Atividade 3 Estagio Mecanica Geral I

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciência e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Física
Disciplina: Mecânica Geral I-Turma 1-Tarde
Professor: Eugênio B. Maciel
Dupla: Luís Antônio Acciolly da Silva
Nota
ATIVIDADE ACADÊMICA REFERENTE AO DIA
(19/12/2022)
1- (a) Demonstrar as equações (7.1) à (7.4) do livro do Beer. Explique o fato do
momento fletor não admitir um ponto de mínimo. Explique este fato com o exemplo da
página 377 do livro do Beer.
2- Resumo das seções 7.8 e 7.9.
3- Existe alguma diferença na funcionalidade dos cabos com cargas concentradas
daqueles com cargas distribuídas? Justifique.
4- Exercícios 7-29 à 7.35 do livro do Beer da nona edição.
Observações:
1-A atividade poderá ser feita em dupla.
2-A data de entrega será no dia 02/02/2023 (Quinta feira) no
horário da aula. 3-A atividade poderá ser manuscrita ou digitada
com caneta ou grafite.
4-Esta folha de rosto deverá sem impressa e entregue junto com as
respostas. 5-Esta atividade constará de 4,0 pontos para a avaliação
da terceira unidade.
UFCG-CCT-UAF Mecânica Geral I Eugênio Maciel
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - UFCG
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA - CCT
UNIDADE ACADÊMICA DE FÍSICA - UAF
DISCIPLINA: MECÂNICA GERAL I
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
RESUMO E LISTA DE EXERCÍCIOS 3° ESTÁGIO
Professor: Eugênio Bastos Maciel
Turma: 02
Aluno: Luís Antônio Acciolly da Silva
Matrícula: 121110206
CAMPINA GRANDE - PARAÍBA
JANEIRO - 2023
CAPÍTULO 7 - FORÇAS EM VIGAS E CABOS
7.6 - RELAÇÕES ENTRE CARREGAMENTO, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO
FLETOR
Quando uma viga sustenta mais de duas ou três cargas concentradas, ou quando
sustenta cargas distribuídas, a construção do diagrama de esforço cortante e do diagrama de
momento fletor será bastante facilitada se forem levadas em consideração certas relações
existentes entre a carga, o esforço cortante e o momento fletor.
Consideremos a viga apoiada em AB, que sustenta uma carga distribuída w por
unidade de comprimento, e sejam C e C’ dois pontos da viga separados por uma distância x∆
representados na figura 1.
Figura 1 - Viga AB.
O esforço cortante e o momento fletor em C são representados por Ve M e supõe-se
que sejam positivos; o esforço cortante e o momento em C’ são representados por V + V e∆
M + M.∆
Ao separar CC’ da viga e traçarmos seu diagrama de corpo livre, obtemos a figura 2.
Figura 2 - Parte CC’
As forças exercidas sobre o corpo livre incluem uma carga de intensidade w x e∆
forças e binários internos em C e C’.
É escrito que a soma dos componentes verticais das forças que atuam no corpo livre
CC’ é zero:
V - (V+ V) - w x = 0∆ ∆
V = -w x∆ ∆
Dividindo ambos os membros da equação por x e depois fazendo x tender a zero,∆ ∆
obtemos:
(7.1)𝑑𝑉𝑑𝑥 = − 𝑤
A equação 7.1 indica que, para uma viga carregada tal como mostra a figura 1, a
inclinação da curva de esforço cortante é negativa; o valor absoluto da inclinação em𝑑𝑉𝑑𝑥
qualquer ponto é igual à carga por unidade de comprimento desse ponto.
Integrando a equação 7.1 entre os pontos C e D, obtemos:
Vd - Vc = - (7.2)
𝑋𝑐
𝑋𝑑
∫ 𝑤𝑑𝑥
Vd - Vc = - (área sob a curva de carregamento entre C e D) (7.2’)
Deve-se salientar que a equação 7.1 não é válida em um ponto em que uma carga
concentrada é aplicada; em tal ponto, a curva do esforço cortante é descontínua. Do mesmo
modo, as equações 7.2 e 7.2’ deixam de ser válidas quando cargas concentradas são aplicadas
entre C e D, uma vez que elas não levam em consideração a súbita variação no esforço
cortante causada por uma carga concentrada. Dessa forma, as equações 7.2 e 7.2’ devem ser
aplicadas somente entre cargas concentradas consecutivas.
