Appunti - numeri naturali

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Appunti - Numeri naturali
In matematica i numeri naturali sono quei numeri usati per contare e 
ordinare. Nel linguaggio comune i "numeri cardinali" sono quelli usati per 
contare e i "numeri ordinali" sono quelli usati per ordinare.
I numeri naturali corrispondono all'insieme {0, 1, 2, 3, 4, …}. Essi vengono 
fatti corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi 
{0, +1, +2, +3, +4, …}. Talvolta vengono usati anche per indicare l'insieme dei 
numeri interi positivi {1, 2, 3, 4, …}.
Indice
Collegamenti esterniStoria[modifica | modifica wikitesto] 
Il papiro di Rhind
I numeri naturali sono i numeri più "intuitivi" che esistono. L'operazione di 
distinguere tra nessuno, uno e molti risale all'uomo primitivo. Ma la 
comprensione che, ad esempio, una pecora e un albero hanno in comune il 
fatto di essere "uno", cioè la nozione astratta di numero, fu un processo 
graduale (probabilmente non legato a una singola cultura o popolazione) che 
da vari studi viene fatto risalire circa al 30.000 a.C. Col tempo furono 
introdotti diversi simboli e parole per indicare i numeri naturali e in diversi casi 
1S
t
o
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2
N
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t
a
3
D
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1
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N
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7
V
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c
8
A
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p
9
https://it.wikipedia.org/wiki/Matematica
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_cardinale
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_ordinale
https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme
https://it.wikipedia.org/wiki/0_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/1_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/2_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/3_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/4_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/Corrispondenza_biunivoca
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_intero
https://it.wikipedia.org/wiki/0_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/1_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/2_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/3_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/4_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/1_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/2_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/3_(numero)
https://it.wikipedia.org/wiki/4_(numero)
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=1
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=1
https://it.wikipedia.org/wiki/Papiro_di_Rhind
anche alcuni tipi di frazioni. Esistono simboli risalenti agli antichi Egizi che 
indicano frazioni unitarie, cioè con numeratore uguale a uno.[1] Se ne possono 
trovare ad esempio nel papiro di Rhind risalente circa al 2000 a.C. Tuttavia il 
numero zero dovette aspettare più tempo per venire considerato un numero 
al pari degli altri.
Alcuni numeri naturali
Le origini dell'idea di numero naturale astratto vengono fatte risalire ai 
Babilonesi nel 2000 a.C., come testimoniato dalla tavoletta Plimpton 322, 
"sussidiario di matematica" per gli studenti dell'epoca, che contiene problemi 
matematici che a un'attenta analisi sembrano essere qualcosa di più di 
semplici esercizi con fini utilitaristici. Il superamento dei numeri naturali in 
favore dei numeri razionali positivi è attribuito ai pitagorici che sembra furono 
i primi a considerare la frazione non più come entità unica ma come rapporto 
tra numeri naturali.
Importanti risultati riguardanti i numeri naturali sono contenuti negli Elementi 
di Euclide, successivamente Diofanto di Alessandria si pose il problema della 
ricerca di soluzioni intere positive di equazioni date.
L'introduzione dei numeri interi relativi, in particolare dei numeri negativi 
dovette aspettare ulteriormente. Risultati e spunti fondamentali sono dovuti a 
Pierre de Fermat. Lo studio dei numeri interi, noto oggi come teoria dei 
https://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_(matematica)
https://it.wikipedia.org/wiki/Frazioni_unitarie
https://it.wikipedia.org/wiki/Numeratore
https://it.wikipedia.org/wiki/Papiro_di_Rhind
https://it.wikipedia.org/wiki/Zero
https://it.wikipedia.org/wiki/II_millennio_a.C.
https://it.wikipedia.org/wiki/Plimpton_322
https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_razionali
https://it.wikipedia.org/wiki/Pitagora
https://it.wikipedia.org/wiki/Rapporto_(matematica)
https://it.wikipedia.org/wiki/Elementi_di_Euclide
https://it.wikipedia.org/wiki/Elementi_di_Euclide
https://it.wikipedia.org/wiki/Diofanto_di_Alessandria
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione
https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_interi
https://it.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_numeri
numeri, viene ripreso nel XIX secolo da matematici del livello di Carl Friedrich 
Gauss e Carl Jacobi e da allora viene considerato un capitolo primario della 
matematica (si veda ad esempio l'ultimo teorema di Fermat, l'ipotesi di 
Riemann o la congettura di Goldbach).
Notazioni[modifica | modifica wikitesto] 
In matematica si usa il simbolo
N 
{\displaystyle \mathbb {N} } 
 (o N) per indicare l'insieme dei numeri naturali. Nella maggior parte della 
letteratura matematica contemporanea, nelle voci qui presenti e nello 
standard ISO 31-11 sui simboli matematici, si assume che l'insieme dei 
numeri naturali contenga anche lo zero; per evitare ogni ambiguità è spesso 
usata la dizione interi non negativi. Per mettere in evidenza che l'insieme non 
contiene lo
0 
{\displaystyle 0} 
 si usa la scrittura
N 
∗ 
{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} 
, quindi
N 
∗ 
= 
{ 
1 
, 
2 
, 
3 
, 
… 
} 
. 
{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\ldots \}.} 
Per indicare l'insieme dei naturali senza lo zero si possono usare anche le 
scritture N*, N+, N+, ℕ+, ℕ+,
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_numeri
https://it.wikipedia.org/wiki/XIX_secolo
https://it.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://it.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://it.wikipedia.org/wiki/Carl_Jacobi
https://it.wikipedia.org/wiki/Ultimo_teorema_di_Fermat
https://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann
https://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann
https://it.wikipedia.org/wiki/Congettura_di_Goldbach
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=2
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=2
https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=ISO_31-11&action=edit&redlink=1
N 
> 
0 
{\displaystyle \mathbb {N} _{>0}} 
. Talvolta con la notazione
N 
0 
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}} 
 si indica invece l'insieme dei naturali con lo zero incluso.
Nella teoria degli insiemi, l'insieme dei numeri naturali in quanto insieme bene 
ordinato viene denotato con
ω 
{\displaystyle \omega } 
, e rappresenta il più piccolo numero ordinale infinito. Quando è usata questa 
notazione, lo zero è incluso.
Definizioni formali[modifica | modifica wikitesto] 
Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale non è, in matematica, 
un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi 
unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette 
anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri 
transfiniti.
Storicamente, la precisa definizione matematica dei numeri naturali ha 
incontrato alcune difficoltà. Gli assiomi di Peano definiscono le condizioni che 
ogni definizione matematica precisa deve soddisfare. Alcune costruzioni 
mostrano che dall'interno di una teoria degli insiemi è possibile costruire un 
modello degli assiomi di Peano.
Assiomi di Peano[modifica | modifica wikitesto]
Lo stesso argomento in dettaglio: Assiomi di Peano.
• Esiste un numero naturale, 0 
 
