ALGEBRA QUESTIONÁRIO UNIDADE III _

Prévia do material em texto

22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 1/8
 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE IIIÁLGEBRA 6153-60_15402_R_E1_20231 CONTEÚDO
Usuário beatriz.follmann @aluno.unip.br
Curso ÁLGEBRA
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE III
Iniciado 22/02/23 20:31
Enviado 22/02/23 20:33
Status Completada
Resultado da tentativa 4 em 4 pontos  
Tempo decorrido 2 minutos
Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
Pergunta 1
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Para veri�car se E = ℤ e a operação de�nida por x * y = x + y + xy é um grupo comutativo, foram veri�cadas as
propriedades: associativa, elemento neutro, elemento simetrizável e comutativa descritas a seguir:
I. Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos
que essa operação * é associativa.
II. Como , dizemos que a operação * possui elemento neutro e este é 
III. Como x’ * x = x * x’
= 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo.
IV. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. Logo, (E, *) é um grupo comutativo.
Conclui-se que:
Todas são verdadeiras.
Todas são verdadeiras.
Todas são falsas.
I, II e III são falsas.
I, II e III são verdadeiras.
I e IV são verdadeiras.
Resposta: A
Comentário: para veri�car se (E, *) é um grupo comutativo ou abeliano, devemos checar as
propriedades associativa, elemento neutro, elemento simetrizável e comutativa. Então
iniciaremos pela propriedade associativa:
I. (Associativa)
Devemos mostrar que (x * y) * z = x * (y * z). (x * y) * z = (x + y + xy) * z
= (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z
= x + y + xy + z + xz + yz + xyz
Por outro lado,
x * (y * z) = x * (y + z + yz)
= x + (y + z + yz) + x(y + z + yz)
= x + y + z + yz + xy + xz + xyz
Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos
que essa operação * é associativa.
 
II. (Elemento neutro)
Devemos determinar ℯ, de modo que veri�que as condições de:
ℯ ∗ x = x = x ∗  ℯ; ∀x ∈ E.
CONTEÚDOS ACADÊMICOS BIBLIOTECAS MURAL DO ALUNO TUTORIAIS LABORATÓRIOSUNIP EAD
0,4 em 0,4 pontos
http://company.blackboard.com/
https://ava.ead.unip.br/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_265009_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_265009_1&content_id=_3147227_1&mode=reset
https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_25_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_27_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_47_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_29_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_64_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_10_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/login/?action=logout
22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 2/8
e * x = x
e + x + ex = x
e + ex = 0
e ( )1 + x = 0
e = 0
Da outra igualdade, teremos:
x * e = x
x + e + xe = x
e + xe = 0
e ( )1 + x = 0
e = 0
Como e * x = x * e = x, ∀x ∈ E dizemos que a operação * possui elemento neutro, que a partir
de agora será utilizado como e = 0.
 
III. (Elemento simetrizável)
Devemos determinar x’, de modo que veri�que as condições de x’ * x = x * x' = e; ∀x ∈ E
Note que nessa operação 𝑒 = 0, como calculado anteriormente.
x' * x = 0
x' + x + x'x = 0
x' + x'x = -x
x'(1 + x) = -x
x' = -x
1 + x
Da outra igualdade, teremos:
x * x' = 0
x + x' + xx' = 0
x' + xx' = -x
x'(1 + x) = -x
x' = -x
1 + x
Como x’ * x = x * x’ = 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos
simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo.
Agora veremos se o grupo é também um grupo comutativo, para isso basta veri�car a
propriedade comutativa.
 
IV. (Comutativa)
Devemos mostrar que x * y = y * x. De um lado da igualdade, temos:
x * y = x + y + xy
Por outro lado,
y * x = y + x + yx = x + y + xy. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa.
Logo, (E, *) é um grupo comutativo.
Pergunta 2
Com base nas estruturas de grupo em relação à operação *, dizemos que:
0,4 em 0,4 pontos
22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 3/8
Resposta
Selecionada:
c.
Respostas: a.
b.
c.
d.
e.
Comentário da
resposta:
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a
propriedade de simetrizável.
Sendo E = {1,2,3} e a operação de�nida por x * y = mdc(x, y), satisfaz as propriedades de
elemento neutro e a simetrizável, com isso dizemos que essa não possui a estrutura de grupo.
Sendo E = {1,2,3} e a operação de�nida por x * y = mdc(x, y), não satisfaz as propriedades do
elemento regular e a distributiva, com isso dizemos que essa  possui a estrutura de grupo.
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a
propriedade de simetrizável.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de�nida por x * y =
x + y
2
 satisfaz as
propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com isso dizemos que ela não
possui a estrutura de grupo.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de�nida por x * y =
x + y
2
não satisfaz as propriedades associativa, elemento neutro e simetrizável, com
isso dizemos que ela possui a estrutura de grupo. 
Resposta: C
Comentário: sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por x * y = x +
y (operação de adição), não tem a estrutura de grupo. O conjunto dos números naturais, com
a operação de adição, não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz
a propriedade de simetrizável, observe que se tornarmos o número 2, não existe nenhum
elemento oposto x’ dentro do próprio conjunto, de modo que 2 + x = 0.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Algumas aplicações preservam as operações, transformando, às vezes, as somas dos elementos do domínio na
soma dos elementos do conjunto da imagem. Outras vezes, transformam um produto de elementos do domínio
no produto de elementos do conjunto imagem. Desta forma, a aplicação f : ℤ → ℂ* , dada por  f (m ) = im , ∀ m 
∈ ℤ:
É um homomor�smo de (ℤ, + ) em ( )ℂ, . . 
É um mor�smo de (ℤ, + ) em ( )ℂ, . .
É um homomor�smo de (ℤ, + ) em ( )ℂ, . . 
Não é um homomor�smo de (ℤ, + ) em ( )ℂ, . . 
Não é um mor�smo de (ℤ, + ) em ( )ℂ, . . 
É um automor�smo de em ( )ℂ, . . 
Resposta: B
Comentário: a aplicação f : ℤ → ℂ* , dada por f ( )m = i
m , ∀ m ∈ ℤ, é um homomor�smo
de em Seja m e n  ∈ ℤ. f ( )m + n = i ( )m + n = im . i n = f (m ) . f (n ) .
0,4 em 0,4 pontos
22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 4/8
Pergunta 4
Resposta
Selecionada:
d. 
Respostas:
a. 
b.
c.
d. 
e.
Comentário da resposta:
Considerando os grupos  ( )ℝ, + e ( )ℝ* , . e a função f de�nida por f : ℝ → ℝ* e 𝓍 → 2𝓍 , f
é um homomor�smo de grupos, pois:
f ( )x + y = 2x + y = 2x . 2y = f ( )x . f ( )y
f ( )x . y = 2x + y = 2x . 2y = f ( )x . f ( )y
f ( )x . y = 2x . y = 2x + 2y = f ( )x . f ( )y
f ( )x + y = 2x + y = 2x + 2y = f ( )x . f ( )y
f ( )x + y = 2x − y = 2x + 2y = f ( )x . f ( )y
Resposta: DComentário: 
𝓍 ∈ ℝ = f ( )𝓍 = 2𝓍 ; y ∈ ℝ = f ( )y = 2y
f ( )𝓍 + y = 2𝓍 + y = 2𝓍 . 2y = f ( )𝓍 . f ( )y
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
e. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Seja  f :ℝ
+
* → ℝ dado por  f ( )𝓍 = log 𝓍 , ∀ 𝓍 ∈ ℝ
+
* , então f:
É um isomor�smo de ( )ℝ+
* , . em ( )ℝ, + . 
É um automor�smo de  ( )ℝ+
* , . em ( )ℝ, + .
É um endomor�smo de ( )ℝ+
* , . em ( )ℝ, + . 
É um monomor�smo de ( )ℝ+
* , . em ( )ℝ, + . 
É um epimor�smo de 
É um isomor�smo de 
Resposta: E
Comentário: seja  f :ℝ+
* → ℝ,  dado por f ( )𝓍 = log 𝓍 , ∀ 𝓍 ∈ ℝ+
* , então f é um
homomor�smo de ( )ℝ+
* , . em ( )ℝ+
* , + .
Sejam x, y
∈ ℝ+
* ; f ( )𝓍 = log 𝓍 e f ( )y = log ( )y ; f ( )x , y = log ( )x .y = log 𝓍 + log y = f ( )x + f ( )y . . A
função é bijetora, então é um isomor�smo.
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 5/8
Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
a.
Respostas: a.
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Com relação ao conceito de anel de uma estrutura algébrica é incorreto a�rmar que:
M
nxn
( )ℝ = {X = ( )X ij ∈ ℝ, em que 1 ≤ i , j ≤ n} não é um anel, com as operações
usuais de adição e multiplicação de matrizes.
M
nxn
( )ℝ = {X = ( )X ij ∈ ℝ, em que 1 ≤ i , j ≤ n} não é um anel, com as operações
usuais de adição e multiplicação de matrizes.
( )5 ℤ, + , .   é um anel.
( )ℤ, + , .   é um anel.
( )ℕ, + , .   não é um anel.
( )ℝ, + , .   é um anel.
Resposta: A
Comentário: M nxn ( )ℝ = {X = ( )X ij ∈ ℝ, em que 1 ≤ i , j ≤ n}
é um anel, com as operações usuais
de adição e multiplicação de matrizes, de�nidas por:
Z = X + Y , em que Z
ij
= Z
ij
+ Y
ij
, para 1 ≤ i, j ≤ n
Z = X . Y , em que Z
ij
= n∑
K = 1
Z
ij
. Y
ij
, para 1 ≤ i , j ≤ n
Para X ,Y ∈ M
nxn
( )ℝ
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
No anel M
2x2
( )ℤ das matrizes 2 por 2 com coe�cientes no anel dos inteiros, a matriz X =  ⎡⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2 3
1 2
 é invertível ,
então X’ é igual a:
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2 −3
−1 2
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
−2 −3
−1 2
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2 −3
−1 2
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2 −3
−1 −2
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
−2 −3
−1 −2
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
2 3
−1 2
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 6/8
Comentário da resposta: Resposta: B
Comentário: para encontrar a matriz inversa, basta fazer X.  X ′ = X ′ · X = I.
Pergunta 8
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
A �gura 1 apresenta a tabela de operação de 
z
( )4
 , em que aparecem apenas os restos das divisões de qualquer
número inteiro por 4.
Figura 1
A linha em branco da �gura 1 deve ser preenchida com os seguintes números, respectivamente:
1, 2, 3 e 0.
0, 1, 2 e 3.
1, 2, 3 e 0.
2, 3, 1 e 0.
3, 2, 1 e 0.
2, 1, 0 e 3.
Resposta: B
Comentário: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3 e 1 + 3 = 4 dividindo por 4 resta zero, portanto,
marca zero no quadro.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Sabendo-se que duas das raízes da equação x 4-5x 2-10x-6=0 são -1 e 3, as demais são:
- 1 + i e – 1 – i.
1 + i e - 1 – i.
- 1 - i e – 1 – i.
- 1 + i e 1 – i.
- 1 + i e 1 + i.
- 1 + i e – 1 – i.
Resposta: E
Comentário: resolver a equação x 4-5x 2-10x-6=0, sabendo-se que duas de suas raízes
são -1 e 3.
Aplicando Briot-Ru�ni:
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 7/8
Para as demais raízes
x2 + 2x = 0
Resolvendo por Bhaskara:
∆ = b2 − 4.a.c → ∆ = ( )2 2 − 4.1 .2 → ∆ = 4 − 8 → ∆ = −4
x =
−b ± ∆
2.a
→ x =
−2 ± −4
2 .1
→ x =
−2 ± 4 . ( )−1
2
→ x =
−2 ±2i
2
→ x = −1 ± i
Logo, a solução é dada por:
S = {-1, 3, -1 + i, -1 -i}
Pergunta 10
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Dados os polinômios: A(a) = 3a 2 + 2a – 4, B(a) = 5a – 3, C(a) = 2a + 5 e as seguintes a�rmações:
I. A + B + C = 3a2 + 9a - 2
II. AB - BC = 15a3 - 9a2 - 45a + 27
III. A2 - 2B = 9a4 + 12a3 - 20a2 - 26a + 22
É correto a�rmar que:
V, V e V.
F, F e F.
V, F e F.
V, V e F.
V, V e V.
F, V e F.
Resposta: D
Comentário:
I) A + B + C = (3a 2 + 2a – 4) + (5a – 3) + (2a + 5) = 3a² + 9a – 2
II) AB – BC = B(A – C)
(5a – 3)[(3a 2 + 2a – 4) – (2a + 5)]
(5a – 3)(3a 2 – 9)
15a³ – 45a – 9a² + 27
15a³ – 9a² – 45a + 27
III) A 2 – 2B
(3a 2 + 2a – 4)² – 2*(5a – 3)
(3a 2 + 2a – 4)*(3a 2
+ 2a – 4) – 10a + 6
9a4 + 6a3 - 12a2 + 6a3 + 4a2 - 8a - 12a2 - 8a + 16 - 10a + 6
9a4 + 12a3 - 20a2 - 26a + 22
0,4 em 0,4 pontos
22/02/2023, 19:33 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE III – ...
https://ava.ead.unip.br/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_90378236_1&course_id=_265009_1&content_id=_3148639_1&retur… 8/8
Quarta-feira, 22 de Fevereiro de 2023 20h33min35s GMT-03:00 ← OK