Novamente analisando a figura 2 e escrevendo agora que a soma dos momentos em
relação a C’ é zero, temos:
(M + M) - M - V x + w x = 0∆ ∆ ∆ ∆𝑥2
M = V x - w( x)²∆ ∆ 12 ∆
Dividindo os membros da equação por x e fazendo x tender a zero, obtemos;∆ ∆
(7.3)𝑑𝑀𝑑𝑥 = 𝑉
A equação 7.3 indica que a inclinação da curva de momento fletor é igual ao𝑑𝑀𝑑𝑥
valor do esforço cortante. Isto é verdadeiro para qualquer ponto em que o esforço cortante
tenha um valor bem definido, ou seja, em qualquer ponto no qual nenhuma carga concentrada
está aplicada. A equação 7.3 também mostra que o esforço cortante é zero nos pontos em que
o momento fletor é o máximo. Essa propriedade facilita a determinação dos pontos em que a
viga pode se romper por flexão.
Integrando a equação 7.3 entre os pontos C e D, obtemos:
Md - Mc = (7.4)
𝑋𝑐
𝑋𝑑
∫ 𝑉𝑑𝑥
Md - Mc = área sob a curva de esforço cortante entre C e D (7.4’)
A área sob a curva de esforço cortante deve ser considerada positiva onde o esforço
cortante é positivo, e negativa onde o esforço cortante é negativo. As equações 7.4 e 7.4’ são
válidas mesmo quando cargas concentradas são aplicadas entre C e D, desde que a curva de
esforço cortante tenha sido traçada corretamente. As equações 7.4 e 7.4’deixam de ser
válidas, no entanto, se um binário é aplicado em um ponto entre C e D, uma vez que não
levam em consideração a súbita variação no momento fletor causada por um binário.
Consideremos uma viga AB simplesmente apoiada de vão L que sustenta uma carga
uniformemente distribuída w, visto na figura 3.
Figura 3 - Carga uniformemente distribuída w.
A partir do diagrama de corpo livre da viga inteira, determinamos a intensidade das
reações nos apoios: Ra = Rb = , visto na figura 4.𝑤𝐿2
Figura 4 - Intensidade das reações nos apoios Ra e Rb.
Em seguida, é traçado o diagrama de esforço cortante. Junto à extremidade A da viga,
o esforço cortante é igual a Ra, ou seja, a , como podemos comprovar tomando uma parte𝑤𝐿2
muito pequena da viga como um corpo livre. Utilizando a equação 7.2 podemos então
determinar o esforço cortante V a qualquer distância x a partir de A, temos:
V - Va = -
𝑜
𝑥
∫ 𝑤𝑑𝑥 = − 𝑤𝑥
V = Va - wx = - wx = w( )𝑤𝐿2
𝐿
2 − 𝑥
A curva de esforço cortante é, portanto, uma reta inclinada que corta o eixo x em x =
, visto na figura 5.𝐿2
Figura 5 - Curva de esforço cortante.
Considerando agora o momento fletor, primeiro observamos que Ma = 0. O valor do
momento fletor a qualquer distância x de A pode então ser obtido a partir da equação 7.4,
temos:
M - Ma =
𝑜
𝑥
∫ 𝑉𝑑𝑥
M =
𝑜
𝑥
∫ 𝑤( 𝐿2 − 𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑤
2 (𝐿𝑥 − 𝑥
2)
A curva de momento fletor é uma parábola, visto na figura 6.
Figura 6 - Curva do momento fletor.
O valor máximo do momento fletor ocorre quando x = , uma vez que V (e, portanto,𝐿2
) é zero para esse valor de x. Substituindo x = na última equação, obtemos Mmáx =𝑑𝑀𝑑𝑥
𝐿
2
.𝑤𝐿²8
Na maior parte das aplicações de engenharia, o valor do momento fletor precisa ser
conhecido somente em alguns poucos pontos específicos. Uma vez traçado o diagrama de
esforço cortante e após M ter sido determinado em uma das extremidades da viga, pode-se
então obter o valor do momento fletor em qualquer ponto dado calculando-se a área sob a
curva de esforço cortante e utilizando a equação 7.4.
Neste exemplo, a curva de carregamento é uma reta horizontal, a curva de esforço
cortante é uma reta inclinada e a curva de momento fletor é uma parábola. Se a curva de
carregamento fosse uma reta inclinada (primeiro grau), a curva de esforço cortante seria uma
parábola (segundo grau) e a curva de momento fletor, uma cúbica (terceiro grau). As curvas
de esforço cortante e de momento fletor serão sempre, respectivamente, um ou dois graus
acima da curva de carregamento. Portanto, assim que alguns poucos valores do esforço
cortante e do momento fletor calculados, devemos ser capazes de esquematizar os diagramas
de esforço cortante e de momento fletor sem realmente determinar as funções V(x) e M(x).
Os diagramas esquemáticos obtidos serão mais exatos se fizermos uso de fato que, a qualquer
ponto em que as curvas são contínuas, a inclinação da curva do esforço cortante é igual a -w
e a inclinação da curva do momento fletor é iguala V.
7.8 - CABOS COM CARGAS DISTRIBUÍDAS
Considera um cabo preso a dois ponto fixos A e B e sustentando uma carga
distribuída, visto na figura 7.
