Parametrização da seção de choque macroscópica com análise de erros eventuais

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MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA NUCLEAR
THOMAZ JACINTHO LOPES
PARAMETRIZAÇÃO DA SEÇÃO DE CHOQUE MACROSCÓPICA COM
ANÁLISE DE ERROS EVENTUAIS
RIO DE JANEIRO
2020
THOMAZ JACINTHO LOPES
PARAMETRIZAÇÃO DA SEÇÃO DE CHOQUE MACROSCÓPICA
COM ANÁLISE DE ERROS EVENTUAIS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação
em Engenharia Nuclear do Instituto Militar de Engenharia,
como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre
em Ciência em Engenharia Nuclear.
Orientador: João Cláudio Batista Fiel - D.Sc.
Coorientador: Ronaldo Glicério Cabral - Ph.D.
Coorientador: Sergio de Oliveira Vellozo - D.Sc.
Rio de Janeiro
2020
c©2020
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha
Rio de Janeiro – RJ CEP: 22290-270
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seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e dos orientadores.
Lopes, Thomaz Jacintho
Parametrização da Seção de Choque Macroscópica com Análise de Erros
Eventuais / Thomaz Jacintho Lopes. – Rio de Janeiro, 2020.
138 f.
Orientador: João Cláudio Batista Fiel.
Coorientador: Ronaldo Glicério Cabral.
Coorientador: Sergio de Oliveira Vellozo.
Dissertação (mestrado) – Instituto Militar de Engenharia, Engenharia Nuclear,
2020.
1. Seção de choque macroscópica. 2. Polinômios de Tchebyshev. 3. SCALE.
4. Reatores PWR. 5. Erros eventuais. 6. Parametrização. I. Fiel, João Cláudio
Batista, orient. II. Cabral, Ronaldo Glicério, coorient. .III. Vellozo, Sergio de
Oliveira, coorient. IV. Título
 
Dedico este trabalho à Deus pela Sua virtude e bondade comigo, que por amor a mim
entregou Seu único filho para que eu pudesse viver.
AGRADECIMENTOS
Inicialmente, agradeço a Deus. Todas as coisas que vivi e passei até chegar aqui o
Senhor me guiou e guardou. Se não o tivesse em meu coração ou se minha fé não estivesse
nEle, com certeza a caminhada seria mais tortuosa.
Sou grato de ter minha esposa Larissa ao meu lado. Ela me deu forças nos momentos
difíceis; ela esteve comigo nos momentos de alegria e estará comigo até a eternidade.
Agradeço aos meus pais Marco Antônio e Cristiane pois são minhas bases e minhas
referências e todo amor que sinto por eles não se apagará.
Agradeço aos meus irmãos Lucas e Maria Eduarda. Tudo que passamos juntos
jamais será esquecido e ter os dois em minha vida não tem preço.
Não posso esquecer dos meus avós Lourenço e Romilda. Sem eles minha vida não
seria a mesma. Agradeço também a minha avó Neuza que me dá carinho até hoje.
Muito obrigado aos meus tios Walter e Débora que desde sempre ajudaram em
minha vida e nesse mundo acadêmico.
Agradeço aos meus Apóstolos Fabio e Carla Alcântara que me dão palavras diárias
e saudáveis de como superar as dificuldades impostas pelo mundo. Agradeço também aos
meus líderes pastores Fábio e Íris que me dão sustento nos momentos mais difíceis e estão
comigo nos momentos de felicidade. Em especial, agradeço ao Naldinho. Jamais esquecerei
o apoio dado até aqui.
Agradeço aos meus orientadores João Claudio B. Fiel, Ronaldo G. Cabral e Sergio
O. Vellozo, que me deram todo suporte e apoio para desenvolver essa pesquisa e em minha
caminhada ao logo do curso.
Agradeço aos professores Claudio Luiz e Sergio Gavazza. Durante as conversas ao
longo do curso, aprendi o valor da pesquisa para cada um de nós.
Em especial, agradeço ao professores Domingos, Rudnei Karan e Réx Nazaré com
momentos de descontração, aprendizado durante as conversas no café e o suporte dado
para que eu crescer na minha vida acadêmica. Os trabalhos desenvolvidos, em conjunto,
ficarão guardados para sempre.
Agradeço aos meus amigos de curso Clóves, Caio, Gabriela, Jean e Márcio. Passamos
momentos inesquecíveis no IME.
Agradeço aos amigos Alberto, Talon e João Victor. Uma amizade construída em
pouco tempo mas que ficará para sempre. Muitas coisas aprendi com a experiência vivada
por eles. Espero um dia poder retribuir.
Meus agradecimentos aos professores Gladson Fontes e Dalton Barroso pela opor-
tunidade de passar seus conhecimentos.
Agradeço aos amigos de Andrade e Viviane. Não tem como esquece-los. São pessoas
preciosas que guardarei em minha memória para sempre.
Agradeço ao Instituto Militar de Engenharia de poder realizar dois sonhos (cursar
o programa de Engenharia nuclear e estudar no IME) na melhor instituição do país.
Agradeço a CAPES pelo apoio e incentivo financeiro.
Agradeço a todos os outros que estiveram envolvidos diretamente ou indiretamente
em minha caminhada até aqui.
“Que a tempestade é Você.
A Chuva forte é Você.
Vento forte é Você.
E o que me faz tremer as pernas.
A porta aberta é Você
Mas a fechada é Você
É tudo sobre Você“
(Morada, É tudo sobre Você)
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo sobre a eficiência dos polinômios de Tchebyshev quando
ocorrem erros eventuais que podem ser adicionados durante o processo de parametrização
da seção choque macroscópica para reatores do tipo PWR. A descrição parametrizada
mencionada é estudada em função da concentração de boro solúvel, temperatura do mode-
rador, temperatura do combustível, densidade do moderador e enriquecimento. As seções
macroscópicas analisadas são a fissão, espalhamento e captura. Esta análise apresenta a
confiabilidade e a eficiência do método de parametrização pelo polinômio de Tchebychev
para minimizar erros inseridos na descrição do comportamento da seção choque macroscó-
pica. Este estudo descreve a eficiência e também permite a rápida e fácil determinação das
secções choque dependentes do problema a serem utilizadas em alguns cálculos de grupo
sem a necessidade de os gerar com base em cálculos de código computacional utilizando
passos padrão. Os resultados obtidos pelas seções choque parametrizadas, quando compa-
rados com a secção choque gerada pelos cálculos do código SCALE, mostram-nos uma
diferença inferior a 0,9%.
Palavras-chaves: Seção de choque macroscópica. Polinômios de Tchebyshev. SCALE.
Reatores PWR. Erros eventuais. Parametrização.
ABSTRACT
This paper presents a study about the efficiency of eventual error that can be added during
the process of the Parameterization of the Macroscopic Cross Section by Tchebychev’s
polynomials for PWR reactors. The parameterized description mentioned is studied in the
function of soluble boron concentration, moderator temperature, fuel temperature, moder-
ator density, and enrichment. Analyzed macroscopic cross-sections are fission, scattering,
and capture. This analysis presents the reliability and the efficiency of the parameterization
method by Tchebychev polynomial to minimize inserted errors in the description of the
macroscopic cross-section behavior. This study describes the efficiency and also enables
quick and easy determination of the problem-dependent cross-sections to be used in a few
group calculations without the need to generate them based on computer code calculations
using standard steps. The results obtained by parameterized cross-sections, when compared
to the cross-section generated by SCALE code calculations, show us a difference of less
than 0.9 percent.
Keywords: Macroscopic cross section. Tchebyshev’s polynomials. SCALE. PWR reactors.
