2022816_81322_MATEMÁTICA APLICADA - UNIDADE 1

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MATEMÁTICA APLICADA: REDES-ADS-ADM-CTB
Professor Hermínio Silva 1
Professor facilitador
HERMINIO SILVA
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8/16/2022 2
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
mailto:profherminiosilva@gmail.com
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8/16/2022 3
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS
8/16/2022 4
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
EXPERIÊNCIA PROFISSIONAL 
8/16/2022 5
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
CURSO - DISCIPLINA
202202 - FACULDADE CDL - - - MANHÃ
• TG - MATAPLICADA - MATEMÁTICA APLICADA
202202 - FACULDADE CDL - CURSO BACHARELADO EM CIÊNCIAS 
CONTÁBEIS - CURSO BACHARELADO EM CIÊNCIAS CONTÁBEIS - NOITE
• CCONT - N1 - MATEMÁTICA APLICADA
• CCONT - N2 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
• CCONT - N3 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
• CCONT - N6 - MÉTODOS QUANTITATIVOS
• CCONT - N7 - MÉTODOS QUANTITATIVOS
• CCONT - N8 - MÉTODOS QUANTITATIVOS
202202 - FACULDADE CDL - CURSO BACHARELADO EM PSICOLOGIA -
CURSO BACHARELADO EM PSICOLOGIA - NOITE
• PSI - N1 - ESTATISTICA APLICADA
• PSI - N2 - ESTATISTICA APLICADA
8/16/2022 6
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
CURSO - DISCIPLINA
202202 - FACULDADE CDL - CURSO DE BACHARELADO EM ADMINISTRAÇÃO 
- CURSO DE BACHARELADO EM ADMINISTRAÇÃO - NOITE
• ADM - N5 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
202202 - FACULDADE CDL - CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM 
ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS - ANÁLISE E 
DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS - NOITE
• ADS - N1 - MATEMÁTICA APLICADA
202202 - FACULDADE CDL - CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM 
LOGÍSTICA - CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM LOGÍSTICA - NOITE
• LOG - N2 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
• LOG - N3 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
202202 - FACULDADE CDL - CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM 
REDES DE COMPUTADORES - CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM 
REDES DE COMPUTADORES - NOITE
• RED - N1 - MATEMÁTICA APLICADA
8/16/2022 7
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
MATEMÁTICA APLICADA - CURSOS 
TG - MATAPLICADA - MATEMÁTICA APLICADA
CCONT - N1 - MATEMÁTICA APLICADA
ADS - N1 - MATEMÁTICA APLICADA
RED - N1 - MATEMÁTICA APLICADA
8/16/2022 8
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS - CURSOS 
• CCONT - N2 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
• CCONT - N3 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
• PSI - N1 - ESTATISTICA APLICADA
• PSI - N2 - ESTATISTICA APLICADA
ADM - N5 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
• LOG - N2 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
• LOG - N3 - ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS
8/16/2022 9
FACULDADE CDL - EAD - PROFESSOR 
HERMINIO SILVA
MÉTODOS QUANTITATIVOS - CURSOS 
•CCONT - N6 - MÉTODOS QUANTITATIVOS
• CCONT - N7 - MÉTODOS QUANTITATIVOS
• CCONT - N8 - MÉTODOS QUANTITATIVOS
MATEMÁTICA APLICADA: REDES – ADS- ADM - CTB
UNIDADE I – TÓPICOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIDADE II – CONCEITOS BÁSICOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIDADE III – LÓGICA PROPOSICIONAL 
UNIDADE IV – TEORIA DOS JOGOS
UNIDADE V – ESTRUTURAS ALGÉBRICA 
Professor Hermínio Silva 10
MATEMÁTICA APLICADA – REDES- ADS-ADM-CTB
UNIDADE I – TÓPICOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
1.1 Potenciação, Frações, Radicais.
1.2 Equação do 1° Grau
1.3 Equação do 2° Grau
1.4 Logaritmos
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MATEMÁTICA APLICDA: REDES – ADS – ADM - CTB
UNIDADE II – CONCEITOS BÁSICOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS
2.1. Conjuntos
2.2. Pertinência 
2.3. Alguns Conjuntos Notáveis 
2.4. Conjuntos Finitos e Infinitos 
2.5. Alfabetos, Palavras e Linguagens 
2.6. Subconjunto e Igualdade de Conjuntos 
2.7. Conjuntos na Linguagem de Programação
2.8. Diagramas de Venn, União, Intersecção e Conjunto das Partes
Professor Hermínio Silva 12
MATEMÁTICA APLICADA: REDES – ADS – ADM - CTB
UNIDADE III – LÓGICA PROPOSICIONAL 
3.1. Proposições simples
3.2. Proposições compostas
Contradições, Contingência e Tautologia
3.3. Conectivos
3.4. Tabela verdade
3.5. Proposições logicamente equivalentes
3.6. Diagramas lógicos
3.7. Lógica analítica
Professor Hermínio Silva 13
MATEMÁTICA APLICADA: REDES – ADS – ADM - CTB
UNIDADE IV – TEORIA DOS JOGOS
4.1. Estratégia e os jogos de empresas nas organizações 
4.2. Procedimentos metodológicos 
4.3. Análise de Resultados – visão de Nash
Professor Hermínio Silva 14
MATEMÁTICA APLICADA: REDES – ADS – ADM - CTB
UNIDADE V – ESTRUTURAS ALGÉBRICA 
5.1. Propriedades das Operações Binárias
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MATEMÁTICA APLICADA: REDES – ADS – ADM - CTB
UNIDADE I 
TÓPICOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
Professor Hermínio Silva 16
MATEMÁTICA APLICADA: REDES – ADS – ADM - CTB
UNIDADE I – TÓPICOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
1.1 Potenciação, Frações, Radicais.
1.2 Equação do 1° Grau
1.3 Equação do 2° Grau
1.4 Logaritmos
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QUAL É O NÚMERO?
Qual é o maior número de três algarismos, sabendo
que o algarismo das unidades é o dobro do das
centenas? 498.
Professor Hermínio Silva 18
CENTENAS DEZENAS UNIDADES
RESOLVER
VENDAS LUCRO
10.000 1.000
20.000 3.000
30.000 2.000
CORRELAÇÃO POSITIVA MAS NÃO IGUAL A 1
Então a perfeição é ser 1
Ou +1
Ou – 1
REGRESSÃO seria o quanto se poderia pagar
respeitando da mesma proporcionalidade.
Professor Hermínio Silva 19
Isso significa dizer que nem tudo que 
aumenta esteja na mesma proporção e a 
CORRELAÇÃO mostra isso. Apenas um 
exemplo para explicar a importância do uso 
da matemática
RESOLVER
Caiu em prova. Qual o próximo número na sequência?
1 3 5
2 4 ?
Veículo e seu câmbio. Mas a 1ª coisa que vem à mente é
responder 6, mas a questão foi estruturada em cima do
câmbio de um tipo de veículo.
Resposta: LETRA “e” = “R” de Ré
a. 6
b. 8
c. 0
d. 9
e. R
Professor Hermínio Silva 20
RESOLVER
Cinco cachorros correndo rumo a uma cachorrinha,
pega, não pega, pega, não pega..... Que horas são?
a. 12:55
b. 13:00
c. 13:10
d. 12:45
e. 12:30
Professor Hermínio Silva 21
RESOLVER
1.(TRE) Calcule o juro obtido na aplicação de 7.600,00
à taxa de 12% ao ano, durante seis meses.
a) 5.472,00
b) 547,20
c) 4.560,00
d) 456,00
e) 45,60
Professor Hermínio Silva 22
REGRAS:
FUNDAÇÃO CESGRANRIO. 
É UMA PROVA DE NÍVEL MÉDIO. 
OBSERVE OS QUESITOS TODOS 
DISTANTES.
7.000 x 6% = 420,00
600 x 6% = 36,00
RESOLVER
2. (BB) Que quantia, aplicada a 2,5% ao mês durante
três meses e 10 dias, rende R$ 28.000,00?
a) R$ 112.000 100.000 x 7% = 7.000 fora!
b) R$ 134.000 fora!
c) R$ 250.000 fora! 250.000 x 7% = 17.500
d) R$ 336.000
e) R$ 403.200 400.000 x 7% = 28.000 fora!
Professor Hermínio Silva 23
RESOLVER
3. (TRE) Um capital, aplicado por dois anos,
aumentou 3/5. Qual a taxa de juros anual a que foi
aplicado?
a) 45%
b) 30%
c) 25%
d) 22,5%
e) 20%
Professor Hermínio Silva 24
RESOLVER
