝟕 
 
Desvio padrão 
O desvio padrão nada mais é que a raiz quadrada positiva da variância. 
𝒅𝒑 = √𝑽 
Exemplo: 
Com base no exemplo anterior, o desvio padrão corresponde à raiz quadrada de 11,67: 
𝒅𝒑 = √𝟏𝟏, 𝟔𝟕 
𝒅𝒑 = 𝟑, 𝟒𝟐 
Quanto menor for a variância e o desvio padrão, mais homogêneo será um conjuntos de dados. 
Voltando para características de uma população ou amostra, podemos dizer que quanto menor 
o desvio padrão, mais características comuns esses indivíduos possuem. 
Referências 
https://www.educamaisbrasil.com.br/ 
https://www.todamateria.com.br/medidas-de-dispersao/ 
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Medidas de dispersão: amplitude e desvio"; Brasil Escola. 
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-amplitude-
desvio.htm. Acesso em 28 de abril de 2020. 
 
 
 
 
 
Problemas: Medidas de tendência central e dispersão. 
1- Em um dia de verão as temperaturas registradas em uma cidade ao longo de um dia estão 
apresentadas na tabela abaixo: 
 
Com base na tabela, indique o valor da amplitude e moda térmica registrada neste dia. 
 
2- O treinador de uma equipe de voleibol resolveu medir a altura dos jogadores da sua equipe e 
encontrou os seguintes valores: 1,86 m; 1,97 m; 1,78 m; 2,05 m; 1,91 m; 1,80 m. Em seguida, 
calculou o desvio padrão e a variância das alturas. Determine os valores aproximados que ele 
encontrou. 
 
3- O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 2008 a abril 
de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, 
Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre. 
 
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de 
a) 8,1% 
b) 8,0% 
c) 7,9% 
d) 7,7% 
e) 7,6% 
 
 
 
4- A respeito das medidas estatísticas denominadas amplitude e desvio, assinale a alternativa 
correta: 
a) Em estatística, não existem diferenças entre desvio e desvio padrão, exceto pelo nome. 
b) A amplitude é uma medida de tendência central usada para encontrar um único valor que 
representa todos os valores de um conjunto. 
c) O desvio é um número relacionado à dispersão total de um conjunto de valores. 
d) A amplitude é uma medida de tendência central calculada pela diferença entre o maio e o 
menor valor de um conjunto de informações. 
e) O desvio é uma medida de dispersão calculada sobre cada um dos valores de um conjunto 
de informações. 
5- Dados valores 2, 16, 10, 12, 6, 10, determine: 
a) Amplitude; 
b) Média; 
c) Moda; 
d) Mediana; 
e) Desvio; 
f) Desvio médio; 
g) Variância: 
h) Desvio padrão; 
 
6- Um professor fez uma pesquisa de idades em uma turma do ensino médio, composta por 15 
alunos, e obteve os seguintes resultados: 13, 15, 15, 19, 16, 16, 16, 14, 16, 13, 16, 17, 17, 19, 
18. Qual é a amplitude, moda e mediana das idades dos alunos dessa sala de aula? 
 
7- Dado conjunto {9, 11, 10, 12, 8}, calcule a o desvio padrão. 
 
 
8- As notas de dois alunos na disciplina de matemática estão representadas abaixo: 
 
Aluno A: 6,0 - 5,0 - 6,0 - 5,0 
Aluno B: 8,0 - 2,0 - 6,0 - 6,0 
 
A média anual desse escola é 7.0 pontos, então o conselho decidiu, caso nenhum dessesalunos alcançasse a média, passar o aluno que apresentou mais regularidade durante o ano 
letivo. A medida de tendência ou dispersão que melhor representa essa regularidade é: 
a) Moda; 
b) Média; 
c) Amplitude; 
d) Desvio padrão. 
e) Desvio médio.