2013-tcc-gdabandeira

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
GLAUCIO DE ASSIS BANDEIRA 
 
 
 
 
 
PROGRAMAÇÃO VBA E CRIAÇÃO DE MACROS EM PLANILHAS 
ELETRÔNICAS PARA O DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE 
ELEMENTOS ESTRUTURAIS FORMADOS POR PERFIS DE AÇO LAMINADOS E 
SOLDADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2013
i 
 
GLAUCIO DE ASSIS BANDEIRA 
 
 
 
 
 
 
PROGRAMAÇÃO VBA E CRIAÇÃO DE MACROS EM PLANILHAS ELETRÔNICAS 
PARA O DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
FORMADOS POR PERFIS DE AÇO LAMINADOS E SOLDADOS 
 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada à Coordenação do 
Curso de Engenharia Civil da Universidade 
Federal do Ceará, como requisito para 
obtenção do grau de Engenheiro Civil. Área de 
concentração: Engenharia Estrutural. 
 
Orientador: Professor Dr. Augusto Teixeira de 
Albuquerque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2013 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação 
Universidade Federal do Ceará
Biblioteca Universitária
Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
B165p Bandeira, Glaucio de Assis.
 Programação VBA e criação de macros em planilhas eletrônicas para o dimensionamento e verificação de
elementos estruturais formados por perfis de aço laminados e soldados / Glaucio de Assis Bandeira. – 2013.
 100 f. : il. color.
 Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia,
Curso de Engenharia Civil, Fortaleza, 2013.
 Orientação: Prof. Dr. Augusto Teixeira de Albuquerque.
 1. Perfis de aço. 2. Dimensionamento. 3. Elementos estruturais. 4. Programação VBA. I. Título.
 CDD 620
ii 
 
GLAUCIO DE ASSIS BANDEIRA 
 
 
 
 
 
PROGRAMAÇÃO VBA E CRIAÇÃO DE MACROS EM PLANILHAS ELETRÔNICAS 
PARA O DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
FORMADOS POR PERFIS DE AÇO LAMINADOS E SOLDADOS 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada à Coordenação do 
Curso de Engenharia Civil da Universidade 
Federal do Ceará, como requisito para 
obtenção do grau de Engenheiro Civil. Área 
de concentração: Engenharia Estrutural. 
 
Orientador: Professor Dr. Augusto Teixeira de 
Albuquerque 
 
Aprovada em:_____/______/______ 
 
BANCA EXAMINADORA 
 
____________________________________________ 
Professor Dr. Augusto Teixeira de Albuquerque (Orientador) 
Universidade Federal do Ceará (UFC) 
 
___________________________________________ 
Professor Dr. Leonardo Melo Bezerra 
Universidade Federal do Ceará (UFC) 
 
___________________________________________ 
Professora Dra. Magnólia Maria Campelo Mota 
Universidade Federal do Ceará (UFC) 
 
iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao Rei dos Reis e meu Senhor Jesus Cristo, 
autor e consumador da minha Fé. 
À toda minha Família. 
À minha esposa Verônica e aos meus filhos 
Victor e Vinicius. 
iv 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
Ao Rei dos Reis e meu Senhor Jesus Cristo que pela sua Graça e Misericórdia 
permitiu-me concluir este curso. 
À toda minha família e da minha esposa pela compreensão, paciência, apoio e 
cooperação ao longo desta jornada. 
À minha esposa Verônica que compartilhou comigo toda essa histórica batalha e 
se dispõe à quantas mais vierem. 
Aos professores Augusto Teixeira de Albuquerque (orientador), Leonardo Melo 
Bezerra (examinador) e Magnólia Maria Campelo Mota (examinadora). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deus é o que opera em nós tanto o querer 
como o efetuar, segundo a sua boa vontade. 
Filipenses 2:13 
vi 
 
RESUMO 
 
 
Por motivos técnicos, econômicos, sociais e políticos, a construção metálica no 
Brasil, durante muito tempo, restringiu-se à edifícios industriais e grandes coberturas. A 
descoberta de gigantescas reservas de minérios no país, sendo o minério de ferro um dos mais 
abundantes, atraiu interesses econômicos e políticos e impulsionou o desenvolvimento e 
expansão da indústria siderúrgica nacional. Como conseqüência diversos setores produtivos 
foram impactados, dentre eles, a indústria da construção civil brasileira que tem tido grande 
evolução nos projetos e nas metodologias construtivas depois que passou-se a tirar partido da 
construção metálica como solução para o projeto e construção de praticamente todos os tipos 
de empreendimentos, tais como edifícios comerciais, shopping centers, edifícios residenciais, 
pontes, viadutos, passarelas e várias outras aplicações. Por essa razão, este trabalho tem como 
objetivo contribuir para o ensino, pesquisa e divulgação da construção metálica nas escolas de 
engenharia, apresentando de forma clara e objetiva os tipos de aços estruturais, as 
propriedades físicas dos aços estruturais, os produtos de aço para uso estrutural, as 
propriedades geométricas das seções transversais dos elementos estruturais, as principais 
solicitações a que estão sujeitos, os conceitos e fundamentos teóricos que balizam os 
procedimentos da ABNT NBR 8800:2008 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas 
de aço e concreto de edifícios, os procedimentos normativos de dimensionamento e 
verificação de elementos estruturais formados por perfis de aço laminados e soldados e a 
implementação computacional desses procedimentos via planilhas eletrônicas, com macros 
programadas em Visual Basic for Application (VBA) para automatizar o dimensionamento e 
verificação desses elementos estruturais. A leitura e interpretação do texto e dos anexos da 
ABNT NBR 8800:2008 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto 
de edifícios, complementada com os fundamentos teóricos, conceitos e exemplos extraídos de 
literatura técnica atualizada sobre o assunto são a base do desenvolvimento teórico. A 
programação Visual Basic for Application (VBA) de macros em planilhas eletrônicas para o 
dimensionamento e verificação dos elementos estruturais, corresponde à parte prática do 
trabalho e foi feita consultando-se a ajuda do próprio aplicativo Excel e arquivos de texto 
sobre programação VBA encontrados em sites na internet. Com as planilhas eletrônicas será 
possível obter o perfil de aço laminado ou soldado, selecionado em um banco de dados 
composto por tabelas de propriedades geométricas de perfis, que atenda, simultaneamente, às 
vii 
 
condições de segurança e de desempenho em serviço quando o elemento estrutural, fabricado 
com esse perfil, for submetido a um esforço solicitante crítico (Força axial de tração 
solicitante de cálculo e Força axial de compressão solicitante de cálculo) e que tenha o menor 
peso próprio possível. 
Com este trabalho mais que atingir os objetivos supra citados pretende-se 
despertar interesse de alunos de graduação em engenharia e de professores responsáveis pelo 
ensino da disciplina Estruturas de Aço I, ofertada pelo Departamento de Engenharia Estrutural 
e Construção Civil da Universidade Federal do Ceará, que poderão dar continuidade ao 
mesmo expandindo-o e aprimorando-o. 
 
Palavras-chave: Perfis de aço. Dimensionamento. Elementos estruturais. Programação VBA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
 
ABSTRACT 
 
 
For technical reasons, economic, social and political, structural steelwork in Brazil 
for a long time, restricted to large industrial buildings and roofs. The discovery of huge 
reserves of minerals in the country, with iron ore one of the most abundant, economic and 
political interests attracted and stimulated the development and expansion of the domestic 
steel industry. As a consequence many productive sectorswere impacted, among them the 
Brazilian construction industry that has had great progress in projects and methodologies 
constructive after it moved to take advantage of the metal building as a solution for the design 
and construction of virtually all types of projects, such as office buildings, shopping centers, 
residential buildings, bridges, viaducts, overpasses and many other applications. Therefore, 
this paper aims to contribute to teaching, research and dissemination of metal construction in 
engineering schools, presenting a clear and objective types of structural steel, the physical 
properties of structural steel, steel products for use structural, geometric properties of the 
cross sections of structural elements, the major stresses to which they are subject, the concepts 
and theoretical foundations that underlie the procedures of ABNT NBR 8800:2008 - Design 
of steel structures and composite structures of steel and concrete buildings, normative 
procedures of design and verification of structural elements made of steel rolled profiles and 
soldiers and computational implementation of these procedures via spreadsheets with macros 
programmed in Visual Basic for Application (VBA) to automate the design and verification of 
these structural elements. The reading and interpretation of the text and annexes of ABNT 
NBR 8800:2008 - Design of steel structures and composite structures of steel and concrete 
buildings, complemented with theoretical foundations, concepts and examples from current 
technical literature on the subject are the basis of the theoretical development. Programming 
Visual Basic for Application (VBA) macros in spreadsheets for the design and verification of 
structural elements, corresponds to the practical part of the work was done and consulting to 
help the application itself Excel and text files on VBA programming found in Internet sites. 
With spreadsheets you can obtain the profile of rolled steel or welded, selected on a database 
composed of tables of properties of geometric profiles, that meets both the conditions of 
safety and performance in service when the structural element, manufactured with this profile, 
is subjected to a critical effort requestor (axial traction requesting calculation and axial 
compression requesting calculation) and has the lowest possible weight itself. 
ix 
 
With this work more than achieve the goals listed above is intended to arouse the 
interest of undergraduates in engineering and teachers responsible for teaching discipline 
Steel Structures I, offered by the Department of Structural Engineering and Construction, 
Federal University of Ceará, may continue the same expanding it and improving it. 
 
Keywords: steel profiles. Sizing. Structural elements. VBA programming. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
λ Índice de esbeltez 
λpl Índice de esbeltez limite de plastificação 
λ0 Índice de esbeltez reduzido 
λr Índice de esbeltez limite de proporcionalidade 
λlim Índice de esbeltez limite 
L Comprimento destravado 
Lx Comprimento destravado na direção do eixo x 
Ly Comprimento destravado na direção do eixo y 
Lz Comprimento destravado na direção do eixo z 
Lef Comprimento efetivo de flambagem 
K Coeficiente de flambagem por flexão 
Kx Coeficiente de flambagem por flexão na direção do eixo x 
Ky Coeficiente de flambagem por flexão na direção do eixo y 
Kz Coeficiente de flambagem por torção em torno do eixo z 
r Raio de giração 
r0 Raio de giração polar 
rx Raio de giração em torno do eixo x 
ry Raio de giração em torno do eixo y 
Nt,Sd Força axial de tração solicitante de cálculo 
Nt,Rd Força axial de tração resistente de cálculo 
fy Resistência ao escoamento do aço 
fu Resistência à ruptura do aço 
fcr Tensão crítica de resistência do material; tensão crítica de flambagem elástica 
fmax Tensão máxima de resistência do material 
fp Tensão de proporcionalidade 
Nc,Sd Força axial de compressão solicitante de cálculo 
Nc,Rd Força axial de compressão resistente de cálculo 
a1 Coeficiente de ponderação da resistência ao escoamento do aço 
a2 Coeficiente de ponderação da resistência à ruptura do aço 
xi 
 
χ Fator de redução associado à resistência à compressão 
Qa Fator de redução que leva em conta a flambagem local de elementos AA 
Qs Fator de redução que leva em conta a flambagem local de elementos AL 
Q Fator de redução total associado à flambagem local 
A Área da seção transversal 
E Módulo de elasticidade 
Et Módulo de elasticidade tangente 
G Módulo de elasticidade transversal; centro geométrico de seção transversal ѵ Coeficiente de poisson 
a Coeficiente de dilatação linear do aço 
ρa Massa específica do aço 
d Altura total da seção transversal 
b Largura 
bf Largura da mesa 
bef Largura efetiva 
t Espessura 
tw Espessura da alma 
hw Altura da alma 
dh Diâmetro de furo 
db Diâmetro de parafuso 
Ah Área de furo 
Ab Área de parafuso 
ps Relativo a perfil ou peça simples 
pc Relativo a perfil ou peça compostos 
Msx Momento estático de área relativo ao eixo x 
Msy Momento estático de área relativo ao eixo y 
x Relativo ao eixo x 
y Relativo ao eixo y 
x0 Abscissa do centro de torção 
y0 Ordenada do centro de torção 
xii 
 
xG Abscissa do centro geométrico 
yG Ordenada do centro geométrico 
I Momento de inércia 
Ix Momento de inércia de área de seção transversal em torno do eixo x 
Iy Momento de inércia de área de seção transversal em torno do eixo y 
Ixy Produto de inércia de área de seção transversal 
T Momento de inércia à torção 
W Módulo de resistência elástico 
Z Módulo de resistência plástico 
Sd Solicitação de cálculo 
Rd Resistência de cálculo 
Sser Solicitações de serviço 
Slim Solicitações limites de serviço 
Ct Coeficiente de redução da área líquida 
Ag Área bruta da seção transversal 
An Área líquida da seção transversal 
Aef Área efetiva da seção transversal 
Ac Área conectada da seção transversal 
s Espaçamento longitudinal entre furos 
g gabarito de furação; espaçamento transversal entre furos 
ec Excentricidade da ligação 
lc Comprimento da ligação 
lw Comprimento do cordão de solda 
σ Tensão normal 
σfl Tensão normal de flambagem elástica 
σcr Tensão crítica de flambagem elástica 
N Força axial; normal 
Ne Normal de flambagem elástica 
Nex Normal de flambagem elástica por flexão em torno do eixo x 
Ney Normal de flambagem elástica por flexão em torno do eixo y 
xiii 
 
Nez Normal de flambagem elástica por flexão em torno do eixo z 
Nexz Normal de flambagem elástica por flexo-torção em torno do eixo x 
Neyz Normal de flambagem elástica por flexo-torção em torno do eixo y 
Ncr Normal crítica; carga crítica 
Npl Normal de plastificação 
M Momento fletor 
v Deslocamento horizontal 
P Carga axial 
Pcr Carga ou força crítica de Euler 
V Flecha; deformação 
C Constante 
Cw Constante de empenamento da seção transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xiv 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 15 
1.1 Tema ..........................................................................................................................16 
1.2 Justificativa ................................................................................................................ 16 
1.3 Problema .................................................................................................................... 17 
1.4 Hipóteses .................................................................................................................... 18 
1.5 Objetivos .................................................................................................................... 20 
2 REVISÃO DE LITERATURA ......................................................................................... 22 
2.1 Conceito de aço .......................................................................................................... 22 
2.2 Classificação dos aços estruturais .............................................................................. 22 
2.3 Propriedades dos aços estruturais .............................................................................. 24 
2.4 Principais séries de aços estruturais ........................................................................... 28 
2.5 Produtos de aço para uso estrutural ........................................................................... 29 
2.6 Propriedades geométricas das seções planas transversais ......................................... 32 
2.7 Elementos que compõe uma estrutura em aço e suas principais solicitações ............ 36 
2.8 Segurança e estados-limites ....................................................................................... 39 
2.9 Elementos estruturais em aço submetidos à força axial de tração ............................. 40 
2.10 Elementos estruturais em aço submetidos à força axial de compressão ................ 47 
3 DESENVOLVIMENTO ................................................................................................... 70 
3.1 O Excel e o VBA ....................................................................................................... 70 
3.2 O Editor de VBA ....................................................................................................... 71 
3.3 Como trabalhar com objetos em VBA ....................................................................... 73 
3.4 Planejamento, organização , fluxogramas e programação das planilhas eletrônicas 
para o dimensionamento e verificação de elementos estruturais formados por perfis de aço 
laminados e soldados ............................................................................................................ 74 
4 APLICAÇÃO DAS PLANILHAS NA RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS ..................... 82 
4.1 Dimensionamento e verificação de elementos tracionados ....................................... 82 
4.2 Dimensionamento e verificação de elementos comprimidos..................................... 87 
5 CONCLUSÃO .................................................................................................................. 96 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
“Registros históricos demonstram que a tecnologia da construção metálica é 
anterior à tecnologia da construção em concreto. No entanto, no Brasil, sua implantação foi 
tardia e lenta, por motivos técnicos, econômicos, sociais e políticos” (SOUZA, 2010, p. 8). 
Com o passar dos anos, foram sendo descobertas gigantescas reservas de minérios 
no Brasil, sendo o minério de ferro um dos mais abundantes. Isso atraiu os interesses políticos 
e econômicos para a implantação, desenvolvimento e expansão da indústria siderúrgica no 
país. Como consequência, diversos setores foram impactados pelo crescimento da indústria 
siderúrgica, dentre eles a indústria da construção civil, cujo emprego do aço era limitado. 
 
A realidade atual é bem diferente, e o aço aparece frequentemente como alternativa 
viável para diversos tipos de empreendimentos. Deixou de ser o material empregado 
predominantemente em edifícios industriais e grandes coberturas, passando a ser 
utilizado em edifícios comerciais, shopping Centers, edifícios residenciais, pontes, 
viadutos, passarelas e várias outras aplicações. Esse incremento no uso do aço foi 
possível devido ao entendimento de suas características, que interferem de forma 
positiva em várias etapas da construção e, assim, reduzem o peso próprio, aliviam 
cargas nas fundações, facilitam instalações de canteiros de obras, e diminuem prazos 
e custos finais (SOUZA, 2010, p. 8). 
 
Em todas as regiões do Brasil isso pode ser observado em obras recentes 
construídas ou em fase de construção. Em Fortaleza, capital do estado do Ceará, podemos 
citar os viadutos sobre as avenidas Santos Dumont e Mr Hall, as estações da linha sul do 
metrô e as passarelas de pedestres ao longo da mesma, os prédios das diversas redes de 
supermercados e shopping centers, a Arena Coberta Plácido Aderaldo Castelo, o novo prédio 
do Tribunal de Contas do Estado, etc. 
Por conta dessa diversificação e aumento crescente do uso do aço na construção 
civil brasileira, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), lançou a nova norma 
brasileira ABNT NBR 8800:2008 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço 
e concreto de edifícios, resultado da evolução tecnológica dos projetos e da diversificação e 
fusão de metodologias construtivas (Construção em Aço + Construção em Concreto). Há, 
portanto, cada vez mais necessidade de estudo, conhecimento, ensino, pesquisa e divulgação 
da construção metálica nas escolas de engenharia. 
 
 
16 
 
1.1 Tema 
 
Este trabalho, cujo tema é Programação VBA e Criação de Macros em Planilhas 
Eletrônicas para o Dimensionamento e Verificação de Elementos Estruturais formados por 
Perfis de Aço Laminados e Soldados, tem cunho Teórico e Prático. Teórico porque nele são 
apresentados(as) os tipos de aços estruturais, as propriedades físicas dos aços estruturais, os 
produtos de aço para uso em elementos estruturais, as propriedades geométricas das seções 
transversais dos elementos que compõem uma estrutura de aço e as principais solicitações às 
quais poderão estar sujeitos. São também apresentados os conceitos e fundamentos teóricos 
que balizam o dimensionamento e verificação desses elementos estruturais segundo a ABNT 
NBR 8800:2008 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de 
edifícios. Prático porque transforma os procedimentos de dimensionamento e verificação de 
elementos estruturais em aço da ABNT NBR 8800:2008 em fluxogramas e estes, em 
programação Visual Basic for Application (VBA) de macros para planilhas eletrônicas, com 
as quais será possível o dimensionamento e a verificação de elementos estruturais formados 
por perfis de aço laminados e soldados submetidos a um dado tipo e intensidade de 
solicitação. 
 
1.2 Justificativa 
 
Um projeto como este proporcionará diversos benefícios a estudantes de 
graduação em engenharia interessados nesta área de estudo, como conhecimento teórico sobre 
dimensionamento e verificação de elementos estruturais em aço fundamentado em normas 
técnicas vigentes e em literatura técnica atualizada, conhecimento e aplicação da poderosa 
ferramenta de programação VBA na elaboração de macros para planilhas eletrônicas com 
recursos avançados para auxiliar em projetos de engenharia estrutural e, principalmente, 
tornar a tarefa de dimensionar e verificar elementos estruturais em aço menos trabalhosa e 
fatídica e com menor risco de subdimensionar ou superdimensionar as peças estruturais. Peças 
estruturais em aço, quando subdimensionadas, poderão causar desde problemas patológicos 
frequentes e recorrentes até o colapso parcial ou total da estrutura. Peças superdimensionadas 
oneraram o custo de uma estrutura em aço inviabilizando-a. Este trabalho é apenas o inicio de 
um projetoque poderá ser aperfeiçoado e expandido por outros estudantes de graduação em 
17 
 
engenharia interessados no assunto, pois trata apenas do dimensionamento e verificação de 
elementos estruturais simples formados por perfis de aço laminados e soldados submetidos a 
esforços solicitantes de cálculo de tração e compressão. Elementos estruturais simples 
formados por perfis de aço laminados e soldados submetidos a esforços de flexão simples, 
força cortante, elementos estruturais compostos formados por perfis de aço laminados e 
soldados, elementos estruturais mistos formados por aço e concreto, ligações parafusadas e 
soldadas e elementos estruturais submetidos a flexão composta, não serão abordados neste 
projeto ficando como sugestão, aos interessados no assunto, a apresentação teórica dos 
procedimentos de dimensionamento e verificação da ABNT NBR 8800:2008 – Projeto de 
estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios e a implementação 
computacional do dimensionamento e verificação desses elementos estruturais via planilhas 
eletrônicas. 
 
1.3 Problema 
 
Para dimensionar os elementos que compõem uma estrutura de aço é necessário 
definir o tipo de aço, o tipo de perfil, a geometria da seção transversal dos elementos, o 
processo de montagem, o processo de ligação, os fatores estéticos, os fatores ligados a 
durabilidade, as ações e combinações de ações atuantes, fazer a análise estrutural e definir a 
envoltória de todos os esforços solicitantes de cálculo resultantes das combinações críticas das 
ações atuantes. Em seguida verificar se os elementos que compõem a estrutura atendem ao 
estado-limite último (ELU) e ao estado-limite de serviço (ELS), quando submetidos à 
envoltória de esforços solicitantes ao longo de sua vida útil. 
Segundo a ABNT NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas – 
Procedimento, os estados-limites últimos (ELU) estão relacionados à perda de equilíbrio, 
global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido; à ruptura ou deformação 
plástica excessiva dos materiais; à transformação da estrutura, no todo ou em parte, em 
sistema hipostático; à instabilidade por deformação; à instabilidade dinâmica. Já os estados-
limites de serviço (ELS) estão relacionados a danos ligeiros ou localizados, que 
comprometem o aspecto estético da construção ou a durabilidade da estrutura; à deformações 
excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto estético; à vibração 
excessiva ou desconfortável. 
18 
 
Por tanto, o dimensionamento e verificação dos elementos estruturais de uma 
construção deverá ser feito de forma a evitar que qualquer um desses estados limites seja 
excedido ao longo da vida útil da construção. 
O uso de planilhas eletrônicas têm sido uma das ferramentas de grande utilidade 
para manipular dados em diversas atividades, permitindo receber, armazenar, organizar, 
selecionar e processar dados, obtendo assim, resultados para análise e tomada de decisão. A 
implementação computacional com programação Visual Basic for Application (VBA) de 
macros em planilhas eletrônicas para o dimensionamento e verificação de elementos 
estruturais em aço é o problema a ser solucionado ao longo deste trabalho, que exigirá 
conhecimento desses procedimentos de dimensionamento e verificação conforme as normas 
vigentes, conhecimento das ferramentas de programação VBA, criação de um banco de dados 
composto por todas as tabelas contendo os dados que serão necessários ao dimensionamento e 
verificação, bem como a criação das planilhas de dimensionamento e verificação, com botões 
de comando para selecionar e capturar dados no banco de dados criado, fazer o processamento 
do dimensionamento e verificação, exibir os resultados e possibilitar a impressão da planilha 
com todas as informações do dimensionamento e verificação dos elementos estruturais em 
aço. 
 
1.4 Hipóteses 
 
Organizando um banco de dados de tabelas e transformando os procedimentos 
normativos de dimensionamento e verificação dos elementos estruturais formados por perfis 
de aço laminado e soldado em fluxogramas, pode-se, utilizando recursos de planilha 
eletrônica, automatizar o dimensionamento e verificação, atendendo a todas as condições de 
segurança e desempenho estruturais exigidas pela nova norma ABNT NBR 8800:2008- 
Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Com os 
resultados da análise do modelo estrutural do elemento (força axial de tração solicitante de 
cálculo e força axial de compressão solicitante de cálculo), obtidos com as combinações 
críticas das ações atuantes, faz-se o pré-dimensionamento do elemento estrutural dentro de 
limites práticos estabelecidos. 
No pré-dimensionamento de elementos tracionados, considera-se uma esbeltez, λ, 
máxima menor ou igual a 300 para o comprimento destravado, L, do elemento e determina-se 
19 
 
o raio de giração r. Escolhe-se nas tabelas de perfis aquele cujo valor do menor raio de 
giração correspondente mais se aproxima do obtido no pré-dimensionamento. Tem-se, então, 
por hipótese, um perfil que será o ponto de partida para o dimensionamento à tração. Segundo 
o subitem 5.2.1.2 da ABNT NBR 8800:2008, no dimensionamento de elementos estruturais 
submetidos à força axial de tração, deve ser atendida a condição: 
Nt,Sd ≤ Nt,Rd (1) 
onde: 
Nt,Sd → força axial de tração solicitante de cálculo; 
Nt,Rd → força axial de tração resistente de cálculo, determinada conforme os subitens 5.2.2, 
5.2.6 ou 5.2.7 da ABNT NBR 8800:2008, o que for aplicável. 
Devem ainda ser observadas as considerações estabelecidas no subitem 5.2.8 da 
ABNT NBR 8800:2008, relacionadas à limitação da esbeltez. O perfil mais econômico 
resultado do dimensionamento à tração será aquele, escolhido nas tabelas de perfis, para o 
qual a diferença entre a força axial de tração resistente de cálculo e a força axial de tração 
solicitante de cálculo mais se aproximar de zero e cujo peso próprio seja o menor possível. 
Esses são os passos para a resolução dos problemas de dimensionamento e verificação de 
elementos estruturais tracionados. Transforma-se esses passos em um fluxograma, o qual 
deverá ser implementado computacionalmente através da elaboração de planilhas eletrônicas 
contendo macros programadas em VBA capazes de fazer o dimensionamento e verificação de 
elementos estruturais formados por perfis de aço laminados e soldados submetidos a esforços 
axiais de tração. 
O pré-dimensionamento de elementos comprimidos, pode ser feito através do 
seguinte procedimento: conhecendo-se L, fy, Nc,Sd, a1, adotando-se χ=0,3 , Q=1 e aplicando-
se Nc,Sd ≤ Nc,Rd, determina-se o valor aproximado da área A, em cm2, da seção transversal do 
elemento estrutural por meio da expressão A= (Nc,Sd . a1) / (χ.Q.fy). Escolhe-se nas tabelas de 
perfis aquele cujo valor da área da seção transversal correspondente mais se aproxima da 
obtida no pré-dimensionamento. Tem-se, então, por hipótese, um perfil que será o ponto de 
partida para o dimensionamento à compressão. Segundo o subitem 5.3.1 da ABNT NBR 
8800:2008, no dimensionamento de elementos estruturais submetidos à força axial de 
compressão, deve ser atendida a condição: 
Nc,Sd ≤ Nc,Rd (2) 
onde: 
20 
 
Nc,Sd → é a força axial de compressão solicitante de cálculo; 
Nc,Rd → é a força axial de compressão resistente de cálculo, determinada conforme o subitem 
5.3.2 da ABNT NBR 8800:2008. 
Devem ainda ser observadas as prescrições estabelecidas no subitem 5.3.4 da 
ABNT NBR 8800:2008, relacionadas à limitação da esbeltez. O perfil mais econômico 
resultado do dimensionamento à compressão será aquele,escolhido nas tabelas de perfis, para 
o qual a diferença entre a força axial de compressão resistente de cálculo e a força axial de 
compressão solicitante de cálculo mais se aproximar de zero e cujo peso próprio for o menor 
possível. Esses são os passos para a resolução dos problemas de dimensionamento e 
verificação de elementos estruturais comprimidos. Transforma-se esses passos em um 
fluxograma, o qual deverá ser implementado computacionalmente através da elaboração de 
planilhas eletrônicas com macros programadas em VBA para o dimensionamento e 
verificação de elementos estruturais formados por perfis de aço laminados e soldados 
submetidos a esforços axiais de compressão. 
 
1.5 Objetivos 
 
1.5.1 Objetivo geral 
 
O objetivo geral deste trabalho é a elaboração de planilhas eletrônicas 
programadas em Visual Basic for Application (VBA), para dimensionar e verificar elementos 
estruturais em aço formados por perfis laminados e soldados submetidos à força axial de 
tração solicitante de cálculo, Nt,Sd, e à força axial de compressão solicitante de cálculo, Nc,Sd. 
 Além disso as planilhas possibilitarão encontrar, em uma determinada tabela de 
perfis laminados ou soldados, aquele que melhor atenda à todas as condições de segurança e 
de desempenho em serviço impostas pelas normas vigentes para um dado tipo e intensidade 
de solicitação atuante no elemento estrutural com máximo desempenho e economia. 
A programação Visual Basic for application (VBA) de macros em planilhas 
eletrônicas seguirá rigorosamente os procedimentos normativos da ABNT NBR 8800:2008, 
subitem 5.2 - Barras prismáticas submetidas à força axial de tração e subitem 5.3 - Barras 
prismáticas submetidas à força axial de compressão. 
21 
 
1.5.2 Objetivos específicos 
 
Os objetivos específicos deste trabalho são apresentar de forma objetiva e clara os 
seguintes assuntos necessários ao processo de dimensionamento e verificação dos elementos 
estruturais em aço via planilhas eletrônicas programadas em VBA: 
• os tipos de aços estruturais usualmente utilizados nos elementos das estruturas de aço; 
• as propriedades físicas dos aços estruturais; 
• as propriedades geométricas das seções transversais dos elementos estruturais; 
• os produtos de aço para uso nos elementos estruturais; 
• as peças que compõe uma estrutura em aço e as principais solicitações a que estão sujeitas; 
• os conceitos e fundamentos teóricos que balizam os procedimentos normativos da ABNT 
NBR 8800:2008 - Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de 
edifícios; 
• os procedimentos normativos de dimensionamento e verificação de elementos estruturais 
formados por perfis de aço laminados e soldados da ABNT NBR 8800:2008; 
• os fluxogramas para a implementação computacional dos procedimentos de 
dimensionamento e verificação dos elementos estruturais; 
• a elaboração de planilhas eletrônicas com macros em Visual Basic for Application (VBA) de 
acordo com os fluxogramas dos procedimentos de dimensionamento e verificação dos 
elementos estruturais, permitindo a escolha do perfil mais econômico para um elemento 
estrutural submetido a um dado tipo e intensidade de solicitação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
2 REVISÃO DE LITERATURA 
 
2.1 Conceito de aço 
 
Em qualquer área de conhecimento específico que um profissional habilitado for 
atuar desenvolvendo atividades que gerem soluções adequadas, corretas, práticas e 
econômicas é fundamental que haja conhecimento e entendimento dos conceitos de tudo que 
está relacionado à essas atividades. Assim é que para desenvolver atividades relacionadas às 
construções em aço deve-se começar com o conceito de aço. Segundo Pfeil, W. e Pfeil, M. 
(1995, p. 1), “o aço é uma liga de ferro e carbono com outros elementos adicionais como 
silício, manganês, fósforo, enxofre etc. O teor de carbono varia de 0% a 1,7%.” 
 
2.2 Classificação dos aços estruturais 
 
 Tendo conhecimento do conceito de aço, citado no parágrafo anterior, pode-se 
entender que, devido à variações na composição química da liga, existem aços estruturais com 
resistência mecânica e propriedades físicas diferentes. Segundo Pfeil, W. e Pfeil, M. (1995, p. 
1), “os aços utilizados em estruturas são divididos em dois grupos: aços-carbono e aços de 
baixa liga.” 
 
2.2.1 Aços-carbono 
 
Segundo Pfeil, W. e Pfeil, M. (1995, p. 1), “os aços-carbono são os tipos mais 
usados, nos quais o aumento de resistência em relação ao ferro puro é produzido pelo carbono 
e, em menor escala, pelo manganês.” Isso quer dizer que quanto maior o teor de carbono 
presente na liga maior será a resistência e menor a ductilidade do aço produzido. Por isso, 
segundo Pfeil, W. e Pfeil, M. (1995, p. 1), “em função do teor de carbono, distinguem-se 
quatro categorias: baixo carbono (C<0,15%); moderado carbono (0,15%<C<0,29%); médio 
carbono (0,30%<C<0,59%) e alto carbono (0,60%<C<1,7%).” 
23 
 
 Ainda segundo Pfeil, W. e Pfeil, M. (1995, p. 2), “em estruturas usuais de aço, 
utilizam-se de preferência aços com teor de carbono baixo até moderado, os quais podem ser 
soldados sem precauções especiais.” 
Como exemplos de aços-carbono mais usados em estruturas, de acordo com Bellei 
(2006, p. 7),“podemos citar: o ASTM A36 e A570, e os ABNT NBR 7007, 6648, 6649, 6650; 
DIN Stγ7.” 
 
2.2.2 Aços de baixa liga 
 
Bellei (2006, p. 7) afirma que os aços de baixa liga são os aços carbono que, 
acrescidos de elementos de liga tais como: nióbio, cobre, manganês, silício, etc, em pequenas 
quantidades, provocam um aumento de resistência do aço através da modificação da 
microestrutura para grãos finos, obtendo-se aços de resistência elevada com teor de carbono 
da ordem de 0,20%, permitindo a soldagem dos aços sem precauções especiais. Entre estes, 
podemos citar como mais usuais: o ASTM A572, A441, os ABNT NBR 7007, 5000, 5004; 
DIN St52, etc. 
Os aços de baixa liga e alta resistência mecânica e resistentes à corrosão 
atmosférica, conhecidos também como aços patináveis, são obtidos com pequena variação na 
composição química e com adição de alguns componentes, tais como vanádio, cromo, cobre, 
níquel e alumínio, que aumentam de duas a quatro vezes sua resistência à corrosão 
atmosférica. Entre eles citam-se: o ASTM A588, os ABNT NBR 5920, 5921, 5008. (BELLEI, 
2006, p. 7). 
 
2.2.3 Aços com tratamento térmico 
 
Segundo Pfeil, W. e Pfeil, M. (1995, p. 3) “tanto os aços carbono como os de 
baixa liga podem ter suas resistências aumentadas pelo tratamento térmico. A soldagem dos 
aços tratados termicamente é, entretanto, mais difícil, o que torna seu emprego pouco usual 
em estruturas correntes.” São os chamados aços com tratamento térmico empregados na 
fabricação de parafusos e barras de aço para protensão. 
24 
 
 “Os parafusos de alta resistência utilizados como conectores são fabricados com 
aço de médio carbono sujeito a tratamento térmico (especificação ASTM A325).” (PFEIL, 
W.; PFEIL, M., 1995, p. 3). 
“Os aços de baixa liga com tratamento térmico se empregam na fabricação de 
barras de aço para protensão e também de parafusos de alta tensão (especificação ASTM 
A490).” (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 3). 
 
2.3 Propriedades dos aços estruturais 
 
O conhecimento das propriedades dos aços estruturais é relevante no ato da 
especificação dos tipos de aço que irão compor os elementos estruturais de uma estrutura em 
aço. Com o conhecimento dos tipos de aço e de suas propriedades os profissionais envolvidos 
nas etapas de projeto, fabricação, transporte, montagem, utilização e manutenção estarão 
habilitados e preparados para escolher a opção mais adequada de tipo de aço a ser empregado, 
levando em consideração o local e o ambiente de implantação do empreendimento, o projeto 
arquitônico com suas exigências estéticas e funcionais, os tipos de uso e finalidade do 
empreendimento, o sistema estrutural adotado,as exigências das normas técnicas vigentes 
quanto à segurança, desempenho e durabilidade e a viabilidade técnica e econômica do 
empreendimento. Portanto é fundamental esse conhecimento, visto que há diferenças 
significativas entre cada tipo de aço tanto do ponto de vista técnico como econômico. 
 
2.3.1 Diagrama tensão x deformação dos aços estruturais 
 
 
Cada um dos tipos de aço produzidos nas indústrias siderúrgicas tem sua curva 
tensão x deformação característica. Souza (2010, p. 10) afirma que “para o projeto e 
dimensionamento de elementos estruturais em aço é importante conhecer o diagrama tensão x 
deformação que pode ser obtido por meio de ensaio de tração em corpos-de-prova 
padronizados.” À partir dos diagramas tensão x deformação definem-se a resistência ao 
escoamento (fy) e a resistência à ruptura (fu) dos diferentes tipos de aço. Os valores de 
resistência ao escoamento (fy) e de resistência à ruptura (fu) são utilizados nos procedimentos 
normativos de dimensionamento e verificação de elementos estruturais em aço. 
25 
 
 Diagramas tensão x deformação típicos são apresentados nas Figuras 1a e 1b. No 
primeiro caso, tem-se um diagrama com patamar de escoamento definido, típico de aços 
virgens. No segundo caso, um diagrama tensão x deformação comum em aços que passaram 
por tratamento a frio, como por exemplo, o encruamento. 
 
Figura 1a – Diagrama tensão x deformação de aços virgens 
 
 Fonte: Souza (2010) 
 
 
Figura 1b – Diagrama tensão x deformação de aços com tratamento a frio. 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
“Para os procedimentos de dimensionamento a ABNT NBR 8800:2008 exige aços 
estruturais com fy ≤ 450MPa e fu/fy ≥ 1,18.” (SOUZA, 2010, p. 10). 
 
2.3.2 Propriedades mecânicas gerais dos aços estruturais 
 
“Uma das vantagens do uso do aço em estruturas é o fato de ser um material 
homogêneo, com características mecânicas bem definidas e de simples caracterização.” 
(SOUZA, 2010, p. 9). 
26 
 
 Independentemente do tipo de aço, as propriedades mecânicas da Tabela 1 são 
constantes. 
 
Tabela 1 – Propriedades mecânicas dos aços estruturais 
Propriedades mecânicas dos aços estruturais 
Módulo de elasticidade E = 20000KN/cm2 
Módulo de elasticidade transversal G = 7700KN/cm2 
Coeficiente de Poisson ѵ = 0,3 
Coeficiente de dilatação térmica βa = 1,2x10-5 °C-1 
Massa específica ρa = 7850 Kg/m3 
Fonte: ABNT NBR 8800:2008 
 
2.3.3 Propriedades físicas dos aços estruturais 
 
As propriedades físicas são inerentes do tipo de aço, ou seja, o comportamento 
mecânico de dois elementos estruturais com dimensões e características geométricas idênticas 
e submetidos às mesmas condições de carregamento é diferente quando esses elementos 
estruturais se diferem apenas no tipo de aço. A seguir são citadas e definidas as propriedades 
físicas mais importantes dos aços estruturais. 
 
2.3.4 Ductilidade 
 
Denomina-se ductilidade a capacidade do material de se deformar sob a ação das 
cargas. Os aços dúcteis, quando sujeitos a tensões locais elevadas sofrem deformações 
plásticas capazes de redistribuir as tensões; esse comportamento plástico permite, por 
exemplo, que se considere numa ligação rebitada distribuição uniforme de carga entre os 
rebites. Além desse efeito local, a ductilidade tem importância porque conduz a mecanismos 
de ruptura acompanhados de grandes deformações que fornecem avisos da atuação de cargas 
elevadas. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 7). 
 
 
27 
 
2.3.4.1 Fragilidade 
 
“É o oposto da ductilidade. Os aços podem ser tornados frágeis pela ação de 
diversos agentes: baixas temperaturas ambientes, efeitos térmicos locais causados, por 
exemplo, por solda elétrica etc.” (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 7). 
“O estudo das condições em que os aços se tornam frágeis tem grande importância 
nas construções metálicas, uma vez que os materiais frágeis se rompem bruscamente, sem 
aviso prévio.” (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 7). 
 
2.3.4.2 Resiliência 
 
“É a capacidade de absorver energia mecânica em regime elástico.” (PFEIL, W.; 
PFEIL, M., 1995, p. 7). 
 
2.3.4.3 Tenacidade 
 
“É a capacidade de absorver energia mecânica com deformações elásticas e 
plásticas. No ensaio de tração simples, a tenacidade é medida pela área total do diagrama 
tensão-deformação.” (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 8). 
 
2.3.4.4 Dureza 
 
“Denomina-se dureza a resistência ao risco ou abrasão. Na prática mede-se dureza 
pela resistência que a superfície do material oferece à penetração de uma peça de maior 
dureza. Existem diversos processos como Brinnel, Rockwell, Shore”. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 
1995, p. 8). 
 
 
 
28 
 
2.3.4.5 Fadiga 
 
A resistência a ruptura dos materiais é em geral medida em ensaios estáticos. 
Quando as peças metálicas trabalham sob efeito de esforços repetidos em grande número, 
pode haver ruptura em tensões inferiores às obtidas em ensaios estáticos. Esse efeito 
denomina-se fadiga do material. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 8). 
“A resistência à fadiga é em geral determinante no dimensionamento de peças sob 
ação de efeitos dinâmicos importantes, tais como peças de máquinas, de pontes etc”. (PFEIL, 
W.; PFEIL, M., 1995, p. 8). 
 
2.4 Principais séries de aços estruturais 
 
 A ABNT NBR 8800:2008, anexo A, traz as tabelas e recomendações das 
principais séries de aços estruturais utilizadas no Brasil. A seguir são citadas as séries de aços 
e os textos e tabelas da norma para consulta. 
 
2.4.1 Aços para perfis, chapas e tubos – Série ABNT 
 
 A Tabela A.1 do anexo A da ABNT NBR 8800:2008 apresenta os tipos de aços 
estruturais mais utilizados padronizados pela Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT), com seus respectivos valores nominais de resistência ao escoamento fy e resistência 
à ruptura fu. 
 
2.4.2 Aços para perfis, chapas e tubos – Série ASTM 
 
A Tabela A.2 do anexo A da ABNT NBR 8800:2008 apresenta os tipos de aços 
estruturais mais utilizados da série ASTM, com seus respectivos valores nominais de 
resistência ao escoamento fy e resistência à ruptura fu. 
 
 
29 
 
2.4.3 Parafusos 
 
Na Tabela A.3 do anexo A da ABNT NBR 8800:2008 são apresentados os tipos 
de parafusos mais utilizados em estruturas de aço com as respectivas resistências ao 
escoamento fyb e à ruptura fub, segundo as especificações das normas ASTM e ISSO. 
 
2.5 Produtos de aço para uso estrutural 
 
 
Os principais produtos usados como elementos ou componentes estruturais são: 
chapas finas a frio, chapas zincadas, chapas finas a quente, chapas grossas, perfis laminados 
estruturais, tubos estruturais com e sem costura, barras redondas e barras chatas, perfis 
soldados e perfis estruturais em chapas dobradas. (BELLEI, 2006, p. 14). 
As estruturas metálicas são formadas predominantemente por elementos lineares. 
As seções transversais desses elementos são denominadas comumente de perfis. Segundo 
Souza (2010, p.12) “a escolha da geometria do perfil depende do tipo e intensidade das 
solicitações, do processo de montagem, do processo de ligação, de fatores estéticos e de 
fatores ligados a durabilidade”. Ainda segundo Souza (β010, p.1β) “os perfis estruturais 
podem ser classificados em três grupos em razão do processo de obtenção: perfis formados a 
frio, perfis laminados (padrão americano e padrão europeu ou de abas paralelas) e perfis 
soldados”. A Figura 2 apresenta as principais seções de cada grupo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Figura 2 – Principais tipos de perfis estruturais 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
Os perfis formados a frio são obtidos por dobragem (conformação) de chapas 
planas. Os critérios de dimensionamento e verificação desse tipo de perfil são estabelecidos 
pela ABNT NBR 14762:2001, e não serão abordados neste trabalho. (SOUZA, 2010, p. 14). 
Os perfis laminados do padrão americano apresentam baixa relação inércia/peso e 
pouca variedade de formas e dimensões; além disso, as espessurasdos seus elementos são 
variáveis, o que dificulta as ligações. Nos perfis laminados de abas planas esses problemas 
são resolvidos, no entanto a oferta desses perfis no Brasil ainda é muito restrita. (SOUZA, 
2010, p. 14). São usados na fabricação de estruturas metálicas e, secundariamente, como 
31 
 
caixilhos e grades. São classificados em perfis leves com alturas menores que 80mm, perfis 
médios com alturas variando de 80mm a 200mm, perfis pesados com alturas maiores que 
200mm. (BELLEI, 2006, p. 17). 
 Os perfis laminados são classificados em função da relação largura/espessura dos 
seus elementos em seções compactas, semicompactas e esbeltas. As seções compactas são 
aquelas em que é possível a plastificação total com grandes rotações anteriormente ao 
aparecimento de flambagem local, e por essa razão podem ser adequadas para análise plástica. 
As seções semicompactas não apresentam grande capacidade de rotação, no entanto é possível 
atingir a resistência ao escoamento, considerando os efeitos de tensões residuais, antes do 
aparecimento de flambagem local. Nas seções esbeltas não é possível atingir a resistência ao 
escoamento, pois um ou mais dos seus elementos apresentarão flambagem local em regime 
elástico. (SOUZA, 2010, p. 14). 
Os perfis soldados compostos a partir de três chapas, são largamente empregados 
nas estruturas metálicas, dada a grande versatilidade de combinações de espessuras com 
alturas e larguras. Com estes produtos o projetista passa a ter opções muito variadas e grande 
liberdade. A fim de facilitar os projetistas e calculistas a ABNT NBR 5884:2005 - Perfil I 
estrutural de aço soldado por arco elétrico – Requisitos gerais, padronizou cinco séries, a 
saber: série CS para colunas (d/bf=1), série VS para vigas (d/bf≤4), série CVS para colunas e 
vigas (1< d/bf ≤ 1,5), VSA para vigas de rolamento, VSM para vigas mistas. Como se trata de 
composição, o calculista tem total liberdade nos projetos dos perfis, respeitando as relações 
largura/espessura previstas nas normas. (BELLEI, 2006, p. 18). 
Em construções que exigem grande variedade de formas e dimensões das peças 
estruturais, os perfis laminados são menos utilizados, porque há poucas fábricas e o complexo 
processo de produção desses perfis laminados obriga a uma padronização das formas e 
dimensões dos mesmos. Por isso a maioria dos projetistas e fabricantes de estruturas de aço 
preferem os perfis soldados, os quais são obtidos da união de chapas de aço que podem ser 
cortadas e soldadas para obter-se perfis conforme as necessidades, dimensões e formas das 
peças estruturais que o projeto especificar e detalhar. 
 
 
 
32 
 
2.6 Propriedades geométricas das seções planas transversais 
 
Para o dimensionamento de peças estruturais, além da determinação da 
estabilidade do conjunto e dos esforços internos solicitantes, é necessário a determinação de 
algumas propriedades geométricas da seção plana transversal. Como propriedades 
geométricas principais tem-se: área, centro de gravidade, momento de inércia, produto de 
inércia, raio de giração, momento resistente elástico, momento resistente plástico. 
(PINHEIRO, 2005, p. 11) 
2.6.1 Cálculo de áreas de seções planas transversais 
 
O cálculo para a determinação da área A de seções planas transversais como a da 
Figura 3 é definido como: 
A = (3) 
Para facilitar o cálculo da área de uma figura deve-se, sempre que possível, 
desmembra-la em figuras geométricas cujas áreas são conhecidas. (PINHEIRO, 2005, p. 11). 
 
Figura 3 – Área de uma seção transversal qualquer 
 
 Fonte: Pinheiro (2005) 
 
2.6.2 Centro de gravidade de áreas de seções planas transversais 
 
O centro de gravidade G de áreas de seções planas transversais como a da Figura 
4 é obtido pela aplicação direta do momento estático de áreas. 
 
 
 
 
33 
 
Figura 4 – Centro de gravidade de uma seção transversal qualquer 
 
 Fonte: Pinheiro (2005) 
Os momentos estáticos em relação aos eixos x e y na Figura 4 são: 
Msx = (4) 
Msy = (5) 
Também é possível definir os momentos estáticos como: 
Msx = yG A (6) 
Msy = xG A (7) 
Igualando as equações (4) e (6) temos: 
 = yG A → yG = (8) 
Igualando as equações (5) e (7) temos: 
 = xG A → xG = (9) 
Em seções planas com um eixo de simetria o centro de gravidade G está em uma 
posição sobre este eixo. Em seções planas com dois eixos de simetria o centro de gravidade G 
está sobre a intersecção desses eixos. (PINHEIRO, 2005, p. 12). 
 
2.6.3 Momento de inércia de seções planas transversais 
 
Na Figura 5, o momento de inércia Ix de uma seção transversal plana qualquer de 
área A em relação ao eixo x é definido por: 
Ix = (10) 
Para o eixo y é definido por: 
Iy = (11) 
(PINHEIRO, 2005, p. 14) 
34 
 
 
Figura 5 – Momento de Inércia de uma seção transversal qualquer 
 
 Fonte: Pinheiro (2005) 
 
2.6.4 Produto de inércia de áreas de seções planas transversais 
 
É definido como sendo: 
Ixy = (12) 
Se a área possuir um eixo de simetria, o produto de inércia é nulo, pois para 
qualquer elemento de área dA com abscissa e/ou ordenada positiva, sempre existe um outro 
elemento de área dA, igual e simétrico, com abscissa e/ou ordenada negativa como mostra a 
Figura 6. (PINHEIRO, 2005, p. 17). 
 
Figura 6 – Produto de Inércia de uma seção transversal qualquer 
 
Fonte: Pinheiro (2005) 
 
 
 
 
 
 
35 
 
2.6.5 Raio de giração de áreas de seções planas transversais 
 
Essa propriedade é definida para o eixo x como: 
rx = (13) 
Para o eixo y como: 
ry = (14) 
(PINHEIRO, 2005, p. 26). 
 
2.6.6 Momento resistente elástico 
 
Wsuperior = (15) 
Winferior = (16) 
(PINHEIRO, 2005, p. 28). 
 
2.6.7 Módulo de resistência plástico 
 
O módulo de resistência plástico é uma característica importante das seções 
transversais dos elementos estruturais. Ao se trabalhar com estruturas no regime elástico e no 
regime plástico, deve-se levar em consideração que esses regimes pressupõem leis diferentes 
de distribuição de tensões, a partir das respectivas linhas neutras, isto é, linha neutra elástica 
(LNE) e linha neutra plástica (LNP). (PINHEIRO, 2005, p. 28). 
Na flexão de elementos estruturais tem-se: 
a) As forças de ambos os lados da linha neutra (LN) deverão ser iguais em 
módulo; 
b) Os planos dos momentos resistente e aplicado deverão ser paralelos. 
(PINHEIRO, 2005, p. 29). 
A LNP divide a áreada seção transversal em duas áreas iguais, não passando 
necessariamente pelo CG da seção. Ver Figura 7. 
36 
 
Z = (17) 
(PINHEIRO, 2005, p. 29). 
 
Figura 7 – Representação gráfica da flexão dos elementos 
 
Fonte: Pinheiro (2005) 
 
 
2.7 Elementos que compõe uma estrutura em aço e suas principais solicitações 
 
Para ilustrar os vários aspectos de uma estrutura em aço e indicar os nomes dos 
seus elementos, apresenta-se, na Figura 8, o arranjo geral da estrutura de um galpão com um 
vão. A Figura 9 mostra um resumo destes elementos, com as principais solicitações a que 
estão sujeitos e os tipos mais usuais dos produtos de aço empregados. (BELLEI, 2006, p. 
123). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Figura 8 – Perspectiva didática de um galpão industrial com indicação do nome usual de seus 
principais elementos. 
 
 
Fonte: Bellei (2006) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Figura 9 – Resumo dos principais elementos estruturais. 
 
Fonte: Bellei (2006) 
 
 
 
 
39 
 
2.8 Segurança e estados-limites 
 
“As estruturas devem ser projetadas para resistir a todas as ações atuantes durante 
sua vida útil com segurança, desempenho e durabilidade adequada à sua utilização, com 
custos de construção e manutenção compatíveis.” (SOUZA, β010, p. 15). 
 
2.8.1 Critérios de segurança 
 
Os critérios de segurança estrutural são fundamentados na ABNT NBR 8681:2003 
- Ações e segurança nas estruturas – Procedimento, exigindo que a estrutura seja 
dimensionada de modo que nenhum estado-limite seja excedido para as combinações de ações 
apropriadas. (SOUZA, 2010, p. 15). 
 
2.8.2 Estados-limites 
 
De acordo com o subitem 4.6.2.1 da ABNT NBR 8800:2008, devem ser 
considerados os estados-limites últimos (ELU) e os estados-limites de serviço (ELS). Os 
estados-limites últimos estão relacionados com a segurança da estrutura sujeita às 
combinações mais desfavoráveis de ações previstas em toda a vida útil, durante a construção 
ou quando atuar uma ação especial ou excepcional. Os estados-limites de serviço estão 
relacionados com o desempenho da estrutura sob condições normais de utilização. 
De acordo com o subitem 4.6.2.2 da ABNT NBR 8800:2008, o método dos 
estados-limites utilizado para o dimensionamento de uma estrutura exige que nenhum estado-
limite aplicável seja excedido quando a estrutura for submetida a todas as combinações 
apropriadas de ações. Se um ou mais estados-limites forem excedidos, a estrutura não atende 
mais aos objetivos para os quais foi projetada. 
 
2.8.3 Condições usuais relativas aos estados-limites últimos (ELU) 
 
Conforme o subitem 4.6.3.1 da ABNT NBR 8800:2008, as condições usuais de 
segurança referentes aos estados-limites últimos são expressas por desigualdades do tipo: 
40 
 
θ ( Sd, Rd) ≥ 0 (18) 
onde: 
Sd → representa os valores de cálculo dos esforços atuantes (em alguns casos específicos, 
das tensões atuantes), obtidos com base nas combinações últimas de ações; 
Rd → representa os valores de cálculo dos correspondentes esforços resistentes (em alguns 
casos específicos, das tensões resistentes), obtidos conforme o tipo de situação. 
Conforme o subitem 4.6.3.2 da ABNT NBR 8800:2008, quando a segurança é 
verificada isoladamente em relação a cada um dos esforços atuantes, as condições de 
segurança tomam a seguinte forma simplificada: 
Rd ≥ Sd (19) 
 
2.8.4 Condições usuais relativas aos estados-limites de serviço (ELS) 
 
No subitem 4.6.4.1 da ABNT NBR 8800:2008, as condições usuais referentes aos 
estados-limites de serviço são expressas por desigualdades do tipo: 
Sser ≤ Slim (20) 
onde: 
Sser → representa os valores dos efeitos estruturais de interesse, obtidos com base nas 
combinações de serviço das ações; 
Slim → representa os valores-limites adotados para esses efeitos, fornecidos no Anexo B. 
 
2.9 Elementos estruturais em aço submetidos à força axial de tração 
 
A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.2, estabelece as prescrições e 
recomendações para o dimensionamento e verificação de elementos estruturais em aço 
submetidos a forças axiais de tração. Antes, porém, da apresentação desses procedimentos 
normativos, segue uma breve explanação dos fundamentos teóricos que os norteiam. 
 
 
 
41 
 
2.9.1 Fundamentos teóricos 
 
As forças de tração causam alongamento nas fibras do material. Elementos 
submetidos à tração são encontrados em barras de treliças, pendurais, barras de 
contraventamento, tirantes, etc. Segundo Souza (2010, p.37) “os elementos metálicos, quando 
submetidos a esforços de tração, não estão sujeitos a instabilidades (flambagens global e 
localizada). Por isso os estados limites aplicáveis estão relacionados ao escoamento da seção 
bruta e à ruptura da seção efetiva na região da ligação”. Ver Figura 10. 
 
Figura 10 – Distribuição de tensões em barras tracionadas 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
Na seção bruta admite-se distribuição de tensões uniformes, ao contrário do que 
ocorre na seção líquida devido à concentração de tensões junto a parafusos e/ou soldas e pelo 
fato de a ligação, em certos casos, conectar apenas partes dos elementos que formam a seção. 
(SOUZA, 2010, p. 37). 
É comum que as ligações nas extremidades de barras tracionadas não se estendam 
a todos os elementos da seção. Nesses casos ocorrem concentração de tensões junto aos 
elementos conectados e alívio nas partes não conectadas do perfil, resultando em redução da 
eficiência da seção – ver Figura 11. (SOUZA, 2010, p. 38). 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Figura 11 – Fluxo de tensões nas extremidades de barras tracionadas 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
Esse efeito é considerado no cálculo, de forma indireta, por meio de um 
coeficiente de redução da área líquida (Ct), que depende do arranjo de parafusos e soldas nas 
ligações de extremidades. (SOUZA, 2010, p. 39). 
 
2.9.2 Procedimentos normativos de dimensionamento e verificação 
 
O dimensionamento e verificação de elementos estruturais tracionados segue 
rigorosamente o que A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.2 – Barras prismáticas submetidas 
a forças axiais de tração prescreve. 
 
2.9.2.1 Condições a serem atendidas 
 
Segundo o subitem 5.2.1.2 da ABNT NBR 8800:2008, no dimensionamento de 
elementos estruturais submetidos à força axial de tração, deve ser atendida a condição: 
Nt,Sd ≤ Nt,Rd (21) 
onde: 
Nt,Sd → força axial de tração solicitante de cálculo; 
43 
 
Nt,Rd → força axial de tração resistente de cálculo, determinada conforme os subitens 5.2.2, 
5.2.6 ou 5.2.7 da ABNT NBR 8800:2008, o que for aplicável. 
Devem ainda ser observadas as considerações estabelecidas no subitem 5.2.8 da 
ABNT NBR 8800:2008, relacionadas à limitação da esbeltez. 
 
2.9.2.2 Verificação do estado-limite último (ELU) - Determinação da força axial de tração 
resistente de cálculo 
 
O subitem 5.2.2 da ABNT NBR 8800:2008 determina que a força axial de tração 
resistente de cálculo, Nt,Rd, a ser usada no dimensionamento, é o menor dos valores obtidos, 
considerando-se os estados-limites últimos de escoamento da seção bruta e ruptura da seção 
líquida efetiva, de acordo com as expressões: 
a) para escoamento da seção bruta 
Nt,Rd = com a1=1,1 (22) 
b) para ruptura daseção líquida efetiva 
Nt,Rd = com a2=1,35 (23) 
onde: 
Ag → área bruta da seção transversal da barra; 
Ae → área líquida efetiva da seção transversal da barra; 
fy → resistência ao escoamento do aço; 
fu → resistência à ruptura do aço. 
 
2.9.2.3 Determinação da área líquida efetiva 
 
O subitem 5.2.3 da ABNT NBR 8800:2008 prescreve que a área líquida efetiva, 
Aef, de uma barra é dada por: 
Aef = Ct,An (24) 
onde: 
An → área líquida da barra; 
Ct → coeficiente de redução da área líquida. 
44 
 
2.9.2.4 Determinação da área líquida 
 
O subitem 5.2.4.1 da ABNT NBR 8800:2008 determina que em regiões com 
furos, feitos para ligação ou para qualquer outra finalidade, a área líquida, An, de uma barra é 
a soma dos produtos da espessura pela largura líquida de cada elemento, calculada como 
segue: 
a) Em ligações parafusadas, a largura dos furos deve ser considerada 2,0 mm 
maior que a dimensão máxima desses furos, definida no subitem 6.3.6 da 
ABNT NBR 8800:2008, perpendicular à direção da força aplicada; 
b) No caso de uma série de furos distribuídos transversalmente ao eixo da barra, 
em diagonal a esse eixo ou em zigue zague, a largura líquida dessa parte da 
barra deve ser calculada deduzindo-se da largura bruta a soma das larguras de 
todos os furos em cadeia, e somando-se para cada linha ligando dois furos, a 
quantidade s2 / (4g), sendo s e g, respectivamente, os espaçamentos 
longitudinal e transversal (gabarito) entre esses dois furos (Figura 12); 
c) A largura líquida crítica daquela parte da barra será obtida pela cadeia de furos 
que produza a menor das larguras líquidas, para as diferentes possibilidades de 
linhas de ruptura; 
d) Para cantoneiras, o gabarito g dos furos em abas opostas deve ser considerado 
igual à soma dos gabaritos, medidos a partir da aresta da cantoneira, subtraída 
de sua espessura; 
e) Na determinação da área líquida de seção que compreenda soldas de tampão 
ou soldas de filete em furos, a área do metal de solda deve ser desprezada. 
Em regiões em que não existam furos, a ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.2.4.2, 
prescreve que a área líquida, An, deve ser tomada igual a área bruta, Ag, da seção transversal. 
 
Figura 12 – Área líquida em regiões com furo em ziguezague 
 
 Fonte: Souza (2010) 
45 
 
2.9.2.5 Determinação do coeficiente de redução da área líquida 
 
A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.2.5, prescreve que o coeficiente de redução 
da área líquida, Ct, tem os seguintes valores: 
a) Quando a força de tração for transmitida diretamente para cada um dos 
elementos da seção transversal da barra, por soldas ou parafusos: 
Ct = 1 (25) 
b) Quando a força de tração for transmitida somente por soldas transversais: 
Ct = (26) 
onde: 
Ac → área da seção transversal dos elementos conectados; 
c) Nas barras com seções transversais abertas, quando a força de tração for 
transmitida somente por parafusos ou somente por soldas longitudinais ou 
ainda por uma combinação de soldas longitudinais e transversais para alguns 
(não todos) elementos da seção transversal (devendo, no entanto, ser usado 
0,90 como limite superior, e não se permitindo o uso de ligações que resultem 
em um valor inferior a 0,60): 
0,60 ≤ Ct = 1- ≤ 0,90 (27) 
onde: 
ec → é a excentricidade da ligação, igual à distância do centro geométrico da seção da barra, 
G, ao plano de cisalhamento da ligação (em perfis com um plano de simetria, a ligação deve 
ser simétrica em relação a ele e são consideradas, para cálculo de Ct, duas barras fictícias e 
simétricas, cada uma correspondente a um plano de cisalhamento da ligação, por exemplo, 
duas seções T no caso de perfis I ou H ligados pelas mesas ou duas seções U, no caso desses 
perfis serem ligados pela alma – ver Figura 13); 
lc → é o comprimento efetivo da ligação (esse comprimento, nas ligações soldadas, é igual ao 
comprimento da solda na direção da força axial; nas ligações parafusadas é igual à distância 
do primeiro ao último parafuso da linha de furação com maior número de parafusos, na 
direção da força axial); 
46 
 
d) Nas chapas planas, quando a força de tração for transmitida somente por 
soldas longitudinais ao longo de ambas as suas bordas, conforme a Figura 13 
(ver subitem 6.2.6.2.3 da ABNT NBR 8800:2008): 
Ct = 1 para lw ≥ 2b (28) 
Ct = 0,87 para 2b > lw ≥ 1,5b (29) 
Ct = 0,75 para 1,5b > lw ≥ b (30) 
onde: 
lw → comprimento dos cordões de solda; 
b → largura da chapa (distância entre as soldas situadas nas duas bordas). 
 
Figura 13 – Valores do coeficiente de redução da área líquida Ct 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
2.9.2.6 Verificação do estado-limite de serviço (ELS) - Limitação do índice de esbeltez 
 
De acordo com a ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.2.8.1, recomenda-se que o 
índice de esbeltez das barras tracionadas, tomado como a maior relação entre o comprimento 
destravado e o raio de giração correspondente (L/r), excetuando-se tirantes de barras redondas 
pré-tensionadas ou outras barras que tenham sido montadas com pré-tensão, não supere 300. 
47 
 
De acordo com a ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.2.8.2, recomenda-se que 
perfis ou chapas, separados uns dos outros por uma distância igual à espessura de chapas 
espaçadoras, sejam interligados através dessas chapas espaçadoras, de modo que o maior 
índice de esbeltez de qualquer perfil ou chapa, entre essas ligações, não ultrapasse 300, 
conforme exemplifica a Figura 14. 
 
Figura 14 – Seção composta com chapas espaçadoras (presilhas) 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
2.10 Elementos estruturais em aço submetidos à força axial de compressão 
 
 
A ABNT NBR 8800:2008, subitem 5.3, estabelece as prescrições e 
recomendações para o dimensionamento e verificação de elementos estruturais em aço 
submetidos a forças axiais de compressão. Antes, porém, da apresentação desses 
procedimentos normativos, segue uma explanação dos fundamentos teóricos que os norteiam. 
 
2.10.1 Conceito de flambagem elástica e inelástica, devida a flexocompressão 
 
As forças de compressão causam encurtamento nas fibras do material. Souza 
(β010, p.4γ) diz que “o modo de colapso em barras submetidas à compressão pode estar 
associado ao escoamento da seção, à instabilidade global da barra ou à instabilidade local dos 
elementos que compõe a seção”. A flambagem nada mais é do que os estados de 
instabilidades global ou local de barras quando submetidas a forças de compressão. 
48 
 
2.10.1.1 Cargas normais de tração e compressão 
 
O dimensionamento de hastes sujeitas a esforços axiais, de tração ou compressão, 
se faz utilizando-se a tensão normal média σ que é obtida dividindo-se o esforço normal N 
pela área A da seção reta da haste: 
σ = (31) 
 (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 96). 
Os esforços de tração tendem a retificar as hastes, reduzindo o efeito de curvaturas 
iniciais porventura existentes.Os esforços de compressão, ao contrário, tendem a aumentar os 
efeitos de curvaturas iniciais e, acima de um certo valor, provocam deslocamentos laterais 
visíveis; diz-se então que a haste apresenta flambagem, que é a instabilidade provocada por 
esforços de compressão. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 96). 
 
2.10.2 Instabilidade global – Fundamentos teóricos 
 
2.10.2.1 Carga crítica de flambagem elástica 
 
Os primeiros estudos sobre o fenômeno de flambagem foram feitos por Euler 
(1707-1783), considerando as seguintes simplificações: uma barra ideal de material 
homogêneo, comportamento elástico linear perfeito, prismática e sem imperfeições, 
extremidades rotuladas, força aplicada sem excentricidades e a não ocorrência de 
instabilidades locais dos elementos da seção. (SOUZA, 2010, p. 43). 
Com essas simplificações e admitindo o equilíbrio da barra em uma posição 
levemente deformada, como mostra a Figura 15, é possível deduzir a equação diferencial que 
rege o problema partindo da equação da linha elástica: 
EI = M = -Pv ou + v = 0 (32) 
V = C1sen +C2cos (33) 
 
 
49 
 
Figura 15 – Barra para estudo da flambagem e equacionamento 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
As condições de contorno nos apoios (v=0, x=0 e x=L) permitem determinar as constantes C1 
e C2: 
C2=0 
C1sen = 0 
A segunda condição será satisfeita se sen = 0, o que ocorre para sen = nπ, 
permitindo que se determine a seguinte carga crítica: 
P = (34) 
O primeiro modo de flambagem ocorre para n=1 e a força correspondente é a força crítica de 
Euler: 
Pcr = (35) 
(SOUZA, 2010, p. 44). 
 
50 
 
Em regime elástico, isto é, para tensões normais abaixo do limite de 
proporcionalidade (limite de escoamento) do aço, demonstra-se a relação: 
v = (36) 
(PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 97). 
Verifica-se que quando P se aproxima de Pcr a flecha v tende para o infinito, o que 
significa colapso da peça. A carga Pcr se chama carga crítica de flambagem da barra ou carga 
de Euler. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 97). 
 
2.10.2.2 Comprimento efetivo de flambagem 
 
O comprimento efetivo de flambagem Lef é o comprimento que uma barra, com 
condição de vínculo qualquer, deveria ter para flambar como uma barra biarticulada. Para 
isso, deve-se multiplicar o comprimento L da barra em questão por uma constante 
denominada coeficiente de flambagem K, que é função das condições de vínculo. 
Lef = KL (37) 
(SOUZA, 2010, p. 44). 
 
2.10.2.3 Coeficiente de flambagem por flexão 
 
A ABNT NBR 8800:2008, anexo E, subitem E.2.1, estabelece as prescrições para 
determinação do coeficiente de flambagem por flexão. 
A Tabela 2 mostra as possíveis condições de vínculo que um elemento estrutural 
poderá ter e os respectivos valores do coeficiente de flambagem por flexão correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Tabela 2 – Condições de vínculo e valores do coeficiente de flambagem 
 
Fonte: ABNT NBR 8800:2008 
 
2.10.2.4 Coeficiente de flambagem por torção 
 
A ABNT NBR 8800:2008, anexo E, subitem E.2.2, estabelece as prescrições para 
determinação do coeficiente de flambagem por torção. O coeficiente de flambagem por torção 
Kz função das condições de contorno, deve ser determinado por análise estrutural, ou, 
simplificadamente, tomado igual a: 
a) 1,00, quando ambas as extremidades da barra possuírem rotação em torno do 
eixo longitudinal impedida e empenamento livre; 
b) 2,00, quando uma das extremidades da barra possuir rotação em torno do eixo 
longitudinal e empenamento livres e, a outra extremidade, rotação e 
empenamento impedidos. 
 
2.10.2.5 Esbeltez e tensão de flambagem elástica 
 
A esbeltez λ de uma barra é a razão entre o seu comprimento efetivo de 
flambagem Lef (equação 37) e o raio de giração r da seção transversal. 
 λ = (38) 
(SOUZA, 2010, p. 45). 
52 
 
A equação da tensão de flambagem elástica, σfl, obtém-se dividindo a força crítica 
de Euler Pcr, equação 35, pela área da seção transversal do elemento. 
σfl = (39) 
(SOUZA, 2010, p. 45). 
 
2.10.2.6 Esbeltez limite de plastificação 
 
Para elementos muito esbeltos (valores elevados de λ) onde a tensão de 
flambagem elástica σfl é inferior à resistência ao escoamento do aço fy, a flambagem é 
atingida no regime elástico do diagrama tensão x deformação do aço. Nestes casos, a tensão 
de flambagem elástica σfl dada pela equação 39 é a tensão crítica σcr de colapso do elemento. 
Para elementos pouco esbeltos (valores baixos de λ) o valor de σfl ultrapassa o limite de 
proporcionalidade (limite de escoamento) do aço fy e, assim, a equação 39 não é mais válida. 
Nestes casos, a flambagem se processa em regime plástico, sendo a interpretação do 
fenômeno muito complicada. (PFEIL, W.; PFEIL, M., 1995, p. 98). 
Portanto, a esbeltez limite de plastificação λpl será aquela para a qual o elemento 
não apresente flambagem para uma tensão crítica σcr igual à tensão limite de escoamento do 
aço fy. 
σcr = fy = → λpl = (40) 
Com base na esbeltez limite de plastificação, define-se o coeficiente de esbeltez 
reduzido, que é a razão entre a esbeltez da barra e a esbeltez limite de plastificação. 
λ0 = (41) 
(SOUZA, 2010, p. 46). 
Portanto, em barras curtas com esbeltez λ ≤ λpl não ocorre flambagem, havendo 
falha por plastificação da seção. Em barras longas com esbeltez λ ≥ λpl ocorre flambagem em 
regime elástico dentro da validade das hipóteses de Euler. (SOUZA, 2010, p. 46). 
O comportamento tensão normal x esbeltez de um elemento comprimido é 
representado na Figura 16. É possível definir um fator de flambagem global dado por χ= fcr/fy 
53 
 
e apresentar esse comportamento independente das dimensões das grandezas envolvidas. 
(SOUZA, 2010, p. 46). 
 
Figura 16 – Comportamento tensão x esbeltez para elementos comprimidos 
 
Fonte: Souza (2010) 
 
2.10.2.7 Modos de flambagem 
 
Os modos de flambagem possíveis de ocorrer em elementos submetidos a 
esforços de compressão são flambagem por flexão, torção e flexo-torção. A Figura 17 ilustra 
cada um desses modos de flambagem. Em seções duplamente simétricas (com dois eixos de 
simetria) os modos de flambagem ocorrem desacoplados podendo ocorrer flambagem por 
flexão em torno de cada um dos eixos de simetria da seção transversal do elemento e 
flambagem por torção em torno do eixo longitudinal do elemento, predominando o modo que 
resultar com menor carga crítica. Em seções monossimétricas (com um eixo de simetria) 
podem ocorrer flambagem por flexo-torção, resultante do acoplamento entre os modos de 
flambagem por flexão e torção em torno do único eixo de simetria da seção transversal do 
elemento ou flambagem por flexão em torno do eixo de não simetria, predominando o modo 
que resultar com menor carga crítica. Em seções