capitulo-2---secao-2-5-loe

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2.5 Impulsos e Transformadas no Limite
Propriedades do Impulso Unitário
O impulso unitário ou função delta de Dirac δ(t) não é uma função no sentido matemático estrito.
Ela pertence a uma classe especial conhecida como funções generalizadas ou distribuição, cujas
definições são estabelecidas por regras de atribuição♠ .
A função generalizada δ(t) é definida com o auxílio de uma função ordinária v(t) que é contínua em
t=0:
para quaisquer t1 e t2 envolvendo a origem (inclusive t1= −∞ e t2=+∞, ou, t1= 0− e t2=0+ ).
♠[A regra atribui um número, v(0) ou 0, à expressão do lado esquerdo de (1).]
Esta regra também se aplica a impulsos no domínio da frequência, δ(f ).
só existe sobreposição no ponto t=0
v(t) é qualquer área
δ(t) só existe no ponto t=0
Representação gráfica:
A representação de Aδ(t−td) está mostrada na Figura 2.5-1, onde a letra A próximo da seta significa que 
o impulso localizado em t=td tem área/peso igual a A:
)( dttA −δ
____________________________________________________
No caso particular onde v(t)=1:
sendo ϵ arbitrariamente pequeno.
Isto significa que δ(t) tem área unitária, concentrada no ponto discreto t=0, inferindo-se também que:
Recordação (seção 2.2): Formas de ondas aproximadas
Se se aproxima de z(t) e o erro quadrático é pequeno, e também, se
e , então, aplicando-se o teorema de Rayleigh à diferença 
resulta:
Como a ordem de grandeza do erro no domínio da frequência é o mesmo que no domínio do 
tempo, pode-se utilizar como boa aproximação para Z(f). 
Exemplo: será usado adiante que, se 
__________________________________________________
)(~ tz
)(~ fZ
)()(~)()()(lim)(~
0
fZfZtztttz ≅=≅= ∈∈→ δδ
erro no tempoerro em frequência
Impulsos no limite:
Embora o impulso fisicamente não exista, há várias funções convencionais que exibem todas as 
propriedades de δ(t) no limite, quando algum parâmetro tende a zero. 
Se a função δϵ (t) é tal que:
então,
∈
Adendo: No Exemplo 2.2-3 foi estudado o pulso sinc com largura 1/τ=1/2W:
A área sob a curva de z(t) é dada por: Z(f = 0) = Z(0) = A/2W = A × (1/2W), 
ou seja, o produto entre o valor de pico e a meia-largura do pulso sinc. # fim do adendo
t
Exemplo: Funções impulsos δϵ (t) no limite:
__________________________________________
No caso δϵ (t) = , recorre-se a série de McLaurin: , e 
Área unitária
)(1
∈
Π
∈
t ...
!2
)0('')0(')0()( 2 +++= tvtvvtv
)0(...
12!2
)0(''0)0(')0(lim...
!2
)0('')0(')0(lim)()(lim
3
0
2/
2/
2
2/
2/
2/
2/
00
vvvvdttvtdtvdtvdtttv =






+∈
∈
+
∈
+=






+
∈
+
∈
+
∈
=
∈→
∈+
∈−
∈+
∈−
∈+
∈−
∈→
+∞
∞−
∈∈→  δ
Área = (1/ε)×(ε) = 1
−ε ε)()(lim
0
tt δδ =∈∈→