Eventuals errors. Parameterization.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Representação dos diversos tipos de interação nêutron-nuclear. . . . . . 29
Figura 2 – Feixe de nêutrons monoenergéticos incididos perpendicularmente sobre
um alvo de espessura fina. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 31
Figura 3 – Esquema de hierarquia das seções de choque microscópica. . . . . . . . 33
Figura 4 – Efeito Doppler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 5 – Volume qualquer V com superfície de área S. . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 6 – Divisão do alcance de energia dos nêutrons dentro do grupo G . . . . . 38
Figura 7 – Balanço de nêutrons dentro do grupo de energia . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 8 – Divisão para dois grupos de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 9 – Exemplo da análise de propagação de erro sobre as bibliotecas de seção
de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 10 – Fluxograma da metodologia aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 11 – Elemento combustível- vista superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 12 – Elemento combustível - vista superior da metade inferior . . . . . . . . 55
Figura 13 – Elemento combustível - vista superior da metade inferior em 3D . . . . 55
Figura 14 – Representação dos diversos tipos de homogeneização. . . . . . . . . . . 60
Figura 15 – Esquema representativo da geração das seções de choque macroscópicas
com o uso do T-NEWT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 16 – Representação das seções de choque macroscópicas analisadas. . . . . . 65
Figura 17 – Parametrização da seção de choque de fissão em função da temperatura
do moderador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 18 – Parametrização da seção de choque de espalhamento em função da
temperatura do moderador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 19 – Parametrização da seção de choque de captura em função da tempera-
tura do moderador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 20 – Parametrização da seção de choque de fissão em função dda temperatura
do combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 21 – Parametrização da seção de choque de espalhamento em função da
temperatura do combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 22 – Parametrização da seção de choque de captura em função da tempera-
tura do combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 23 – Parametrização da seção de choque de fissão em função do enriqueci-
mento do combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 24 – Parametrização da seção de choque de espalhamento em função do
enriquecimento do combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 25 – Parametrização da seção de choque de captura em função do enriqueci-
mento do combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 26 – Parametrização da seção de choque de fissão em função da concentração
de boro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 27 – Parametrização da seção de choque de espalhamento em função do da
concentração de boro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 28 – Parametrização da seção de choque de captura em função da concentra-
ção de boro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 29 – Fator de multiplicação infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 30 – Fator de multiplicação infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 31 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 81
Figura 32 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 82
Figura 33 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 83
Figura 34 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 84
Figura 35 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 85
Figura 36 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 86
Figura 37 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 87
Figura 38 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 87
Figura 39 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 89
Figura 40 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 89
Figura 41 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 90
Figura 42 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 91
Figura 43 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 92
Figura 44 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 93
Figura 45 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 95
Figura 46 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 95
Figura 47 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 96
Figura 48 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 97
Figura 49 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 98
Figura 50 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 99
Figura 51 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 100
Figura 52 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 100
Figura 53 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 102
Figura 54 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 102
Figura 55 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 103
Figura 56 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 104
Figura 57 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 105
Figura 58 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 106
Figura 59 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 107
Figura 60 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 107
Figura 61 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 109
Figura 62 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 109
Figura 63 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 110
Figura 64 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 111
Figura 65 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 113
Figura 66 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 113
Figura 67 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 114
Figura 68 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo térmico . 115
Figura 69 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 117
Figura 70 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 117
Figura 71 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 118
Figura 72 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 119
Figura 73 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo rápido . . 120
Figura 74 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 121
Figura 75 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% - Grupo rápido . . 122
Figura 76 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±2, 5% - Grupo térmico . 122
Figura 77 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% . . . . . . . . . . 124
Figura 78 – Gráficos da análise de propagação de erro de ±1, 0% . . . . . . . . . . 137
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Propriedades da materia que são consideradas . . . . . . . . . . . . . . 52
Tabela 2 – Valores de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tabela 3 – Características da geometria das varetas do elemento combustível . . . 56
Tabela 4 – Partes componentes do elemento combustível . . . . . . . . . . . . . . 56
Tabela 5 – Tabela comparativa do tempode processamento . . . . . . . . . . . . . 66
Tabela 6 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de 2,5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Tabela 7 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de 2,5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Tabela 8 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de 1,0% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Tabela 9 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de 1,0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Tabela 10 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Tabela 11 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Tabela 12 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Tabela 13 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Tabela 14 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Tabela 15 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Tabela 16 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1, 0% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Tabela 17 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1, 0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Tabela 18 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±2, 5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Tabela 19 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±2, 5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Tabela 20 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±1, 0% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Tabela 21 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±1, 0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Tabela 22 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Tabela 23 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Tabela 24 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Tabela 25 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Tabela 26 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Tabela 27 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Tabela 28 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1, 0% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Tabela 29 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1, 0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Tabela 30 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±2, 5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Tabela 31 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±2, 5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Tabela 32 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±1, 0% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Tabela 33 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±1, 0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Tabela 34 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Tabela 35 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Tabela 36 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tabela 37 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tabela 38 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Tabela 39 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Tabela 40 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1, 0% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Tabela 41 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1, 0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Tabela 42 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±2, 5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Tabela 43 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±2, 5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Tabela 44 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±1,% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Tabela 45 – Seção de choque macroscópica de fissão com propagação de ±1, 0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Tabela 46 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Tabela 47 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±2, 5% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Tabela 48 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Tabela 49 – Seção de choque macroscópica de espalhamento com propagação de
±1, 0% - Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Tabela 50 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Tabela 51 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±2, 5% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Tabela 52 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1,% -
Grupo rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Tabela 53 – Seção de choque macroscópica de captura com propagação de ±1, 0% -
Grupo térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Tabela 54 – Fator de multiplicação infinito com análise de propagação de erro de
±1, 0% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Tabela 55 – Reatividade com erro propagado de ±1, 0% . . . . . . . . . . . . . . . 125
Tabela 56 – Coeficiente de reatividade (pcm/oC) com erro propagado de ±1, 0% . . 125
Tabela 57 – Fator de fissão � com erro propagado de ±1, 0% . . . . . . . . . . . . . 125
Tabela59 – Fator de multiplicação infinito com análise de propagação de erro de
±1, 0% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Tabela 60 – Reatividade com erro propagado de ±1, 0% . . . . . . . . . . . . . . . 138
Tabela 61 – Coeficiente de reatividade (pcm/oC) com erro propagado de ±1, 0% . . 138
Tabela 62 – Fator de fissão � com erro propagado de ±1, 0% . . . . . . . . . . . . . 138
