Lista de PA e PG

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Lista de PA e PG 
Pré-vestibular Noturno 
Professor: Leandro (Pinda) 
 
1. (Unicamp 2018) Considere a sequência de números 
reais 1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) tal que 1 2 3(a , a , a ) é uma 
progressão geométrica e 3 4 5(a , a , a ) é uma progressão 
aritmética, ambas com a mesma razão w. 
 
a) Determine a sequência no caso em que 3a 3 e 
w 2. 
b) Determine todas as sequências tais que 1a 1 e 
5a 8. 
 
2. (Fmp 2018) Para n 1, a expressão na 3n 5  é o 
termo geral de uma progressão aritmética. 
Para n 1, considere a sequência cujo termo geral é 
dado por n
a
nb 2 . 
 
A sequência de termo geral nb é uma progressão 
geométrica cuja razão é 
a) 256 
b) 16 
c) 3 
d) 6 
e) 8 
 
3. (Usf 2018) Considere uma progressão aritmética 
crescente de cinco termos, na qual o produto do 
primeiro com o quinto termo é 45, e a soma dos outros 
três termos é 27. Dado que o segundo e quarto termos 
dessa progressão aritmética são, respectivamente, o 
primeiro e o segundo termos de uma progressão 
geométrica, é possível afirmar, corretamente, que o 
décimo termo da progressão geométrica assim definida 
vale 
a) 12.288. 
b) 30. 
c) 6.144. 
d) 60. 
e) 3.072. 
 
4. (Ita 2017) Sejam a, b, c, d . Suponha que a, b, c, d 
formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e 
que a, b 2, c 4, d 140 formem, nesta ordem, uma 
progressão aritmética. Então, o valor de d b é 
a) 140. 
b) 120. 
c) 0. 
d) 120. 
e) 140. 
 
5. (Pucsp 2017) Considere a progressão aritmética 
2 3(3, a , a , ) crescente, de razão r, e a progressão 
geométrica 1 2 3(b , b , b , 3, ) decrescente, de razão q, 
de modo que 3 3a b e r 3q. O valor de 2b é igual a 
 
a) 6a b) 7a c) 8a d) 9a 
 
6. (Famema 2017) Considere a progressão aritmética 
1 3 4 5(a , 4, a , a , a ,16, ) de razão r e a progressão 
geométrica 1 2 3 4(b , b , b , b , 4, ) de razão q. Sabendo 
que 
r
6,
q
 o valor de 9 3a b é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 15. 
e) 9. 
 
7. (Fgv 2016) Três números formam uma progressão 
geométrica. A média aritmética dos dois primeiros é 6, 
e a do segundo com o terceiro é 18. Sendo assim, a 
soma dos termos dessa progressão é igual a 
a) 18. 
b) 36. 
c) 39. 
d) 42. 
e) 48. 
 
8. (Espm 2015) A sequência (x, y, x y) é uma 
progressão geométrica estritamente crescente. Se 
acrescentarmos uma unidade ao termo central, ela se 
torna uma progressão aritmética. A soma das razões 
dessas duas sequências é: 
a) 4 
b) 7 
c) 5 
d) 8 
e) 3 
 
9. (Mackenzie 2015) Se os números 3, A e B, nessa 
ordem, estão em progressão aritmética e os números 3, 
A 6 e B, nessa ordem, estão em progressão 
geométrica, então o valor de A é 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 21 
e) 24 
 
10. (Epcar (Afa) 2013) A sequência 
8
x, 6, y, y
3
 
 
 
 é 
tal, que os três primeiros termos formam uma 
progressão aritmética, e os três últimos formam uma 
progressão geométrica. 
Sendo essa sequência crescente, a soma de seus 
termos é 
 
a) 
92
3
 b) 
89
3
 c) 
86
3
 d) 
83
3
 
 
 
Gabarito 
 
Resposta da questão 1: 
 a) Se 1 2 3(a , a , a ) é uma progressão geométrica, 3a 3 e w 2, então 
1 2 3 2
3 3 3 3
(a , a , a ) , , 3 , , 3 .
2 4 22
   
    
  
 
 
Ademais, se 3 4 5(a , a , a ) é uma progressão aritmética, então 
3 4 5(a , a , a ) (3, 3 2, 3 2 2) (3, 5, 7).     
 
Portanto, temos 
1 2 3 4 5
3 3
(a , a , a , a , a ) , , 3, 5, 7 .
4 2
 
  
 
 
 
b) Se 1a 1, então 
 2 2 21 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) 1, w, w , w w, w 2w .   
 
Mas 5a 8 e, portanto, vem 
2 2w 2w 8 (w 1) 9
w 1 3
w 4 ou w 2.
    
   
   
 
 
Em consequência, temos 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) (1, 4,16,12, 8)  
 
ou 
1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) (1, 2, 4, 6, 8). 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
n 1
n
a
n 1
a
n
3(n 1) 5
3n 5
3
b 2
b 2
2
2
2
8.


 





 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Seja (a 2r, a r, a, a r, a 2r)    a progressão aritmética, com r 0. Tem-se que a r a a r 27 a 9.       
 
Logo, como o produto do primeiro com o quinto termo é 45, vem 
2
2
(a 2r) (a 2r) 45 81 4r 45
r 9
r 3.
      
 
 
 
 
Portanto, o segundo termo da progressão aritmética é 6 e o quarto é 12. Assim, a progressão geométrica tem razão 
igual a 
12
2
6
 e o seu décimo termo é 96 2 3072.  
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Calculando: 
Colégio Nomelini 
3 
 
2
3
a a
b aq
PG a, b, c, d
c aq
d aq
b c
PA a, , , d 140
2 4


 


 
 
 
Da PA, tem-se: 
b c c
2 a b a
2 4 4
      
 
Substituindo os valores de b e c : 
2
2aqaq a q 4q 4 0 q 2
4
        
 
Da PA, tem-se: 
2
3
3
c b aq aq
2 (d 140) 2 aq 140 2a a 8a 140 a 20
4 2 4 2
b aq 40
d b 120
d aq 160
              
 
 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Calculando: 
 
2 3
1 2 3 3 2
3 3
2
PA (3, a , a , ) (3, 3 r, 3 2r, )
3 3 3PG (b , b , b , 3, ) , , , 3,
qq q
a b ; r 3q
q' 1 (não convém)
3 3
3 2r 3 2 3q 2q q 1 31q q q'' r 3q
2 2
   
 
   
 
 
 
         
   
 
 
Logo, 
 
2
7
PG (24, 12, 6, 3, ) b 12
9 15 21PA 3, , 6, , 9, , 12 a 12
2 2 2
  
  
 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Considerando a P.A, temos: 
6 2a a 4 r 16 4 4 r 4 r 12 r 3            
 
Portanto, 
9 6 9 9a a 3 r a 16 3 3 a 25         
 
Considerando que r 3, temos: 
3 1
6 q
q 2
   
 
Considerando agora a P.G., temos: 
2
2
5 3 3 3
1
b b q 4 b b 16
2
 
       
 
 
 
Portanto: 
9 3a b 25 16 9.    
Colégio Nomelini 
4 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
 
   
  2 2
a
PG , a, aq
q
a
a
a 1q
6 a 12 a 1 12 36 1
2 q q 1 12
1 q q
a aq 36
18 a 1 q 36 a
2 1 q
36 1 36 36 36 36q
1 12 12 12
1 q q 1 q q 1 q 1 q q
q' 3
36 36q 12q 1 q 12q 24q 36 0 q 2q 3 0
q'' 1(não con
 
  
 

 
          
      
  

      

  
        
      

             
 
 
vém)
36
a a 9
1 4
PG 3, 9, 27 Soma 3 9 27 39
  

     
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Se a sequência dada é uma PG, então a razão desta é igual a x, pois: 
 2 3 2
xy
q q x
y
PG x, x , x ou seja, y x
  
  
 
 
Já para a PA, pode-se escrever: 
2 3 2 2
PA (x, y 1, xy)
2 (y 1) x xy 2 (x 1) x x 2 (x 1) x (x 1) x 2 y 4
PA (2, 5, 8) r 3
 
                  
  
 
 
Como a razão da PG é igual a x, a soma das duas razões será: 
q r 2 3 5    
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Se (3, A, B) é uma progressão aritmética, então 2A 3 B,  ou seja, B 2A 3.  Por outro lado, se (3, A 6, B) é uma 
progressão geométrica, então 2(A 6) 3B.  Logo, segue que 2A 18A 45 0,   implicando em A 3 ou A 15. 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
P.A. (x, 6, y)  x + y = 6  2  x = 12 – y 
 
P.G. (6, y, y + 8/3)  y
2
 – 6y – 16 = 0  y = 8 ou y = –2 
 
y = 8  x = 4 
y = –2  x = 14 (não convém, pois a sequência é crescente). 
 
Portanto, a soma dos elementos da sequência será: 
 
4 + 6 + 8 + 8 + 8/3 = 86/3.