4. (BB) Montante, no regime de juros simples, da
aplicação de R$ 120.000 à taxa de 8% ao mês no
período de cinco trimestres:
a) R$ 48.000
b) R$ 144.000
c) R$ 264.000
d) R$ 168.000
e) R$ 156.000
Professor Hermínio Silva 25
RESOLVER
7. (AFTN) Um capital no valor de 50, aplicado a
juro simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em
20 dias, um montante de:
a) 51,0
b) 51,2 J = P i n J = 50 x 3,6% ÷ 30 x 20
c) 52,0 J = 1,20
d) 53,6 S = P + J
e) 68,0 S = 50 + 1,20 = 51,2
Professor Hermínio Silva 26
50 x 3,6% = 1,80 em 30 dias. Sabemos que 30 dias é 
composto de 10d + 10d + 10d e que 1,8 ÷ 3 = 0,6 a 
cada 10 dias e que o dinheiro ficou aplicado por 20 
dias, teremos: 0,6 + 0,6 = 1,2 + 50 = 51,20
RESOLVER
23. (CFC) Desejando-se obter 2% de um valor
aplicado a uma taxa de juros de 2% ao mês, sob o
regime de capitalização composta, estabeleça o
número de quinzenas que o capital deverá ficar
aplicado:
a) Quatro
b) Dois
c) Um
d) Três
Professor Hermínio Silva 27
Essa questão quer saber se você sabe 
quantas quinzenas tem um mês.
VAMOS PENSAR?
Professor Hermínio Silva 28
VAMOS PENSAR?
Professor Hermínio Silva 29
VAMOS PENSAR?
Professor Hermínio Silva30
VAMOS PENSAR?
Professor Hermínio Silva 31
VAMOS PENSAR?
Professor Hermínio Silva 32
VAMOS PENSAR?
Professor Hermínio Silva 33
VAMOS PENSAR?
Professor Hermínio Silva 34
ALGUMAS PERGUNTAS:
1. Existe diferença entre tomar ou aplicar dinheiro de
forma simples ou composta?
2. Por que o sistema financeiro não trabalha com
descontos racionais e sim com descontos simples?
3. Observe o fluxo: T0=-100, T1=+60, T2=+60 tem
juros? Se sim, quanto? Quando os 100 serão
devolvidos? Quanto custou?
4. Quem compra por 100 e deseja adicionar 30% de
margem de lucro sobre a venda, por quanto deve
vender?
Professor Hermínio Silva 35
ALGUMAS DICAS:
1. Saber Power BI
2. Excel Avançado
3. Banco de Dados
4. Redes
5. Importar e converter de imagens, arquivos em PDF,
TXT, para XLSX, de forma que traga agilidade nos
serviços diários.
6. Conciliação das vendas de cartões de crédito e de
débito
7. Conciliação dos saldos bancários usando arquivos OFX
8. E outras
Professor Hermínio Silva 36
MATEMÁTICA ELEMENTAR
Professor Hermínio Silva 37
ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO
Quando os sinais dos números são iguais, devemos
adicionar mantendo o sinal dos números.
+5 + 8 = +13
- 8 – 6 = - 14
Quando os sinais são diferentes, devemos subtrair os
números mantendo o sinal do número de maior
módulo.
+15 – 9 = + 6 -10 + 19 = +9
+ 7 – 15 = - 8
Professor Hermínio Silva 38
ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO
A. (+ 8 + 9) – (+ 5 – 6) – (9 + 1)
(17) – (-1) – (10)
17 + 1 -10
18 -10
8
B. –[–(2 + 4) – (– 4 –13)]
-[-(6) – (-17)]
-[-6+17]
-[+11]
-11
C. 1.645,78 + 545, 36 = 2.191,14
D. 890,22 – 987,45 = -97,23
Lembrem que:
+ ( + ) = +
+ ( – ) = –
– ( + ) = –
– ( – ) = +
Professor Hermínio Silva 39
ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO
Números fracionários
Quanto é 
1
4
= ? Dividimos 100 por 4 = 25%
Então quanto é 
3
4
= ? Multiplicamos 3 por 25 ou 
25 + 25 + 25 = 75%
Quanto é 
1
5
= ? Dividimos 100 por 5 = 20%
Então quanto é 
4
5
= ? Multiplicamos 4 por 20 = 80%
Professor Hermínio Silva 40
ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO
Números fracionários
Quanto é 
2
4
+ 
3
5
= ? Aprendemos a tirar o m. m. c. 
= 20, mas podemos fazer o seguinte: se 
1
4
= 25% 
então 
2
4
= 50% e se 
1
5
= 20%, então 
3
5
= 60%, em 
resumo:
Resposta: 50% + 60% = 110% ou 
0,50 + 0,60 = 1,10 transformando em 
porcentagem é multiplicar por 100 = 110%
Professor Hermínio Silva 41
ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO
Números fracionários - calcule:
2
3
+ 
5
4
= 66,66% + 125% = 0,66 + 1,25 = 1,92 se multiplicar por 100 = 192%
100 ÷ 3 = 33,33% x 2 = 66,66%
100 ÷ 4 = 25,00% x 5 = 125,00%
66,66% + 125% = 192%
calcule 1,02 2,8 = 1,057013 chama-se potência. Se não tiver calculadora, como fazer?
Eleve a 2 = (1,02) ^ 2 = 1,040400
Eleve a 3 = (1,02) ^ 3 = 1,061208
Subtrair = 0,020808
Faça: a diferença está para 1 = 0,020808 – 1,00
Assim como x está para 0,80 = X - 0,8 
Calculando o valor de X teremos = 0,8 x 0,020808
Portanto, x é igual a X = 0,016646
Some o valor de “x” a 1,040400
0,01646 + 1,040400 = 1,057046 veja que é muito próximo se fizer com o uso de uma calculadora.
Calcule: 
10
4
+ 
12
5
-
3
6
= 250% + 240% - 50% = 440% ou 2,5 + 2,4 – 0,5 = 4,4 ou 440%
Professor Hermínio Silva 42
ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO
Números fracionários
6
3
-
4
3
= 100 / 3 x 6 = 200% menos 100 / 3 x 4 
= 133,33% 
200% - 133,33% = 66,67% ou 0,6667
10
4
+ 
12
5
-
3
6
= 250% + 240% - 50% = 440% ou 4,4
Professor Hermínio Silva 43
EXEMPLO
Lúcio comprou duas pizzas pequenas, uma de
calabresa, outra de frango com catupiri. Da
primeira, comeu metade e, da segunda,
conseguiu comer apenas a sexta parte. Que
fração representa a quantidade total de pizzas
que Lúcio comeu, considerando que as pizzas
possuem o mesmo tamanho?
Professor Hermínio Silva 44
EXEMPLO
Solução:
Basta observar que a metade é representada
pela fração um meio (1/2) e que a sexta parte é
representada por um sexto (1/6). Somando essas
frações, teremos a quantidade ingerida por
Lúcio.
1
2
+
1
6
= 50% + 16,66% = 66,66%
Professor Hermínio Silva 45
EXEMPLO
Pelo primeiro passo, teremos: MMC (2,6) = 6. De 
fato,
2, 6| 2
1, 3| 3 
1, 1| 6
Professor Hermínio Silva 46
EXEMPLO
1
2
+ 
1
6
= 
3
6
+ 
1
6
= 
4
6
dividindo ambos por 2 
Logo, Lúcio comeu quatro sextos, número que,
simplificado, é equivalente a dois terços (2/3) da
quantidade total de pizza disponível.
Professor Hermínio Silva 47
MULTIPLICAÇÃO/DIVISÃO
120 x 5 = 600
36 x 12 = 432
3,6 x 2,8 = 36 x 28 = 10,08
0,5 x 6,14 = 614 x 0,5 = 3,07
2
7
x 
5
4
= 
10
28
= 0,2857 x 1,25 = 0,3571 ou 35,71%
Professor Hermínio Silva 48
MULTIPLICAÇÃO/DIVISÃO
8 ÷ 2 = 4
9 ÷ 5 = 1,8
10,5 ÷ 1,5 = 105 ÷ 15 = 7
8
3
÷
5
6
= 2,666666 ÷ 0,833333 = 3,2
Professor Hermínio Silva 49
EXERCÍCIO
1)Mariana comprou 3 canetas e uma lapiseira, 
gastando ao todo 60 reais. A lapiseira custou 24 
reais. Quanto custou cada caneta, se elas tem o 
mesmo preço?
Professor Hermínio Silva 50
EXERCÍCIO
Mariana comprou 3 canetas e uma lapiseira, gastando no total 60 reais, 
sabendo que a lapiseira custa 24, obteremos a seguinte equação
3C + 1L = 60
3C + 24 = 60
3C = 60 – 24
3C = 36
CADA C = 12
1L=24 então: 60-24=36 ÷ 3C = 1 C = 12
3 Canetas + 1 Lapiseira = 60 Reais
3 Canetas + 24 Reais = 60 Reais
3 Canetas = 60 - 24 Reais
3 Canetas = 36 Reais
1 Caneta = 36/3 Reais ou 12 Reais, sendo assim:
Cada caneta custa 12 Reais
Professor Hermínio Silva 51
EXERCÍCIO
2) Se ao dobro de um número natural 
adicionarmos 135, vamos obter 503. Qual o 
número procurado?
Solução:
2x+135=503
2x=503-135
2x=368
x=368/2
x=184
Professor Hermínio Silva 52
EXERCÍCIO
3) Duas pessoas têm juntas 70 anos. Subtraindo-
se 10 anos da idade da mais velha e
acrescentando-se os mesmos 10 anos à idade da
mais jovem, as idades ficam iguais . Qual é a
idade de cada pessoa?
Professor Hermínio Silva 53
EXERCÍCIOX + Y = 70
X -10 = y + 10
x - y = 10 + 10
x -y = 20
{ x + y = 70
{ x -y = 20
2x = 90
x = 90/2
x = 45
substituindo
x + y = 70
45 + y = 70
y = 70- 45
y = 25
Portanto as idades são: 25 e 45
Professor Hermínio Silva 54
EXERCÍCIO
4) Numa partida de basquete, Junior fez o triplo