Figura 7 - Cabo preso sustentando uma carga distribuída.
Considerando o caso mais geral de carga distribuída, traçamos o diagrama de corpo
livre do trecho do cabo que se estende do ponto mais baixo C até um dado ponto D do cabo,
visto na figura 8.
Figura 8 - Diagrama de corpo livre no trecho C até D.
As forças exercidas no corpo livre são: a força de tração To em C, que é horizontal, a
força de tração T em D, direcionada ao longo da tangente ao cabo em D, e a resultante W da
carga distribuída sustentada pela parte CD do cabo. Desenhando o correspondente triângulo
de forças, obtemos a figura 9.
Figura 9 - Triângulo de forças.
Deste modo, temos:
T * cos = To e T * sen (7.5)θ θ
T = e Tg = (7.6)𝑇𝑜² + 𝑊² θ 𝑊𝑇𝑜
A partir das equações 7.5 é evidente que a componente horizontal da força de tração T
é a mesma em qualquer ponto e que o componente vertical de T é igual à intensidade W da
carga medida a partir do ponto mais baixo. As equações 7.6 mostram que a tração T é mínima
no ponto mais baixo e máxima em um dos dois pontos de apoio.
7.9 - CABO PARABÓLICO
Supondo que o cabo AB sustenta uma carga uniformemente distribuída ao longo da
horizontal, como visto na figura 10.
Figura 10 - Cabo que sustenta uma carga uniformemente distribuída ao longo da
horizontal.
Cabos de pontes suspensas podem ser considerados como sendo carregados desse
modo, desde que o peso seja leve comparado com o peso dos tabuleiros da ponte. É
representado por w a carga por unidade de comprimento (medida horizontalmente) e a
indicamos em N/m. Escolhendo eixo coordenados com a origem no ponto mais baixo C do
cabo, descobrimos que a intensidade W da carga total, sustentada pela parte do cabo que se
estende por C até o ponto D de coordenadas x e y, é W = w * x. As equações 7.6 definindo a
intensidade e a direção da força de tração em D, tornam-se:
T = e Tg = (7.7)𝑇𝑜² + 𝑤²𝑥² θ 𝑤 * 𝑥𝑇𝑜
Além disso, a distância de D até a linha de ação da resultante W é igual à metade da
distância horizontal de C até D, visto na figura 11.
Figura 11 - Distância D até a linha de ação resultante W.
Somando os momentos em relação a D, temos:
e w * x *∑ 𝑀𝑑 = 0 𝑥2 − 𝑇𝑜 * 𝑦 = 0
Para y, temos:
y = (7.8)𝑤𝑥²2𝑇𝑜
Esta é a equação de uma parábola com um eixo vertical e seu vértice na origem do
sistema de coordenadas. A curva formada por cabos uniformemente carregados ao longo
horizontal é, portanto, uma parábola.
Quando os apoios A e B do cabo têm a mesma elevação, a distância L entre esses
apoios é chamada de vão do cabo e a distância vertical h, desde os apoios até o ponto mais
baixo, é denominada flecha do cabo, visto na figura 12.
Figura 12 - Vão de apoio L e flecha do cabo h.
Se o vão e a flecha de um cabo são conhecidos e se a carga w por unidade de
comprimento horizontal é dada, pode-se encontrar a tração mínima To substituindo-se x = 𝐿2
e y = h na equação 7.8. As equações 7.7 vão, então, fornecer a tração e a inclinação em
qualquer ponto do cabo, e a equação 7.8 vai definir a forma do cabo.
Quando os apoios tiverem diferentes elevações, a posição do ponto mais baixo do
cabo não é conhecida, e as coordenadas Xa, Ya e Xb, Yb dos apoios devem ser determinadas.
Para fazer isso, indicamos que as coordenadas de A e B satisfazem a equação 7.8 e que Xb -
Xa = L e Yb - Ya = d, onde L e d representam, respectivamente, as distâncias horizontal e
vertical entre os dois apoios, visto na figura 13.
Figura 13 - Distância horizontal L e distância vertical d entre dois apoios.
O comprimento do cabo desde seu ponto mais baixo C até o apoio B pode ser obtido
por meio da equação:
Sb = (7.9)
𝑜
𝑋𝑏
∫ 1 + ( 𝑑𝑦𝑑𝑥 )²𝑑𝑥
Ao distinguir a equação 7.8, obtemos o derivado ; substituindo na𝑑𝑦𝑑𝑥 = 
𝑤𝑥
𝑇𝑜
equação 7.9 e expandindo a raiz quadrada em um série infinita, temos:
Sb =
𝑜
𝑋𝑏
∫ 1 + 𝑤²𝑥²𝑇𝑜² 𝑑𝑥 = 𝑋𝑏(1 +
𝑤²𝑋𝑏²
6𝑇𝑜² −
𝑤4𝑋𝑏4
40𝑇𝑜4
+ ...)
e, como, , temos:𝑤²𝑋𝑏²2𝑇𝑜 = 𝑌𝑏
Sb = Xb[1 + ] (7.10)23 (
𝑌𝑏
𝑋𝑏 )² −
2
5 (
𝑌𝑏
𝑋𝑏 )
4
+ ... 
