FUNÇÃO LOGARÍTMICA

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
DEFINIÇÃO
Sejam a e b números reais positivos e a ≠ 1, define-se logaritmo de 
b na base a como o expoente x que satisfaz ax = b.
loga b = x ⇔ a
x = b
onde b é chamado logaritmando, a é a base e x é o logaritmo.
O logaritmando também é chamado antilogaritmo e indicado por: 
b = antiloga x ⇔ x = loga b ⇔ a
x = b. Assim, antilog2 3 = 2³ = 8.
Convenciona-se que a omissão da base, escrevendo-se apenas log 
b, indica que trata-se dos logaritmos decimais cuja base é a = 10.
Exemplos:
log2 8 = 3, pois 2
3 = 8
log3
1
81
4� � , pois 3
1
81
4� �
log1
5
25 2� � , pois 
1
5
25
2
�
�
�
�
�
� �
�
log49 7
1
2
= , pois 49 7
1
2 =
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
O logaritmo de b na base a somente é definido quando
a e a
b
� �
�
�
�
�
0 1
0
Exemplos:
Para que valores de x está definido log(x+1) (3–x).
logaritmando: 3 −x > 0 ⇔ x < 3
base: x +1 > 0 ⇔ x >−1
x +1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0
O logaritmo está definido para x ∈ ]−1, 3[ − {0}.
CONSEQUÊNCIAS IMEDIATAS
Sejam a, b, c ∈ R∗+ e a ≠1 e k ∈ R, então:
a. loga 1 = 0
b. loga a = 1
c. loga a
k = k
d. alogab = b
e. loga b = loga c ⇔ b = c
Exemplos:
log2 1 = 0
log
7
7 1=
log3
53 5� � �
2log227 = 27
PROPRIEDADES
Sejam a, b, c ∈ R∗+ e a ≠1 e α, β ∈ R e n ∈ N, n ≥ 2, então:
a. (Log do produto) loga (b · c) = loga b + loga c
b. (Log da divisão) log log loga a a
b
c
b c�
�
�
�
�
� � �
c. (“Regra do peteleco”) loga (b
α) = α · loga b
d. (“Regra do peteleco invertido”) log log( )a ab b� �
� �
1
Exemplos:
log10 2 + log10 5 = log10 10 = 1
log log log log2 2 2 212 3
12
3
4 2� � �
�
�
�
�
� � �
log7 32 = log7 (2
5) = 5 · log7 2
log log log( )27 3 32 2
1
3
23� � �
log log ( ) log( )81 3
5
332 2
5
4
24= =
CONSEQUÊNCIAS IMEDIATAS:
a. log loga ab
b
1�
�
�
�
�
� � �
b. log log1
a
ab b�
�
�
�
�
�
� �
c. log loga
n
ab n
b� �
1
d. log loga an b n b� �
A expressão –loga b é comumente chamada cologaritmo de b 
na base a, o que significa que o cologaritmo é o oposto do logaritmo.
co b b
b
ba a a
a
log log log log� � � �
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
1
1
MUDANÇA DE BASE
Sejam a, b, c ∈ R∗+ e a, c ≠ 1, temos:
log
log
loga
c
c
b
b
a
=
Exemplo:
log
log
log log log log14
2
2 2 2 2
8
8
14
3
2 7
3
1 7
� �
�
�
�
CONSEQUÊNCIAS:
a. log
loga b
b
a
=
1
b. logc a · loga b = logc b
c. loga b · logb c · logc d · ... · logy z = loga z
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
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Exemplos:
log loga bb a� � �
2
5
5
2
log2 7 · log7 4 = log2 4 = 2
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Serão apresentados dois casos principais de equações logarítmicas.
1º caso – equações com logaritmo em um dos membros: podem 
ser resolvidas utilizando a definição de logaritmo.
0 <a ≠ 1 e b ∈ R: loga f(x) = b ⇒ f(x) = a
b
É importante observar que caso a dependa de x, deve-se garantir 
a condição de existência para a base.
2º caso − equações com logaritmo de mesma base em ambos os 
membros: podem ser resolvidas utilizando a injetividade da função 
logarítmica.
0 < a ≠ 1: loga f(x) = loga g(x) ⇒ f(x) = g(x) > 0
Nesse caso, deve-se garantir a condição de existência dos 
logaritmandos e da base quando essa depender de x.
Exemplos:
log ( )4
2 24 3
1
2
4 3 4
1
2x x x x� � � � � � �
log ( ) log ( )2
2
2
25 14 1 4 4 20x x x x� � � � �
⇔ 5x² – 14x + 1 = 4x² – 4x – 20
⇔x2−4x +1 = 0 ⇔ x ou x� � � �2 3 2 3
⇔x2−10x +21 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 7
C.E.: 5⋅32−14⋅3 +1 = 4 > 0 e 5⋅72−14⋅7 +1 = 148 > 0
S � � �� �2 3 2 3,
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Serão apresentados dois casos principais de inequações logarítmicas.
1º caso – inequações com logaritmo em um dos membros: podem 
ser resolvidas, considerando que k = loga a
k e os casos em que a função 
é crescente ou decrescente.
log ( )
( )
( )
a
k
k
f x k
f x a se a
f x a se a
� �
� �
� � � �
�
�
�
��
1
0 0 1
log ( )
( )
( )
a
k
k
f x k
f x a se a
f x a se a
� �
� � �
� � �
�
�
�
��
0 1
0 1
2º caso − inequações com logaritmo de mesma base em ambos 
os membros: podem ser resolvidas considerando os casos em que a 
função logarítmica é crescente ou decrescente.
log ( ) log ( )
( ) ( )
( ) ( )a a
f x g x
f x g x se a
f x g x se a
� �
� � �
� � � �
�
�
�
0 1
0 0 1
Exemplos:
1. log2 (x² + x – 2) ≤ 2
x2 +x −2 ≤ 22⇔ x2 +x −6 ≤ 0 ⇔−3 ≤ x ≤ 2
x2 +x −2 > 0 ⇔ x <−2 ou x > 1
S = [−3, −2[ ∪ ]1, 2]
2. log (x² – x – 2) > log (x – 4)
x² – x – 2 > x – 4 ⇔ x² – 2x + 2 > 0 ⇒ ∆ < 0
x−4 > 0 ⇒ x > 4
S = ]4, +∞)
LOGARITMO NATURAL 
(LOGARITMO NEPERIANO)
Os logaritmos neperianos ou logaritmos naturais são os que têm 
como base o número irracional e ≅ 2,7182.
ln b = log e b
Da definição temos que ln e = 1.
O número e também pode ser definido como:
e
nn
n
� ��
�
�
�
�
���
lim 1
1
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica de base a, com a > 0 e a ≠ 1, é a função f: 
R*+ → R:
Determinada por:
f(x) = logax
I. a > 1
logax
xa
a > 1
1
10
y
II. 0 < a < 1
logax
xa
0 < a < 1
1
10
y
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
a) log16 64
b) 625log 5
c) log5 0,000064
d) 349log 7
02. O número real x, tal que x
9 1
log
4 2
  = 
 