∞
∞−
∈∈→
= )0()()(lim
0
vdtttv δ
c.q.d.
Propriedades do impulso:
a) Replicação
Ou seja, a convolução de v(t) com δ(t−td) resulta na própria função, v(t), deslocada de (t−td). 
Prova: sabendo-se que δ(−t) = δ(t) (intuitivamente), e, , tem-se
na qual se fez m=(t−λ) e se aplicou a definição de impulso (2.5-1), para um impulso em λ=m [vide
item b) a seguir].
b) Amostragem
Ou seja, seleciona/ amostra o valor de v(t) em t=td, o ponto onde δ(t−td) está localizado.
Prova: direto da própria definição (2.5-1).
)()(][)()]([)(])[()()(*)( dddd ttvmvdmvdttvdttvtttv −==−=−−=−−=− 
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
λλδλλλδλλλδλδ
___________________________________
___________________________________
Importante!!
isto será mostrado adiante
inverter sinal
c) Multiplicação
Ou seja, o valor da função em t=td, isto é v(td), passa a ser igual à área do impulso δ(t−td).
d) Mudança de escala
Portanto, em relação à variável independente t, a função δ(αt) atua como δ(t)/|α|, ou seja, tem sua área 
reduzida (aumentada) em 1/|α| no caso em que α >1 (α <1) .
Corolário: Fazendo-se α = −1, mostra-se a propriedade de simetria do impulso: δ(−t) = δ(t) .
e) Relação com a função degrau unitário
Sabendo-se que:
obtém-se: , degrau unitário (9c)
Corolário (derivada = inversa da integral) : (9d)
)(
0,0
0,1
)( tu
t
t
d
t
=



<
>
=
∞−
λλδ
dt
tdut )()( =δ
como havia sido previsto intuitivamente
t
Exemplo: Teorema da replicação
a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos, definida por ,
para n inteiro.
b) Esboçar o gráfico de , onde , para τ < T.
Solução:
a) Gráfico de repT[δ(t)]:
b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se

+∞
−∞=
Δ
−=
n
T nTtt )()]([rep δδ
)]([rep*)()]([rep ttvtv TT δ= )/()( τtAtv Π=

+∞
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−=−=
nnn
T nTtvnTttvnTttvtvrep )()(*)()(*)()]([ δδ
______________________________________________
repT [ ]
*
Impulsos em Frequência
Seja v(t)=A um sinal de energia infinita (que, em princípio, não teria transformada de Fourier).
Ao se tentar calcular a sua transformada de Fourier 
usando-se a definição, seria obtido:
Em outras palavras, existe a dificuldade de se calcular a integral da exponencial complexa* :

+∞
∞−
∞== dttvtvE 2)()]([
+∞
∞−
−−
+∞
∞−
−
+∞
∞− −
===  ftjftjftj efj
AdteAdtetvfV πππ
π
222
2
)()(
??)]2(sen)2[cos(
2
)( =−
−
=
+∞
∞−
tfjtf
fj
AfV ππ
π
??2 =−
+∞
∞−
 dte ftj π
(integral em t, expoente negativo)
*Obs: esta integral será calculada adiante!
Contudo, a transformada de Fourier de v(t)=A pode ser obtida no limite, considerando-se que:
Sendo conhecido o seguinte par de TF : ,
pode-se proceder ao cálculo da TF no limite [lembrar que , ϵ = 2W ]:
e daí estabelecer que:
WtA 2sinc
)(lim1lim
00
ff ∈∈→∈→ =




∈
Π
∈
δ
Área = A
}2sinc{lim}2sinclim{)}({
00
WtAWtAtv
WW
ℑ=ℑ=ℑ
→→
↔
Interpretação:
Este resultado concorda com a intuição, observando-se que um sinal constante não apresenta nenhuma 
variação temporal e, portanto, seu conteúdo espectral deve estar confinado em f = 0 (sinal DC).
________________________________________________________________________________________________________________________________
Pode-se conferir esta alegação matematicamente, usando-se (2.5-1) e a TF inversa, isto é:
(trocando t por f ), e:
ou seja, de fato, v(t)=A.
______________________________________________________________________________________
Além disso, usando a definição de TF para A=1, conclui-se que: 1 ↔ δ(f) , e assim,
→ →
a integral da exponencial complexa é igual ao impulso!
0
Aδ(f)
f
)(1]1[ 2 fdte ftj δπ
∞
∞−
− ==ℑ
O espectro da função 
constante no domínio do 
tempo é um impulso no 
domínio da frequência.
)(2 fdte ftj δπ
∞
∞−
− =
∞
∞−
−==ℑ dtetvfVtv ftj π2)()()]([
(integral em t, expoente negativo)
inversa
ftjAefv π2)( =
f
Forma alternativa de demonstração:
Usar o pulso retangular:
e o par de transformada de Fourier:
Assim, calcula-se a transformada de Fourier no limite para mostrar ♠ que:
♠Prova:
Fazendo-se ϵ=1/τ obtém-se , e daí:
novamente. 
AtAtv =Π=
∞→
)/(lim)( τ
τ
...lim...lim
0∈→∞→
=
τ
)()(limsinc1limsinclim)}/({lim)}/(lim{)}({
00
fAfAfAfAtAtAtv δδττττ
τττ
==





