APOSTILA_MATLAB_01

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CAMPUS DE ABAETETUBA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 2022
 
 
INTRODUÇÃO AO MATLAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Professor Marinaldo Rodrigues -2022 
 
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
Este trabalho trata-se da Apostila do Minicurso “Introdução ao MATLAB”, 
elaborado e ministrado pelo professor Marinaldo Rodrigues. A Apostila traz noções 
básicas do software MATLAB como, por exemplo: 
 
• Ambiente de trabalho, comandos básicos, funções básicas, manipulação de 
matrizes; 
• Comandos para plotagem de gráficos bidimensionais. 
• Operações com polinômios, etc. 
 
Nossa intenção com a proposta do Minicurso, não é cobrir todos os tópicos do 
MATLAB, até por que isso seria praticamente impossível, pois nossos conhecimentos são 
restritos se comparados à amplitude e às abrangentes possibilidades de utilização do 
mesmo. Além do mais a carga horária seria insuficiente. Pretende-se, com o Minicurso e 
a Apostila incentivar e motivar o estudo da ferramenta MATLAB, a partir das noções 
básicas que apresentaremos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa aprendizagem!
 
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Sumário 
INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 1 
AMBIENTE DO APLICATIVO ....................................................................................... 2 
1 JANELA DO MATLAB ........................................................................................... 2 
1.1 Janela de Comandos ...................................................................................... 2 
1.2 Janela (Wokspace) ......................................................................................... 4 
1.3 Janela (Current Folder) .................................................................................. 4 
1.4 Janela (Command History) ............................................................................ 5 
2 OPERADORES: TRABALHANDO NA JANELA DE COMANDOS ................... 5 
2.1 Atribuições a Vetores e Matrizes ................................................................... 6 
2.2 Ordem de precedência ................................................................................... 6 
2.3 Comando format ............................................................................................ 7 
2.4 Funções Matemáticas Elementares ................................................................ 8 
3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................... 8 
3.1 Funções trigonométricas inversas .................................................................. 9 
3.2 Números Complexos ................................................................................... 11 
4 CRIANDO VETORES ............................................................................................ 12 
4.1 Criando Vetores a Partir de uma Lista de Números Conhecidos ................ 12 
4.2 Criando Vetores com Elementos Espaçados de um fator Constante .......... 13 
1.3 Criando Vetores Especificando o Primeiro e Último termo em Seguida 
o Número de termos ................................................................................................ 13 
5 MATRIZES ............................................................................................................ 13 
5.1 Os Comandos zeros, ones e eye ................................................................... 14 
5.2 Operação de Transposição ........................................................................... 14 
5.3 Inversa de uma Matriz ................................................................................. 15 
5.4 Determinantes .............................................................................................. 15 
5.5 Funções Nativas para Cálculo com Vetores e Matrize15 ........................... 15 
6 PLOTANDO GRÁFICO NO MATLAB ................................................................ 16 
6.1 Comando plot .............................................................................................. 16 
6.2 Comando subplot ......................................................................................... 21 
7 POLINÔMIOS ........................................................................................................ 23 
7.1 Valor numérico de um polinômio ................................................................ 24 
 
 
 
 
 
7.2 Raízes de um polinômio .............................................................................. 24 
7.3 Adição Multiplicação e Divisão de polinômios .......................................... 24 
7.3.1 Adição de polinômios ...................................................................... 24 
7.3.2 Multiplicação de polinômios ........................................................... 25 
7.3.3 Divisão de polinômios ..................................................................... 25 
8 REFERENCIAS ...................................................................................................... 26 
 
 
 
 
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
O software MATLAB (MATLAB é marca registrada de The MathWorks, Inc.) foi 
originalmente desenvolvido para ser um "Laboratório para estudo de Matrizes", porém 
atualmente suas capacidades ultrapassam em muitas vezes as possibilidades de sua versão 
original. O nome MATLAB vem da junção das palavras MATrix LABoratory, isso se deve 
à base operacional do software que são as matrizes. O MATLAB é hoje um dos principais 
sistemas interativos e uma das mais importantes linguagens de programação para 
computação técnica e científica em geral. 
Sua primeira versão foi escrita na Universidade do Novo México e na Universidade 
de Stanford, no final da década de 70, e destinava-se a cursos de teoria matricial, álgebra 
linear e análise numérica. Hoje, o MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, 
processamento de sinais, imagens, sons, e construção de gráficos em ambiente fácil de usar 
onde problemas e soluções são expressos matematicamente, ao contrário dos métodos de 
programação tradicional. 
Os usos típicos do MATLAB incluem: 
✓ Cálculos matemáticos; 
✓ Desenvolvimento de Algoritmos; 
✓ Modelagem, simulação e confecção de protótipos; 
✓ Análise, exploração e visualização de dados; 
✓ Gráficos científicos e de engenharia; 
✓ Desenvolvimento de aplicações, incluindo a elaboração de interfaces gráficas com o 
usuário. 
É também um sistema interativo cujo elemento básico de informação é uma matriz 
que não requer dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de muitos problemas 
numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria muito mais para escrever um 
programa semelhante em outra linguagem, como o Pascal e o Fortran, por exemplo. 
 