dos pontos feitos por Manuel. Os dois juntos
marcaram 52 pontos . Quantos pontos Júnior
marcou nessa partida?
Professor Hermínio Silva 55
EXERCÍCIO
J + M = 52
J = 3M
3M + M = 52
4M = 52
M = 13
J = 3M = 3*13 = 39 PONTOS 
Então: J fez 39 e M fez 13 
Professor Hermínio Silva 56
MMC e MDC
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O mínimo múltiplo comum entre dois números é
representado pelo menor valor comum
pertencente aos múltiplos dos números.
Observe o MMC entre os números 20 e 30:
M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ....
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...
O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60
Professor Hermínio Silva 57
MMC e MDC
• Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum entre dois números é
representado pelo maior valor comum
pertencente aos divisores dos números. Observe
o MDC entre os números 20 e 30:
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.
Professor Hermínio Silva 58
MMC e MDC
DICA
Você já observou como o cálculo do Mínimo Múltiplo
Comum (MMC) e do Máximo Divisor Comum (MDC) são
semelhantes? Existem alguns métodos para encontrar o
MMC e o MDC, mas ambos podem ser resolvidos através
da fatoração. Então por que não utilizarmos um
único cálculo para determinar, simultaneamente, o
MMC e o MDC? Através de alguns exemplos, vamos
demonstrar como isso pode ser feito!
Professor Hermínio Silva 59
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/maximo-divisor-comum-mdc.htm
MMC e MDC
Primeiramente, você lembra como é realizada a fatoração de
dois ou mais números? No 1° passo, fazemos um grande traço
vertical. À esquerda desse traço colocamos os números que
desejamos fatorar e, à direita, escrevemos o menor número
primo que divide algum dos números que estão à esquerda.
No 2° passo, tentamos dividir os números à esquerda poraquele que está à direita. Se o número for divisível,
colocaremos seu quociente na linha de baixo; se não for,
repetiremos o mesmo número na linha inferior. Repetimos
esse processo até que restem apenas números “1” no lado
esquerdo do traço.
Professor Hermínio Silva 60
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/fatoracao-numerica.htm
MMC e MDC
MMC e MDC (12, 15, 30) 
Professor Hermínio Silva 61
MMC e MDC
• Para calcular o mínimo múltiplo comum entre 12, 15 e
30, basta multiplicar os números que apareceram à
direita do traço:
• MMC (12, 15, 30) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
• Para calcular o máximo divisor comum entre 12, 15 e 30,
devemos ver qual foi o número à direita do traço que
dividiu todos os números à esquerda de uma vez só.
Nesse caso, apenas o número 3 dividiu todos os números,
então:
• MDC (12, 15, 30) = 3
Professor Hermínio Silva 62
MMC e MDC
Professor Hermínio Silva 63
MMC e MDC
Através da fatoração de 15 e 20, encontramos o
MMC (15, 20) = 2. 2. 3. 5 = 60 e o MDC (15, 20) =
5, pois apenas o número 5 divide os dois
números. Fatorando 24, 12 e 10, encontramos o
MMC (24, 12, 10) = 2. 2. 2. 3. 5 = 120 e o MDC
(24, 12, 10) = 2. Analogamente, podemos
verificar que o MMC (8, 20) = 2. 2. 2. 5 = 40 e o
MDC (8, 20) = 2. 2 = 4, pois o 2 divide ambos os
números duas vezes.
Professor Hermínio Silva 64
MMC e MDC
Calcule
a. MMC e MDC (80, 60, 42)
80, 60, 42 2
40, 30, 21 2
20, 15, 21 2
10, 15, 21 2
5, 15, 21 3 
5, 5, 7 5
1, 1, 7 7
1, 1. 1 
MMC = 24 X 3 X 5 X 7 = 1680
MDC = 2
b. MMC e MDC (650, 320, 140)
MMC = 145.600
MDC = 2 x 5 = 10 
c. MMC e MDC (825, 542, 367)
825, 542, 367 2
825, 271, 367 3
275, 271, 367 5 
55, 271, 367 55
1, 271, 367 271
1, 1, 367 367
1, 1, 1
MMC = 2 X 3 X 5 X 55 X 271 X 367 = 164.104.050
MDC = NÃO TEMOS 
Professor Hermínio Silva 65
EXERCÍCIO
(Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora
de televisão, duas luzes “piscam” com
frequências diferentes. A primeira “pisca” 15
vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes
por minuto. Se num certo instante, as luzes
piscam simultaneamente, após quantos
segundos elas voltarão a “piscar
simultaneamente”?
Professor Hermínio Silva 66
EXERCÍCIO
Resolução:
Se uma luz pisca 15 vezes por minuto, ela piscará uma 
vez a cada 4 segundos. 
Se uma luz pisca 10 vezes por minuto, ela piscará uma 
vez a cada 6 segundos. 
Se acharmos m.m.c de 4 e 6, encontraremos 12 , ou 
seja, elas voltarão a piscar juntas após 12 segundos.
4,6 2 
2,3 2
1,3 3
1,1 M.M.C = 2 x 2 x 3 =12 
Professor Hermínio Silva 67
EXERCÍCIO
Professor Hermínio Silva 68
EXERCÍCIO
Certo fenômeno raro ocorre de 12 em 12 anos.
Outro fenômeno, mais raro ainda, ocorre de 32
em 32 anos. Se em 2016 os dois eventos
ocorreram juntos, em qual ano eles irão ocorrer
juntos novamente?
Professor Hermínio Silva 69
EXERCÍCIO
Resolução: 
MMC (Menor Múltiplo Comum) de 32 e 12
32, 12 l 2
16, 6 l 2
8 , 3 l 2
4 , 3 l 2
2 , 3 l 2
1 , 3 l 3
1 , 1
2.2.2.2.2.3 = 96
m.m.c. de 32 e 12 = 96 anos
2016 +96 = 2112
Professor Hermínio Silva 70
POTENCIALIZAÇÃO
A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é
representada da seguinte forma:
an = a . a . a . a …
a = base
n = expoente
a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como 
resultado a potência
Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo:
⇒ 23 = 2 . 2 . 2 = 8
2 = base
3 = expoente
2 . 2 . 2 = produto de fatores
8 = potência
Professor Hermínio Silva 71
POTENCIALIZAÇÃO
1. 63 = 6 x 6 x 6 = 216
2. 0,34 = 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,0081 ou 3^4=0,0081
3 x 3 x 3 x 3 = 81
0,0081
3. 2-3 = 1 / 23 = 1/8 = 0,125
4. 6−2 = 1 / 62 = 1 / 36 = 0,0277777
5. ( 4 )
−2
= 1 / 4
2
= entra na regra de extrair um fator de um radical = 0,25
( 𝟐)−𝟐 = 1 / (2)^2 = 1 / 4 = 0,25 ou pode chamar de 25%
6. (3/4) 2 = 75^2=5625/100=56,25% ou 0,75^2=0,5625
7. (32)3 = 36 = 3x3x3x3x3x3=729
8. (9)3 = 9 x 9 x 9 = 729
9. -32 = -3 x -3 = 9
10. (-3)2 = -3 x -3 = 9
11 (−3)3 = -3 x -3 x -3 = -27
12 (+3)3 = +3 x +3 x +3 = +27
Professor Hermínio Silva 72
POTENCIALIZAÇÃO
103 = 1 000
108 = 1 000 000 00=
100 = 1 
541 = 54
Professor Hermínio Silva 73
POTENCIALIZAÇÃO
Multiplicação de potências diferentes e de bases 
iguais:
Para multiplicar potências de bases iguais 
devemos manter a base e somar os expoentes.
34 x 33 = 34 + 3 = 37
Professor Hermínio Silva 74
POTENCIALIZAÇÃO
Multiplicação de potências iguais e bases 
diferentes:
Nesse caso devemos manter o expoente e 
multiplicar as bases
22 x 52 = (2 x 5)2 = 102
Professor Hermínio Silva 75
POTENCIALIZAÇÃO
Multiplicação de potências iguais com bases 
iguais:
Diante dessa situação poderemos utilizar 
qualquer um dos dois métodos apresentados 
acima.
22 x 22 = 22+2 = 24 = 16
22 x 22 = (2 + 2)2 = (4)2 = 16
Professor Hermínio Silva 76
POTENCIALIZAÇÃO
Multiplicação de potências diferentes com bases 
iguais:
Devemos resolver as potências separadamente e 
multiplicar seus produtos.
33 x 43 = 27 x 64 = 1728 ou 12^3=1728
Professor Hermínio Silva 77
POTENCIALIZAÇÃO
Calcule (2 + 3)2
Quadrado do primeiro, mais duas vezes o 
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do 
segundo.
22+ 2 x 2 x 3 + 32
4 + 12 + 9 = 25
Ou poderia fazer assim:
(2 + 3)2 = 52 = 25
Professor Hermínio Silva 78
POTENCIALIZAÇÃO
Divisão de potências diferentes e bases iguais:
Para dividir potências diferentes e de bases 
iguais devemos manter a base e subtrair os 
expoentes.
34 ÷ 33 = 34 - 3 = 31
Professor Hermínio Silva 79
POTENCIALIZAÇÃO
