Aula 05 Eletrônica_Básica_Portas Lógicas NOR e NAND e Teoremas

Prévia do material em texto

Eletrônica Básica:
Circuitos Lógicos
Profa. Ranoyca Nayana Alencar Leão e Silva Aquino
Instituto de Engenharia e Desenvolvimento Sustentável
Engenharia de Energias
Tópicos
◼ Portas NOR e Portas NAND
◼ Teoremas Booleanos
◼ Teoremas de DeMorgan
Portas NOR e Portas NAND
Dois outros tipos de portas lógicas, as portas NAND e NOR, são muito
usados em circuito digitais. Na realidade elas combinam as operações
básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples
escrever suas expressões Booleanas.
FIGURA 3-19 (a) Símbolo de porta NOR; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela-verdade.
PORTA NOR (“NÃO-OU”)
Portas NOR e Portas NAND
Dois outros tipos de portas lógicas, as portas NAND e NOR, são muito
usados em circuito digitais. Na realidade elas combinam as operações
básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples
escrever suas expressões Booleanas.
PORTA NAND (“NÃO-E”)
FIGURA 3-22 (a) Símbolo da porta NAND; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela-verdade.
Portas NOR e Portas NAND
Determine a expressão Booleana para uma porta NOR de três
entradas seguidas de um inversor.
Sempre que duas barras estiverem sobre a mesma variável ou
expressão, uma cancela a outra, como mostrado acima. Entretanto,
em casos como:
BA+
as barras de inversão não se cancelam. Assim:
BABA ++ BABA 
Portas NOR e Portas NAND
Implemente, usando apenas portas NOR e NAND, o circuito lógico que
tem como expressão:
( )DCABx +=
COMENTÁRIOS: o termo é a expressão para a saída de uma
porta NOR. Deve-se fazer uma operação AND desse termo com A e B,
e inverter o resultado – gerando uma operação NAND.
( )DC +
Teoremas Booleanos
Vimos como a Álgebra Booleana pode ser usada para ajudar na
análise de um circuito lógico e como expressar matematicamente a
operação do circuito. Prosseguimos no uso da Álgebra Booleana
investigando teoremas Booleanos, que poderão nos ajudar a
simplificar expressões lógicas e circuitos lógicos.
Começaremos com os teoremas para uma variável lógica,
acompanhados de um circuito lógico para demonstrar sua validade.
Em seguida, serão apresentados os teoremas com mais de uma
variável lógica.
Teoremas Booleanos
Teoremas com 1 variável lógica
Teoremas Booleanos
Teoremas com 1 variável lógica
Ressalta-se que a variável x em que se aplica os teoremas de (1) a (8)
pode ser uma expressão que contenha mais de uma variável.
Por exemplo, se tivéssemos a expressão , poderíamos
considerar e aplicar o teorema (4):





