Curiosidades da Física: O Tempo na Mecânica Clássica

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CURIOSIDADES DA FÍSICA
 José Maria Filardo Bassalo www.bassalo.com.br
O Tempo na Mecânica Clássica.
 
De um modo geral, para entender um fenômeno em nosso Universo é necessário
conhecer a lei que o rege. Conhecida essa lei, procura-se, então, quais conceitos
(e suas relações) são importantes, não só para a sua compreensão, bem como
para a previsão de novos aspectos desse mesmo fenômeno. Em Física, para as
suas leis [Richard Philips Feynman, O que é uma lei �sica? (Gradiva, 1999)],
existem alguns conceitos fundamentais, dentre os quais o tempo é um dos
principais, já que ele é importante para saber como evoluiu ou evoluirá um
fenômeno em estudo. Muito embora hoje a importância do tempo seja
inques�onável, o seu conceito, contudo, ainda con�nua a ser uma questão
polêmica.
 É claro que desde o aparecimento do Homem em nosso Universo, o
tempo sempre esteve presente em suas observações, já que algumas coisas por
ele observadas �nham começo e fim (a vida), outras se repe�am periodicamente
(movimento dos astros) e, por fim, outras eram aparentemente eternas
(minerais e o próprio Universo). Porém, o Homem custou a conhecer a relação
direta entre o tempo e o que observava. Por exemplo, tomemos o caso do
movimento de um modo geral. Parece que foram os gregos an�gos os primeiros
a estudar o movimento dos corpos. Com efeito, o filósofo grego Aristóteles de
Estagira (384-322) tratou o movimento, quer do ponto de vista cinemá�co, isto
é, apenas relacionando com sua trajetória geométrica; quer do ponto de vista
dinâmico, para o qual é importante saber a sua causa: a força. Assim, para esse
filósofo, uma pedra lançada em certa direção descrevia uma trajetória re�línea
até um determinado ponto e, depois caía na ver�cal. Por outro lado, a causa do
movimento da pedra, afirmava o estagirita, era devido a uma força exercida pelo
ar ao ser empurrado para os lados pela passagem da pedra através do mesmo.
 Apesar da afirmação de Aristóteles sobre a trajetória re�línea de um
corpo lançado no espaço, logo se verificou tratar-se de uma trajetória curva.
Porém, restava saber a forma dessa curva. Uma pergunta que se coloca com
relação a essa questão, é a seguinte: por que os gregos an�gos �veram tanta
dificuldade em compreender o movimento aproximadamente parabólico dos
corpos lançados ao espaço se, por exemplo, as curvas cônicas (elipse, parábola e
hipérbole) já haviam sido descobertas pelo matemá�co grego Menecmo
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(Menaechmus) de Atenas (f.c.350 a.C.) e estudadas pelo matemá�co grego
Apolônio de Pérgamo (c.261-c.190) por volta de 220 a.C.? Duas parecem ser as
razões básicas. A primeira delas é devida ao fato de que não �nham a ideia de
movimento rela�vo e, consequentemente, a ideia da independência dos
movimentos, ideias essas só aparecidas no começo do Século 17, para as quais é
fundamental o conceito de referencial. A segunda razão decorre, em nosso
entendimento, do desconhecimento que �nham dos conceitos modernos de
limite, derivada e integral, conceitos esses necessários para a definição de
velocidade e de aceleração, que são os parâmetros �sicos caracterís�cos do