∈∈
==Πℑ=Πℑ=ℑ ∈∈→∈→∞→∞→∞→
f
______________________________________________
↔
v(t) =  A ↔ A δ(f)
relação usada por Carlson
relação usada por Carlson
Dado que:
a) Generalização de (3.5-11):
Recorrendo ao teorema da modulação complexa (2.3-6), isto é:
generaliza-se (2.5-11) para o caso onde , para mostrar que: w(t) ↔ W(f), onde
informando-se que o espectrode um fasor individual é um impulso em f =fc .
b) Cosseno eterno
Foi visto na Seção 2.2 que a condição essencial da análise espectral usando a definição de transformada 
de Fourier é que o sinal seja não periódico (sinal de energia). 
Este não é o caso da função cosseno eterno ... a menos que se use o impulso em frequência (ou seja, 
TF no limite).
Recorrendo-se ao teorema da modulação real (2.3-7), ou seja:
e (2.5-11), torna-se possível obter a TF do cosseno eterno:
tjtj cc Aeetvtw ωω == )()(
(continua...)
______________________________________________
w(t) = = W(f)
v(t)=
fasor individual
c) Seno eterno
Obs:
)]()([
2
)(sen
)(
2
)(
2
)(
)90cos()(sen)(
)90()90( 00
c
j
c
j
c
c
j
c
j
o
cc
ffeffeAjtA
ffeAffeAtv
tAtAtv
+−−−↔+
++−↔
−+=+=
−
−−−
δδφω
δδ
φωφω
φφ
φφ fc
fc
-fc
-fc
f
f
|V(f)|
argV(f)
A/2A/2
φ −900
−(φ−900)
Obs:
___________________________________________
ojej 90±=±
d) Transformada de Fourier da Série de Fourier
Como a série de Fourier se refere a sinais periódicos de potência, em princípio, ela também não 
poderia exibir uma transformada de Fourier no sentido estrito. 
Isto também pode ser superado com o uso do impulso (ou seja, TF no limite).
________________________
Série de Fourier = espectro discreto e bilateral de linhas (ou raias).
Transformada de Fourier da série de Fourier = espectro contínuo de impulsos em frequência.
_________________________
Dado:
usando-se (12)
e o princípio de superposição de efeitos (teorema da linearidade), se obtém:
um espectro contínuo.
Por que contínuo? ? Explicar!!
fasor individual
soma de fasores
v(t) ↔
Espectro discreto × contínuo:
Espectro discreto = para se recuperar v(t) deve-se somar os fasores: c(nf0) exp(−jnf0t).
Transformada de Fourier:
Espectro contínuo = para se recuperar v(t) deve-se integrar os impulsos com áreas c(nf0) para obter os fasores.
5
 sinc
5
)( 0
nAnfcn =
Impulsos
Série de Fourier:
↔
f = nf0 = n4
nf0τ = n4(1/20) = n/5
τ/T0 = 1/5: τ = 1/20, T0 = 1/4, f0= 4
sinc n/5=0 , n/5=±1, ±2,...
 n =±5, ±10,...n
Linhas
−5 5 10
v(t) = soma de linhas
v(t) = integral (da soma) de impulsos
1−ℑ
espectro
espectro
i)
ii)
soma de impulsos
Exemplo: Obter a transformada de Fourier do trem de impulsos com período T0 , cuja série de 
Fourier é dada por
(Exercício: demonstrar esta relação!)
Solução: Aplicando-se (3.5-14a-b), 
com cn=1, e sabendo-se que f0=1/T0, obtém-se
#
 =−==
n
tnfj
n
T eT
nTttreptx 02
0
0
1)()()( πδδ
 −=
n
nffffX )()( 00 δ
 