 BABA
BAx =
Teorema (4): 0= xx
Assim: 0=




 BABA
A mesma idéia pode ser aplicada no uso de qualquer um desses 
teoremas !
Teoremas Booleanos
Teoremas com mais de uma variável lógica
Leis Comutativas
xyyx )09( +=+
xyyx )10( =
Leis Associativas
zyxzyxzyx ) ( ) ( )11( ++=++=++
zyxzyxzyx ) ( ) ( )12( ==
Lei Distributiva
xzxyzyxa ) ( )13( +=+
Os teoremas (09) a (13) têm equivalência na Álgebra convencional !
xzwzxywyzyxwb +++=++ ) () ( )13(
Teoremas Booleanos
Teoremas com mais de uma variável lógica
xxyx )14( =+
yx yx x a +=+)15(
Teoremas (14) e (15)
yxxyxb +=+ )15(
Provando o Teorema (14):
yxxxyx .1 +=+
).1( yx +=
1 = x
x =
Teorema 13a
Teorema 6
Teorema 2
Teoremas Booleanos
Teoremas com mais de uma variável lógica
Provando o Teorema (15a):
yxyxyxx ++=+ )1( 
yxxyx ++= 
)( xxyx ++=
)1( += yx
yx += 
Teorema 13a
Teorema 13a
Teorema 8
Teorema 2
yxyxxa +=+ )15(
Teorema 6
Teoremas de DeMorgan
Dois dos mais importantes teoremas da álgebra Booleana foram
contribuições do matemático Augustus DeMorgan.
Os teoremas de DeMorgan são
extremamente úteis na simplificação de
expressões nas quais um produto, ou
uma soma, de variáveis aparece negado
(barrado). Os dois teoremas são:
( ) yx =+ yx )16(
( ) yxyx += )17(
Como são demonstrados esses teoremas ?
Como serão utilizados todos os teoremas apresentados ?
Teoremas de DeMorgan
Embora os teoremas tenham sido apresentados em termos das variáveis x e
y, eles são igualmente válidos para situações em que x e/ou y são
expressões com mais variáveis.
( ) ( ) CBACBA =+
Exemplo:
EXEMPLO: Simplifique a expressão para que ela tenha
apenas variáveis simples invertidas.
( ) ( )DBCAz ++=
Solução
( ) ( ) ( ) ( )DBCADBCAz +++=++=
Usando o teorema (17), temos:
DBCA +=
DBCA +=
Os teoremas de DeMorgan podem ser estendidos 
para mais de duas variáveis ?
Teoremas de DeMorgank
Teoremas de DeMorgank
Considere o complemento da soma lógica para três variáveis lógicas:
zyx ++ ( ) zyx +=
zyx = Expressão semelhante ao
teorema para 2 variáveis !!
Raciocínio semelhante pode ser aplicado para o complemento da soma lógica
de N variáveis.
De forma semelhante, temos que:
zyxzyx ++=
O teorema de DeMorgan para o complemento do produto lógico também pode
ser estendido para N variáveis.
Teoremas de DeMorgank
Analisando os teoremas de DeMorgan do ponto de vista das portas lógicas
FIGURA 3-26 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (16); (b) símbolo alternativo para a função NOR.
FIGURA 3-27 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (17); (b) símbolo alternativo para a função NAND.
Universalidade das Portas NAND e NOR
Todas as expressões Booleanas consistem em combinações das operações
básicas OR, AND e INVERSOR. Entretanto, é possível implementar qualquer
expressão usando apenas portas NAND, e nenhum outro tipo de porta lógica.
FIGURA 3-29 As portas NAND podem ser usadas para implementar qualquer função booleana. 
INVERSOR
Universalidade das Portas NAND e NOR
De modo similar, notamos que as portas NOR podem ser associadas para
implementar qualquer operação Booleana, tornando possível a implementação
de qualquer expressão usando apenas portas NOR, e nenhum outro tipo de
porta lógica.
FIGURA 3-30 As portas NOR podem ser usadas para implementar qualquer operação booleana.
INVERSOR
Como essas equivalências podem ser utilizadas na prática ?
Universalidade das Portas NAND e NORK
EXEMPLO: Em um determinado processo de fabricação, uma esteira de
transporte deve ser desligada sempre que determinadas condições ocorrem.
Essas condições são monitoradas e têm seus estados sinalizados por quatro
sinais lógicos, que são:
• A será ALTO sempre que a velocidade da esteira for muito alta.
• B será ALTO sempre que o recipiente no final da esteira estiver cheio.
• C será ALTO quando a tensão da esteira for muito alta.
• D será ALTO quando o comando manual estiver desabilitado.
Um circuito lógico é necessário para gerar um sinal x que será ALTO sempre
que as condições A e B existirem simultaneamente, ou sempre que as
condições C e D existirem simultaneamente.
Solução
CDABx +=
Como implementar o circuito com o mínimo de CIs ?
Universalidade das Portas NAND e NORK
Considere que os CIs TTL abaixo
estão disponíveis para a
implementação:
Solução (continuação)
Uma forma simples de implementar o
circuito lógico usando os CIs dados é:
Porém, uma alternativa é:
Bibliografia Básica
◼ Tocci, R. J., Widmer, N. S., Moss, G. L.;
Sistemas Digitais - Princípios e Aplicações -
10ª Ed, Editora Pearson, 2007.
◼ Floyd, Thomas L.; Sistemas Digitais 
Fundamentos e Aplicações - 9ª Ed, Editora 
Bookman, 2007.
◼ Pedroni, V. A.; Eletronica Digital Moderna e
VHDL, Editora Elsevier, 2010.