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CSEWGH Cross Section Evaluation Working Group
ENDF Evalueted Nuclear Data File
Enr Enriquecimento
FSAR Final Security Analysis Report
FORTRAN IBM Mathematical Formula Translation System
MTR Material Test Reactor
NAG Numerical Algorithms Group
NRDC International Network of Nuclear Reation Data Centers
ORNL Oak Ridge National Laboratory
PWR Pressurized Water Reactor
RSND Reactor System Nuclear Division
SCALE Standardized Computer Analyses for Licensing Evaluation
VVER Vodo-Vodyanoi Energetichesky Reaktor - Water Water Energetic Reac-
tor
LISTA DE SÍMBOLOS
k Coeficiente de criticalidade (fator de multiplicação)
D Coeficiente de difusão
CB Concentração de boro solúvel
~J Corrente de nêutrons
E Energia
eV Elétron-volt
Pn Expansão de Legendre
s Fonte de nêutrons
G/g Grupo de energia
I Intensidade do feixe
χ Letra grega minúscula chi (ki) - representa o espectro de fissão dos
nêutrons
γ Letra grega minúscula gama - representa fótons
µ̄ Letra grega minúscula mu (mi) - representa a variação média do cos(θ)
ν Letra grega minúscula nu (ni) - representa o número médio de nêutrons
liberados por fissão
φ Letra grega minúscula phi (fi) - representa fluxo de nêutrons
Ω̂ Letra grega maiúscula ômega - representa direção angular
θ Letra minúscula theta - representa o ângulo de interação
MeV Mega elétron-volt
NA Número (constante) de Avogrado
n Nêutron
~∇ Operador nabla
TF Temperatura do combustível
TM Temperatura do moderador
Tn Polinômio de Tchebyshev
σ Seção de choque microscópica
Σ Seção de choque macroscópica
B Símbolo representativo do boro
Gd Símbolo representativo do gadolínio
O Símbolo representativo do oxigênio
Pu Símbolo representativo do plutônio
U Símbolo representativo do urânio
R Taxa de reação
t Tempo
~r Vetor posição
v Velocidade
V Volume
VF Volume do combustível
VM Volume do moderador
Zry-4 Zircaloy 4
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Definição do Assunto da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 ESTADO DA ARTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Interação dos Nêutrons com a Matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.4 Seção de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4.1 Seção de Choque Microscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4.2 Seção de Choque Macroscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5 Impacto da Temperatura na Interação do Nêutron com a Matéria . . . . . 33
2.2.5.1 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.5.2 Efeito da Temperatura na Dinâmica de Colisão . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Conceitos Introdutórios da Teoria de Transporte de Nêutrons . . . . 35
2.3.1 Taxa de Reação e Fluxo de Nêutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Equação de Transporte de Nêutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3 Equação de Difusão de Nêutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4 Equação de Difusão Multigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.5 Equação de Difusão a Dois Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Descrição da Análise de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Incertezas nas Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.3 Propagação de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.4 Propagação de Erro numa única Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.5 Propagação de Erro Eventual da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 MÉTODO DE PARAMETRIZAÇÃO DE SEÇÃO DE CHOQUE MA-
CROSCÓPICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1 Polinômios de Tchebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3 Parametrização das Seções de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.3.1 Coeficientes da Expansão dos Polinômios de Tchebyshev . . . . . . . . . . . . 50
3.1.4 Expansão dos Polinômios em Tchebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Parâmetros de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 DESCRIÇÃO DO ELEMENTO COMBUSTÍVEL DE ANÁLISE . . . 54
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Elemento Combustível com Veneno Queimável . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Ferramenta Utilizada - Código SCALE . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.1 KENO-VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.2 T-NEWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 AQUISIÇÃO DAS SEÇÕES DE CHOQUE MACROSCÓPICAS . . . 59
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Homogeneização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Colapsação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Processo de Obtenção das Seções de Choque Macroscópicas . . . . 64
5.5 Análise das Seções de Choque Macroscópicas e kinf . . . . . . . . . 64
5.6 Dados Nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 Biblioteca de Dados Nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 PARAMETRIZAÇÃO DA SEÇÃO DE CHOQUE MACROSCÓPICA 68
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Parametrização das Seções de Choque Macroscópicas em
Função da Temperatura do Moderador . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Parametrização das Seções de Choque Macroscópicas em
Função da Temperatura do Combustível . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 Parametrização das Seções de Choque Macroscópicas em
Função da Enriquecimento do Combustível . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.5 Parametrização das Seções de Choque Macroscópicas em
Função da Concentração de Boro . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 75
6.5.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.6 Parâmetros de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6.1 Fator de Multiplicação Infinito em Função da Temperatura do
Combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6.2 Fator de Multiplicação Infinito em Função da Temperatura do
Moderador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 ESTUDO DA PROPAGAÇÃO DE ERRO NA PARAMETRIZAÇÃO
DE SEÇÃO DE CHOQUE MACROSCÓPICA . . . . . . . . . . . . . 80
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Propagação de Erro nas Seções de Choque em Função da
Temperatura do Moderador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Propagação de erro nas Seções de Choque em Função
da Temperatura do Combustível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.4 Propagação de Erro nas Seções de Choque em Função
do Enriquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.4.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5 Propagação de Erro nas Seções de Choque em Função
da Concentração de Boro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.5.1 Fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.5.2 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5.3 Captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6 ANÁLISE DE ERROS EVENTUAIS NOS PARÂMETROS DE PRO-
JETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.6.1 Análise em Função da Temperatura do Combustível . . . . . . . . . . . . . 123
8 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9 SUGESTÕES PARA TRABALHOS
FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
APÊNDICE A – COEFICIENTES DE TCHEBYSHEV . . . . . . . 131
APÊNDICE B – ESTRUTURAS DOS GRUPOS DE ENERGIA . . 133
APÊNDICE C – ANÁLISES COMPLEMENTARES . . . . . . . . . 137
C.1 Análise dos parâmetros de projeto em função da temperatura do
moderador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
23
1 INTRODUÇÃO
1.1 Definição do Assunto da Dissertação
A análise do núcleo de um reator nuclear é realizada por meio do estudo da interação
de diversas variáveis. Essas variáveis se referem à natureza do combustível e do moderador,
às composições e geometria do núcleo e à remoção de calor que é gerada a partir da fissão
proveniente da interação nêutron-núcleo e, também, do decaimento radioativo. A parte
crucial do projeto do reator consiste em especificar o núcleo, visto que este determina o
comportamento neutrônico no sistema e, consequentemente, as condições de criticalidade
(GLASSTONE E SESONSKE, 1994)(1). Portanto, os dados neutrônicos são calculados
com embasamento na teoria de transporte de nêutrons e teoria de difusão dos nêutrons.
Esses cálculos podem ser realizados por meio de métodos determinísticos e probabilísticos,
tal qual o método de Monte Carlo.
Os cálculos neutrônicos de um reator nuclear necessitam de dados nucleares, como
por exemplo, as Seções de Choque dos nêutrons, que variam em função da composição
do material do elemento combustível, dos parâmetros termo-hidráulicos, assim como dos
parâmetros nucleares. Os parâmetros nucleares são denominados como variáveis de estado
que são determinados pela temperatura do combustível e do moderador, densidade do
moderador, pela concentração de Boro-10 solúvel no moderador, como tanbém o BURN-
UP, ou seja, a queima do combustível durante a operação do reator (BOKOV, 2009)(2). O
burn-up do combustível altera a composição inicial do núcleo ao longo de ciclos de queima,
que por sua vez, os isótopos físseis são consumidos resultando na composição de novos
produtos de fissão.
Para obter resultados numéricos a partir da equação de transporte de nêutrons, por
meio de equações algébricas, utiliza-se análise computacional uma vez que as variáveis da
posição, direção, energia e tempo devem ser consideradas discretas. A energia, geralmente,
é discreta pelo método de multi-grupo, o qual cada grupo de energia representa uma
energia constante. Deste modo, para reatores térmicos, o método utilizando a dois grupos
de energia se torna suficiente para analisar o comportamento neutrônico cujos grupos são
diferenciados por um grupo rápido e um térmico.
Observa-se que os métodos que são utilizados para obter os valores de seções de
choque nos cálculos de um reator, necessitam de códigos computacionais nucleares que
utilizam um grande tempo no processamento dos dados e de memória computacional
os tornando, assim, um processo computacionalmente caro. Com o objetivo de tentar
solucionar essa deficiência, novos métodos têm sido desenvolvidos com a finalidade de
Capítulo 1. INTRODUÇÃO 24
adquirir novos procedimentos alternativos que forneçam valores de seção de choque de
modo rápido e seguro sem a necessidade de sistemas complexos.
Existem procedimentos que podem ocasionar erros ao sistema e, consequentemente,
afetar os resultados dos cálculos neutrônicos e suas análises. Com objetivo de compreender
o impacto de erros eventuais é possível realizar um estudo de propagação de erros inerentes
ao sistema e, deste modo, compreender o comportamento dos nêutrons de uma maneira
mais coerente ao sistema físico.
Portanto, este trabalho tem por objetivo a análise da propagação de erros even-
tualmente inseridos nas bibliotecas de seção de choque macroscópicas através de curvas
parametrizadas, por meio dos polinômios de Tchebyshev em função dos parâmetros de
estado de um sistema definido. Além disso, será realizada a análise do possível impacto
nos parâmetros de projeto de um reator nuclear do tipo PWR devido ao erros eventuais.
1.2 ESTADO DA ARTE
O comportamento neutrônico em um reator nuclear é compreendido a partir dos
cálculos neutrônicos que por sua vez requerem seções de choque homogeneizadas a poucos
grupos de energia para uma célula ou simplesmente um elemento combustível. Ressalta-se
que as seções de choque variam em função dos parâmetros de estado, da composição
dos materiais e dos parâmetros termo-hidráulicos. Ao longo dos anos, foram sugeridos
métodos de parametrização das seções de choque a poucos grupos de energia utilizando
diversos métodos matemáticos, tais como regressão STEPWISE, regressão QUASE e
métodos SPARSE GRIDS. Com a finalidade de complementar e acrescentar a revisão
bibliográfica, até o presente momento, será apresentado um pequeno retrospecto dos
métodos de parametrização já aplicados à seção de choque.
No ano de 2005, foi proposto por Zimin e Semenov (ZIMIN E SEMENOV, 2005) (3)
um método que consistia na combinação entre interpolação e aproximação para descrever
as dependências das seções de choque de nêutrons a poucos grupos de energia em função
da queima de combustível e de parâmetros termo-hidráulicos de uma célulade combustível.
A seção de choque foi descrita como uma soma de dois termos: a seção de choque base
que é interpolada por uma análise spline cúbica cuja dependência é somente do burn-up e
é calculada a partir das condições nominais do núcleo do reator; o desvio que depende das
variáveis termo-hidráulicas e do burn-up da célula. Utiliza-se um algoritmo de regressão
STEPWISE para selecionar o melhor ajuste dos termos polinomiais das dependências
multidimensionais do desvio.