 
{\displaystyle 0} 


.
• Ogni numero naturale a 
 
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi
https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_bene_ordinato
https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_bene_ordinato
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_ordinale_(teoria_degli_insiemi)
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=3
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=3https://it.wikipedia.org/wiki/Matematica
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_transfinito
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_transfinito
https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi
https://it.wikipedia.org/wiki/Modello_(logica_matematica)
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=4
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=4
https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano
 
{\displaystyle a} 


 ha un numero naturale successore, denotato come S 
( 
a 
) 
 
 
{\displaystyle S(a)} 


.
• Non esiste un numero naturale il cui successore è 0 
 
 
{\displaystyle 0} 


.
• Numeri naturali distinti hanno successori pure distinti: se a 
≠ 
b 
 
 
{\displaystyle a\neq b} 


, allora S 
( 
a 
) 
≠ 
S 
( 
b 
) 
 
 
{\displaystyle S(a)\neq S(b)} 


.
• Se una proprietà P 
 
 
{\displaystyle P} 


 è posseduta dallo 0 
 
 
{\displaystyle 0} 


 ed è posseduta anche dal successore di ogni numero naturale che 
possiede la proprietà P 
 
 
{\displaystyle P} 


, allora la proprietà P 
 
 
{\displaystyle P} 


 è posseduta da tutti i numeri naturali (questo postulato è noto anche 
come principio di induzione).
Bisogna notare che lo "0", nella definizione sopra descritta, non deve 
necessariamente corrispondere con quello che si considera normalmente il 
numero zero. "0" significa semplicemente un oggetto che, quando combinato 
con una funzione successiva appropriata, soddisfa gli assiomi di Peano. Ci 
sono molti sistemi che soddisfano questi assiomi, inclusi i numeri naturali (sia 
che partano da zero o da uno).
Costruzione basata sulla teoria degli insiemi[modifica | modifica 
wikitesto]
Un numero naturale si può definire come una classe di insiemi aventi uguale 
cardinalità finita. In sostanza, si parte dalla proprietà (intuitiva) che tra due 
insiemi qualsiasi aventi lo stesso numero di elementi si può stabilire una 
corrispondenza biunivoca e la si riformula come definizione: tutti gli insiemi 
tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca vengono accomunati 
in una classe, che è come assegnare loro un'"etichetta", a questa etichetta 
viene dato il nome di numero naturale. La classe corrispondente all'insieme 
vuoto viene indicata con 0.
https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_induzione
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=5
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=5
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=5
https://it.wikipedia.org/wiki/Classe_(insiemistica)
https://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit%C3%A0
https://it.wikipedia.org/wiki/Corrispondenza_biunivoca
https://it.wikipedia.org/wiki/Zero
La costruzione standard[modifica | modifica wikitesto]
La seguente è una costruzione standard nella teoria degli insiemi per definire 
i numeri naturali:
Poniamo
0 
= 
{ 
} 
{\displaystyle 0=\{\}} 
, l'insieme vuoto (
∅ 
{\displaystyle \varnothing } 
)
e definiamo
S 
( 
a 
) 
= 
a 
∪ 
{ 
a 
} 
{\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}} 
 per ogni
a 
{\displaystyle a} 
.
L'insieme dei numeri naturali è allora definito come l'intersezione di tutti gli 
insiemi contenenti 0 che sono chiusi rispetto alla funzione successione
S 
. 
{\displaystyle S.} 
 L'esistenza di un insieme siffatto è stabilita dall'assioma dell'infinito. Se tale 
insieme esiste, soddisfa gli assiomi di Peano.[2]
Ogni numero naturale è allora uguale all'insieme dei numeri naturali minori di 
esso, per esempio:
• 0 
= 
{ 
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=6
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=6
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi
https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_vuoto
https://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_dell%27infinito
https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano
} 
 
 
{\displaystyle 0=\{\}} 


• 1 
= 
{ 
0 
} 
= 
{ 
{ 
} 
} 
 
 
{\displaystyle 1=\{0\}=\{\{\}\}} 


• 2 
= 
{ 
0 
, 
1 
} 
= 
{ 
0 
, 
{ 
0 
} 
} 
= 
{ 
{ 
} 
, 
{ 
{ 
} 
} 
} 
 
 
{\displaystyle 2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}} 


• 3 
= 
{ 
0 
, 
1 
, 
2 
} 
= 
{ 
0 
, 
{ 
0 
} 
, 
{ 
0 
, 
{ 
0 
} 
} 
} 
= 
{ 
{ 
} 
, 
{ 
{ 
} 
} 
, 
{ 
{ 
} 
, 
{ 
{ 
} 
} 
} 
} 
 
 
{\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}
\}\}} 


e così via. Quando ci si riferisce a un numero naturale come insieme, e più 
propriamente come cardinalità di un insieme, questo è il senso. Con questa 
definizione, ci sono esattamente
n 
{\displaystyle n} 
 elementi nell'insieme
n 
{\displaystyle n} 
 e
n 
≤ 
m 
{\displaystyle n\leq m} 
 se e solo se
n 
{\displaystyle n} 
 è un sottoinsieme di
m 
https://it.wikipedia.org/wiki/Se_e_solo_se
https://it.wikipedia.org/wiki/Sottoinsieme
{\displaystyle m} 
, e vale
n 
< 
m 
{\displaystyle n<m} 
 se e solo se
n 
{\displaystyle n} 
 è un elemento di
m 
{\displaystyle m} 
.
Inoltre, con questa definizione, coincidono le differenti possibili interpretazioni 
delle notazioni come
R 
n 
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 
 (insieme delle
n 
{\displaystyle n} 
-uple di numeri reali e insieme delle funzioni da
n 
{\displaystyle n} 
 in
R 
{\displaystyle \mathbb {R} } 
).
Altre costruzioni[modifica | modifica wikitesto]
Nonostante la costruzione standard sia utile, non è l'unica costruzione 
possibile. Per esempio:
definiamo
0 
= 
{ 
} 
{\displaystyle 0=\{\}} 
e
S 
( 
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=7
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=7
a 
) 
= 
{ 
a 
} 
{\displaystyle S(a)=\{a\}} 
,
quindi:
• 0 
= 
{ 
} 
 
