Poliedros e Prismas

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Poliedr��
- sólido limitado por 4 ou + polígonos pertencentes a diferentes planos
- nomenclatura se dá de acordo com o número de faces
convex� � nã� convex�
- convexo: se fura, fura duas faces
- não convexo: se fura, fura mais de duas faces
Relaçã� d� Eule�
→ vamos fazer amor a dois𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2
- para todos os convexos e alguns não convexos
Ângul�� Poliedr��
- número de arestas que concorrem o vértice
Poliedr�� Regulare�
- todas as faces regulares (lados e ângulos iguais) e congruentes
- todos os regulares são convexos, mas nem todos os convexos são regulares
Poliedr�� d� Platã�
- convexo
- todas as faces com o mesmo número de arestas
- todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas
(tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro)
→ Relações para a Tabela: e𝑛. 𝐹 = 2. 𝐴 𝑃. 𝑉 = 2𝐴
- n = número de aresta por face
- F = face
- A = aresta
- P = número de arestas que concorrem o ângulo édrico
- V = vértice
Som� d�� ângul�� da� face� d� u� poliedr� convex�
𝑆 = (𝑣 − 2)360°
(valor dos ângulos da face x número de faces)
Áre� da� Principai� Figura� Regulare�
retângulo: 𝐴 = 𝑏. ℎ
quadrado: 𝐴 = 𝑙2
paralelogramo: 𝐴 = 𝑏. ℎ
triângulo: 𝐴 = 𝑏.ℎ2
losango: ou𝐴 = 2 𝐴∆ 𝐴 = 𝐷.𝑑2
trapézio: 𝐴 = (𝐵+𝑏) . ℎ2
círculo: , ,𝐴 = π𝑅2 𝐶 = 2π𝑅 𝐷 = 2𝑅
*apótema (m): reta que liga centro ao ponto médio de um dos lados
*circunscrito: por fora
*inscrito: por dentro
Polígon�� Regulare�
● Quadrad�: ; ; ;𝐴 = 𝑙2 𝑃 = 4𝑙 𝑑 = 𝑙 2 𝑚 = 𝑙2
- raio da circunferência circunscrita: 𝑅 = 𝐿 22
- raio da circunferência inscrita: 𝑟 = 𝑚 = 𝑙2
● Triângul� Equiláter�: ; ; ;𝐴 = 𝑏.ℎ2 𝐴 = 𝑙
2 3
4 ℎ =
𝑙 3
2
- raio da circunferência circunscrita: ;𝑅 = 𝑙 33 𝑚 =
𝑙 3
6
- raio da circunferência inscrita: 𝑟 = 𝑚 = 𝑙 36
● Hexágon� Regula�: ;𝐴 = 6. 𝑎∆ 𝐴 = 3𝑙2 32
- raio da circunferência circunscrita: ;𝑅 = 𝑙 𝑚 = 𝑙 32
- raio da circunferência inscrita: 𝑟 = 𝑚 = 𝑙 32
*a área de qualquer polígono regular é dada por A = p.m (p = semiperímetro = P/2)
Prisma�
- formas congruentes em planos diferentes unidas resultam em um prisma
Element��:
- base: polígonos iguais e paralelos
- aresta da base: lados dos polígonos da base
- faces laterais: são paralelogramas
- aresta lateral: iguais e paralelas
- altura: distância entre duas bases
Classificaçã�:
● Quant� a� ângul� qu� a� aresta� laterai� forma� co� �� plan�� da� base�:
- Prisma Reto: arestas laterais perpendiculares ao plano da base
*Prisma Regular: prisma reto com bases de polígonos regulares (todos os lados =)
- Prisma Oblíquo: arestas laterais são oblíquas em relação ao plano da base
● Quant� a� númer� d� lad��:
- 3 lados: triangular
- 4 lados: quadrangular
- 5 lados: pentagonal
- 6 lados: hexágono
Propriedade�:
- faces laterais são paralelogramas
- bases são polígonos congruentes
FALTA UMA PARTE!!!!!!!
Área�:
- Área Lateral (AL): soma das A das faces laterais
𝐴𝐿 = 𝑃 . ℎ
- Área da Base (AB): área do polígono que constitui a base
- Área Total (AT): soma da área lateral com a área da base
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵
*Volume: 𝑉 = 𝐴𝐵 . ℎ
Cas�� Pa�ticulare� d� Prism�:
Cub�
- é um prisma quadrangular regular que possui todas as arestas iguais
; ; ; ;𝐴𝐵 = 𝑎2 𝐴𝐿 = 4𝑎2 𝑉 = 𝑎3 𝐴𝑇 = 6𝑎2 𝐷 = 𝑎 3
*densidade = massa / volume
Paralelepíped�
- é um prisma quadrangular que possui todas as faces retangulares
; ; ;𝐴𝐿 = 2 (𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 𝐴𝑇 = 2 (𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏) 𝐷 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Cilindr�
- dois círculos iguais em planos diferentes unidos
Element��:
- base: são círculos congruentes
- raio: da base
- geratrizes: retas unindo circunferência; gera o círculo
- eixo: reta que passa pelos centros
- altura: distância entre bases
Classificaçã�:
- Reto: geratrizes perpendiculares aos planos das bases (g = h)
- Oblíquo: geratrizes oblíquas aos planos das bases
*o cilindro circular reto é obtido pela rotação de um retângulo em torno de seus lados (cilindro de
revolução)
Secçã� Meridian�: - forma um retângulo𝐴
𝑠𝑚
= 2𝑅 . ℎ
Área�:
; ; ;𝐴𝐿 = 2 π𝑅 . ℎ 𝑉 = 𝐴𝐵 . ℎ 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵 𝐴𝐵 = π𝑅2
● Cilindr� Equiláter�
- diâmetro da base e altura são iguais
- sua secção meridiana é um quadrado
; ; ; ; ;ℎ = 2𝑅 𝐴𝐿 = 4 π𝑅2 𝑉 = 2π𝑅3 𝐴𝑇 = 6π𝑅2 𝐴𝐵 = π𝑅2 𝐴
𝑠𝑚
= 4𝑅2
- todas vem das fórmulas do cilindro normal
● Semicilindr�
- Área Lateral =
𝐴𝐿
2 + 𝐴𝑠𝑚
- Área Total =
𝐴𝐿
2 + 𝐴𝐵
- Volume =
𝑉
2