, é
a) 81
16
b) 
3
2
−
c) 1
2
d) 
3
2
e) 
81
16
−
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
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03. (PUCRS) Escrever blogba = b-2, equivale a escrever
a) 1a
b²
=
b) b = a²
c) a = b²
d) b² = -a
e) 
1
b
a²
=
04. (UCS) Se log2 = a e log3 = b, então log12 vale
a) a + b
b) 2a + b
c) a + 2b
d) a · b
e) a
b
05. Dado log5 = P, calcule o valor de log200 em função de P
a) 5P
b) 200P
c) P – 3
d) 3 – P
e) 5 – P
06. (ESA) Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu 
logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades. Pode-se afirmar que x 
é um número:
a) Irracional.
b) Divisor de 8.
c) Múltiplo de 3.
d) Menor que 1.
e) Maior que 4.
07. (ESA) Se log2 3 = a e, log2 5 = b então o valor de log0,5 75 é
a) α + β
b) -α + 2β
c) α - β
d) α - 2β
e) -α - 2β
08. (ESA) Sabendo que 1log P 3 log a 4 log b log c,
2
= ⋅ − ⋅ + ⋅ assinale a 
alternativa que representa o valor de P. (dados: a = 4, b = 2 e c = 16)
a) 12
b) 52
c) 16
d) 24
e) 73
09. (ESA) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma 
dos logaritmos de cada fator, mantendo-se a mesma base. Identifique 
a alternativa que representa a propriedade do logaritmo anunciada.
a) logb(a·c) = logb a + logb c
b) logb(a·c) = logb (a + c)
c) logb (a + c) = logb a · logb c
d) logb (a + c) = logb (a·c)
e) loge (a·c) = logb a + logf c
10. (ESA) Dados log 3 = a e log 2 = b a solução de 4x = 30.
a) 
(2a 1)
b
+
b) (a 2)
b
+
c) 
(2b 1)
a
+
d) 
(a 1)
2b
+
e) 
(b 2)
a
+
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (EEAR) Sejam m, n e b números reais positivos, com b ≠ 1. Se logb 
m = x e se logb n = y, então b b
n
log (m n) log
m
 ⋅ +  
 
