PDF MATEMATICA

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
1. Operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Operações com números naturais e números racionais. Teoria 
dos conjuntos. Operações com frações, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
2. Funções exponenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Análise Combinatória e binômio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Matrizes. Determinantes. Sistemas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Números complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6. Raciocínio lógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. Polinômios. Produtos notáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8. Equações de 1º e 2° Grau. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9. Probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10. Fatoração. Potenciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11. Regra de três simples e composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12. Juros simples e composto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13. Razão e proporção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
14. Porcentagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15. Grandezas proporcionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
16. Sistema de medidas decimais: metro, metro quadrado e cúbico, litro, grama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
17. Média aritmética simples e ponderada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
18. Geometria: Forma, perímetro, área, volume e ângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
19. Geometria analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
20. Logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
21. Progressão aritmética. Progressão geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
22. Análise combinatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
23. Sistema Monetário Brasileiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
MATEMÁTICA
1
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. OPERAÇÕES COM NÚME-
ROS NATURAIS E NÚMEROS RACIONAIS. TEORIA DOS 
CONJUNTOS. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES, MÍNIMO 
MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM
Números Naturais
Os números naturais são o modelo matemático necessário 
para efetuar uma contagem.
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, 
obtemos o conjunto infinito dos números naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor 
a) O sucessor de 0 é 1.
b) O sucessor de 1000 é 1001.
c) O sucessor de 19 é 20.
Usamos o * para indicar o conjunto sem o zero.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um anteces-
sor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
Expressões Numéricas
Nas expressões numéricas aparecem adições, subtrações, mul-
tiplicações e divisões. Todas as operações podem acontecer em 
uma única expressão. Para resolver as expressões numéricas utili-
zamos alguns procedimentos:
Se em uma expressão numérica aparecer as quatro operações, 
devemos resolver a multiplicação ou a divisão primeiramente, na 
ordem em que elas aparecerem e somente depois a adição e a sub-
tração, também na ordem em que aparecerem e os parênteses são 
resolvidos primeiro.
Exemplo 1 
10 + 12 – 6 + 7 
22 – 6 + 7
16 + 7
23
Exemplo 2
40 – 9 x 4 + 23 
40 – 36 + 23
4 + 23
27
Exemplo 3
25-(50-30)+4x5
25-20+20=25
Números Inteiros
 Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números 
naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. 
Este conjunto pode ser representado por:
Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2,...}
Subconjuntos do conjunto :
1)Conjunto dos números inteiros excluindo o zero
Z*={...-2, -1, 1, 2, ...}
2) Conjuntos dos números inteiros não negativos
Z+={0, 1, 2, ...}
3) Conjunto dos números inteiros não positivos
Z-={...-3, -2, -1}
Números Racionais
Chama-se de número racional a todo número que pode ser ex-
presso na forma , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0
São exemplos de números racionais:
-12/51
-3
-(-3)
-2,333...
As dízimas periódicas podem ser representadas por fração, 
portanto são consideradas números racionais.
Como representar esses números?
Representação Decimal das Frações
Temos 2 possíveis casos para transformar frações em decimais
1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o número de-
cimal terá um número finito de algarismos após a vírgula.
2º) Terá um número infinito de algarismos após a vírgula, mas 
lembrando que a dízima deve ser periódica para ser número racio-
nal
OBS: período da dízima são os números que se repetem, se não 
repetir não é dízima periódica e assim números irracionais, que tra-
taremos mais a frente.
MATEMÁTICA
2
Representação Fracionária dos Números Decimais
1ºcaso) Se for exato, conseguimos sempre transformar com o 
denominador seguido de zeros.
O número de zeros depende da casa decimal. Para uma casa, 
um zero (10) para duas casas, dois zeros(100) e assim por diante.
2ºcaso) Se dízima periódica é um número racional, então como 
podemos transformar em fração?
Exemplo 1 
Transforme a dízima 0, 333... .em fração
Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízimadada 
de x, ou seja
X=0,333...
Se o período da dízima é de um algarismo, multiplicamos por 
10.
10x=3,333...
E então subtraímos:
10x-x=3,333...-0,333...
9x=3
X=3/9
X=1/3
Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de período.
Exemplo 2
Seja a dízima 1,1212...
Façamos x = 1,1212...
100x = 112,1212... .
Subtraindo:
100x-x=112,1212...-1,1212...
99x=111
X=111/99
Números Irracionais
Identificação de números irracionais
- Todas as dízimas periódicas são números racionais.
- Todos os números inteiros são racionais.
- Todas as frações ordinárias são números racionais.
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
- Todas as raízes inexatas são números irracionais.
- A soma de um número racional com um número irracional é 
sempre um número irracional.
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
-Os números irracionais não podem ser expressos na forma , 
com a e b inteiros e b≠0.
Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um núme-
ro racional.
Exemplo: : = = 2e 2 é um número racional.
- O produto de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
Exemplo: . = = 7 é um número racional.
Exemplo:radicais( a raiz quadrada de um número natu-
ral, se não inteira, é irracional.
Números Reais
Fonte: www.estudokids.com.br
Representação na reta
INTERVALOS LIMITADOS
Intervalo fechado – Números reais maiores do que a ou iguais a 
e menores do que b ou iguais a b.
Intervalo:[a,b]
Conjunto: {x∈R|a≤x≤b}
Intervalo aberto – números reais maiores que a e menores que 
b.
Intervalo:]a,b[
Conjunto:{x∈R|a<x<b}
MATEMÁTICA
3
Intervalo fechado à esquerda – números reais maiores que a ou 
iguais a a e menores do que b.
Intervalo:{a,b[
Conjunto {x∈R|a≤x<b}
Intervalo fechado à direita – números reais maiores que a e 
menores ou iguais a b.
Intervalo:]a,b]
Conjunto:{x∈R|a<x≤b}
INTERVALOS IIMITADOS
Semirreta esquerda, fechada de origem b- números reais me-
nores ou iguais a b.
Intervalo:]-∞,b]
Conjunto:{x∈R|x≤b}
Semirreta esquerda, aberta de origem b – números reais me-
nores que b.
Intervalo:]-∞,b[
Conjunto:{x∈R|x<b}
Semirreta direita, fechada de origem a – números reais maiores 
ou iguais a a.
Intervalo:[a,+ ∞[
Conjunto:{x∈R|x≥a}
Semirreta direita, aberta, de origem a – números reais maiores 
que a.
Intervalo:]a,+ ∞[
Conjunto:{x∈R|x>a}
Potenciação
Multiplicação de fatores iguais
2³=2.2.2=8
Casos
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número.
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta 
em um número positivo.
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, resul-
ta em um número negativo.
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o si-
nal para positivo e inverter o número que está na base. 
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor 
do expoente, o resultado será igual a zero. 
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma 
base, repete-se a base esoma os expoentes.
Exemplos:
24 . 23 = 24+3= 27
(2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27
2)(am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. 
Conserva-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
MATEMÁTICA
4
3)(am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica-se 
os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um 
expoente, podemos elevar cada um a esse mesmo expoente.
(4.3)²=4².3²
5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, podemos 
elevar separados.
 Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais 
fácil quando o algarismo se encontra fatorado em números primos. 
Veja: 
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira-se” um 
e multiplica.
Observe:
 ( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se
 ,,,
*NnRbRa ∈∈∈ ++
 então:
 
nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado 
é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do 
radicando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De modo geral, 
se 
,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++
então:
 
n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado 
é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do 
radicando.
Raiz quadrada números decimais
Operações
Operações
Multiplicação
Exemplo
Divisão
Exemplo
MATEMÁTICA
5
Adição e subtração
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
 