Divisão de potências iguais e bases diferentes:
Para dividir potências iguais e de bases 
diferentes devemos dividir as bases e manter o 
expoente.
102 ÷ 52 = (10 ÷ 5)2 = 22
Professor Hermínio Silva 80
POTENCIALIZAÇÃO
Divisão de potências iguais com bases iguais:
Diante dessa situação poderemos utilizar 
qualquer um dos dois métodos apresentados 
anteriormente.
22 ÷ 22 = 22-2 = 20 = 1
22 ÷ 22 = (2 ÷ 2)2 = (1)2 = 1
Professor Hermínio Silva 81
POTENCIALIZAÇÃO
Divisão de potências diferentes com bases 
diferentes:
Devemos resolver as potências separadamente e 
dividir seus produtos.
25 ÷ 42 = 32 : 16 = 2
Professor Hermínio Silva 82
POTENCIALIZAÇÃO
Não existem regras para somar ou subtrair 
potências. Devemos resolvê-las separadamente 
para depois somar ou subtrair. Veja:
33 + 43 = 27 + 64 = 91
25 - 42 = 32 - 16 = 16
Professor Hermínio Silva 83
EXERCICIO
54 x 53 = 78.125 ou 5x5x5x5x5x5x5= 78.125 
32 x 82 = 576 3x3x8x8 
33 x 33 = 27 x 27 = 729
72 x 23 = 49 x 8 = 392
24 ÷ 23 = 24-3 = 21 16 ÷ 8 = 2
82 ÷ 42 = 64 ÷ 16 = 4
44 ÷ 44 = 256 ÷ 256 = 1
62 ÷ 23 = 36 ÷ 8 = 4,5
42 + 53 = 16 + 125 = 141
33 - 42 = 27 – 16 = 11
Professor Hermínio Silva 84
EXERCICIO
Um número natural é expresso por x + 14. como 
podemos escrever o seu antecessor?
Resposta:
X + 13
Professor Hermínio Silva 85
EXERCICIO
Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos sucessivamente, as seguintes 
operações:
• Retiramos 70 litros
• Colocamos 38 litros
• Retiramos 193 litros
• Colocamos 101 litros
• Colocamos 18 litros
Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?
Resposta: 
400 – 70 = 330
330 + 38 = 368 
368 – 193 = 175
175 + 101 = 276
276 + 18 = 294
Professor Hermínio Silva 86
Lembrar do 
efeito cascata
EXERCICIO
Em uma escola estudam 1920 alunos distribuídos 
igualmente em 3 períodos: manhã, tarde, noite. 
Quantos alunos estudam em cada sala, por 
período, se há 16 salas de aula?
Resposta: 
1920 alunos ÷ 16 salas = 120 nas 16 salas
120 alunos ÷ 3 turnos = 40 alunos em cada sala
(1920 ÷ 3) ÷ 16 = 40
Professor Hermínio Silva 87
EXERCICIO
Observe como são curiosos os resultados das 
expressões a seguir:
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
O resultado da expressão 12345678 x 9 + 9 é?
Resposta: 
111 111 111
Professor Hermínio Silva 88
EXERCICIO
60.000,00 serão pagos em 60 parcelas constantes
de 1.000,00 mais jurosde 10% sobre o saldo
devedor. Baseado nisso, calcule a parcela de nº 51.
Reposta: como ele quer a parcela 51 é porque
pagou 50. se pagou 50, faltam 10 de 1.000 =
10.000 (esse é o saldo devedor no tempo 50),
então 10.000,00 x 10% = juros de 1.000,00 e
prestação de nº 51 será = 1.000,00 de principal +
1.000,00 de juros = 2.000,00
Professor Hermínio Silva 89
TRATA-SE DE UMA 
P.A. DE RAZÃO “r” 
CONSTANTE
EXERCICIO
Quem pega 10 mil para pagar em 10 vezes a juros de 10% por mês,
calcule a 5ª. Prestação.
Resposta:
Quem deseja encontrar a 5ª. Prestação é porque pagou 4.
Então, de 10 faltam 6.
6 de 1000 = 6000 x 10% = 600 de juros sobre o saldo devedor de 6 mil
Portanto, o valor da prestação será: 1000 + 600 = 1600
Professor Hermínio Silva 90
TRATA-SE DE UMA 
P.A. DE RAZÃO “r” 
CONSTANTE
EXERCICIO
Comprei um imóvel de 54m2 por 120 mil a juros de 1% ao mês
por 30 anos (30 x 12 meses = 360 meses). Você consegue
demonstrar para um futuro mutuário qual será o valor da
prestação dele de nº 301?
Resposta: dividir 120.000 por 360 = valor da amortização de
principal que será constante = 333,33
Quem deseja encontrar a 301ª. Prestação é porque pagou 300.
Então, 360-300 faltam 60 prestações.
60 de 333,33 = 20.000 x 1% = 200 de juros sobre o saldo devedor
de 20 mil
Portanto, o valor da prestação será: 333,33 + 200 = 533,33
Professor Hermínio Silva 91
TRATA-SE DE UMA 
P.A. DE RAZÃO “r” 
CONSTANTE
SAC
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Por 2: quando ele é par = 14, 356
Por 3: quando a soma dos valores absolutos for divisível 
por 3 = 252 = 2+5+2=9÷3=3
Por 4: quando os 2 últimos algarismos forem 0 ou 
formarem um número divisível por 4 = 500, 732, 812
Por 5: quando termina em 0 ou 5 = 780, 935
Por 6: quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo = 
312÷2=156 e 732÷3=104
Por 9: quando a soma dos valores absolutos for divisível 
por 9 = 2538 ÷ 9 = 282 e 7560 ÷ 9 = 840
Por 10: quando termina em 0 = 1870, 540, 6000
Professor Hermínio Silva 92
EXERCÍCIOS
Calcular o MDC entre 12 e 18
Fatorar 12 e 18
12, 18 2
6 9 2
3 9 3
1 3 3
1 1
Professor Hermínio Silva 93
MDC = 2 x 3 = 6
MMC = 2 x 2 x 3 x 3 = 36
EXERCÍCIOS
Calcular o MDC entre 6 e12 
Fatorar 6 e 12
6, 12 2
3 6 2
3 3 3
1 1
Professor Hermínio Silva 94
MDC = 2 x 3 = 6
MMC = 2 x 2 x 3 = 12
EXERCÍCIOS
Calcular o MDC entre 12 e 20
Fatorar 12 e 20
12, 20 2
6 10 2
3 5 3 
1 5 5
1 1
Professor Hermínio Silva 95
MDC = 2 x 2 = 4
MMC = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
EXERCÍCIOS
Calcular o MDC entre 12, 20 e 24
Fatorar 12 , 20 e 24
12, 20, 24 2
6 10 12 2
3 5 6 2
3 5 3 3
1 5 1 5
1 1 1
Professor Hermínio Silva 96
MDC = 2 x 2 = 4
MMC = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 
120
EXERCÍCIOS
Calcular o MDC entre 6, 12 e 15
Fatorar 6, 12 e 15
6, 12, 15 2 
3 6 15 2
3 3 15 3
1 1 5 5
1 1 1 
Professor Hermínio Silva 97
MDC = 3
MMC = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
EXERCÍCIOS
Calcular o MDC entre 36 e 90
Fatorar 36 e 90
36, 90 2
18 45 2
9 45 3
3 15 3
1 5 5 
1 1 
Professor Hermínio Silva 98
MDC = 2 x 3 x 3 = 18
MMC = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 
180
IMPORTANTE!
Professor Hermínio Silva 99
MDC de dois ou mais números, quando 
fatorados, é o produto dos fatores comuns a 
eles, cada um elevado ao menor expoente.
• MDC. dados dois ou mais números, se um 
deles é divisor de todos os outros, então ele é 
o MDC dos números dados.
IMPORTANTE!
Professor Hermínio Silva 100
MDC usar quando desejamos dividir algo em 
partes iguais, sendo a parte maior possível. 
MMC usar quando desejamos saber a próxima 
repetição de um determinado acontecimento.
EXERCÍCIOS
Professor Hermínio Silva 101
(UEFS). A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga
de 6 em 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide
sempre a cada “x” dias, pode-se concluir que o valor de “x” é:
Resolução:
Temos que determinar a repetição simultânea das folgas, portanto 
vamos determinar o mínimo múltiplo comum dos períodos de folga. 
Então, MMC(4,6) = 12, ou seja, a cada 12 dias as folgas irão coincidir. 
4, 6 2
2, 3 2
1, 3 3
1, 1 MMC = 2 x 2 x 3 = 12
EXERCÍCIOS
Professor Hermínio Silva 102
EXERCÍCIOS
Professor Hermínio Silva 103
(PUC-SP). Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-a em quadrados , como
se fosse um tabuleiro de Xadrex. A parede mede 440 centímetros por 275 centímetros. Qual o
menor número de quadrados que ele pode colocar na parede?
Resolução:
Devemos achar o máximo divisor comum entre essas dimensões. Essa é a única forma de achar a 
dimensão do lado de cada quadrado , que caberá exatamente na parede sem sobra de espaço.
MDC (275, 440)
275, 440 2
275, 220 2
275, 110 2
275, 55 5
55, 11 5
11, 11 11
1, 1 
MDC = 5 x 11 = 55
EXERCÍCIOS
Professor Hermínio Silva 104
Saem do porto de Santos, navios Argentinos de 6 
em 6 dias. Os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num 
dia saírem dois navios desses países que tempo 
demorará para saírem juntos outra vez?