 
 
 
 
Página-1 
 
Introdução ao MATLAB 
 
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docxAMBIENTE DO APLICATIVO 
Os principais menus do MATLAB são os seguintes: 
 1-Menu File: permite que o usuário abra, feche e salve arquivos. Permite ainda, 
que se alterem as configurações do software, que se enviem arquivos para impressão, que 
se abra o editor de janelas e se encerre o programa; 
 2-Menu Edit: possui as opções padrão do Windows, tais como undo, copy, etc. 
Além disso, permite que se limpe a área de trabalho; 
 3-Menu Desktop: Permite maximizar ou minimizar janelas pelo usuário, pode-
se também mudar o layout de apresentação das mesmas. 
 4-Menu Window: menu que permite a alternância entre as várias janelas abertas 
durante a execução do programa; 
 5-Menu Help: contém os tópicos de ajuda e informações gerais sobre o software. 
 
 Figura 1.1 - Aparência do MATLAB versão 7.10.0 (2010) 
 
Pode-se observar através da Figura 1.1 o destaque com a seta corresponde a uma 
linha de prompt (>>) onde o usuário pode digitar os comandos a serem executados. 
 
1 JANELAS DO MATLAB 
 
1.1 Janela de Comando (Command Window) 
 A principal janela do MATLAB é o Command Window. Ela pode ser usada para 
executar comandos, abrir outras janelas, rodar programas escritos pelo usuário ou gerenciar 
o uso do MATLAB. 
 
Introdução ao MATLAB Página-2 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Os textos na janela de comando são exibidos em cores diferentes conforme suas 
classes sintáticas. Pode-se observar através da Figura 1.2 a aparência da janela de comandos. 
 
Figura 1.2 - Aparência da janela de comandos 
 
As cores reservadas para essas classes são as seguintes: 
Funções e variáveis: cor preta. 
Cadeia de caracteres (nomes atribuídos ‘ ‘): ocre 
Textos de comentário (%): cor verde. 
Palavras reservadas: cor azul. 
Mensagem de erro: cor vermelha 
 
Observação: 
• Uma vez que o comando foi digitado e a tecla Enter foi pressionada, o comando é 
executado. Qualquer comando digitado anteriormente torna-se inacessível (a menos 
que seja reescrito ou chamado novamente). 
• As teclas ( ou ) podem ser acionadas para chamar comandos digitados 
anteriormente. 
• Muitos comandos podem ser digitados na mesma linha. Isso pode ser feito 
separando-os por vírgula. Quando a tela Enter for pressionada, os comandos são 
executados na ordem em que são digitados, sucessivamente da esquerda para a 
direita. 
 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-3 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
1.2 Janela (Wokspace) 
Área na qual são exibidas as variáveis definidas área de trabalho do MATLAB. A 
Figura 1.3 mostra-nos a aparência dessa janela. 
 
Figura 1.3 - Aparência da janela wokspace 
 
 
1.3 Janela (Current Folder) 
Área na qual é exibida a lista dos arquivos contidos no diretório corrente. A Figura 
1.4 mostra-nos a aparência dessa janela. 
 
Figura 1.4 - Aparência da janela Current Folder 
 
 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-4 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
1.4 Janela (Command History) 
Área na qual ficam armazenadas todas as instruções executadas no MATLAB. A 
Figura 1.5 mostra-nos a aparência dessa janela. 
 
Figura 1.5 - Aparência da janela Command History 
 
2 OPERADORES: TRABALHANDO NA JANELA DE 
COMANDOS 
No MATLAB operadores aritméticos trabalham com números, vetores e matrizes. 
A Tabela 1 mostra-nos os operadores. 
Tabela 2.1 – Operadores aritméticos 
Operador Descrição 
+ Soma 
- Subtração 
* Multiplicação matricial 
.* Multiplicação escalar 
/ Divisão matricial à direita (equivale a/b ou a*b-1) 
./ Divisão escalar à direita 
\ Divisão à esquerda (a\b ou a-1*b) 
^ Potência (matriz^escalar) 
.^ Potência escalar 
Introdução ao MATLAB Página-5 
 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
 
 
 
 
 
2.1 Atribuições a Vetores e Matrizes 
Os comandos introdutórios dados a Vetores e as Matrizes são definidos da seguinte 
forma: 
• Os valores numéricos devem ser definidos entre [ ]. 
• Valores de coluna são delimitadas por “espaço” ou, . 
• Linhas são delimitadas por ; . 
• O ponto e vírgula no final da linha de comando inibe a exibição do resultado na tela. 
 
Exercício 1 
Com os comandos introdutórios construa as seguintes matrizes na janela de comando 
[Command Window]: 
 
Primeiro atribua a variável “a” a seguinte matriz: 
a=[1 2;3 4] <Enter> 
 Segundo atribua a variável “b” a seguinte matriz: 
b=[5 6;7 8] <Enter> 
a) Efetue a soma entre a e b. 
b) Efetue a subtração entre a e b. 
c) Efetue a multiplicação matricial entre a e b. 
d) Efetue a multiplicação escalar entre a e b. 
e) Efetue a divisão matricial entre a e b. 
f) Efetue a divisão escalar entre a e b. 
g) Efetue a divisão esquerda entre a e b. 
h) Efetue a potência matricial entre a e b. 
i) Efetue a potência escalar entre a e b. 
 