Caso tenha:
Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com 
radicais no denominador. Ao processo que leva à eliminação dos 
radicais do denominador chama-se racionalização do denominador. 
1º Caso:Denominador composto por uma só parcela
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de 
quadrados no denominador:
QUESTÕES
01. (Prefeitura de Salvador /BA - Técnico de Nível Superior II 
- Direito – FGV/2017) Em um concurso, há 150 candidatos em ape-
nas duas categorias: nível superior e nível médio.
Sabe-se que:
• dentre os candidatos, 82 são homens;
• o número de candidatos homens de nível superior é igual ao 
de mulheres de nível médio;
• dentre os candidatos de nível superior, 31 são mulheres.
O número de candidatos homens de nível médio é 
(A) 42. 
(B) 45. 
(C) 48. 
(D) 50.
(E) 52.
02. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) Raoni, Ingrid, Maria Eduarda, Isabella e José foram 
a uma prova de hipismo, na qual ganharia o competidor que obti-
vesse o menor tempo final. A cada 1 falta seriam incrementados 6 
segundos em seu tempo final. Ingrid fez 1’10” com 1 falta, Maria 
Eduarda fez 1’12” sem faltas, Isabella fez 1’07” com 2 faltas, Raoni 
fez 1’10” sem faltas e José fez 1’05” com 1 falta. Verificando a colo-
cação, é correto afirmar que o vencedor foi:
(A) José 
(B) Isabella
(C) Maria Eduarda
(D) Raoni
03. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) O valor de √0,444... é:
(A) 0,2222...
(B) 0,6666...
(C) 0,1616...
(D) 0,8888...
04. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário -VUNESP/2017) Se, 
numa divisão, o divisor e o quociente são iguais, e o resto é 10, sen-
do esse resto o maior possível, então o dividendo é
(A) 131.
(B) 121.
(C) 120.
(D) 110.
(E) 101.
05. (TST – Técnico Judiciário – FCC/2017) As expressões nu-
méricas abaixo apresentam resultados que seguem um padrão es-
pecífico: 
1ª expressão: 1 x 9 + 2
2ª expressão: 12 x 9 + 3
 3ª expressão: 123 x 9 + 4
...
 7ª expressão: █ x 9 + ▲
Seguindo esse padrão e colocando os números adequados no 
lugar dos símbolos █ e ▲, o resultado da 7ª expressão será 
(A) 1 111 111. 
(B) 11 111. 
(C) 1 111. 
(D) 111 111. 
(E) 11 111 111.
MATEMÁTICA
6
06. (TST – Técnico Judiciário – FCC/2017) Durante um trei-
namento, o chefe da brigada de incêndio de um prédio comercial 
informou que, nos cinquenta anos de existência do prédio, nunca 
houve um incêndio, mas existiram muitas situações de risco, feliz-
mente controladas a tempo. Segundo ele, 1/13 dessas situações 
deveu-se a ações criminosas, enquanto as demais situações haviam 
sido geradas por diferentes tipos de displicência. Dentre as situa-
ções de risco geradas por displicência,
− 1/5 deveu-se a pontas de cigarro descartadas inadequada-
mente;
− 1/4 deveu-se a instalações elétricas inadequadas;
− 1/3 deveu-se a vazamentos de gás e
− as demais foram geradas por descuidos ao cozinhar.
De acordo com esses dados, ao longo da existência desse pré-
dio comercial, a fração do total de situações de risco de incêndio 
geradas por descuidos ao cozinhar corresponde à 
(A) 3/20. 
(B) 1/4. 
(C) 13/60. 
(D) 1/5. 
(E) 1/60.
07. (ITAIPU BINACIONAL -Profissional Nível Técnico I - Técnico 
emEletrônica – NCUFPR/2017) Assinale a alternativa que apresen-
ta o valor da expressão 
(A) 1.
(B) 2. 
(C) 4.
(D) 8. 
(E) 16.
08. (UNIRV/GO – Auxiliar de Laboratório – UNIRVGO/2017)
 Qual o resultado de ?
(A) 3 
(B) 3/2
(C) 5
(D) 5/2
09. (IBGE – Agente Censitário Municipal e Supervisor – 
FGV/2017) Suponha que a # b signifique a - 2b .
Se 2#(1#N)=12 , então N é igual a: 
(A) 1; 
(B) 2; 
(C) 3; 
(D) 4; 
(E) 6.
10. (IBGE – Agente Censitário Municipal e Supervisor – 
FGV/2017) Uma equipe de trabalhadores de determinada empresa 
tem o mesmo número de mulheres e de homens. Certa manhã, 3/4 
das mulheres e 2/3 dos homens dessa equipe saíram para um aten-
dimento externo.
Desses que foram para o atendimento externo, a fração de mu-
lheres é
(A) 3/4;
(B) 8/9;
(C) 5/7;
(D) 8/13;
(E) 9/17.
RESPOSTAS
01.Resposta: B.
150-82=68 mulheres
Como 31 mulheres são candidatas de nível superior, 37 são de 
nível médio.
Portanto, há 37 homens de nível superior.
82-37=45 homens de nível médio.
02. Resposta: D.
Como o tempo de Raoni foi 1´10” sem faltas, ele foi o vencedor.
03. Resposta: B.
Primeiramente, vamos transformar a dízima em fração
X=0,4444....
10x=4,444...
9x=4
04. Resposta: A.
Como o maior resto possível é 10, o divisor é o número 11 que 
é igua o quociente.
11x11=121+10=131
05. Resposta: E.
A 7ª expressão será: 1234567x9+8=11111111
06. Resposta: D.
Gerado por descuidos ao cozinhar:
Mas, que foram gerados por displicência é 12/13(1-1/13)
MATEMÁTICA
7
07.Resposta: C.
08. Resposta: D.
09. Resposta: C.
2-2(1-2N)=12
2-2+4N=12
4N=12
N=3
10. Resposta: E.
Como tem o mesmo número de homens e mulheres:
Dos homens que saíram:
Saíram no total
MMC E MDC
Múltiplos 
Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o pri-
meiro pelo segundo, o resto é zero.
Exemplo
O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é 
infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado 
por todos os números naturais.
M(3)={0,3,6,9,12,...}
Divisores
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor 
de 12 e 15.
D(12)={1,2,3,4,6,12}
D(15)={1,3,5,15}
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múlti-
plos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais 
não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números.
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir 
as etapas:
•	 Decompor o número em fatores primos
•	 Tomar o fatores comuns com o menor expoente
•	 Multiplicar os fatores entre si.
Exemplo:
 
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c
Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é 
o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
•	 Decompor os números em fatores primos
•	 Multiplicar os fatores entre si
Exemplo:
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos.
Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão 
com algum dos números, não é necessário que os dois sejam divisí-
veis ao mesmo tempo.
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua 
aparecendo.
MATEMÁTICA
8
Assim, o mmc 
Exemplo
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será 
revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, 
de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os 
ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão 
possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Resposta: A.
Devemos achar o mdc para achar a maior medida possível
E são os fatores que temos iguais:25=32
Exemplo 2
(MPE/SP – Oficial de Promotora I – VUNESP/2016) No aero-
porto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias 
aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da 
companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 mi-
nutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três com-
panhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse 
mesmo dia, às
(A) 16h 30min.
(B) 17h 30min.
(C) 18h 30min.
(D) 17 horas.
(E) 18 horas.
Resposta: E.
Mmc(20,30,44)=2².3.5.11=660
1h---60minutos
x-----660
x=660/60=11
Então será depois de 11horas que se encontrarão
7+11=18h
EXERCÍCIOS
01. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário -VUNESP/2017) No 
depósito de uma loja de doces, há uma caixa contendo n bombons. 
Para serem vendidos, devem ser repartidos em pacotes iguais, to-
dos com a mesma quantidade de bombons. Com os bombons dessa 
caixa, podem ser feitos pacotes com 5, ou com 6, ou com 7 uni-
dades cada um, e, nesses casos, não faltará nem sobrará nenhum 
bombom. Nessas condições, o menor valor que pode ser atribuído 
a n é
(A) 280.
(B) 265.
(C) 245.
(D) 230.
(E) 210.
02. (EMBASA – Agente Administrativo – IBFC/2017) Conside-
rando A o MDC (maior divisor comum) entre os números 24 e 60 e 
B o MMC (menor múltiplo comum) entre os números 12 e 20, então 
o valor de 2A + 3B é igual a:
(A) 72 
(B) 156 
(C) 144 
(D) 204
03. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO /2017) Em um 
determinado zoológico, a girafa deve comer a cada 4 horas, o leão 
a cada 5 horas e o macaco a cada 3 horas. Considerando que todos 
foram alimentados às 8 horas da manhã de domingo, é correto afir-
mar que o funcionário encarregado deverá servir a alimentação a 
todos concomitantemente às:
(A) 8 horas de segunda-feira.
(B) 14 horas de segunda-feira.
(C) 10 horas de terça-feira.
(D) 20 horas de terça-feira.
(E) 9 horas de quarta-feira.
04. (EMBASA – Assistente de Laboratório – IBFC/2017) Um 
marceneiro possui duas barras de ferro, uma com 1,40 metros de 
comprimento e outra com 2,45 metros de comprimento. Ele pre-
tende cortá-las em barras de tamanhos iguais, de modo que cada 
pedaço tenha a maior medida possível. Nessas circunstâncias, o to-
tal de pedaços que o marceneiro irá cortar, utilizando as duas de 
ferro, é:
(A) 9
(B) 11
(C) 12
(D) 13
MATEMÁTICA
9
05. (TJM/SP - Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP/2017) 
Em um pequeno mercado, o dono resolveu fazer uma promoção. 
Para tanto, cada uma das 3 caixas registradoras foi programada para 
acender uma luz, em intervalos de tempo regulares: na caixa 1, a luz 
acendia a cada 15 minutos; na caixa 2, a cada 30 minutos; e na caixa 
3, a luz acendia a cada 45 minutos. Toda vez que a luz de uma caixa 
acendia, o cliente que estava nela era premiado com um desconto 
de 3% sobre o valor da compra e, quando as 3 luzes acendiam, ao 
mesmo tempo, esse desconto era de 5%. Se, exatamente às 9 horas 
de um determinado dia, as luzes das 3 caixas acenderam ao mesmo 
tempo, então é verdade que o número máximo de premiações de 
5% de desconto que esse mercado poderia ter dado aos seus clien-
tes, das 9 horas às 21 horas e 30 minutos daquele dia, seria igual a
(A) 8.
(B) 10.
(C) 21.
(D) 27.
(E) 33.
06. (PREF. DE PIRAÚBA/MG – Agente Administrativo – MS-
CONCURSOS/2017) Sabendo que a sigla M.M.C. na matemática 
significa Mínimo Múltiplo Comum e que M.D.C. significa Máximo 
Divisor Comum, pergunta-se: qual o valor do M.M.C. de 6 e 8 dividi-
do pelo M.D.C. de 30, 36 e 72?
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
07. (CELESC – Assistente Administrativo – FEPESE/2016) Em 
uma excursão participam 120 homens e 160 mulheres. Em deter-
minado momento é preciso dividir os participantes em grupos for-
mados somente por homens ou somente por mulheres, de maneira 
que os grupos tenham o mesmo número de integrantes.
Neste caso, o número máximo de integrantes em um grupo é:
(A) 10.
(B) 15.
(C) 20.
(D) 30.
(E) 40.
08. (PREF. DE GUARULHOS/SP – Assistente de Gestão Escolar 
– VUNESP/2016) Para iniciar uma visita monitorada a um museu, 96 
alunos do 8º ano e 84 alunos do 9º ano de certa escola foram dividi-
dos em grupos, todos com o mesmo número de alunos, sendo esse 
número o maior possível, de modoque cada grupo tivesse somente 
alunos de um único ano e que não restasse nenhum aluno fora de 
um grupo. Nessas condições, é correto afirmar que o número total 
de grupos formados foi
(A) 8.
(B) 12.
(C) 13.
(D) 15.
(E) 18. 
09. (PREF. DE JAMBEIRO – Agente Administrativo – JOTA CON-
SULTORIA/2016) O MMC(120, 125, 130) é:
(A) 39000
(B) 38000
(C) 37000
(D) 36000
(E) 35000
10. (MPE/SP – Analista Técnico Científico – VUNESP/2016) Pre-
tende-se dividir um grupo de 216 pessoas, sendo 126 com forma-
ção na área de exatas e 90 com formação na área de humanas, em 
grupos menores contendo, obrigatoriamente, elementos de cada 
uma dessas áreas, de modo que: (1) o número de grupos seja o 
maior possível; (2) cada grupo tenha o mesmo número x de pessoas 
com formação na área de exatas e o mesmo número y de pessoas 
com formação na área de humanas; e (3) cada uma das 216 pessoas 
participe de um único grupo. Nessas condições, e sabendo-se que 
no grupo não há pessoa com ambas as formações, é correto afirmar 
que, em cada novo grupo, a diferença entre os números de pessoas 
com formação em exatas e em humanas, nessa ordem, será igual a
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
GABARITO
01. Resposta: E.
Mmc(5,6,7)=2⋅3⋅5⋅7=210
02. Resposta: E.
Para o cálculo do mdc, devemos multiplicar os comuns:
MDC(24,60)=2²⋅3=12
Mmc(12,20)=2²⋅3⋅5=60
2A+3B=24+180=204
03. Resposta: D.
Mmc(3, 4, 5)=60
60/24=2 dias e 12horas
Como foi no domingo às 8h d amanhã, a próxima alimentação 
será na terça às 20h.
MATEMÁTICA
10
04. Resposta: B.
Mdc=5⋅7=35
140/35=4
245/35=7
Portanto, serão 11 pedaços.
05. Resposta: D.
Mmc(15, 30, 45)=90 minutos
Ou seja, a cada 1h30 minutos tem premiações.
Das 9 ate as 21h30min=12h30 minutos
9 vezes no total, pois as 9 horas acendeu.
Como são 3 premiações: 9x3=27
06. Resposta: C.
Mmc(6,8)=24
Mdc(30, 36, 72) =2x3=6
Portanto: 24/6=4
07. Resposta: E.
MDC(120,160)=8x5=40
08. Resposta: D.
MDC(84,96)=2²x3=12
84/12=7
96/12=8
E 7+8=15
09. Resposta: A.
 
