Energia Potencial Elétrica

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Energia Potencial Elétrica 
 
A energia potencial é uma grandeza referida a um sistema de partículas, isto é, 
não faz sentido falar da energia potencial de uma partícula somente. Para 
defini-la, consideremos duas cargas pontuais 𝑞0 e 𝑞1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura estão representados os vetores posição de ambas, assim como 
também o vetor que dá a distância relativa entre elas. Sabemos da eletrostática 
que a carga 𝑞0 produz um campo elétrico que será sentido por 𝑞1 e será dado 
por: 
�⃗� =
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0|𝑟1⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗ ⃗|
𝑟1⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗ ⃗
|𝑟1⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗ ⃗|
 
Ou seja, só depende da distância entre as cargas e pra facilitar nossa notação, 
façamos o seguinte, 
|𝑟1⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗ ⃗| ∶= 𝑟
2 𝑒 
𝑟1⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗ ⃗
|𝑟1⃗⃗⃗ − 𝑟0⃗⃗ ⃗|
∶= �̂� 
Portanto, temos que, 
�⃗� =
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0𝑟2
�̂� 
Além disso, sabemos também que uma vez que a carga 𝑞0 produz um campo 
elétrico na posição de 𝑞1, então ela sentirá o efeito de uma força elétrica dada 
por: 
𝐹 = 𝑞0�⃗� 
E assim, podemos calcular o trabalho realizado pela força elétrica sobre a 
carga 𝑞1 para gerar aquela configuração, então: 
𝑊 = ∫ 𝐹 · 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
𝐵
𝐴
=
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0
∫
𝑑𝑟
𝑟2
𝐵
𝐴
= −
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0
(
1
𝐵
−
1
𝐴
) 
Aqui, supomos que o trabalho foi realizado para retirar a carga da posição A e 
leva-la até a posição B. É sabido que a força elétrica é conservativa, logo, ela 
admite a decomposição: 
𝐹 = −�⃗� 𝑈 
Onde U é a função energia potencial. Todo campo vetorial conservativo tem a 
propriedade de ao ser calculada uma integral de linha sobre uma curva 
qualquer, seu resultado não depende da trajetória, apenas dos pontos inicial e 
final. 
Sendo a força elétrica um campo vetorial e o trabalho definido por uma integral 
de linha vemos que o seu resultado depende apenas dos pontos inicial e final. 
A partir disso podemos encontrar uma relação entre o trabalho e a energia 
potencial. 
Sendo a força elétrica uma força central, ou seja, atua ao longo de um versor 
radial e o gradiente em coordenadas esféricas toma a forma, 
𝐹 = −�⃗� 𝑈 = −
𝜕𝑈
𝜕𝑟
�̂� 
Logo, 
𝑈 = −∫ 𝐹 · 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ 
𝐵
𝐴
= −
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0
∫
𝑑𝑟
𝑟2
𝐵
𝐴
=
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0
(
1
𝐵
−
1
𝐴
) 
Ou seja, 
𝑈 = −𝑊 
Daqui tiramos duas informações, a variação da energia potencial é igual a 
menos a variação do trabalho e como era de se esperar, o trabalho é nada 
mais nada menos do que a energia necessária para levar um sistema de uma 
configuração a outra e essa energia é exatamente a energia potencial 
armazenada no sistema. Além mais, vemos também que a função energia 
potencial depende tão somente da distância relativa entre as cargas, portanto, 
é definida para um sistema de cargas e não apenas para uma carga “sozinha”, 
diferentemente da energia cinética que pode ser definida para uma partícula 
somente e do teorema trabalho-energia cinética: 
𝑊 = 𝐾(𝐵) − 𝐾(𝐴) 
Que demonstra que a variação do trabalho realizado é igual a variação da 
energia cinética da partícula, como deveria ser, afinal estamos falando de um 
sistema conservativo, logo a energia mecânica é constante, o que explica o 
fato de termos a variação de ambos iguais ao trabalho a menos de um sinal. 
E sendo a energia potencial uma grandeza escalar, no caso de um sistema 
composto por mais de 2 partículas, a energia potencial associada ao sistema 
de n cargas pode ser calculada a partir uma de soma: 
𝑈 =
1
4𝜋ɛ0
∑
𝑞𝑖𝑞𝑗
|𝑟𝑖⃗⃗ − 𝑟�⃗⃗� |
𝑛
𝑖<𝑗
 
Para que a soma compute corretamente a energia, o somatório deve ser 
realizado sob a condição de i<j, afinal, a energia depende das distâncias entre 
as cargas e sem essa condição a soma irá “contar” termos mais. 
Por fim, podemos aproveitar do fato de a energia ser uma grandeza definida 
para também definir um “nível zero” para ela, isto é, podemos supor que a 
carga foi trazida desde o infinito até a sua nova posição de modo iremos 
considerar que a energia seja nula no infinito: 
𝑈(𝑟) − 𝑈(∞) = −∫ 𝐹 · 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ ′
𝑟
∞
= −
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0
∫
𝑑𝑟′
𝑟′2
𝑟
∞
=
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0
(
1
𝑟
−
1
∞
) 
Se definirmos então 𝑈(∞) = 0, 
𝑈 =
𝑞0𝑞1
4𝜋ɛ0𝑟