MAF 1570 Eletricidade nota de aula4 20181

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA COMPUTAÇÃO - ECEC 
Professor: Renato Medeiros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
NOTA DE AULA IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia - 2018
 
1 
 
MAGNETISMO 
 
 As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas. 
Os imãs (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenômenos magnéticos, entre os 
quais destacamos: 
▪ Polos de um imã – os pedaços de ferro são atraídos com maior intensidade por 
certas partes do imã, as quais são denominadas polos do imã. 
▪ Princípio da atração e repulsão – Polos de mesmo nome se repelem e polos de 
nomes contrários se atraem. 
▪ Inseparabilidade dos polos – Quando uma barra de um imã é cortada, ao invés de 
obter um polo norte isolado e um polo sul isolado, obtemos dois imãs, cada um dos 
quais tem polos norte e sul. Portanto, é impossível obter um polo magnético isolado. 
 Durante muitos anos, o estudo dos fenômenos magnéticos esteve restrito aos imãs, não 
havia conexão entre os fenômenos elétricos e magnéticos. Em 1819 o cientista dinamarquês 
Hans Cristian Oersted (1777 – 1851) observou que a agulha de uma bússola era defletida 
quando colocada próxima de um fio por onde passava uma corrente elétrica. Doze anos mais 
tarde, o físico inglês Michael Faraday (1971 – 1867) verificou que aparecia uma corrente 
momentânea em um circuito, quando, em um circuito vizinho, se iniciava ou se interrompia 
uma corrente. 
 
Campo Magnético 
Já estudamos que um corpo carregado produz um campo vetorial (o campo elétrico E ) em 
todos os pontos do espaço ao seu redor. De forma análoga, um imã produz um campo vetorial 
(o campo magnético B ) em todos os pontos no espaço ao seu redor. 
 
Linhas de Indução de um Campo Magnético 
 
As linhas de campo saem do polo norte e chega ao polo sul. 
 
2 
 
 
Força magnética sobre cargas elétricas em movimento 
A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida como o 
produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo magnético B . 
 
 
F = q v  B  F = q v B sen  
onde: 
F → é o módulo da força magnética que atua na carga q 
v → é o módulo da velocidade de q 
B → é o módulo do campo magnético 
 
Direção e sentido da força magnética 
Regra da mão direita. 
Bdedão F
dedos v B
 

 →
 
 
 
3 
 
 
Unidade de campo magnético 
 A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. Por 
conveniência, esta unidade e chamada de tesla ( ) . 
.
1
.
N s
C m
 = 1 tesla = 1 
Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de campo: 
entrando pelo plano
saindo pelo plano
→
→
 
 
Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético uniforme 
1o Caso: 
A carga elétrica é lançada paralelamente às linhas de indução. Neste caso  = 0o ou  = 
180o  sen  = 0 e a força magnética é nula. Então, a carga elétrica realiza um movimento 
retilíneo e uniforme. 
 
 2o Caso: 
 A carga elétrica é lançada perpendicularmente às linhas de indução. Neste caso, o ângulo 
entre a velocidade e o campo magnético é de noventa graus. Isso significa que o sen é igual a 
um, e a força magnética é constante e igual a: 
BF qvB= , essa força é apontada para o centro da 
curva, e, portanto, o movimento é circular e uniforme. 
 
 
4 
 
Cálculo do raio da trajetória 
 Fmagnética = Fcentrípeta 
2v
F m qvB
r
mv
r
qB
= =
=
 
Cálculo do período ( T ) 
 Sabemos que o período T é o intervalo tempo que corresponde a uma volta completa. 
 
2 2
2
r mv
T
v vqB
m
T
qB
 

= =
=
 
Observe que o período T não depende da velocidade. 
3o Caso: 
A carga elétrica é lançada obliquamente às linhas de indução. Neste caso a componente 
v (paralela ao campo magnético) ocasiona um MRU e a componente v⊥ (perpendicular ao 
campo magnético) ocasiona um MCU. A composição destes dois movimentos é um movimento 
helicoidal uniforme e a trajetória é chamada de hélice cilíndrica. 
 
O passo da hélice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira: 
 
5 
 
2
cos
2
cos 2 cos
m
p v T v
qB
mv
p r
qB



  
= =
= =
 
E X E R C Í C I O S 
1. Uma partícula eletrizada positivamente é lançada horizontalmente para a direita, 
com uma velocidade v . Deseja-se aplicar à partícula um campo magnético B , 
perpendicular a v , de tal modo que a força magnética equilibre o peso da partícula. 
a) Qual devem ser a direção e o sentido do vetor B para que isto aconteça? 
b) Supondo que a massa da partícula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja q = 
2,0 .10- 7 C e que sua velocidade seja v = 100 m / s, determine qual deve ser o valor de 
B . 
 
 
2. Em um laboratório de Física Moderna, um dispositivo emite íons positivos que se 
deslocam com uma velocidade v muito elevada. Desejando medir o valor desta 
velocidade, um cientista aplicou na região onde os íons se deslocam os campos 
uniformes, E e B , mostrados na figura deste problema . Fazendo variar os valores 
de E e B ele verificou que , quando E = 1,0x103 N /C e B = 2,0x10- 2 T , os íons 
atravessavam os dois campos em linha reta , como está indicado na figura . Com 
 
6 
 
estes dados, o cientista conseguiu determinar o valor de v . Qual foi o valor 
encontrado por ele? Despreze a massa do íons. 
 
 
 
3. Uma partícula com carga q = 2,0 C, de massa m= 1,0x10- 7 kg penetra , com uma 
velocidade v = 20 m/s , num campo magnético uniforme de indução B = 4,0 T 
através de um orifício existente no ponto O de um anteparo. 
a) Esquematize a trajetória descrita pela partícula no campo, até incidir pela primeira 
vez no anteparo. 
b) Determine a que distância do ponto O a partícula incide no anteparo. 
 
 
 
7 
 
 
4. Um elétron que tem velocidade v = (2,0x10 6 m/s ) i + ( 3,0x10 6 m/s ) j penetra 
num campo magnético B = ( 0,03 T ) i - ( 0,15 T ) j . Determine o módulo, a direção 
e o sentido da força magnética sobre o elétron. 
 
 
8 
 
 
 
5. Um elétron num campo magnético uniforme tem uma velocidade v = (40 km/s) i + 
(35 km/s) j. Ele experimenta uma força F = - (4,2 fN) i + (4,8 fN) j. Sabendo-se que 
Bx = 0, calcular as componentes By e Bz do campo magnético. (1fN = 10
 – 15 N). R: 
By=0 e Bz=0,75T 
 
 
6. Um elétron num tubo de TV está se movendo a 7,20 x 106 m/s num campo 
magnético de intensidade 83,0 mT. (a) Sem conhecermos a direção do campo, quais 
são o maior e o menor módulo da força que o elétron pode sentir devido a este 
 
9 
 
campo? (b) Num certo ponto a aceleração do elétron é 4,90 x 1014 m/s2. Qual o 
ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético? A massa do elétron é 
9,11 x 10-31 kg. 
 
7. Um próton que se move num ângulo de 230 em relação a um campo magnético de 
intensidade 2,6 mT experimenta uma força magnética de 6,50x10-17 N. Calcular (a) 
a velocidade escalar e (b) a energia cinética em elétron - volts do próton. A massa 
do próton é 1,67x10-27 kg, 1eV = 1,6x10-19 J. 
 
8. Campos magnéticos são frequentemente usados para curvar um feixe de elétrons em 
experiências físicas. Que campo magnético uniforme, aplicado perpendicularmente 
a um feixe de elétrons que se move a 1,3x106 m/s, é necessário para fazer com que 
os elétrons percorram uma trajetória circular de raio 0,35 m? 
 
10 
 
 
9. (a) Num campo magnético com B = 0,5 T, qual é o raio da trajetória circular 
percorrida por um elétron a 10% da velocidade escalar da luz? (c = 300 000 Km/s). 
(b) Qual é a sua energia cinética em elétron - volts? 
 
 
10. Um elétron com energia cinética de 1,20 keV está circulando num plano 
perpendicular a um campo magnético uniforme. O raio da órbita é 25,0 cm. Calcular 
(a) a velocidade escalar do elétron, (b) o campo magnético. 
 
11. Um feixe de elétronsde energia cinética K emerge de uma “janela” de folha de 
alumínio na extgremidade de um acelerador. A uma distância d dessa janela existe 
uma placa de metal perpendicular à direção do feixe (figura abaixo). (a) Mostre que 
é possível evitar que o feixe atinge a placa aplicando um campo uniforme B tal que: 
 
11 
 
2 2
2mK
B
e d
 
Onde me e a massa e a carga do el[étron. (b) Qual deve ser a orientação do campo elétrico B
? 
 
 
12. O espectrômetro de massa de Bainbridgem, mostrado de forma esquemática na 
figura abaixo, separa íons de mesma velocidade e mede a razão q/m desses íons. 
Depois de entrar no aparelho através das fendas colimadoras S1 e S2, os íons passam 
por um seletor de velocidade composto por um campo elétrico produzido pelas 
placas carregadas P e P´ sem serem desviados (ou seja, os que possuem uma 
 
12 
 
velocidade E/B), entram em uma região onde existe um segundo campo magnético 
'B que os faz descrever um semicírculo. Uma placa fotográfica (ou um detector moderno) 
registra a posição final dos íons. Mostre que a razão entre a carga e a massa dos íons é 
dada por 
'/ /q m E rBB= , onde r é o raio do semicírculo. 
 
 
13. Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a 
seguir, num campo magnético uniforme de módulo 200 mT com sua velocidade 
perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron e (b) o raio de 
sua trajetória no campo magnético. 
 
 
13 
 
Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica 
 Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente i, for 
colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está representado 
na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética dada por 
F iL B F B i L sen=   = 
onde: 
F → é a força magnética que atua no fio 
L→ é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L → é um vetor de intensidade L 
e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido (convencional) da 
corrente elétrica. 
ϕ → é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L . 
 
 
Direção da força magnética 
 A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B . Então, a força 
magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o sentido de F 
pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda. 
Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica. 
 O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido por 
forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida por uma 
corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas produzem um torque 
na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central. 
 
14 
 
 
 Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque dado 
por: 
B =  , 
onde  é o momento magnético dado por: NiA = , onde N é o número de espiras e A é a 
área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a definição de 
produto vetorial, temos: 
Bsen
NiABsen
  
 
=
=
 
E X E R C Í C I O S 
14. Um condutor reto e horizontal de comprimento L = 0,5m , e massa m = 2,0 .10- 2 
kg , percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i = 8,0 A , encontra-se em 
equilíbrio sob ação exclusiva do campo da gravidade e de um campo magnético 
uniforme B , conforme mostra a figura abaixo. Determine: 
a) A intensidade do vetor B .    B 
b) O sentido da corrente i . 
 
    
 
15 
 
 
 
15. Um fio de 50 cm de comprimento, situado ao longo do eixo x, é percorrido por uma 
corrente de 0,50 A, no sentido positivo dos x. O fio está imerso num campo 
magnético dado por B = (0,003 T) j + (0,01 T) k. Determine a força magnética sobre 
o fio. 
 
16. Um fio reto de 1,8 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um 
ângulo de 35 o com um campo magnético uniforme B = 1,5 T . Calcular o valor da 
força magnética sobre o fio . 
 
 
16 
 
17. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm de comprimento está suspenso por um 
par de contatos flexíveis na presença de um campo magnético uniforme de módulo 
0,440 T entrando pelo plano da folha (veja figura abaixo). Determine (a) o valor 
absoluto e (b) o sentindo (para direita ou para a esquerda) da corrente necessária 
para remover a tensão dos contatos. R:a) 0,47 A; b) a Corrente está para a direita. 
 
 
 
18. Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem elétrico. O motor é 
acionado pela força devido ao componente vertical do campo magnético da Terra 
sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, através 
de uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, volta à fonte pelo 
outro trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma força modesta de 10 
kN? Suponha que o componente vertical do campo magnético da Terra seja igual a 
10 μT e que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) Quanta potência será dissipada 
para cada ohm de resistência nos trilhos? (c) Um trem como este é real. 
 
17 
 
 
 
Campo magnético gerado por corrente elétrica 
Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas de campo 
magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i. 
 
 
 Lei de Biot – Savart 
 O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica pode 
ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético gerado por 
um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e 
definir para cada elemento um vetor comprimento ds de módulo ds e sentido da corrente em 
ds. Se definirmos um elemento de corrente i ds , a lei de Biot – Savart assegura que a 
contribuição dB do campo magnético, devido ao elemento de corrente i ds , num ponto P , a 
uma distância r do elemento de corrente, é dado por: 
 
 
18 
 
0
34
i d
d
r



=
s r
B 
 Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de integração, 
as contribuições dB de todos os elementos de corrente. 
 Na expressão acima, 
o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo, cujo valor 
é: 
o =4 x10
-7T.m/A. 
 
Campo Magnético no centro de uma espira circular 
 Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o cálculo do 
campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por uma corrente i. 
 
Partindo da Lei de Biot-Savart, temos: 
3 3 2
2
2
2 2
0
90
4 4 4
int :
4
2
4 4
2
o
o o o
o
r
o o
o
ids r idsrsen ids
dB dB
r r r
egrando
ids
dB
r
i i
B ds r
r r
i
B
r

  
  


 

 


=  = =
=
= =
=
 

 
 
19 
 
LEI DE AMPÈRE 
 
 Podemos determinar o campo magnético resultante devido a qualquer distribuição de 
correntes com a lei de Biot-Savart, mas se a distribuição for complicada, podemos ter que usar 
um computador para o cálculo. 
A lei de Ampére pode ser enunciada da seguinte maneira: A integral de linha do campo 
magnético B em torno de qualquer trajetória fechada é igual a 
0 vezes a corrente líquida 
que atravessa a área limitada pela trajetória. Ou seja, para uma curva amperiana (curva 
fechada), temos que: 
0.d i= B s 
 A integral de linha nesta equação é calculada ao redor da curva amperiana, e i é a 
corrente líquida englobada pela curva amperiana. 
 
Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo 
 Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculodo 
campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo. 
 
Usando a lei de Ampère 
.
cos0
2
o
o
o
o o
B ds i
Bds i
B ds i B r i


  
=
=
=  =



 
 
20 
 
Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado por:
2
oiB
r


= 
 Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo 
 Vamos usar a lei de Ampère para estudar o campo magnético no interior de um fio longo 
retilíneo percorrido por corrente elétrica distribuída uniformemente na seção reta do fio. 
 
int
.
2
2
erior
o o
o o
o o
B ds i
B r i
i
B
r

 


=
=
=

.
 
Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do fio, a densidade de corrente 
tem o mesmo valor para a área no interior da curva amperiana e em toda a área do fio: 
2 2
2
2
o o
o
o
o
i ii i
J J
A A R r
ir
i
R
 
=  = 
=
 
Substituindo, temos: 
2
2
2
.
2 2
2
o o
o
i ir
B
r r R
ir
B
R
 
 


= =
 
= 
 
 
Observe que no interior do fio o campo magnético é proporcional a r; o campo é nulo centro 
do fio e máximo na superfície, onde r = R. 
 
 
21 
 
E X E R C Í C I O S 
 
19. Topógrafo está usando uma bússola a 6m abaixo de uma linha de transmissão na 
qual existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual é o valor do campo magnético 
no local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá interferir 
seriamente na leitura da bússola? O componente horizontal do campo magnético da 
Terra no local é de 20 μT. 
 
 
20. Um fio retilíneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a 
direita. Um elétron está se movendo a uma velocidade de 1,0 × 10 7 m/s ao passar a 
5 cm deste fio. Que força atuará sobre o elétron se a sua velocidade estiver orientada 
(a) verticalmente para cima e (b) horizontalmente para a direita? 
 
 
22 
 
 
21. Na figura abaixo estão representados dois fios retos e longos, percorridos pelas 
correntes elétricas i1 e i2. Considerando o meio, o vácuo, determine o módulo, a 
direção e o sentido do campo magnético resultante no ponto P. 
 
 
 i1 = 3A i2 = 4A 
 
 P 
2 cm 4 cm 
 
 
23 
 
 
22. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R1 = 6cm e R2 = 24cm são 
percorridas por correntes elétricas i1 e i2 respectivamente. R: a) i2 = 4i ; b) anti-horário 
a) Determine a relação entre i1 e i2, sabendo-se que o campo magnético resultante no centro das 
espiras é nulo. 
b) Se i1 tem sentido horário, qual o sentido de i2. 
 
 
 
24 
 
Campo magnético de um solenóide 
 Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de 
espaçamento muito próximo. Se uma corrente percorre o solenoide ela induz campos 
magnéticos em seu entorno. 
 
O vetor campo magnético (ou indução magnética) B em qualquer ponto no interior de um 
solenoide ideal é o mesmo, ou seja, ele é uniforme. Este campo magnético tem as seguintes 
características: 
- O vetor B , no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central. 
- O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita. 
- O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos Norte e 
Sul. 
- O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à 
intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento do 
solenoide. 
 
0B in= 
 onde: 
 n → é o número de espiras por unidade de comprimento. 
 Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético no 
interior de um solenoide. 
 
25 
 
 
0 0 0 0
.
. . . .
o env
b c d a
o env
a b c d
B ds B B ds
B ds i
B ds B ds B ds B ds i


= → ⊥ = → = = → ⊥
=
+ + + =

   
 
 
.
b
o env
a
o env
o
o
B ds i
Bh i
Bh inh
B in




=
=
=
=

 
1. Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos são L1 = 
20cm e L2 = 40cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria. R: a) igual ; b) maior c) 
B2 = 3 . 10-3 T 
a) A corrente que passa na bobina (1) é maior, menor ou igual àquela que passa na bobina (2)? 
b) O campo magnético B1 no interior da bobina (1), é maior, menor ou igual ao campo 
magnético B2 no interior da bobina (2)? 
c) Sabendo-se que B1 = 6,0 . 10
- 3 T, qual é o valor de B2? 
 
26 
 
 
 
Campo Magnético de um Toróide 
 O toróide pode ser considerado como um solenóide que foi encurvado em forma de 
um círculo, assumindo a forma da câmara de ar de um pneu. 
 
 O módulo do campo magnético B criado em seus pontos interiores (dentro do tubo 
em forma de pneu) é dado por 0
2
iN
B
r


= . 
Onde: 
i → é a corrente nos enrolamentos do toróide 
N → é o número total de voltas 
r → é a distância do ponto até o centro do toróide 
 
27 
 
Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes elétricas 
 Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um sobre 
o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma distância d. 
 
A força que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro é dado por 
b b aF i LB= 
O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual a: 
2
o a
a
i
B
d


= 
Substituindo esta equação na equação da força temos que, 
2
2
o a
b b a b
o a b
i
F i LB i L
d
Li i
F
d




= =
 
= 
 
 
Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos opostos 
ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no mesmo sentindo 
os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios irão se repelir. 
24. Módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,3 T . 
Calcule o valor da corrente que passa no fio. R: 32,12 A 
 
28 
 
 
25. Um fio retilíneo longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num campo 
magnético externo uniforme de 5,0 mT como está representado na figura abaixo. Localize 
os pontos onde o campo magnético resultante é zero. R: nos pontos sobre uma reta a 4 . 
10-3 m abaixo do fio. 
 
 
 
 
 
 
 
26. Dois fios longos e paralelos estão separados uma distância de 8,0 cm. Que correntes de 
mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo magnético a meia distância 
entre eles tenha módulo igual a 300 μT? R: 30A em sentidos opostos 
B
i
 
29 
 
 
27. Dois fios, retilíneos e longos, separados por 0,75 cm estão perpendiculares ao plano da 
página, como mostra a figura 2. O fio 1 transporta uma corrente de 6,5 A para dentro da 
página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio 2 para que o campo magnético 
resultante no ponto P seja zero? R: 4,33 A p/ fora da página. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
28. Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância d, transportam correntes i e 3i 
no mesmo sentido. Localize o ponto ou os pontos em que seus campos magnéticos se 
cancelam. R: nos pontos sobre uma reta, entre os fios, a uma distância d/4 do fio que 
transporta a corrente i. 
 
29. Na figura abaixo dois arcos de circunferência têm raios R2 = 7,80 cm e R1 = 3,15 cm, 
submetem um ãngulo θ = 180o, conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o mesmo centro 
de curvatura C. determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) 
do campo magnético no ponto C 
 
31 
 
 
 
30. Na figura abaixo, um fio é formado por uma semicircunferência de raio R = 9,26 cm e 
dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um. A corrente no fio 
é i = 34,8 mA. Determine 9ª) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) 
docampo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência. 
 
 
32 
 
 
31. Na figura abaixo um fio retilíneo longo conduz uma corrente i1 = 30,0 A e uma espira 
retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A. suponha que a = 1,00 cm e b = 8,00 cm e L = 
30,0 cm. Em ermos dos vetores unitários, qual é a força a que está submetida a espira? 
 
33 
 
 
 
 
 
34 
 
 
32. A figura abaixo mostra uma seção reta de um fio cilíndrico longo de raio a = 2,00 cm 
que conduz uma corrente uniforme de 170 A. determine o módulo do campo magnético 
produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio igual a: a) 0,0; (b) 1,00 cm; (c) 2,00 
cm (superfície do fio); (d) 4,00 cm. 
 
 
33. A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b que 
induz uma corrente i uniformemente distribuída. (a) mostre que, no intervalo b < r < a, o 
módulo B(r) do campo elétrico a uma distância r do eixo central do condutor é dado por 
 
35 
 
( )
2 2
2 22
oi r bB
ra b


−
=
−
. (b) mostre que, para r = a, a equação do item (a) fornece o módulo 
B do campo magnético na superfície do condutor; para r = b, o campo magnético é zero; 
para b= 0, a equação fornece o módulo do campo magnético no interior de um condutor 
cilíndrico maciço de rio a. (c) faça um gráfico de B(r), no intervalo 0< r <6 cm, para a = 2,0 
cm , b = 2,0 cm e i = 100 A. 
 
 
 
 
 
36 
 
FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA 
 
Fluxo do campo magnético 
 Para entender o Fenômeno da Indução eletromagnética é necessário introduzir o 
conceito de fluxo de campo magnético. Semelhante ao conceito de fluxo do campo elétrico 
(estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magnético está relacionado ao número de linhas 
de campo magnético que atravessam determinada superfície. 
 Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área A, 
colocada em uma região onde existe um campo magnético B . O fluxo magnético através desta 
espira é 
.B d = B A 
 Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor dA é perpendicular a uma área 
diferencial dA . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e weber 
(abreviado por Wb) 
1 weber = 1wb = 1T.m2 
 Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma superfície 
de área A e que o ângulo  seja constante, temos que: 
cosB B A = 
onde: 
 B - é o fluxo magnético através da superfície de área A 
  - é o ângulo entre dA (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme) 
Lei de Faraday da Indução Eletromagnética 
dA
B

 
37 
 
 Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira condutora, 
aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta fem é igual à taxa de 
variação do fluxo magnético através dessa espira. 
Bd
dt

− 
= 
Para uma taxa de variação constante no fluxo ( constante), temos que: B
t



= −

 
 Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de forma 
compacta de modo que o mesmo fluxo magnético 
B atravesse todas as voltas, a fem total 
induzida na bobina é: 
BNd
dt

 = − 
 Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo 
magnético que atravessa uma bobina. 
1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina. 
2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região onde 
existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do 
campo). 
3. Variando o ângulo  entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o campo 
B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo a esse 
plano). 
 
34. Uma antena circular de televisão para UHF (frequência ultra-elevada) tem um diâmetro 
de 11 cm. O campo magnético de um sinal de TV é normal ao plano da antena e, num 
dado instante, seu módulo está variando na taxa de 0,16 T/s. O campo é uniforme. Qual 
é a fem na antena? 
 
38 
 
 
35. O fluxo magnético através da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo de 
acordo com a relação 
 
26,0 7,0 ,B t t = + 
 
onde B é dado em miliwebers e t em segundos. (a) Qual é o módulo da fem induzida na espira 
quando t = 2,0s? (b) Qual é o sentido da corrente em R? R: a) 31mV ; b) esquerda 
 
 
39 
 
Fig.08 
 
 
36. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao longo 
de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com uma velocidade constante v . Um 
campo magnético vertical e uniforme B , preenche a região onde a barra se move. 
Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual é a fem induzida na barra? (b) 
Qual é a corrente na espira condutora? Considere que a resistência da barra seja 0,40  
e que a resistência dos trilhos seja desprezível. (c) Com que taxa a energia térmica está 
sendo gerada na barra? (d) Que força um agente externo deve exercer sobre a barra para 
manter seu movimento? (e) Com que taxa este agente externo realiza trabalho sobre a 
barra? Compare esta resposta com a do item (c). R: a) 0,6V; b) 1,5ª; c) 0,9W; d) 0,18N; 
e) 0,9W 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
37. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois trilhos 
metálicos paralelos, ligados por tira metálica numa das extremidades, como mostra a 
figura do exercício 55. Um campo magnético B= 0,350T aponta para fora da página. (a) 
Sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0 cm e a velocidade escalar da barra é 
55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) sabendo-se que a resistência elétrica da barra vale 18,0 
e que a resistência dos trilhos é desprezível, qual é a corrente na barra? R: a) 4,8 . 10-2 
V b) 2,67 . 10-3 
 
 
LEI DE LENZ 
 O sinal negativo na lei de Faraday indica que a força eletromotriz se opõe à variação do 
fluxo magnético. Este sinal é frequentemente omitido, pois geralmente esta lei é usada para se 
obter o módulo da força eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida 
podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual é conhecida como lei de 
Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira: 
A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético 
produzido por esta corrente se opõe à variação do fluxo magnético através da espira. 
 
 
41 
 
INDUTORES 
 
Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico numa 
determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo magnético. O tipo 
mais simples de indutor é um solenoide longo. 
 Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo. 
 
 
 
Indutância 
Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um 
solenóide), um fluxo magnético  é produzido, pela corrente elétrica, no interior do indutor. A 
indutância L do indutor é dada por: 
N
L
i

= 
Unidade de indutância no SI . 
 1 T m2 / A = 1 henry (H) 
 
Indutância de solenóide 
A indutância L por unidade de comprimento l, na região central, de um solenóide longo, 
de seção transversal de área A e com n espiras por unidade de comprimento, é dada por (ver 
demonstração no livro texto): 
 
2
0
1
L
n A= 
 
Observações: 
 
▪ Para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equação acima 
fornece a sua indutância com uma boa aproximação. 
▪ Assim como a capacitância de um capacitor a indutância de um indutor depende apenas 
das características (forma geométrica) deste dispositivo. 
 
 
42 
 
Auto indução 
 Quando houver uma variação do fluxo magnético em um circuito, mesmo uma variação 
do fluxo magnético produzido pela corrente fluindo no próprio circuito, será induzido uma força 
eletromotriz no circuito. As forças eletromotrizes geradas por correntes do próprio circuito são 
chamadas de força eletromotriz auto-induzidas.Então uma fem auto-induzida 
L aparece numa 
bobina quando a corrente nesta bobina estiver variando. 
 Aplicando a lei da indução de Faraday podemos encontrar a relação entre está fem auto-
induzida e a taxa de variação da corrente elétrica. 
 
N
L N iL
i

=  = 
 
( )
L
d N
dt


−
=  
( )
L
di
L
dt
 = − 
 
onde: 
( )di
dt
 é a taxa de variação da corrente elétrica com o tempo . 
Observação: O sentido da fem auto-induzida pode ser encontrado usando a lei de Lenz. Esta 
fem atua num sentido tal que ela se opõe à variação do fluxo magnético que a produz. 
 
EXERCÍCIOS 
38. A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mH. Calcule o fluxo 
magnético através da bobina quando a corrente é de 5,0 mA. R : 1 . 10 –7 Wb 
 
 
39. Um solenóide é enrolado com uma única camada de fio de cobre isolado (diâmetro = 2,5 
mm). O solenóide tem 4,0 cm de diâmetro, um comprimento de 2,0 m e 800 espiras. 
Qual é a indutância por metro de comprimento, na região central do solenóide? Suponha 
que as espiras adjacentes se toquem e que a espessura do isolamento seja desprezível. 
 
 
 
 
43 
 
40. Num dado instante, a corrente e a fem induzida num indutor têm os sentidos indicados 
na Fig.01. (a) A corrente está crescendo ou decrescendo? (b) A fem vale 17 V e a taxa de 
variação da corrente é 25 kA/s; qual é o valor da indutância? R: a) decrescente ; b) 6,8 . 10 
– 4 H 
 
 
 
41. Um solenóide cilíndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm. Suponha que 
o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do solenóide e uniforme em seu 
interior. (a) Qual é a sua indutância por metro de comprimento? (b) Se a corrente variar a 
um taxa de 13 A/s, qual será a fem induzida por metro? R: a) 0,1 H/m ; b) 1,3 V/m. 
 
 
 
Correntes alternadas 
A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca) , isto é, 
corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio, rodando com 
velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a uma fem alternada 
senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de corrente alternada 
comercial, ou alternador. 
i 
 
E
 
44 
 
Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada que 
mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por: 
 
v Vsen t= 
onde: v → é a ddp instantânea 
V → é a ddp máxima ou amplitude de voltagem 
 → é a freqüência angular. 
 
Observação: 
As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de grandezas 
variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes correspondentes. 
 O símbolo de uma fonte de corrente alternada é: 
 
Potência em circuitos de corrente alternada 
 
Em um circuito RLC em série, a potência média (Pmed) do gerador é igual à taxa de 
produção de energia térmica no resistor, e é dada por: 
2 cosmed rms rms rmsP I R I = =E 
Na equação acima as grandezas com o índice rms, se refere ao valor médio quadrático 
ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores máximos de cada grandeza 
estão relacionados por: 
1
,
2 2 2
m
rms rms rms
V
I V e= = =
E
E 
O termo cos é chamado de fator de potência do circuito, para maximizar a taxa com 
que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a constante de fase 
 o mais próximo possível de zero. Para uma resistência pura, 0 = , cos 1 = e 
med rms rmsP I=E
. Para um capacitor ou indutor, 90º = , cos 0 = e 0medP = . 
Observação: 
Os instrumentos de medição de corrente alternada, como por exemplo, o amperímetro e 
voltímetro, normalmente são calibrados para mostrarem os valores eficazes Irms , Vrms , rmsE e 
não os seus valores máximos. 
 
 
45 
 
EXERCÍCIOS 
 
42. Que corrente contínua produzirá a mesma quantidade de energia térmica, em um resistor 
particular, que é produzida por uma corrente alternada que possui um valor máximo de 
2,60 A? 
 
 
43. Qual o valor máximo de uma tensão de CA cujo valor eficaz é igual a 100V? 
 
 
44. Um aparelho de ar condicionado ligado a uma linha de CA de 120V, valor eficaz, 
equivale a uma resistência de 12,0Ω e a uma reatância indutiva de 1,30Ω em série. (a) 
Calcule a impedância do ar condicionado.(b) Determine a taxa média com que se fornece 
energia ao aparelho. 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADORES 
 
 
46 
 
Por razões de eficiência, é desejável transmitir potência elétrica a altas voltagens e 
baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmissão. Uma das 
características mais úteis dos circuitos de correntes alternadas é a facilidade e a eficiência com 
a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para outro, por meio de 
transformadores. 
 
Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a relação 
entre a voltagem no primário VP e no secundário VS é dada por: 
 
P P
S S
V N
V N
= 
 
Onde, NP e NS, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e 
secundária. 
 Se NS > NP, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque ele eleva 
a tensão do primário VP para uma tensão mais alta VS. Analogamente, se NS < NP, o dispositivo 
é um transformador abaixador. 
 Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de um 
transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa com que o 
gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário transfere então 
energia para o secundário, ou seja: ISVS=IPVP. 
 
EXERCÍCIOS 
45. Um gerador fornece 100V à bobina primária de um transformador de 50 voltas. Se a 
bobina secundária tiver 500 voltas, qual será a tensão no secundário? R:1000V 
 
 
47 
 
 
 
46. Um transformador possui 500 voltas no primário e 10 voltas no secundário. (a) Se VP 
for igual a 120V(eficaz), qual será Vs, com um circuito aberto? (b) Se o secundário tiver 
agora uma carga resistiva de 15Ω, quais serão as correntes no primário e no secundário? 
R:a) 2,4V; b) 3,2mA; c) 0,16A 
 
 
 
 
48 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1. D. Halliday , R. Resnick e J. Walker . Fundamentos de Física . Vol. 3 , LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 2003 . 
 
2. F. Sears , M. W. Zemansky e H. D. Young . Física .Vol. 3 , LTC – Livros Técnicos e 
Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 1984.