4, 6 2
2, 3 2
1, 3 3
1, 1 MMC = 2 x 2 x 3 = 12
EXERCÍCIOS
Professor Hermínio Silva 105
Três locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e 60 minutos respectivamente. Se coincidir das 
três apitarem juntas numa vez, quantas horas levará para apitarem juntas novamente?
MMC ENTRE 45, 50, 60
45, 50, 60 10
45, 5, 6 5
9, 1, 6 3
3, 1, 2 3
1, 1, 2 2
1, 1, 1 
MMC = 10 x 5 x 3 x 3 x 2 = 900 minutos 
Se 1 hora tem 60 minutos
Quantas horas tem 900 minutos?
1 – 60
X – 900
60x = 900 x 1
X = 900 / 60
X = 15 horas
EXERCÍCIOS
Professor Hermínio Silva 106
Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu 
cargo: os senadores, 6 anos, e os deputados 3 anos. Nessa república houve 
eleição para os três cargos em 1989, a próxima eleição simultânea para esses 
cargos ocorrerá, novamente, em:
MMC ENTRE 4, 6, 3
4, 6, 3 2
2, 3, 3 2
1, 3, 3 3
1, 1, 1 
MMC = 2 x 2 x 3 = 12 anos
Então, 1989 + 12 anos = 2001
EXERCÍCIOS
Professor Hermínio Silva 107
Três peças de tecidos iguais possuem respectivamente 48m, 60m, e 72m,
precisam ser cortadas em pedaços iguais e do maior tamanho possível. O
tamanho de cada pedaço e o número de pedaços, são respectivamente iguais
a: MMC ENTRE 48, 60, 72
48, 60, 72 2
24, 30, 36 2
12, 15, 18 2
6, 15, 9 2
3, 15, 9 3
1, 5, 3 3
1, 5, 1 5
1, 1, 1 
MMC = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 720
MDC = 2 x 2 x 3 = 12 m, portanto, o tamanho de cada pedaço = 12m
E 48m + 60m + 72m = 180m que divididos por 12m teremos 15 pedaços 
ANOTAÇÕES
RADICIAÇÃO
A radiciação é o processo de se extrair raízes de um
número. Representamos por ,
onde 3 é denominado índice da raiz e x é chamado
radicando e z é definido como a raiz
Professor Hermínio Silva 108
𝟗 = 𝟗
𝟏
𝟐 = 3
𝟑
𝟖 = 𝟖
𝟏
𝟑 = 2
Professor Hermínio Silva 109
RADICIAÇÃO
RADICIAÇÃO - EXERCICIO
Calcule a raiz quadrada de:
25
49
121
148
2704
Professor Hermínio Silva 110
EXERCICIO
Calcule a raiz quadrada de:
25 = 5
49 = 7
121 = 11
148 = 12,17
2704 = 52
Professor Hermínio Silva 111
EXERCICIO
Calcule a raiz quadrada de um número grande, fatoramos esse 
número.
180 = fatorar o 180
180 por 2 = 90
90 por 2 = 45
45 por 3 = 15
15 por 3 = 5
5 por 5 = 1 
Resultado: 22 x 32 x 51
180 = 22 x 32 x 51 = 2 x 3 5 = 6 5
Professor Hermínio Silva 112
PORCENTAGEM
A porcentagem é muito usada para se calcular
descontos e lucros. O cálculo da porcentagem é usado
diariamente por todos, desde a compra de roupas até
financiamentos de carros ou casas. Quando se
vai comprar algo e lá tem “desconto de 25%” é
necessário entender que este valor deve ser
multiplicado pelo valor do objeto para se saber o
resultado do desconto. O mesmo se faz para se obter o
lucro ou para medir taxas de juros.
Professor Hermínio Silva 113
PORCENTAGEM
Para calcular a porcentagembasta multiplicar o 
valor desejado pelo percentual que se quer.
• Exemplo:
Quanto é 25% de 600
V = 600*25/100
V = 600*0,25 = 150
Professor Hermínio Silva 114
PORCENTAGEM
Vendendo um ingresso que custou R$40,00 com um acréscimo de 20% 
temos: 40 * 1,2 = R$48,00
O fator de multiplicação pode ser usado para o acréscimo e decréscimo
no valor do produto.
Professor Hermínio Silva 115
MARK-UP 
MULTIPLICADOR 
FAZ OS VALORES 
AUMENTAREM
PORCENTAGEM
Precisar entender que no exemplo anterior ao
vender por R$ 48,00, aquilo que custou R$
40,00, ou seja, acrescentando 20% o lucro não
será 20% e sim 16,67%. ok? Assunto para um
futuro bem próximo
Todo empreendedor ao vender um produto ou serviço tem que ter 
noção desse assunto. 
VOCÊS EMPREENDEDORES VÃO ...
Professor Hermínio Silva 116
PORCENTAGEM
Todo empreendedor ao vender um produto ou serviço tem que ter 
noção desse assunto. 
VOCÊS EMPREENDEDORES VÃO ...
Professor Hermínio Silva 117
CUIDADO COM ESSE 
TIPO DE CÁLCULO
PORCENTAGEM
Todo empreendedor ao vender um produto ou serviço tem que ter 
noção desse assunto. 
VOCÊS EMPREENDEDORES VÃO ...
Professor Hermínio Silva 118
CÁLCULO CORRETO
PORCENTAGEM
Comprou 500 de tecido e vendeu por 800 na feira. 
Qual o lucro? = 300. calcula assim: 300 ÷ 800 x 100 = 
37,5% de lucro. Cuidado! Muitos calculam assim: 
300 ÷ 500 x 100 = 60% de lucro (não é verdade)
Se acrescentarmos 300% em cima dos 500 de 
compra qual o lucro? 500 + 300% = 1500 + = 2.000 
2.000 – 500 = 1.500 ÷ 2.000 x 100 = 75%
Desconto de 75% para um cliente VIP (2.000 – 75%) 
= sobram 500 – custo 500 = zero 
Todo empreendedor ao vender um produto ou serviço tem que ter 
noção desse assunto. 
VOCÊS EMPREENDEDORES VÃO ...
Professor Hermínio Silva 119
PORCENTAGEM
Observe que estamos 
aplicando o uso da 
porcentagem dentro dos 
negócios o que, para nós, é 
mais interessante
Todo empreendedor ao vender um produto ou serviço tem que ter 
noção desse assunto. 
VOCÊS EMPREENDEDORES VÃO ...
Professor Hermínio Silva 120
PORCENTAGEM
Decréscimo Fator de 
Multiplicação
10% 0,9
15% 0,85
18% 0,82
20% 0,8
63% 0,37
86% 0,14
100% 0
Descontando 10% no valor de R$30,00 temos: 30 * 0,90 = R$27
Professor Hermínio Silva 121
PORCENTAGEM
Quanto é ?
25% de 600
10% de 480
8% de 140
Professor Hermínio Silva 122
PORCENTAGEM
Quanto é ?
25% de 600 = 150
10% de 480 = 48
8% de 140 = 11,20
Professor Hermínio Silva 123
PORCENTAGEM
1) Carlos jogou fora 20% das 10 laranjas que ele tinha. Quantas
laranjas foram pro lixo? 10 x 20% = 2
2) José foi para o supermercado com R$ 350 e gastou 75% deste
valor, quanto José gastou? 350 x 75% = 262,50
3) Se um produto que custava 60 reais, teve 15% de acréscimo,
qual valor do produto? 60 x 1,15 = 69
4) Bento vai comprar uma TV que custa R$ 900, mas se ele
comprar à vista terá um desconto de 20%, qual será o valor
da TV? 900 x 0,80 = 720
Professor Hermínio Silva 124
5) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em
Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de
Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em
15% do lucro obtido com a venda das ações.
Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações
que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à
Receita Federal o valor de
a) R$ 900,00.
b) R$ 1 200,00. resposta correta
c) R$ 2 100,00.
d) R$ 3 900,00.
e) R$ 5 100,00.
Professor Hermínio Silva 125
(34.000 – 26.000) = 8.000
8.000 x 15% = 1.200
6) Das 1350 pessoas que vivem em um condomínio
residencial, sabe-se que 20% têm, cada uma, um único
animal de estimação; a terça parte do número de
pessoas restantes tem, cada uma, exatamente três
animais de estimação; os demais moradores não têm
quaisquer animais de estimação.
Nessas condições, o total de animais de estimação dos
moradores desse condomínio é:
a) 900
b) 920
c) 950
d) 1280
e) 1350 (1350 x 20% =270 p 1 a e 1080 /3 =360)
Professor Hermínio Silva 126
(1350 x 20% x 1) + (1350 x 
0,8 ÷ 3 x 3) = 1.350
Supondo que sua empresa de tecnologia tenha 
os seguintes clientes e valores de manutenções 
mensais pelo uso de software desenvolvidos por 
você.
ABC LTDA 1.400,00
XYZ LTDA 600,00
AAA S.A. 2.000,00
Qual o % de cada um no faturamento total?
Professor Hermínio Silva 127
1400 ÷ 4.000 x 100 = 35% 
600 ÷ 4.000 x 100 = 15%
2000 ÷ 4.000 x 100 = 50%
ABC LTDA 1.400,00
XYZ LTDA 600,00
AAA S.A. 2.000,00
Qual o % de cada um no faturamento total?
Professor Hermínio Silva 128
1400 ENTER 4.000 ÷ 100 x = 35%
600 ENTER 4.000 ÷ 100 x = 15%
2000 ENTER 4.000 ÷ 100 x = 50%
EQUAÇÃO 1° GRAU
Equação é toda sentença matemática aberta que
exprime uma relação de igualdade. A palavra
