Aula 16 - modelos uniforme e exponencial

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Modelos de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Continuas 
Prof. Aloisio Joaquim Freitas Ribeiro
Departamento de Estatística – ICEx – UFMG
aloisio@est.ufmg.br
mailto:aloisio@est.ufmg.br
Modelo Uniforme 







contrário caso se 0
x se 
1
)x(f


Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [α,β] se sua função
densidade de probabilidade é dada por
   
 
  
 
 
2222
x11
x)X(E
12
)X(V
2
)X(E
222
2



























 dx 
AR 
Função distribuição Acumulada


















 xse 1
x se 
x
 xse 0
)x(F
X
Dizemos que uma variável aleatória X, discreta, tem distribuição uniforme quando todos os possíveis
valores de X tem a mesma probabilidade de ocorrer.
No caso de uma distribuição uniforme contínua a probabilidade de observar um valor no intervalo (a,b),
depende somente do seu comprimento, não importando qual a sua localização entre α e β. Isto
acontece porque a função densidade de probabilidade é constante.
Na pratica é muito raro encontrar variáveis que possuam uma distribuição uniforme contínua, mas esta
distribuição possui muitas aplicações na análise de dados.
Quando α = 0 e β = 1, a distribuição uniforme é chamada de distribuição Uniforme padrão. Esta
distribuição é usada para geração de valores aleatórios para outras distribuições de probabilidade,
como veremos mais tarde.
Exemplo: Quando geramos valores aleatórios no intervalo entre 0 e 1, estamos observando realizações de
uma variável aleatória com distribuição U(0,1).
a) Qual a probabilidade de um número escolhido aleatoriamente no intervalo (0,1) pertencer ao intervalo 
entre 0,15 e 0,25?
X = numero escolhido aleatoriamente entre 0 e 1
𝑃 0,15 ≤ 𝑋 ≤ 0,25 = 𝐹𝑥(0,25) - 𝐹𝑥(0,15) =
0,25−0
1−0
−
0,15−0
1−0
= 0,10
a) Qual a probabilidade deste número pertencer ao intervalo entre 0,25 e 0,35?
𝑃 0,25 ≤ 𝑋 ≤ 0,35 = 𝐹𝑥(0,35) - 𝐹𝑥(0,25) =
0,35−0
1−0
−
0,25 −0
1−0
= 0,10
Observe que o valor da probabilidade não é afetado pela localização do intervalo. 
Para os vários modelos de probabilidade disponíveis no R temos 4 funções básicas
Os nomes destas funções são dados pelas letras d, p q e r seguidas da abreviação do nome da distribuição, 
que vamos representar de forma genérica por dist. Estas funções possuem como argumentos os parâmetros 
da distribuição.
1) ddist - retorna o valor da P(X = x), se X é discreta e f(x), se X é contínua.
dpois (Poisson), dbinom (binomial), dunif (uniforme contínua),dexp (exponencial), dnorm (Normal)
2) pdist - retorna o valor da probabilidade acumulada P(X ≤ x).
3) qdist - retorna o valor do quantil de ordem p. 
4) rdist – gera uma amostra aleatória de n observações da distribuição de probabilidade.
Para saber quais os argumentos destas funções no R use o comando de ajuda
? dunif (para obter ajuda sobre dunif)
Modelo Exponencial








0 xse 
0 xse 0
)x(f
x
e
• Utilizado para modelar tempos de vida em estudos de sobrevivência, tempos até a falha estudos de 
confiabilidade de sistemas, modelar perdas em seguros, etc
• Caracteriza-se pela assimetria da distribuição
Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro β se sua função
densidade de probabilidade é dada por
X ~ exp(β)






1
)X.(P.D 
1
)X(VAR 
1
)X(E
2
Função distribuição Acumulada








0x se e-1
 0 xse 0
)x(F
x-
Exercício: Suponha que as perdas pagas por reclamações resultantes de furtos num seguro 
residência tenha distribuição Exponencial com média igual a 2000 reais.
X = valor da reclamação do seguro X ~ exp(β = 1/200)
a) Qual a probabilidade da seguradora pagar por uma reclamação um valor menor do que 500 
reais?
b) Qual a probabilidade da seguradora pagar por uma reclamação com valor superior a 8000 
reais?
c) Qual o valor mediano das perdas?
Observe que a mediana (1386,94) é muito menor do que a média (2000)
2211,0)2000/500exp(1)500X(P 
94,13865,0)2000/xexp(1 
0183,0)2000/000.8exp()000.8X(P 
A distribuição Exponencial no R
Parametrização:
2
1
)XVAR( 
1
)X(E 
0 xse 
0 xse 0
)x(f
x
e  








dexp(x, rate) retorna o valor da função densidade f(x)
pexp(x, rate) retorna o valor da função distribuição acumulada F(x)
qexp(p, rate) retorna o quantil de ordem p Q(p)
onde rate é o valor de β
> pexp(500,1/2000)
[1] 0.2211992
> pexp(8000,1/2000,lower.tail=F)
[1] 0.01831564
> qexp(0.5,1/2000)
[1] 1386.294
Propriedade (falta de memória)
Suponha que o tempo entre 2 falhas consecutivas de um processo tem distribuição exponencial com média 
igual a 30 horas. Suponha que acabou de acontecer uma falha.
a) Qual a probabilidade de que a próxima falha aconteça até o tempo 15, isto é, nas próximas 15 horas?
b) Qual a probabilidade de que o tempo até a ocorrência da próxima falha seja menor do que 40 horas sabendo 
que até o tempo 25 não houve nenhuma falha?
30
15
30
25
30
40
30
25
30
25
30
40
e1
e
e
1
e
)e1(e1
)5
)25)0
)5
)0
40














2P(X
P(X4P(X
2P(X
4XP(25
25)X|P(X
30
15
e1)15X(P


 exp(1/30)~ X falha proxima a até tempoX
Depois de 25 horas sem nenhuma falha, a probabilidade de ocorrer um falha nas próximas
15 horas é igual a probabilidade de ocorrer uma falha nas 15 horas imediatamente
posteriores a última falha.
15)P(X25)X|P(X  40
t)P(Xx)X|P(X  tx
Propriedade da Falta de Memória