A série converge para valores da razão menores que 0,5; na maioria dos casos,𝑌𝑏𝑋𝑏
essa razão é muito menor, e somente os dois primeiros termos da série precisam ser
calculados.
Existe alguma diferença na funcionalidade dos cabos com cargas concentradas
daqueles com cargas distribuídas?
Em cabos com cargas concentradas o peso do cabo pode ser desprezado em relação às
cargas concentradas. Qualquer parte do cabo entre as cargas sucessivas pode, portanto, ser
considerado um elemento submetido à ação de duas forças, e as forças internas em qualquer
ponto do cabo se reduzem a uma força de tração direcionada ao longo do cabo. Já em cabos
com cargas distribuídas a força interna direcionada ao longo do cabo toma a forma de uma
curva e em um ponto D torna-se uma força de tração T direcionada ao longo da tangente a
essa curva.
Capítulo 7 - Problema 7.29:
A–>B:
∑ 𝐹𝑟 = 0
-P - V = 0, V = -P
M = 0∑
-x * P + M = 0
B–>C:
∑ 𝐹𝑟 = 0
-2P - V = 0, V = -2P
M = 0∑
2P*a + P * a + M = 0, M = -3P*a
Capítulo 7 - Problema 7.30:
Reações: A = 2P/3 e C = P/3
A–>B:
∑ 𝐹𝑟 = 0
2P/3 - V = 0, V = 2P/3
M = 0∑
-2P*x/3 + M = 0, M = 2P*x/3
B–>C:
∑ 𝐹𝑟 = 0
P/3 + V = 0, V = -P/3
M = 0∑
P*x/3 + M + P*L/3 = 0, M = P(L-x)/3
Capítulo 7 - Problema 7.31:
Reações: Ay = D = L*w/4
A–>B:
∑ 𝐹𝑟 = 0
L*w/4 + V = 0, V = -L*w/4
M = 0∑
-L*w*x/4 + M = 0, M = L*w*x/4
B–>C:
∑ 𝐹𝑟 = 0
L*w/4 -w*x- V = 0, V = w*x - L*w/4
M = 0∑
x*w*x/2 - (L/4+x)w*L/4 + M = 0, M = w/2(L²/8 + L*x/2 - x²)
Capítulo 7 - Problema 7.32:
A–>B:
∑ 𝐹𝑟 = 0
-L*w - V = 0, V = -L*w
M = 0∑
L*w*L/2 + M = 0, M = -L²*w/2
B–>C:
∑ 𝐹𝑟 = 0
-L*w/2 - V = 0, V = -L*w/2
M = 0∑
L*w/4 + M + w*L/2(L/4) = 0, M = -L*w/2(L/4 + L/2)
Capítulo 7 - Problema 7.33:
∑ 𝐹𝑟 = 0
-P - V = 0, V = -P
M = 0∑
-L*P + M + P*x = 0, M = P(L - x)
Capítulo 7 - Problema 7.34:
∑ 𝑀𝑐 = 0
-Mo + L*Ay = 0, Ay = Mo/L
∑ 𝐹𝑟 = 0
-Mo/L + C = 0, C = Mo/L
A–>B:
∑ 𝐹𝑟 = 0
-Mo/L - V = 0, V = -Mo/L
M = 0∑
Mo * x/L + M = 0, M = -Mo*x/L
B–>C:
∑ 𝐹𝑟 = 0
-Mo/L - V = 0, V = -Mo/L
M = 0∑
Mo * x/L - Mo + M = 0, M = Mo(1-x/L)
Capítulo 7 - Problema 7.35:
A–>C:
∑ 𝐹𝑟 = 0
15 - V = 0, V = 15
M = 0∑
-15 * 1 + M = 0, M = 15
C–>D:
∑ 𝐹𝑟 = 0
15 - 30 - V = 0, V = -15
M = 0∑
-15 * 1,5 + 10 + M = 0, M = 12,5
D–>E:
∑ 𝐹𝑟 = 0
15 - 30 - 20 - V = 0, V = - 35
M = 0∑
-15 * 2 +10 + 30 * 0,5 + M = 0, M = 5
E–>B:
∑ 𝐹𝑟 = 0
15 - 30 - 20 - V = 0, V = -35
M = 0∑
15 * 2,5 + 10 - 30 - 20 * 0,5 + M = 0, M = 7,5