equação tem o prefixo EQUA, que em latim quer
dizer "igual". Exemplos:
• 2x - 8 = 0 = 2x = 8 x = 8÷2 x=4
• 5x - 4 = 6x + 8 = 5x – 6x = 8 + 4 = -x=12 (x-1)= x = -
12
• 3a - b - c = 0
Professor Hermínio Silva 129
EQUAÇÃO 1° GRAU
As equações do primeiro grau são aquelas que
podem ser representadas sob a forma
ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com
“a” diferente de 0, e x é a variável.
Professor Hermínio Silva 130
EXEMPLO
Resolver passo a passo a equação 4x + 2 = 8 – 2x
1° passo - 4x + 2x = 8 – 2
2° passo 6X = 6
3° passo x = 6
6
4° passo x = 1
Professor Hermínio Silva 131
EXERCICIO – PARA RESOLVER
a) 10x + 16 = 14x + 8
b) 2(x -3) = - 3(x - 3)
c) 4(5x -3) - 64(3 -x) - 3(12x - 4) = 96
d) 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
Professor Hermínio Silva 132
ANOTAÇÕES
EXERCICIO – PARA RESOLVER
a) 10x + 16 = 14x + 8
10x-14x=8-16
-4x=-8 (x-1)
4x=8
X=2
b) 2(x -3) = - 3(x - 3)
2x-6=-3x+9
2x+3x=9+6
5x=15
X=3
c) 4(5x -3) - 64(3 -x) - 3(12x - 4) = 96
20x – 12 -192 +64x -36x + 12 = 96
20x + 64x-36x = 96 + 192 + 12 – 12
84x – 36x = 288
48x = 288
X = 288 / 48
X = 6
d) 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
-80x-20=5x-8x+2
-80x-5x+8x=2+20
-77x=22
Professor Hermínio Silva 133
SERÁ QUE A RESPOSTA 
ESTÁ CORRETA?
CUIDADO!
EXERCICIO – PARA RESOLVER
d) 10 – 1(8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
10 – 8x + 2 = 5x -8x +2
- 8x – 5x + 8x = 2 -10 – 2
- 5x = - 10 multiplicando por -1 
5x = 10
x = 10 ÷ 5
x = 2
Professor Hermínio Silva 134
SERÁ QUE A RESPOSTA 
ESTÁ CORRETA?
EXERCICIO – PARA CASA
Professor Hermínio Silva 135
http://1.bp.blogspot.com/-bDoN3QaHC5A/U4Co5aW_IMI/AAAAAAAABTc/r8bE-Txh_eI/s1600/equac.png
EXERCICIO
a)Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igual ao seu triplo menos 19.
2x+5=3x-19
2x-3x=-19-5
-x=-24 multiplicar por menos 1
X=24
b) O dobro de um número, mais cinco unidades é 27. Qual é esse número?
2x+5=27
2x=27-5
2x=22
X=11
c) O triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. Qual é 
esse número?
3x + 1/3x=60
9x + 1x= 180 de onde x=18
Professor Hermínio Silva 136
EXERCICIO
d) O triplo de um número aumentado de sua 
terça parte é igual a 60. Qual é esse número?
3x + 
𝟏
𝟑
x = 60
3
9x + 1x= 180 de onde x=18
3 x 18 + 
𝟏𝟖
𝟑
= 
54 + 6 = 60 
Professor Hermínio Silva 137
SISTEMA EQUAÇÃO 1° GRAU
Para encontrarmos numa equação de 1º grau
com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso
relacionar essa equação com outra ou outras
com as mesmas incógnitas. Essa relação é
chamada de sistema.
Professor Hermínio Silva 138
SISTEMA EQUAÇÃO 1° GRAU
Um sistema de equação de 1º grau com duas
incógnitas é formado por: duas equações de 1º
grau com duas incógnitas diferentes em cada
equação. Veja um exemplo:
Professor Hermínio Silva 139
SISTEMA EQUAÇÃO 1° GRAU
Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas
equações, isolar uma das incógnitas e substituir
na outra equação, veja como:
Professor Hermínio Silva 140
SISTEMA EQUAÇÃO 1° GRAU
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:
x + y = 20
x = 20 – y
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.
3x + 4 y = 72
3 (20 – y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72
-3y + 4y = 72 – 60
y = 12
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação
x = 20 – y.
x = 20 – 12x = 8
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Professor Hermínio Silva 141
SISTEMA EQUAÇÃO 1° GRAU
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal
forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso
aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas
equações ou apenas uma equação por números inteiros para que
a soma de uma das incógnitas seja zero.
Dado o sistema:
Professor Hermínio Silva 142
SISTEMA EQUAÇÃO 1° GRAU
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma
das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a
primeira equação por – 3.
Agora, o sistema fica assim:
Professor Hermínio Silva 143
SISTEMA EQUAÇÃO 1° GRAU
Adicionando as duas equações:
- 3x – 3y = - 60
+ 3x + 4y = 72
y = 12
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
x = 8
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Professor Hermínio Silva 144
EXERCICIO - PARA RESOLVER
1) 8x - 2y = 4
3x + 2y = 7
11 X = 11 
X = 1
8 x 1 – 2Y = 4
8 – 2Y = 4 
-2Y = 4 – 8 
-2Y = -4
Y = 2
2) x - 3y = 1 x ( - 2 )
2x +5y = 13
-2x + 6y = -2 
2x + 5y = 13
11y = 11
Y = 1
X – 3 = 1
X = 4
3) 4x + 2y = 16
5x - 3y = 9
9x - y = 25
Os números que multiplicados por 9 menos o y = 25
Os números = 3 e 2
9 x 3 – 2 = 27 – 2 = 25
4 x 3 + 2 x 2 = 16
5 x 3 – 3 x 2 = 9
Professor Hermínio Silva 145
EXERCICIO - PARA RESOLVER
3) 4x + 2y = 16 multiplicando por -1 
5x - 3y = 9
-4x – 2y = -16
+5x – 3y = 9 
X – 5y = - 7
X = -7 + 5y
4(-7+5y) + 2y = 16
-28 + 20y + 2y = 16
-28 + 22y = 16
22y = 16+28
22y = 44
Y = 2
4x+4=16
4x=16-4
4x=12
X=3
Professor Hermínio Silva 146
EXERCICIO
1) João gosta muito de animais de estimação e
de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe
quantos cachorros e quantos gatos ele tinha.
Prontamente João respondeu com o seguinte
enigma: “A soma do dobro do número de
cachorros e do triplo do número de gatos é igual
a 17. E a diferença entre o número de cachorros
e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue
desvendar esse enigma e descobrir quantos
cachorros e quantos gatos João possui?
Professor Hermínio Silva 147
EXERCICIO
x=cachorro resposta = 4
Y=gato resposta=3
2x+3y=17 1ª. Equação
x-y=1 (-2) 2ª. Equação multiplicando a 2ª por -2 teremos
2x+3y=17
-2x+2y=-2
-------------
5y=15
y=3
x-y=1
x-3=1
x=1+3
x=4
S(4,3)
Portanto, ele tem 4 cachorros e 3 gatos, total de 7 animais de estimação.
Professor Hermínio Silva 148
EXERCICIO
2) Em sua rua, André observou que havia 20
veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao
abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas.
Qual é a quantidade de motos e de carros
estacionados na rua de André?
Professor Hermínio Silva 149
EXERCICIO
X=motos
y=carros
X+y=20 (-4) 1ª. Equação que multiplicamos por -4 para facilitar os cálculos
2x+4y=54
-4x-4y=-80
2x+4y=54
---------------
-2x=-26 (-1)
2x=26
X=13
X+y=20
13+y=20
Y=20-13
Y=7
S=(13,7) portanto, existem 13 motos e 7 carros
Professor Hermínio Silva 150
EXERCICIO
3) Um aluno ganha 3 pontos por cada exercícios
que acerta e perde por 2 por exercícios que erra.
Ao final de 15 exercícios tinha 30 pontos.
Quantas questões ele acertou?
Se acertou 12 x 3 = 36
Se errou 3 x 2 = 6
36 – 6 = 30 pontos
(12,3)
Professor Hermínio Silva 151
EXERCICIO
X=ganha
Y=perde
3x-2y=30
X+y=15(2) multiplicamos por 2 na 2ª. Equação
3x-2y=30
2x+2y=30
-------------
5x=60
X=12
X+y=15
12+y=15
Y=3
S=(12,3), portanto, ele acertou 12 questões e errou 3 questões.
Professor Hermínio Silva 152
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
𝑎𝑥2 + bx + c = 0
• Certo comerciante tomou R$ 100,00 (cem reais),
emprestados, utilizou todo em mercadorias a as vendeu
para receber em duas parcelas, mensais, sendo a primeira
para trinta dias e a segunda para sessenta dias, sendo
cada uma no valor de R$ 60,00 (sessenta reais).
• Pergunta-se: qual a rentabilidade que o comerciante
auferiu por cada mês?
• Foi melhor do que ter aplicado em poupança a 0,50% ao
mês?
Professor Hermínio Silva 153
Podemos utilizar mais de uma forma para resolver a questão: 
 