2.2 Ordem de Precedência 
O MATLAB executa os cálculos de acordo com a ordem de precedência mostrada 
abaixo: 
Primeira: 
 
Precedência Operação Matemática 
 
Introdução ao MATLAB Página-6 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
 Parêntese (): A mais alta Quando ocorrem parênteses aninhados, os 
mais internos são executados em primeiro 
lugar. 
 
Exemplo: 
 (2+4) /5 2+4/5 
=1.2000 =2.8000 
 
Segunda 
 Exponenciação: ^ O símbolo de exponencial é: ^ 
Exemplo: 
5^3/2+2 5^3/ (2+2) 
= 64.5000 =31.2500 
Terceira 
 Multiplicação, Divisão Mesma ordem de precedência 
Exemplo: 
 4+5/3+2 
 = 7.6667 
 
Quarta 
 Adição e Subtração Mesma ordem de precedência 
 
• Nas expressões que possuírem muitas operações, as operações com maior ordem de 
precedência serão executadas em primeiro lugar. Se duas ou mais operações tiverem 
a mesma ordem de precedência a mais a esquerda será executada primeiro. 
Exemplo: 27^1/3+32^0.2 
=11 
 
2.3 Comando format 
Pode-se controlaro formato segundo o qual o MATLAB exibe os dados de saída na 
tela. O formato de saída é o ponto fixo com quatro dígitos decimais que é o formato padrão 
 
Introdução ao MATLAB Página-7 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
para valores numéricos. O formato de saída pode ser modificado através do comando format 
digitado antes de se declarar as variáveis. 
format short: Notação ponto fixo com 4 dígitos decimais. 
Exemplo: 
 format short 
 290/7 
 = 41.4286 
format long: Notação ponto fixo com 14 dígitos decimais. 
format short e: Notação cientifica com 4 dígitos decimais. 
format long e: Notação cientifica com 15 dígitos decimais. 
format short g: Melhor em 5 dígitos entre a notação de ponto fixo ou ponto flutuante. 
format long g: Melhor em 15 dígitos entre a notação de ponto ou ponto flutuante. 
format compact: Elimina espaços para permitir que mais linhas de informações sejam 
mostradas na tela. 
 
2.4 Funções Matemáticas Elementares 
Expressões no MATLAB podem incluir funções, além de operações aritméticas 
básicas. Uma função é caracterizada por um nome e um argumento entre parênteses. Esta 
característica torna o MATLAB mais poderoso, flexível e eficiente que outros ambientes de 
desenvolvimento e linguagem de programação. 
 
Tabela 2.2 – Funções elementares 
sqrt (x): Raiz quadrada. 
Ex: 𝑠𝑞𝑟𝑡(81) = 9 
abs (x):Valor absoluto. 
Ex: 𝑎𝑏𝑠(−12) 
exp (x): Exponencial. 
Ex: exp (2) 
log10 (x): Logaritmo base 10. 
Ex: 𝑙𝑜𝑔10(20) 
log (x): Logaritmo neperiano (ln). 
Ex:𝑙𝑜𝑔(2) 
factorial (x): Fatorial de x (x!). 
Ex: 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙(5) 
 
3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-8 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Tabela 3.1 – Funções trigonométricas 
sin(x): Seno do argumento x (x em radianos). 
Exemplo: 𝑠𝑖𝑛 (
𝑝𝑖
6
) = 0.5 
cos(x): Cosseno do argumento x. 
Exemplo: 𝑐𝑜𝑠(𝑝𝑖) 
tan(x): Tangente do argumento x. 
Exemplo: 𝑡𝑎𝑛 (
𝑝𝑖
2
) 
cot(x): Cotangente do argumento 
x. 
Exemplo: 𝑐𝑜𝑡 (
𝑝𝑖
3
) 
 
➢ O MATLAB opera com funções trigonométricas somente em radianos. Para 
converter graus em radianos procede-se como o exemplo: 
 
52𝑜×𝑝𝑖
180
= 0.91 
 
3.1 Funções Trigonométricas Inversas 
Os comandos para funções trigonométricas inversas são os seguintes: 
 
Tabela 3.2 – Funções trigonométricas inversas 
asin(x): Inversa do seno. 
Exemplo:𝑎𝑠𝑖𝑛 (
𝑝𝑖
4
) 
acot(x): Inversa da Cotangente. 
Exemplo: 𝑎𝑐𝑜𝑡 (
𝑝𝑖
2
) 
acos(x):Inversa do Cosseno. 
Exemplo:𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑝𝑖
5
) 
atan(x): Inversa da Tangente. 
Exemplo: 𝑎𝑡𝑎𝑛 (
𝑝𝑖
3
) 
 
Os comandos para as funções trigonométricas hiperbólica são: 
Tabela 3.3 – Funções trigonométricas hiperbólicas 
 
 
• O MATLAB é Case-sensitive, ou seja, diferencia letras minúsculas de maiúscula. 
• Não se deve criar variáveis como nome de comandos já definidos pelo MATLAB. 
• Não se cria variáveis com letras separadas por espaço ou utilizando acento gráfico. 
sinh(x) 
Exemplo: 𝑠𝑖𝑛ℎ (
𝑝𝑖
2
) 
cosh(x) 
Exemplo: 𝑐𝑜𝑠ℎ (
𝑝𝑖
3
) 
tanh(x) 
Exemplo: 𝑡𝑎𝑛ℎ (
𝑝𝑖
5
) 
coth(x) 
Exemplo: 𝑐𝑜𝑡ℎ (
𝑝𝑖
6
) 
 
Introdução ao MATLAB Página-9 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
• Os nomes das variáveis não podem começar com características numéricas 
 A Tabela 3.4 mostra-nos as funções de arredondamento. 
Tabela 3.4- Funções de arredondamento 
Função Descrição 
round (x) Arredonda para o inteiro mais próximo. 
fix (x) Arredonda para o inteiro positivo imediatamente menor. 
ceil (x) Arredonda para o inteiro positivo imediatamente maior. 
floor(x) Arredonda para o inteiro negativo imediatamente menor. 
sign(x) Função sinal. Retorna: 1(se x>0); -1(se x<0) e 0 (se x=0) 
 
Exercício 2 
1 - Uma identidade trigonométrica é dada por: 
 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
2
=
tan 𝑥 + sin 𝑥
2tan𝑥
 
Substituindo 𝑥 = 

5
, verifique a identidade calculando cada lado da equação. 
 
2 - Um objeto que está a uma temperatura inicial T0 é colocado em t=0 dentro de uma câmara 
à temperatura constante (TS). A mudança na temperatura do objeto segue a lei: 
 𝑇 = 𝑇𝑆 + (𝑇0 − 𝑇𝑆) × 𝑒
−𝐾×𝑡 
Onde t é a temperatura do objeto em um tempo t qualquer e k é um constante. De posse 
dessas informações, considere uma lata de refrigerante exposta a uma temperatura 48.90C. 
Em seguida, é colocada dentro de um refrigerador onde a temperatura é de 3.30C. Determine 
a temperatura da lata em graus Celsius, em valores inteiros, três horas após a lata ser 
colocada no refrigerador. Considere k=0.45. 
 
 
 
 Introdução ao MATLAB Página-10 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
 
3.4 Números Complexos 
Considere o seguinte numero complexo: 
 𝑍 = a + jb 
a=Re{Z} parte real 
b=Im {Z} parte imaginaria 
Onde o modulo de Z é dado por: 
𝑍 = √𝑎2+𝑏2 
A forma polar de Z é dada por: 
 𝑍 = 𝑒𝑗 = |𝑍| 
Onde se pode calcular “teta” pela seguinte equação: 
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑏
𝑎
) 
Z* é denominado de conjugado de Z. 
Definido como: 
Z∗ = a − jb 
Para as situações descritas acima o MATLAB defini as funções que envolvem os 
números Complexos da seguinte forma: 
 
Tabela 3.5- Funções características dos Números Complexos. 
 
 
Parte real: real (Z) Parte imaginaria: imag (Z) 
Modulo: abs (Z) Ângulo: angle (Z) 
Complexo Conjugado: conj (Z) 
 
Introdução ao MATLAB Página-11 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Exercício 3 
Calcule as operações entre os seguintes números complexos: 
 𝑧1 = 3 − 2𝑖 𝑒 𝑧2 = 4 + 3𝑖 
a) 𝑧1 + 𝑧2 b) 𝑧1 − 𝑧2 c) 𝑧1 × 𝑧2 
 
4 CRIANDO VETORES 
 
Um vetor é uma lista de números organizados em linhas e/ou colunas. O vetor mais 
simples (unidimensional) é formado por uma linha ou uma coluna de números. A Tabela 
4.1 mostra-nos exemplos de vetores. 
 
Tabela 4.1- Dados populacionais 
Ano 1984 1986 1988 1990 1992 1994 19996 
População 
(milhões) 
127 130 136 145 158 178 221 
 
4.1 Criando um Vetor a Partir de Uma Lista de Números Conhecidos 
 
O vetoré criado digitando-se os números da lista dentro de colchetes []. 
 
𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣é𝑙 = [𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑒 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟] 
 
Vetor Linha 
 Para criar um vetor linha, digite os elementos dentro dos colchetes, separando-os por 
um espaço ou vírgula. 
 
Exercício 4 
 Crie um vetor linha dos dados anos a partir da Tabela 4.1. 
 
Vetor Coluna 
 
Introdução ao MATLAB Página-12 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Para criar um vetor coluna, digite os elementos dentro dos colchetes, então entre com 
os elementos separando-os por ponto-e-vírgula ou pressione a tecla Enter após cada 
elemento. Por fim feche o colchete. 
Exercício 5 
 Crie um vetor coluna dos dados população a partir da Tabela 4.1. 
 
 4.2 Criando um Vetor com Elementos Espaçados de um Fator Constante 
 
Neste tipo de vetor, os elementos possuem a mesma separação entre si, por exemplo, 
no vetor v=2 4 6 8 10 , o incremento entre os elementos é 2. Um vetor cujo primeiro 
elemento é m, o incremento é q e o último termo é n, pode ser criado digitando-se: 
𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣é𝑙 = [𝑚: 𝑞: 𝑛] ou 𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣é𝑙 = 𝑚: 𝑞: 𝑛 
Exemplo: 
𝑥 = [1: 2: 13] 𝑦 = 1.5: 0.1: 2.1 
 
4.3 Criando um Vetor Especificando o Primeiro e Último Termo e em seguida o 
Número de termos 
Um vetor cujo primeiro elemento é xi, o último elemento é xf e o número de termos 
é n, pode ser criado por meio do comando linspace. 
 
𝑛𝑜𝑚𝑒_𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣é𝑙 = 𝑙𝑖𝑛𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒(𝑥𝑖, 𝑥𝑓, 𝑛) 
Exemplo: 
𝑣𝑎 = 𝑙𝑖𝑛𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒(0,8,6) 
 
5 MATRIZES 
 Uma matriz possui elementos dispostos em linhas e colunas. Uma matriz é criada 
atribuindo-se os elementos a uma variável. Isso pode ser feito digitando-se os elementos 
linha a linha, dentro de colchetes []. 
Primeiramente digite o colchete esquerdo, digite a primeira linha, separando os 
elementos com espaços ou vírgulas. Para digitar a próxima linha, digite um ponto-e-vírgula 
ou pressione Enter. Termine a matriz digitando o colchete à direita do último elemento. 
 As entradas de uma matriz podem conter números ou expressões matemáticas. É 
sumariamente importante que todas as linhas possuam a mesma quantidade de elementos. 
 
Introdução ao MATLAB Página-13 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
𝑎 = [5 35 43; 4 76 81; 21 32 40] 
As linhas de uma matriz também podem ser geradas utilizando-se vetores, por meio 
do comando linspace ou da notação de vetores. 
Exemplo: 
𝐴 = [1: 2: 11; 0: 5: 25; 𝑙𝑖𝑛𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒(10,60,6); 67 243 68 4 13] 
 
5.1 Os Comandos zeros, ones e eye. 
Os comandos zeros, ones e eye podem ser utilizados para criar matrizes cujos 
elementos possuem valores especiais. 
 
Comando zeros (m, n) 
Cria uma matriz com m linhas e n colunas, cujos elementos são 0. 
Exemplo: 
𝑧𝑟 = 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠(3,4) 
 
Comando ones (m, n) 
Cria uma matriz com m linhas e n colunas, cujos elementos são 1. 
Exemplo: 
𝑢𝑚 = 𝑜𝑛𝑒𝑠 (4,3) 
 
Comando eye (n) 
Cria uma matriz quadrada com n linhas e n colunas, cujos elementos da diagonal 
principal são igual a 1 e os demais são 0. Essa matriz é denominada de matriz identidade. 
Exemplo: 
 
𝑖𝑑𝑛 = 𝑒𝑦𝑒 (5) 
 
 5.2 Operador de Transposição 
 O operador de transposição quando aplicado troca as linhas pelas colunas e vice-
versa. Pode-se utilizar esse operador digitando-se uma aspa simples (‘) após a variável a ser 
transportada. 
 
Introdução ao MATLAB Página-14 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 
𝑎𝑎 = [3 8 1] 
𝑏𝑏 = 𝑎𝑎′ 
 
5.3 Inversa de uma Matriz 
Uma matriz B é a inversa da matriz A se o produto dessas matrizes é a matriz 
identidade. 
𝐵 × 𝐴 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐼 
Tipicamente, a matriz inversa de A é simbolizada por A-1. No MATLAB, a inversa 
pode ser obtida elevando a potência -1 ou utilizando a função nativa inv (A). 
Exemplo: 
𝐴 = [2 1 4; 4 1 8; 2 − 1 3] 
𝐵 = 𝑖𝑛𝑣(𝐴) 
 
