TELA-poligonos-regulares-e-ladrilhos---guia-do-professor

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Guia do professor
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Geometria 
e medidas
Polígonos regulares e ladrilhos
Objetivos da unidade
Manipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;1. 
Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação 2. 
de polígonos cubra o plano.
Guia do professor
Sinopse
Este experimento busca apresentar aos alunos o problema do ladri lhamento 
no plano, fazendo com que tentem montar os seus próprios preenchimentos, 
utilizando, particularmente, alguns polígonos regulares. 
Conteúdos
Geometria Plana: Simetrias.
Objetivos da unidade
Manipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;1. 
Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação de polígonos 2. 
cubra o plano.
Duração
Uma aula dupla.
Polígonos 
regulares 
e ladrilhos
A atividade proposta aos alunos é, antes de tudo, uma atividade de explo-
ração, na qual eles desenvolverão uma série de ladrilhamentos do plano 
por polígonos regulares e com algumas condições estabelecidas em cada 
etapa. O trabalho deve sensibilizar os alunos com a questão bem mais 
complexa que é encontrar condições necessárias (e sufi cientes) para 
a existência de ladrilhamentos do plano, utilizando um ou mais tipos de 
polígonos.
 Veremos de modo detalhado o motivo por que é impossível construir 
ladrilhamento regular com 4 ou mais tipos de polígonos, e, para o caso 
de 1, 2 ou 3 polígonos, mostraremos todas as possibilidades de ladrilhos 
envolvidos. 
Este experimento lida com conceitos elementares de Geometria, polígonos 
regulares, ângulos e lados, e abre portas para investigações bastante sofi s-
ticadas como as que apresentamos neste Guia.
 Além disso, é possível explorar o forte apelo visual que o trabalho com 
ladrilhos possibilita.
Comentários iniciais
A sistematização desta discussão deve começar determinando os ângulos 
internos de um polígono regular.
Determinação dos ângulos internos de um polígono regular
Dado um polígono regular de lados, podemos dividi-lo em triângulos 
conforme a fi gura abaixo. Como a soma dos ângulos internos de cada um 
dos triângulos é , ao multiplicar o número de triângulos por , 
teremos a soma dos ângulos internos de todos eles juntos ( ).
 Conforme ilustrado na fi gura acima, se subtrairmos a circunferência 
que está indicada no centro do polígono, teremos a soma dos seus ângulos 
internos ( ).
 Como o polígono é regular (seus ângulos internos têm a mesma medida), 
ao dividir a soma dos seus ângulos internos pelo número de ângulos, tere-
mos a medida de cada um deles. Logo, a expressão que nos fornece o 
ângulo interno de um polígono regular de n lados é: .
 Portanto, os ângulos internos de cada uma das fi guras em anexo são:
Triângulo: 60°; �
Quadrado: 90°; �
Pentágono: 108°; �
Hexágono: 120°; �
Octógono: 135°. �
fig. 1
 As primeiras questões
Conforme observado nos Comentários iniciais, o ângulo interno de um 
polígono regular de lados mede . 
Ao construir um ladrilhamento, a soma dos ângulos do polígono ao redor 
de cada vértice deve ser 360°. Usaremos essa observação crucial para 
abordar diversas questões. 
 Tentaremos agora responder às questões apresentadas no experi mento.
Questão 1
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando apenas um 
tipo de ladrilho?
Se considerarmos apenas um tipo de polígono, a Observação 1 implica 
que algum múltiplo inteiro do ângulo interno deste polígono deve ser 360°. 
Observe que, para , a medida do ângulo interno do polígono 
satisfaz as desigualdades .
 A primeira dessas desigualdades ( ) implica 
,
de modo que não é possível ter três cópias do polígono em questão 
partilhando um vértice. Entretanto, a segunda desigualdade ( ) 
implica que 
,
de modo que duas cópias são insufi cientes para recobrir o plano.
 Restam, então, os casos em que , , ou . Para , temos 
; mas 108 não é divisor de 360, de modo que tampouco com 
pentágonos regulares é possível ladrilhar o plano.
 Observação 1
 Nos casos restantes, , ou , temos que os ângulos internos dos 
polígonos são divisores de 360:
de modo que não há qualquer tipo de obstrução à construção de ladrilha-
mentos com estes polígonos. De fato, é possível ladrilhar o plano com 
triângulos, quadriláteros ou hexágonos regulares.
fig. 2
Questão 2
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente 
dois tipos de ladrilho?
Vamos considerar ladrilhos formados por polígonos regulares com e 
lados. Conforme observamos anteriormente, esses ladrilhos têm ângulos 
internos iguais a
 e 
respectivamente. Se considerarmos em um vértice cópias do primeiro e 
 cópias do segundo, a soma dos ângulos internos destes triângulos deve 
satisfazer a equação
,
que é equivalente à equação
.
 Podemos assumir que , donde decorre que
.
Concluimos com isso que
.
Observe que, se , então 
,
de modo que devemos ter .
 Como o número de polígonos que se encontram em cada vértice 
é ao menos 3, temos um absurdo, de modo que concluímos que não pode-
mos ter .
Leonardo Barichello
Há ma errata para o texto desta e da próxima página no final do documento.
 Vamos agora considerar em separado os casos em que , , ou . 
Se , temos um hexágono regular com ângulo interno igual a 120°. 
Se tivermos duas cópias deste polígono, a soma dos seus ângulos será 
240° e os 120° restantes são insuficientes para acomodar um polígono 
com lados. Logo, não podemos ter (lembramos que estamos 
assumindo ). Raciocínio similar mostra que tampouco podemos ter 
 ou .
 Assumimos agora que . Neste caso, temos um triângulo com 
ângulo interno de 60°. Sendo assim, devemos ter e sobram 4 casos 
para analisar. Lembrando que a soma dos ângulos dos polígonos que parti-
lham um vértice deve ser 360° e considerando que um polígono com mais 
de 6 lados tem ângulo interno maior que 120°, podemos concluir que
 � e 
 � e 
 � e 
 � não pode ocorrer
 Podemos resumir o resultado no quadro abaixo:
Um ladrilhamento celular regular com 2 polígonos regulares distintos é 
necessariamente de um dos seguintes tipos:
4 triângulos e 1 hexágono;1. 
3 triângulos e 2 quadrados;2. 
2 triângulos e 2 hexágonos.3. 
Questão 3
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente 
três tipos de ladrilho?
Sejam , e o número de lados dos polígonos envolvidos, de que 
assumimos que , e sejam , e as medidas dos ângulos 
internos de um polígono com , e lados respectivamente. Se tivermos 
 Conclusão
, e cópias destes polígonos partilhando um vértice, a soma dos 
ângulos internos destes polígonos neste vértice será . 
Se assumirmos , te remos que
 Logo, não podemos ter apenas um polígono de cada tipo, mas tampouco 
podemos ter mais de um. Neste caso teríamos
 Segue então que devemos ter , ou seja, ao menos um dos polígonos 
utilizados deve ser um triângulo equilátero. Assim, a soma dos vértices dos 
outros polígonos deve ser 300°. Analisando caso a caso e considerando que 
devemos ter é fácil concluir que a única solução possível é , 
 e , com , e .
Todo ladrilhamento celular regular com 3 tipos de polígonos tem, em cada 
vértice 1 triângulo, 2 quadrados e 1 hexágono.
 Conclusão
 As últimas questões
Questão 4
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando quatro ou mais 
tipos de ladrilho?
Neste caso devemos ter 4 polígonos regulares com número distinto de lados, 
digamos . Denotando por , , e as medidas dos 
ângulos internos de um polígono com , , e lados respectiva mente, 
temos que a soma dos ângulos desses polígonos é dada por
 Com isso, podemos concluir o seguinte:
Não existe ladrilhamento celular regular com 4 ou mais tipos de polí-
gonos.
Além do fechamento proposto no próprio experimento, se desejar, apro-
funde as conclusões obtidas pelos alunos expondo as demonstrações 
realizadas anteriormente.
 Conclusão
A questão do ladrilhamento do plano possui muitos desdobramentosmate-
máticos interessantes e alguns deles podem ser explorados de maneira 
lúdica ou formal.
 Uma possibilidade que surge naturalmente a partir da proposta deste 
experimento é explorar ladrilhamentos com polígonos não regulares. Um 
exemplo bastante rico e interessante são os ladrilhos de Penrose (vide 
referência 3), que possuem características bastante peculiares que podem 
ser exploradas em diversos níveis de profundidade.
Barbosa, Rui Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: 
Editora Atual, 1993.
Imenes, Luiz Márcio; Lellis, Marcelo. Geometria dos Mosaicos. São Paulo: 
Editora Scipione, 2002.
http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/matemateca/exposicao/ladrilhos/ladrilhos 
(acessado em 15 de agosto de 2009).
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Autor
Marcelo Firer
Revisores
Matemática
Antônio Carlos do Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi 
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico 
Preface Design
 
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
ERRATA: questões 2 e 3
QUESTÃO 2
Com quais poĺıgonos é posśıvel ladrilhar o plano utilizando exatamente dois
tipos de ladrilho?
Se m = 6 temos um hexágono regular com ângulo interno igual a 120◦. Se
tivermos duas cópias deste poĺıgono, a soma dos seus ângulos será 240◦ e os 120◦
restantes são insuficientes para acomodar um poĺıgono com n > 6 lados. Logo,
não podemos ter m = 6 (lembramos que estamos assumindo m < n). Para o
caso de termos m = 5, podemos utilizar racioćınio similar: temos um pentágono
regular com ângulo interno igual a 108◦. Se tivermos duas cópias deste poĺıgono,
a soma dos seus ângulos será 216◦ e os 134◦ restantes são insuficientes para
acomodar um ou mais poĺıgonos com n > 5 lados ( ângulo maior ou igual a
120◦).
Resta tratar os casos em que m = 3 ou m = 4.
Consideremos o caso em que m = 4, ou seja, em que temos um quadrado,
com ângulo interno igual a 90◦. Não podemos ter dois ou três quadrados com um
vértice em comum, pois neste caso, teŕıamos um ângulo 180◦ ou 90◦, insuficiente
para abrigar o ângulo de um poĺıgono regular com n ≥ 5 vértices. Resta a
possibilidade de termos apenas um quadrado. Neste caso, em prinćıpio, teŕıamos
um ângulo de 270◦ para ser ocupado por cópias de algum poĺıgono regular com
ao menos 5 lados. Racioćınio análogo ao feito nos casos anteriores exclui todas
as possibilidades, exceto o caso n = 8, ou seja, do octágono regular, que têm
ângulo interno de 135◦. Temos então que o caso m = 4 e n = 8 não pode ser
descartado como os anteriores e, de fato, existe ladrilhamento com quadrados e
hexágonos, como pode ser observado na Figura 1.
Figura 1:
Assumimos agora que m = 3. Neste caso, temos um triângulo com ângulo
interno de 60◦. Sendo assim, devemos ter p < 5 e sobram quatro casos para
analisar. Lembrando que a soma dos ângulos dos poĺıgonos que partilham um
vértice deve ser 360◦ e considerando que um poĺıgono com mais de 6 lados tem
ângulo interno maior que 120◦, podemos concluir que
• p = 4 =⇒ n = 6 e q = 1;
1
Figura 2:
• p = 3 =⇒ n = 4 e q = 2;
• p = 2 =⇒ n = 6 e q = 2;
• p = 1 =⇒ n = 12 e q = 2;
Estas quatro possibilidades de fato se realizam, como podemos observar na
Figura 2.
Podemos resumir o resultado:
Conclusão
Um ladrilhamento celular regular com 2 poĺıgonos regulares distintos é ne-
cessariamente de um dos seguintes tipos:
1. 1 quadrado e 2 octágonos;
2. 4 triângulos e 1 hexágono;
3. 3 triângulos e 2 quadrados;
4. 2 triângulos e 2 hexágonos;
5. 1 triângulo e 2 dodecágonos.
2
QUESTÃO 3
Com quais poĺıgonos é posśıvel ladrilhar o plano utilizando exatamente três
tipos de ladrilho?
Sejam l,m e n o número de lados dos poĺıgonos envolvidos, de que assumimos
que l < m < n, e sejam al, am e an as medidas dos ângulos internos de um
poĺıgono com l,m e n lados respectivamente. Se tivermos pl, pm e pn cópias
destes poĺıgonos partilhando um vértice, a soma dos ângulos internos destes
poĺıgonos neste vértice será plal + pmam + pnan.
Se assumirmos 4 ≤ 4, teremos que
plal + pmam + pnan ≥ pla4 + pma5 + pna6
≥ pl90 + pm108 + pn120
≥ 90 + 108 + 120
= 306.
Logo, não podemos ter apenas um poĺıgono de cada tipo, mas tampouco
podemos ter mais do que um, pois neste caso teŕıamos
plal + pmam + pnan ≥ 2la4 + pma5 + pna6
≥ 2× 90 + 108 + 120
> 360.
Segue então que devemos ter l = 3, ou seja, ao menos um dos poĺıgonos
utilizados deve ser um triângulo equilátero. Assim, a soma dos vértices dos
outros poĺıgonos deve ser 300◦. Analisando caso a caso a situação
(p3 − 1)60 + pmam + pnan = 300
é posśıvel constatar que a única solução posśıvel é
l = 3, p3 = 1, a3 = 60; m = 4, p4 = 2, a4 = 90; n = 6, p6 = 1, a6 = 120,
ou seja, considerar o ladrilhamento dom 1 triângulo, dois quadrados e um
hexágono partilhando um vértice. Esta possibilidade se concretiza, conforme
ilustrado na Figura 3.
Conclusão
Todo ladrilhamento celular regular com 3 tipos de poĺıgonos tem, em cada
vértice, 1 triângulo, 2 quadrados e 1 hexágono.
3
Figura 3:
4