f0 -f0 f 2f0 -2f0 
... ... f0 
T0 -T0 t 2T0 -2T0 
... ... 1 
x(t) X(f)
f0
______________________________________________
função original série de Fourier
série de Fourier
 −==
n
T nTttreptx )()()( 0δδ ↔
trem de impulsos no tempo trem de impulsos em frequência
transformada da série de Fourier
↔
02
0
1 j nf t
n
e
T
π=
Exemplo 2.5-1: Impulsos e Espectros Contínuos
A forma de onda senoidal na figura abaixo tem frequência constante fc , exceto para o intervalo 
−1/fc < t < 1/fc , onde a frequência muda para 2fc . Deseja-se determinar seu espectro.
Este é um exemplo de sinal com modulação em frequência (FM)*.
O sinal v(t) pode ser escrito como a soma de três parcelas, considerando-se que τ = 2/fc :
Cosseno eterno na frequência fc , com um ‘janela’
em −1/fc < t < 1/fc , na qual será inserido o termo em 2f c
_______________________________________
* Poucos espectros de FM têm soluções analíticas
Pulso de RF, no intervalo −1/fc < t < 1/fc ,
na frequência 2fc , e que é inserido na 
‘janela’.
(continua...)
fc 2fc fc
1/f c= τ /2
(continua...)
↔=A =Aτ
_________________________________________________________
Para o cálculo da TF empregam-se as seguintes relações:
(2.2-9ª-b): (9a-b)
(2.3-7):
(2.5-13):
resultando em 
o qual é um espectro contínuo, com componentes impulsivas e não não-impulsivas.
_________________________________________________
O gráfico de V(f) está desenhado na Figura 2.5-4b (apenas para a porção positiva do espectro)
Superposição de (Aτ/2) sinc(f−f c)τ com (Aτ/2) sinc(f−2f c) τ
cf/2, =τ
#
Sinal com apenas duas frequências? Errado!
Espectro com componentes 
em todas as frequências
Funções Degrau e Sinal
Definição: função degrau unitário
Definição: função sinal
não exibe simetria
Obs:
exibe simetria ímpar
)1(sgn
2
1)( += ttu
(espectro complexo)
(espectro imaginário e ímpar )
Função sinal (sign ou signum)
A função sign é o caso limite do sinal de energia z(t) mostrado na Fig. 2.5-6, onde ,
quando b → 0 (para t > 0).
A função z(t) é escrita como:
a qual pode ser interpretada como:
tal qual discutido no Exercício (2.3-1), que garantia que:
(continua...)
)()( tuetv bt−=
( )( ) ( ) ( )b t btv t e u t e u t− − +− − = − − = − −
, a1 = 1 e a2 = −1
Recordação: na Seção 2.2 foi visto que, dado
se obtém: 
Foi visto ainda que: 
tal que
Então, do Exercício (2.3-1), se:
ocorre:
__________________________________
Portanto, de 
extraem-se a1 = 1 e a2 = −1: então (a1 + a2 ) = 0 e (a1 − a2 ) = 2, 
e daí:
(continua...)
=0
Portanto, como 
vem 
e tem-se um novo par de TF:
Observe-se que o espectro é imaginário puro, pois “sgn t” é uma função ímpar no tempo.
)(lim)]([lim)](lim[
000
fZtztz
bbb →→→
=ℑ=ℑ
__________________________________________________________________
(continua...)
(espectro imaginário e ímpar )
_________________________________________________
O espectro de amplitudes (módulo) da função sinal está desenhado na figura abaixo:
Observe-se que |ℑ{sgn t}| tende para +∞ quando f = 0+, e, para −∞, quando f = 0− . 
Porém, exatamente em f = 0, deve-se lembrar da propriedade da área, isto é, se w(t) ↔ W(f), tem-se 
por definição: , e daí, , ou seja, W(0) é igual a área 
sob a curva [ou então, a componente DC ou valor médio de w(t)].
Como w(t) = sgn t é uma função ímpar, sua área líquida é nula, e assim, o espectro ℑ[sgn t] não exibe 
impulso em f = 0 (ver o caso da função degrau a seguir). não tem componente DC!