1 – Através da função quadrática. 
Dada uma função quadrática os valores de x para os quais f(x) = 
0 são: 
 
Ou ainda: 
 
Professor Hermínio Silva 154
Professor Hermínio Silva 155
2 – Através da fórmula da taxa interna de retorno, podendo, se assim achar 
conveniente, utilizar calculadoras financeiras como HP-12C e até mesmo o EXCEL. 
 
CÁLCULO DA TIR (taxa interna de retorno) 
 n CFj 
 Cfo -  ⎯⎯⎯ = 0 
 n=1 n 
 (1 + i) 
Como resolver? 
 
RESOLUÇÃO 
Primeiramente elaboramos um fluxo de caixa, da seguinte forma. 
 T0 T1 T2 
-100 +60 +60 
 
Professor Hermínio Silva 156
T0 = Tempo inicial 
T1 = tempo no mês 1 
T2 = tempo no mês 2 
 
Através da função quadrática, levamos tudo para o tempo 2. Vejamos: 
100 (1+ i) ^2 = 60 (1 + i) ^ 1 + 60 
Podemos dizer que (1+i) = x 
E dividimos tudo por 10 
Teremos: 
 
10x^2 = 6x + 6 
10x^2 – 6x – 6 = 0 
Professor Hermínio Silva 157
 
Calculamos o 
Depois calculamos o x´e x´´ 
Iremos perceber que temos uma raiz positiva cujo resultado será = 1,1307 
Em seguida tiramos o 1 teremos: 0,1307 
Depois multiplicamos por 100, teremos: 13,07% essa é a resposta. 
 
Através do cálculo da TIR utilizando a HP12 C, teremos: 
 
100 CHS G CFO 
60 G CFJ 
60 G CFJ 
F IRR...13,07% 
 
Como as entradas possuem o mesmo valor, ou seja, 60 cada uma pode-se utilizar 
a calculadora HP12C na sua tecla PMT, vejamos: 
 
100 CHS PV 
2 n 
60 PMT 
i = 13,07 % a cada mês 
Professor Hermínio Silva 158
Se utilizarmos o EXCEL, teremos: 
FX 
Financeira 
TAXA 
 
 
Professor Hermínio Silva 159
Professor Hermínio Silva 160
EM RESUMO: 
Considerando que ao tomar R$ 100,00 emprestados e aplicar no negócio que seja 
capaz de render 13,07% ao mês, é mais vantajoso do que deixar os R$ 100,00 numa 
aplicação em poupança, por exemplo, que renderia apenas 0,50% ao mês. 
 
PARA RESOLVER: 
Considerando que a questão seja: 
Certo comerciante tomou R$ 500,00 (cem reais), emprestados, a princípio a juros 0%, 
utilizou todo em mercadorias a as vendeu para receber em duas parcelas, mensais, 
sendo a primeira para trinta dias e a segunda para sessenta dias, sendo cada uma no 
valor de R$ 400,00 (sessenta reais). Pergunta-se: qual a rentabilidade que o 
comerciante auferiu por cada mês? 
Resposta: 37,98% ao mês. Nos dias atuais, uma excelente rentabilidade. 
 
 
Se utilizar a calculadora HP12C faça o seguinte: 
F CLX 
500 CHS PV 
2 n 
400 PMT 
i = 37,98 % a cada mês 
 
Confere? 
 
