jsc-apostila-estados-limites-servico-alunos-2009

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FFIISSSSUURRAAÇÇÃÃOO -- DDEEFFOORRMMAAÇÇÃÃOO 
 
 
 
 
 
Prof. Jefferson Sidney Camacho 
 
 
 
 
 
Ilha Solteira-SP - 2009 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
"JÚLIO DE MESQUITA FILHO" 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA 
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ii-42
SUMÁRIO 
 
 
1. REQUISITOS DE QUALIDADE DA ESTRUTURA...........................................................4 
1.1 Vida útil ............................................................................................................................4 
1.2 Exigências de durabilidade...............................................................................................5 
1.3 Agressividade do Ambiente .............................................................................................5 
1.4 Envelhecimento e deterioração.........................................................................................6 
2. ESTADOS LIMITES .............................................................................................................8 
2.1 Estado Limite Último .......................................................................................................8 
2.2 Estado Limite de Serviço..................................................................................................8 
3. COEFICIENTES DE PODERAÇÃO ..................................................................................10 
3.1 Estados Limites Últimos.................................................................................................10 
3.2 Estados Limites de Serviço ............................................................................................10 
4. AÇÕES .................................................................................................................................12 
4.1 Classificação das Ações .................................................................................................12 
4.2 Valores Representativos das Ações................................................................................13 
4.3 Valores de Cálculo das Ações ........................................................................................15 
4.4 Carregamentos ................................................................................................................15 
5. COMBINAÇÕES DAS AÇÕES..........................................................................................17 
5.1 Combinações Últimas das Ações ...................................................................................17 
5.2 Combinações de Serviço das Ações ...............................................................................19 
6. ESTÁDIOS DE FLEXÃO....................................................................................................21 
6.1 Estádio I..........................................................................................................................21 
6.2 Estádio II ........................................................................................................................22 
6.3 Estádio III .......................................................................................................................23 
7. CÁLCULO EM SERVIÇO ..................................................................................................24 
7.1 Homogeneização da Seção Transversal .........................................................................24 
7.2 Considerações no Estádio I ............................................................................................25 
7.3 Considerações no Estádio II ...........................................................................................25 
8. FISSURAÇÃO .....................................................................................................................27 
8.1 Estados Limites de Fissuração........................................................................................28 
8.2 Momento de fissuração...................................................................................................29 
8.3 Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras ..................................29 
8.4 Valor característico de abertura de Fissuras ...................................................................30 
9. DEFORMAÇÕES ................................................................................................................34 
9.1 Tipos de Deformações ....................................................................................................36 
9.2 Avaliação de Flechas em Vigas......................................................................................36 
10. BIBLIOGRAFIA................................................................................................................40 
11. ANEXOS............................................................................................................................41 
11.1 Solicitações e flechas em vigas ....................................................................................41 
 
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LISTADE TABELAS 
 
 
Tabela 1 - Classes de agressividades e qualidade do concreto .......................................................5 
Tabela 2 - Classe de agressividade ambiental .................................................................................6 
Tabela 3– Valores do coeficiente γf2 .............................................................................................11 
Tabela 4 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração .................................................28 
Tabela 5 – Condições para dispensa da verificação de wk. ..........................................................29 
Tabela 6 – Coeficiente de conformação superficial (η1)das barras ..............................................32 
Tabela 7 – Limites para deslocamentos ........................................................................................35 
Tabela 8 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo. ...........................................................39 
Tabela 9 – Valores de cortante (V), momentos (M) e flechas (δ) para vigas. ..............................41 
 
 
 
 
 
 
LISTADE FIGURAS 
 
 
Figura 1– Viga de concreto armado sujeita a carregamentos crescentes. .....................................21 
Figura 2 – Configuração inicial do estádio I. ................................................................................21 
Figura 3 – Configuração final do estádio I....................................................................................22 
Figura 4 – Peça trabalhando no estádio II. ....................................................................................22 
Figura 5 – Peça trabalhando no estádio III....................................................................................23 
Figura 6 – Homogeneização da seção transversal.........................................................................24 
Figura 7 – Concreto de envolvimento (Acri) das armaduras. .......................................................31 
Figura 8 – Área máxima de envolvimento de uma barra (Acri)...................................................31 
Figura 9 – Função ξ representada graficamente............................................................................38 
 
 
 
 
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1. REQUISITOS DE QUALIDADE DA ESTRUTURA 
 
 
Segundo A NBR-6118 (cap. 5 e 6), as estruturas de concreto devem atender aos requisitos 
mínimos de qualidade dados abaixo, durante sua construção e serviço, e aos requisitos adicionais 
estabelecidos em conjunto entre o autor do projeto estrutural e o contratante. Esses requisitos de 
qualidade são classificados em três grupos, a saber: 
 
 Capacidade resistente: Consiste basicamente na segurança à ruptura; 
 
 Desempenho em serviço: Consiste na capacidade de a estrutura manter-se em condições 
plenas de utilização, não devendo apresentar danos que comprometam em parte ou 
totalmente o uso para o qual foi projetada; 
 
 Durabilidade: Consiste na capacidade de a estrutura resistir às influências ambientais 
previstas e definidas em conjunto pelo autor do projeto estrutural e o contratante, no início 
dos trabalhos de elaboração do projeto. 
 
De uma forma geral, o primeiro requisito é verificado considerando-se o Estado limite último 
que está relacionado mais diretamente com os processos de dimensionamento estrutural 
comumente empregados, e os dois outros são verificados considerando-se os o Estado limite de 
serviço da estrutura, quando são avaliados estados de fissuração, de deformações, rigidez 
estrutural e adotadas definições de projeto e ações de execução no sentido de proteger e garantir 
o desempenho estrutural e a vida útil desejados. 
 
Além de atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, relativos à 
capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade, a solução estrutural deve 
também considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas, estruturais, de 
integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar-condicionado e outros) explicitadas 
pelos responsáveis técnicos de cada especialidade, com anuência do contratante. 
 
1.1 Vida útil 
 
Por vida útil de projeto entende-se o período de tempo durante o qual se mantém as 
características das estruturas de concreto, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção 
prescritos pelo projetista e pelo construtor, bem como a execução de reparos necessários 
decorrentes de danos acidentais. 
 
O conceito de vida útil se aplica à estrutura como um todo ou às suas partes. Dessa forma, 
determinadas partes das estruturas podem merecer consideração especial com valor de vida útil 
diferente do todo. 
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1.2 Exigências de durabilidade 
 
As estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que sob as condições 
ambientais previstas na época do projeto, e quando utilizadas conforme preconizado em projeto 
conservem sua segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente à 
sua vida útil. 
 
A durabilidade das estruturas de concreto requer cooperação e esforços coordenados de todos os 
envolvidos nos processos de projeto, construção e utilização, devendo, como mínimo, ser 
seguido o que estabelece a NBR-12655. 
 
A NBR-6118 (item 25.4) também prescreve que dependendo do porte da construção e da 
agressividade o meio e de posse das informações dos projetos, dos materiais e produtos 
utilizados e da execução da obra, deve ser produzido por profissional habilitado, devidamente 
contratado, um manual de utilização, inspeção e manutenção. Esse manual deve especificar de 
forma clara e sucinta, os requisitos básicos para a utilização e a manutenção preventiva 
necessárias para garantir a vida útil prevista para a estrutura. 
 
Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de 
agressividade previsto no projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. 
Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento, 
a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos 
mínimos expressos na Tabela 1. 
 
Tabela 1 - Classes de agressividades e qualidade do concreto 
Casse de agressividade 
Concreto Tipo 
I II III IV 
CA ≤ 0,65 ≤0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Relação a/c em 
massa CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45 
CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 Classe de 
concreto CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40 
 CA: concreto armado; CP: concreto protendido. 
 