 é igual a
a) x
b) 2y 
c) x + y 
d) 2x – y 
02. (EEAR) Se 2 1 3 2M log 32 log 3 log 8= + − , então M vale
a) -1
b) 1
c) -2
d) 2
03. (EEAR) O gráfico abaixo representa a função y = loga x. Dentro das 
condições de existência para que a operação de logarítmo seja sempre 
possível e de resultado único, a base “a” é
a) 0 < a < 1
b) a = 0
c) a > 1
d) a < 0
04. (EEAR) Um número, seu logarítimo 2 e a base do logarítimo 
formam, nessa ordem, uma P.A. Esse número é
a) 9 17
2
− b) 9 17
2
+ c) 1 17
2
− + d) 1 17
2
− −
05. (EEAR) A curva da figura representa o gráfico da função y = loga x, 
(a > 1). Dos pontos B(3,0) e C(9,0) saem perpendiculares ao eixo das 
abscissas, as quais interceptam a curva em D e E, respectivamente. Se 
a área do trapézio retângulo BCED vale 9, a área do triângulo ABD, 
onde A(1,0) vale 
y 
x A B C 
D 
E 
xlogy a=
 a) 1
2
.
b) 2.
c) 3
2
.
d) 1.
06. (ESPCEX) Considerando logm 10 = 1,4 e logm 50 = 2,4, pode-se 
afirmar, com base nesses dados, que o valor do logarítmo decimal de 
5 é:
a) 3/7
b) 1/2
c) 5/7
d) 7/3
e) 7/5
07. (ESPCEX) Há números reais para os quais o quadrado de seu 
logaritmo decimal é igual ao logaritmo decimal de seu quadrado. A 
soma dos números que satisfazem essa igualdade é
a) 90
b) 99
c) 100
d) 101
e) 20108. (ESPCEX) Acrescentando 48 unidades a um número, seu logaritmo 
na base 5 aumenta de 2 unidades. Esse número é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 12
09. (ESPCEX) Considerando o gráfico abaixo, onde:
I - A curva é a representação da função y = log x, para x ≥ 1.
II - Os retângulos sombreados têm um dos vértices sobre a curva.
Nas condições apresentadas acima, a área da região sombreada é:
a) log 24
b) log 18
c) log 12
d) log 9 
e) log 6
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10. (ESPCEX) A figura abaixo fornece a representação gráfica da 
função y = logb x.
Nestas condições, o valor de b é
a) 1/4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10
11. (ESPCEX) A função 1 xf(x) log
x 2
− =  + 
 tem por domínio
a) ]-2,1[
b)  - {-2} 
c)  - {-2,1} 
d) ]-∞,-2[ [1,+∞[ 
e) 
12. (ESPCEX) A curva do gráfico abaixo representa a função y = log4 x.
A área do retângulo ABCD é
a) 12.
b) 6.
c) 3.
d) 4
3
6log .
2
e) log4 6.
13. (ESPCEX) A equação log3 x = 1 + 12logx2 3 tem duas raízes reais. 
O produto dessas raízes é
a) 0.
b) 
1
.
3
c) 3.
2
d) 3.
e) 9.
14. (AFA) O domínio mais amplo da função real f definida por 
2
af(x) log (x 3),= − em que a ∈ ]0,1[, é
a) [-2,2]
b) ]-2,2[
c) ]-∞,-2 ∪ [2,+∞[
d) [ 2, 3[ ] 3, 2]− − ∪
15. (AFA) O domínio da função definida por f(x) = log (x³ – 3x² + 2x) 
é o conjunto:
a) ]0,1[ ∪ ]2,∞[
b) ]-∞,0[ ∪ ]1,2[
c) ]2,∞[
d) ]-∞,1[
16. (AFA) O valor máximo da expressão 4 22 2 2
8
log x 12 log x log
x
 + ⋅ ⋅  
 