 
{\displaystyle 0=\{\}} 


• 1 
= 
{ 
0 
} 
= 
{ 
{ 
} 
} 
 
 
{\displaystyle 1=\{0\}=\{\{\}\}} 


• 2 
= 
{ 
1 
} 
= 
{ 
{ 
{ 
} 
} 
} 
 
 
{\displaystyle 2=\{1\}=\{\{\{\}\}\}} 


• … 
 
 
{\displaystyle \ldots } 


Oppure si può definire
0 
= 
{ 
{ 
} 
} 
{\displaystyle 0=\{\{\}\}} 
 e
S 
( 
a 
) 
= 
a 
∪ 
{ 
a 
} 
{\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}} 
producendo
• 0 
= 
{ 
{ 
} 
} 
 
 
{\displaystyle 0=\{\{\}\}} 


• 1 
= 
{ 
{ 
} 
, 
0 
} 
= 
{ 
{ 
} 
, 
{ 
{ 
} 
} 
} 
 
 
{\displaystyle 1=\{\{\},0\}=\{\{\},\{\{\}\}\}} 


• 2 
= 
{ 
{ 
} 
, 
0 
, 
1 
} 
 
 
{\displaystyle 2=\{\{\},0,1\}} 


• … 
 
 
{\displaystyle \ldots } 


Discutibilmente la vecchia definizione basata sulla teoria degli insiemi è 
comunemente attribuita a Frege e Russell sotto la quale ogni numero 
naturale
n 
{\displaystyle n} 
 è definito come l'insieme di tutti gli insiemi con
n 
{\displaystyle n} 
 elementi. Questo può sembrare circolare, ma può essere esposto in modo 
rigoroso. Definendo
0 
{\displaystyle 0} 
 come
{ 
{ 
{ 
} 
} 
} 
{\displaystyle \{\{\{\}\}\}} 
 (l'insieme di ogni insieme con 0 elementi) e definendo
σ 
( 
A 
https://it.wikipedia.org/wiki/Frege
https://it.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
) 
{\displaystyle \sigma (A)} 
 (per ogni insieme
A 
{\displaystyle A} 
) come
{ 
x 
∪ 
{ 
y 
} 
∣ 
x 
∈ 
A 
∧ 
y 
∉ 
x 
} 
{\displaystyle \{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}} 
. Allora 0 sarà l'insieme di tutti gli insiemi con 0 elementi,
1 
= 
σ 
( 
0 
) 
{\displaystyle 1=\sigma (0)} 
 sarà l'insieme di tutti gli insiemi con 1 elemento,
2 
= 
σ 
( 
1 
) 
{\displaystyle 2=\sigma (1)} 
 sarà l'insieme di tutti gli insiemi con 2 elementi, e così via. L'insieme di tutti i 
numeri naturali può essere definito come l'intersezione di tutti gli insiemi 
contenenti
0 
{\displaystyle 0} 
 come un elemento e chiuso sotto
σ 
{\displaystyle \sigma } 
.
Le classi di equivalenza degli insiemi infiniti non corrispondono a nessun 
numero naturale; possono tuttavia essere identificate con diversi ordini di 
infinito; su tali entità è possibile estendere le usuali operazioni di addizione e 
moltiplicazione ma queste non conservano le proprietà algebriche che hanno 
sui numeri naturali.Lo studio di oggetti corrispondenti a insiemi di cardinalità 
infinita e delle loro proprietà algebriche è oggetto della teoria dei cardinali 
transfiniti.
Operazioni[modifica | modifica wikitesto]
L'operazione di addizione viene definita nel modo seguente: date due classi 
di insiemi (quindi due numeri)
a 
{\displaystyle a} 
 e
b 
{\displaystyle b} 
, se
A 
{\displaystyle A} 
 e
B 
{\displaystyle B} 
 sono insiemi disgiunti appartenenti alle classi
a 
{\displaystyle a} 
 e
b 
{\displaystyle b} 
 rispettivamente, la somma
https://it.wikipedia.org/wiki/Classe_di_equivalenza
https://it.wikipedia.org/wiki/Addizione
https://it.wikipedia.org/wiki/Moltiplicazione
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_cardinale
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=8
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=8
https://it.wikipedia.org/wiki/Addizione
https://it.wikipedia.org/wiki/Insiemi_disgiunti
a 
+ 
b 
{\displaystyle a+b} 
 è la classe di equivalenza dell'insieme
A 
∪ 
B 
{\displaystyle A\cup B} 
. È facile vedere che la definizione è ben posta, vale a dire che, presi due 
diversi insiemi disgiunti
A 
′ 
{\displaystyle A'} 
 e
B 
′ 
{\displaystyle B'} 
 in
a 
{\displaystyle a} 
 e
b 
{\displaystyle b} 
,
A 
′ 
∪ 
B 
′ 
{\displaystyle A'\cup B'} 
 sta nella stessa classe di equivalenza di
A 
∪ 
B 
{\displaystyle A\cup B} 
, cioè tra
A 
′ 
∪ 
B 
′ 
{\displaystyle A'\cup B'} 
 e
A 
∪ 
B 
{\displaystyle A\cup B} 
 è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca.
Equivalentemente si può definire la somma in
N 
{\displaystyle \mathbb {N} } 
 ricorsivamente ponendo
a 
+ 
0 
= 
a 
{\displaystyle a+0=a} 
 e
a 
+ 
S 
( 
b 
) 
= 
S 
( 
a 
+ 
b 
) 
{\displaystyle a+S(b)=S(a+b)} 
 per ogni
a 
, 
b 
{\displaystyle a,b} 
.
Se si definisce
S 
( 
0 
) 
:= 
1 
{\displaystyle S(0):=1} 
, allora
S 
( 
b 
) 
= 
S 
( 
b 
+ 
0 
) 
= 
b 
+ 
S 
( 
0 
) 
= 
b 
+ 
1 
{\displaystyle S(b)=S(b+0)=b+S(0)=b+1} 
; cioè il successore di
b 
{\displaystyle b} 
 è semplicemente
b 
+ 
1 
{\displaystyle b+1} 
.
( 
N 
, 
+ 
) 
{\displaystyle \left(\mathbb {N} ,+\right)} 
 è un monoide commutativo con l'elemento neutro
0 
{\displaystyle 0} 
, il cosiddetto monoide libero con un generatore.
Analogamente, una volta definita l'addizione, si può definire la moltiplicazione
× 
{\displaystyle \times } 
 mediante
a 
× 
0 
= 
0 
{\displaystyle a\times 0=0} 
 e
a 
× 
S 
( 
b 
) 
= 
( 
a 
× 
b 
) 
https://it.wikipedia.org/wiki/Monoide
https://it.wikipedia.org/wiki/Commutativo
https://it.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro
https://it.wikipedia.org/wiki/Monoide_libero
+ 
a 
{\displaystyle a\times S(b)=(a\times b)+a} 
.
Questo fa sì che
( 
N 
, 
× 
) 
{\displaystyle \left(\mathbb {N} ,\times \right)} 
 sia un monoide commutativo con l'elemento identità
1 
{\displaystyle 1} 
:
a 
× 
1 
= 
a 
× 
S 
( 
0 
) 
= 
( 
a 
× 
0 
) 
+ 
a 
= 
a 
{\displaystyle a\times 1=a\times S(0)=(a\times 0)+a=a} 
. Un insieme generatore per questo monoide è l'insieme dei numeri primi. 
Addizione e moltiplicazione sono compatibili, ossia la moltiplicazione è 
distributiva rispetto all'addizione:
https://it.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_primo
https://it.wikipedia.org/wiki/Propriet%C3%A0_distributiva
a 
× 
( 
b 
+ 
c 
) 
= 
( 
a 
× 
b 
) 
+ 
( 
a 
× 
c 
) 
. 
{\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c).} 
Queste proprietà dell'addizione e della moltiplicazione rendono i numeri 
naturali un esempio di semianello unitario commutativo. I semianelli sono una 
generalizzazione algebrica dei numeri naturali dove la moltiplicazione non è 
necessariamente commutativa.
Se si definisce l'insieme dei numeri naturali senza lo zero e si incomincia dal 
numero
1 
{\displaystyle 1} 
, le definizioni di
+ 
{\displaystyle +} 
 e
× 
{\displaystyle \times } 
 sono le stesse, a parte
S 
https://it.wikipedia.org/wiki/Semianello
https://it.wikipedia.org/wiki/Commutativo
( 
b 
) 
= 
b 
+ 
1 
{\displaystyle S(b)=b+1} 
 e
a 
× 
1 
= 
a 
{\displaystyle a\times 1=a} 
.
Spesso si scrive
a 
b 
{\displaystyle ab} 
 per indicare il prodotto
a 
× 
b 
{\displaystyle a\times b} 
.
Inoltre, si può definire una relazione di ordine totale sui numeri naturali 
scrivendo
a 
≤ 
b 
{\displaystyle a\leq b} 
 se e solo se esiste un altro numero naturale
c 
{\displaystyle c} 
 con
a 
+ 
https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_di_ordine_totale
https://it.wikipedia.org/wiki/Se_e_solo_se
c 
= 
b 
{\displaystyle a+c=b} 
. Quest'ordine è compatibile con le operazioni aritmetiche nel seguente 
senso:
se
a 
, 
b 
, 
c 
{\displaystyle a,b,c} 
 sono numeri naturali e
a 
≤ 
b 
{\displaystyle a\leq b} 
, allora
a 
+ 
c 
≤ 
b 
+ 
c 
{\displaystyle a+c\leq b+c} 
 e
a 
c 
≤ 
b 
c 
{\displaystyle ac\leq bc} 
. Un'importante proprietà dei numeri naturali è che essi sono ben ordinati: 
ogni insieme non vuoto di numeri naturali ha un ultimo elemento.
Mentre in generale non è possibile dividere un numero naturale con un altro e 
ottenere un numero naturale come risultato, la procedura di divisione con 
resto è possibile: per ogni coppia di numeri naturali
a 
{\displaystyle a} 
 e
b 
{\displaystyle b} 
 con
b 
≠ 
0 
{\displaystyle b\neq 0} 
 si possono trovare due numeri naturali
q 
{\displaystyle q} 
 e
r 
{\displaystyle r} 
 tali che
a 
= 
b 
q 
+ 
r 
{\displaystyle a=bq+r} 
 e
r 
< 
b 
. 
{\displaystyle r<b.} 
Il numero
q 
{\displaystyle q} 
 è chiamato il quoziente e
r 
{\displaystyle r} 
 è chiamato il resto della divisione di
a 
{\displaystyle a} 
 con
b 
. 
{\displaystyle b.} 
 I numeri
q 
{\displaystyle q} 
 e
r 
{\displaystyle r} 
 sono unicamente determinati da
a 
{\displaystyle a} 
 e
b 
{\displaystyle b} 
.
Teorie[modifica | modifica wikitesto] 
L'insieme dei numeri naturali si può caratterizzare univocamente (a meno di 
isomorfismi) mediante gli assiomi di Peano (nella logica del secondo ordine).
Le proprietà dei numeri naturali relativi alla divisibilità, la distribuzione dei 
numeri primi e a problemi collegati a questi sono studiate in quella che viene 
chiamata teoria dei numeri. I problemi riguardanti sequenze numeriche finite, 
altre configurazioni numeriche e problemi di enumerazione, quali la teoria di 
Ramsey, sono studiati nell'ambito della teoria combinatoria.
Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto] 
Due importanti generalizzazioni dei numeri naturali sono: i numeri ordinali per 
descrivere la posizione di un elemento in una successione ordinata e numeri 
cardinali per specificare la grandezza di un insieme.
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=9
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https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Logica_del_secondo_ordine&action=edit&redlink=1
https://it.wikipedia.org/wiki/Divisibilit%C3%A0
https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_primi
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_numeri
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_Ramsey
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_Ramsey
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_combinatoria
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&veaction=edit&section=10
https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_naturale&action=edit&section=10
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_ordinale
https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_cardinali
https://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_cardinali