5.4 Determinantes 
 O MATLAB possui uma função nativa chamada de det, que calcula o determinante 
de matriz quadrada. 
 
5.5 Funções Nativas para Cálculo com Vetores e Matrizes. 
• A função mean (A): Se A for um vetor, retorna o valor médio dos elementos do 
vetor. 
• A função C=max (A): Se A for um vetor receberá o maior elemento de A. Se A é 
uma matriz, C é um vetor linha contendo o maior elemento em cada coluna de A. 
• A função [d, n] =max (A): Se A for um vetor, d recebe o maior elemento de A e n 
indica a posição desse elemento no vetor (a primeira posição, caso haja mais de um 
elemento de valor igual ao máximo). 
• A função min (A): Semelhante à função max (A), retornando o menor elemento de 
A. 
• A função [d, n] =min (A): Semelhante à função [d, n] =max(A), para o menor 
elemento de A. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS DE ABAETETUBA 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-15 
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
• A função sum (A): Se A é um vetor, retorna a soma dos elementos do vetor. 
• A função sort (A): Se A é um vetor, ordena os elementos de A na ordem crescente. 
• A função median (A): Se A é um vetor, retorna o valor mediano dos elementos do 
vetor. 
• A função std (A): Se A é um vetor, retorna o desvio-padrão dos elementos do vetor. 
• A função det (A): Retorna o determinante da matriz quadrada A. 
• A função dot (a, b): Determina o produto escalar de a e b. Os vetores podem ser 
tanto linha como coluna. 
• A função cross (a, b): Determina o produto vetorial de dois vetores a e b, os dois 
vetores devem possuir três elementos. 
• A função inv (A): Retorna a matriz inversa de da matriz quadrada de A. 
 
6 PLOTANDO GRÁFICO NO MATLAB 
Gráficos constituem um recurso visual poderoso para a interpretação de dados. O 
MATLAB dispõe de um grande número de facilidades gráficas, usadas para plotar (gerar 
desenho de gráficos) através de funções e comandos. É possível obter gráficos 
bidimensionais ou tridimensionais com qualquer tipo de escala e coordenadas. 
Alguns comandos frequentes para plotar gráficos bidimensionais são: 
 
Tabela 6.1- Comando para plotagem de gráficos 
Comando Descrição 
plot Plotar linear 
fplot Gráfico da função 
loglog Gráfico em escala logarítmica 
semilogx Gráfico em escala semi-logarítmica (eixo x). 
semilogy Gráfico em escala semi-logarítmica (eixo y). 
fill Desenhar polígono 2D. 
polar Gráfico emcoordenadas polar 
stairs Gráfico em degrau 
 
 
6.1 Comando plot 
O comando plot é o comando mais comum para plotagem de dados bidimensionais. 
 
Introdução ao MATLAB Página-16 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS DE ABAETETUBA 
 
 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Plotar a função x2+1 
x= -10:0.5:10; 
y=x.^2+1; 
plot (x,y); 
Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparência de nosso gráfico: title 
(inclui um título ao gráfico), xlabel (permite que o eixo das abscissas do gráfico seja 
identificado), ylabel (permite que o eixo das abscissas do gráfico seja identificado). 
title (‘Gráfico da função x^2+1’) 
xlabel(‘x’) 
ylabel(‘x’) 
Como resultado o MATLAB nos retorna a uma janela denominada Figure No. 1 
com o seguinte gráfico: 
 
Figura 6.1- Gráfico da função 
 
 
É possível desenhar mais que uma função no mesmo gráfico. Existem dois 
modos: um através do comando plot, e outro através do comando hold. Por exemplo, 
podemos gerar no mesmo gráfico as funções sen(x), cos(x) e sen(2x). 
 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-17 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Exemplo: 
x= 0:pi/100:6*pi; 
y1=sin(x); 
y2=cos(x); 
y3=sin(2*x); 
plot(x,y1,x,y2,x,y3); 
title(‘Gráfico das funções sen(x),cos(x),sen(2x)’) 
xlabel(‘x’) 
ylabel(‘x’) 
Gerando o seguinte gráfico: 
 
Figura 6.2- Gráficos das funções 
 
 
Com o comando hold, para plotar as funções sen(x) e cos(x), utiliza-se a seguinte 
síntese: 
 
 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-18 
x=0:pi/100:6*pi; 
y1=sin(x); 
y2=cos(x); 
hold on 
plot(x,y1); 
plot(x,y2); 
hold off 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Além de títulos e designação dos eixos (funções title, xlabel e ylabel) podemos 
definir outras propriedades gráficas como legendas, cores e estilos de linhas, estilos de 
marcadores, incluir grade. 
A cor e o estilo da linha e o tipo de marcador para pontos de dados na linha podem 
ser selecionado pelo uso de uma cadeia de caracteres de atributos após os vetores x e y na 
função plot. Na tabela a seguir vemos os principais valores para os atributos cores, 
marcadores e estilos de linha. 
Com o comando grid podemos adicionar linhas de grade no desenho do gráfico: grid 
on (para incluir) e grid off (para remover). 
Tabela 6.2 – Propriedades gráficas 
 
 
 Legendas podem ser criadas por meio da função legend, utilizando a seguinte 
estrutura: 
Legend ('texto1', 'texto2’,...,posição) 
 
Onde na ‘posição’ podem ser atribuídos os seguintes valores de posicionamento da 
legenda: 
Tabela 6.3 – Posicionamento da legenda 
 
 
 
 
Cor Marcadores Estilo de Linha 
y amarelo . Ponto - Sólido 
m rosa(magenta) o Círculo : Pontilhado 
c azul (ciano) x X -. Ponto-traço 
r vermelho + Mais -- Tracejado 
g verde * Asterisco 
b azul s Quadrado 
w branco v Triângulo para baixo 
k preto ^ Triângulo para cima 
 P Pentágono 
Valor Significado 
0 Escolha automática da melhor posição (mínimo conflito com os 
dados) 
1 Canto superior direito 
2 Canto superior esquerdo 
3 Canto inferior esquerdo 
4 Canto superior direito 
 -1 À direita do desenho 
 