1.3 Agressividade do Ambiente 
 
A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre 
as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas e 
origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas o dimensionamento das estruturas de 
concreto 
 
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Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo 
com o apresentado na Tabela 2 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de 
exposição da estrutura ou de suas partes. 
 
Tabela 2 - Classe de agressividade ambiental 
CAA Agressividade Tipo de ambiente 
Deterioração 
estrutural 
Rural 
I Fraca 
Submersa 
Insignificante 
II Moderada Urbana1,2 Pequeno 
Marinha1 
III Forte 
Industrial1,2 
Grande 
Industrial1,3 
IV Muito forte 
Respingo de maré 
Elevado 
1 – Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes 
internos secos (salas, dormitórios, banheiros e áreas de serviço de apartamentos residenciais e 
conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura. 
2 – Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em 
regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura 
protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 
3- Ambiente quimicamente agressivos, tanque industriais, galvanoplastia, branqueamento em 
industriais de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, industriais químicas. 
 
 
1.4 Envelhecimento e deterioração 
 
Dentro desse enfoque devem ser considerados, ao menos, os mecanismos de envelhecimento e 
deterioração das estruturas de concreto como indicados a seguir: 
 
a) Mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto: 
 
 Lixiviação: por ação de águas puras, carbônicas agressivas ou ácidas que dissolvem e 
carreiam os compostos hidratados da pasta de cimento; 
 Expansão por ação de águas e solos que contenham ou estejam contaminados com sulfatos, 
dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado; 
 Expansão por ação das reações entre os álcalis do cimento e certo agregados reativos; 
 Reações deletérias superficiais de certos agregados decorrentes de transformações de 
produtos ferruginosos presentes na sua constituição mineralógica. 
 
 
 
 
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b) Mecanismos preponderantes de deterioração relativos à armadura: 
 
 Despassivação por carbonatação, ou seja, por ação de gás carbônico da atmosfera; 
 Despassivação por elevado teor de íon cloro (cloreto). 
 
 
c) Mecanismos de deterioração da estrutura propriamente dita: 
 
São todos aqueles relacionados às ações mecânicas, movimentações de origem térmica, 
impactos, ações cíclicas, retração, fluência e relaxação. 
 
 
 
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2. ESTADOS LIMITES 
 
 
São estados a partir dos quais a estrutura passa a ter desempenho inadequado às finalidades da 
construção ou apresenta riscos de ruína. 
 
Depreende-se naturalmente dos requisitos esperados para uma edificação, que a mesma deva 
reunir condições adequadas de segurança, funcionalidade e durabilidade, de modo a atender 
todas as necessidades para as quais foi projetada, ao longo de sua vida e que as esigencias 
relativas à capacidade resitente e ao desempsenho em serviço deixam de ser satisfeitas, quando 
sao ultrapassados os respectivos estados limites. 
 
Logo, quando uma estrutura deixa de atender a qualquer um desses três itens, diz-se que ela 
atingiu um Estado Limite. Dessa forma, uma estrutura pode atingir um estado limite de ordem 
estrutural ou de ordem funcional. Assim, se concebe dois tipos de estados limites, a saber: 
 
 Estados limites últimos (ELU); 
 
 Estados limites de serviço (ELS). 
 
2.1 Estado Limite Último 
 
Segundo a NBR-6118 (item 3.2), são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma 
de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. No projeto devem ser 
considerados os estados limites últimos caracterizados por: 
 
 Perda do equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido; 
 Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais; 
 Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático; 
 Instabilidade por deformação; 
 Instabilidade dinâmica; 
 Casos especiais. 
 
2.2 Estado Limite de Serviço 
 
São aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e a boa 
utilização funcional das mesmas, seja em relação aos usuários, seja às máquinas ou aos 
equipamentos utilizados. 
 
No período de vida da estrutura, usualmente são considerados estados limites de serviço 
caracterizados por: 
 
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 Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da construção ou a 
durabilidade da estrutura; 
 Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto 
estético; 
 Vibração excessiva ou desconfortável. 
 
Segundo a NBR-6118 os estados limites de serviço se subdividem em: 
 
a) Estado limite de formação de fissuras (ELS-F): Estado em que se inicia a formação de 
fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na 
seção transversal for igual a fct,f. 
 
b) Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras se apresentam 
com aberturas iguais aos máximos especificados na Tabela 4 ou no item 13.4.2 da NBR-6118. 
 
c) Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações 
atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da estrutura (ver item 13.3 da NBR-
6118). 
 
d) Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE): quando as vibrações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização da construção. 
 
d) Estado limite de compressão excessiva (ELS-CE): Estado em que as tensões de compressão 
atingem o limite convencional estabelecido (item 3.2.5 da NBR-6118). 
 
e) Estado limite de descompressão (ELS-D): Estado mais relacionado com o concreto 
protendido (item 3.2.5 da NBR-6118). 
 
f) Estado limite de descompressão parcial (ELS-DP): Estado mais relacionado com o concreto 
protendido (item 3.2.6 da NBR-6118). 
 
Para a NBR-6118 (11.8.3), na verificação do estado limite de deformações excessivas podem ser 
usadas as combinações quase permanentes de serviço. 
 
Nas verificações dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de 
vibrações excessivas podem ser usadas as combinações freqüente de serviço. Podem também ser 
consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de 
vento ou temperatura que podem comprometer as vedações. 
 
Na verificação do estado limite de formação de fissuras também pode ser necessário o uso das 
combinações raras de serviço. 
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3. COEFICIENTES DE PODERAÇÃO 
 
 
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente γf, cujos valores estão indicados nas tabelas 11.1 
e 11.2 da NBR-6118, válidas para o ELU e o ELS, transformando-as em ações de cálculo. 
 
γf = γf1.γf2.γf3 
 
O desdobramento do coeficiente de segurança γf em coeficientes parciais permite que os valores 
gerais especificados para γf possam ser discriminados em função de peculiaridades dos diferentes 
tipos de estruturas e de materiais de construção considerados. Os valores desse coeficiente são 
apresentados nas tabelas 11.1 e 11.2 da norma. 
 
3.1 Estados Limites Últimos 
 
Quando se consideram os estados limites últimos, os coeficientes γf de ponderação das ações 
podem ser considerado como o produto de dois outros, γf1 e γf3. O coeficiente de combinação ψ0 
faz o papel do terceiro coeficiente, que seria indicado por γf2: 
 
γf = γf1. γf3 
 
O coeficiente parcial γf1 leva em conta a variabilidade das ações e o coeficiente γf3 considera os 
possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas construtivos, seja por 
deficiência do método de cálculo empregado. 
 
3.2 Estados Limites de Serviço 
 
Para as verificações no estado limite de serviço (ELS), em geral o coeficiente de ponderação das 
ações é dado pela expressão γf = γf2, onde γf2 tem valor variável conforme a verificação que se 
deseja fazer. A Tabela 3 indica os valores de γf2 em função do tipo de ação considerada e da 
construção analisada: 
γf = γf2 
 
Onde: 
γf2 = 1,0 para combinações raras; 
γf2 = Ψ1 para combinações freqüentes; 
γf2 = Ψ2 para combinações quase permanentes. 
 
 
 
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Tabela 3– Valores do coeficiente γf2 
γf2 Ações 
Ψ0 Ψ1 Ψ2 
Locais em que não há predominância de pesos 
de equipamentos que permanecem fixos por 
longos períodos de tempo, nem de elevada 
concentrações de pessoas: (edifícios 
residenciais) 
0,5 0,4 0,3 
Locais em que há predominância de pesos de 
equipamentos que permanecem fixos por longos 
períodos de tempo, ou de elevada concentrações 
de pessoas: (edifícios comerciais, de escritórios, 
estações e edifícios públicos) 
0,7 0,6 0,4 
Cargas 
acidentais de 
edifícios 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Vento 
Pressãodinâmica do vento nas estruturas em 
geral. 0,6 0,3 0 
Temperatura 
Variações uniformes de temperatura em relação 
à média anual local. 0,6 0,5 0,3 
 
 
 
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4. AÇÕES 
 
 
A NBR-8681 (2003) fixa os requisitos exigíveis na verificação da segurança das estruturas 
usuais da construção civil e estabelece as definições e o s critérios de quantificação das ações e 
das resistências a serem consideradas no projeto das estruturas de edificações, quaisquer que 
sejam sua classe e destino, construídas com quaisquer dos materiais usualmente empregados na 
construção civil. 
 
Essa norma define ação como sendo toda causa que provoque esforços ou deformações nas 
estruturas. As deformações impostas são por vezes designadas por ações indiretas e as forças, 
por ações diretas. 
 
4.1 Classificação das Ações 
 
Segundo sua variabilidade no tempo, a NBR-8681 classifica as ações são classificadas em três 
categorias: 
 
i) Ações permanentes; 
ii) Ações variáveis; 
iii) Ações excepcionais. 
 
4.1.1 Ações Permanentes 
 
São aquelas que ocorrem com valores constantes ou de pequena variabilidade em torno de sua 
média, ao longo de praticamente toda a vida da construção. As ações permanentes são 
classificadas em: 
 
a) Ações permanentes diretas: são constituídas pelo peso próprio da estrutura, dos elementos 
construtivos fixos, das instalações e outras como equipamentos e empuxos. 
 
b) Ações permanentes indiretas: são constituídas por deformações impostas por retração do 
concreto, fluência, recalques de apoios, imperfeições geométricas e protensão. 
 
4.1.2 Ações Variáveis 
 
São aquelas que variam de intensidade de forma significativa em torno de sua média, ao longo da 
vida da construção. São classificadas em normais ou especiais: 
 
a) Ações normais: que tem probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que sejam 
obrigatoriamente consideradas no projeto das estruturas de um dado tipo de construção. 
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Exemplos: cargas acidentais previstas para o uso da construção, pela ação do vento e da chuva, 
impacto lateral, força longitudinal de frenação ou aceleração, força centrífuga, etc. Deve-se 
respeitar as prescrições feitas por normas específicas. 
 
b) Ações especiais: são ações ou cargas acidentais de natureza ou de intensidade especiais, tais 
como ação sísmica, variações da temperatura, podendo ser com variação uniforme e não 
uniforme de temperatura, etc. 
 
4.1.3 Ações Excepcionais 
 
São ações decorrentes de causas tais como explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes 
ou sismos excepcionais. Os incêndios podem se levados em conta por meio de uma redução da 
resistência dos materiais constitutivos da estrutura. 
 
4.1.4 Cargas Acidentais 
 
Para a NBR-8681, item 3.8, as cargas acidentais são as ações variáveis que atuam nas 
construções em função de seu uso (pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos, etc). 
 
4.2 Valores Representativos das Ações 
 
Ainda para a NBR-8681, as ações são quantificadas por seus valores representativos em: 
 
 Valores característicos; 
 Valores característicos nominais; 
 Valores reduzidos de combinação; 
 Valores convencionais excepcionais; 
 Valores reduzidos de serviço; 
 Valores raros de utilização. 
 
4.2.1 Valores representativos para estados limites últimos 
 
a) Valores Característicos 
 
Os valores característicos Fk das ações são definidos em função da variabilidade de suas 
intensidades. 
 
Os valores característicos das ações variáveis, estabelecidos por consenso e indicados em normas 
especificas, correspondem a valores que tem de 25% a 35% de probabilidade de serem 
ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. 
 
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As ações variáveis que produzem efeitos favoráveis não são consideradas como atuantes na 
estrutura. 
 
Para as ações permanentes, o valor característico é o valor médio, correspondente ao quantil de 
50%, seja quando os efeitos forem desfavoráveis, seja quando forem favoráveis. 
 
b) Valores Característicos Nominais 
 
Para as ações que não tenham sua variabilidade adequadamente expressa por distribuições de 
probabilidade, os valores característicos Fk são substituídos por valores nominais 
convenientemente escolhidos. 
 
Para ações que tenham baixa variabilidade, diferindo muito pouco entre si os valores 
característicos superior e inferior, adotam-se como característicos os valores médios das 
respectivas distribuições. 
 
c) Valores Reduzidos de Combinação 
 
Os valores reduzidos de combinação são determinados a partir dos valores característicos pela 
expressão ψ0.Fk e são empregados nas condições de segurança relativas a estados limites 
últimos, quando existem ações variáveis de diferentes naturezas. 
 
Os valores ψ0.Fk levam em conta que é muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos 
valores característicos de duas ou mais ações vaiáveis de naturezas diferentes. 
 
Ao invés de serem adotados diferentes valores de ψ0 em função das ações que vão atuar 
simultaneamente, por simplicidade, admite-se um único valor ψ0 para cada ação a ser 
considerada no projeto. 
 
Nos casos particulares em que sejam consideradas ações que atuem simultaneamente com ações 
de período de atuação extremamente curto, adotam-se para ψ0 os mesmos valores especificados 
para os coeficientes ψ2 definidos no item 4.2.2.2 da NBR-8681. 
 
d) Valores Convencionais Excepcionais 
 
São valores arbitrados para as ações excepcionais. Devem ser estabelecidos por consenso entre o 
proprietário da construção e as autoridades governamentais que nela tenham interesse. 
 
 
4.2.2 Valores representativos para os estados limites de serviço 
 
 
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15-42
a) Valores Reduzidos de Serviço 
 
Os valores reduzidos de serviço são determinados a partir dos valores característicos pelas 
expressões ψ1.Fk e ψ2.Fk, e são empregados na verificação da segurança em relação a estados 
limites de serviço, decorrentes de ações que se repetem muitas vezes e ações de longa duração, 
respectivamente. 
 
Os valores reduzidos ψ1.Fk são designados por valores freqüentes e os valores reduzidos ψ2.Fk 
por valores quase permanentes das ações variáveis. 
 
b) Valores raros de serviço 
 
Os valores raros de serviço quantificam as ações que podem acarretar estados limites de serviço, 
mesmo que atuem com duração muito curta sobre a estrutura. 
 
4.3 Valores de Cálculo das Ações 
 
São obtidos a partir dos valores representativos, multiplicado-os pelos respectivos coeficientes 
de ponderação γf. quando se consideram estados limites de serviço, os coeficientes de 
ponderação das ações são tomados com valor γf =1,0, salvo exigência em contrário, expressa em 
norma específica. 
 
4.4 Carregamentos 
 
Um tipo de carregamento é especificado pelo conjunto das ações que têm probabilidadenão 
desprezível de atuarem simultaneamente sobre uma estrutura, durante um período de tempo 
preestabelecido. 
 
Em cada tipo de carregamento as ações devem ser combinadas de diferentes maneiras, a fim de 
que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para que a segurança seja verificada 
em relação a todos os possíveis estados limites da estrutura. 
 
A verificação da segurança em relação aos estados limites últimos é feita em função das 
combinações últimas de ações. A verificação da segurança em relação aos estados limites de 
serviço é feita em função das combinações de serviço. 
 
4.4.1 Tipos de carregamentos 
 
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16-42
Segundo a NBR-8681, durante o período de vida da construção, podem ocorrer os seguintes 
tipos de carregamentos, que podem ser de longa duração ou transitórios, conforme seu tempo de 
duração: 
 
i) Carregamento normal; 
ii) Carregamento especial; 
iii) Carregamento excepcional. 
 
Além destes, em casos particulares, também pode ser necessária a consideração do carregamento 
de construção. 
 
i) Carregamento normal 
 
Decorre do uso previsto para a construção e admite-se que possa ter duração igual ao período de 
referência da estrutura, e sempre deve ser considerado na verificação da segurança, tanto em 
relação a estados limites ultimo quanto de serviço. 
 
ii) Carregamento especial 
 
Decorre da atuação de ações variáveis de natureza ou intensidades especiais, cujo efeitos 
superam em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas no carregamento normal. 
São transitórios, com duração muito pequena e são em geral considerados apenas na verificação 
de a segurança em relação aos estados limites últimos, não se observando as exigências 
referentes aos estados limites de serviço. A cada carregamento especial corresponde uma única 
combinação ultima especial de ações. 
 
iii) Carregamento excepcional 
 
Decorre da atuação de ações excepcionais que podem provocar efeitos catastróficos. Somente 
devem ser considerados no projeto de estrutura de determinados tipos de construção, para os 
quais a ocorrência de ações excepcionais não possa ser desprezada e que não possam ser tomadas 
medidas que anulem ou atenuem a gravidade das conseqüências dos efeitos dessas ações. São 
carregamentos transitórios, com duração extremamente curta e considera-se apenas a verificação 
da segurança em elação a estados limites últimos, através de uma única combinação ultima 
excepcional de ações. 
 
iv) Carregamento de construção 
 
Deve ser considerado apenas nas estruturas em que haja risco de ocorrência de estados limites já 
na fase de construção. É transitório e sua duração deve ser definida em cada caso particular. 
Devem ser consideradas todas as combinações de ações necessárias para verificação das 
condições de segurança em relação a todos os estados limites que são passiveis de ocorrerem 
durante a fase de construção. 
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17-42
5. COMBINAÇÕES DAS AÇÕES 
 
5.1 Combinações Últimas das Ações 
 
A NBR-8681 prescreve que nas combinações últimas (ELU), as ações permanentes devem 
figurar em todas as combinações de ações. Elas são classificadas em: 
 
 Combinações últimas normais; 
 Combinações últimas especiais ou de construção; 
 Combinações últimas excepcionais. 
 
5.1.1 Combinações últimas normais 
 
Nessa combinação, uma das ações variáveis é considerada como a principal, admitindo-se que 
ela atue com seu valor característico Fk; as demais ações variáveis são consideradas como 
secundarias, admitindo-se que elas atuem com seus valores reduzidos de cominação ψ0 Fk. A 
NBR-8681, em seu item 5.1.3.1, apresenta a Equação 1 que representa as combinações últimas 
normais: 
 
gi Gi,k Q1,k 0j Qj,k)
m n
d q 
i=1 j=2
F = . F + γ . F + ( . Fγ ψ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ ∑
 
Equação 1
Onde: 
FGk,i – valor característico das ações permanentes. 
FQ1,k – valor característico da ação variável considerada como principal para a combinação. 
Ψ0j.FQj,k – valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis. 
 
A NBR-6118 define em sua tabela 11.3 a Equação 2 para as combinações últimas normais, 
relacionada com o esgotamento da capacidade resistentes para elementos estruturais de concreto 
armado: 
 
d g gk εg εgk q q1k 0j qjk εq 0ε εqkF = .F + .F + . (F + .F ) + . .Fγ γ γ ψ γ ψ∑ Equação 2
Onde: 
Fd – valor de cálculo para combinações últimas; 
Fgk – representa as ações permanentes diretas; 
Fεk – representa as ações indiretas permanentes como a retração e variáveis de temperatura; 
Fqk – representas as ações variáveis diretas das quais Fqk1 é escolhida principal; 
γg, γεg , γεq – coeficientes γf, conforme tabela 11.1 da NBR-6118; 
Ψoj, Ψoε - valores do coeficiente γf2, conforme tabela 11.2 da NBR-6118. 
Observação: Para a perda do equilíbrio como corpo rígido ver tabela 11.3 da NBR-6118. 
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18-42
5.1.2 Combinações últimas especiais ou de construção 
 
 
A NBR-8681 (item 5.1.3.2) define essas combinações através da Equação 3, como segue: 
 
gi Gi,k Q1,k 0j,ef Qj,k)
m n
d q 
i=1 j=2
F = . F + γ . F + ( . Fγ ψ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ ∑
 
Equação 3
 
Onde: 
FGi,k – valor característico das ações permanentes. 
FQ1,k – valor característico da ação variável admitida como principal para a situação transitória 
considerada. 
Ψ0f,ef – fator de combinação efetivo de cada uma das demais variáveis que podem agir 
concomitantemente com a ação principal FQ1, durante a situação transitória. 
 
 
O fator Ψ0f,ef é igual ao fator Ψ0j adotado nas combinações normais, salvo quando a ação 
principal FQ1 tiver um tempo de atuação muito pequeno, caso em que pode ser tomado co o 
correspondente. 
 
A NBR-6118 define em sua tabela 11.3 a mesma Equação 1 para as combinações últimas 
especiais ou de construção. 
 
 
5.1.3 Combinações últimas excepcionais 
 
Para a NBR-8681 as combinações últimas excepcionais são definidas pela Equação 4, como 
segue: 
gi Gi,k Q,exc 0j,ef Qj,k
m n
d q 
i=1 j=1
F = . F + F + γ . . Fγ ψ∑ ∑
 
Equação 4
Onde: 
FQ,exc – valor da ação transitória excepcional. 
 
 
A NBR-6118 define em sua tabela 11.3 a Equação 5 para as combinações últimas excepcionais: 
 
 
d g gk εg εgk q1exc q 0j qjk εq 0ε εqkF = .F + .F + F + . .F + . .Fγ γ γ ψ γ ψ∑ Equação 5
 
 
 
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19-42
5.2 Combinações de Serviço das Ações 
 
Nas combinações de serviço (ELS) são consideradas todas as ações permanentes, inclusive as 
deformações impostas permanentes e as ações variáveis correspondentes a cada um dos tipos de 
combinações. 
 
Segundo a NBR-8681 (item 11.8.3) elas são classificadas de acordo com sua permanência na 
estrutura, como segue: 
 
 Combinações quase permanentes de serviço; 
 Combinações freqüentes de serviço; 
 Combinações raras de serviço. 
 
 
5.2.1 Combinações quase permanentes de serviço 
 
Podematuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser 
necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. 
 
Todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes Ψ2.FQk. A 
Equação 6 indica como se processa o cálculo das solicitações nessa combinação: 
 
Gi,k 2j Qj,k
m n
d,ser 
i=1 j=1
F = F + . Fψ∑ ∑
 
Equação 6
Onde: 
Fd,ser – valor de cálculo das ações para combinações de serviço; 
Ψ2j – fator de redução de combinação quase permanente para ELS. 
 
 
5.2.2. Combinações freqüentes de serviço 
 
São combinações que se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, 
estados limites de abertura de fissuras e estados limites de vibrações excessivas. Podem também 
se consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de 
vento ou temperatura que podem comprometer as vedações. 
 
A ação variável principal FQk é tomada com seu valor freqüente Ψ1.FQ1,k e todas as demais ações 
variáveis são tomadas com seus valores quase-permanentes Ψ2.FQk. A Equação 7 indica como 
se processa o cálculo das solicitações nessa combinação: 
 
 
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20-42
Gi,k 1j Q1,k 2j Qj,k
m n
d,ser 
i=1 j=2
F = F + . F + . Fψ ψ∑ ∑
 
Equação 7
 
Onde: 
Ψ1 – fator de redução de combinação frequente para ELS. 
 
 
5.2.3 Combinações raras de serviço 
 
Ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser 
necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. 
 
A ação variável principal FQ1 é tomada com seu valor característico FQ1,k e todas as demais ações 
variáveis são tomadas com seus valores freqüentes Ψ1.FQk. A Equação 8 indica como se processa 
o cálculo das solicitações nessa combinação: 
 
 
Gi,k Q1,k 1j Qj,k
m n
d,ser 
i=1 j=2
F = F + F + . Fψ∑ ∑
 
Equação 8
 
 
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6. ESTÁDIOS DE FLEXÃO 
 
 
Os estádios de flexão representam as diferentes fases de comportamento apresentadas por uma 
peça de concreto armado quando submetida à flexão simples, como mostra a figura abaixo, 
desde o início do carregamento até o momento em que ela atinge um estado limite último. 
Quando o carregamento vai aumentando de intensidade, a profundidade da linha neutra vai 
aumentando e os níveis de tensões na seção de referência também aumentam gradativamente. Na 
medida em que ocorrem eventos importantes em termos de tensões, escoamentos e rupturas 
internas, vão sendo definidos os estádios de flexão, que são: estádio I, estádio II e estádio III. 
 
 
Figura 1– Viga de concreto armado sujeita a carregamentos crescentes. 
 
 
6.1 Estádio I 
 
O estádio I ocorre quando o carregamento é de pequena intensidade. A peça se deforma pouco e 
as tensões normais que surgem nas seções transversais mais solicitadas são pequenas. Nessas 
condições fica garantida a integridade da peça, ou seja, não existe a presença de fissuras. Nas 
fases iniciais do estádio I pode ser aplicada a proporcionalidade entre tensão e deformação para 
qualquer fibra da seção transversal. 
 
Figura 2 – Configuração inicial do estádio I. 
 
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22-42
Aumentando-se o carregamento as deformações aumentam ao longo da altura da seção, 
ocasionando a plastificação da seção na zona tracionada, fazendo com que o diagrama de tensões 
de tração deixe de ser linear. No instante em que a tensão na fibra de concreto mais tracionada 
atinge sua resistência à tração (fct) a peça está na iminência da ruptura. Aumentando-se 
lentamente o carregamento no concreto a tensão de tração atinge um conjunto de fibras (e não 
apenas uma fibra) e a peça fissura, caracterizando-se a perda de integridade e o final do estádio I. 
 
Figura 3 – Configuração final do estádio I. 
 
 
6.2 Estádio II 
 
Define-se estádio II como sendo aquele em que o concreto não mais resiste à tração e surgem as 
primeiras fissuras na peça. Apesar de existir um trecho próximo da linha neutra ainda resistindo 
à tração, sua contribuição será desprezada e admitir-se-á que toda região abaixo da linha neutra 
de tensões está fissurada. Portanto, para o cálculo no estádio II, todo esforço de tração deve ser 
resistido agora pela armadura. No estádio II o diagrama de tensões de compressão ainda varia 
linearmente, crescendo do valor zero, na linha neutra, para um valor máximo na borda 
comprimida. 
 
Figura 4 – Peça trabalhando no estádio II. 
 
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23-42
Aumentando progressivamente o carregamento, as fissuras irão aumentando em quantidade e 
abertura, caminhando em direção à linha neutra da peça e as tensões de compressão no concreto 
deixarão de apresentar uma distribuição linear em função da plastificação que se verifica nas 
fibras mais comprimidas. 
 
A fissuração afeta significativamente a rigidez do elemento (diminuição da rigidez), sendo de 
difícil análise, pois a rigidez depende do grau de fissuração, que é um fenômeno progressivo e 
dependente dos momentos fletores, que também sofrem uma redistribuição na medida em que as 
fissuras se desenvolvem. 
 
Quando a estruturas de concreto armado estão sujeitas às ações de serviço normalmente elas 
trabalham dentro do estádio II. Nesse estádio também pode ser calculado o momento de 
fissuração (Mr) da peça, que equivale ao momento fletor que causa o aparecimento da primeira 
fissura no elemento. 
 
 
6.3 Estádio III 
 
O estádio III é definido como sendo a fase em que o concreto comprimido está na ruptura, ou 
seja, estado limite último de ruptura do concreto por compressão. Admite-se que as tensões de 
compressão na seção transversal das peças tenham uma distribuição de acordo com o diagrama 
parábola-retângulo ou com o diagrama retangular de tensões. 
 
Com o aumento progressivo do carregamento, o estado de fissuração vai se intensificando na 
viga. Na região comprimida o concreto começa a plastificar e as tensões deixam de apresentar 
um comportamento linear, surgindo a não-linearidade física do material comprimido. Essa fase 
caracteriza o estádio III. 
 
 
Figura 5 – Peça trabalhando no estádio III. 
 
Nas verificações dos Estados Limites Últimos, admite-se a peça de concreto armado trabalhando 
nesse estádio, com a distribuição de tensões de compressão representadas pelo diagrama 
retangular ou parábola-retângulo de tensões. 
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24-42
7. CÁLCULO EM SERVIÇO 
 
 
O cálculo em serviço é feito pelo métodoclássico, que decorre da adaptação das hipóteses que 
regem a teoria clássica da Resistência dos Materiais às peças de concreto. As equações que 
regem o cálculo em serviço de flexão consideram, em geral, equilíbrio, compatibilidade de 
deformações e as leis constitutivas dos materiais. Para que se apliquem ao concreto essas 
hipóteses é necessário transformar a seção heterogênea, composta de concreto e de aço, em uma 
seção homogênea, através dos processos de homogeneização indicados a seguir. 
 
 
7.1 Homogeneização da Seção Transversal 
 
Para a aplicação do método clássico de cálculo, a presença de dois materiais distintos na mesma 
seção transversal é considerada através da homogeneização da seção transversal, tomando-se 
como referência o material concreto. A homogeneização da seção consiste em considerar no 
lugar da área de aço existente (As), uma área de concreto equivalente (Aceq), ou seja, uma área 
fictícia de concreto que forneça a mesma resultante (Rs) que atue na posição da área de aço (As). 
Esse procedimento é desenvolvido considerando as hipóteses de linearidade física para os dois 
materiais (Lei de Hooke) e uma perfeita aderência entre ambos. A área fictícia de concreto (Aceq) 
pode ser obtida a partir da manutenção da condição de equilíbrio do sistema: 
 
 
Figura 6 – Homogeneização da seção transversal. 
 
s
s s s s ceq c c ceq s e s
c
ER = A . .E = A . .E A = .A = α .A
E
ε ε → Equação 9
Desse modo as tensões na seção transversal podem ser obtidas através da equação clássica da 
Resistência dos Materiais: 
 
.y
I
M
1
=cσ 
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25-42
7.2 Considerações no Estádio I 
 
 
A profundidade da linha neutra (X1) no estádio I pode ser obtida fazendo o momento estático da 
seção homogeneizada em relação à linha neutra igual à zero: 
 
21 1
1 e 1) s 1s,LN
(h X ) XM b.(h X ). b. +(α .A .(d X ) 0
2 2
−
= − − − − = 
 
Que resulta na profundidade da linha neutra (X1) no estádio I: 
 
2
e 1
1
e 1
b.h +(α ).As.d
2X =
b.h+(α ).As
−
−
 Equação 10
Onde: 
X1 – profundidade da linha neutra no estádio I. 
b – largura da seção; 
h – altura total da seção; 
d – altura útil da seção; 
As – área de aço da seção; 
αe = Es/Ec. 
 
 
Pode-se então calcular a rigidez do elemento nesse estádio considerando a seção homogeneizada 
e a contribuição do concreto na resistência à tração. Assim, o momento de inércia (I1) da seção 
no estádio I fica: 
 
23
21 1 e 1) s 1
b.h hI = +b.h. X + (α .A .(d X )
12 2
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 Equação 11
 
Onde: 
I1 – momento de inércia da seção homogeneizada no estádio I; 
X1 – profundidade da linha neutra no estádio I. 
 