movimento, e que só foram definidos na segunda metade daquele Século. Para
esses três conceitos (referencial, velocidade e aceleração), o tempo e o espaço,
são grandezas essenciais.
 As ideias aristotélicas sobre movimento (considerado como uma
categoria-qualidade do corpo) permaneceram por muitos séculos até serem re-
estudadas pelos �sicos e matemá�cos da Idade Média e da Renascença. Na
Idade Média, o problema do movimento foi analisado por professores das
Universidades de Oxford e de Paris. Os oxfordianos – conhecidos também como
calculadores (vide verbete nesta série) - consideraram o movimento analisando o
problema aristotélico relacionado ao crescimento (intensio), ou ao
decrescimento (remissio), em intensidade, das qualidades (grandezas)
cinemá�cas. Esses cien�stas conseguiram, trabalhando apenas hipote�camente
e sem nenhuma tenta�va experimental (presume-se!), demonstrar que o
movimento uniformemente disforme (hoje chamado variado) era equivalente
ao movimento uniforme, desde que este úl�mo fosse descrito com a velocidade
média do primeiro, conforme dizemos hoje. Esse resultado ficou conhecido como
a Regra de Merton (RM), porque os calculadores ensinavam no Merton College,
da Universidade de Oxford. 
 Essa RM foi demonstrada geometricamente pelo matemá�co alemão,
o Bispo Nicholas Oresme (Nicole d´Oresme) (c.1325-1382), do Colégio Navarra da
Universidade de Paris. Em seus estudos sobre o movimento, Oresme
representava a variação da intensidade da qualidade de movimento (hoje,
velocidade) de modo geométrico. Assim, ao longo de uma linha horizontal
marcava pontos (chamado por ele de longitudes, que nada mais eram do que os
instantes de tempo) e, em cada um desses pontos, levantava uma perpendicular
a essa mesma linha, cujo comprimento (chamado por ele de la�tude)
representava a intensidade da qualidade de movimento. Desse modo, o
movimento uniforme era indicado por um retângulo, e o uniformemente
disforme por um trapézio ou um triângulo. Oresme afirmou ainda que a soma
das la�tudes (hoje, velocidades) nesses gráficos, significava a distância (hoje,
espaço) percorrida pelo corpo. Resultados análogos a esses de Oresme foram
encontrados pelo seu professor, o filósofo francês Jean Buridan (1300-1358). Vê-
se, portanto, que esses estudiosos medievais subs�tuíram, para o caso do
movimento de um corpo, a categoria-qualidade aristotélica, por uma categoria-
quan�dade. 
 Não obstante o esforço dos estudiosos da Idade Média no sen�do de
entender e descrever o movimento, o fato de ser a Terra considerada como
imóvel, segundo indicava o modelo planetário geocêntrico do astrônomo grego
Cláudio Ptolomeu (85-165), proposto entre 151-157 d.C., fez com que,
presumivelmente, esses estudiosos não se preocupassem em descrever o
movimento de um corpo em relação a um outro, também em movimento, isto é,
eles não estudaram o movimento rela�vo. No entanto, com o modelo
planetário heliocêntrico proposto em 1543 pelo astrônomo polonês, o Cônego
Nicolau Copérnico (1473-1543), surgiu a necessidade de descrever o movimento
de um corpo em relação a uma Terra móvel que, contudo, apresentava uma
questão interessante, qual seja, a de saber por que um corpo lançado para cima
não cairia a oeste de sua posição inicial, como afirmavam os aristotélicos? Esta e