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• 𝑺𝒐𝒎𝒂 𝒐𝒖𝑴𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 = 𝑷𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 𝒐𝒖 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 (𝟏 + 𝒊)𝒏 onde: “i” é a taxa de juros e “n” é
o tempo
• fórmula do montante em juros composto
• S = P(1+i)^n
• S = 10000 (1,10)^12 = 10000 X 1,10 X 1,10 X 1,10 X ... X 1,10 31.384,28– POUPANÇA E
CARTÕES DE CRÉDITO
• ==============================================================
• 10% temos 10 por cada 100 =
10
100
= 0,10 taxa unitária
• (𝟏 + 𝟏𝟎 ÷ 𝟏𝟎𝟎)𝟏 = (1 + 0,10) = (1,10) = fator
• 20% = 1,20
• 30% = 1,30
• ==============================================================
• De onde surge o numeral “1” utilizamos a fórmula do simples
• J = P i n onde J = juros, P=principal, i=taxa, n=tempo
• Fórmulas de juros simples 
• S = P + J fórmula do montante em juros simples 
• S = P + P i n colocando o “P” em evidência. Surge o 1 nesse hora
• S = P (1 + i n)
Professor Hermínio Silva 161
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
M 0 = -100 custo do programador com encargos
M 1 = + 60 = Cliente vai pagar pelo serviço
M 2 = + 60 = Cliente vai pagar pelo serviço
Ao corrigir os 100 a uma determinada taxa que
não sabemos (que você vai programar para
descobrir). Iniciar com 10% ao mês?
MO AO M1 = S=100 (1+i)^1 = 100* 1,10 = 110 – 60 = 50
M1 AO M2 = S=50 (1+i)^1 = 50* 1,10 = 55 – 60 = - 5
Teu programa tem que zerar esse saldo. 
Professor Hermínio Silva 162
FUNÇÃO DO SEGUNDOGRAU 
• 1 – Através da função quadrática.
+200 +300 +400
-500
relacionando os valores uns aos outros, teremos
algum resultado? Entradas são maiores do que as
saídas? Toda vez que as entradas forem maiores do
que as saídas, TEREMOS UM RETORNO POSITIVO.
Professor Hermínio Silva 163
1 2 3
0
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• 1 – Através da função quadrática.
+200 +300 +400
-500
LEVANDO TODOS OS VALORES PARA O TEMPO = 2
-500 (𝟏 + 𝒊)𝟐 = 200 (𝟏 + 𝒊)𝟏 + 300 + 400 ÷(𝟏 + 𝒊)𝟏
Professor Hermínio Silva 164
1 2 3
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• 1 – Através da função quadrática.
+200 +300 +400
-500
-500 (𝟏 + 𝒊)𝟐 = 200 (𝟏 + 𝒊)𝟏 + 300 + 400 ÷ (𝟏 + 𝒊)𝟏
i = 0,31690804
Professor Hermínio Silva 165
1 2 3
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• 1 – Através da função quadrática.
Professor Hermínio Silva 166
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• 1 – Através da função quadrática.
Se o valor a retornar de 400 for desmembrado
em dois sequenciais, sendo 200 e 200 o fator
aumenta ou diminui?
Professor Hermínio Silva 167
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• 1 – Através da função quadrática.
Professor Hermínio Silva 168
Qual a conclusão ao se dilatar o recebimentos dos 
400 em duas outras parcelas de 200? A TAXA DE 
RETORNO CAI, e tome cuidado para não dilatar 
mais parcelas.
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• RESOLVER - 1
• VAMOS DESENVOLVER UM SOFTWARE PARA CONTROLE DAS
VENDAS DE CARTÕES DE CRÉDITO E DÉBITO.
• Que variáveis devemos atentar?
1. Bandeira
2. Taxa de administração
3. Taxa de antecipação
4. Valores que irão vencer mês a mês
5. Fluxo de valores a receber
Professor Hermínio Silva 169
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
• RESOLVER - 2
• VAMOS DESENVOLVER UM SOFTWARE PARA CONCILAR AS VENDAS DE
CARTÕES DE CRÉDITO E DÉBITO.
• Que variáveis devemos atentar?
1. Baixar arquivo das vendas no portal dos cartões
2. As vendas trafegam via TEF
3. Vendas rejeitadas reprocessar
4. Nos vencimentos conferir via VAN os recebimentos
5. Baixar arquivo do portal para dentro do ERP
6. Fazer a leitura de cada registro
7. Conferir
8. Emitir relatório de crítica
9. Conciliar
10. Efetuar as baixas dentro do sistema de conciliação
Professor Hermínio Silva 170
Prof. Hermínio Silva 
Logaritmos
Professor Hermínio Silva 171
Prof. Hermínio Silva 
Aparecimento do logaritmo
Ocorreu no começo do século XVII, quando já era premente a necessidade
de facilitar os laboriosos cálculos trigonométricos da Astronomia e da
Navegação. A ideia básica era substituir operações mais complicadas, como
multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e
subtração.
Os primeiros inventores dos logaritmos foram os suíço JOBST BÜRGI
(1552-1632) e o escocês JOHN NAPIER, ou NEPER (1550-1617), cujos
trabalhos foram produzidos independentemente um do outro.
Os logaritmos foram reconhecidos como uma invenção realmente
extraordinária log após a publicação de NEPER, em 1614. No entanto, é
provável que BÜRGI tivesse concebido os logaritmos antes mesmo que
NEPER. Convém mencionar que esses primeiros logaritmos Neperianos
tinham sérios inconvenientes e foram log modificados pelo próprio NEPER e
posteriormente por HENRY BRIGGA (1561-1631), um dos mais respeitados
estudiosos do trabalho de NEPER. O resultado foi o aparecimento dos
LOGARIMOS DECIMAIS.
Professor Hermínio Silva 172
Prof. Hermínio Silva 
A palavra logaritmo vem do grego
Logos (razão) + arithmos (número)
Professor Hermínio Silva 173
Todo número positivo pode ser escrito como potência de 10.
Prof. Hermínio Silva 
Logaritmo
Exercícios Propostos
Professor Hermínio Silva 174
LOGARITMO 
Calcule log 1,4. use 2 = 𝟏𝟎𝟎,𝟑𝟎𝟏 e 7= 𝟏𝟎𝟎,𝟖𝟒𝟓
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏, 𝟒 = x
1,4 = 𝟏𝟎𝒙
𝟏𝟒
𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝒙
𝟐 𝒙 𝟕
𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝒙
𝟏𝟎𝟎,𝟑𝟎𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎,𝟖𝟒𝟓
𝟏𝟎𝟏
= 𝟏𝟎𝒙
𝟏𝟎𝟎,𝟑𝟎𝟏+𝟎,𝟖𝟒𝟓−𝟏 = 𝟏𝟎𝒙
X = 0,146
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏, 𝟒 = 0,146
Professor Hermínio Silva 175
LOGARITMO 
Calcule log𝟑 𝟐𝟕
O que é o logaritmo? 
É o numero que elevamos a base 3 até chegar um dia a 
ser o 27 
𝟑𝟏 = 3 
𝟑𝟐 = 3 x 3 = 9 como não atingiu os 27 
𝟑𝟑 = 3 x 3 x 3 = 27 
Resposta = 3
Professor Hermínio Silva 176
LOGARITMO 
Imagine que temos hoje na nossa empresa de tecnologia um capital líquido já pagando tudo no valor de R$ 20.000,00.
se não vamos precisar dele agora, resolvemos investir numa aplicação que pague 1% ao mês, em quanto tempo
teremos esse valor triplicado?
M = P (1+i)^n
M = MONTANTE
P = PRINCIPAL
i = TAXA 
n = PERÍODO
M = 3 P
M = 3 X 20.000,00
M = 60.000,00
P = 20.000,00
i = 1% 
n = ?
POTÊNCIA DE LOGARITMO 
n = LOG (M÷P) ÷ LOG (1+i)
n = LOG 3 ÷ LOG 1,01
110,41 COM USO DO LOGARITMO
Professor Hermínio Silva 177
LOGARITMO 
Suponha que num sistema de engorda de gado, em
regime de confinamento, cada animal tem um ganho
de peso de 10% ao mês. Considerando log 1,1 = 0,041
e log 2 = 0,301, determine o tempo aproximado
necessário para que um animal dobre de peso
Resposta:
n = 
log𝟏𝟎 𝟐
log10 𝟏,𝟏
= 
𝟎,𝟑𝟎𝟏
𝟎,𝟎𝟒𝟏
= 7,341 meses
Professor Hermínio Silva 178
ANOTAÇÕES
LOGARITMO 
Calcule 𝐥𝐨𝐠𝟔 𝟑𝟔
36 = 𝟔𝒙
𝟔𝟐 = 𝟔𝒙
X = 2
Calcule 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟎, 𝟎𝟏
0,01 = 𝟏𝟎𝒙
𝟏𝟎−𝟐 = 𝟏𝟎𝒙
X = -2
Calcule 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟒
𝟐 𝟐
2 2 = 
𝟏
𝟒
𝒙
𝟐𝟏 𝐱 𝟐
𝟏
𝟐 =( 
𝟏
𝟐𝟐
)𝒙
𝟑
𝟐
= - 2x
-4x = 3
X =-
𝟑
𝟒
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LOGARITMO 
Próximas questões 
apenas a título de 
exemplo
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EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
CONTEÚDO DA AULA
ESTRUTURAÇÃO DE MODELOS LINEARES e MÉTODO SIMPLEX
MATERIAL DE APOIO
Nota de aula descrita abaixo - QUESTÃO DO PRODUTOR RURAL 
NOTA DE AULA
ESTRUTURAÇÃO DE MODELOS LINEARES
Dos modelos formulados anteriormente, pode-se perceber que a
maioria deles diz respeito a sistemas de equações ou inequações
lineares, a partir dos quais deve ser obtida a solução ótima (máximo ou
mínimo) para o problema. Portanto, é de fundamental importância que
tais sistemas de equações, ou inequações, possam ser resolvidos pelo
modelador.
Professor Hermínio Silva 188
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
EXEMPLO:
Um determinado produtor rural possui duas fazendas: (A) e (B), onde 
deseja plantar soja e trigo. 
Fazenda (A): O lucro anual para soja é de R$4,00/ha. X1
Fazenda (A): O lucro anual para trigo é de R$8,00/ha.X2
Fazenda (B): O lucro anual para soja é de R$6,00/ha. X1
Fazenda (B): O lucro anual para trigo é de R$4,00/ha.X2
Lucro anual total da Fazenda (A) é de R$ 160.
Lucro anual total da Fazenda (B) é de R$ 120.
Qual a área de soja e trigo a serem cultivadas em cada uma das 
fazendas?
Professor Hermínio Silva 189
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
EXEMPLO:
Solução:
X1 = número de hectares de soja para serem plantados em cada fazenda;
X2 = número de hectares de trigo para serem plantados em cada 
fazenda;
Representando o sistema teremos:
4x1 + 8x2 = 160
6x1 + 4x2 = 120
Pelo menos uma das equações deve ser multiplica por um escalar real, 
de tal forma que, após a soma das duas equações, apenas uma das 
variáveis seja efetivamente a incógnita do problema, assim vamos 
multiplicar a equação 2 por -2 e teremos:
Professor Hermínio Silva 190
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
4x1 + 8x2 = 160
6x1 + 4x2 = 120
Após a multiplicação por - 2 
4x1 + 8x2 = 160
-12x1 - 8x2 = -240
Fazendo a 1ª menos a 2ª teremos:
-8x1 = - 80 multiplicando por -1 teremos:
X1 = 10
X2 = será
4 x 10 + 8 x2 = 160
40 + 8 x2 = 160
8 x2 = 160-40
8 x2 = 120
X2 = 15
Professor Hermínio Silva 191
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Em resumo
X1 = 10 significa dizer que teremos que plantar 10 ha de soja
X2 = 15 significa dizer que teremos que plantar 15 ha de trigo
4x1 + 8x2 = 160
6x1 + 4x2 = 120
Se na equação 1 x1=0 teremos 0 + 8x2 = 160, donde x2 = 20
Se na equação 1 x2=0 teremos 4x1 + 0 = 160, donde x1 = 40
Se na equação 2 x1=0 teremos 0 + 4x2 = 120, donde x2 = 30
Se na equação 2 x2=0 teremos 6x1 + 0 = 120,donde x1 = 20
Para plotar cada uma delas, bastam dois pontos. Os mais fáceis são 
aqueles sobre os eixos das abcissas e ordenadas.
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EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 193
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 194
CONCLUSÃO:
Serão necessários 10 hectares de soja
e 15 hectares de trigo em cada uma
das fazendas.
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 195
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
CONTEÚDO DA AULA
ESTRUTURAÇÃO DE MODELOS LINEARES e MÉTODO 
SIMPLEX
MATERIAL DE APOIO
Nota de aula descrita abaixo – POWER BI INVEST LTDA –
Produz perfumes 
Professor Hermínio Silva 196
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
A empresa POWER BI INVEST LTDA planeja a produção de determinado
produto de perfumaria, para isso serão necessários dois tipos de
recursos:
1 - MOD – mão-de-obra e 2 - MATERIAIS.
A empresa produz 03 tipos de perfumes: A, B e C.
A B C
Mão-de-obra – horas por unidade 7 3 6
Materiais – gramas por unidade produzida 4 4 5
Lucro por unidade 4 2 3
Professor Hermínio Silva 197
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Disponibilidade de materiais = 200 gramas por dia
Mão-de-obra disponível por dia = 150 horas.
Formulando um problema de programação linear determinar quanto deve
ser produzido de cada tipo de perfume, tal que o lucro seja
maximizado.
PASSO-I: VARIÁVEIS DE DECISÃO
XA = Produção diária do produto A
XB = Produção diária do produto B
XC = Produção diária do produto C
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EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
PASSO-II: IDENTIFIQUE AS RESTRIÇÕES
As restrições são a disponibilidade limitada de recursos de mão-de-obra e
de materiais.
Tipo A = 7 horas
Tipo B = 3 horas
Tipo C = 6 horas
HORAS
7XA + 3XB+ 6XC
Essa quantidade não deve exceder 150 horas
Professor Hermínio Silva 199
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
MÃO-DE-OBRA
7XA + 3XB+ 6XC <=150
Para obter as restrições relativas aos materiais, utiliza-se o raciocínio 
anterior, ou seja, teremos:
MATÉRIA PRIMA DISPONÍVEL
4XA + 4XB + 5XC <=200
PASSO III: – Identificando o objeto que é Maximizar o Lucro total oriundo
das vendas dos produtos, supondo que tudo que for produzido encontre
mercado consumidor, o lucro resultante será:
LUCRO
Z = 4XA + 2XB + 3XC
Assim, o problema de MIX de produção apresentado acima pode ser
escrito como um modelo de programação matemática através das
seguintes expressões:
Professor Hermínio Silva 200
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
EXERCÍCIOS
Determinar os valores de XA, XB, XC que maximizem:
LUCRO
Z = 4XA + 2XB + 3XC
Sujeito às restrições:
7XA + 3XB+ 6XC <=150 REFERENTE A MÃO-DE-OBRA
4XA + 4XB + 5XC <=200 REFERENTE AOS MATERIAIS
XA >= 0
XB >= 0
XC >=0
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EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 202
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 203
CONTEÚDO DA AULA
ESTRUTURAÇÃO DE MODELOS LINEARES e MÉTODO SIMPLEX
MATERIAL DE APOIO
Nota de aula descrita abaixo – PANIFICADORA 
Numa panificadora são produzidos 03 tipos de produtos: Pão
Francês, Tapioca e Pão de Queijo, sendo os três classificados na
planilha com as seguintes variáveis: X1, X2 e X3.
Quais as quantidades a serem produzidas de cada um a fim de
que satisfaça a restrição.
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 204
CONTEÚDO DA AULA
ESTRUTURAÇÃO DE MODELOS LINEARES e MÉTODO SIMPLEX
MATERIAL DE APOIO
Nota de aula descrita abaixo – PANIFICADORA 
Numa panificadora são produzidos 03 tipos de produtos: Pão
Francês, Tapioca e Pão de Queijo, sendo os três classificados na
planilha com as seguintes variáveis: X1, X2 e X3.
Quais as quantidades a serem produzidas de cada um a fim de
que satisfaça a restrição.
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 205
2x1 + x2 – x3 <= 10
X1 + x2 + 2x3 >=20
2x1 + x2 + 3x3 = 60 
MAXIMIZAR:
Z = X1 + 2*X2 + 3X3
EXERCÍCIOS UNIDADE 1 
Professor Hermínio Silva 206