 
para 1 ≤ x ≤ 64 é:
a) 1
b) 3
c) 9
d) 81
17. (AFA) Seja 
y
y
a
1 a
−
−+
 = x, com a ∈ , a > 0 e a ≠ 1. Determinando-se 
y em função de x, o domínio da função assim definida é
a) {x ∈  l x ≥ 0}.
b) {x ∈  l x ≥ 1}.
c) {x ∈  l x < 1}.
d) {x ∈  l 0 < x < 1}.
18. (AFA) Se log10 ≤ (log2 4 · log4 6 · log6 8) – 1, então
a) 0 < x 102
b) 102 < x 104
c) 104 < x 106
d) 106 < x 108
19. (AFA) O valor máximo da expressão 4 22 2 2
8
log x 12 log x log
x
 + ⋅ ⋅  
 
 
para 1 ≤ x ≤ 64 é:
a) 1 b) 3 c) 9 d) 81
20. (ESPCEX) Uma epidemia ocorre quando uma doença se desenvolve 
num local, de forma rápida, fazendo várias vítimas num curto intervalo 
de tempo. Segundo uma pesquisa, após t meses da constatação da 
existência de uma epidemia, o número de pessoas por ela atingida é 
2t
20000
N(t) .
2 15 4−
=
+ ⋅
Considerando que o mês tenha 30 dias, log 2 ≅ 0,30 e log 3 ≅ 0,48, 
2000 pessoas serão atingidas por essa epidemia, aproximadamente, 
em
a) 7 dias.
b) 19 dias.
c) 3 meses.
d) 7 meses.
e) 1 ano.
21. (AFA) A soma de todos os valores reais que satisfazem a equação 
xlog4 x = 16x, x > 0,
a) 
17
4
b) 
33
4
c) 
65
4
d) 
129
4
22. (AFA) Se x1 e x2 são as raízes da equação: logbx b + 2logx b + 3logb²x 
b = 0, b ∈ *+, b ≠ 1, então (x1 · x2)
6 vale:
a) b11 b) b–11 c) b6 d) b–6
23. (EPCAR 3° ANO) Num sistema de logaritmos, o logaritmo de 
101,44 supera em 5 o logaritmo de 3,17. É correto afirmar que se 
trata do sistema de logaritmos
a) de base menor que 3
b) de base igual a 5
c) decimais
d) neperianos
24. (ESPCEX) Fazendo x = n5 temos que x x
a
y e e ,
b
−= − = a ∈  e b 
∈ *, a e b primos entre si. Logo a + b é igual a
a) 28 b) 29 c) 40 d) 51
25. (ESPCEX) O número N de bactérias de uma cultura é dado 
em função do tempo t (em minutos), pela fórmula N(t) = (2,5)1,2t. 
Considere log10 2 = 0,3, o tempo (em minutos) necessário para que a 
cultura tenha 1084 bactérias é
a) 120
b) 150
c) 175
d) 185
e) 205
26. (AFA) Considere os números A, B e C a seguir.
25 4 3A log 27 log 5 log 2= ⋅ ⋅
n n
n nB log (log n )= (n é natural maior que 2)
log c log a log b
*a b cC {a, b, c}
b c a +
     = ⋅ ⋅ ⊂     
     

159
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
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A correta relação de ordem entre os números A, B e C é 
a) A < B < C 
b) B < A < C 
c) B < C < A 
d) C < A < B 
27. (ESPCEX) Resolvendo a equação a seguir, obtém-se
2
3 1 3
3
log (x 2x 3) log (x 1) log (x 1),− − + − = +
a) S = {-1}.
b) S = {4,5}.
c) S = {6}.
d) S = {∅}.
e) S = {4}.
28. (EFOMM) Um atleta de tiro ao prato tem probabilidade de 0,9 
de acertar o prato a cada novo lançamento. Analisando esse jogador 
antes do início da competição, após quantos lançamento de pratos, a 
probabilidade de ele não ter acertado todos os tiros se tornará maior 
que a probabilidade de acertar todos?
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
29. (EPCAR 3° ANO) Um boato alastra-se com determinada rapidez 
entre os habitantes de uma metrópole. Após x horas (x > 0), o número 
de pessoas que já sabiam do boato é dado por n
x
2
n
f(x)
1 2e
 − 
 
=
+
, onde 
e é a base do sistema de logaritmos neperianos e n o número de 
habitantes da metrópole (em milhões). Sabendo-se que após 2 horas 
do início da propagação do boato, 80% da população já estava ciente 
do caso e considerando ln 2 = 0,69 pode-se dizer que o número de 
habitantes da metrópole pertence ao intervalo
a) [1, 2] b) ]2, 3] c) ]3, 4] d) ]4, 5]
30. (AFA) Pesquisas realizadas verificaram que, no planeta Terra, no 
início do ano de 2013, a população de pássaros da espécie A era 12 
vezes a população de pássaros da espécie B. Sabe-se que a população 
de pássaros da espécie A cresce a uma taxa de 5% ao ano, enquanto 
que a população de pássaros da espécie B cresce a uma taxa de 20% 
ao ano. Com base nesses dados, é correto afirmar que, essas duas 
populações de pássaros serão iguais
(Considere: log7 = 0,85; log6 = 0,78; log2 = 0,3)
a) no 1º semestre do ano de 2034.
b) no 2º semestre do ano de 2034.
c) no 1º semestre do ano de 2035.
d) no 2º semestre do ano de 2035.
31. (AFA) No plano cartesiano, seja P(a,b) o ponto de interseção entre 
as curvas dadas pelas funções reais f e g definidas por ( )
x
1
f x
2
 =  
 
 e 
( ) 1
2
g x log x.=
É correto afirmar que
a) 2
2
1
a log
1
log
a
 =     
  
b) a = log2 (log2 a)
c) 1 1
2 2
1
a log log
a
  =     
d) ( )2 1
2
a log log a=
32. (EPCAR 3° ANO) Num sistema de logaritmos, o logaritmo de 
101,44 supera em 5 o logaritmo de 3,17. É correto afirmar que se 
trata do sistema de logaritmos
a) de base menor que 3
b) de base igual a 5
c) decimais
d) neperianos
33. (EPCAR 3° ANO) Se A = log(1 + cotg² x) + log (1 + cos x) + log(1 – 
cos x), sendo 0 x
2
π
< < , então A é igual a
a) 
1
log
10
b) 1log
2
c) log 1 d) log 10
34. (EPCAR 3° ANO) Analise as proposições classificando-as em V 
(verdadeira) ou F (falsa).
I. O produto das raízes da equação ( )2
2
1x
1
2 1 log 10
logx−
 
+ =  
 
 é 
igual a 
1
10
.
II. Se 5n = 2, então log2 100 = 2(1 + n
-1).
III. Observando o gráfico de f(x) = logn x abaixo pode-se afirmar que 
o valor de f(256) = n.
A sequência correta é
a) V – V – V
b) V – F – F
c) F – V – V
d) F – V – F
35. (EPCAR 3° ANO) Se o domínio de 
x
2 2
e 4
f(x)
e x
+
=
−
 é
Obs.: e = 2,7182...
a) {x ∈  / x < -e ou x > e} 
b) {x ∈  / -e < x < e} 
c) {x ∈  / x < -1 ou x > 1} 
d) {x ∈  / -2 < x < 2} 
36. (EPCAR 3° ANO) Uma população de bactérias cresce conforme 
a função definida por N(t) = N0 · e
αt, onde t é o tempo (dado em 
horas), N0 é o número inicial de bactérias e α é uma constante 
positiva. Sabendo-se que o número de bactérias triplica ao final das 
três primeiras horas, pode-se dizer que α pertence ao intervalo
Dados: adote e = 2,7 (e é a base do sistema de logaritmos neperianos)
log 3 = 0,48
a) [0,3;0,4]
b) ]0,4;0,5]
c) ]0,5;0,6]
d) ]0,6;0,7]
37. (EPCAR 3° ANO) Assinale a alternativa correta.
a) Se x > 0 e a > 1, os gráficos das funções reais f e g, dadas por f(x) 
= loga x e 
x
1
g(x)
a
 =  
 
, se interceptam em um ponto cuja abscissa 
é maior que zero e menor que um.
b) Para qualquer que seja x real, o intervalo ]-4,+∞[ é o conjunto-
imagem da função real h, definida por 
x 1
1
h(x) 4
2
+
 = − 
 
.
c) Se log9 (log3(logx 3)) = 0, então x é um número racional.
d) Se f é uma função real definida por f(x) = 3 + 2-x, então 
( )4
1
f log 9
3
= .
38. (EPCAR 3° ANO) Seja a relação 
y
y
10 1
x
102
−
−
+
=
+
. Ao determinar y em 
função de x, obtém-se uma função cujo o domínio é 
a) *+
b) 
1
,1
2
 
  
c) ] [1, 1,
2
 −∞ ∞  

d) { }1−
160
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
PROMILITARES.COM.BR
39. (EPCAR 3° ANO) O domínio da função real definida por 
( )1 a a
a
f(x) log log log x=    é
a) a < x ≤ aa se 0 < a < 1.
b) 0 < x < 1 e x ≥ aa se a > 1.
c) a < x ≤ aa se a > 1.
d) x ≥ aa se 0 < a < 1.
40. (EN) Qual é o domínio da função real de variável real, definida por 
2 2x 1f(x) n(x 3x 2) e 1 ?−= − + + −
a) [1,2[
b) ] [1,2 3,
2
  ∪ +∞  
c) ]2,+∞[
d) ] [1,1 2,
2
  ∪ +∞  
e) 
1
,
2
 +∞  
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. O valor da expressão log3 2 · log4 3 · ... · log10 9 é:
a) 0
b) log10 2
c) log4 3
d) log3 4
e) 1
02. O conjunto verdade da desigualdade log log2 1
4
2 2 1 0x x� �� ��
�
��
�
�
�� �
 
é:
a) (0,1/2) ∪ (3/2,2)
b) (–2,0) ∪ (3/2,2)
c) (1/2,3/2)
d) (–∞,1/2) ∪ (3/2,∞)
e) ∅
03. Acrescentando 16 unidades a um número, seu logaritmo na base 
3 aumenta de 2 unidades. Esse número é:
a) 5
b) 8
c) 2
d) 4
e) 3
04. O valor de y ∈  que satisfaz a igualdade logy 49 = logy² 7 + log2y 
7, é:
a) 1/2
b) 1/3
c) 3
d) 1/8
e) 7
05. (EFOMM 2010) Sabendo-se que log30 3 = a e log30 5 = b, que 
opção representa log10 2?
a) 
1
2
� �
�
a b
a
b) 
1
1
− −
−
a b
a
c) 
1
1
� �
�
a b
a
d) 
1
2
− −
−
a b
a
e) 
1
1
− −
−
a b
a
06. (ESPCEX) Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o número real 
x, solução da equação 5x-1 = 150, pertence ao intervalo:
a) ]-∞,0]
b) [4,5[
c) ]1,3[
d) [0,2[
e) [5,+∞[
07. (ESPCEX) Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreado 
estão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre o gráfico da 
função real f(x) = logk x, com k > 0 e k = 1. Sabe-se que o trapézio 
sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de k + p – q é
a) -20
b) -15
c) 10
d) 15
e) 20
08. (ESPCEX) Se a
a²
6 log m
2
1 log m
−
=
+
, com a > 0, a ≠ 1 e m > 0, então o 
valor de 
m
a m+
 é
a) 4
b) 1/4
c) 1
d) 2
e) 1/2
09. (ESPCEX) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função 
y = log x. Nesta representação estão destacados três retângulos cuja 
soma das áreas é igual a:
a) log2 + log3 + log5
b) log30
c) 1 + log30
d) 1 + 2log15
e) 1 + 2log30
10. (ESPCEX) Seja 10
10 10
log 31
.
2 log 3 log 7
β = ⋅
−
 O conjunto solução da 
desigualdade cos x
3
3
7
β
 ≤  
 
 no intervalo [0,2π(, é igual a
a) 0,
3
π 
  
b) ,2
3
π π  
c) ,2
3
π π  
d) ,2
3
π π  
e) 
3
,2
2
π π  
161
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
PROMILITARES.COM.BR
DESAFIO PRO
1 (ITA) Seja f a função definida por f(x) = logx+1 (x² – 2x – 8). Determine:
a) O domínio Df da função f.
b) O conjunto de todos os valores de x ∈ Df tais que f(x) = 2.
c) O conjunto de todos os valores de x ∈ Df tais que f(x) > 1.
2 (ITA) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:
I. a(logc b) = b(logc a). 
II.       =     
     
d d dlog c log a log ba b c
1.
b c a
III. logab (bc) = loga c
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
3 (ITA) Se log2 π = a e log5 π = b, então
a) + ≤
1 1 1
.
a b 2
b) < + ≤
1 1 1
1.
2 a b
c) < + ≤
1 1 3
1 .
a b 2
d) < + ≤
3 1 1
2.
2 a b
e) < +
1 1
2 .
a b
4 (IME) Seja a equação = − >3 3log 3y log 3yy y 6, y 0.O produto das raízes reais desta equação é igual a:
a) 1
3
b) 3
4
c) 3
4
d) 2
e) 3
5 (IME) Sejam a, b, c e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que loga d, logb d e logc d são termos consecutivos 
de uma progressão geométrica e que a, b e c formam uma 
progressão aritmética em que a < b < c. 
Sabendo-se que b = bloga b – a, determine:
a) Os valores de a, b e c;
b) As razões das progressões aritmética e geométrica, r e q, 
respectivamente.
 
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. DISCURSIVA
02. A
03. A
04. B
05. D
06. E
07. E
08. C
09. A
10. D
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. B
02. C
03. A
04. 
05. C
06. C
07. D
08. B
09. A
10. D
11. A
12. B
13. D
14. D
15. A
16. A
17. D
18. A
19. A
20. A
21. C
22. D
23. A
24. B
25. C
26. B
27. D
28. C
29. B
30. B
31. A
32. A
33. B
34. A
35. B
36. A
37. B
38. B
39. C
40. D
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. B
02. A
03. C
04. D
05. E
06. B
07. B
08. E
09. D
10. B
DESAFIO PRO
01. a) D = ]4,+∞[.
b) S = φ.
c) 
3 3 5
S ,
2
 +
= +∞ 
 
02. C
03. E
04. A
05. a) 4
3 3
4 4
3 log 2 log 2log 2
a , b 2 2 c 32 e 2= ⋅ ⋅= =
b) 
3
4
log 2
3
2
r 2 e q log 2.= =
ANOTAÇÕES
162
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
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