Introdução ao MATLAB 
Página-19 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
Além do título, é possível adicionar qualquer outro texto em algum lugar específico 
do gráfico plotado através do comando text, com a seguinte síntese: text (x,y, 'texto 
desejado'). 
Onde x, y são as coordenadas nas quais desejamos que o texto apareça. 
Com a mesma finalidade pode ser utilizado o comando gtext, com a diferença de 
com este a posição do texto é escolhida através do mouse. Tem a síntese: 
 gtext('texto desejado') 
6.2 Comando axis 
É possível controlar as proporções e a aparência dos eixos horizontal e vertical dos 
gráficos gerados pelo MATLAB através do comando axis. Alguns modos principais de 
configuração desse comando seguem na Tabela 3.3 a seguir: 
 
Tabela 6.4 – Posicionamento da legenda 
 
LineWidth, MarkerSize, MarkerEdgeColor, MarkerFaceColor 
São propriedades do comando plot, através das quais podemos ajustar a cor, o estilo e o 
tipo de marcador para uma linha. 
LineWidth: Especifica em pontos a espessura de cada linha. 
MarkerSize: Especifica em pontos o tamanho do marcador. 
MarkerEdgeColor: Especifica a cor do marcador ou da borda de marcadores 
preenchidos. 
Comandos Descrição 
axis ([xmin xmax ymin ymax]) Define os valores máximos e mínimos dos 
eixos usando os valores dados no vetor de 
linha. 
axis square Torna quadrado o quadro dos eixos. 
axis equal Ajusta os incrementos de eixos para que sejam 
iguais nos dois eixos. 
axis normal Cancela o efeito dos dois comandos anteriores 
axis off Desliga todos os nomes de eixos, grades e 
marcadores. Não altera o título nem os 
nomes colocados pelos comandos text e 
gtext. 
axis on Liga nomes de eixos, marcadores e grade. 
 
Introdução ao MATLAB Página-20 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
MarkerFaceColor: Especifica a cor interna dos marcadores preenchidos. A estrutura de 
utilização das propriedades é a seguinte: 
plot(x,y, 'nome da propriedade‟,valor,….) 
 
6.3 Comando subplot 
É possível colocar mais de um conjunto de eixos em uma mesma figura, criando 
assim múltiplos diagramas. Os subdiagramas são criados pelo comando subplot: 
subplot(m,n,p) 
Onde m denota o número linhas e n o número de colunas que se deseja dividir a 
janela gráfica; p indica qual das subdivisões vai receber o gráfico desejado. 
Exemplo: 
Plotar as funções sen(x) e cos(x), com x= -pi: pi/20 : pi, na mesma janela mas 
em gráficos separados, utilizando o comando subplot para dividir a janela em dois 
subgráficos. 
subplot(2,1,1) 
x=-pi:pi/20:pi; 
y=sin(x); 
plot(x,y) 
 
title('Subdiagrama 1'); 
 
subplot(2,1,2);x=-pi:pi/20:pi; 
y=cos(x); 
 
plot(x,y) 
 
title('Subdiagrama2');
 
Introdução ao MATLAB Página-21 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
Figura 6.3- Gráficos das funções 
 
 
Além do comando plot podemos graficar uma função através do comando fplot. 
Basicamente, você deve fornecer como primeiro argumento a função que pretende usar 
entre apóstrofes e como segundo, o intervalo sobre o qual a função será graficada. 
Exemplo: 
fplot(‘sin(x)’,[-pi, pi]) 
fplot(‘x^2+3’,[ -1, 2]) 
fplot(‘sin(x)’,[ -pi, pi]) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-22 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
7 POLINÔMIOS 
 Os polinômios são objetos matemáticos encontrados frequentemente na modelagem 
e solução de problemas nas engenharias e nas demais ciências exatas. Em muitos casos, uma 
equação escrita para determinado problema admite solução polinomial e a solução desejada 
são zeros de um polinômio. O MATLAB traz nativamente, uma seleção enorme de funções 
escritas especialmente para tratar de polinômios. 
 Polinômios: polinômios são formas algébricas racionais inteiras. Dito de outra forma 
é uma soma infinita de monômios da forma: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
 
Os coeficientes an, an-1,..., a1, a0 são reais e n é um número inteiro não-negativo que 
revela o grau do polinômio. 
 
Exemplo: 
Tabela 7.1- Grau de um polinômio 
𝑓(𝑥) = 5𝑥5 + 6𝑥2 + 7𝑥 + 3 Polinômio de grau 5 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 10 Polinômio de grau 2 
𝑓(𝑥) = 11𝑥 − 5 Polinômio de grau 1 
 
Observação: uma função constante é um polinômio de grau zero. 
𝑓(𝑥) = 6 
No MATLAB polinômios são representados por um vetor linha os elementos são os 
coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎1 , 𝑎0 . O primeiro elemento do vetor é o coeficiente do termo de 
potencia mais elevada variável x. 
 