 
7.3 Considerações no Estádio II 
 
Quando se adota a suposição que todo o concreto da região tracionada está sendo desprezado e o 
esforço de tração é resistido somente pelas armaduras, tem-se a fase que é nomeada de estádio II 
puro. Para o cálculo da posição (x) da linha neutra no estádio II puro, impõe-se o momento 
estático da seção homogeneizada, em relação à linha neutra, igual a zero. O cálculo da 
profundidade da linha neutra pode ser encontrado em Ghali & Favre (1986), para vigas de seção 
retangular, como segue: 
 
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26-42
2
2 e 1) s 2s,LN
XM b.X . (α .A .(d X ) 0
2
= − − − = 
 
Que resulta na profundidade da linha neutra (X2) no estádio II: 
 
22 e s 2 e s
b .X +(α 1).A .X (α 1).A .d = 0
2
− − − Equação 12
 
O momento de inércia (I2) da seção homogeneizada no estádio II fica: 
 
( )
32 2
2 e 1) s 2
b.XI = +(α .A . d X
3
− − Equação 13
Onde: 
- I2 → Momento de inércia da seção homogeneizada no estádio II; 
- X2 → Posição da LN no estádio II. 
 
 
Nas seções mais solicitadas, onde há fissuração, a peça apresenta um comportamento de estádio 
II. Porém, à medida que se afastam dessas regiões, as seções não-fissuradas se encontram no 
estádio I. Assim, um procedimento mais coerente consiste em considerar um grau de fissuração 
intermediário entre o de peça não-fissurada e o de peça completamente fissurada. Deve-se 
utilizar uma rigidez equivalente, situada entre a do estádio I e a do estádio II, pois a peça 
apresenta regiões fissuradas e regiões entre fissuras, configurando uma situação intermediaria 
entres os dois estádios. Para essa situação, podem ser empregadas as expressões de Branson: 
 
 
12
5,2
,
1
5,2
,
.1. XX
M
MrX
M
MXe
raradrarad
r
≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
12
3
,
1
3
,
.1. II
M
MrI
M
MIe
raradrarad
r
≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
 
Onde: 
Xe,Ie – posição efetiva da linha neutra e momento de inércia efetivo. 
X1,I1 – posição da linha neutra e momento de inércia no estádio I. 
X2,I2 – posição da linha neutra e momento de inércia no estádio II. 
Mr – momento de fissuração. 
Md,rara – momento calculado para combinação rara das ações. 
 
 
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8. FISSURAÇÃO 
 
 
Segundo a NBR-6118 (item 13.4), a fissuração em elementos estruturais de concreto armado é 
inevitável, devido à grande variabilidade e baixa resistência do concreto à tração, somado ao fato 
de que mesmo sob as ações de serviço valores críticos de tensões de tração são atingidos. 
 
A fissuração excessiva de uma peça de concreto armado pode comprometer significativamente 
sua durabilidade. Dessa forma, no controle das fissuras, que se trata de uma verificação de 
estado limite de serviço, interessa saber a fissuração que ocorrerá na peça quando esta estiver em 
utilização normal e não próxima de atingir o colapso. 
 
Diversas são as circunstâncias que podem acarretar a formação de fissuras, que de um modo 
geral podem ser divididas em dois grandes grupos: 
 
 Fissuras produzidas por solicitações devidas ao carregamento: são causadas por ações 
diretas de tração, flexão ou cisalhamento; 
 
 Fissuras não produzidas por carregamento: são causadas por deformações impostas (ações 
indiretas), tais como retração, variação de temperatura e recalques diferenciais. 
 
As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica ou devido a 
reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo ser evitadas ou limitadas 
por cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço e na cura do concreto. 
 
Ainda como causas de fissuras relacionadas ao projeto podem ser destacadas: 
 
• Deficiências dos cimbramentos; 
• Giros e deformações de elementos estruturais; 
• Deficiência na definição das juntas de controle. 
 
Deve-se observar que o risco e a evolução da corrosão do aço na região das fissuras de flexão 
transversais à armadura principal dependem essencialmente da qualidade e da espessura do 
concreto de cobrimento da armadura (item 7.6 da norma). 
 
O processo de oxidação das armaduras é lento em meio básico e rápido em meio agressivo 
(ácido). Um dos efeitos do ar ao penetrar pelas fissuras é diminuir a basicidade do concreto ao 
provocar a carbonatação da cal. Com a queda do PH de 12-13 para 9-8, ocorre o favorecimento 
da oxidação. 
 
 
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28-42
Segundo CÂNOVAS, a oxidação do aço pode causar um aumento significativo de seu volume 
inicial, produzindo tensões internas no concreto que podem ultrapassar sua resistência à tração e, 
consequentemente, um agravamento do estado de fissuração com o descobrimento total da 
armadura. 
 
Visando obter bom desempenho relacionado à proteção das armaduras quanto à corrosão e à 
aceitabilidade sensorial dos usuários, busca-se controlar as aberturas dessas fissuras. A abertura 
máxima característica Wk das fissuras, desde que não exceda valores da ordem de 0,2mm a 
0,4mm, não tem importância significativa na corrosão das armaduras passivas, conforme item 
13.4.2 da norma e indicados na Tabela 4. 
 
 
8.1 Estados Limites de Fissuração 
 
 
8.1.1 Estado limite de formação de fissuras 
 
O estado limite de formação de fissuras (ELS-F) corresponde ao início da formação de fissuras e 
admite-se que é atingido quando a tensão máxima de tração na seção transversal alcança o valor 
de fct,f. Ele deve ser verificado com as combinações freqüentes de serviço. 
 
 
8.1.2 Estado limite de abertura de fissuras 
 
O estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) corresponde ao instante em que as fissuras se 
apresentam com abertura máxima característica (wk). 
 
A NBR-6118 (13.4.2) considera que se a abertura máxima característica (wk) das fissuras não 
exceder valores da ordem de 0,2mm a 0,4mm, sob ação das combinações freqüentes de serviço, 
não têm importância significativa na corrosão das armaduras passivas, observando as classes de 
agressividade ambiental (CAA) definidas item 6.4.2 da NBR-6118 e resumidamente indicadas na 
Tabela 4. 
 
Tabela 4 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração 
CAA wk Combinação de ações 
I ≤ 0,4mm Frequente de serviço 
II e III ≤ 0,3mm Frequente de serviço 
IV ≤ 0,2mm Frequente de serviço 
 
 
 
 
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29-42
8.2 Momento de fissuração 
 
Define-se como momento de fissuração (Mr), o momento fletor capaz de provocar o surgimento 
da primeira fissura na peça de concreto fazendo com que o elemento de concreto trabalhe 
parcialmente do estádio I e parcialmente no estádio II. Esse momento, que representa o nível de 
solicitação que corresponde à passagem do estádio I para o estádio II, pode ser obtido pela 
Equação 14 segundo o item 17.3.1 da NBR-6118. 
 
t
cct
r y
If
M
⋅⋅α
= Equação 14
Onde: 
- Ic → momento de inércia da seção bruta de concreto; 
- yt → distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; 
- fct → Resistência à tração direto do concreto (item 8.2.5). 
 
1,2 para seções T ou duplo T
- α = 
1,5 para seções retangulares
⎧
⎨
⎩
 
2 / 3
2 / 3
f = 0,3.f estado limite de deformação excessivact,m ck
- f = ct
f = 0,21.f estado limite de formação de fissuractk,inf ck
⎧
→⎪
⎨
⎪ →⎩
 ; Com fck em MPa 
 
 
8.3 Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras 
 
A NB1-6118 (item 17.3.3.3) considera que para se dispensar a avaliação da grandeza da abertura 
de fissuras (wk) e atender ao estado limite de fissuração (0,3mm para o concreto armado), um 
elemento estrutural deve ser dimensionado respeitando as restrições da Tabela 5 quanto ao 
diâmetro máximo (φmax) e ao espaçamento máximo das armaduras (Smax), bem como as 
exigências de cobrimento e armadura mínima da norma. A tensão na barra (σs) deve ser 
determinada no estádio II. 
 