outras questões sobre o movimento começaram a ser respondidas pelos
estudiosos da Renascença (vide verbete nesta série).
 Parece haver sido o ar�sta e inventor italiano Leonardo da Vinci (1452-
1519) um dos primeiros a fazer experiências sobre o movimento dos corpos e
relacioná-los explicitamente com o tempo. Por exemplo, ao estudar o
movimento num plano inclinado, observou que os tempos da queda de um corpo
num plano inclinado variam inversamente com os senos de seus ângulos de
inclinação. Da Vinci também estudou novos �pos de movimento, principalmente
o lançamento oblíquo de projéteis. Ao observar esse �po de movimento,
concluiu que sua trajetória era a de uma curva con�nua e não, como
acreditavam os ar�lheiros e pirotécnicos de sua época, uma linha composta de
dois segmentos de reta ligados por um arco de círculo. Essa afirmação foi
também confirmada pelo �sico italiano Niccolo Fontana Tartaglia (c.1500-1557),
em 1546.
 Como vimos em verbete desta série, a questão da descrição do
movimento de um projé�l em relação a uma Terra (ou um outro corpo qualquer)
móvel foi abordada pelo filósofo italiano Giordano Bruno (1548-1600) ao propor
a seguinte experiência. Sejam duas pessoas, uma em um navio em movimento
uniforme e a outra na margem de um rio. Então, quando es�verem uma
defronte da outra, deixam cair uma pedra da mesma altura, em queda livre.
Cada pessoa, em par�cular, verá cair sua pedra ao pé da ver�cal, numa trajetória
re�línea. No entanto, a trajetória descrita pela pedralançada por uma dessas
pessoas, vista pela outra, será uma curva. Experiências desse �po foram
realizadas pelo engenheiro francês Jean Gallé, no mar Adriá�co, por volta de
1625, e pelo �sico francês Jean-Bap�ste Morin (1583-1656), em 1634, no rio
Sena. 
 O estudo do movimento de corpos também foi objeto de pesquisa por
parte do �sico e astrônomo italiano Galileu Galilei (1564-1642) entre 1589 e
1592, por ocasião em que era professor da Universidade de Pisa. O resultado
dessa pesquisa foi apresentado no livro Dialogo supra i due Massimi Sistemi Del
Mondo Tolemaico e Copernicano (“Diálogo sobre os dois Máximos Sistemas do
Mundo Ptolomaico e Copernicano”) [Discurso Editorial (2001)], publicado em
1632, no qual Galileu discu�u a queda de um corpo em um navio parado ou em
movimento uniforme, bem como o movimento de projéteis e o voo das aves, em
uma Terra móvel. Em toda essa discussão, Galileu usou o que, mais tarde, ficou
conhecido como o princípio da rela�vidade do movimento segundo o qual, um
corpo sob a ação de dois movimentos, descreve um terceiro que é resultante da
composição dos dois, isoladamente. Por exemplo, se um corpo é lançado
horizontalmente do alto de uma torre, ele descreverá uma parábola (no caso de
ser desprezado o ar atmosférico) que resulta da composição de um movimento
uniforme (horizontal) e de uma queda livre (movimento uniformemente
variado).
 Esse princípio da independência de movimento de Giordano Bruno-
Galileu foi corretamente u�lizado pelo �sico francês Pierre Gassendi (1592-
1655), em 1641, ao examinar a queda ver�cal de um corpo do alto do mastro de
uma galera em movimento. Esse princípio hoje conhecido como Princípio da
Rela�vidade de Galileu (PRG) é hoje expresso na forma:
 