∞
∞−
−= dtetwfW ftj π2)()( 
∞
∞−
= dttwW )()0(
(continua...)
espectro de 
magnitudes
área total nula
Função degrau unitário
Esta função é muito empregada na teoria de Fourier, pois auxilia a representar sinais causais: qualquer 
função temporal multiplicada por u(t) será nula para t < 0.
Esta função pode ser considerada como o limite de v(t) quando b→0, sendo:
___________________________________
Porém, não exibe simetria, e não pode se beneficiar do resultado do Exercício (2.3-1), pois não pode ser escrita na 
forma:
___________________________________
Contudo, lembra-se que 
e portanto, usando (2.5-11) e (2.5-17):
(valor médio = 1/2)
(continua...)
não possui simetria
(espectro complexo)
Desafio: explicar por que a TF de (2.5.15a), no limte quando b→∞,
não conduz à expressão correta para U(f) !!??
= U(f)
_______________________________________________
O espectro de amplitudes da TF do degrau está desenhado na figura abaixo:
Neste caso, o degrau u(t) tem valor médio:
Consequentemente, seu espectro deve incluir um impulso, δ(f )/2, da mesma forma que a transformada
de um sinal periódico com valor médio c(0) deve incluir um termo DC igual a c(0)δ(f).
2
1
2
1lim11lim)(1lim)(
2/
0
2/
2/
====
∞→∞→
−
∞→ 
T
T
dt
T
dttu
T
tu
T
T
T
T
T
T
↔
(área sob a curva = 0)
Generalização do ‘Teorema da Integração’:
Na Seção 2.3 foi visto que, se
então, 
A seguir, generaliza-se este teorema para o caso em que a área integrada é não nula.
Convoluindo-se u(t) com um sinal de energia arbitrário v(t), tem-se:
desde que u(−λ + t) = u(t −λ ) = 0, para λ > t, e, u(t −λ )= 1 para λ < t.
_____________________________________________________________________________________________
u(−λ)
u(t−λ)
λ
λ
t (continua...)
1
1
0
0
pela definição
Recorrendo-se ao teorema da convolução:
e ao resultado (2.5-18), qual seja:
se obtém:
Usando-se (propriedade da multiplicação por impulso) V(f) δ(f) = V(0) δ(f), conclui-se que:
Esta relação se reduz ao caso da Seção 2.3 quando V(0) = 0. #
_________________________________________________
=)(tw )()( fUfW ==
teorema da integração generalizado
Impulsos no Tempo
A TF de um impulso pode ser deduzida partindo-se de:
quando τ→0, ou seja, quando o pulso temporal tem largura nula e altura infinita (impulso no limite). 
Por sua vez, o śinc fτ śe alarga e tende a função constante unitária.
Ou seja, no limite ocorre:
gerando-se: 
A interpretação de (2.5-21) é que um impulso no tempo contém todas as componentes de frequências,
com todas elas tendo a mesma amplitude.
AtAfAtAfAtA =ℑ=ℑ=Πℑ
→→→→
)}({}sinc{lim)}(lim{}sinc{lim)}/(lim{
0000
δτδττ
τ τττττ
impulso no limite
impulso no limite
↔(t)
Considerações Gerais
a) Observe-se que é o dual de . 
Estas relações refletem casos extremos do fenômeno de espalhamento recíproco:
“Um sinal de impulso com duração nula tem largura espectral infinita, enquanto um sinal constante 
com duração infinita tem largura espectral nula”
b) Aplicando-se o teorema do delay: à
obtém-se 
ou, equivalentemente 
Porém, por definição
o que permite concluir que
Esta integral permite provar o teorema integral de Fourier (ver a seguir).
(integral em f , expoente positivo)
c) Dado que
sendo v(t) uma função contínua e com TF dada por V(f) = ℑ[v(t)], mostra-se que a TFI realmente é v(t).
________________________________________________________________
Prova:
A partir das definições de TF direta e inversa:
Contudo, nota-se que a integral entre colchetes corresponde a (2.5-23), para td = λ, cujo resultado é 
igual a δ(t−td) = δ(t−λ). 
Com isso,
Usando a propriedade da replicação: , conclui-se que ℑ-1 [V(f)] = v(t).
c.q.d.
Integra em λ depois em f
Integra em f depois em λ
V(f )
d) Pode-se estabelecer uma relação entre impulso unitário e degrau unitário através da integral
e) Diferenciando ambos os lados de (2.5-25), chega-se a outra relação entre δ(t) e u(t):
a qual apresenta um impulso como uma derivada de uma descontinuidade degrau.
f) O teorema da diferenciação (2.3-8), em conjunto com as relações (2.5-22) e (2.5-26), ou seja:
podem agilizar o cálculo de certas transformadas de Fourier
Procedimento: 
• diferenciar repetidamente o sinal v(t) até que uma ou mais descontinuidades degrau apareçam.
• devido a (2.5-26), a próxima derivada ( a n-ésima) inclui um impulso: Ak δ(t−tk).
• com isso, ocorre que
sendo w(t) uma função não impulsiva.
• transformando (2.5-27a) através de (2.3-8), e usando (2.5-22):
• se W(f) for conhecido, resolver para extrair V(f).
Exemplo 2.5-1: Raised Cosine Pulse
A Figura 2.7-7a mostra uma forma de onda chamada de raised cosine pulse:
A primeira derivada de v(t) é:
que não tem nenhuma singularidade degrau
A segunda derivada é:
a qual apresenta singularidades degrau
em t = ± τ.