Exemplo: 
 
8𝑥 + 5 p=[8 5] 
2𝑥 − 4𝑥 + 10 d=[2 -4 10] 
6𝑥2 − 150 h=[60 0 -150] 
5𝑥5 + 6𝑥2 − 7𝑥 c=[5 0 0 6 -7 0] 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-23 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
 
7.1 Valor numérico de um polinômio 
O valor numérico de um polinômio em um ponto x= é o resultado da substituição de 
x por . No MATLAB, a função polyval tem esse propósito. 
A sintaxe é polyval (p, x) 
Exercício 
Considere o polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 12.1𝑥4 + 40.59𝑥3 − 17.015𝑥2 − 71.95𝑥 + 35.88 
a) Determine 𝑓(9) 
b) Esboce o polinômio para 1.5 ≤ 𝑥 ≤ 6.7 
 
7.2 Raízes de um Polinômio 
As raízes de um polinômio são os valores dos argumentos para os quais p(x) =0. O MATLAB 
possui uma função nativa, chamada de roots, que determina a raiz (ou raízes) de um 
polinômio. A forma funcional de roots é roots(p). 
Exemplo: 
𝑝 = 1 − 12.1 40.59 − 17.015 − 71.95 35.88 
𝑟𝑜𝑜𝑡𝑠 (𝑝) 
6.5000 
4.0000 
2.3000 
-1.2000 
0.5000 
Quando as raízes de um polinômio são conhecidas, o comando poly possibilita inverter o 
processo, ou seja, determinar os coeficientes do polinômio. A forma da função poly é: 
𝑝 = 𝑝𝑜𝑙𝑦 (𝑟) 
 
7.3 Adição, Multiplicação e Divisão de polinômios 
 
7.3.1 Adição de polinômios 
A adição ou subtração de polinômios é feita adicionando-se ou subtraindo-se os 
coeficientes dos termos de mesma potência. Se dois polinômios não têm a mesmo grau, isto 
é, os vetores correspondentes não têm a mesma dimensão, o vetor mais curto deve ser 
modificado, recebendo zeros de modo a possibilitar a adição de vetores no MATLAB. 
 
 
Introdução ao MATLAB Página-24 
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
Considere os seguintes polinômios 
𝑓1(𝑥) = 3𝑥6 + 15𝑥5 − 10𝑥3 − 3𝑥2 + 15𝑥 − 40 e 𝑓2(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥 − 6 
Quando adicionados, resultam em: 
𝑝1 = 3 + 15 0 − 10 − 3 + 15 − 40; 
𝑝2 = 3 − 2 − 6; 
p=p1+[0 0 0 p2] 
p= 3 15 0 -7 -3 13 -46 
 
7.3.2 Multiplicação 
 
A multiplicação de dois polinômios é feita tomando-se a distributividade em relação 
à soma entre os coeficientes dos polinômios a serem multiplicados. No MATLAB, há uma 
função nativa, denominada conv, criada especialmente para isso: 
c=conv (a, b) 
 
 
 
 
 
Não é necessário que os dois polinômios possuam o mesmo grau. 
A multiplicação de três ou mais polinômios é feita por meio do uso repetitivo da 
função conv 
Exemplo: 
A multiplicação dos polinômios f1(x) e f2 (x) acima resultam em; 
pm=conv(p1,p2) 
 
7.3.3 Divisão de polinômios 
Matematicamente um polinômio pode ser dividido por outro de diversas formas: 
método de Descarte ou método dos coeficientes a determinar, divisão por um binômio, 
divisões sucessivas etc. O MATLAB possui a função nativa deconv cuja funcionalidade gera 
o resultado da divisão de polinômios. O formato geral da função deconv é: 
 
 
 
Três zeros foram adicionados ao vetor p2 de 
maneira a ajustá-lo ao grau de p1, visto que o 
grau de p1 é 6 e de p2 é 3. 
c é um vetor cujos elementos são os 
coeficientes do polinômio resultante da 
multiplicação. 
a e b são dois vetores cujos elementos 
representam os coeficientes dos dois 
polinômios a serem multiplicados. 
 
Introdução ao MATLAB Página-25 
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
[q , r]=deconv (u, v) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q é um vetor cujos elementos são os 
coeficientes do quociente da divisão 
polinomial. 
r é um vetor cujos elementos são os 
coeficientes do resto da divisão polinomial. 
u é um vetor cujos elementos são os 
coeficientes do polinômio numerador. 
v é um vetor cujos elementos são os 
coeficientesdo denominador. 
 
Introdução ao MATLAB Página-26 
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/Hallan%20Max/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB.docx
file:///C:/Users/marinaldo/AppData/Roaming/Microsoft/Word/MELHORANDO%20APOSTILA%20DE%20MATLAB%20111.docx
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] GILAT, A. Matlab Com Aplicações,Departmente of Mechanical Engineering, The 
Ohio STATE University, São Paulo, 2006. 
 
[2] MATSUMOTO, Y.Matlab 6.5 , Fundamentos de Programação.Érica ,2004. 
 
[3] CARMO, E.A. Apostila de Introdução ao Matlab