Mmc(120, 125, 130)=2³.3.5³.13=39000
10. Resposta: B.
O cálculo utilizado aqui será o MDC (Máximo Divisor Comum) 
 
Mdc(90, 125)=2.3²=18
Então teremos 
126/18 = 7 grupos de exatas
90/18 = 5 grupos de humanas
A diferença é de 7-5=2
- eles são múltiplos de 2, pois terminam com números pares.
E são múltiplos de 3, lembrando que para ser múltiplo de 3, 
basta somar os números e ser múltiplo de 3.
36=3+6=9
90=9+0=9
162=1+6+2=9
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na re-
solução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor ne-
gativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz 
no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). 
A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo 
Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma inter-
pretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de 
números complexos, que representamos por C.
MATEMÁTICA
11
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Diagrama de Flechas
Gráfico Cartesiano
Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma 
relação entre grandezas. Assim, o valor a ser pago na conta de luz 
depende do consumo medido no período; o tempo de uma viagem 
de automóvel depende da velocidade no trajeto.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domí-
nio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com 
mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem 
da teoria dos conjuntos.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma rela-
ção de A em B.
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemen-
to x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do 
conjunto B.
Notação: f:A→B (lê-se função f de A em B)
Domínio, contradomínio, imagem
O domínio é constituído por todos os valores que podem ser 
atribuídos à variável independente. Já a imagem da função é forma-
da por todos os valores correspondentes da variável dependente.
O conjunto A é denominado domínio da função, indicada por D. 
O domínio serve para definir em que conjunto estamos trabalhan-
do, isto é, os valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio, CD. 
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no con-
tradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela 
função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de 
valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos 
por Im.
Exemplo
Com os conjuntosA={1, 4, 7}eB={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}criamos a 
funçãof: A→B.definida porf(x) = x + 5que também pode ser repre-
sentada pory = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta 
função, é:
No nosso exemplo, o domínio éD = {1, 4, 7}, o contradomínio é 
={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}e o conjunto imagem éIm = {6, 9, 12}
Classificação das funções
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio 
apresentam imagens também distintas no contradomínio.
Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio fo-
rem imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Bijetora: Quando apresentar as características de função inje-
tora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos dis-
tintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do con-
tradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Função 1 grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos 
de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a fun-
çãof(x) = ax + b.
MATEMÁTICA
12
Estudo dos Sinais
Definimos função como relação entre duas grandezas repre-
sentadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de 
formação possui a seguinte característica:y = ax + bouf(x) = ax + b, 
onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. 
Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura 
de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da 
imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficien-
te a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e 
caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.
Função Crescente: a > 0
De uma maneira bem simples, podemos olhar no gráfico que os 
valores de y vão crescendo.
Função Decrescente: a < 0
Nesse caso, os valores de y, caem.
Raiz da função
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a 
reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, 
pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a 
representação gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz 
de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base 
na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando 
o valor de x (raiz da função).
X=-b/a
Dependendo do caso, teremos que fazer um sistema com duas 
equações para acharmos o valor de a e b.
Exemplo:
Dado que f(x)=ax+b e f(1)=3 e f(3)=5, ache a função.
F(1)=1a+b
3=a+b
F(3)=3a+b
5=3a+b
Isolando a em I
a=3-b
Substituindo em II
3(3-b)+b=5
9-3b+b=5
-2b=-4
b=2
Portanto,
a=3-b
a=3-2=1
Assim, f(x)=x+2
Função Quadrática ou Função do 2º grau
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo 
grau tem a seguinte forma:
f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e 
deve ser o maior termo.
Considerações
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se 
a<0
Discriminante(∆)
∆=b²-4ac
∆>0
MATEMÁTICA
13
A parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos dis-
tintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c=0
∆=0
Quando , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao 
eixo x, no ponto 
Repare que, quando tivermos o discriminante , as duas 
raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais 
∆<0
A função não tem raízes reais
Raízes
Vértices e Estudo do Sinal
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e 
um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade 
voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
. 
Veja os gráficos:
EquaçãoExponencial
É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de 
uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo
Resolva a equação no universo dos números reais.
Solução
Função exponencial
A expressão matemática que define a função exponencial é 
uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e 
diferente de 1 e o expoente é uma variável.
MATEMÁTICA
14
Função crescente
Se temos uma função exponencial crescente, qual-
quer que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida 
que x aumenta, também aumenta f (x)ou y. Graficamente vemos 
que a curva da função é crescente.
Função decrescente
Se temos uma função exponencial decrescen-
te em todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x 
aumenta,y diminui. Graficamente observamos que a curva da fun-
ção é decrescente.
A Constante de Euler 
É definida por :
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da 
definição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as 
propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 10 dígitos decimais, é: 
e = 2,7182818284 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 
escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: 
ex = exp(x)
Propriedades dos expoentes
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número 
racional, então:
- axay= ax + y
- ax/ ay= ax - y
- (ax)y= ax.y
- (a b)x= axbx
- (a / b)x= ax/ bx
- a-x= 1 / ax
Logaritmo
Considerando-se dois números N e a reais e positivos, com a 
≠1, existe um número c tal que:
A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a
Ainda com base na definição podemos estabelecer condições 
de existência:
Exemplo
Consequências da Definição
Propriedades
Mudança de Base
Exemplo
Dados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule:
a)log 6
b) log1,5
c) log 16
Solução
MATEMÁTICA
15
a) Log 6=log 2⋅3=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781
Função Logarítmica
 Uma função dada por , em que a 
constante a é positiva e diferente de 1, denomina-se função loga-
rítmica.
QUESTÕES
01. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Uma locado-
ra de automóveis oferece dois planos de aluguel de carros a seus 
clientes:
Plano A: diária a R$ 120,00, com quilometragem livre.
Plano B: diária a R$ 90,00, mais R$ 0,40 por quilômetro rodado.
Alugando um automóvel, nesta locadora, quantos quilômetros 
precisam ser rodados para que o valor do aluguel pelo Plano A seja 