Foi proposto em 2009 por Bokov (BOKOV, 2009)(2) a técnica de regressão QUASE
para criar uma metodologia concisa e flexível para parametrizar as seções de choque a poucos
grupos de energia permitindo, assim, o desenvolvimento de uma ferramenta automatizada
Capítulo 1. INTRODUÇÃO 25
para a parametrização. Além da aproximação por uma função de dimensões arbitrárias,
a metodologia aplicada por essa técnica se baseia na incorporação e caracterização da
aproximação do erro e otimização da biblioteca, que inclui o controle de erros pela redução
do número de termos de aproximação e da quantidade de parâmetros de estado.
Também, no ano 2009, Prinslooo, Bokov, Stander e Botes (PRINSLOO, et al.
2005)(4) apresentam o método de parametrização polinomial das seções de choque baseado
na técnica de SPARSE GRID em diferentes moldes MTR( Material Test Reactor). É
uma metodologia comparada aos métodos mais tradicionais de parametrizações. Além
disso, o método possui um controle integrado de erro, tratamento e avaliação coerente da
importância de todos os parâmetros de estado e o burn-up, identificação e aproximação de
todas as dependências de seção de choque. O método utiliza a técnica conhecida como
análise de variância (ANOVA) que serve para construir o modelo integrativo de SPARSE
GRIDS eficiente para determinar os coeficientes de expansão.
Em 2011, Botes e Bokov (BOTES E BOKOV, 2011)(5) desenvolveram uma inter-
polação multilinear hierárquica que se baseava nos nós da técnica SPARSE GRIDS para
representar as seções de choque homogeneizadas a poucos grupos de energia. O método
desenvolvido também inclui uma maneira de estimar o erro de interpolação integrado e um
procedimento para facilitar e otimizar a representação das seções de choque homogeneiza-
das. O método foi aplicado em seções de choque de captura em elemento combustível MTR
padrão para diferentes isótopos cujos resultados foram comparados com uma interpolação
multilinear num produto tensorial de malhas. Demonstrou-se a possibilidades das seções de
choque serem interpoladas utilizando a técnica SPARSE GRIDS, o qual exige um número
consideravelmente menor de pontos quando comparado com a técnica do produto tensorial
de malhas.
Utilizando a técnica SPARSE GRIDS multidimensional, construída a partir dos nós
de Tchebyshev, a interpolação realizada por Bokov e Botes em 2012 (BOKOV E BOTES,
2012)(6) foi usada para apresentar um método representativo das seções de choque a
poucos grupos de energia numa célula de um reator do tipo VVER. A combinação da
interpolação Tchebyshev com a eficiência do método SPARSE GRIDS se apresenta como
vantagem na interpolação.
Foi desenvolvido por Fiel em 2013 (FIEL, 2013)(7), por meio dos polinômios
de Tchebyshev, uma representação parametrizada das seções de choque macroscópicas
homogeneizadas a poucos grupos de energia para um elemento combustível PWR, com e sem
veneno queimável em função da temperatura do combustível, da temperatura do moderador,
da concentração de boro solúvel, da densidade do moderador e do enriquecimento do
combustível (23592 U) Foi avaliado as seções de choque macroscópicas de fissão, espalhamento,
total fissão, captura, absorção para a condição inicial do reator (ciclo zero-reator fresco).
Dando continuidade ao trabalho realizado em 2013, (FIEL, 2013)(7), foi realizado
Capítulo 1. INTRODUÇÃO 26
por Freitas em 2015 (FREITAS, 2015)(8) um estudo das curvas parametrizadas das seções
de choque macroscópicas de um elemento combustível para um reator do tipo PWR para
vários regimes de burn-up.
Diversos pesquisadores ao redor do mundo têm estudado e aplicado diferentes
técnicas de parametrização das seções de choque. É possível observar quantidades signifi-
cativas de pesquisadores destinados a compreender a parametrização da seção de choque
de elementos combustível a poucos grupos de energia em função dos parâmetros de estado
bem como o burn-up. A descrição dos processos realizados em todos os trabalhos é de fácil
aplicação e entendimento.
1.3 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS
Este trabalho tem por objetivo apresentar de foma simples e clara os resultados
obtidos. Por esse motivo, optou-se em segmentar a estrutura do mesmo em nove capítulos e
apêndices. Os capítulos tem como características fundamentais expor as ideais trabalhadas
englobando a teoria e técnicas aplicadas, as ferramentas utilizadas e os resultados obtidos.
Devido a grande quantidade de resultados obtidos, os apêndices mostram o impacto da
inserção de erro nas bibliotecas de seção de choque de modo a melhorar o entendimento
dos dados.
O presente capítulo trás uma visão global sobre as propriedades e complexidades
de se adquirir os valores de seção de choque macroscópica, bem como é destacado a
importância de dispor esses dados de forma prática. De forma resumida, é apresentado
um retrospecto da literatura dos trabalhos publicados mais relevantes dos métodos de
parametrização de seção de choque macroscópica a poucos grupos de energia. Finalmente,
é evidenciado o objetivo desse trabalho de dissertação de mestrado o qual é a análise de
propagação de erros eventuais por meio da interpolação dos polinômios de Tchebyshev.
O Capítulo 2 apresenta uma recapitulação das definições fundamentais da física
nuclear para o entendimento dos resultados avaliados e entender o comportamento físico
das seções de choque macroscópicas ao longo do funcionamento de um reator PWR.
No Capítulo 3 é inserido a metodologia aplicada neste estudo, assim como as
definições e características dos polinômios de Tchebyshev, como método de parametrização
utilizado. São definidos, também, os parâmetros de estado avaliados e os valores de referên-
cia destes parâmetros. Além disso, o programa de linguagem FORTRAN empregado como
ferramenta de cálculo, é apresentado de modo a realizar a determinação dos coeficientes
da expansão polinomial.
O Capítulo 4 descreve o elemento combustível (EC) modelado com as varetas de
veneno queimável distribuídos na malha representativa do EC, bem como são expostas as
Capítulo 1. INTRODUÇÃO 27
composições e geometrias utilizadas. O elemento combustível considerado, foi modelado e
simulado pelo módulo KENO-VI de modo a atender as condições necessárias definido pelos
cálculos de criticalidade. Além disso, apresenta o software nuclear SCALE 6.1, responsável
pela modelagem dos elementos combustíveis avaliados e geração das seções de choque
macroscópicas por meio do T-NEWT.
No Capítulo 5 é apresentado um breve resumo das equações utilizadas para a
homogeneização e colapsação das seções de choque macroscópicas em análise. Por fim, são
descritas, de forma sucinta, as bibliotecas de dados nucleares existentes e são realizados
testes considerando a análise de criticalidade e o tempo de processamento para a escolha
da mesma.
No capítulo 6 são apresentados os resultados obtidos, por meio das parametrizações
e os gráficos, do comportamento físico das seções de choque macroscópicas do elemento
combustível com veneno queimável em função da variação dos parâmetros de estado e o
enriquecimento.
O Capitulo 7 apresenta os resultados obtidos, por meio de tabelas e gráficos, do
comportamento das seções de choque macroscópicas do elemento combustível com veneno
queimável em função da variação dos parâmetros de estado e o enriquecimento com a
análise de erros propagados nas bibliotecas geradas.
São apresentados, também, os resultados obtidos do impacto de erros eventuais,
nas bibliotecas de seção de choque macroscópicas, nos parâmetros de projeto em função
da variação da temperatura do combustível,tais quais o fator de multiplicação infinito,
a reatividade e o coeficiente de reatividade. Além disso, é descrito o comportamento do
fator de fissão do elemento combustível.
Por último, nos Capítulos 8 e 9 são apresentados a conclusão deste estudo e,
também, são expostas sugestões de trabalhos futuros.
28
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS
2.1 Introdução
Apresenta-se neste capitulo a teoria que servirá como base para o entendimento
da metodologia aplicada bem como para a interpretação dos dados e conclusões. De uma
maneira introdutória, inicia-se a fundamentação teórica para descrever o comportamento
do nêutron ao interagir com a matéria. Além disso, será apresentado desde a definição de
seção de choque e os efeitos ocasionados pela variação da temperatura, até os conceitos
fundamentais da teoria de transporte de nêutrons e difusão de nêutrons.
2.2 Interação dos Nêutrons com a Matéria
O funcionamento do núcleo do reator nuclear depende, de modo geral, da maneira
como o nêutron interage com o núcleo atômico alvo (LAMARSH, 1966)(9). Para um reator
de fissão nuclear é necessário que haja uma reação de cadeia sustentável cujos nêutrons
fissionam um material físsil.