Π




−=
ττ
π
τ
π
2
1cos
2
)( 2
2
2 tA
dt
tvd
(continua...)
aplicar a regra da cadeia
aplicar a regra da cadeia
a terceira derivada será:
Como (multiplicação por impulso), então
que tem a forma de 
Note-se que a primeira parcela tem forma semelhante à primeira derivada, e assim:





Π




−=
ττ
π
τ
π
2
1cos
2
)( 2
2
2 tA
dt
tvd





 −−+×+




Π×




−




−=






−−+×+




Π×














−=
)]()([cos
2
sen
2
)]()([cos
2
cos
2
)(
2
2
3
3
τδτδ
τ
π
ττ
π
τ
π
τ
π
ττ
τ
π
ττ
π
τ
π
τ
π
tttttA
tutu
dt
dttt
dt
dA
dt
tvd
)()()(cos)(cos τδτδ
τ
τπτδ
τ
π −−=−±=± tttt
Dado: e
dt
tdvtw )()(
2





−=
τ
π
(continua...)
aplicando a regra da cadeia
___________________________________________
dt
tdvtw )()(
2





−=
τ
π
)(
2
)(
2
)()( 222
3
3
τδ
τ
πτδ
τ
π
τ
π −




−+




+




−= tAtA
dt
tdv
dt
tvd
Aplicando a TF se obtém:
Após alguns cálculos algébricos, isola-se V(f):
(continua...)
Obs:
O espectro de amplitudes de V(f) está 
desenhado na Fig. 2.5-7c, para f ≥ 0.