igual ao valor do aluguel pelo Plano B? 
(A) 30.
(B) 36. 
(C) 48.
(D) 75.
(E) 84.
02. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Um vende-
dor recebe um salário mensal composto de um valor fixo de R$ 
1.300,00 e de uma parte variável. A parte variável corresponde a 
uma comissão de 6% do valor total de vendas que ele fez durante 
o mês. O salário mensal desse vendedor pode ser descrito por uma 
expressão algébrica f(x), em função do valor total de vendas men-
sal, representado por x.
A expressão algébrica f(x) que pode representar o salário men-
sal desse vendedor é 
(A) f(x) = 0,06x + 1.300.
(B) f(x) = 0,6x + 1.300. 
(C) f(x) = 0,78x + 1.300. 
(D) f(x) = 6x + 1.300. 
(E) f(x) = 7,8x + 1.300.
03. (CONSANPA – Técnico Industrial – FADESP/2017) Um re-
servatório em formato de cilindro é abastecido por uma fonte a va-
zão constante e tem a altura de sua coluna d’água (em metros), em 
função do tempo (em dias), descrita pelo seguinte gráfico:
Sabendo que a altura do reservatório mede 12 metros, o nú-
mero de dias necessários para que a fonte encha o reservatório ini-
cialmente vazio é
(A) 18 
(B) 12
(C) 8
(D) 6
04. (TRT – 14ªREGIÃO -Técnico Judiciário – FCC/2016)Carlos 
presta serviço de assistência técnica de computadores em empre-
sas. Ele cobra R$ 12,00 para ir até o local, mais R$ 25,00 por hora de 
trabalho até resolver o problema (também são cobradas as frações 
de horas trabalhadas). Em um desses serviços, Carlos resolveu o 
problema e cobrou do cliente R$ 168,25, o que permite concluir 
que ele trabalhou nesse serviço
(A) 5 horas e 45 minutos.
(B) 6 horas e 15 minutos.
(C) 6 horas e 25 minutos.
(D) 5 horas e 25 minutos.
(E) 5 horas e 15 minutos.
05. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) No sistema de 
coordenadas cartesianas da figura abaixo, encontram-se represen-
tados o gráfico da função de segundo grau f, definida por f(x), e o 
gráfico da função de primeiro grau g, definida por g(x).
MATEMÁTICA
16
Os valores de x, soluções da equação f(x)=g(x), são 
(A)-0,5 e 2,5.
(B) -0,5 e 3. 
(C) -1 e 2. 
(D) -1 e 2,5. 
(E) -1 e 3.
06. (EMBASA – Agente Administrativo – IBFC/2017) A soma 
das coordenadas do vértice da parábola da função f(x) = – x² + 8x – 
12 é igual a:
(A) 4 
(B) 6 
(C) 8
(D) 10
07. (EMBASA – Assistente de Laboratório –
 IBFC/2017) Substituindo o valor da raiz da função 
, na função g(x) = x2 - 4x + 5, encontramos como resultado:
(A) 12 
(B) 15
(C) 16
(D) 17
08. (PETROBRAS - Técnico de Enfermagem do Trabalho Júnior 
-CESGRANRIO/2017) Quantos valores reais de x fazem com que a 
expressão assuma valor numérico igual a 1? 
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
09. (IF/ES – Administrador – IFES/2017) O gráfico que melhor 
representa a função y = 2x , para o domínio em R+ é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
10. (PETROBRAS - Técnico de Enfermagem do Trabalho Júnior 
-CESGRANRIO/2017) Qual o maior valor de k na equação log(kx) = 
2log(x+3) para que ela tenha exatamente uma raiz?
(A) 0
(B) 3
(C) 6
(D) 9
(E) 12
11. (ITAIPU BINACIONAL -Profissional Nível Técnico I - Técnico 
em Eletrônica – NCUFPR/2017) Considerando que log105 = 0,7, assi-
nale a alternativa que apresenta o valor de log5100.
(A) 0,35.
(B) 0,50.
(C)2,85.
(D) 7,00.
(E) 70,00.
RESPOSTAS
01. Resposta: D.
90+0,4x=120
0,4x=30
X=75km
02. Resposta: A.
6%=0,06
Como valor total é x, então 0,06x
E mais a parte fixa de 1300
0,06x+1300
03. Resposta: A.
2x=36
X=18
04.Resposta: B.
F(x)=12+25x
X=hora de trabalho
MATEMÁTICA
17
168,25=12+25x
25x=156,25
X=6,25 horas
1hora---60 minutos
0,25-----x
X=15 minutos
Então ele trabalhou 6 horas e 15 minutos
05. Resposta: E.
Como a função do segundo grau, tem raízes -2 e 2:
(x-2)(x+2)=x²-4
A função do primeiro grau, tem o ponto (0, -1) e (2,3)
Y=ax+b
-1=b
3=2a-1
2a=4
A=2
Y=2x-1
Igualando a função do primeiro grau e a função do segundo 
grau:
X²-4=2x-1
X²-2x-3=0
∆=4+12=16
06. Resposta:C.
A soma das coordenadas é igual a 8
07. Resposta: D.
-2x=-12
X=6
Substituindo em g(x)
G(6)=6²-4(6)+5=36-24+5=17
08. Resposta: D.
Para assumir valor 1, o expoente deve ser igual a zero.
X²+4x-60=0
∆=4²-4.1.(-60)
∆=16+240
∆=256
A base pode ser igual a 1:
X²-5x+5=1
X²-5x+4=0
∆=25-16=9
A base for -1 desde que o expoente seja par:
X²-5x+5=-1
X²-5x+6=0
∆=25-24=1
Vamos substituir esses dois valores no expoente
X=2:
X²+4x-60
2²+8-60==48
X=3
3²+12-60=-39
Portanto, serão 5 valores.
09. Resposta: A.
Um gráfico de função exponencial não começa do zero, é é uma 
curva.
10. Resposta: E.
Kx=(x+3)²
Kx=x²+6x+9
X²+(6-k)x+9=0
Para ter uma raiz, ∆=0
 ∆=b²-4ac
, ∆=(6-k)²-36=0
36-12k+k²-36=0
k²-12k=0
k=0 ou k=12
11. Resposta:C.
MATEMÁTICA
18
ANÁLISE COMBINATÓRIA E BINÔMIO DE NEWTON
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos 
problemas de contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
Estabelece o número de maneiras distintas de ocorrência de 
um evento composto de duas ou mais etapas.
Se uma decisão E1 pode ser tomada de n1 modos e, a decisão E2 
pode ser tomada de n2 modos, então o número de maneiras de se 
tomarem as decisões E1 e E2 é n1.n2.
Exemplo
O número de maneiras diferentes de se vestir é:2(calças). 
3(blusas)=6 maneiras
Fatorial
É comum nos problemas de contagem, calcularmos o produto 
de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecu-
tivos. Para facilitar adotamos o fatorial.
Arranjo Simples
Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p ap, toda 
sequência de p elementos distintos de E.
Exemplo
Usando somente algarismos 5, 6 e 7. Quantos números de 2 
algarismos distintos podemos formar?
Observe que os números obtidos diferem entre si:
Pela ordem dos elementos: 56 e 65
Pelos elementos componentes: 56 e 67
Cada número assim obtido é denominado arranjo simples dos 
3 elementos tomados 2 a 2.
Indica-se 
Permutação Simples
Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer 
agrupamento(sequência) de n elementos distintos de E.
O número de permutações simples de n elementos é indicado 
por Pn.
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra CHUVEIRO?
Solução
A palavra tem 8 letras, portanto:
Permutação com elementos repetidos
De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos 
quais n1 são iguais a A, n2 são iguais a B, n3 são iguais a C etc.
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra PARALELEPÍPEDO?
Solução
Se todos as letras fossem distintas, teríamos 14! Permutações. 
Como temos uma letra repetida, esse número será menor.
Temos 3P, 2A, 2L e 3 E
MATEMÁTICA
19
Combinação Simples
Dado o conjunto {a1, a2, ..., an} com n objetos distintos, pode-
mos formar subconjuntos com p elementos. Cada subconjunto com 
i elementos é chamado combinação simples.
Exemplo
Calcule o número de comissões compostas de 3 alunos que po-
demos formar a partir de um grupo de 5 alunos.
Solução
Números Binomiais
O número de combinações de n elementos, tomados p a p, 
também é representado pelo número binomial .
Binomiais Complementares
Dois binomiais de mesmo numerador em que a soma dos de-
nominadores é igual ao numerador são iguais:
Relação de Stifel
Triângulo de Pascal
Binômio de Newton
Denomina-se binômio de Newton todo binômio da forma 
, com n∈N. Vamos desenvolver alguns binômios:
Observe que os coeficientes dos termos formam o triângulo de 
Pascal.
QUESTÕES
01. (UFES - Assistente em Administração – UFES/2017) Uma 
determinada família é composta por pai, por mãe e por seis filhos. 
Eles possuem um automóvel de oito lugares, sendo que dois lugares 
estão em dois bancos dianteiros, um do motorista e o outro do ca-
rona, e os demais lugares em dois bancos traseiros. Eles viajarão no 
automóvel, e o pai e a mãe necessariamente ocuparão um dos dois 
bancos dianteiros. O número de maneiras de dispor os membros da 
família nos lugares do automóvel é igual a:
(A) 1440
(B) 1480
(C) 1520
(D) 1560
(E) 1600
02. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Tomando os al-
garismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números pares de 4 algarismos 
distintos podem ser formados? 
(A) 120. 
(B) 210. 
(C) 360. 
(D) 630. 
(E) 840.
03. (IF/ES – Administrador – IFES/2017) Seis livros diferentes 
estão distribuídos em uma estante de vidro, conforme a figura abai-
xo:
 
