Eletrônica Digital - Tópico - 3

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Material de Consulta para o Aluno 
 
3º Tópico – Simplificação por mapa de Veitch-Karnaugh (K-mapa) 
 
Simplificação por mapa de Veitch-Karnaugh (K-mapa) 
 
1) K-mapa de 2 variáveis 
A figura 1 mostra o K-mapa de duas variáveis, as variáveis de entrada são 𝐴	𝑒	𝐵. A 
variável 𝐴 ocupa as linhas, enquanto a variável 𝐵 as colunas. 
 
 
Figura 1 - K-mapa de duas variáveis 
Nos mapas da figura 2 encontramos todas as possibilidades de “A” e “B”. 
 
Figura 2 - Possibilidades de agrupamento 
 
 
Figura 3 - Possibilidades de agrupamento 
Com duas variáveis podemos obter quatro possibilidades como demonstra a figura 
4: 
 
 
Eletrônica Digital 
 
Figura 4 - Tabela com as possibilidades 
 
No caso 0, temos: A = 0 e B = 0. A região do diagrama que mostra esta condição é a 
da intersecção das regiões onde A = 0 e B = 0: 
 
 
Figura 5 - Caso 0 
No caso 1, temos: A = 0 e B = 1. A região do diagrama que mostra esta condição é a 
da intersecção das regiões onde A = 0 e B = 1: 
 
 
Figura 6 - Caso 1 
No caso 2, temos a interseção das regiões onde A = 1 e B = 0. Fazendo essa 
interseção, temos: 
 
 
Figura 7 - Caso 2 
No caso 3, temos a interseção das regiões onde A = 1 e B = 1. Fazendo esta 
interseção, temos: 
 
 
Figura 8 - Caso 3 
É possível distribuir as quatro possibilidades no k-mapa da seguinte forma: (figura 9) 
 
 
Figura 9 
Logo, notamos que cada linha da tabela possui sua região própria no diagrama de 
Veitch-Karnaugh. Essas regiões serão ocupadas pelos diversos valores assumidos 
em todas as possibilidades. 
 
Observe o exemplo: A tabela verdade (figura 10) mostra o estudo de uma função de 
duas variáveis. Vamos colocar os resultados no K-mapa da figura 12. 
 
 
Figura 10 - Exemplo 1 
Utilizando o método estudado no tópico anterior, obtemos a seguinte equação 
booleana: (figura 11) 
 
Figura 11 - Equação booleana 
 
Passando para o mapa os casos da tabela verdade. 
 
 
Figura 12 - Colocação dos valores no K-mapa 
Depois de colocado os valores no mapa, é o momento da formação dos 
agrupamentos. 
 
 Tipos de agrupamentos 
 
a) Quadra (22 = 4) – o expoente representa o número de variáveis eliminadas. 
Nesse caso será duas variáveis. 
A quadra é formada por um conjunto de 4 regiões onde S = 1. No mapa de 
duas variáveis é o agrupamento máximo, proveniente de uma tabela onde 
todos os casos valem 1. Sendo assim a equação final simplificada é S = 1. 
(Figura 13) 
 
 
Figura 13 - Formação de quadra 
b) Par (21 = 2) – Elimina uma variável. 
A dupla é formada por um conjunto de 2 regiões onde S = 1 que tem um lado 
em comum, ou seja, vizinhos. As figuras 14 e 15 mostram duas possibilidades 
de formação de duplas. Ao todo existem quatro possibilidades de duplas. 
 
 
Figura 14 - Formação de duplas 
 
 
Figura 15 - Formação de duplas 
c) Termo isolado 
Região onde S = 1 sem vizinhança para agrupamentos. São os próprios 
casos de entrada sem simplificação. (Figura 16) 
 
Figura 16 - Termos isolados 
 
Retornando ao exemplo das figuras 11 e 12 onde: 
, e simplificando a partir do K-mapa teremos: 
(Figura 17) 
 
 
Figura 17 
Depois de colocados os valores no mapa, vamos extrair os pares. O par 1 ocupa a 
região onde A = 1, então Par 1 = A. 
O Par 2 = B, pois este par ocupa a região onde B = 1. 
O resultado da equação simplificada é a soma dos resultados dos pares. 
 
 
Figura 18 - Resultado da simplificação 
 
Observações: Nenhum “1” ficou fora dos agrupamentos e o mesmo “1” pode 
pertencer a dois agrupamentos. 
 
O resultado obtido equivale a expressão da porta OU. Isso faz com que se reduza os 
custos do projeto. 
 
Exemplo 2: Simplifique pelo K-mapa a equação 
 
𝑆 = 	 �̅�. 𝐵) +	 �̅�. 𝐵 + 𝐴. 𝐵) 
 
Colocando as variáveis no K-mapa e formando os agrupamentos (figura 19),teremos 
a seguinte equação simplificada representada na figura 20. 
 
 
Figura 19 - Simplificação por k-mapa do exemplo 2 
 
Figura 20 = Equação simplificada - exercício 2 
2) Mapa de Veitch-Karnaugh de 3 variáveis 
 
 
Figura 21 - K-mapa de 3 variáveis 
 
A figura 22 representa todas as possibilidades das variáveis A, B e C no K-mapa de 
3 variáveis. 
 
 
Figura 22 - Formação de quadra - K-mapa de 3 variáveis 
 
(a) Região na qual 𝐴 = 1. 
(b) Região na qual �̅� = 1. 
(c) Região na qual 𝐵 = 1. 
(d) Região na qual 𝐵) = 1. 
(e) Região na qual 𝐶 = 1. 
(f) Região na qual �̅� = 1. 
 
A figura 23 demonstra a relação entre a tabela verdade de 3 variáveis e o respectivo 
k-mapa. 
 
Figura 23 
Exercício resolvido 
 
1) A partir da tabela verdade da figura 24, represente os valores da saída no k-
mapa. 
 
Figura 24 - Tabela verdade do exercício resolvido 
Transferindo os valores da saída para o k-mapa temos: 
 
 
Figura 25 – Colocação do valores da saída da tabela no k-mapa 
OBS.: Lembre-se que é possível preencher o k-mapa a partir da equação booleana 
que é retirada da tabela verdade. Nesse caso equivale a 
 
Figura 26 - Equação booleana retirada da tabela verdade 
Formação de agrupamentos 
 
a) Oitava 
Neste tipo de mapa representa o agrupamento máximo. 
 
Figura 27 
 
b) Quadra 
São formadas por 4 regiões onde S = 1 vizinhos. Ao todo temos 6 formações de 
quadras. Na figura 28 temos exemplos de algumas quadras. 
 
 
Figura 28 - Exemplos de quadras 
c) Pares ou duplas 
 
No k-mapa de 3 variáveis existem 12 tipos de duplas. A figura 29 mostra um 
exemplo de formação de algumas dessas duplas. 
 
Figura 29 - Formação de pares no K-mapa 
d) Termos isolados 
Não podem ser simplificados pelo k-mapa. Na figura 30 observe o exemplo de 
alguns termos isolados. 
 
Figura 30 - Exemplo de termos isolados 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Simplifique pelo k-mapa a seguinte expressão booleana: 
 
 𝑆 = 	 �̅�𝐵)�̅� + �̅�𝐵�̅� + �̅�𝐵𝐶 + 𝐴𝐵)𝐶̅ + 𝐴𝐵�̅�	. 
 
Passando os valores para o mapa de Karnaugh e realizando os agrupamentos 
temos: 
 
Figura 31 - Exercício resolvido - mapa de 3 variáveis 
O resultado obtido da dupla e quadra na simplificação é: 𝑆 = 	𝐶̅ + �̅�	. 𝐵	 
 
2) Simplifique pelo k-mapa o resultado da saída da tabela da figura 32. 
 
Figura 32 Tabela - exercício resolvido 2 
Passando para o k-mapa os valores de saída, temos: 
 
Figura 33 - K-mapa do exercício resolvido 2 
Realizando os agrupamentos, é possível perceber que não só existe formação de 
duplas. As figuras 34 e 35 mostra os agrupamentos e o resultado obtido da 
simplificação respectivamente. 
 
Figura 34 - Formação de agrupamentos - exercício resolvido 2 
 
Figura 35 - Equação simplificada - exercício resolvido 2 
 
 
 
 
 
1) Mapa de 4 variáveis 
 
Figura 36 - K-mapa de 4 variáveis 
A figura 37 mostra as posições das variáveis A,B,C e D no k-mapa. 
 
Figura 37 - Posicionamento das variáveis no k-mapa de 4 variáveis 
De forma semelhante aos outros mapas, cada linha da tabela verdade corresponde 
a uma posição do mapa. Veja a figura 38. 
 
 
Figura 318 - Posição dos valores da tabela verdade no k-mapa de 4 variáveis 
Como exemplo, vamos transpor os valores da equação 1 para o mapa. 
 
Figura 39 - Expressão booleana 
 
 
 
Figura 40 - Tabela verdade do exemplo 1 
A simplificação é realizada da mesma maneira que nos outros mapas. É importante 
destacar que os lados extremos opostos se comunicam. Podemos formar oitavas, 
quadras e pares, assim como nos outros. 
 
Exemplos de agrupamentos 
a) pares 
 
Figura 41 - Exemplos de pares 
 
 
 
 
 
b) quadras 
 
Figura 42 - Exemplos de quadras 
c) oitavas 
 
Figura 43 - Exemplos de oitavas 
d) agrupamento máximo - é formado por 16 posições. 
 
Voltando ao exemplo da equação 1 que foi posicionado no mapa da figura 44, 
vamos formar os agrupamentos e simplificar o circuito. 
 
Figura 44 
 
 
Figura 45 – equação simplificada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 
1) Simplifique pelo k-mapa o resultado da saída da tabela verdade. 
 
Figura 46 - Tabela verdade do exercício 
Colocando os valores no k-mapa. 
 
 
Figura 47 - Colocação dos valores da tabela no k-mapa 
Realizando os agrupamentos obtemoso resultado. 
 
Figura 48 - Formação dos agrupamentos do exercício proposto 
A expressão simplificada será: 
 
Figura 49 - Saída simplificada