Por não possuírem carga elétrica, os nêutrons podem facilmente passar pela nuvem
de elétrons e da barreira coulombiana do núcleo alvo sem interagir. A interação do nêutron
com o núcleo é caracterizada por reações nucleares independentemente do núcleo e podem
ocorre de diversas maneiras. Essa interação nêutron-nuclear pode ser dividida de dois
modos: espalhamento elástico e inelástico; e absorção a qual é a soma de diversos tipos de
reação cujas mais relevantes são de fissão e captura radioativa. É importante mencionar
que essas interações são relevantes e devem ser consideradas durante o processo de análise
do projeto do reator. A Figura 1 apresenta os possíveis tipos de reações provenientes da
interação nêutron-nuclear.
2.2.1 Captura
A reação (n, γ), ou simplesmente captura radioativa, é uma reação a qual o nêutron
incidente é absorvido pelo núcleo alvo que, posteriormente, retorna do seu estado excitado
para o estado fundamental sem a liberação de nêutrons secundários. Nesse “salto”, há
emissão de dois raios gama tornando a massa atômica acrescida de uma unidade. Por
retirar nêutrons do sistema e degradar a criticalidade, a captura radioativa também é
conhecida como absorção parasita (BARROSO, 2009)(10). Além disso, é responsável por
produzir isótopos tal qual o (23994 Pu) cuja a produção provém da absorção de um nêutron
pelo (23892 U)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 29
Figura 1 – Representação dos diversos tipos de interação nêutron-nuclear.
Fonte: Duderstadt e Hamilton, 1976.
2.2.2 Fissão
O núcleo ao absorver um nêutron forma um nuclídeo de grande instabilidade de
massa que posteriormente provoca a divisão do núcleo caracterizando, assim, a fissão
nuclear. A fissão do núcleo divide em dois fragmentos de massas intermediária cujo processo
libera, em média, 2,5 a 3 nêutrons, por fissão, com energia de 2 MeV. Esses nêutrons
gerados são responsáveis pela sustentabilidade da reação de fissão em cadeia. Cerca de 200
MeV é liberado pela fissão, sendo que 80% da energia total é “carregada” pelos produtos
de fissão os quais depositam esse energia no meio. (KAPLAN, 1978)(11).
2.2.3 Espalhamento
Ao analisar as interações que ocorrem na reação nêutron-nuclear, surge outro tipo
de reação denominada como interações de espalhamento a qual é dividida em espalhamento
elástico ou inelástico. O nêutron, ao interagir com o núcleo, pode sofrer espalhamento
modificando sua energia de incidência e direção. As interações desse tipo podem ocorrer
para nêutrons de qualquer energia e são fundamentais para o processo de moderação cuja
função é tornar o nêutron térmico. O núcleo, ao espalhar o nêutron, não sofre variações
significativas no seu estado energético. Portanto, neste caso, há conservação de energia
do sistema nêutron-nuclear. É denominado espalhamento elástico isotrópico quando há
probabilidade igual de espalhamento para ambas as direções. Caso contrário, é denominado
anisotrópico (BARROSSO, 2009)(10). Ressalta-se que a perda de energia está ligada
diretamente da massa do núcleo alvo o qual ele se choca. Para alvos massivos, com o
número de massa atômica elevada, a perda de energia de nêutron a partir do espalhamento
elástico é desprezível modificando de forma significativa sua direção. Como mencionado
anteriormente, o processo de moderação é predominante em reações de espalhamento
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 30
elástico ao colidir com elementos mais leves. Isso se dá devido os elementos com número de
massa mais baixos possuírem níveis de energia de excitação na ordem de MeV ou maiores.
Considera-se espalhamento inelástico quando o nêutron incidente é capturado pelo
núcleo alvo que, por sua vez, emite raios gama e outro nêutron com energia menor que a do
nêutron incidente. Para que essa interação ocorra é necessário que atinja um valor de energia
determinado capaz de tornar o núcleo em seu primeiro nível de excitação. Diferentemente
do elástico, esse tipo de interação não há conservação de energia cinética do sistema
nêutron-nuclear. Por esse motivo, o nêutron incidente perde muito mais energia e ocorre,
normalmente, em núcleos alvos com massa atômica mais elevada. As diferenças de perdas
energéticas do nêutron incidente estão relacionadas às diferenças de estados excitados
dos núcleos alvos. Vale ressaltar que, para o espalhamento inelástico, a termalização é
predominante para núcleos alvos massivos.
Fica claro que a ocorrência de alguma interação descrita anteriormente depende da
energia do nêutron incidente e das características do núcleo alvo. Isso é caracterizado por
probabilidade de ocorrência que é definido através do conceito de seção de choque.
2.2.4 Seção de Choque
Na direção do estudo da neutrônica, as equações de transporte de nêutrons e
difusão de nêutrons, que será explicado nos capítulos posteriores, são utilizadas para
compreender as reações de interação do nêutron com a matéria. Essas interações podem
ser medidas, quantitativamente, como a probabilidade de interação do nêutron com o alvo
que é denominada seção de choque.
2.2.4.1 Seção de Choque Microscópica
Representada por σ, a seção de choque microscópica caracteriza a probabilidade da
reação nêutron-nuclear por núcleo (DUDERSTADT e HAMILTON, 1976)(12). Conside-
rando inicialmente, para compreender melhor a definição de seção de choque microscópica,
um feixe de nêutrons monoenergéticos paralelo se deslocando numa mesma direção inci-
dindo de forma perpendicular e uniforme em um material com um átomo de fina espessura
durante um intervalo de tempo conforme mostrado na Figura 2.
Espera-se que a taxa da reação nêutron-nuclear no alvo seja proporcional a inten-
sidade do feixe de nêutrons e ao número de átomos do alvo por unidade de área. Deste
modo, considerando-se como constante de proporcionalidade σ, pode-se escrever a taxa a
qual a reação ocorre por unidade de área sobre o alvo como:
R
[
#
cm2s
]
= σ
[
cm2
]
· I
[
#
cm2s
]
·NA
[
#
cm2
]
(2.1)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 31
Figura 2 – Feixe de nêutrons monoenergéticos incididos perpendicularmente sobre um alvo
de espessura fina.
Fonte: Duderstadt e Hamilton, 1976 (modificado).
vale ressaltar que as para unidades estejam coerentes, fica implícito que a unidade
da seção de choque microscópica seja dada em unidade de área como mostrado na Eq
(2.1). Em razão disso, é possível definir a seção de choque microscópica de um modo mais
formal manipulando algebricamente a Eq. (2.1), têm-se:
σ = númerodereações/núcleo/tempo
númerodenêutronsincidentes/área/tempo ≡
R/NA
I
(2.2)
Além disso, pode-se pensar que a seção de choque microscópica como uma área
transversal efetiva do núcleo alvo a ser incidido pelo feixe de nêutrons. Como o raio
nuclear é em torno de 10−12 cm, a área geométrica transversal é em torno de 10−24cm2.
Portanto, a seção de choque microscópica é usualmente medida emunidade de área
chamada barn(b), onde 1b ≡ 10−24cm2. No entanto, a seção de choque microscópica é
frequentemente má interpretada utilizando a interpretação geométrica. Isso se dá devido
aos efeitos da ressonância nuclear em consequência da mecânica quântica da natureza do
núcleo e do nêutron.
Até então, foi discutido o conceito de seção de choque microscópica nuclear em um
sentido bastante abstrato e sem especificar uma reação. Na verdade, a seção de choque
microscópica pode ser usada para caracterizar qualquer tipo de reação. Por exemplo,
dentre todas as seções de choque existentes, três tipos de reações são caracterizadas como
mais predominantes quais sejam de fissão, captura radioativa e espalhamento que serão
discutidas ao longo do trabalho. Essas reações são representadas como seções de choque
microscópica de fissão (σf ), de captura radioativa (σγ) e espalhamento (σe).
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 32
As seções de choque podem ser separadas e caracterizadas de modos diferentes, por
exemplo:
• Espalhamento: a seção de choque microscópica de espalhamento é a soma do espa-
lhamento elástico (σe) e inelástico (σin). O espalhamento elástico (σe) o núcleo alvo
mantém seu estado fundamental. Já o espalhamento inelástico (σin) o núcleo alvo,
ao sofrer uma colisão, deixa o seu estado fundamental.