Considerando-se essa mesma forma de distribuição, de quan-
tas maneiras distintas esses livros podem ser organizados na estan-
te?
(A) 30 maneiras
(B) 60 maneiras
(C) 120 maneiras
(D) 360 maneiras
(E) 720 maneiras
MATEMÁTICA
20
04. (UTFPR - Técnico de Tecnologia da Informação – 
UTFPR/2017) Em um carro que possui 5 assentos, irão viajar 4 pas-
sageiros e 1 motorista. Assinale a alternativa que indica de quantas 
maneiras distintas os 4 passageiros podem ocupar os assentos do 
carro.
(A) 13.
(B) 26.
(C) 17.
(D) 20.
(E) 24.
05. (UTFPR - Técnico de Tecnologia da Informação – 
UTFPR/2017) A senha criada para acessar um site da internet é for-
mada por 5 dígitos. Trata-se de uma senha alfanumérica. André tem 
algumas informações sobre os números e letras que a compõem 
conforme a figura.
Sabendo que nesta senha as vogais não se repetem e também 
não se repetem os números ímpares, assinale a alternativa que in-
dica o número máximo de possibilidades que existem para a com-
posição da senha.
(A) 3125.
(B) 1200.
(C) 1600.
(D) 1500.
(E) 625.
06. (CELG/GT/GO – Analista de Gestão – CSUFGO/2017) Uma 
empresa de limpeza conta com dez faxineiras em seu quadro. Para 
atender três eventos em dias diferentes, a empresa deve formar 
três equipes distintas, com seis faxineiras em cada uma delas. De 
quantas maneiras a empresa pode montar essas equipes?
(A) 210 
(B) 630 
(C) 15.120 
(D) 9.129.120
07. (UPE – Técnico em Administração – UPENET/IAUPE – 2017) 
No carro de João, tem vaga apenas para 3 dos seus 8 colegas. De 
quantas formas diferentes, João pode escolher os colegas aos quais 
dá carona?
(A) 56 
(B) 84 
(C) 126
(D) 210
(E) 120
08. (UPE – Técnico em Administração – UPENET/IAUPE – 2017) 
Num grupo de 15 homens e 9 mulheres, quantos são os modos di-
ferentes de formar uma comissão composta por 2 homens e 3 mu-
lheres?
(A) 4725
(B) 12600 
(C) 3780
(D) 13600
(E) 8820
09. (SESAU/RO – Enfermeiro – FUNRIO/2017) Um torneio de 
futebol de várzea reunirá 50 equipes e cada equipe jogará apenas 
uma vez com cada uma das outras. Esse torneio terá a seguinte 
quantidade de jogos:
(A) 320.
(B) 460.
(C) 620.
(D) 1.225.
(E) 2.450.
10. (IFAP – Engenheiro de Segurança do Trabalho – FUNIVER-
SA/2016) Considerando-se que uma sala de aula tenha trinta alu-
nos, incluindo Roberto e Tatiana, e que a comissão para organizar 
a festa de formatura deva ser composta por cinco desses alunos, 
incluindo Roberto e Tatiana, a quantidade de maneiras distintas de 
se formar essa comissão será igual a:
(A) 3.272.
(B) 3.274.
(C) 3.276.
(D) 3.278.
(E) 3.280.
RESPOSTAS
01. Resposta: A.
P2▲P6=2!▲6!=2▲720=1440
02. Resposta: C.
__ ___ __ __
 6▲ 5▲4▲ 3=360
03. Resposta: E.
P6=6!=6▲5▲4▲3▲2▲1=720
04. Resposta: E.
P4=4!= 4▲3▲2▲1=24
05. Resposta: B.
Vogais: a, e, i, o, u
Números ímpares: 1,3,5,7,9
5▲5▲4▲4▲3=1200
06. Resposta: D.
Como para os três dias têm que ser diferentes:
__ __ __
210▲209▲208=9129120
07. Resposta: A.
08. Resposta: E.
MATEMÁTICA
21
09. Resposta: D.
10. Resposta: D.
RobertoTatiana ________
São 30 alunos, mas vamos tirar Roberto e Tatiana que terão que 
fazer parte da comissão.
30-2=28
MATRIZES. DETERMINANTES. SISTEMAS LINEARES
Matriz
Chama-se matriz do tipo m x n, m∈N* e n ∈N*, a toda tabela 
de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Indica-se a matriz por uma letra maiúscula e colocar seus ele-
mentos entre parênteses ou entre colchetes como, por exemplo, a 
matriz A de ordem 2x3.
Representação da matriz
Forma explicita (ou forma de tabela)
A matriz A é representada indicando-se cada um de seus ele-
mentos por uma letra minúscula acompanhada de dois índices: o 
primeiro indica a linha a que pertence o elemento: o segundo indica 
a coluna a que pertence o elemento, isto é, o elemento da linha i e 
da coluna j é indicado por ij.
Assim, a matriz A2 x 3 é representada por:
Forma abreviada
A matriz A é dada por (aij)m x n e por uma lei que fornece aij em 
função de i e j.
A=(aij)2 x 2, onde aij=2i+j
Portanto, 
Tipos de Matriz
Matriz linha
Chama-se matriz linha a toda matriz que possui uma única li-
nha.
Assim, [23 7] é uma matriz do tipo 1 x 3.
Matriz coluna
Chama-se matriz coluna a toda matriz que possui uma única 
coluna.
Assim, é uma matriz coluna do tipo 2 x 1.
Matriz quadrada
Chama-se matriz quadrada a toda matriz que possui número de 
linhas igual ao número de colunas. Uma matriz quadrada A do tipo 
n x n é dita matriz quadrada de ordem n e indica-se por An. Exemplo:
Diagonais
Diagonal principal é a sequência tais que i=j, ou seja, (a11, a22, 
a33,..)
Diagonal secundária é a sequência dos elementos tais que i+-
j=n+1, ou seja, (a1n, a2 n-1,...)
Matriz diagonal
Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz 
diagonal se, e somente se, todos os elementos que não pertencem 
à diagonal principal são iguais a zero.
MATEMÁTICA
22
Matriz identidade
Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz 
identidade se, e somente se, os elementos da diagonal principal são 
iguais a um e os demais são iguais a zero.
Matriz nula
É chamada matriz nula se, e somente se, todos os elementos 
são iguais a zero.
Matriz Transposta
Dada a matriz A=(aij) do tipo m x n, chama-se matriz transposta 
de A a matriz do tipo n x m.
Adição de MatrizesSejam A= (aij), B=(bij) e C=(cij) matrizes do mesmo tipo m x n. 
Diz-se que C é a soma de A com B, e indica-se por A+B.
Dada as matrizes:
 
, 
portanto 
Propriedades da adição
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
Elemento neutro: A + O = O + A = A 
Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O 
Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt
Subtração de matrizes
Sejam A=(aij), B=(bij) e C=(cij), matrizes do mesmo tipo m x n. 
Diz-se que C é a diferença A-B, se, e somente se, C=A+(-B).
 
Multiplicação de um número por uma matriz
Considere:
 
Multiplicação de matrizes
O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma 
matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada ele-
mento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos 
da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os 
produtos assim obtidos.
Dada as matrizes:
Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é cha-
mada inversa de A se, e somente se, 
Exemplo:
Determine a matriz inversa de A.
Solução
Seja 
MATEMÁTICA
23
Temos que x=3; y=2; z=1; t=1
Logo,
Determinante
Dada uma matriz quadrada, chama-se determinante o número 
real a ela associado.
Cálculo do determinante
Determinante de ordem 1
Determinante de ordem 2
Dada a matriz 
O determinante é dado por:
Determinante de ordem 3
Regra 1: 
Repete a primeira e a segunda coluna
Regra 2
detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 -a12 a21 a33 - a32 
a23 a11
Sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares mxn é um conjunto de m 
equações lineares, cada uma delas com n incógnitas.
Em que:
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o con junto de equações line-
ares a duas incógnitas, consideradas simultaneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:



=+
=+
222
111
cyba
cybxa
Sistema Linear 3x3
Sistemas Lineares equivalentes
Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução 
são ditos equivalentes. Por exemplo:
São equivalentes, pois ambos têm o mesmo conjunto solução 
S={(1,2)}
Denominamos solução do sistema linear toda sequência or-
denada de números reais que verifica, simultaneamente, todas as 
equações do sistema.
Dessa forma, resolver um sistema significa encontrar todas as 
sequências ordenadas de números reais que satisfaçam as equa-
ções do sistema.
Matriz Associada a um Sistema Linear
Dado o seguinte sistema:
MATEMÁTICA
24
Matriz incompleta
Classificação
1. Sistema Possível e Determinado
O par ordenado (2, 1) é solução da equação, pois
Como não existe outro par que satisfaça simultaneamente as 
duas equações, dizemos que esse sistema é SPD(Sistema Possível e 
Determinado), pois possui uma única solução.
2. Sistema Possível e Indeterminado
Esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x 
e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y 
podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc. 
3. Sistema Impossível
Não existe um par real que satisfaça simultaneamente as duas 
equações. Logo o sistema não tem solução, portanto é impossível.
Sistema Escalonado
Sistema Linear Escalonado é todo sistema no qual as incógnitas 
das equações lineares estão escritas em uma mesma ordem e o 1º 
coeficiente não-nulo de cada equação está à direita do 1º coeficien-
te não-nulo da equação anterior.
Exemplo
Sistema 2x2 escalonado.
Sistema 3x3
A primeira equação tem três coeficientes não-nulos, a segunda 
tem dois e a terceira, apenas um.
Sistema 2x3
Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento
Podemos transformar qualquer sistema linear em um outro 
equivalente pelas seguintes transformações elementares, realiza-
das com suas equações:
-trocas as posições de duas equações
-Multiplicar uma das equações por um número real diferente 
de 0.
-Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o 
resultado a outra equação.
Exemplo
Inicialmente, trocamos a posição das equações, pois é conve-
niente ter o coeficiente igual a 1 na primeira equação.
Depois eliminamos a incógnita x da segunda equação
Multiplicando a equação por -2:
Somando as duas equações:
Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de 
Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº 
de incógnitas, para discutirmos o sistema, inicialmente calculamos 
o determinante D da matriz dos coeficientes (incompleta), e:
- Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
- Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou impossível.
Para identificarmos se o sistema é possível, indeterminado ou 
impossível, devemos conseguir um sistema escalonado equivalente 
pelo método de eliminação de Gauss.
Exemplos
- Discutir, em função de a, o sistema:



=+
=+
12
53
ayx
yx
MATEMÁTICA
25
Resolução
6060
6
2
31
=⇒=−⇒=
−==
aaD
a
a
D
Assim, para a ≠ 6, o sistema é possível e determinado.
Para a ≠ 6, temos:



−=+
=+




−←=+
=+
900
53
~2162
53
yx
yx
yx
yx
Que é um sistema impossível.
Assim, temos:
a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado)
a = 6 → SI (Sistema impossível)
Regra de Cramer
Consideramos os sistema . 
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz in
completa desse sistema é , cujo determinante é 
indicado por D = ad – bc.
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela 
coluna dos coeficientes independentes, 
obteremos ,cujo determinante é indicado por Dy = af 
– ce.
Assim, .
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e 
considerando a matriz , cujo determinante é 
indicado por Dx = ed – bf, obtemos , D ≠ 0.
QUESTÕES
01. (POLICIA CIENTÍFICA – Perito Criminal –IBFC/2017) 
Dadas a matriz e a matriz , as-
sinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa a soma 
da matriz A e B, ou seja, C = A + B:
 
02. (POLICIA CIENTÍFICA – Perito Criminal – IBFC/2017) 
Dadas a matriz e a matriz , assinale 
a alternativa que apresenta a matriz C que representa a subtração 
da matriz A e B, ou seja, C = A - B.
 
 
 
 
03. (POLICIA CIENTÍFICA – Perito Criminal – IBFC/2017) 
Dada a matriz e a matriz , assinale a 
alternativa que apresenta a matriz C que representa o produto da 
matriz A e B, ou seja, C=A*B.
 
04. (PREF. DE PIRAÚBA/MG – Agente Fiscal de Posturas – MS-
CONCURSOS/2017) 
Sejam as matrizes
. 
A matriz A-B é igual a
MATEMÁTICA
26
05. (UNITINS – Assistente Administrativo – UNITINS/2016) 
Sejam os determinantes das matrizes 
 
O valor de x²-2xy+y² é igual a 
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) 0
06. (PREF. DE ITAPEMA/SC – Técnico Contábil – MSCONCUR-
SOS/2016) Sabendo que o determinante da 
matriz é 10, então o determinante da
 matriz é:
(A)-20 
(B) -10 
(C) 3
(D) 20
07. (PREF. DE BIGUAÇU/SC – Professor – UNISUL/2016) 
Considere 
Assinale a alternativa CORRETA:
(A) A + B = 20
(B) A - 3B2 = -51
(C) √2A + 1- 5 = -2
(D) A/B +1 =23
(E) 3A -2B + 9 = 25
08. (PREF. DE TAQUARITUBA/SP – Professor – INSTITUTO EX-
CELÊNCIA/2016) 
Dada a matriz
 , assinale a alternativa que tenha res-
pectivamente os números dos elementos a12, a23, a33 e a35.
(A) 0, 0, 7, 5.
(B) 0, 7, 7, 5.
(C) 6, 7, 0, 0.
(D) Nenhuma das alternativas.
09. (MGS – Serviços Técnicos Contábeis – IBFC/2015) Sejam as 
matrizes quadradas de eentão o valor ordem
 e , então o valor do determi-
nante da matriz C = A + B é igual a: 
(A) -2
(B) 2
(C) 6
(D) -6
10. (PREF. DE SANTO ANDRÉ – Assistente Econômico Financei-
ro – IBAM/2015) Considere as seguintes matrizes: 
Sendo “a” um número real, para que tenhamos A . B = C, o valor 
da variável “a” deverá ser: 
(A) um número inteiro, ímpar e primo.
(B) um número inteiro, par, maior que 1 e menor que 5
(C) um número racional, par, maior que 5 e menor que 10. 
(D) um número natural, impar, maior que 1 e menor que 5.
11. (BRDE – Analista de Sistemas – FUNDATE/2015) A solução 
do seguinte sistemalinear
 é:
(A) S={(0,2,-5)}
(B) S={(1,4,1)}
(C) S={(4,0,6)}
(D) S={(3/2 ,6, -7/2)} 
(E)Sistema sem solução.
12. (BRDE – Assistente Administrativo– FUNDATEC/2015) A 
solução do sistema linear
 é:
(A) S={(4, ¼)}
(B) S={(3, 3/2 )}
(C) S={(3/2 ,3 )}
(D) S={(3,− 3/2 )}
(E) S={(1,3/2 )}
MATEMÁTICA
27
13. (SEDUC/PI – Professor – Matemática – NUCEPE/2015) O 
sistema linear
 é possível e indeterminado se:
(A) m ≠ 2 e n = 2 . 
(B) m ≠1/2 e n = 2 . 
(C) m= 2en = 2 . 
(D) m=1/2en = 2 . 
(E) m=1/2en ≠ 2 .
RESPOSTAS
01. Resposta: E.
02. Resposta: E.
 
03. Resposta: E.
 
04. Resposta: A.
05. Resposta:C.
detA=15+10+4x+6+2x-50=-19
6x=0
X=0
detB=0+40-y-0-12y+6=72
-13y=26
Y=-2
X²-2xy+y²=0²-0+4=4
06. Resposta: A.
Observe a primeira coluna: foi multiplicado por 2.
Observe a segunda coluna: foi multiplicada por -1
Portanto, fazemos as mesmas operações com o determinante: 
10.2.-1=-20
07. Resposta: B.
Da primeira matriz, para fazer o determinante, basta multipli-
car os números da diagonal principal:
detA=-1⋅3⋅2⋅-4=24
A matriz B, devemos multiplicar os números da diagonal secun-
dária e multiplicar ainda por -1(pois, quando fazemos determinante, 
sempre colocamos o menos antes de fazer a diagonal secundária)
detB=-(-1/2⋅1⋅10⋅-1)=-5
Fazendo por alternativa:
A-A+B=20
24-5=20
19=20(F)
(B) A-3B²=-51
24-3⋅(-5)²=-51
24-75=-51
-51=-51(V)
08. Resposta: A.
A12=0
A23=0
A33=7
A35=5
09. Resposta: D.
10. Resposta: A.
a+2=9
a=7
11. Resposta: D.
Da II equação tiramos:
X=5+z
Da III equação:
Y=13+2z
Substituindo na I
5+z+2(13+2z)+z=10
5+z+26+4z+z=10
6z=10-31
6z=-21
Z=-21/6
Z=-7/2
X=5+z
12. Resposta: A.
MATEMÁTICA
28
 