Tabela 5 – Condições para dispensa da verificação de wk. 
Valores máximos Tensão na barra* 
(σsi →MPa) φmax (mm) Smax (cm) 
160 25 20 
200 16 15 
240 12,5 10 
280 8 5 
320 6 - 
 * A tensão σs deve ser calculada no estádio II. 
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O cálculo da tensão de tração (σsi) que ocorre em cada barra de aço nos elementos sujeitos à 
flexão (vigas e lajes) deve ser feito no estádio II, como segue: 
 
,
2
2
 ( )d freqsi cs sis cs cs
s c e
M
d X
E E I
σ σ σε ε σ
α
→ →= = = = ⋅ −
 
 
 
, 2
2
( )
 e d freqsi
M d X
I
α
σ
⋅ ⋅ −
⇒ = Equação 15
Onde: 
- εcs → deformação no concreto na seção homogeneizada, na fibra correspondente à armadura tracionada 
(As); 
- σsi → tensão no aço tracionado; 
- σcs→ tensão no concreto na seção homogeneizada, na fibra correspondente à armadura tracionada (As); 
- Md,freq → momento fletor calculado para combinação freqüente das ações; 
- αe → relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto; 
- X2 → Posição da LN no estádio II; 
- I2 → Momento de inércia da seção no estádio II. 
 
 
Um cálculo simplificado em que se considere o braço de alavanca do binário interno resistente 
das resultantes de tensão no aço e no concreto z = 0,8.d, resulta em: 
 
 
,
0,80
d freq
si
s
M
d A
σ =
⋅ ⋅
 Equação 16 
 
 
8.4 Valor característico de abertura de Fissuras 
 
A NBR-6118 (item 17.3.3.2) indica que o valor da abertura das fissuras pode sofrer a influência 
de restrições às variações volumétricas da estrutura, difíceis de serem consideradas, além de 
sofrer também a influência das condições de execução da estrutura. 
 
 Por essas razões, os critérios apresentados a seguir devem ser encarados como avaliações 
aceitáveis do comportamento geral do elemento, mas não garantem avaliação precisa da abertura 
de um fissura específica. 
 
Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras que controlam a fissuração do 
elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída 
por um retângulo cujos lados não distam mais de 7,5Φ do eixo da barra da armadura, conforme 
Figura 7: 
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Figura 7 – Concreto de envolvimento (Acri) das armaduras. 
 
O valor característico da abertura de fissuras (wk) determinado para cada parte da região de 
envolvimento é o menor entre os obtidos através da Equação 17 dada pela NBR-6118 (17.3.3.2): 
 
 
1
1
 4. . 45 (a)
12,5.
3. . . (b)
12,5.
si
si ri
si si
si ctm
i
E
wk
i
E f
σφ
η ρ
σ σφ
η
⎧ ⎛ ⎞
+⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪
⎪≤ ⎨
⎪
⎪
⎪⎩
 Equação 17
 
Com: 
ri
Asi
Acri
ρ = 
Onde: 
Φi, σsi, Esi, ρsi – definidos para cada área de envolvimento em exame; 
Φi – diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
σsi – tensão de tração no CG da armadura considerada, calculada no estádio II, com αe=15; 
Esi – módulo de elasticidade do aço da barra iφ considerada (210.000 MPa); 
ρsi – taxa de armadura aderente em relação à área da região de envolvimento (Acri) (figura 8); 
fctm – resistência média do concreto à tração: 2/30,3. ( );ctm ckf f MPa= 
η1 – coeficiente de conformação superficial da armadura considerada (ver Tabela 6); 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Área máxima de envolvimento de uma barra (Acri). 
 φj 
X (LN)
≤7φi 
Compressão 
Tração 
≤7φi 
Linha Neutra 
Região de 
envolvimento de 
φi com área Acri 
Armadura de Pele 
tracionada da viga 
φi (Asi) 
Acri 
≤ 7,5φi
≤7,5φi 
φi 
≤7,5φi 
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Tabela 6 – Coeficiente de conformação superficial (η1)das barras 
Tipo de barra ηb η1 
Lisa (CA-25) 1,0 1,0 
Entalhada (CA-60) 1,2 1,4 
Alta aderência (CA-)60 ≥ 1,5 2,25 
 
A Equação 17 (a) baseia-se na aplicação na teoria dos tirantes fictícios, ou seja, parte de um 
estudo de abertura de fissuras em uma viga submetida a um esforço de tração centrada em um 
tirante e, através de aproximações, estende-se os resultados obtidos para vigas submetidas a 
esforços de flexão. Essa teoria é valida para peças com taxas de armadura iguais ou maiores do 
que a relação entre a resistência do concreto à tração e a tensão atuante em serviço (ρ ≥ fctk/σs), 
ou seja, para peças com alta taxa de armadura, ou com armadura pelo menos igual à armadura 
mínima. 
 
A Equação 17 (b) baseia-se na Teoria da Dupla Ancoragem, que corresponde à formação 
assistemática de fissuras. Essa teoria é valida para pequenas taxas de armadura (ρ < fctk/σs). 
Para efeito de raciocínio, pode-se admitir que tudo se passa como se a barra que atravessa a 
primeira fissura estivesse duplamente ancorada no concreto adjacente. Sendo pequena a taxa de 
armadura, a tensão de tração na seção fissurada é totalmente transferida para o concreto através 
de aderência, impedindo a formação da segunda fissura. 
 
Segundo a NBR-7197/89, as Equação 17 foram deduzidas a partir de considerações e ensaios em 
tirantes (tração). No sentido de adaptar essas formulações para vigas e lajes (flexão), deve-se 
considerar apenas a área de concreto que realmente influencia a fissuração, ou seja, a área de 
concreto que envolve mais de perto as armaduras tracionadas, chamada de área do tirante 
equivalente. Essa área é formada por um retângulo cujos lados não distam mais de 7,5φ do eixo 
da barra. 
 
Nas vigas usuais, com altura menor que 1,20m, pode-se considerar atendida a condição de 
abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de fissuras calculada na região das 
barras mais tracionadas for verificada e se existir uma armadura lateral (armadura de pele) que 
atenda ao item 17.3.5.2.3 da norma, como segue: 
 
 A armadura mínima lateral (de pele) dever ser de 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga 
e composta por barras de alta aderência (η1≥2,25) com espaçamento não maior que 20cm nem 
que 15φi. 
 
 Em vigas com altura igual ou inferior a 60cm, pode ser dispensada a utilização da armadura 
de pele. 
 
 
 
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33-42
Dentre as providências que podem ser tomadas nos casos em que as aberturas nominais das 
fissuras ultrapassam os respectivos valores limites, destacam-se: 
 
- Adotar barras com diâmetros menores; 
- Aumentar a área total da armadura (diminuindo σsi); 
- Aumentar a seção transversal do elemento estrutural. 
 
 
 
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9. DEFORMAÇÕES 
 
 
O estado limite de deformação excessiva corresponde ao momento em que as deformações 
atingem deslocamentos limites como valores práticos para a verificação desse estado limite. A 
NBR-6118 (item 13.3) define quatro grupos básicos que devem atender aos deslocamentos 
limites indicados em sua tabela 13.2: 
 
• Aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual 
desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de 
utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23 da referida norma; 
 
• Efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção; 
 
• Efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau 
funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, estão a ela 
ligados; 
 
• Efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do 
elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se 
os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões 
ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo 
estrutural adotado. 
 
O estado de deformações excessivas pode causar problemas com a aparência da estrutura, 
prejudicar o uso funcional ou a drenagem de um edifício, causar danos a elementos não 
estruturais e aos seus elementos de ligação. 
 
Os valores dos deslocamentos limites estabelecidos na Tabela 7 para a deformação da estrutura, 
mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos estruturas lineares, analisados 
isoladamente, deve ser realizada através de modelos que considerem rigidez efetiva das seções 
do elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da armadura, a existência de 
fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. 
 