σs = σe + σin (2.3)
• Absorção: a seção de choque microscópica de absorção (σa) consiste na absorção do
nêutron pelo núcleo alvo. O núcleo ao absorver um nêutron pode ocasionar diversos
tipos de reação incluindo a fissão (σf ), captura radioativa (σγ) e reações (n, α) (σnα).
• Total: a seção de choque microscópica total (t) caracteriza a probabilidade de ocorrer
qualquer tipo de interação nêutron-nuclear.
σt = σs + σa = σe + σin + σf + σγ + σnα + · · · (2.4)
Para entender melhor como é determinado a predominância das seções de choque
microscópica, é apresentado a hierarquia das seções microscópicas na Figura 3.
2.2.4.2 Seção de Choque Macroscópica
No entanto, ao analisar o núcleo do reator, o feixe de nêutrons interage não mais
com um único núcleo, mas com um material com N núcleos por unidade de volume (cm3)
o qual é representado por σN . A quantidade total de seção de choque de núcleos por
volume é chamada de seção de choque macroscópica cuja representação é dada por Σ e
possui unidade equivalente a cm−1. De um modo geral, a seção de choque macroscópica é
a probabilidade de um nêutron sofrer um tipo de interação com o meio alvo e pode ser
representada conforme a Eq. (2.5).
Σi = N(σi) (2.5)
Sabe-se que o tipo de interação depende da energia do nêutron incidente σ(E) e
do material alvo cuja composição não possui uma uniformidade podendo, também, ser
instável. Portanto, é possível generalizar a seção de choque macroscópica definida de forma
que ela é dependente da posição, da energia e do tempo.
Σ(~r, E, t) = N(~r, t)σ(E) (2.6)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 33
Figura 3 – Esquema de hierarquia das seções de choque microscópica.
Fonte: Duderstadt e Hamilton, 1976.
Isso implica que a determinação da seção de choque é um objetivo físico nuclear
e envolvem muitos experimentos e cálculos teóricos. Vale ressaltar que as avaliações das
seções de choque também dependem da energia dos nêutrons incidentes e que é necessário
entender esse comportamento e sua influência dentro do núcleo do reator.
2.2.5 Impacto da Temperatura na Interação do Nêutron com a Matéria
De um modo geral, a única dependência que pode interferir na interação dos
nêutrons com os núcleos alvos é o movimento browniano caracterizado pela variação de
temperatura. Vale lembrar que as seções de choque de espalhamento são quase constantes
quando a temperatura está próxima de zero, no entanto o movimento térmico induz
uma dependência 1/v sobre as seções de choque. Esse aumento resulta no fato de que a
velocidade média do núcleo alvo se torna comparável, ou excede a velocidade do nêutron
incidente. Os núcleos alvos sob a forma de um sólido possui uma estrutura de cristal e
vibram sobre pontos fixos cuja a energia de vibração varia com a temperatura. Vale ressaltar
que a energia vibracional tender-se-á por uma distribuição Maxwelliana num intervalo
de energia. Portanto, para um feixe incidente de nêutrons monoenergéticos, as energias
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 34
irão variar dentro da faixa que está abaixo ou acima da energia do nêutron (LAMARSH,
1966)(9). Em face disso, é denominado como Efeito Doppler devido a semelhança com a
variação do comprimento de uma onda mecânica ou eletromagnética, de uma fonte cuja
frequência é aparentemente fixa.
2.2.5.1 Efeito Doppler
Devido ao aumento da energia de vibração do núcleo alvo em consequência do
aumento da temperatura, o intervalo energético da probabilidade de interação nêutron-
nuclear também aumenta. Portanto, a medida que a temperatura aumenta a largura de
um pico de ressonância aumenta devido ao Efeito Dopller. Isso é caracterizado como
Alargamento Dopller de Ressonâncias. A medida que a largura do pico de ressonância
aumenta, a altura diminui mantendo a área de ressonância constante conforme mostrado
na Figura 4.
Figura 4 – Efeito Doppler.
Fonte: Leppänen, 2007(modificado).
Note que o efeito Doppler é analisado em diferentes pontos de vista. Conforme
Leppänen(13) em 2007, na teoria do reator, o aumento da absorção parasita é interpretado
como o enfraquecimento do resultado da auto blindagem ressonante. Entretanto, a auto
blindagem ressonante não é um efeito macroscópico o qual não afeta o nêutron individual-
mente. Do ponto de vista do nêutron, isso é uma variação aleatória na velocidade relativa
entre o nêutron e o núcleo alvo ocasionando um aumento na probabilidade de interação
nêutron-nuclear. Quando a energia do nêutron está próxima do pico de ressonância, a
dependência energética é alta e o movimento térmico ocasionalmente desloca o núcleo alvo
para o valor de energia mais próxima do pico.
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 35
2.2.5.2 Efeito da Temperatura na Dinâmica de Colisão
O movimento térmico do núcleo alvo também afeta a dinâmica das reações de
espalhamento e o movimento do alvo deve ser levado em consideração na equações de
colisão da interação do nêutron com o alvo. A colisão para baixas energias com o movimento
do alvo, geralmente levam a um aumento na energia do nêutron. Deste modo, os nêutrons
são "coletados"nas regiões de baixa energia. A energia cinética do núcleo alvo obedece uma
distribuição de Maxwell-Boltzmann e o alcance da energia média é em torno de 0,03eV a
0,10eV, dependendo da temperatura do material. A distribuição dos nêutrons termalizados
não é exatamente uma Maxwelliana, já que a absorção 1/v muda o pico para energias
mais altas (LEPPÄNEN, 2007)(13).
2.3 Conceitos Introdutórios da Teoria de Transporte de Nêutrons
2.3.1 Taxa de Reação e Fluxo de Nêutrons
Para definir taxa de reação é necessário compreender densidade de nêutrons e fluxo
de nêutrons. Inicialmente, a densidade de nêutrons corresponde a N(~r, E, t)d3r o qual é
definida pelo número de nêutrons dispersados num volume d3r na posição ~r, com energia
E num determinado instante de tempo t. Como apresentado em trabalhos anteriores, o
fluxo de nêutrons é definido como:
φ(~r, E, t) ≡ vN(~r, E, t) ≡ fluxo de nêutrons [cm−2 · s−1] (2.7)
A taxa de reação definida como:
F (~r, E, t) = Σ(E)φ(~r, E, t) (2.8)
Similarmente, o fluxo de nêutrons também é considerado como fluxo angular de
nêutrons simplesmente multiplicando a velocidade dos nêutrons pela densidade angular de
nêutrons definida pela Eq. (2.9)
φ(~r, E, Ω̂, t) ≡ vn(~r, E, Ω̂, t) (2.9)
Portanto, pode-se definir como corrente de nêutrons a partir da Eq (2.10)
~J(~r, E, Ω̂, t) ≡ vΩ̂n(~r, E, Ω̂, t) = Ω̂φ(~r, E, Ω̂, t) (2.10)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 36
2.3.2 Equação de Transporte de Nêutrons
A equação de transporte de nêutrons é regida pelo balanço de nêutrons, o qual é
considerado diversos modos que nêutrons podem ser ganhos ou perdidos em um volume V
qualquer, conforme a Figura 5, a umadada energia E e viajam sob uma direção Ω̂.
Figura 5 – Volume qualquer V com superfície de área S.
Fonte: Duderstadt e Hamilton, 1976-modificado.
O número de nêutrons dentro de um volume V com energia E variando em dE e
viajando numa dada direção Ω̂ variando em dΩ̂, pode ser dado pela Eq (2.11)
∫
V
n(~r, E, Ω̂, t)d3rdEdΩ̂ (2.11)
Portanto, a taxa de variação do número de nêutrons em função do tempo é definida
pela relação de balanço de nêutrons, como se segue
∂
∂t
∫
V
n(~r, E, Ω̂, t)d3rdEdΩ̂ = ganho em V − perda em V (2.12)
Tendo em mãos a equação de balanço de nêutrons definido pela Eq. (2.12), é
necessário identificar os diversos modos de ganhos e perdas de nêutrons dentro do volume
delimitado por V. Ressalta-se que esses modos estão matematicamente expressos em função
da densidade angular de nêutrons n(~r, E, Ω̂, t). Deste modo, a equação de transporte pode
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 37
ser definida como:
1
v
∂φ
∂t
= S(~r, E, Ω̂, t) +
∫
4π
dΩ̂′
∫ ∞
0
dE ′σs(E ′ −→ E, Ω̂′ −→ Ω̂)φ(~r, E ′, Ω̂′)
−Σtφ(~r, E, Ω̂, t)− Ω̂~∇φ(~r, E, Ω̂, t)
(2.13)
A equação de transporte apresenta diversas características gerais de interesse. Inici-
almente, é uma equação linear com sete variáveis independentes (r = x, y, z;E; Ω̂ = θ, φ; t).