Somando as duas equações:
144y=36
-x+28y=3
-x+7=3
-x=3-7
X=4
13. Resposta: D.
Para ser possível e indeterminado, D=Dx=Dy=Dz=0
D=(3m+4m+3)-(3m+6m+2)=0
7m+3-9m-2=0
-2m=-1
m=1/2
(n-4+9)-(-3+6+2n)=0
n+5-2n-3=0
-n=-2
n=2
NÚMEROS COMPLEXOS
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se 
por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), 
podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escri-
to na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos: 
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos: Dois números com-
plexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente 
iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, 
temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos: Para somarmos dois números 
complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e ima-
ginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos: Para subtrairmos dois nú-
meros complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes re-
ais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos 
que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, 
com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta 
forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da 
divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos: Para multiplicarmos 
dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois 
binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+-
bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi
2
z1.z2= a.c + bdi
2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo: Dado z=a+bi, define-se 
como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois números 
complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador 
pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, 
temos que:
z1 / z2 = [z1.z2
-] / [z2z2
-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, chama-se 
módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro 
Interpretação geométrica: Como dissemos, no início, a inter-
pretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso 
para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da 
seguinte maneira
MATEMÁTICA
29
Forma polar dos números complexos:
Da interpretação geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um 
número complexo.
Operações na forma polar: Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos 
t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação 
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
QUESTÕES
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i. Determine x 
e y de modo que z1 + z2 = 0
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário 
puro. 
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
4 - Os módulos de z1 = x + 20
1/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual 
o valor de x?
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
RESPOSTAS
Resolução 01.
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
Resolução 02.
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
Resolução 03.
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
Resolução 04.
Então, |z1= (x
2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)
2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
Resolução 05.
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 – i
Para a forma trigonométrica, temos que: 
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 (cos 315º + i sen 315º)
RACIOCÍNIO LÓGICO
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO 
Este tipo de raciocínio testa sua habilidade de resolver proble-
mas matemáticos, e é uma forma de medir seu domínio das dife-
rentes áreas do estudo da Matemática: Aritmética, Álgebra, leitura 
de tabelas e gráficos, Probabilidade e Geometria etc. Essa parte 
consiste nos seguintes conteúdos:
- Operação com conjuntos.
- Cálculos com porcentagens.
- Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geomé-
tricos e matriciais.
- Geometria básica.
- Álgebra básica e sistemas lineares.
- Calendários.
- Numeração.
- Razões Especiais.
- Análise Combinatória e Probabilidade.
- Progressões Aritmética e Geométrica.
RACIOCÍNIO LÓGICO DEDUTIVO 
Este tipo de raciocínio está relacionado ao conteúdo Lógica de 
Argumentação.
ORIENTAÇÕES ESPACIAL E TEMPORAL 
O raciocínio lógico espacial ou orientação espacial envolvem 
figuras, dados e palitos. O raciocínio lógico temporal ou orientação 
temporal envolve datas, calendário, ou seja, envolve o tempo.
O mais importante é praticar o máximo de questões que envol-
vam os conteúdos:
- Lógica sequencial
- Calendários
MATEMÁTICA
30
RACIOCÍNIO VERBAL
Avalia a capacidade de interpretar informação escrita e tirar conclusões lógicas.
Uma avaliação de raciocínio verbal é um tipo de análise de habilidade ou aptidão, que pode ser aplicada ao se candidatar a uma vaga. 
Raciocínio verbal é parte da capacidade cognitiva ou inteligência geral; é a percepção, aquisição, organização e aplicação do conhecimento 
por meio da linguagem.
Nos testes de raciocínio verbal, geralmente você recebe um trecho com informações e precisa avaliar um conjunto de afirmações, 
selecionando uma das possíveis respostas:
A – Verdadeiro (A afirmação é uma consequência lógica das informações ou opiniões contidas no trecho)
B – Falso (A afirmação é logicamente falsa, consideradas as informaçõesou opiniões contidas no trecho)
C – Impossível dizer (Impossível determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa sem mais informações)
LÓGICA SEQUENCIAL
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se estabelecer uma sequência, 
o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam 
de mais elementos para definir sua lógica1. Um bom conhecimento em Progressões Algébricas (PA) e Geométricas (PG), fazem com que 
deduzir as sequências se tornem simples e sem complicações. E o mais importante é estar atento a vários detalhes que elas possam ofe-
recer. Exemplos:
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número.
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número.
Sequência de Figuras: Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer 
rotações, como nos exemplos a seguir. Exemplos:
01. Analise a sequência a seguir:
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277ª 
posição dessa sequência é:
Resolução:
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A figura de número 277 ocu-
pa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com nN. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é 
representada pela letra “B”.
Resposta: B.
1 https://centraldefavoritos.com.br/2017/07/21/sequencias-com-numeros-com-figuras-de-palavras/
MATEMÁTICA
31
02. (Câmara de Aracruz/ES - Agente Administrativo e Legislativo - IDECAN) A sequência formada pelas figuras representa as posições, 
a cada 12 segundos, de uma das rodas de um carro que mantém velocidade constante. Analise-a.
Após 25 minutos e 48 segundos, tempo no qual o carro permanece nessa mesma condição, a posição da roda erá:
Resolução:
A roda se mexe a cada 12 segundos. Percebe-se que ela volta ao seu estado inicial após 48 segundos.
O examinador quer saber, após 25 minutos e 48 segundos qual será a posição da roda. Vamos transformar tudo para segundos:
25 minutos = 1500 segundos (60x25)
1500 + 48 (25m e 48s) = 1548 
Agora é só dividir por 48 segundos (que é o tempo que levou para roda voltar à posição inicial)
1548 / 48 = vai ter o resto “12”. 
Portanto, após 25 minutos e 48 segundos, a roda vai estar na posição dos 12 segundos.
Resposta: B.
PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO, PROBLEMAS USANDO AS QUATRO OPERAÇÕES
É possível resolver problemas usando o raciocínio lógico e associar ao mesmo, questões matemáticas básicas. No entanto, ele não 
pode ser ensinado diretamente, mas pode ser desenvolvido através da resolução de exercícios lógicos que contribuem para a evolução de 
algumas habilidades mentais.
Exemplos:
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Em um prédio há três caixas d’água chamadas de A, B e C e, em certo mo-
mento, as quantidades de água, em litros, que cada uma contém aparecem na figura a seguir.
MATEMÁTICA
32
Abrindo as torneiras marcadas com x no desenho, as caixas fo-
ram interligadas e os níveis da água se igualaram.
Considere as seguintes possibilidades:
1. A caixa A perdeu 300 litros.
2. A caixa B ganhou 350 litros.
3. A caixa C ganhou 50 litros.
É verdadeiro o que se afirma em:
(A) somente 1;
(B) somente 2;
(C) somente 1 e 3;
(D) somente 2 e 3;
(E) 1, 2 e 3.
Resolução:
Somando os valores contidos nas 3 caixas temos: 700 + 150 + 
350 = 1200, como o valor da caixa será igualado temos: 1200/3 = 
400l. Logo cada caixa deve ter 400 l. 
Então de A: 700 – 400 = 300 l devem sair
De B: 400 – 150 = 250 l devem ser recebidos
De C: Somente mais 50l devem ser recebidos para ficar com 
400 (400 – 350 = 50). Logo As possibilidades corretas são: 1 e 3
Resposta: C.
02. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Cada 
um dos 160 funcionários da prefeitura de certo município possui 
nível de escolaridade: fundamental, médio ou superior. O quadro a 
seguir fornece algumas informações sobre a quantidade de funcio-
nários em cada nível: 
Fundamental Médio Superior
Homens 15 30
Mulheres 13 36
Sabe-se também que, desses funcionários, exatamente 64 têm 
nível médio. Desses funcionários, o número de homens com nível 
superior é:
(A) 30;
(B) 32;
(C) 34;
(D) 36;
(E) 38.
Resolução:
São 160 funcionários
No nível médio temos 64, como 30 são homens, logo 64 – 30 
= 34 mulheres
Somando todos os valores fornecidos temos: 15 + 13 + 30 + 34 
+ 36 = 128
160 – 120 = 32, que é o valor que está em branco em homens 
com nível superior.
Resposta: B. 
03. (Pref. Petrópolis/RJ – Auxiliar de coveiro- Fundação Dom 
Cintra) Um elevador pode transportar, no máximo, 7 adultos por 
viagem. Numa fila desse elevador estão 45 adultos. O número míni-
mo de viagens que esse elevador deverá dar, para que possa trans-
portar todas as pessoas que estão na fila, é:
(A) 4;
(B) 5;
(C) 6;
(D) 7;
(E) 8.
Resolução:
Dividindo 45/7= 6,42. Como 6.7 = 42 sobram 3 pessoas para 
uma próxima viagem. Logo temos 6 + 1 = 7 viagens
Resposta: D.
04. (Pref. Marilândia/ES – Aux. Serviços Gerais – IDECAN) Anel 
está para dedo, assim como colar está para
(A) papel
(B) braço
(C) perna
(D) pescoço
Resolução:
O Anel usa-se no dedo, logo o colar usa-se no pescoço.
Resposta: D.
05. (DPU – Agente Administrativo – CESPE) Em uma festa com 