x´ = x + V t, y´= y, z´ = z, t´= t,
 
onde x´ é a posição de uma par�cula em relação a um objeto fixo O´, e x é a
posição dessa mesma par�cula em relação a um outro objeto O que se desloca
com uma velocidade constante V em relação a O´ e na direção O´x´ (ou Ox).
Usando as expressões acima e lembrando da definição de velocidade (espaço
dividido pelo tempo), teremos a seguinte expressão:
 
x´/t´ = x/t´(=t) + V t/ t´(=t) → v´ = v + V,
 
que é a famosa Lei de Composição de Velocidades de Galileu. É oportuno
registrar que essa lei foi também encontrada, independentemente, pelos
franceses, o �sico, matemá�co e filósofo francês René du Perron Descartes
(1595-1650), em 1638, e o matemá�co Gilles Personne de Roberval (1602-1675),
em 1639 (vide verbete nesta série). 
 Muito embora Galileu não usasse o PRG na forma analí�ca como
descrita acima, ele o u�lizava por intermédio de argumentos lógicos diretos,
auxiliados pela Geometria, como se pode ver em seu Dialogo. Foi também dessa
maneira que Galileu, ainda nesse livro, demonstrou que o PRG levava a um
outro resultado importante, qual seja, o de ser impossível determinar se um
navio está ancorado ou em movimento re�líneo uniforme, realizando uma
experiência mecânica em algum de seus camarotes fechados. 
 A relação explícita (e correta) entre o movimento dos corpos e o tempo,
foi apresentada por Galileu em seu livro Discorsi i Demonstrazioni
Mathema�che intorno à Due Nuove Scienze A�enen� alla Mecanica e
Movimen� Locali (“Discursos e Demonstrações Matemá�cas em torno de Duas
Novas Ciências”) [Great Books of the Western World 26 (Encyclopaedia
Britannica Inc./Chicago, 1993)], publicado em 1638, no qual há o estudo da
resistência dos corpos em equilíbrio: sua Primeira Ciência [Fernando Luiz Lobo
Barboza Carneiro, La Recherche 147, p. 1166 (1983)], e o do movimento dos
corpos, sua Segunda Ciência. Assim, ao aplicar o resultado de suas pesquisas
sobre os movimentos uniforme e uniformemente variado dos corpos em queda
livre e em planos inclinados, Galileu descobriu as seguintes leis: 1) As velocidades
dos corpos em queda livre são proporcionais aos tempos gastos na queda; 2) Os
espaços percorridos pelos corpos em queda livre são proporcionais aos quadrados
dos tempos gastos em descrevê-los (vide verbete nesta série).
 A Segunda Ciência de Galileu – a Mecânica – foi sistema�zada pelo
�sico e matemá�co inglês Sir Isaac Newton (1642-1727), em seu tratado
in�tulado Philosophiae Naturalis Principia Mathema�ca (“Princípios
Matemá�cos da Filosofia Natural”) [Great Books of the Western World 32
(Encyclopaedia Britannica Inc./Chicago, 1993)], publicado em 1687, composto de
três Livros. No Livro I, Newton apresentou uma série de definições nas quais são
conceituadas a quan�dade de matéria (massa), a força inata da matéria
(inércia) e a força centrípeta. Logo em seguida à apresentação desses conceitos,
Newton apresentou as famosas definições de espaço (absoluto, em sua própria
natureza, sem relação com qualquer coisa externa, permanece sempre similar e
imóvel) e de tempo (absoluto, verdadeiro e matemá�co, por si mesmo e da sua
própria natureza, flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa e é
também chamado de duração). Em seguida, Newton examina a questão
relacionada com os movimentos absoluto e rela�vo dos corpos, concluindo que
o movimento ou o repouso de um corpo é sempre tomado em relação ao espaço
imóvel das estrelas fixas, espaço esse mais tarde conceituado como referencial
inercial (RI). É oportuno destacar que, para Newton, a massa também era
absoluta, isto é, não dependia do RI.
 Ainda no Livro I dos Principia, Newton enunciou os célebres axiomas
ou leis do movimento:
 
1a. Lei – Lei da Inércia: Todo corpo con�nua em seu estado de repouso ou de
movimento em uma linha reta, a menos que ele seja forçado a mudar aquele
estado por forças imprimidas sobre ele;
 
2a. Lei – Lei da Força: A mudança de movimento é proporcional à força motora
imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é
imprimida;
 
3a. Lei – Lei da Ação e Reação: A toda a ação há sempre oposta uma reação igual,
ou, as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas
a partes opostas.
 
 Depois de apresentar as leis do movimento, Newton começa então a
estudar o movimento geral dos corpos. Ainda no Livro I, há o tratamento do
movimento curvilíneo, com ênfase na questão da força centrípeta, como causa
desse �po de movimento. No Livro II, Newton discu�u o movimento de corpos
em meios resistentes e, por fim, no Livro III, aplicou todos os resultados ob�dos
anteriormente para demonstrar a estrutura do sistema do mundo, por intermédio
da Lei da Gravitação Universal: - A gravidade opera proporcionalmente à
quan�dade de matéria e propaga sua virtude para todos os lados a distâncias
imensas decrescendo sempre com o inverso do quadrado da distância.
 Para o obje�vo deste verbete, vamos nos deter um pouco sobre a
Segunda Lei de Newton (SLN). Esta lei e mais o PRG nos permitem afirmar que a
Mecânica é incapaz de determinar a velocidade de um referencial inercial.
Vejamos como. Seja o movimento re�líneo de um corpo (tomado na direção x,
sem perda de generalidades) sob a ação de uma força ( ) que, neste caso
especial, terá a componente Fx. Desse modo, usando a SLN (em sua notação
euleriana, conforme veremos mais adiante), ou seja: Fx = m ax = m d2x/dt2. Por
outro lado, considerando o PRG, visto acima, resultará que:
 
F´x´ = m´ d2x´/dt´2 = m d2 (x + V t)/dt2 = m d2 x /dt2 = Fx .
 