Uma vez que contêm derivadas no espaço e no tempo, bem como integrais sobre o ângulo
e energia, ela é conhecida como uma equação integro-diferencial.
2.3.3 Equação de Difusão de Nêutrons
A equação integro-diferencial de transporte de nêutrons pode ser resolvida em casos
bem simples, como por exemplo, para nêutrons energéticos de uma fonte plana em meio
infinito com espalhamento isotrópico. Quando os cálculos são complexos, como o balanço
de nêutrons em um reator nuclear, utiliza-se de aproximações da equação de transporte de
nêutrons dada pela Eq.(2.13).
Considerando um sistema cujo eixo é de simetria, como os que são considerados
na análise do reator, as funções harmônicas esféricas utilizadas para a representação
da variável da direção podem ser substituídas por outra função polinomial tal como o
polinômio de Legendre. Desta maneira, as funções que representam a seção de choque
de espalhamento Σs(E ′ −→ E, Ω̂′ −→ Ω̂), o fluo angular φ(~r, E ′, Ω̂′, t) e a fonte S(~r, E, Ω̂, t)
podem ser expressos como a soma de séries infinitas de termos contendo os polinômios de
Legendre do cosseno do ângulo de espalhamento entre a direção Ω̂ e o eixo de coordenadas
principal. Em consequência disso, existe um conjunto infinito de equações diferenciais
acopladas as quais cada uma é caracterizada por um valor n que varia de zero a integral.
O conjunto total de equações é exatamente equivalente à equação de transporte
original. Ressalta-se que quanto maior for o valor atribuído para n, melhor será a aproxi-
mação e, também, o tempo de processamento aumenta. Para a aproximação Pn, n = 1,
utiliza-se somente as duas primeiras equações do conjunto (n = 0 e n = 1), devido ser mais
utilizada para análise de um reator nuclear. Essas equações contém os primeiros termos
da expansão de Legendre,que são iguais ao fluxo angular e corrente de nêutrons. Como
descrito anteriormente, nas Eq. (2.7) e (2.10) estão dependentes da posição ~r e direção Ω̂.
Substituindo o coeficiente de difusão de nêutrons D dado por,
D ≡ 13[Σt(~r − Σs(~r)µ̄0]
= 13Σtr(~r)
(2.14)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 38
na Equação de continuidade,
1
v
∂
∂t
φ = S(~r, t)− Σtφ(~r, t)−∇ ~J(~r, t) (2.15)
obtém-se a Equação de Difusão, dada por:
1
v
∂
∂t
φ(~r, t) = S(~r, t)− Σaφ(~r, t) +D(~r)∇2φ(~r, t) (2.16)
caso seja considerado no estado estacionário:
S = Σaφ(~r, t)−D(~r)∇2φ(~r) (2.17)
2.3.4 Equação de Difusão Multigrupo
Como demostrado, a equação de difusão Eq.(2.16) comporta-se como se os nêutrons
fossem considerados monoenergéticos ou possuírem a mesma velocidade. Entretanto, num
reator nuclear, os nêutrons possuem energia que variam de 10 MeV a 0,01 eV. Neste caso, é
necessário realizar a discretização da Equação de Difusão em relação à energia dos nêutrons
conforme a Figura 7.
Figura 6 – Divisão do alcance de energia dos nêutrons dentro do grupo G .
Fonte: Bell e Glasstone , 1970.
Nota-se que o nêutron nasce com energia alta E0 e, ao sofrer colisões, perde energia
até atingir a faixa de energia EG. Esse efeito é denominado Letargia. Ao subdividir as
energias dos nêutrons em grupos de energia, é útil discretizar o fluxo de nêutrons φ(~r, E, t)
como um fluxo multigrupo φG(~r, t) ao invés de compor o fluxo de nêutrons em relação à
energia de cada grupo. Portanto, φG(~r, t) corresponde ao fluxo total de todos os nêutrons
com energia E dentro o intervalo Eg < E < Eg−1. Baseando-se no conceito do balanço de
nêutrons para um determinado grupo de energia e admitindo as possíveis formas com a
qual o nêutron pode sair ou entrar nesse grupo, obtém-se
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 39
Figura 7 – Balanço de nêutrons dentro do grupo de energia .
Fonte: Thiago , 2015 (Duderstadt e Hamilton-modificado 1976).
É possível caracterizar, a partir da Figura 7, a constante de grupo para a probabi-
lidade de espalhamento do grupo g′ para o grupo g [Σs(Eg′ −→ Eg)] como:
Σsg =
G∑
g′=1
Σsgg′ (2.18)
Devido a simplificação de diversos cálculos de difusão a poucos grupos de energia,
somente é utilizado um grupo térmico para caracterizar os nêutrons cujo intervalo de
energia corresponde E < 1eV . Além disso, considera-se que nenhum nêutron é espalhado
para fora do grupo térmico. Deste modo, a constante de grupo para o espalhamento pode
ser considerado como:
G∑
g′=1
Σsgg′φg =
g−1∑
g′=1
Σsg′gφg + Σsgg′ (2.19)
Onde a seção de choque de espalhamento dos grupos (Σsgg′) pode ser desmembrado
da constante de grupo de espalhamento, com isso se caracteriza a probabilidade de um
nêutron sofrer espalhamento e perder pouca energia podendo ser mantido no mesmo grupo.
Portanto, defini-se a seção de choque de remoção a qual caracteriza a probabilidade de
um nêutron ser removido do grupo a partir do espalhamento.
ΣRg = Σtg − Σsgg′ (2.20)
Similarmente, defini-se a constante de grupo para a seção de choque de absorção
no grupo g (Σag) e a constante de grupo para a fonte Sg definida pela taxa de aparição de
nêutrons no grupo g. Por fim, a constante de grupo para o coeficiente de difusão Dg pode
ser definida. A fuga do grupo g pode ser escrita em termos da aproximação de difusão,
como ∇g∇φg. Portanto, a o balanço de nêutrons obtido a partir da Eq. (2.12) pode ser
reescrito como:
1
v
∂φg
∂t
= ∇ ·Dg∇φ− Σagφg + Sgφg +
G∑
g′=1
Σsg′gφg′ (2.21)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 40
cujo grupo g varia em torno de g = 1, 2, . . . , G. É possível separar a componente
oriundo da fissão e reescrever em função dos grupos de energia.
Sg = χg
G∑
g′=1
νg′Σfg′φg′φg′ + Sextg (2.22)
sendo χg é a representatividade da probabilidade de um nêutron nasça com energia
E dentro do grupo g; Σfg′ é a seção de choque de fissão representativo do grupo g′ e νg
representa a média de nêutrons liberados pela fissão por um nêutron dentro do grupo g′.
Vale lembrar que Σt = Σa + Σs e, portanto, a equação de difusão para multigrupos pode
ser definida como:
1
v
∂φg
∂t
−∇ ·Dg∇φg + Σtgφg(~r, t) =
G∑
g′=1
Σsg′gφg′ + χg
G∑
g′=1
νg′Σfg′φg′ + Sextg (2.23)
2.3.5 Equação de Difusão a Dois Grupos
Dado um típico reator PWR, é possível calcular utilizando a equação de difusão de
modo mais simplificado considerando a pouco grupos de energia. Por exemplo, para análise
do reator de ANGRA II os cálculos são considerados somente para dois grupos de energia.
Deste modo, esta dissertação de mestrado tem como base analisar um reator do tipo PWR
utilizando dois grupos de energia para, os cálculos de difusão de nêutrons, os quais são o
grupo rápido e o grupo térmico. Considera-se uma energia alta para o grupo térmico com
a finalidade de não ocorrer o efeito de upscattering o qual corresponde a possibilidade de
não haver nêutrons pertencentes ao grupo térmico ganhar energia suficiente e mingar para
o grupo rápido. Ressalta-se que o nêutron ao nascer no gruporápido ao sofrer colisões
perde energia e, consequentemente, salta para o grupo térmico.
Figura 8 – Divisão para dois grupos de energia .
Fonte: Duderstadt e Hamilton 1976-modificado.
