TELA-escoamento-de-areia---guia-do-professor

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Guia do professor
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Números 
e fuNções
Escoamento de areia
Objetivo da unidade
Obter relações de proporcionalidade através do escoamento 
de areia.
Guia do professor
Sinopse
Usando areia e garrafas pet, os alunos serão direcionados a identificar 
algumas relações que descrevem o escoamento de areia em funis com 
diferentes tamanhos de bocais. Essas relações são bastante significativas 
em vários fenômenos na física. 
Conteúdos
Razão e Proporção: proporcionalidade direta, proporcionalidade inversa.
Objetivo
Obter relações de proporcionalidade através do escoamento de areia.
Duração
Uma aula simples.
Escoamento 
de areia
“Na Natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”. A frase, 
atribuída a Lavoiser, traduz em termos leigos o princípio de conservação de 
massa de uma reação química em um sistema fechado. Mas esse princípio 
de conservação não é limitado à Química e há vários exemplos nos quais 
esse princípio auxilia na descrição ou entendimento de fenômenos da 
natureza ou de processos tecnológicos. A Matemática é uma excelente 
ferramenta para isso: quando um princípio é escrito em forma matemática, 
podemos obter várias relações que permitem extrapolar ou fazer previsões 
de novos comportamentos.
 Este experimento trata do escoamento de areia que mantém conservado 
os seus grãos durante a transformação, isto é, o escoamento. O processo 
de escoamento requer um lapso de tempo para a areia passar por um 
determinado orifício de determinada área em virtude da força da gravidade. 
Há muitas quantidades envolvidas no escoamento, mas a conservação dos 
grãos de areia em um experimento devidamente controlado fornece uma 
relação entre as cinco grandezas envolvidas, a saber, densidade e altura da 
coluna de areia acima do orifício, área do orifício de passagem, velocidade 
e tempo de vazão.
O experimento permite o controle com boa aproximação de pelo menos três 
grandezas, e o princípio de conservação fornece uma relação entre as duas 
outras grandezas restantes que podem ser, neste caso, relações de propor-
cionalidade direta, inversa linear ou quadrática. Assim, os alunos podem 
estabelecer hipóteses a partir dos dados e verificar sua veracidade.
Comentários iniciais
A areia deve estar bem seca e seus grãos devem ser razoavelmente homo-
gêneos (se possível, peneire a areia), pois essa condição é necessária 
para não considerarmos outros fatores complicantes, como compactação 
da areia e descontinuidade excessiva no fluxo pelo orifício. Isto é, vamos 
considerar que a densidade da areia é a mesma durante o escoamento 
e ao longo do funil. Pode ser conveniente fazer referências aos relógios de 
areia, conhecidos pelo nome de ampulheta.
 Podemos resumir a relação de conservação da massa se considerarmos 
um segmento vertical ao longo do funil de comprimento , a área da 
secção do cilindro por onde a areia passa com velocidade de vazão 
durante um lapso de tempo , sendo o número de grãos por unidade 
de volume e a massa de cada grão. Então, a massa da areia é dada por 
 que, sob vazão constante, pode ser representada por . 
Portanto:
.
 A massa total é a quantidade conservada. A massa de cada grão 
e a densidade de grãos vão ser consideradas constantes para maior 
controle do experimento. A proposta do experimento de manter o fluxo de 
vazão constante (ao manter a altura de coluna de areia acima do orifício, 
a mesma ao longo de quase todo o escoamento) elimina mais uma grandeza 
variável. Assim, chegamos a uma relação que se mantém constante ao 
longo do escoamento como projetado:
 A área do orifício é próxima a um círculo, de forma que a área é 
proporcional ao quadrado do raio medido.
 Tráfego de areia
A proposta da atividade é encontrar a quantidade para uma área , 
de forma a ter o mesmo tempo . Por isso, as relações
 ou 
podem ser confirmadas com boa aproximação.
Podemos fazer e verificar as seguintes hipóteses:
Para um mesmo funil, quanto mais areia � , maior o lapso de tempo . Isto 
é, nesse contexto de escoamento e são diretamente proporcionais, 
mantidas todas as outras variáveis fixas.
Se mantidas todas as outras variáveis fixas exceto a área do orifício � e 
o tempo de escoamento , então elas são inversamente proporcionais.
Quanto maior a área � , menor o tempo e vice-versa.
Se mantidas todas as outras grandezas constantes exceto � e , então 
elas são diretamente proporcionais, isto é, quanto maior a área do orifício 
, maior a quantidade da areia escoada .
 Essa última hipótese é abordada no Experimento.
Podemos sugerir a construção de relógios de areia. Para um funil de aber-
tura e quantidade de areia , o escoamento vai gastar um tempo . 
Por tentativa e erro, os alunos podem calibrar uma ampulheta para um de-
terminado tempo pré-estabelecido, como por exemplo um minuto. Veja 
a figura 1 (foto de Macro Sand Clocks obtida em http://www.flickr.com/
photos/dhanu/233597706/ em 6/6/2009).
Lima, Elon Lages. Meu professor de matemática e outras histórias. Rio de 
Janeiro: pg 59, 1991.
fig. 1
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Autor
Samuel Rocha de Oliveira
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio 
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico 
Preface Design