Esse resultado significa dizer a lei da força apresenta a mesma expressão em
qualquer RI, quer este esteja parado ou em movimento re�líneo uniforme. Este
resultado tem hoje o estatuto de um Teorema: - As leis da Mecânica são
invariantes por uma transformação de Galileu. 
 Apesar da sistema�zação das leis do movimento realizada por Newton,
havia uma grande dificuldade com as mesmas, já que elas só se aplicam a corpos
que pudessem se comportar como par�culas, isto é, pontos geométricos e
massivos. Em vista disso, no Século 18 foi desenvolvida a Mecânica dos Sólidos,
para a qual houve a contribuiçãode vários cien�stas (vide verbete nesta série).
No entanto, para o escopo deste verbete, vamos considerar as mais
fundamentais. As leis gerais da Mecânica dos Sólidos foram formuladas pelo
�sico e matemá�co suíço Leonhard Euler (1707-1783), em 1776, com os
seguintes enunciados (vide verbete nesta série):
 
1a. Lei – A força total ( ) atuando em um corpo é igual à taxa de variação do
momentum linear total ( ): = d /dt = m d /dt = m [equação de Newton-
Euler (EN-E)];
 
2a. Lei – O torque total ( = ) é igual à taxa de variação do momento do
momento (momento angular ): = d /dt.
 
 Uma outra contribuição importante para o desenvolvimento da
Mecânica dos Sólidos (Mecânica Geral) foi apresentada pelo matemá�co francês
Joseph Louis, Conde de Lagrange (1736-1813) em seu livro Mécanique
Analy�que (“Mecânica Analí�ca”), publicado em 1788. Nesse livro, há um
sumário de todo o trabalho no campo da Mecânica, desde Newton até o
instante em que escreveu esse livro. No entanto, nele, Lagrange não considerou
nem as construções geométricas u�lizadas por Newton em seu Principia e nem a
Mecânica de Euler, mas somente operações analí�cas e algébricas e dois outros
princípios: 1) o variacional da mínima ação; 2) o do trabalho virtual. Além disso,
em seu estudo da Mecânica Analí�ca, Lagrange considerou o tempo como uma
quarta dimensão (vide verbete nesta série) e não como um parâmetro, como
fizera Euler ao desenvolver a sua Mecânica. Note que essas duas descrições do
movimento são conhecidas, respec�vamente, como lagrangeana e euleriana
(vide verbete nesta série).
 Um novo aspecto conceitual da Mecânica foi considerado pelo
matemá�co e �sico francês Pierre Simon de Laplace (1749-1827) em sua
importante obra in�tulada Mécanique Celeste (“Mecânica Celeste”), composta
de cinco volumes, publicado entre 1799 e 1825. Nesse livro, Laplace aplica a
Mecânica Analí�ca ao movimento dos astros no Universo. Contudo, um dos
importantes resultados da Mecânica Celeste já havia sido demonstrado por
Laplace e Lagrange, em 1786, ao estudarem a excentricidade total das órbitas
dos planetas do sistema solar: a estabilidade. Para uma discussão sobre essa
estabilidade ou determinismo �sico, ver: David Miller (Organizador), Textos
Escolhidos de Popper (Contraponto, 2010).
 
 
http://www.searadaciencia.ufc.br/index.html
http://www.searadaciencia.ufc.br/folclore/folclore334.htm
http://www.searadaciencia.ufc.br/folclore/folclore336.htm