Portanto, pode-se definir o fluxo de nêutrons como:
φ1 =
∫ E1
E0
φ(~r, E, t)dE ≡ fluxo rápido (2.24)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 41
φ2 =
∫ E2
E1
φ(~r, E, t)dE ≡ fluxo térmico (2.25)
Discretiza-se as constantes de grupo, previamente obtidas, para dois grupos de
energia. Inicialmente, considera-se o espectro de fissão e que todos os nêutrons obtidos
a partir da fissão nascerão no grupo rápido, ou seja, nêutrons com energias superiores a 1eV.
χ1 =
∫ E1
E0
χ(E)dE ≡ 1 (2.26)
χ2 =
∫ E2
E1
χ(E)dE ≡ 0 (2.27)
Por outro lado, a fonte de nêutrons oriundos da fissão surge somente no espectro
rápido de energia.
Sf1 = ν1Σf1φ1 + ν2Σf2φ2 (2.28)
Sf2 = 0 (2.29)
A Eq.(2.28) representa a fonte de nêutrons no grupo rápido e Eq.(2.29) a fonte
de nêutrons no grupo térmico. Como já mencionado, não existem nêutrons com energia
suficiente que possam sair do grupo térmico, pode-se determinar a seção de choque de
espalhamento:
∫ E1≈1eV
E2
Σs(E ′ −→ E) = Σs(E ′), E2 ≤ E ′1 (2.30)
Portanto,
Σs22 =
1
φ2
∫ E1
E2
dE
∫ E1
E2
Σs(E ′ −→ E)φ(~r, E ′)dE ′ =
1
φ2
∫ E1
E2
Σs(E ′)φ(~r, E ′)dE ′
Σs22 = Σs2 (2.31)
Retornando na Eq.(2.20), pode-se reescrever a seção de choque de remoção do
grupo 2 como:
ΣR2 = Σt2 − Σss2 = Σt2 − Σs2 = Σa2 (2.32)
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 42
De forma análoga ao processo de discretizar os fluxos nos dois grupos de energia,
é possível determinar as constantes de grupo para o rápido e térmico. Logo, a teoria de
difusão, a dois grupos de energia no estado estacionário com fonte S igual à zero, pode ser
calculada pela criticalidade do reator a partir de:
−∇ ·D1∇φ1 + ΣR1φ1 =
1
k
[ν1Σf 1φ1 + ν2Σf 2φ2] (2.33)
−∇ ·D2∇φ2 + Σa2φ2 = Σs12φ1 (2.34)
cuja relação 1/k representa o ajuste para definir a criticalidade. Além disso, observa-
se que a fonte no grupo rápido corresponde aos nêutrons proveniente das fissões, enquanto
o termo da fonte no grupo térmico é descrito pela moderação do grupo rápido para o
grupo térmico.
2.4 Descrição da Análise de Erros
Análise de erro é o estudo e avaliação de incertezas em medidas. Nenhuma medida,
por mais cuidadosa que seja, pode ser completamente isenta de incertezas. Uma vez que
toda a estrutura e aplicação da ciência depende de medições, a capacidade de avaliar
estas incertezas e de mantê-las a um nível mínimo é crucialmente importante (TAYLOR,
1997)(14).
O objetivo da análise de erros é quantificar e registrar os erros associados à
inevitável propagação em um conjunto de medições e identificar como podemos melhorar
o experimento. Nas ciências físicas, os experimentos são frequentemente realizados para
determinar o valor de uma quantidade. No entanto, sempre haverá um erro associado a
esse valor devido a incertezas experimentais. Não se pode ter certeza de qual é o valor
exato, mas os erros fornecem uma gama de características na qual se acredita que o valor
correto está com uma probabilidade especificada (HUGHES e HASE, 2010)(15).
2.4.1 Incertezas nas Medidas
Ao apresentar uma quantidade como a melhor estimativa ± o erro, é necessário
considerar como um estado de probabilidade. Não se pode ter a certeza de que o valor
está dentro dos limites indicados, mas as medições tendem a considerar que existe uma
certa probabilidade de que assim seja.
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 43
2.4.2 Terminologia
Existem dois termos que possuem significados distintos quando dados experimentais
são analisados, são eles: (a) acurácia; (b) precisão. Medidas precisas são aquelas cuja
dispersão dos resultados é pequena1 em relação ao valor médio e absoluto. A acurácia está
relacionada aos resultados que estão de acordo com o valor aceitável2. Ressalta-se que o
valor de exatidão somente é válido em experiencias em que há comparação com valores
conhecidos.
Deste modo, existem três tipos de erros que podem influenciar as medidas durante
o experimento (INMETRO, 2008)(16):
• Erros aleatórios são a diferença entre o resultado da medição e a média que
resultaria de um número infinito de medições de um mesmo mensurado, repetidas
nas mesmas condições. Como não é possível de prever resultados de uma medição
com resultados obtidos previamente, então são chamados de erros aleatórios.
• Erros Sistemáticos aparecem devido às limitações humanas, físicas ou dos instru-
mentos. É difícil, ou mesmo impossível, detectar erros sistemáticos que apareçam
devido ao equipamento defeituoso, à falta de calibração, ao procedimento incorreto.
De nada adianta repetir as medições nas mesmas condições, pois erros sistemáticos
ocorrem sempre no mesmo sentido.
• Erros eventuais são similares aos sistemáticos, mas podem ser difíceis de serem
detectados. Ocorrem comumente na aquisição de dados incorretos. Erros eventuais
podem influenciar a precisão e a acurácia das medições acarretando consequências
potencialmente desastrosas.
Embora ocorra a possibilidade de todos os tipos de erros mencionados no item
(2.4.2), neste trabalho serão considerados somente a possibilidade de erros eventuais.
2.4.3 Propagação de Erro
O objetivo da maioria das experiências nas ciências físicas é combinar várias
variáveis em uma única quantidade. O erro no valor combinado é uma função dos erros
nos termos constituintes. Como a adição de probabilidades não é linear, a simples soma
dos erros dos termos constituintes dá uma superestimação do erro na variável combinada.
Neste capítulo, será apresentado como os erros podem ser propagados por meio de funções
únicas e multi-variáveis usando uma abordagem funcional (altamente favorável à análise
em planilha).
1 pequena: não possui magnitude mas a diferença entre os valores é o menor possível.
2 aceitável: parâmetro estipulado no processo de medição.
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 44
2.4.4 Propagação de Erro numa única Variável
As equações mencionadas neste trabalho necessitam de muitas variáveis para
as seções de choque serem analisadas. No entanto, com a finalidade de simplificar o
entendimento, será considerada a análise em torno de uma variável e as demais serão
constantes.
A propagação de erro das bibliotecas de seção de choque macroscópicas será dada
por meio da análise em torno da vizinhança do ponto de análise por meio da seguinte
expressão.
p = ±A% (2.35)
onde A são valores dentro do intervalo o qual se pretende analisar o erro eventual.
2.4.5 Propagação de Erro Eventual da Pesquisa
Como mencionado anteriormente, a análise deste trabalho é atribuído em torno das
bibliotecas de seção de choque macroscópica. Foi decidido que os valores atribuídos a A,
para este trabalho foram: 10; 5; 2,5; 1,5; 1; e 0,5. Portanto, a seção de choque macroscópica
com a propagação de erro será dada por
Σh′ = Σh + p (2.36)
Com o objetivo de exemplificar os resultados obtidos, foi plotado o Gráfico 9
que mostra o comportamento da seção de choque de fissão macroscópica, em função da
temperatura do moderador, com análise com erro de 1, 0%. O erro foi propagado nas
bibliotecas de seção de choque macroscópica de fissão na temperatura de 300K.
Capítulo 2. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 45
Figura 9 – Exemplo da análise de propagação de erro sobre as bibliotecas de seção de
choque
46
3 MÉTODO DE PARAMETRIZAÇÃO DE SEÇÃO DE CHOQUE
MACROSCÓPICA
Esta dissertação de mestrado visa à continuação do trabalho desenvolvido em 2015
(FREITAS, 2015)(8), realizando a geração e análise de uma representação parametrizada
de seções de choque macroscópicas homogeneizadas e colapsadas a dois grupos de energia,
de um elemento combustível de um reator do tipo PWR similar ao reator nuclear ANGRA
II(17), em função dos parâmetros nucleares, tais como, a temperatura do moderador e do
combustível, a densidade do moderador, a concentração de boro solúvel, enriquecimento
do combustível e considerando vários ciclos de burn-up.
A metodologia aplicada consiste na apresentação de um método alternativo