15 convidados, foram servidos 30 bombons: 10 de morango, 10 de 
cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum bom-
bom e
•quem comeu bombom de morango comeu também bombom 
de pistache;
• quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu tam-
bém bombom de cereja;
• quem comeu bombom de cereja não comeu de morango.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
É possível que um mesmo convidado tenha comido todos os 10 
bombons de pistache.
() Certo ( ) Errado
Resolução:
Vamos partir da 2ª informação, utilizando a afirmação do enun-
ciado que ele comeu 10 bombons de pistache:
- quem comeu dois ou mais bombons (10 bombons) de pista-
che comeu também bombom de cereja; - CERTA.
Sabemos que quem come pistache come morango, logo:
- quem comeu bombom de morango comeu também bombom 
de pistache; - CERTA
Analisando a última temos:
- quem comeu bombom de cereja não comeu de morango. – 
ERRADA, pois esta contradizendo a informação anterior.
Resposta: Errado.
MATEMÁTICA
33
POLINÔMIOS. PRODUTOS NOTÁVEIS
Polinômios
Denomina-se polinômio a função:
Grau de um polinômio
Se an ≠0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indi-
camos: gr(P)=n
Exemplo
P(x)=7 gr(P)=0
P(x)=7x+1 gr(P)=1
Valor Numérico
O valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é o número 
que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações.
Exemplo
P(x)=x³+x²+1 , o valor numérico para P(x), para x=2 é:
P(2)=2³+2²+1=13
O número a é denominado raiz de P(x).
Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P(x), definidos por:
P(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx
n
Q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnx
n
São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:
ak = bk
Redução de Termos Semelhantes
Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos 
fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus 
termos semelhantes.
No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro 
com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo 
um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois.
3xy+2a²-xy+3a²=2xy+5a²
Polinômios reduzidos de dois termos também são denomina-
dos binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são 
denominados trinômios.
Ordenação de um polinômio
A ordem de um polinômio deve ser do maior para o menor 
expoente.
4x4+2x³-x²+5x-1
Este polinômio não está ordenado:
3x³+4x5-x²
Operações
Adição e Subtração de Polinômios
Para somar dois polinômios, adicionamos os termos com expo-
entes de mesmo grau. Da mesma forma, para obter a diferença de 
dois polinômios, subtraímosos termos com expoentes de mesmo 
grau.
Exemplo
Multiplicação de Polinômios
Para obter o produto de dois polinômios, multiplicamos cada 
termo de um deles por todos os termos do outro, somando os co-
eficientes.
Exemplo
Divisão de Polinômios
Considere P(x) e D(x), não nulos, tais que o grau de P(x) seja 
maior ou igual ao grau de D(x). Nessas condições, podemos efetuar 
a divisão de P(x) por D(x), encontrando o polinômio Q(x) e R(x):
P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)
P(x)=dividendo
Q(x)=quociente
D(x)=divisor
R(x)=resto
Método da Chave
Passos
1. Ordenamos os polinômios segundo as potências decrescen-
tes de x.
2. Dividimos o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), 
obtendo o primeiro termo de Q(x).
3. Multiplicamos o termo obtido pelo divisor D(x) e subtraímos 
de P(x).
4. Continuamos até obter um resto de grau menor que o de 
D(x), ou resto nulo.
MATEMÁTICA
34
Exemplo
Divida os polinômios P(x)=6x³-13x²+x+3 por D(x)=2x³-3x-1
Método de Descartes
Consiste basicamente na determinação dos coeficientes do quociente e do resto a partir da identidade:
Exemplo
Divida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2
Solução
Devemos encontrar Q(x) e R(x) tais que:
Vamos analisar os graus:
Como Gr( R) < Gr(D), devemos impor Gr(R )=Gr(D)-1=2-1=1
Para que haja igualdade:
Algoritmo de Briot-Ruffini
Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio D(x)=x-a
Exemplo
Divida P(x)=3x³-5x+x-2 por D(x)=x-2
Solução
Passos
-Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) na chave
-Colocar a esquerda a raiz de D(x)=x-a=0. 
MATEMÁTICA
35
-Abaixar o primeiro coeficiente. Em seguida multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente de P(x), obtendo o 
segundo coeficiente. E assim sucessivamente.
Portanto, Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4
Produtos Notáveis
1. O quadrado da soma de dois termos.
Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.
(a + b)2 = (a + b) . (a + b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
Exemplos
2. O quadrado da diferença de dois termos.
Seguindo o critério do item anterior, temos:
(a - b)2 = (a - b) . (a - b)
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.
 Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:
Exemplos:
MATEMÁTICA
36
3. O produto da soma pela diferença de dois termos.
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, 
poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.
Exemplos
(4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2
(x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2
(m + n).(m – n) = m2 – n2
4. O cubo da soma de dois termos.
Consideremos o caso a seguir:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anterio-
res, teremos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplos:
(2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y 
+ 24xy2 + 8y3
(w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 
+ 27z3
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
5. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte:
(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.
 (a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anterio-
res, teremos:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Exemplos
(2 – y)3 = 23 – 3.(22).y + 3.2.y2 – y3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 ou y3– 
6y2+12y – 8
(2w – z)3 = (2w)3 – 3.(2w)2.z + 3.(2w).z2 – z3 = 8w3 – 12w2z + 
6wz2 – z3
(c – d)3 = c3 – 3c2d + 3cd2 – d3
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma 
de um produto de expressões mais simples. 
Casos de fatoração 
Fator Comum: 
Ex.: ax + bx + cx = x (a + b + c) 
O fator comum é x. 
 Ex.: 12x³ - 6x²+ 3x = 3x (4x² - 2x + 1) 
O fator comum é 3x 
Agrupamento: 
Ex.: ax + ay + bx + by 
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator 
comum. 
(ax + ay) + (bx + by) 
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo 
a(x + y) + b(x + y) 
Colocar o fator comum (x + y) em evidência (x + y) (a + b) Este 
produto é a forma fatorada da expressão dada 
Diferença de Dois Quadrados: a² − b²
 = (a + b) (a − b) 
Trinômio Quadrado Perfeito: a²± 2ab + b²
 = (a ± b)²
Trinômio do 2º Grau: 
 Supondo x1 e x2 raízes reais do trinômio, temos: ax² + bx + c = 
a (x - x1) (x - x2), a≠0
MDC e MMC de polinômios
Mínimo Múltiplo Comum entre polinômios, é formado pelo 
produto dos fatores com os maiores expoentes.
Máximo Divisor Comum é o produto dos fatores primos com o 
menor expoente.
Exemplo
X²+7x+10e3x²+12x+12
Primeiro passo é fatorar as expressões:
X²+7x+10=(x+2)(x+5)
3x²+12x+12=3(x²+4x+4)=3(x+2)²
Mmc=3(x+2)²(x+5)
Mdc=x+2
Operação com frações algébricas
Adição e subtração de frações algébricas
Da mesma forma que ocorre com as frações numéricas, as fra-
ções algébricas são somadas ou subtraídas obedecendo dois casos 
diferentes.
Caso 1: denominadores iguais.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denomina-
dores iguais, as mesmas regras aplicadas às frações numéricas aqui 
são aplicadas também.
(2x^2-5)/x^2 -(x^2+3)/x^2 +(9-x^2)/x^2 
(2x^2-5-x^2-3+9-x^2)/x^2 =1/x^2 
Caso 2: denominadores diferentes.
Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denominado-
res diferentes, siga as mesmas orientações dadas na resolução de 
frações numéricas de denominadores diferentes.
(3x+1)/(2x-2)-(x+1)/(x-1)
(3x+1)/2(x-1) -2(x+1)/2(x-1) 
(3x+1-2x-2)/(2(x-1))=(x-1)/2(x-1) =1/2
Multiplicação de frações algébricas
Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo 
processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e 
simplificar os fatores comuns.
2x/(x-4)∙3x/(x+5)
MATEMÁTICA
37
Multiplica-se os denominadores e os numeradores.
(6x^2)/((x-4)(x+5))=(6x^2)/(x^2+x-20)
Divisão de frações algébricas
Multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda.
7x/(3-4x) ∶x/(x+1)
7x/(3-4x)∙((x+1))/x
7x(x+1)/(3-4x)x=(7x^2+7x)/(3x-4x²)
EXERCÍCIOS
1) (Escola de Aprendizes-Marinheiros/2012) Os valores numé-
ricos do quociente e do resto da divisão de p(x) = 5x4 – 3x2 + 6x – 1 
por d(x) = x2 + x + 1, para x = -1 são, respectivamente,
a) -7 e -12
b) -7 e 14
c) 7 e -14
d) 7 e -12
e) -7 e 12
2) (Escola de Aprendizes-Marinheiros/2012) Na equação
Sendo a e b números reais não nulos, o valor de a/b é
a) 0,8
b) 0,7
c) 0,5
d) 0,4
e) 0,3
3) Os x carteiros de uma agencia dos correios dividir igualmen-
te as 660 cartas que deveriam distribuir. Cada um deles recebeu 
660/x. No dia seguinte, havia 396 cartas para distribuir; faltaram, 
porém, dois carteiros. Nesses dois dias, coincidentemente, o núme-
ro de cartas que cada um dos carteiros recebeu foi igual. Quantos 
são os carteiros dessa agencia?
4) A solução da equação 
a) S = {3} 
b) S = {–3} 
c) S = {4} 
d) S = {–5} 
5) Carlos executou um trabalho em 8 dias. Mário executou o 
mesmo trabalho em x dias. Juntos, eles executaram o mesmo tra-
balho em 3 dias. Determine o valor de x. 
6) Escreve de forma reduzida o polinômio: 0,3x – 5xy + 1,8y + 
2x – y + 3,4xy. 
7) Qual é a forma mais simples de se escrever o polinômio ex-
presso por: 2x(3a – 2x) + a(2x – a) – 3x(a + x)?
8) Calcule: (12a5b² – 20a4b³ + 48a³b4)(4ab).
RESPOSTAS
1) Alternativa D
Para x=-1
Q(-1)=5(-1)²-5(-1)-3=7
R(-1)=14(-1)+2=-12
2) Alternativa C
3a=a+b
2a=b
a/b=1/2
3) 
MATEMÁTICA
38
4) Alternativa A
5) 
X=4,8
6) Resposta “2,3x – 1,65xy + 0,8y”.
Solução:
0,3x – 5xy + 1,8y + 2x – y + 3,4xy =
= 0,3x + 2x – 5xy + 3,4xy + 1,8y – y = → propriedade comutativa
= 2,3x – 1,65xy + 0,8y → reduzindo os termos semelhantes
Então: 2,3x – 1,65xy + 0,8y é a forma reduzida do polinômio 
dado. 
7) Resposta “5ax – 7x² – a²”.
Solução: 
2x(3a – 2x) + a(2x – a) – 3x(a + x) = 
= 6ax – 4x² + 2ax – a² – 3ax – 3x² =
= 6ax + 2ax – 3ax – 4x² – 3x² – a² =
= 5ax – 7x² – a²
8) Resposta “3a4b – 5a³b² + 12a²b³”.
Solução: 
(12a5b² – 20a4b³ + 48a³b4)(4ab) =
= (12a5b²4ab) – (20a4b³4ab)