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IF/UFRJ – MECÂNICA QUÂNTICA I (PG) – 2010/1
11a. Lista de Exerćıcios
1. Sejam |n〉 um autoestado de uma Hamiltoniana H, correspondendo ao autovalor
En, e U uma operação de simetria que deixa H invariante. Mostre que se U |n〉
representa um estado distinto de |n〉, então En é duplamente degenerado. Generalize
este problema para o caso de um operador U(λ), que depende continuamente de um
parâmetro λ.
2. Considere uma transformação infinitesimal,
U = 1 − i
h̄
G(t) δλ.
(a) Que relação deve ser satisfeita pelo gerador G(t) para que um sistema f́ısico seja
invariante por esta transformação?
(b) Obtenha o gerador das translações infinitesimais para uma part́ıcula de massa
m e carga q, em presença de um campo elétrico E. [Sugestão: Examine as
equações de Hamilton clássicas.]
3. Considere a transformação de escala
ψ(x) −→ λ1/2ψ(λx), λ > 0.
(a) Mostre que ela é unitária.
(b) Obtenha o gerador infinitesimal.
(c) Daqui até o fim do problema considere, em particular, a Hamiltoniana
H = p
2
2m
+
1
2
k
x2
.
Mostre que H′ = H/λ2.
(d) Mostre que a transformação acima é uma simetria do problema, desde que o
tempo também sofra uma mudança de escala.
(e) Obtenha a dependência temporal expĺıcita do gerador da simetria.
4. Uma part́ıcula move-se em um potencial periódico unidimensional, V (x±a) = V (x);
fisicamente, isto pode representar o movimento de elétrons não-interagentes em
uma rede cristalina. Chamemos de |n〉, n = 0,±1,±2, . . . ,±N , os estados que
representam uma part́ıcula localizada no śıtio n, com 〈n′|n〉 = δn,n′ . Sejam H a
Hamiltoniana do sistema e U(a) o operador de translação discreto: U(a)|n〉 = |n+1〉.
Na aproximação tight-binding despreza-se a superposição de estados localizados em
śıtios separados por uma distância maior que a, de modo que
H|n〉 = E0|n〉 − Δ(|n+ 1〉 + |n− 1〉) ,
2
onde E0 é a energia de uma part́ıcula localizada em qualquer śıtio, e Δ é a energia
associada ao salto entre os orbitais atômicos centrados nos śıtios da rede.
(a) Mostre que a combinação linear
|θ〉 =
N∑
n=−N
einθ|n〉
é autovetor tanto de U(a), com autovalor e−iθ, quanto de H, com autovalor
E(θ) = E0 − 2Δ cos θ.
(b) Mostre que a função de onda associada a |θ〉 satisfaz o Teorema de Bloch.
5. Uma rotação definida pelos ângulos de Euler, (αβγ), corresponde a três rotações
sucessivas: (1) de α em torno do eixo Oz, de modo que Oy vai em Ou; (2) de β em
torno do eixo Ou, de modo que Oz vai em OZ; (3) de γ em torno do eixo OZ, de
modo que Ou vai em OY . Assim,
D(αβγ) = DZ(γ)Du(β)Dz(α) = e−(i/h̄)γJZ e−(i/h̄)βJue−(i/h̄)αJz ,
onde Jn é a componente do operador momento angular total ao longo da direção
n̂. Mostre que D(αβγ) pode ser mais convenientemente expresso, em termos de
rotações em torno dos eixos fixos, como
D(αβγ) = e−(i/h̄)αJze−(i/h̄)βJye−(i/h̄)γJz .
6. Obtenha a relação entre os elementos da matriz de rotação, D(j)
mm′(R), quando a
rotação, R, é expressa em termos dos ângulos de Euler, e os elementos da matriz de
rotação em torno do eixo y.
7. (a) Obtenha a matriz de rotação para spin-1 a partir das matrizes de rotação para
spin-1/2.
(b) Sejam J1 e J2 dois operadores de momento angular, com [J1μ, J2ν ] ≡ 0, ∀μ, ν =
x, y, z, e J = J1 + J2. Mostre que
D
(j)
m′m(R) =
∑
m′1m1
∑
m′2m2
〈j1j2m′1m′2|j1j2jm〉〈j1j2m1m2|j1j2jm〉D(j1)m′1m1(R)D
(j2)
m′2m2
(R),
onde os 〈. . . | . . .〉 são os coeficientes de Clebsch-Gordan.
8. Considere dois spins-1/2, S1 e S2, fixos em posição, cuja interação seja descrita
por uma Hamiltoniana H. Suponha que os observáveis S1 e S2 sofram rotações
simultâneas e idênticas de um ângulo θ em torno de um eixo n̂.
(a) Mostre que se H = −A S1 ·S2, com A constante, H é invariante para quaisquer
n̂ e θ.
3
(b) Mostre que se H = −A
(
Sx1S
x
2 + S
y
1S
y
2
)
, com A constante, H é invariante para
n̂ ≡ ẑ e qualquer θ.
(c) Mostre que se H = −A Sz1Sz2 , com A constante, H é invariante para n̂ ≡ x̂ (ou
ŷ) e θ = π.
(d) Comente sobre as diferenças e semelhanças principais entre seus três resultados
acima; procure identificar os casos em que a simetria é discreta ou cont́ınua. O
valor dos spins tem influência em seus resultados?
9. Considere rotações de um ângulo β em torno do eixo Oy, para uma part́ıcula com
momento angular total J.
(a) Mostre que
j∑
m=−j
m
∣∣∣∣D
(j)
mm′(β)
∣∣∣∣
2
= m′ cosβ,
onde D(j)
mm′(β) é a representação matricial do correspondente operador de
rotação.
(b) Confira seus resultados de (a) no caso j = 1/2.