ESTUDO DO CONE

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MATEMÁTICA
enem2021
Ampliando conhecimentos, 
preparando-se para o ENEM
geometria espacial
CONE
Prof.: Sérgio Oliveira
Alguns objetos que lembram 0 formato cônico
DEFINIÇÃO:
O cone reto ou cone de revolução é o sólido gerado a partir da rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um eixo.
ELEMENTOS DE UM CONE
Geratriz (g)
Raio da base (r)
Altura (h)
r
Relação importante
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
CÁLCULO DA MEDIDA DA GERATRIZ DE UM CONE
Importante 
saber...
Quando o eixo é oblíquo à base, o cone se diz oblíquo.
CONE
EQUILÁTERO
Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do raio da base ( g = 2.r), ele é chamado de cone equilátero. 
PLANIFICAÇÃO
ÁREAS DA SUPERFÍCIE DE UM CONE
ÁREA DA BASE:
BASE:
A base de um cone é um círculo de raio r, logo:
SUPERFÍCIE LATERAL:
A superfície lateral de um cone coincide com um setor circular obtido a partir de um círculo cujo raio é igual a geratriz desse cone, veja:
ÁREAS DA SUPERFÍCIE DE UM CONE
ÁREA DA SUPERFÍCIE LATERAL:
Como a área do setor circular é proporcional ao comprimento do respectivo arco, podemos determinar a área lateral por meio de uma regra de três, veja:
ÁREA LATERAL:
Comprimento 
do arco
Área do 
setor
ÁREAS DA SUPERFÍCIE DE UM CONE
ÁREA TOTAL:
ÁREA TOTAL:
EXEMPLO 1
Um chapéu de festa feito de cartolina, tem a forma de um cone reto e as dimensões indicadas na figura. Quantos centímetros quadrados são necessários para produzir 50 unidades desse chapéu?
R = 31 400 cm²
ENEM 2010 Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m², considerando π ≅ 3,14, a altura h será igual a:
A.3 m.
B.4 m.
C.5 m.
D.9 m.
E.16 m.
ENEM 2020 No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. 
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva. 
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, 
em metro, da circunferência deverá ser de
A 4,00. 
B 4,87. 
C 5,00. 
D 5,83. 
E 6,26.
A geratriz de um cone circular reto mede cm. se a altura do cone é 7 cm, calcule a medida do raio da base.
R = 1 cm
EXEMPLO 2
Um desafio matemático construído pelos alunos de uma turma tem as peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. 
 A área dessa peça é de:
10π 
14π 
20π 
28π 
40π 
EXEMPLO 3
VOLUME DE UM CONE
Experimentalmente podemos demonstrar que o volume de um cone é exatamente do volume de um cilindro de mesma altura e mesma área da base, vejamos:
Enchendo o cone com areia, será necessário despejar três vezes seu conteúdo no interior do cilindro, para enchê-lo.
Portanto:
VOLUME:
Um copo de caldo de cana, no formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual a capacidade desse copo, em ml?
R = 200,96 ml
EXEMPLO 4
A ampulheta da figura consiste em dois cones idênticos, dentro de um cilindro. A altura do cilindro é de 6 cm e sua base tem 4 cm de diâmetro.
a) Determine o volume de areia necessário para encher o cone.
b) Determine a quantidade de espaço vazio entre os cones e o cilindro.
APLICAÇÃO 5
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO 1:
A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
a) 64π
b) 48π
c) 32π
d) 16π
e) 8π
EXERCÍCIO 2:
Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?
a) 20π
b) 30π
c) 40π
d) 50π
e) 60π
No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de:
a) 2 h
b) 1 h e 30 min
c) 1 h
d) 50 min
e) 30 min
EXERCÍCIO 3:
Uma pequena empresa prepara e acondiciona amendoins torrados em embalagens cônicas de dois tamanhos, conforme as imagens. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença entre as áreas das superfícies dessas embalagens:
a)	É maior que 140 cm²
b)	Está entre 110 cm² e 140 cm²
c)	Está entre 90 cm² e 110 cm²
d)	É maior que 90 cm²
e)	É menor que 90 cm²
EXERCÍCIO 4: