mef-incerteza

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INCERTEZA DE MEDIÇÃO E PROPAGAÇÃO
DE INCERTEZA
UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 1
0.1. Introdução
Ao se atribuir um valor numérico a uma grandeza temos associado ao mesmo
uma incerteza. Esta incerteza se propaga quando a grandeza é usada em alguma
operação matemática. Veremos como isto ocorre e as regras basicas para estimar
esta propagação. Veremos também as formas de atribuirmos valores à incerteza
que adotaremos na prática laboratorial e como escrevê-la de forma correta.
0.2. Estimativa de Incerteza
Suponha uma medição do peŕıodo de oscilação de um pêndulo usando um
cronômetro. Fazendo esta medição varias vezes podemos distinguir duas fontes de
incerteza: a primeira é se o cronômetro mede o tempo de modo correto segundo
o padrão internacional do tempo. A segunda fonte é do processo de medição. O
instante em que acionamos o cronômetro para iniciar e terminar a marcação do
tempo será diferente em cada medição. O primeiro tipo de erro é um exemplo
do chamado erro ou incerteza sistemática (“systematic” em inglês)e o segundo um
exemplo de erro ou incerteza aleatória ( “random” em inglês). Os erros sistemáticos
não podem ser descobertos por meio de análise estat́ıstica como ocorre com erros
aleatórios [1][2].
A incerteza final de uma grandeza é dada pela combinação de todos os tipos
de incerteza conforme:
(0.1) σ =
√
σ21 + σ
2
2 + . . . σ
2
N
onde σi com i = 1, . . . , N são as diversas incertezas.
Na prática são feitas algumas adequações uma vez que pode ser dif́ıcil discri-
minar as diversas fontes de incerteza e seus valores. Além disso o número de dados
pode ser pequeno impossibilitando uma definição precisa do métodos estat́ıstico a
ser empregado.
Será adotado neste laboratório didático apenas uma das incertezas dadas a
seguir como a incerteza resultante da medição ou do processo inicial de análise de
dados. Estaremos admintindo que o número de dados seja grande, mais que 100 ,
e que sejam bem descritos pela função distribuição normal (gaussiana). Do ponto
de vista experimental estaremos supondo que os procedimentos experimentais para
a tomada de dados foram corretos e que os instrumentos de medição utilizados são
todos certificados. Com isso teremos as três fontes de incerteza:
a - Instrumental: leitura direta em um instrumento que sugere um intervalo
de confiança entre um valor máximo xmax e mı́nimo xmin. Atribuimos
um valor médio para a grandeza x̄ = (xmax + xmin)/2 e uma incerteza
(0.2) σ = |xmax − x̄| = |xmin − x̄|
1Material didático para o Laboratório de Eletricidade e Magnetismo elaborado por Milton
E. Kayama, docente do Departamento de F́ısica e Qúımica.
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Esta forma de atribuir a incerteza será utilizada também em em casos
de medições indiretas. Por exemplo, em uma medição onde variamos a
resistência elétrica para obtermos um dado valor de corrente medida em
um ampeŕımetro, pode ocorrer que este valor de corrente seja invariável
para valores de resistências entre xmax e xmin. A incerteza será dada pela
metade do intervalo como expressa na equação acima.
b - Estat́ıstica: consideremos N medições independentes de uma grandeza y,
realizadas sob as mesmas condições, que resulte em valores y1, y2, ......., yN
para a grandeza. O valor médio < y > da grandeza é dado por:
(0.3) < y >=
∑N
i=1 yi
N
O valor da incerteza padrão σ associada a < y > é a estimativa do desvio
padrão experimental da média[3]:
(0.4) σ =
√∑N
i=1(< y > −yi)2
N(N − 1)
c - Gráfica: consideremos N medições independentes de paresx, y, realizadas
sob as mesmas condições, que resulte em valores (x1, y1); (x2, y2); .......; (xN , yN ).
Em um ajuste destes pontos experimentais a uma reta y = ax+ b em um
gráfico y×x, com todos os pontos yi’s com a mesma incerteza σy o método
dos mı́nimos quadrados (MMQ) fornece as incertezas nos coeficientes a e
b:
(0.5) σ2a =
N
β
σ2y σ
2
b =
∑N
i=1 x
2
i
β
σ2y
onde
(0.6) β = N
N∑
i=1
x2i − (
N∑
i=1
xi)
2
Fórmulas para incertezas diferentes em y ou da reta passando pela origem
são dadas no tópico que descreve o MMQ.
0.3. Representação numérica de incertezas
Com muita frequência o valor de uma incerteza resulta de várias operaçãoe fei-
tas em calculadoras ou computadores, que fornecem valores com um grande número
de algarismos. Por outro lado uma incerteza é uma quantidade estimada. Assim ao
escrevê-la tomamos um valor aproximado derivado deste valor numérico com vários
d́ıgitos, usando um pequeno número de algarismos significativos. Vale como regra
geral:
Regra: o valor numérico da incerteza é representada com apenas 1 (um) algarismo
significativo. Aceita-se usar dois algarismos caso o primeiro número seja
1 ou 2.
A tabela dada a seguir ilustra alguns exemplos:
0.4. PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS 3
0,12 ⇒ 0,1 ou 0,12
2,34 ⇒ 2 ou 2,3
0,398 ⇒ 0,4
0,042 ⇒ 0,04
0,56 ⇒ 0,6
7,12 ⇒ 7
0,0087 ⇒ 0,009
0,092 ⇒ 0,09
Um número como 0,35 pode ser arredondado para 0,3 ou 0,4. Não existe regra ou
convenção que defina que a aproximação vá para um lado ou outro.
A escrita da incerteza na forma correta é importante pois ela determina onde
o valor numérico de uma grandeza deve ser truncado. Por exemplo, suponha um
valor da aceleração g que depois de alguns cálculos tenha resultado em um valor
numérico 9,82344 com incerteza 0,418. Neste caso o valor numérico da incerteza
que se adota é 0,4 apenas. Escrevemos o valor final na forma g= 9,8 ± 0,4 m/s2 ou
g= (9,8 ± 0,4) m/s2. O número de casa decimais na incerteza determina o número
de casa decimais da grandeza.
0.4. Propagação de Incertezas
Considere
(0.7) y = f(x, z, t, .....)
ou uma grandeza y relacionado a outras x1 ± σ1, x2 ± σ2, x3 ± σ3, . . . . . . através de
uma função f . Supondo os xi independentes entre si e cada uma com incerteza σi
a incerteza final σy em y é dada por:
(0.8) σ2y =
N∑
i=1
(
∂f
∂xi
)2σ2i
Usando esta equação podemos determinar a incerteza resultante de diversas operações
matemáticas. Os casos mais importantes são:
0.4.1. Soma e subtração. Na soma e/ou subtração:
(0.9) y = x+ z − t =⇒ σ2y = σ2x + σ2z + σ2t
ou, na soma e na subtração de grandezas independentes entre si, as incertezas ao
quadrado se somam.
0.4.2. Multiplicação e divisão. Na multiplicação e/ou divisão
(0.10) y =
xz
t
=⇒
(
σy
y
)2
=
(σx
x
)2
+
(σz
z
)2
+
(σt
t
)2
ou, na multiplicação e na divisão de grandezas independentes entre si, as incertezas
relativas ao quadrado se somam.
0.4.3. Potência. Na potência:
(0.11)
y = xm , m = número real =⇒ σy = |mxm−1|σx ou
σy
y
=
∣∣∣mσx
x
∣∣∣
4
0.4.4. Outros casos. Para função trigonométrica:
y = cos ax , a = constante =⇒ σy = |a sen ax|σx(0.12)
y = sen ax , a = constante =⇒ σy = |a cos ax|σx(0.13)
onde ax é o argumento da função trigonométrica em radiano (não grau).
Para o logaritmo na base a:
(0.14) y = loga x =⇒ σy =
∣∣∣∣ 1ln a
∣∣∣∣ σxx
onde x e y são adimensionais.
0.5. Média ponderada
Consideremos a medição de uma grandeza y usando diferentes meios e processos
onde se obtém um conjunto de valores como:
y1 ± σ1
y2 ± σ2
. . , . . . .
. . , . . . .
yN ± σN
O melhor valor que se pode atribuir para a grandeza é a média ponderada dada
por [4]:
(0.15) y =
∑N
i=1
yi
σ2i∑N
i=1
1
σ2i
com a incerteza:
(0.16) σ =
1√∑N
i=1
1
σ2i
Chamamos de peso estat́ıstico ao valor de 1/σ2i .
Por exemplo, suponha dois valores do comprimento l de uma mesa: l1=4,62
± 0,12 m e l2=4,1 ± 0,3 m. Os pesos estat́ısticos são respectivamente 1/0,122 ≃
69 e 1/0,32 ≃ 11. Como este peso é maior para l1 o seu valor é mais importante.
A média ponderada é (4,62/0,122+4,1/0,32)/(1/0,122+1/0,32)=4,557 m. A incer-
teza é 1/(1/0,122+1/0,32)1/2=0,11 m. Portanto o melhor valor que atribuimos ao
comprimento da mesa é l = 4,5 ± 0,1 m ou l = 4,55 ± 0,11 m.
0.6. Exerćıcios
0.6.1. Contas. Determine os valores finais usando as fórmulas de propagação
de incertezas dadas no texto:
a- (5± 1) + (8 ± 2) - (10 ± 4)
b- (5 ± 1) × (8 ± 2)
c- (10 ± 1)/(20 ± 2)
d- (30 ± 1) × (50 ± 1)/(5,0 ± 0,1)
0.6. EXERCÍCIOS 5
Figura 1. Mesa entre paredes.
Resp.:(a)3 ± 5; (b)40 ± 13; (c)0,50 ± 0,07; (d) 300 ± 13
0.6.2. Contas com fórmula. Em um resistor com resistência R e corrente I
a potência dissipada é P = RI2. Com R=470 ± 50 Ω e I=0,13 ± 0,03 A calcule
os valores de P e sua incerteza. Escreva o valor de P na forma correta.
Resp.: 7,94 W com incerteza de 3,76 W ( e não algo como 2,72 W). Então P=
8 ± 4 W.
0.6.3. Comprimento. Deseja-se determinar o comprimento de uma mesa que
se localiza entre duas paredes como ilustra a figura abaixo. A medição é feita com
um instrumento que tem uma incerteza final de σ= 0,2 cm. Uma primeira medição
mede-se o comprimento L da mesa; na segunda medição mede-se A, C e D e
se obtem o comprimento L1 da mesa usando L1 = A − (C + D). Detemine o
comprimento da mesa.
Solução: Na primeira medição mede-se 100,0 cm. Então L=100,0 ± 0,2 cm.
Na segunda medição mede-se A=200,0 ± 0,2 cm, C=60,0 ± 0,2 cm , D=40,0 ±
0,2 cm. Então L1 = A− (C +D)=200,0 − (60,0 + 40,0)=100,0 cm. A incerteza é
σL1 =
√
σ2 + σ2 + σ2 =
√
3 σ =(1,7)(0,2)=3,4 cm. Então L1=100 ± 3 cm. Embora
o comprimento da mesa seja igual nos dois casos, a incerteza no segundo é maior.
Isso faz com que o segundo procedimento seja incorreto. Na atribuição de um valor
a uma grandeza, no caso o comprimento da mesa, o processo correto é o que leva
a um valor com menor incerteza, no caso uma medida direta. Procedimentos com
incerteza maior não são tolerados e são simplesmente incorretos.
0.6.4. Oscilação. Com um cronômetro acionado manualmente, com algum
treino, é posśıvel medir tempos a partir de 1 segundo com incerteza de 0,1 segundo.
Vamos supor a medição do peŕıodo de oscilação de um pêndulo cujo valor aproxi-
mado é ≈ 0,5 s. Medir apenas uma oscilação daria um resultado com incerteza de
(0,1/0,5)=0,2 , ou seja, de 20%. Então é mais apropriado medir várias oscilações e
dividir o tempo final pela quantidade de oscilações:
a - se medirmos 5 oscilações e o tempo de 2,4 ± 0,1 s, qual o peŕıodo τ da
oscilação?
b - qual o valor de τ se medissemos 20 oscilações com um tempo de 9,4 ± 0,1
s ?
c - a incerteza de τ melhoraria infinitamente medindo o tempo de mais os-
cilações?
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Resp.:(a) 0,48 ± 0,02 s ( ou 4%); (b) 0,470 ± 0,005 s ( ou 1%); (c)Não. Em
primeiro lugar, o pêndulo vai parar de oscilar. Mesmo que encontre um meio de
superar isto outras coisas irão impedir a busca da medição com alta precisão. Por
exemplo, em uma medição de horas, a confiança do cronômetro pode ser compro-
metida. Além disso o periodo τ pode variar devido a mudanças na temperatura,
umidade e outros fatores.
0.6.5. Diâmetro. A medição do diâmetro D de um disco circular resulta em
D= 6,0 ± 0,1 cm. Este valor é usado para calcular o perimetro P e o raio R do disco
usando P = πD e R = D/2. Quais as respostas? [ A fórmula da proparação de
incerteza para divisão e multiplicação se aplica neste caso. Para o raio R calculado
com D × 1/2 o numero 1/2 é naturalmente, exato.]
Resp.: P= 18,8 ± 0,3 cm; R= 3,00 ± 0,05 cm
0.6.6. Volume. Mede-se o raio de uma esfera e resulta em R =2,0 ± 0,1 m.
Como se escreve o valor do volume V desta esfera?
Resp.: V = 34 ± 5 m3
0.6.7. Quadrado. Em um pêndulo a relação entre a aceleração da gravidade
g, o comprimento L do pêndulo e o peŕıodo T de oscilação é dado por g = 4π2L/T 2.
Supondo os valores L=92,95 ± 0,01 cm e T=1,936 ± 0,004 s determine g.
Resp.: g = 979 ± 4 cm/s2
Bibliografia
[1] John R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2nd edition, University Science Books,
Sausalito, 1997;
[2] Semyon G. Rabinovich, Measurement Errors and Uncertainties, Theory and Practice, 3rd.
edition, American Institute of Physics Press, Basking Ridge, 2005;
[3] Barry N. Taylor e Chris E. Kuyatt, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty
of NIST Measurement Results, National Institute of Standards and Technology, Technical note
1297, 1994;
[4] José Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, Editora Edgard Blucher, São Paulo,
1992;
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