Para a verificação do estado limite de deformação excessiva usualmente se emprega a 
combinação quase permanente de serviço. Nos casos decorrentes da ação de vento ou 
temperatura que possam comprometer as vedações, deve-se empregar as combinações raras de 
serviço. 
 
 
 
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Tabela 7 – Limites para deslocamentos 
Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo 
Deslocamento 
a considerar 
Deslocamento 
limite 
Visual 
Deslocamentos 
visíveis em elementos 
estruturais 
Total L/250 Aceitabilidade 
sensorial 
Outro Vibrações sentidas no pio 
Devido a cargas 
acidentais L/350 
Superfícies que 
devem drenar água Coberturas e varandas Total L/250
1 
Total L/350+contraflecha2 Pavimentos que 
devem permanecer 
planos 
Ginásios e pistas de 
boliche Ocorrido após a construção do piso L/600 Efeitos estruturais em serviço 
Elementos que 
suportam 
equipamentos 
sensíveis 
Laboratórios 
Ocorrido após o 
nivelamento do 
equipamento 
De acordo com a 
recomendação do 
fabricante 
Alvenaria, caixilhos e 
revestimentos 
Após a construção da 
parede 
L/5003 ou10mm ou 
θ=0,0017rad4 
Divisórias leves e 
caixilhos telescópicos
Ocorrido após a 
instalação da divisória L/250 ou 25mm 
Movimento lateral de 
edifício 
Provocada pela ação 
do vento (comb. 
Freqüente:Ψ1=0,3) 
H/1700 ou Hi/8505 
entre pavimentos6 
Paredes 
Movimentos térmicos 
verticais 
Provocado por 
diferença de 
temperatura 
L/4007 ou 15mm 
Movimentos térmicos 
horizontais 
Provocado por 
diferença de 
temperatura 
Hi/500 
Revestimentos 
colados 
Ocorrido após a 
construção do forro L/350 Forros 
Revestimentos 
pendurados ou com 
juntas 
Deslocamento 
ocorrido após constr. 
do forro 
L/175 
Efeitos em elementos 
não estruturais 
Pontes rolantes Desalinhamento de trilho 
Deslocamento 
provocado pelas 
ações decorrentes da 
frenação 
H/400 
Efeitos em elementos 
estruturais 
Afastamento em 
relação às hipóteses 
de cálculo adotadas 
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, 
seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura 
devem ser considerados, incorporando-os ao modelo estrutural 
adotado.1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, 
de modo a na se ter acumulo de água. 
2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. Entretanto, a 
atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que L/350. 
3) O vão L deve Sr tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. 
4) Rotação nos elementos que suportam paredes. 
5) H é a altura total do edifício e Hi odesnível entre dois pavimentos vizinhos. 
6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações 
horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. o limite também 
se aplica para deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de 
contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 
7) o valor L refere-se à distancia entre o pilar externo e o primeiro pilar interno. 
Nota: Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas. 
 
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9.1 Tipos de Deformações 
 
As deformações no concreto podem ser classificadas em: 
 
i) Deformações que dependem do carregamento: essas deformações são função do carregamento 
imposto e têm direção definida. São classificadas em deformação elástica imediata e 
deformação lenta (fluência). 
 
• Deformação elástica imediata: ocorre por ocasião da aplicação do carregamento e é 
reversível. 
 
• Deformação lenta: é definida como o aumento de deformação sob tensão constante e 
exerce importante influência no valor da flecha total. 
 
ii) Deformações que não dependem do carregamento: essas deformações não são função do 
carregamento imposto e não têm direção definida. São decorrentes da variação de volume 
causadas por retração e por variação de temperatura. 
 
A retração é o fenômeno caracterizado pela redução do volume da massa de concreto causada 
principalmente pela evaporação da água contida nos poros do concreto. A presença dessa água 
livre se deve ao fato de que, em geral, a quantidade de água utilizada na mistura do concreto é 
maior do que a necessária para as reações de hidratação do cimento. 
 
O efeito da retração numa peça de concreto armado sob flexão caracteriza-se pela contração 
diferencial das faces do elemento, resultando em flechas. Esta contração diferencial é devida ao 
fato de que nas regiões onde há armadura, a contração é parcialmente impedida, provocando o 
abaulamento da peça. O mesmo abaulamento pode ser causado por variações de temperatura. 
Neste caso, uma face do elemento expande mais do que a outra, por apresentar maior 
temperatura. 
 
 
9.2 Avaliação de Flechas em Vigas 
 
Como a deformação real da estrutura depende também do processo construtivo e das 
propriedades do material (módulo de elasticidade e resistência à tração) no momento de as 
efetiva solicitação, e esses parâmetros apresentam grande variabilidade, não se pode esperar, 
portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos 
prescritos a seguir. 
 
Para a NBR-6118 (item 17.3.2.1) o cálculo de flechas em vigas de concreto armado deve ser 
desenvolvido com base nas seguintes considerações: 
 
 É permitido admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear, de 
tal maneira que as seções ao longo da peça podem ter suas deformações específicas 
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determinadas no estádio I, desde que seus esforços não superem aquele que dá início à 
fissuração, e no estádio II quando o ultrapassarem. 
 
 Deve-se utilizar para o cálculo o módulo de elasticidade secante para o concreto: 
 
cs ci ckE = 0,85.E = 0,85.5600. f (MPa) 
 
 É obrigatória a consideração do efeito da fluência no cálculo das flechas. 
 
 
9.2.1 Avaliação da Flecha Imediata 
 
Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar a expressão de 
rigidez equivalente indicada pela NBR-6118 (item 17.3.2.1.1) e dada a seguir: 
 
 
( )
3 3
r r
cs c 2 cs ceq a a
M MEI = E . .I + 1- .I E .I
M M
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
 Equação 18
 
Onde: 
(EI)eq – rigidez equivalente da viga fissurada; 
Ic – momento de inércia da seção bruta de concreto; 
I2 – momento de inércia da seção no estádio II (fissurada); 
Ma – momento fletor na seção crítica do vão considerado (momento máximo no vão para vigas biapoiadas 
ou contínuas e momento no apoio para balanços); 
Mr – momento fletor de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade quando 
se usar barras lisas: ver Equação 14; 
Ecs – módulo de elasticidade secante do concreto. 
 
 
9.2.2 Avaliação da Flecha Diferida no Tempo 
 
A flecha adicional diferida (fad), decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, 
poderá ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata (fi) pelo fator 
αf, como indicado a seguir: 
 
 
 ad f i= .ff α Equação 19
 
 
Onde: 
f
Δξ=
1+50.ρ'
α 
 
Com: 
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0Δξ = ξ(t) - ξ(t ) e 
sA'ρ' = 
b.d
 
 
A’s - área da armadura de compressão no trecho considerado; 
ξ - coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente da Tabela 8 ou calculado como dado a 
seguir. 
 
 
Valores o coeficiente ξ: 
 
t 0,320,68.(0,996 ).t para t 70 mesesξ(t) = 
2 para t > 70 meses
⎧ → ≤⎪
⎨
→⎪⎩
 
 
Onde: 
t – tempo, em meses, em que se deseja o valor da flecha diferida; 
t0 – idade, em meses, em que se aplicou a carga de longa duração. 
 
 
 
Figura 9 – Função ξ representada graficamente. 
 
 
No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se 
tomar para t0 o valor ponderado a seguir: 
 
i 0i
0
i
P .t
=
P
t ∑
∑
 
Onde: 
Pi – representa as parcelas de carga; 
T0i – é a idade em que se aplicou cada parcela de carga. 
 
 
 
 
 
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Tabela 8 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo. 
t (meses) 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70 
ξ(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
 
 
 
Assim, o valor da flecha total será (1+αf) vezes a flecha imediata: 
 
 
 
 )f f i= (1+ .ff α Equação 20
 
 
 
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10. BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1992). ACI 318: Building code requirements for 
reinforced concrete. Detroit, Michigan. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR