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ENG01156 – MECÂNICA – ÁREA 1 
AULA 3 – VETORES DE MOMENTO 
1. DEFINIÇÕES 
Momento: grandeza vetorial que mede a tendência 
de uma força de gerar rotações em um corpo. 
Binário: par de forças não colineares, de mesma 
direção, mesmo módulo, porém sentidos contrários, 
separadas por uma distância perpendicular d. 
Conjugado: é o momento produzido pelo binário. 
Pode-se demonstrar que há uma equivalência entre 
um binário e seu conjugado. Ou seja, pode-se 
substituir um binário por um conjugado e vice-versa. 
Embora a soma vetorial das forças do binário seja 
nula, ocorre o momento do binário em relação a um 
polo qualquer no plano que contém as forças do binário. Verifica-se que o momento de um 
binário independe da posição do polo. Na verdade, o momento do binário depende (além da 
própria força F) apenas da distância d entre as suas forças, sendo dado por M = F.d. 
Calculando o momento do binário abaixo em relação ao seu ponto médio O (usando 
convenção de sinais de acordo com a regra da mão direita), obtém-se: 
O . 2 . 2 .M F d F d F d   
Observe que o mesmo resultado é obtido tomando como polo o ponto O’: 
O' .( ) . .M F d b F b F d    
 
2. MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO 
Para deduzir a expressão que define o vetor momento de uma força em relação a um ponto 
qualquer no espaço, considere a figura abaixo, onde uma força F é aplicada no ponto A do 
corpo. Deseja-se calcular o momento em relação ao ponto O. 
Inicialmente, define-se um vetor posição OAr

 entre os pontos O e A. Observe que os vetores 
OAr

 e AF

 estão contidos em um mesmo plano, sendo  o menor ângulo formado entre eles 
neste plano. O braço de alavanca d é também definido neste mesmo plano, sendo a menor 
distância entre o ponto de aplicação da carga A e o ponto de avaliação do momento O. 
 
No plano que contém OAr

 e AF

 pode-se estabelecer a seguinte relação: sen OAd r  . Por 
definição, o módulo do momento em O é dado por: 
O .M F d . Assim, substituindo d obtido da primeira 
equação no módulo do momento, chega-se à seguinte 
expressão: O . .senOA AM r F  , a qual representa o 
módulo do produto vetorial entre os vetores OAr

 e AF

. 
 
Portanto: O OA AM = r F
 
 
 
     O x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
r r r r F r F r F r F r F r F
F F F
    
i j k
M = i j + k
  
  
 
2 2 2;O x y z O x y zM M M M M M M   M = i j + k
  
 
     ; ;x y z z y y z x x z z x y y xM r F r F M r F r F M r F r F      
OBS: pelo princípio da transmissibilidade, o ponto A pode ser qualquer ponto que pertença 
à linha de ação da força F

. 
 
Direção e sentido de OM

: 
O vetor momento OM

 está orientado na direção 
normal em relação ao plano que contém os vetores OAr

 
e AF

, com sentido definido pela regra da mão direita. A 
convenção de sinais indica que uma componente de 
momento será positiva quando produzir a tendência de 
rotação do corpo no sentido anti-horário em relação ao 
eixo correspondente. 
OBS: para uma correta avaliação da regra da mão 
direita, coloque sempre os vetores OAr

 e AF

 em uma 
mesma origem. 
 
Unidades: [F].[L]. No Sistema Internacional (SI): [N.m]. 
2.1 Teorema de Varignon – problemas planos 
Em problemas planos, a notação vetorial pode ser substituída por uma abordagem 
puramente escalar, já que as componentes de forças e momentos, bem como sua direção, 
são facilmente obtidas. No caso dos momentos, o 
cálculo do módulo do momento de uma força em 
relação a um ponto MO = F.d geralmente requer 
braços de alavanca cujas direções complicam sua 
obtenção. Nestes casos, pode-se aplicar o chamado 
Teorema de Varignon, demonstrado abaixo: 
. . .y xF d F x F y   
Ou seja, o momento em um ponto de uma força 
pode ser obtido de forma equivalente pela soma dos 
momentos das componentes da força em relação ao 
mesmo ponto. 
Exemplos: 
1. Calcular o momento da força de 600 N em torno do ponto O na base do pórtico. 
Aplicando o teorema de Varignon, calculam-se primeiramente as componentes da força 
segundo os eixos x e y: 
600.cos 40º 460xF N  600. 40º 386yF sen N    
É importante lembrar que os sinais das componentes da força não são considerados no 
cálculo do momento, cuja convenção de sinais segue a regra da mão direita. Assim: 
4.460 2.386 2612 .OM N m     
 
2. A barra AB é submetida a uma força de 60 N orientada de C para B. Determine o 
momento criado por F em relação ao ponto A. 
 
Pelo princípio da transmissibilidade, pode-se escolher qualquer ponto que pertença à linha 
de ação da força como ponto de aplicação. Nesta solução, adota-se o ponto B. Assim: 
   1;3;2 0;0;0 1 3 2 [ ]AB B AP P m      r i j k
  
 
Vetor unitário de direção da força: 
   
     
 
2 2 2
1;3;2 3;4;0 2; 1;2
0,667 0,333 0,667
31 3 3 4 2 0
CB
CB
CBr
  
      
    
r
i j k
   
 
Vetor força: 
 60 0,667 0,333 0,667 40 20 40 [ ]B B CBF N       F i j k i j k
      
  
Assim, o momento em A é dado por: 
1 3 2 160 120 100 [ . ]
40 20 40
A AB B N m  
 
i j k
M = r F i j + k
  
   
 
 22 2160 120 100 223,61 [ . ]AM N m   = 
Vetor unitário de momento: 
160 120 100
0,716 0,537 0,447
223,61

  
i j + k
i j + k
     
 
3. MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO 
Como será visto mais adiante, a soma de momentos em relação a um eixo pode ser utilizada 
como uma condição de equilíbrio de corpo rígido. Para calcular o momento de uma força AF

 
em relação a um eixo L, procede-se da seguinte 
maneira: 
1º Obter um vetor momento auxiliar em qualquer 
ponto que pertença ao eixo em relação ao qual se 
deseja calcular o momento. Na figura ao lado, optou-
se pelo ponto O: 
O OA AM = r F
 
 
2º Obter a projeção do vetor OM

 sobre o eixo: 
OL O LM =M

 
onde L

 é o vetor unitário de direção do eixo, calculado a partir de dois pontos quaisquer 
pertencentes ao eixo. 
3º Obter o momento em relação ao eixo: 
OL OL LM M

 
Observe que o primeiro e o segundo passo podem ser resumidos em um produto misto, ou 
seja: 
 
x y z
OL L O L OA A x y z
x y z
M r r r
F F F
  
    = M r F
  
  
Exemplos: 
1. Determine o momento da força de 100 N, aplicada 
em A, em relação ao eixo que passa por OC. 
Obtém-se, primeiramente, a descrição vetorial do 
vetor força: 
AB
A A AB AB
AB
F 
r

r
F
 
   
   0;5;4 3;5;0 3 4 [ ]AB B AP P m      r i k
 
 
 2 23 4 5ABr m    
3 4
0,6 0,8
5AB
 
   
i k
i k
   
 
 100 0,6 0,8 60 80 [ ]A N    F i k i k
   
 
Na sequencia, obtém-se um momento auxiliar da força em relação a um ponto qualquer que 
pertença ao eixo OC. Nesta solução, optou-se pelo ponto O, o que leva à seguinte expressão: 
3 5 0 400 240 300 [ . ]
60 0 80
O OA A N m    

i j k
M r F i j k
  
   
 
Para a projeção do vetor OM

 sobre o eixo OC, obtém-se, primeiramente, o vetor unitário do 
eixo: 
   
2 2
0;1;1 0;0;0
0,707 0,707
1 1
OC
OC
OCr

   

r
j k
  
 
Assim: 
   400 240 300 0,707 0,707 42, 43 .OC O OCM N m      M i j k j k
     
  
Portanto: 
 42,43 0,707 0,707 30 30 .OC OC OC= M N m     M j k j k
    
