Expansão em Série de Taylor

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0.1 Expansão em Série de Taylor de Uma Função
Numa análise de propriedade de uma função, um conceito fundamental é a ex-
pansão em série de Taylor de uma função. Seja f = f(x) uma função arbitrária,
contínua e suave. Gostaríamos de estudar o comportamento desta função em
torno de um certo ponto fixo, digamos x = x0. Naturalmente o valor da função
no ponto x = x0 é f(x0). Queremos saber como o valor da função varia quando
x = x0 + ε, onde ε = δx ≡ x− x0 é uma quantidade bem pequena.
Para estudar este problema, vamos ver a figura abaixo.
y=f(x)
xx0
y=f(x0) + f'(x0)(x-x0)
Fig.1
A reta indicada é a reta tangente desta função no ponto x = x0. Aqui,
f 0(x0) =
df
dx
¯̄̄̄
x=x0
é a derivada no ponto x = x0. Esta figura mostra que, quando x é muito
próximo do x0, a reta tangente praticamente coincide com a função f(x) em si.
Isto é,
f(x) ' f(x0) + f 0(x0) (x− x0) ,
ou seja definindo o novo variável ε por ε = δx = x− x0, podemos escrever
f(x0 + ε) ' f(x0) + f 0(x0) ε. (1)
Exercício: Calcule o erro da expressão (1) nos seguintes casos:
1.
f(x) = exp(x), x0 = 0, δx = 0.2
2.
f(x) = cos(x), x0 = 0, δx = 0.2
3.
f(x) = sin(x), x0 = 0, δx = 0.2
1
4.
f(x) = sin(x), x0 = 0, δx = 0.5
Vejamos que, de fato, a aproximação (1) é bastante boa enquanto δx é
pequeno. Mas, naturalmente a aproximação vai piorando na medida que δx
se torna maior. Para melhorar a aproximação, podemos incluir a dependência
quadrática em δx como
f(x0 + ε) ' f0 + f 0(x0)ε+ C ε2, (2)
onde C é uma constante a ser determindada. Naturalmente esta expressão ainda
é uma aproximação e não é possível que os dois lados se tornem idênticos como
função de ε. Por outro lado, a aproximação linear (Eq.(1, ou os primeiros dois
termos da Eq.(??) acima) já ajustava a curva no ponto x = x0 até a derivada.
Assim, para melhorar aproximação em torno de x = x0, é interessante que o
último termo na Eq.(??) ajustasse a segunda derivada da curva no ponto x = x0.
Temos
d2f(x0 + ε)
dε2
¯̄̄̄
ε=0
= f 00(x0),
e
d2
dε2
¡
f0 + f
0(x0)ε+ C ε
2
¢
= 2C.
Escolhendo
C =
1
2
f 00(x0),
teremos
f(x0 + δx) ' f0 + f 0(x0)δx+
1
2
f 00(x0) (δx)
2 , (3)
como uma aproximação melhor que a Eq.(1).
Exercício: Calcule o erro da expressão (3) nos casos do Exercício anterior.
Note que o termo quadrático em ε decresce rapidamente comparado com o
termo linear. Por exemplo, se ε = 0.1, ε2 = 0, 01, mas se ε = 0.001, então
ε2 = 0.000001, etc.
O procedimento acima sugere que podemos ir melhorando a aproximação
até obtermos uma expressão polinomial em ε que seja idêntica à função original.
Vamos então pôr
f(x0 + ε) = f0 + f
0(x0)ε+
1
2
f 00(x0)ε
2 + c3ε
3 + c4ε
4 + · · ·+ cnεn + · · · (4)
Os coeficientes c0is podem ser determinados requerendo que todas as derivadas
em relação a ε dos dois lados no ponto ε = 0 devem coincidir. Por exemplo,
para a terceira derivada no ponto ε = 0 do lado esquerdo fica
d3
dε3
f(x0 + ε)
¯̄̄̄
ε=0
= f 000(x0),
2
no entanto, o lado direito fica
3 · 2 · c3,
e portanto, temos
c3 =
1
3!
f (3)(x0), (5)
onde f (n) (x0) representa a n−esima derivada no ponto x0. Em geral,
cn =
1
n!
f (n) (x0) . (6)
Assim, temos
f(x0 + ε) = f0 +
1
1!
f 0(x0)ε+
1
2!
f 00(x0)ε
2 + · · ·+ 1
n!
f (n) (x0) ε
n + · · ·
=
∞X
n=0
1
n!
f (n)(x0) ε
n. (7)
Podemos escrever tambem como
f (x) = f (x0)+
1
1!
f 0(x0) (x− x0)+
1
2!
f 00(x0) (x− x0)2+· · ·+
1
n!
f (n) (x0) (x− x0)n+· · ·
A expressão acima é conhecida como a expansão em série de Taylor da função
f(x) em torno de x = x0.
Exercício: Obtenha as séries de Taylor nos seguintes casos:
1.
sin(x), cos(x), ex
em torno de x = 0.
2. As mesmas funções em torno de x = π/2.
3.
ln(1− x)
em torno de x = 0.
4.
1
1− x
em torno de x = 0.
Exercício: Verifique se as relações,
d
dx
sinx = cosx,
d
dx
cosx = − sinx,Z x
0
dx
1− x = − ln(1− x),
são válidas nas séries de Taylor correspondentes.
3
Exercício: Prove que Z x
0
1
1 + x2
dx = tan−1 x, (8)
e usando a fórmula acima, obtenha a expansão de Taylor da função
tan−1 x (9)
em torno de x = 0.
Quando a variação de x, ε for pequena, como vimos, podemos truncar a série
de Taylor dentro de uma precisão desejada. O truncamento de série de Taylor
em certa ordem de ε, digamos n = 2, é
f(x0 + ε) = f0 +
1
1!
f 0(x0)ε+
1
2!
f 00(x0) ε
2 +O(ε3),
onde O
¡
δx3
¢
significa “da ordem de ε3 ”, mostrando que os termos desprezados
não passam de uma quantidade pequena da ordem superior de ε3. Ou seja, se
ε = 0.01, o termo de correção seria da ordem de 10−6.
0.1.1 Raio de Convergência
A série de Taylor pode não convergir. Por exemplo, a série de Taylor,
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + · · · (10)
não é válida para |x| ≥ 1. Ou seja, o lado esquerdo é bem definida mesmo
|x| > 1,(exceto x = 1) mas o lado direto não é definida se |x| ≥ 1.
Exercício: Calcule os dois lados da Eq.(10) para os valores de x = 0.1, x = −2,
e x = 2.
Para uma dada série, o domínio de variável para o qual a série converge é
chamado de raio de convergência. No exemplo do exercício acima, o raio da
convergência da série da Eq.(10) é |x| = 1. Os raios de convergência das séries
de Taylor para sin (x), cos(x) e exp(x) são infinitas, ou seja, a série converge
para qualquer valor de x.
0.1.2 Variável complexa
Vamos ver um exemplo interessante da aplicação de série de Taylor. Já sabemos
que
sin (x) = x− 1
3!
x3 +
1
5!
x5 − 1
7!
x7 + · · ·
cos (x) = 1− 1
2!
x2 +
1
4!
x4 − 1
6!
x6 + · · ·
4
e
ez = 1 +
1
1!
z +
1
2!
z2 +
1
3!
z3 +
1
4!
z4 · · · .
Em particular, se
z = ix
na última expressão, temos
eix = 1 + ix− 1
2!
x2 − i 1
3!
x3 +
1
4!
x4 + i
1
5!
x5 + · · · (11)
A inspeção das expressões acima mostra que vale a segunte relação:
eix = cos (x) + i sin (x) . (12)
Esta é conhecida como a relação de Euler, e é extremamente útil para tratar as
funções trigonométricas. Por exemplo,
eix · eiy = ei(x+y)
= cos (x+ y) + i sin (x+ y) . (13)
mas
eix · eiy = (cosx+ i sinx) (cos y + i sin y)
= cosx cos y − sinx sin y + i (sinx cos y + cosx sin y) (14)
Igualando as partes reais e imaginárias das equações (12) e (13), temos as fór-
mulas de adição,
cos (x+ y) = cosx cos y − sinx sin y,
sin (x+ y) = sinx cos y + cosx sin y.
Podemos obter a inversa da Eq.(12) como
cos (x) =
eix + e−ix
2
,
sin (x) =
eix − e−ix
2i
.
Exercício: Prove as relaçoes acima.
Exercício: Obtenha a fórmula que expressa
sin 3x
em termos de polinômio de sin (x) e cos (x).
0.1.3
5