calculo integral I e II

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
TEORIA DOS NÚMEROS 
Luiz Gonzaga Alves da Cunha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Luiz Gonzaga Alves da Cunha 
 
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas 
Gerais (PUC-Minas) - Especialista em Educação Matemática pela Universidade Vale do Rio 
Doce (chancela Unesp/Rio Claro) - Especialista em Qualidade em Educação pela Universi-
dade Maringá - Especialista em Docência na Educação a Distância (Unis) e Licenciado em 
Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (UFV). Atualmente é professor da Faculdade 
Única de Ipatinga (FUNIP). 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2022 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação à Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Carla Jordânia G. de Souza 
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
Design: Brayan Lazarino Santos 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras 
 
 
 
 
 
 
 
 
© 2020, Faculdade Única. 
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização 
escrita do Editor. 
 
 
T314i 
 
 
Teodoro, Jorge Benedito de Freitas, 1986 - . 
Introdução à filosofia / Jorge Benedito de Freitas Teodoro. – 1. ed. Ipatinga, MG: 
Editora Única, 2020. 
113 p. il. 
 
Inclui referências. 
 
ISBN: 978-65-990786-0-6 
 
1. Filosofia. 2. Racionalidade. I. Teodoro, Jorge Benedito de Freitas. II. Título. 
 
CDD: 100 
CDU: 101 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação as Distancia FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
www.faculdadeunica.com.br
http://www.faculdadeunica.com.br/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Menu de Ícones 
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo apli-
cado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles são 
para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma 
função específica, mostradas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São sugestões de links para vídeos, documentos cientí-
fico (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou 
links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e Biblio-
teca Pearson) relacionados com o conteúdo abordado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações impor-
tantes nas quais você deve ter um maior grau de aten-
ção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de determina-
dos termos/palavras mostradas ao longo do livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões 
citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, 
seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação 
“A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos” 
Aristóteles 
 
A criação deste livro levou em consideração a ideia de Aristóteles apresentada 
acima. O maior objetivo é levar ao estudante os conhecimentos de Cálculo Diferencial 
e Integral de forma que tenham aplicabilidades no cotidiano e torne a aprendizagem 
significativa e efetiva. 
Buscou-se explorar fundamentos matemáticos de forma intuitiva deixando de 
lado o formalismo sem esquecer, no entanto, o rigor inerente a esta disciplina. Espera-
se com esta obra, contribuir para a formação acadêmica do estudante tornando-o 
autônomo no seu processo de aprendizagem e consolidando, dessa forma, sua forma-
ção. 
Para que você possa ter um melhor aproveitamento deste material, segue 
abaixo uma tabela com os ícones que aparecerão ao longo do texto. Tais ícones (com 
suas respectivas funções) chamarão sua atenção para determinado tópico do conte-
údo e indicarão uma ação que deverá ser executada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES 
 
 
 
1.1 MOTIVAÇÃO 
No Egito antigo era comum registrar fenômenos naturais que aconteciam no 
cotidiano. Tais registros não tinham a finalidade de explicar tais fenômenos, mas ape-
nas de registrá-los. Posteriormente, estimulando o raciocínio lógico e analisando seus 
resultados, iniciou-se estudos acerca dos modelos presentes nos registros encontra-
dos, levando estudiosos a avançar na compreensão dos mesmos. 
Atualmente, podemos observar vários fenômenos em nosso meio que são pas-
síveis de explicações graças a utilização de ferramentas matemáticas tal como, a 
trajetória da bola de basquete. Nessa situação específica, ou em outras similares, as 
funções matemáticas são ferramentas amplamente utilizadas para desvendar as ca-
racterísticas desses eventos. 
Outras ciências tais como a Física, Economia, Ecologia e Engenharia dentre 
outras, utilizam as funções como suporte para explicar diversas situações corriqueiras 
presentes em cada uma delas. 
Para citar um exemplo prático, temos a ponte Hercílio Luz, situada na cidade 
de Florianópolis, construída entre 1922 e 1926. As curvas presentes em sua estrutura, 
formadas pelos seus cabos, sustentam a ponte de forma que a forças exercidas sobre 
eles podem ser explicadas por equações algébricas que apresentam dependências 
entre as grandezas envolvidas gerando, dessa forma, gráficos que diversificam a re-
presentação dos fenômenos favorecendo sua compreensão. 
 
Figura 1: Ponte Hercílio Luz 
 
Fonte: Wolffenbuttel (2020) 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
Enfim, o estudo de funções é fundamental para a construção de conceitos e 
definições que levam à aprendizagem efetiva da Matemática e ciências Afins. 
 
1.2 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO 
Quando estamos interessados em relacionar duas grandezas que variam seus 
valores ao longo do tempo, devemos pensar em uma função matemática para fazê-
lo. Vamos explorar alguns exemplos ilustrativos que promovem o relacionamento en-
tre grandezas e a dependência entre elas. 
 
Tabela 1: Relação entre litros de gasolina em um abastecimento e o preço a paga 
Nº de litros de gasolina Preço 
1 R$ 4,80 
2 R$ 9,60 
3 R$ 14,40 
.... ... 
30 R$ 144,00 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Nesta situação, dizemos que: Preço a pagar = R$ 4,80 x nº de litros 
 
Tabela 2: Relação entre o lado de um quadrado e sua área 
Medida do lado (L) Área (A) 
1 m 1 m2 
2 m 4 m2 
3 m 9 m2 
.... ... 
6 m 36 m2 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Nesta situação, dizemos que: A = Área do quadrado = lado x lado = L x L = L2 
 
 
 
 
Observe que as grandezas envolvidas nos exemplos acima, exerce um grau de depen-
dência. 
Quantidade de litros (independente) / preço a pagar (dependente) 
Lado do quadrado (independente) / Área do quadrado (dependente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
1.3 EXPLORAÇÃO DE FUNÇÃO POR MEIO DE CONJUNTOS 
Podemos também, intuitivamente, explorar a relação entre dois conjuntos de 
forma a criar uma dependência entre os elementos destes conjuntos. 
Vamos considerar dois conjuntos A e B cujos elementos são números naturais. 
Os elementos destes conjuntos estarão associados da seguinte forma: 
 
Figura 2: Associação dos elementos de um conjunto 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Na relação acima, podemos observar que para cada elemento do conjunto 
A tem um único elemento correspondenteno conjunto B e esta correspondência se 
dá, neste caso pela multiplicação de cada elemento do conjunto A por 2, ou seja, 
cada elemento do conjunto A está relacionado com o seu dobro. 
 
1.4 NOTAÇÃO MATEMÁTICA DE CONJUNTO 
Levando em consideração os conjuntos A e B abordados na seção anterior, 
dizemos que uma função é uma relação que associa cada elemento do conjunto A 
a um único elemento do conjunto B. Assim, vamos elencar uma forma matemática 
de representar a relação existente entre o conjunto A e B, da seguinte forma: 
 
Figura 3: Relação do Conjunto A e B 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
1.5 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
Levando em consideração os conjuntos A e B abordados na seção 1.3, iremos 
nomear cada um dos conjuntos explorados conforme a nomenclatura utilizada em 
conjuntos. 
Então, sendo dada uma função f que relaciona os elementos do conjunto A 
com os elementos do conjunto B, iremos chamar de domínio, o conjunto de partida 
A e de contradomínio o conjunto de chegada B. Agora, cada elemento do conjunto 
B é denominado de imagem do elemento do conjunto A ao qual se relaciona. Veja 
na imagem abaixo: 
 
Figura 4: Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
 
 
 
𝐟 ∶ 𝐀 → 𝐁 (Onde se lê: f é uma função de A em B) 
Em 𝐟 ∶ 𝐀 → 𝐁 se todos os elementos de B relaciona com algum elemento de A, então temos 
que o contradomínio e a imagem serão conjuntos iguais. 
Se temos uma relação 𝐀 → 𝐁 e existe algum elemento do conjunto A que não se relaciona 
com elemento de B, podemos considerar essa relação uma função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
1.6 FÓRMULAS MATEMÁTICAS PARA DEFINIR FUNÇÕES 
Uma forma bastante comum de representar uma função é utilizando regras, 
leis ou fórmulas matemática. Vamos nos reportar ao exemplo utilizado na seção 1.2 
quando relacionamos a quantidade de litros em um abastecimento e o valor a pa-
gar. 
Naquela situação, dizemos que: 
 
Preço a pagar = R$ 4,80 x nº de litros. 
 
Podemos representar a relação preço a pagar (y) com quantidade de litros 
(x) pela fórmula matemática a seguir: 
 
y = 4,8x ou f(x) = 4,8x 
 
Então, como podemos ver, as fórmulas matemáticas nos auxiliam a represen-
tar uma relação entre grandezas de forma simples. 
 
1.7 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEIS REAIS 
Como vimos na seção 1.5, que em uma função está presente três componen-
tes a saber: domínio, contradomínio e imagem. Ao representarmos uma função f de 
A em B devemos ter em mente que A é o domínio da função e B é o contradomínio 
da função. Logo: 
 
 
 
 f: A → B (1) 
 
 
 
Quando, ao citarmos uma função f e omitimos os conjuntos A e B, devemos considerar o 
contradomínio como sendo o conjunto dos números reais (ℝ) e o domínio será o maior 
subconjunto A de ℝ. 
CONTRADOMÍNIO 
DOMÍNIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
1.8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO 
Nos dias de hoje é muito comum encontrarmos gráficos como meio de comu-
nicar alguns tipos de informações. Podemos ver está linguagem gráfica em livros, re-
vistar e até mesmo na internet. No contexto das funções também iremos conviver 
com os gráficos. Toda função matemática pode ser representada por um gráfico 
que será construído em um plano denominado cartesiano. 
Para que tal gráfico seja construído podemos seguir alguns procedimentos que 
nos auxiliam nesta tarefa, a saber: 
Montar uma tabela com duas colunas onde na 1ª coluna serão colocados 
valores de “x” (a sua escolha) pertencentes ao domínio da função e na 2ª coluna 
preencher com as imagens de cada valor escolhido na 1ª coluna. 
Uma vez formado o par ordenado (x,f(x)) devemos associá-lo a um ponto do 
plano cartesiano. 
Neste último passo, devemos marcar no plano cartesiano uma quantidade su-
ficiente de pontos até que seja possível esboçar o gráfico da função em questão. 
 
1.9 OBTENÇÃO DO DOMÍNIO E DA IMAGEM POR MEIO DO GRÁFICO 
De posse do gráfico e por meio de uma simples observação, é possível deter-
minar o domínio e a imagem de uma função. Para que seja possível essa análise, 
basta projetar o gráfico nos eixos coordenados. Veja: 
 
Figura 5: Gráfico com domínio e imagem de uma função f(x) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
Domínio de D(f) = ሼ𝐱 ∈ ℝ 𝐚 ≤ 𝐱 ≤ 𝐛Τ ሽ 
Imagem de Im(f) = ሼ𝐱 ∈ ℝ 𝐟(𝐛) ≤ 𝐲 ≤ 𝐟(𝐚)Τ ሽ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
1.10 FUNÇÕES SOBREJETIVAS, INJETIVAS E BIJETIVAS 
Dada uma função é possível qualificá-la conforme algumas características 
que ela pode apresentar. Após analisar as tais caraterísticas, podemos classificar as 
funções em sobrejetora, injetora e bijetora. 
 
a) Função sobrejetora: Quando uma função apresenta o conjunto imagem 
é igual ao contradomínio. 
 
Figura 6: Função sobrejetora 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
b) Função injetora: Quando para quaisquer dois valores diferentes do domínio, 
obtemos dois valores distintos na imagem. 
 
 
Alguns gráficos não representam funções. O gráfico abaixo é um desses gráficos. Você 
seria capaz de apontar uma característica desse gráfico para que ele não represente 
uma função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Figura 7: Função injetora 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
c) Função bijetora: Quando uma função é, ao mesmo tempo, sobrejetora e 
injetora. 
 
Figura 8: Função Bijetora 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
1.11 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES 
O estudo do comportamento crescente ou decrescente de uma função nada 
mais é do que verificar o que acontece com os valores da imagem quando variamos 
os valores do domínio. 
Em outras palavras, para analisar a variação de uma dada função, atribuímos 
a uma variável independente, os valores do domínio (em ordem crescente) e verifi-
camos o que ocorre com a variável dependente (imagem). Desta forma, é possível 
ocorrer três situações diferentes, a saber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
a) Função crescente: quando aumentamos os valores da variável indepen-
dente e por consequência, os valores da variável dependente também au-
mentam. 
 
 
 
Figura 9: Função crescente 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
b) Função decrescente: quando aumentamos os valores da variável indepen-
dente e por consequência, os valores da variável dependente diminuem. 
 
 
 
Figura 10: Função decrescente 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
Se x1 < x2 então f(x1) < f(x2)
Se x1 < x2 então f(x1) > f(x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
c) Função constante: quando aumentamos os valores da variável indepen-
dente e por consequência, os valores da variável dependente permane-
cem constantes. 
 
 
 
Figura 11: Função constante 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
1.12 FUNÇÃO COMPOSTA 
Para entender melhor o conceito de função composta, vamos considerar a 
produção de automóveis cujo lucro de produção é obtido por meio da lei L = 2V 
onde “L” representa o lucro e “V” representa o preço de venda para o consumidor 
final. Já o valor de “V” é obtido pela lei V = 100 + P onde “P” é o custo de produção. 
Observamos que o lucro L depende do preço da venda “V” que por sua vez 
depende do custo de produção “P”. 
Logo: 
 
L = 2V
V = 100 + P
} → L = 2(100 + P) → L = 200 + 2P 
 
Agora, de forma geral, ao tomarmos as funções genéricas 𝐟: 𝐀 → 𝐁 definida por 
𝐟(𝐱) = 𝟑𝐱 e 𝐠: 𝐁 → 𝐂 definida por 𝐠(𝐱) = 𝟒𝐱, podemos notar que o contradomínio da 
função f(x) é o domínio da função g(x). Dessa forma, surge uma outra função 
h(x) que relaciona o domínio da função f(x) com o contradomínio de g(x), veja: 
 
Se x1 < x2 então f(x1) = f(x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Figura 12: Função composta 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
1.13 FUNÇÃO INVERSA 
Quando abordamos uma função inversa, devemos nos reportar a uma bije-
tiva, ou seja, para que uma funçãopossua uma função inversa, primeiramente ela 
precisa ser uma função bijetora. 
Dessa forma, vamos definir uma função inversa da seguinte forma: 
 
Dada uma função 𝒇: 𝑨 → 𝑩 (bijetora), denomina-se função inversa de 𝒇 a função 
𝒈: 𝑩 → 𝑨 tal que, se f(a) = b, então g(b) = a, com a ∈ A e b ∈ B 
 
Graficamente, a função inversa g(x) de f(x) será representada da seguinte 
forma: 
Figura 13: Função inversa 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
A função inversa g(x) de f(x) será representada por: 
g(x) = f (−1)(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja mais sobre o assunto no livro “Matématica” de Bonafini de (2012) 
em: https://bit.ly/3qCFln1. Acesso em: 26 jan. 2020. 
 
 
Leia também o livro “Matemática para curso superiores” de Silva, Silva e 
Silva (2018). Disponível em: https://bit.ly/3ouwNgj. Acesso em: 26 jan. 
2020. 
 
 
Por fim, de uma olhada na playlist “Funções - Conceitos Iniciais e Funda-
mentais” do prof. Ferreto em seu canal no Youtube. Disponível em: 
https://bit.ly/2VSbmJC. Acesso em: 26 jan. 2020. 
 
https://bit.ly/3qCFln1
https://bit.ly/3ouwNgj
https://bit.ly/2VSbmJC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
FIXANDO CONTEÚDO 
1. Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma região quadrada e sua 
área (em cm2) 
LADO 1 3 4 5,5 10 ... L 
ÁREA 1 9 16 30,25 100 ... L2 
 
De acordo com a tabela, podemos afirmar que a medida do lado da região qua-
drada cuja área é de 144 cm2 é: 
 
a) 11 cm 
b) 12 cm 
c) 13 cm 
d) 14 cm 
e) 15 cm 
 
2. Considere a função 𝐟 ∶ 𝐀 → 𝐁 dada pela relação representada pela imagem 
abaixo: 
 
 
 
 
 
Podemos afrimar que: 
 
a) A Imagem de f(x) é {1,3,5,7}. 
b) A imagem de f(x) é {1,3,7}. 
c) O Domínio de f(x) é {1, 3,5,7}. 
d) O domínio e a imagem de f(x) são iguais. 
e) O contradomínio e a imagem de f(x) são iguais. 
 
3. Observe a função abaixo e marque a alternativa correta: 
 
𝑓(𝑥) = 
1
𝑥 − 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
a) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ = 6ሽ 
b) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ < 6ሽ 
c) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ ≠ 6ሽ 
d) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ > 6ሽ 
e) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ ≥ 6ሽ 
 
4. Observe a função abaixo e marque a alternativa correta: 
 
 𝑓(𝑥) =
1
√8 − 𝑥
 
 
a) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ = 8ሽ 
b) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ < 8ሽ 
c) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ ≠ 8ሽ 
d) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ > 8ሽ 
e) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ 𝑥Τ ≤ 8ሽ 
 
5. Analise o gráfico da função abaixo. 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) o gráfico é crescente para ሼ𝑥 ∈ ℝ −2 ≤ 𝑥Τ ≤ 1ሽ 
b) o gráfico é decrescente para ሼ𝑥 ∈ ℝ −2 ≤ 𝑥Τ ≤ 1ሽ 
c) o gráfico é crescente para ሼ𝑥 ∈ ℝ 3 ≤ 𝑥Τ ≤ 4ሽ 
d) o gráfico é decrescente para ሼ𝑥 ∈ ℝ 2 ≤ 𝑥Τ ≤ 4ሽ 
e) o gráfico é constante para ሼ𝑥 ∈ ℝ −2 ≤ 𝑥Τ ≤ 2ሽ 
 
6. Dados f(x) = x2 – 2x+1 e g(x) = 2x + 1, podemos afirmar que f(g(1)) é: 
 
a) 3 
b) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
7. Analise o gráfico da função f(x) abaixo. 
 
Podemos afirmar que: 
 
a) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ −2 < 𝑥Τ ≤ 3ሽ 
b) a imagem de f(x) é ሼ𝓎 ∈ ℝ −
5
2
≤ 𝑥⁄ < 6ሽ 
c) a imagem de f(x) é ሼ𝓎 ∈ ℝ −2 < 𝑥Τ ≤ 3ሽ 
d) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ −
5
2
< 𝑥⁄ ≤ 6ሽ 
e) o domínio de f(x) é ሼ𝑥 ∈ ℝ −2 < 𝑥Τ < 3ሽ 
 
8. A função inversa de 𝑓(𝑥) = 𝒙 − 𝟑 é dada por: 
 
a) 𝑓−1(𝑥) = −𝒙 − 𝟑 
b) 𝑓−1(𝑥) = −𝒙 + 𝟑 
c) 𝑓−1(𝑥) = 𝒙 − 𝟑 
d) 𝑓−1(𝑥) = 𝒙 + 𝟑 
e) 𝑓(𝑥) não tem inversa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
LIMITES 
 
 
 
2.1 NOÇÕES INTUITIVA DE LIMITE 
A melhor forma de trabalhar o conceito de “limite” dentro do contexto mate-
mático, é utilizar a intuição. 
Para isso vamos considerar um quadrado de lado 1 cm cuja área é 1 cm2, veja: 
 
 
Vamos começar a entender o conceito de limite por meio dos seguintes pas-
sos: 
 
Iremos calcular a área da metade da figura original. 
 
ÁREA = 0,5 x 1 = 0,5 cm2 
 
UNIDADE 
02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
Agora preencher metade da região restante e recalcular a área. 
 
ÁREA = (0,5 x 1) + (0,5 x 0,5) = 0,75 cm2 
 
Novamente iremos preencher metade da região restante e recalcular a área. 
 
ÁREA = (0,5 x 1) + (0,5 x 0,5) + (0,5 x 0,25) = 0,875 cm2 
 
Se continuarmos esse procedimento indefinidamente e de forma sucessiva, ire-
mos preencher, em quase sua totalidade, o quadrado inicial e, dessa forma, iremos 
perceber que a área que estamos calculamos de forma contínua irá se aproximar 
cada vez mais de 1 (um). 
Observe: 
 
0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; 0,96875; 0,984375; ... 
 
Dessa forma, dizemos que o limite dessa soma será 1 (um) ou que a área desse 
quadrado tente a 1 (um). 
Então, limite no contexto matemático indica que o resultado se aproxima de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
determinado valor sem, no entanto, atingir esse valor. Vamos agora abordar tal defi-
nição utilizando funções matemáticas com o intuito de obter sua formalização. Con-
sidere a função polinomial do 1º grau (f: ℝ → ℝ) definida por f(x) = x + 3 cujo gráfico 
está representado abaixo. 
 
Figura 14: Gráfico da função 𝐟(𝐱) = 𝐱 + 𝟑 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Observe no gráfico que conforme os valores de x (no eixo das abscissas) vai se 
aproximando do valor 4 (pelo seu lado esquerdo ou pelo seu lado direito), os valores 
de sua imagem f(x) vai se aproximando do valor 7. Observe tal comportamento na 
tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
2.2 DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE 
Dada uma determinada função f(x), se aproximarmos os valores de x indefini-
damente de um número “a”, seja pelo lado esquerdo ou pelo lado direito de x (o que 
denominamos de limites laterais), e o valores de f(x) se aproximar de uma determi-
nado valor “L”, podemos afirmar que o limite de f(x) quando x tente a “a” é igual a 
“L” e representamos por: 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) = 𝐋 
 
 
 
Exemplo: 
Considere uma função f: ℝ → ℝ definida por: f(x) = {
x2 − 4 para x ≠ 2
1 para x = 2
 
Vamos analisar o comportamento dessa função, ou seja, verificar o limite 
dessa função à medida que os valores de x se aproxima de 2. Observe o gráfico da 
figura abaixo: 
 
 
Após a análise dos limites laterais acima podemos concluir que o limite da função f(x) 
quando x tente a 4 é 7 e representamos por: 
 
lim
x→4
f(x) = 7 ou lim
x→4
x + 3 = 7 
 
Quando calculamos o limite de f(x) quando x 
tende para um determinadao número “a”, não 
estamos preocupados com o valor da função 
quando 𝐱 = 𝐚, e sim no comportamento da 
função quando x se aproxima de “a”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Figura 15: Gráfico da função 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Analisando o gráfico da função podemos observar que à medida que x se 
aproxima de 2 pela esquerda, a função se aproxima do valor 0 (zero). 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟐−
𝐟(𝐱) = 𝟎 
 
Analogamente, à medida que x se aproxima de 2 pela direita, a função tam-
bém se aproxima do valor 0 (zero). 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟐+
𝐟(𝐱) = 𝟎 
 
Então, podemos dizer que 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟐
𝐟(𝐱) = 𝟎 
Observe também que o valor da função em x = 2 é 1, ou seja, f(2) = 1. 
 
 
 
 
lim
x→2+
f(x) = 0 e f(2) = 1 portanto lim
x→2+
f(x) ≠ f(2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
A afirmação acima reforça o nosso interesse pelo comportamento da função 
para valores próximos de 2 e não quando x = 2. 
 
2.3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
Para termos um compreendimento efetivo acerca de continuidade de uma 
função, devemos recorrer à análise do seu gráfico. Se no gráfico for encontrado al-
guma interrupção ou salto em um determinado ponto, dizemos que houve uma des-
continuidade neste ponto. 
Para ilustrar e formalizar esse conceito, analisaremos os gráficos de algumas 
funções. Veja: 
 
Figura 16: Gráfico da função quadrática (esquerda)e hiperbólica (direita)Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 Para a função 𝐟(𝐱) = 𝐱𝟐 temos a parábola como gráfico e, para todo valor 
de x do seu domínio encontramos uma imagem para ele. 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚−
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚+
𝐟(𝐱) = 𝐟(𝐚) 
 
Ou seja, o limite sempre existe quando x tende para “a” e o seu valor é igual 
ao valor da função em “a”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
Para a função 𝐟(𝐱) =
𝟏
𝐱
 se for calculado o seu limite quando x tende a 0 (zero) 
pela esquerda encontraremos −∞, e se for calculado o seu limite quando x tende a 
0 (zero) pela direita encontraremos +∞. Ocorre daí uma descontinuidade no gráfico. 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎−
𝐟(𝐱) = −∞ 𝐞 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚+
𝐟(𝐱) = +∞ 
 
Concluímos então, pela análise do gráfico, que a primeira função é contínua 
e a segunda, por apresentar uma interrupção em seu gráfico, é descontínua. A for-
malização do conceito de função contínua se dá pela seguinte definição: 
 
 
 
Portanto se algumas das condições acima não for comtemplada a função 
será descontínua. 
 
Exemplo: Seja a função: f(x) = {
x para x ≤ 2
1 para x > 2
 
Observe, por meio do gráfico, que f(2) = 2 e desta forma a primeira condição 
foi contemplada. Mas, 
 
lim
x→2−
f(x) = 2 e lim
x→2+
f(x) = 1 
 
O seja, temos limites laterais diferentes o que nos permite constatar que não 
existe limite em x = 2 o que faz com que a segunda condição não seja comtemplada. 
Logo a função é descontínua. 
 
 
 
 
Uma função f(x) é considerada contínua em um dado ponto “a” se as condições abaixo 
forem satisfeitas: 
i) existe f(a) 
ii) existe lim
x→a
f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
Figura 17: Gráfico da função 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja mais sobre o assunto no livro “`Cálculo” de Thomas (2009). Disponível 
em em: https://bit.ly/3qCFln1. Acesso em: 10 fev. 2020; 
 
 
Leia também o livro “Cálculo” de Rogawski e Adams (2018). Disponível 
em: https://bit.ly/3ouwNgj. Acesso em: 10 fev. 2020; 
 
 
Por fim, de uma olhada na playlist “Curso Completo de Limites” do prof. 
Edson Bertosa em seu canal no Youtube. Disponível em: 
https://bit.ly/2VSbmJC. Acesso em Acesso em: 10 fev. 2020. 
 
https://bit.ly/3qCFln1
https://bit.ly/3ouwNgj
https://bit.ly/2VSbmJC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Analise o comportamento do gráfico de uma determinada função f(x) matemá-
tica e marque a alternativa correta. 
 
 
 O limite de f(x) quando x → 6 é 8. 
 
a) Não existe limite de f(x) quando x → 6. 
b) O limite de f(x) quando x → 6 pela direita é 7. 
c) O limite de f(x) quando x → 6 pela esquerda é 8. 
d) O limite de f(x) quando x → 6 é 7 
 
2. Analise as afirmativas apresentadas acerca do gráfico abaixo. 
 
 
I. Existe limite de f(x) quando x → - 2. 
II. O limite de f(x) quando x → 1 é 2. 
III. O limite de f(x) quando x → 6 é 0. 
IV. O limite de f(x) quando x → 7 pela esquerda é 3. 
V. Existe limite de f(x) quando x → 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
As afirmativas corretas são: 
 
a) todas as afirmativas estão corretas. 
b) somente as afirmativas III e IV estão corretas. 
c) somente as afirmativas III e V estão corretas. 
d) somente as afirmativas IV e V estão corretas. 
e) todas as afirmativas estão erradas. 
 
3. Analise as afirmativas apresentadas acerca do gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Existe limite de f(x) quando x → - 2. 
II. O limite de f(x) quando x → 1 é 2. 
III. O limite de f(x) quando x → 6 é 0. 
IV. O limite de f(x) quando x → 7 pela direita é 3. 
V. Existe limite de f(x) quando x → 7. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) todas as afirmativas estão corretas. 
b) somente as afirmativas III e IV estão corretas. 
c) somente as afirmativas III e V estão corretas. 
d) somente as afirmativas IV e V estáo corretas. 
e) todas as afirmativas estão erradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
4. Analise as afirmativas apresentadas acerca do gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. O limite de f(x) quando x → - 2 é – 6 
II. O limite de f(x) quando x → 2 é – 2. 
III. O limite de f(x) quando x → 0 é – 4. 
IV. O limite de f(x) quando x → 4 é 0. 
V. O limite de f(x) quando x → 7 é 3. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) todas as afirmativas estão corretas. 
b) somente as afirmativas II e VI estão corretas. 
c) somente as afirmativas III e V estão corretas. 
d) somente as afirmativas IV e VI estão corretas. 
e) todas as afirmativas estão erradas. 
 
5. Analise as afirmativas acerca da função 𝒇(𝒙) =
𝟏−𝒙
𝒙+𝟏
 . 
 
I. A função é descontínua para x = 0. 
II. A função é descontínua para x = -1. 
III. A função é contínua para x = 2. 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
a) Todas as afirmativas estão corretas. 
b) Nenhuma afirmativa está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
c) Somente a afirmativa I e II estão corretas. 
d) Somente a afirmativa II e III estão corretas. 
e) Somente a afirmativa I e III estão corretas. 
 
6. Analise as afirmativas acerca da função 
 
𝒇(𝒙) =
𝒙 + 𝟐
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎
 
 
I. A função é contínua para x = 2. 
II. A função é descontínua para x = 5. 
III. A função é descontínua para x = 2. 
IV. A função é contínua para x = 5. 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
a) Somente as afirmativas I e II estão corretas. 
b) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
c) Somente as afirmativas I e IV estão corretas. 
d) Somente as afirmativas III e IV estão corretas. 
e) Todas as afirmativas são falsas. 
 
7. Analise as afirmativas acerca da função 
 
f(x) = {
x + 2, se x ≠ 1
5, se x = 1
 
 
I. A função sempre será contínua. 
II. A função nunca será contínua. 
III. A função é contínua para x ≠ 1. 
IV. A função é descontínua para x = 1. 
 
 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
a) Somente as afirmativas I e II estão corretas. 
b) Somente as afirmativas I e III estão corretas. 
c) Somente as afirmativas I e IV estão corretas. 
d) Somente as afirmativas III e IV estão corretas. 
e) Todas as afirmativas são falsas. 
 
8. Dada a função f(x) = {
2x − 4, se x ≠ 1
−k, se x = 1
 , o valor de k para que essa função seja con-
tínua em x = 1 é: 
 
a) K = 5 
b) K = 4 
c) K = 3 
d) K = 2 
e) K = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS 
LIMITES 
 
 
 
 
Para iniciarmos os estudos das propriedades dos limites, vamos considerar duas 
f(x) e g(x) tais que: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) = 𝐋𝟏 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐠(𝐱) = 𝐋𝟐 𝐂 𝐮𝐦𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐚𝐥 (2) 
 
 
3.1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE 
O limite de uma função constante (3) é a própria constante: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐂 = 𝐂 
(3) 
 
Exemplo: lim
𝑥→1
10 = 10 
 
3.2 LIMITE DA SOMA DE DUAS FUNÇÕES 
O limite da soma (4) de duas funções é a soma dos seus limites: 
 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
[𝐟(𝐱) + 𝐠(𝐱)] = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) + 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐠(𝐱) = 𝐋𝟏 + 𝐋𝟐 (4) 
 
Exemplo: lim
𝑥→1
2𝑥 + 1 = lim
𝑥→1
2𝑥 + lim
𝑥→1
1 = 2 + 1 = 3 
 
 
 
 
 
UNIDADE 
03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
3.3 LIMITE DA DIFERENÇA DE DUAS FUNÇÕES 
O limite da diferença (5) de duas funções é a diferença dos seus limites: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
[𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱)] = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) − 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐠(𝐱) = 𝐋𝟏 − 𝐋𝟐 (5) 
 
Exemplo: lim
𝑥→1
3𝑥 − 4 = lim
𝑥→1
3𝑥 − lim
𝑥→1
4 = 3 − 4 = −1 
 
3.4 LIMITE DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES 
O limite do produto de duas funções (6) é o produto dos seus limites: 
 
 lim
x→a
[ f(x) ∙ g(x)] = lim
x→a
f(x) ∙ lim
x→a
g(x) = L1L2 (6) 
 
3.5 LIMITE DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES 
O limite do quociente de duas funções (7) é o quociente dos seus limites: 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱)
𝐠(𝐱)
= 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐠(𝐱) 
= 
𝐋𝟏
𝐋𝟐
 (7) 
Exemplo: 
lim
x→0
x + 2
2x − 3
=lim
x→0
(x + 2) 
lim
x→0
 (2x − 3) 
=
0 + 2
2.0 − 3
= −
2
3
 
 
3.6 LIMITE DA POTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO 
O limite da potência de uma função (8) é a potência do seu limite: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
[𝐟(𝐱)]𝐧 = [𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱)]
𝐧
= (𝐋𝟏)
𝐧 𝐬𝐞 𝐋𝟏 > 𝟎 (8) 
 
Exemplo: 
lim
x→1
(2x)3 = (lim
x→1
 2x)
3
= (2.1)3 = 23 = 8 
3.7 LIMITE DA RAIZ DE UMA FUNÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
O limite da raiz de uma função (9) é a raiz do seu limite: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
√𝐟(𝐱)
𝐧 = √𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱)𝐧 = √𝐋𝟏
𝐧 𝐬𝐞 𝐋𝟏 ≥ 𝟎 𝐞 𝐧 í𝐦𝐩𝐚𝐫 (9) 
 
Exemplo: lim √25𝑥
𝑥→1
= √lim
𝑥→1
25 = √25 = 5 
 
3.8 LIMITE DO LOGARITMO DE UMA FUNÇÃO 
O limite do logaritmo de uma função (10) é o logaritmo do seu limite: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
[𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐟(𝐱)] = 𝐥𝐨𝐠𝐛 [𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱)] = 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐋𝟏 𝐜𝐨𝐦 𝟎 < 𝐛 ≠ 𝟏 (10) 
 
Exemplo: lim
x→1
[log2(x + 7)] = log2 [lim
x→1
(x + 7)] = log2 8 = 3 
 
3.9 LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL 
O limite do logaritmo de uma função é o logaritmo do seu limite: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟(𝐱) = 𝐟(𝐚) 
(11) 
 
Exemplo: lim
x→1
3x4 + 2x3 − x2 + 2x − 7 = 3. 14 + 2. 13 − 12 + 2.1 − 7 = 13 
 
3.10 LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO 
Nesta seção iremos explorar o conceito de limites infinitos de funções quando 
x tende para infinito positivo ou negativo (±∞) ou quando x tende a 0 (zero). 
 
1) Limite de f(x) quando 𝐱 → ±∞. 
 
Vamos tentar entender este caso por meio da função 𝐟(𝐱) =
𝟏
𝐱
 cujo gráfico 
está representado na próxima página. 
Figura 18: Gráfico do limite de f(x) quando x→±∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Analisando o gráfico, podemos observar que, quando x tende a +∞, o valor 
de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma temos: 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→+∞
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→+∞
𝟏
𝐱
 = 𝟎 
 
Por outro lado, analisando o gráfico, podemos observar que, quando x tende 
a −∞, o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma temos: 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→−∞
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→−∞
𝟏
𝐱
 = 𝟎 
 
2) Limite de f(x) quando 𝐱 → 𝟎. 
Vamos tentar entender este caso por meio da função 𝐟(𝐱) =
𝟏
𝐱
 cujo gráfico 
está representado na próxima página. 
 
Figura 19: Gráfico do limite de f(x) quando 𝐱 → 𝟎. 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Analisando o gráfico, podemos observar que, quando x tende a 0+ (tende a 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
pela direita), o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma te-
mos: 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎+
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎+
𝟏
𝐱
 = +∞ 
 
Por outro lado, analisando o gráfico, podemos observar que, quando x tende 
a 0 (tende a 0 pela esquerda), o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). 
Dessa forma temos: 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎−
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎−
𝟏
𝐱
 = −∞ 
 
 
 
3.11 LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS QUANDO 𝒙 → ±∞. 
Seja dada uma função polinomial definida por 
 
𝐟(𝐱) = 𝐚𝐧𝐱
𝐧 + 𝐚𝐧−𝟏𝐱
𝐧−𝟏 + ⋯ + 𝐚𝟐𝐱
𝟐 + 𝐚𝟏𝐱 + 𝐚𝟎. 
 
Assim teremos que (12): 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝐱→±∞
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→±∞
(𝐚𝐧𝐱
𝐧) (12) 
 
Ou seja: 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→±∞
𝐚𝐧𝐱
𝐧 + 𝐚𝐧−𝟏𝐱
𝐧−𝟏 + ⋯ + 𝐚𝟐𝐱
𝟐 + 𝐚𝟏𝐱 + 𝐚𝟎 = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→±∞
(𝐚𝐧𝐱
𝐧) 
 
Exemplos: 
 
a) lim
𝑥→+∞
𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1 = lim
𝑥→+∞
𝑥3 = + ∞ 
 
i) lim
x→±∞
k
f(x)
= 0 ii) lim
x→0+
k
f(x)
= +∞ iii) lim
x→0−
k
f(x)
= −∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
b) lim
𝑥→−∞
𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1 = lim
𝑥→−∞
𝑥3 = − ∞ 
 
c) lim
𝑥→−∞
(−𝑥3 + 𝑥2 + 2) = lim
𝑥→−∞
(−𝑥3) = + ∞ 
 
d) lim
𝑥→+∞
(4𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 1) = lim
𝑥→+∞
(4𝑥3) = + ∞ 
 
e) lim
𝑥→−∞
(−2𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1) = lim
𝑥→−∞
(−2𝑥4) = − ∞ 
 
 
 
Sejam dados dois polinômios a saber: 
𝒑(𝒙) = 𝒑𝒕𝒙
𝒕 + 𝒑𝒕−𝟏𝒙
𝒕−𝟏 + ⋯ + 𝒑𝟐𝒙
𝟐 + 𝒑𝟏𝒙 + 𝒑𝟎 
𝒒(𝒙) = 𝒒𝒔𝒙
𝒔 + 𝒒𝒔−𝟏𝒙
𝒔−𝟏 + ⋯ + 𝒒𝟐𝒙
𝟐 + 𝒒𝟏𝒙 + 𝒒𝟎 
1º caso) Grau P(x) > Q(x), ou seja, t > s 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
= ±∞ 
2º caso) Grau P(x) < Q(x), ou seja, t < s 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
= 𝟎 
3º caso) Grau P(x) = Q(x) , ou seja, t = s 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
=
𝒑𝒕
𝒒𝒔
 
 
Veja mais sobre o assunto no livro “`Cálculo” de Thomas (2009). Disponível 
em em: https://bit.ly/3qCFln1. Acesso em: 12 fev. 2020; 
 
 
Leia também o livro “Cálculo” de Rogawski e Adams (2018). Disponível 
em: https://bit.ly/3ouwNgj. Acesso em: 12 fev. 2020; 
 
 
Por fim, de uma olhada na playlist “Curso Completo de Limites” do prof. 
Edson Bertosa em seu canal no Youtube. Disponível em: 
https://bit.ly/2VSbmJC. Acesso em Acesso em: 12 fev. 2020. 
 
https://bit.ly/3qCFln1
https://bit.ly/3ouwNgj
https://bit.ly/2VSbmJC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Analise o limite abaixo. 
lim
𝑥→+∞
7𝑥3
4𝑥 + 3𝑥2
 
 
O resultado desse limite é: 
 
a) 7 3⁄ 
b) 0 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) 7 4⁄ 
 
2. Analise o limite abaixo. 
 
lim
𝑥→+∞
6𝑥4
4 − 𝑥4
 
 
O resultado desse limite é: 
 
a) 6 4⁄ 
b) 0 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) −6 
 
3. Analise o limite abaixo. 
 
lim
𝑥→+∞
1 + 4𝑥2
1 − 2𝑥3
 
 
O resultado desse limite é: 
 
a) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
b) 0 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) 4 
 
4. Analise o limite abaixo. 
 
lim
𝑥→+∞
−𝑥5 + 𝑥3
𝑥2 + 1
 
 
O resultado desse limite é: 
 
a) 1 
b) 0 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) −1 
 
5. Analise o limite abaixo. 
 
lim
𝑥→3
[𝑓(𝑥) − 𝑥] = 8 
 
Então o resultado lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) é: 
 
a) 5 
b) 0 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) 11 
 
6. Analise o limite abaixo. 
 
lim
𝑥→3
[𝑓(𝑥). 𝑥] = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Então o resultado lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) é: 
 
a) 0 
b) 2 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) 3 
 
7. Analise o limite abaixo. 
 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 
 
O resultado desse limite é: 
(sugestão: fatore o numerador antes de calcular o limite) 
 
a) 0 
b) 2 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) 1 
 
8. Analise o limite abaixo. 
 
lim
𝑥→5
𝑥2 − 5𝑥
𝑥 − 5
 
 
O resultado desse limite é: 
(sugestão: fatore o numerador antes de calcular o limite) 
a) 0 
b) 2 
c) 5 
d) -5 
e) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
DERIVADAS 
 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
Por volta dos séculos XVII e XVIII apareceu, por meio de problemas de Física 
acerca dos estudos dos movimentos, o conceito do que conhecemos hoje por deri-
vada de uma função. Dentre os estudiosos que mais se destacaram neste assunto 
foram Newton (1642 – 1727), Leibniz (1646 – 1716) e Lagrange (1736 – 1813). A primeiras 
conjecturas trabalhadas dentro da Física foram, de maneira lenta, introduzidas pos-
teriormente em outras ciências. 
A ideia de taxa de variação que o estudo das derivadas nos traz, auxilia na 
observação do comportamento de funções matemáticas assim como, a determina-
ção de seus valores críticos (máximo, mínimos e inflexão). 
 
4.2 TAXA DE VARIAÇÃO 
Iniciando nossos estudos de forma intuitiva, vamos fazer um tratamento gráfico 
do assunto. 
Tomemos uma função f(x) e x0 e x1 dois valores pertencentes ao seu domínio. 
Dessa forma, segundo estudos anteriores, sabemos que f(x0) e f(x1) são imagens dos 
valores considerados. Tal função está representada na figura abaixo. 
 
Figura 20: Taxa de variação média 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
A TAXA DE VARIAÇÂO MÉDIA mede a velocidade ou o ritmo em que os valores 
da imagem variam em relação aos valores do domínio. 
Exemplo: 
 
Vamos considerar o espaço percorrido (S em metros) de uma partícula em um 
determinado tempo (t em segundos). Sendo t a variável independente e S a variável 
dependente temos que o espaço percorrido em função do tempo pode ser expresso 
por S(t) e iremos denominar de função horária. Tais informações estão representadas 
no gráfico abaixo. 
 
Figura 21: Gráfico da taxa de variação média 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Observe que, entre os instantes de tempo t0 e t1 a partícula possui desloca-mento de S(t0) e S(t1). Logo, a variação média (velocidade média) dentro do inter-
valo de tempo é dada por: 
 
Vm = 
∆S
∆t
=
S(t1) − S(t0)
t1 − t0
 
 
4.3 VISÃO GRÁFICA DA DERIVADA 
Como já sabemos, a declividade de uma reta, ou seja, sua inclinação pode 
ser obtida da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
Dado dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) de uma reta teremos a relação (9), mos-
trada no gráfico a seguir: 
 
 
𝐦 =
∆𝐲
∆𝐱
=
𝐲𝟐 − 𝐲𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
= 𝐭𝐠 𝛂 = 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 (13) 
 
Figura 22: Gráfico da reta 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Uma reta, ao tangenciar a curva de uma função em um determinado ponto 
x0, possui uma dada inclinação cujo valor é o valor da derivada da função no ponto 
x0 e representamos essa derivada por f
′(x0). 
 
Figura 23: Gráfico da reta tangente 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Tal derivada f ′(x0) pode ser obtida por meio da relação (14): 
 
 
𝐟′(𝐱𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐱𝐨
𝐟(𝐱) − 𝐟(𝐱𝟎)
𝐱 − 𝐱𝟎
 (14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
Esse limite foi aplicado para podermos transformar uma reta secante à curva 
da função em uma reta tangente à mesma. Obtemos então: 
 
Figura 24: Gráfico da reta secante 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
𝐥𝐢𝐦
∆𝐱→𝟎
∆𝐱
∆𝐲
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝐱→𝟎
𝐲𝟏 − 𝐲𝟎
𝐱𝟏 − 𝐱𝟎
= 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐱𝐨
𝐟(𝐱𝟏) − 𝐟(𝐱𝟎)
𝐱𝟏 − 𝐱𝟎
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determinar a derivada da função 𝐟(𝐱) = 𝟑𝐱𝟐 no ponto de abscissa 𝐱𝟎 = 𝟐. 
Sendo x0 = 2 então f(x0) = f(2) = 3.2
2 = 3.4 = 12 
 
Aplicando a definição dada de derivada teremos: 
f´(x) = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
 
f´(2) = lim
x→2
3x2 − 12
x − 2
 
Para encontrarmos a derivada em um ponto 𝑥0 basta calcular: 
 
𝐅𝐮𝐧çã𝐨 𝐃𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 → 𝐟´(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐱𝟎
𝐟(𝐱) − 𝐟(𝐱𝟎)
𝐱 − 𝐱𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
f´(2) = lim
x→2
3(x + 2)(x − 2)
x − 2
 
f´(2) = lim
x→2
 3(x + 2) = 12 
 
O número 12 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 
f(x) = 3x2 no ponto de abscissa 2. 
 
2) Determinar a derivada da função 𝐟(𝐱) = 𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 no ponto de abscissa 𝐱𝟎 = 𝟔. 
Sendo x0 = 6 então f(x0) = f(6) = 6
2-2.6 = 36-12 = 24 
 
Aplicando a definição dada de derivada teremos: 
f´(x) = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
 
f´(6) = lim
x→6
x2 − 2x − 24
x − 6
 
f´(6) = lim
x→6
(x + 4)(x − 6)
x − 6
 
f´(6) = lim
x→6
 x + 4 = 10 
 
O número 10 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 
f(x) = x2 − 2x no ponto de abscissa 6. 
 
 
 
Veja mais sobre o assunto no livro “`Cálculo” de Thomas (2009). Disponível 
em em: https://bit.ly/3qCFln1. Acesso em: 14 fev. 2020; 
 
 
Leia também o livro “Cálculo” de Rogawski e Adams (2018). Disponível 
em: https://bit.ly/3ouwNgj. Acesso em: 14 fev. 2020; 
 
 
Por fim, assista o vídeo “Derivada – Definição e Cálculo” do Prof. Paulo 
Pereira para aprofundar ainda mais seus conhecimentos. Disponível em: 
https://bit.ly/33Rxk3T. Acesso em Acesso em: 14 fev. 2020. 
 
https://bit.ly/3qCFln1
https://bit.ly/3ouwNgj
https://bit.ly/33Rxk3T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = 5x2 (pela definição) para x = 1, en-
contramos como resultado: 
 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
2. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = x3 + 2x (pela definição) para x = 1, 
encontramos como resultado: 
 
a) –5 
b) 5 
c) 0 
d) – 1 
e) 1 
 
3. Ao calcularmos a derivada da função f(x) =
x4
x3
 (pela definição) para x = 1, encon-
tramos como resultado: 
 
a) 2 
b) 0 
c) 1 
d) 3 
e) -1 
 
4. Ao calcularmos a derivada a função f(x) = x2. x3 (pela definição) para x = 1, en-
contramos como resultado: 
 
a) 1 
b) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
c) 4 
d) – 5 
e) -4 
 
5. O resultado de lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
 para f(x) = 3x é: 
 
a) 3 
b) 0 
c) +∞ 
d) -∞ 
e) −3 
 
6. O resultado de lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
 para f(x) = −x2 − x é: 
 
a) – 2x – 1 
b) 2 
c) 2x +1 
d) 1 
e) 0 
 
7. A derivada da função (pela definição) f(x) = −x−1 é: 
 
a) 1/x2 
b) 1/x 
c) – 1/x2 
d) – 1/x 
e) 0 
 
8. A derivada da função (pela definição) f(x) =
6 x−1.x2
3
 é: 
 
a) x2 
b) x-1 
c) x/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
d) 2 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 
 
 
 
 
 
Acabamos de ver na seção anterior, como se calcula a derivada de uma fun-
ção em um determinado ponto por meio da definição gráfica. 
Nesta seção iremos aprender como calcular as derivadas por meio de técni-
cas que tornam esses cálculos mais simples. 
Tais técnicas serão, neste material, denominadas de “Técnicas de Derivação”. 
 
5.1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE 
Dada uma constante k (número real) de tal forma que uma função é definida 
por f(x) = k diremos que f´(x) = 0. Temos então (14): 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐤 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝟎 (15) 
 
Exemplo: 
 f(x)=6 então f´(x)=0 
f(x)=-10 então f´(x)=0 
f(x)=√8 então f´(x)=0 
 
5.2 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO POTÊNCIA 
Dada uma função definida por f(x) = xn diremos que f´(x) = nxn−1. Temos então 
a relação (15): 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐱𝐧 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐧𝐱𝐧−𝟏 (16) 
 
Exemplos: 
f(x) = x9 
então 
f´(x) = 9x9−1 = 9x8 
UNIDADE 
05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
f(x) = x−3 
 então 
f´(x) = −3x−3−1 = 3x−4 =
3
x4
 
 
f(x) = x
3
4 
então 
 
f´(x) =
3
4
x
3
4
−1 =
3
4
x−
1
4 =
3
4√x
4 
 
f(x) =
1
√x2
3 = x
−
2
3 
então 
 
f´(x) = −
2
3
x−
2
3
−1 = −
2
3
x−
5
3 = −
2
3√x5
3 = −
2
3x√x2
3 
 
5.3 DERIVADA DO PRODUTO ENTRE UMA CONSTANTE E FUNÇÃO 
Dada uma constante k (número real) de tal forma que uma função é definida 
por f(x) = kg(x) diremos que f´(x) = k. g´(x). Logo, temos a relação (17) 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐤𝐠(𝐱)𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐤. 𝐠´(𝐱) (17) 
 
Exemplos: 
 
 f(x) = 6x2 
então 
f´(x) = 6.2x2−1 = 6.2x = 12x 
 
f(x) =
4
3
x9 
 então 
f´(x) =
4
3
. 9x9−1 =
4
3
. 9x8 = 3.3x8 = 9x8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
f(x) =
2
x4
= 2x−4 
então 
f´(x) = 2. (−4)x−4−1 = −8x−5 =
−8
x5
 
 
5.4 DERIVADA DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DUAS FUNÇÕES 
Dadas duas funções g(x) e f(x) de tal forma que uma função é definida por 
f(x) = g(x) ± h(x) diremos que f´(x) = g´(x) ± h´(x). Logo, temos que: 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐠(𝐱) ± 𝐡(𝐱) 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐠´(𝐱) ± 𝐡´(𝐱) (18) 
 
 
Exemplos: 
 
f(x) = x3 + x2 + x + 1 
então 
f´(x) = 3x3−1 + 2x2−1 + 1x1−1 + 0 = 3x2 + 2x + 1 
 
f(x) = 4x3 − 3x2 
então 
f´(x) = 4.3x3−1 − 3.2x2−1 = 12x2 − 6x 
 
5.5 DERIVADA DO PRODUTO ENTRE DUAS FUNÇÕES 
Dadas duas funções g(x) e f(x) de tal forma que uma função é definida por 
f(x) = g(x). h(x) diremos que f´(x) = g´(x)h(x) + g(x)h´(x). Logo, tem-se a relação (19) 
 
 𝐒𝐞𝐟(𝐱) = 𝐠(𝐱). 𝐡(𝐱) 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐠´(𝐱)𝐡(𝐱) + 𝐠(𝐱)𝐡´(𝐱) (19) 
 
Exemplos: 
 
f(x) = (x3 − 3x)(5 + 2x) 
então 
f´(x) = (3x3−1 − 3)(5 + 2x) + (x3 − 3x)(0 + 2) 
= (3x2 − 3)(5 + 2x) + (x3 − 3x)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
= 15x2 + 6x2 − 15 − 6x + 2x3 − 6x 
= 2x3 + 21x2 − 12x − 15 
f(x) = 4x(3x − 1)(2x + 3) = (12x2 − 4x)(4x + 3) 
então 
f´(x) = (12.2x2−1 − 4)(2x + 3) + (12x2 − 4x)(4 + 0) 
= (24x − 4)(2x + 3) + (12x2 − 4x)4 
= 28x2 + 72x − 8x + 12 + 24x2 − 16x 
= 52x2 + 48x + 12 
 
f(x) = (6x + 1)x3 
então 
f´(x) = (6 + 0)x3 + (6x + 1). 3x2 
= 6x3 + 18x3 + 3x2 
= 24x3 + 3x2 
 
5.6 DERIVADA DO QUOCIENTE ENTRE DUAS FUNÇÕES 
Dadas duas funções g(x) e f(x) de tal forma que uma função é definida por 
f(x) =
g(x)
h(x)
 diremos que f´(x) =
g´(x)h(x) − g(x)h´(x)
[h(x)]2
. Temos então a relação (20): 
 
 
𝐒𝐞 𝐟(𝐱) =
𝐠(𝐱)
𝐡(𝐱)
 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟(𝐱)′ =
𝐠´(𝐱). 𝐡(𝐱) − 𝐠(𝐱). 𝐡(𝐱)′
[𝐡(𝐱)]𝟐
 (20) 
 
Exemplos: 
 
f(x) =
(x2 + 1)
x − 3
 
então 
f´(x) =
(2x)(x − 3) − (x2 + 1)(1)
(x − 3)2
 
=
2x2 − 6x − (x2 + 1)
(x − 3)2
 
=
2x2 − 6x − x2− 1
(x − 3)2
 
=
x2 − 6x + 1
(x − 3)2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
f(x) =
(3x − 7)
x2 − 3
 
 
então 
 
f´(x) =
(2x)(x − 3) + (x2 + 1)(−3)
(x − 3)2
 
=
2x2 − 6x + (−3x2 − 3)
(x − 3)2
 
=
2x2 − 6x − 3x2 − 3
(x − 3)2
 
=
−x2 − 6x − 3
(x − 3)2
 
 
f(x) =
(6x − 1)
x2 + x
 
então 
 
f´(x) =
(6x)(x2 + x) − (6x − 1)(2x + 1)
(x2 + x)2
 
=
6x3 − 6x2 − (12x2 + 6x − 2x − 1)
(x2 + x)2
 
=
6x3 − 6x2 − 12x2 − 6x + 2x + 1
(x2 + x)2
=
6x3 − 18x2 + 8x − 4x + 1)
(x2 + x)2
 
 
5.7 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Dadas a f(x) por f(x) = ax com a ≠ 1 e x ∈ ℝ então diremos sua derivada será 
que f´(x) = axlna. Temos a relação (21) 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐚𝐱𝐥𝐧𝐚 (21) 
 
Exemplos: 
 
f(x) = 5x 
então 
f´(x) = 5x. ln5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
f(x) = (
5
4
)
x
 
então 
f´(x) = (
5
4
)
x
. ln (
5
4
) 
 
f(x) = (√10)
x
 
então 
f´(x) = √10
x
. ln√10 
 
 
5.8 DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Dadas a f(x) por f(x) = loga x com a > 0 e x ∈ ℝ+
∗ então diremos sua derivada 
será que f´(x) =
1
xlna
. Temos então que (22) 
 
 
𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) =
𝟏
𝐱𝐥𝐧𝐚
 (22) 
 
Exemplo: 
 
f(x) = log2 x 
então 
f´(x) = 
1
xln2
 
 
f(x) = log4 x 
então 
f´(x) = 
1
xln4
 
 
Como consequência da técnica nº 7 temos que: 
Se f(x)=ex então f '(x)=ex lne=ex.1=ex 
Logo, 
se f(x)=ex então f '(x)=ex 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
f(x) = loga x 
então 
f´(x) = 
1
xln10
 
 
 
 
5.9 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS DERIVADAS 
 
O que são funções trigonométricas? As funções trigonométricas são funções 
denominadas angulares de muita importância no estudo dos triângulos e de fenô-
menos que apresentam periodicidade. Elas são definidas por meio de razões entre 
lados de triângulos que, por sua vez, estão em função dos ângulos presentes neste 
mesmo triângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos 
no círculo unitário. 
 
5.9.1 Principais razões trigonométricas 
Seja o triângulo retângulo ABC. Temos: 
 
 
 
 
 
Definimos: 
 Seno do ângulo α 
sen α =
cateto oposto a "α"
hipotenusa
=
c
a
 
 
Como consequência da técnica nº 7 temos que 
Se f(x)=ln x então f ′(x)=
1
xlne
=
1
x.1
=
1
x
 
Logo, 
 se f(x)=ln x então f ′(x)=
1
x
 
 a = hipotenusa 
 b = cateto adjacente ao ângulo 𝛼 
 c = cateto oposto ao ângulo 𝛼 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
𝐬𝐞𝐧 𝛂 =
𝐜
𝐚
 
 Cosseno do ângulo α 
cos α =
cateto adjacente a "α"
hipotenusa
=
b
a
 
 
𝐬𝐞𝐧 𝛂 =
𝐛
𝐚
 
 
 Tangente do ângulo α 
tg α =
cateto oposto a "α"
cateto adjacente a "α"
=
c
b
 
𝐭𝐠 𝛂 =
𝐜
𝐛
 (𝐭𝐚𝐦𝐛é𝐦 𝐩𝐨𝐝𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐞𝐯𝐞𝐫: 𝐭𝐠 𝛂 =
𝐬𝐞𝐧 𝛂
𝐜𝐨𝐬 𝛂
 ) 
 
 Secante do ângulo α: É definido como o valor inverso do cosseno. 
 
sec α =
1
cos α
=
1
b
a
=
a
b
 
𝐬𝐞𝐜 𝛂 =
𝐚
𝐛
 
 
 Cossecante do ângulo α: É definido como o valor inverso do seno. 
 
cossec α =
1
sen α
=
1
c
a
=
a
c
 
𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝛂 =
𝐚
𝐜
 
 
 Cotangente do ângulo α: É definido como o valor inverso da tangente. 
 
cotg α =
1
tg α
=
1
c
b
=
b
c
 
𝐬𝐞𝐜 𝛂 =
𝐛
𝐜 
(𝐭𝐚𝐦𝐛é𝐦 𝐩𝐨𝐝𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐞𝐯𝐞𝐫: 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝛂 =
𝐜𝐨𝐬 𝛂
𝐬𝐞𝐧 𝛂
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
 
5.9.2 Derivada das funções trigonométricas 
 Função Seno (23) 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐬𝐞𝐧 𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐜𝐨𝐬 𝐱 (23) 
 
 Função Cosseno (24) 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = −𝐬𝐞𝐧 𝐱 (24) 
 
 
 
 Função tangente (25): 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐭𝐠 𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝐱 (25) 
 
Demonstração: 
Sabemos que tg x=
sen x
cos x
 então, utilizando a regra do quociente teremos: 
 
f(x)= 
sen x
cos x
 (que é a função a ser derivada) 
Logo: 
 
f´(x) =
(sen x)´(cos x) − (sen x)(cos x)´
cos2x
 
f´(x) =
cos x . cos x − (sen x)(−sen x)
cos2x
 
f´(x) =
cos2x + sen2x
cos2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
f´(x) =
1
cos2x
 
f´(x) = (
1
cos x
)
2
 
f´(x) = (sec x)2 
𝐟´(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱 
 
 Função secante (26): 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 . 𝐭𝐠 𝐱 (26) 
 
Demonstração: 
 
Sabemos que sec x=
1
cos x
 então, utilizando a regra do quociente teremos: 
 
f(x)= 
1
cos x
 (que é a função a ser derivada) 
 
Logo: 
f´(x) =
(1)´(cos x) − (1)(cos x)´
cos2x
 
f´(x) =
0. cos x − (1)(−sen x)
cos2x
 
f´(x) =
0 + senx
cos2x
 
f´(x) =
0 + senx
cos2x
 
f´(x) =
senx
cos2x
 
f´(x) =
sen x
cos x . cos x
 
f´(x) =
1
cos x
 ×
sen x
cos x
 
f´(x) = sec x × tgx 
𝐟´(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐭𝐠 𝐱 
 
 Função cossecante (27): 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = −𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝐱 . 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝐱 (27) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
Demonstração: 
 
Sabemos que cossec x=
1
sen x
 então, utilizando a regra do quociente teremos: 
 
f(x)= 
1
sen x
 (que é a função a ser derivada) 
 
Logo: 
 
f´(x) =
(1)´(sen x) − (1)(sen x)´
sen2x
 
f´(x) =
0. sen x − (1)(cos x)
sen2x
 
f´(x) =
0 − cos x
sen2x
 
f´(x) =
− cos x
sen2x
 
f´(x) =
− cos x
sen x . sen x
 
f´(x) =
−1
sen x
 ×
cos x
sen x
 
f´(x) = − cossec x × cotgx 
𝐟´(𝐱) = − 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝐱 
 
 Função cotangente (28): 
 
 𝐒𝐞 𝐟(𝐱) = 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝐱 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐟´(𝐱) = − 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜𝟐 𝐱 (28) 
 
Demonstração: 
 
Sabemos que cotgx =
cos x
sen x
 então, utilizando a regra do quociente teremos: 
 
f(x)= 
cos x
sen x
 (que é a função a ser derivada) 
 
Logo: 
 
f´(x) =
(cos x)´(sen x) − (cos x)(sen x)´
sen2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
f´(x) =
− senx . sen x − cos x cos x
sen2x
 
f´(x) =
−sen2x − cos2x
sen2x
 
f´(x) =
− (sen2x + cos2x)
sen2x
 
f´(x) =
−1
sen2x
 
f´(x) = − (
1
sen x
)
2
 
f´(x) = − (cossec x)2 
𝐟´(𝐱) = − 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜𝟐 𝐱 
𝐟´(𝐱) = − 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝐱 
 
5.10 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) 
Se temos uma função f(x) derivável em um dado ponto x e uma outra função 
g(x) derivável em f(x), então podemos dizer que a função composta g ∘ f ou g[f(x)] é 
derivável no ponto x dado, como mostra a Figura 23: 
 
Figura 25: Derivada da função composta 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Então, tem-se a relação (29) 
 
 𝐡´(𝐱) = (𝐠 ∘ 𝐟)´(𝐱) = 𝐠´[𝐟(𝐱)]. 𝐟´(𝐱) (29) 
 
Exemplo: 
 
Dadas as funções: f(x) = x2 − 1 e g(x) = y2 
Vamos calcular (𝐠 ∘ 𝐟)´(𝐱) e depois 𝐠´[𝐟(𝐱)]. 𝐟´(𝐱) e confirmar que são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
Resolução: 
 
 (g ∘ f)(x) = g[f(x)] = g(x2 − 1) = (x2 − 1)2 = x4 − 2x2 + 1 
(g ∘ f)´(x) = 𝟒𝐱𝟑 − 𝟒𝐱 
 
 f´(x) = 2x 
g´(x) = 2y 
g´[f(x)] = g´(x2 − 1) = 2x2 − 2 
g´[f(x)]. f´(x) = (2x2 − 2)2x = 𝟒𝐱𝟑 − 𝟒𝐱 
 
Portanto, 
(g ∘ f)´(x) = g´[f(x)]. f´(x) 
 
Vamos ver agora um resumo das regras vistas até agora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
Quadro 1: Regras de Derivação – Resumo 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja mais sobre o assunto no livro “`Cálculo” de Thomas (2009). Disponível 
em em: https://bit.ly/3qCFln1. Acesso em: 19 fev. 2020; 
 
Leia também o livro “Cálculo” de Rogawski e Adams (2018). Disponível 
em: https://bit.ly/3ouwNgj. Acesso em: 19 fev. 2020; 
 
Por fim, assista a playlist “Cálculo 1” do Prof. Ferreto para aprofundar 
ainda mais seus conhecimentos. Disponível em: https://bit.ly/2JUubcB. 
Acesso em Acesso em: 19 fev. 2020. 
https://bit.ly/3qCFln1
https://bit.ly/3ouwNgj
https://bit.ly/2JUubcB
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
FIXANDO O CONTÉUDO 
1. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = cos(x2) encontramos como resultado: 
 
a) −2xcos(x2) 
b) −2xsen(x2) 
c) −2xcotg(x2) 
d) −2xcosec(x2) 
e) −2xtg(x2) 
 
2. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = 4x
3
 encontramos como resultado: 
 
a) 4x
3
. 3x2. ln4 
b) 42x
3
. 2x2.ln4 
c) 4x
3
. ln4 
d) 4x. ln4 
e) x. ln4 
 
3. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = sec(x2) encontramos como resultado: 
 
a) 2sec(x2)tg(x2) 
b) 2xsec(x2)sec(x2) 
c) 2sec(x2)cotg(x2) 
d) 2xsec(x2)tg(x2) 
e) 2xcosec(x2)tg(x2) 
 
4. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = cosec (x3) encontramos como resul-
tado: 
 
a) −cosec(x3) . cotg(x3). x 
b) cosec(x3) . cotg(x3) 
c) −cosec(x3) . cotg(x3). 3x2 
d) cosec(3x2) . cotg(3x2). 2x 
e) −co sec(x2) . cotg(x2). 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
5. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = −senx. cosx encontramos como resul-
tado: 
 
a) − cos2 x + sen2x 
b) − cos2 x − sen2x 
c) cos2 x − sen2x 
d) cos2 x + sen2x 
e) 0 
 
6. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = sen2(x) + cos2(x) + senx encontramos 
como resultado: 
 
a) 1 
b) 0 
c) Senx 
d) Cosx 
e) 2 
 
7. Ao calcularmos a derivada da função f(x) =
cos2(x)
sen2(x)
 encontramos como resultado: 
 
a) −2cotg2x. cosecx 
b) cotg2x. cosec2x 
c) −xcotgx. cosec2x 
d) 2cotgx. cosec2(x2) 
e) −2cotgx. cosec2x 
 
8. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = tgx. cotgx encontramos como resul-
tado: 
 
a) tgx 
b) secx 
c) cossecx 
d) cotgx 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
ESTUDO DO COMPORTAMENTO 
DAS FUNÇÕES 
 
 
6.1 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES 
Na seção 1.11 deste material mencionamos o comportamento crescente ou 
decrescente do gráfico de uma função. Nesta seção iremos detalhar os conceitos 
de crescimento e decrescimento das funções, assim como seus pontos críticos (má-
ximo, mínimo e inflexão). Para darmos início a este estudo, devemos tomar conheci-
mento de três teoremas fundamentais acerca deste assunto. 
 
 1º TEOREMA: Suponha que f(x) seja uma função contínua no intervalo fe-
chado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então, existe um ponto 
“c” do intervalo [a, b] tal que existe a relação (30): 
 
 
f ′(c) =
f(b) − f(a)
b − a
 (30) 
 
Na figura podemos perceber que a reta r possui coeficiente angular igual a 
f(b)−f(a)
b−a
. Dentro do intervalo ]a, b[ há um valor c, de forma que a reta s tangencia o 
gráfico de f(x) nesse ponto de abscissa c. Dessa forma, como as retas r e s (que são 
paralelas), apresentarão os mesmos coeficientes angulares e como o coeficiente an-
gular da reta s é dado por f´(c), temos que f´(c) =
f(b)−f(a)
b−a
 . 
 
Figura 26: Gráfico do 1º Teorema 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
Exemplo: Dada a função f(x) = x2 + 5x definida no intervalo [1, 3]. Determine o 
ponto c tal que f´(c) =
f(3)−f(1)
3−1
. 
 
Sabemos que f(1) = 6, f(3) = 24 e f´(x) = 2x = 5. 
 
Queremos encontrar "c " tal que: f´(c) = 
24-6
3-1
,ou seja, 2c+5 = 
24-6
3-1
 →c = 2 
 
 2º TEOREMA: Se para todo 𝐱 ∈ ]𝐚, 𝐛[ tivermos 𝐟´(𝐱) > 𝟎, então 𝐟(𝐱) é crescente 
em todo intervalo ]𝐚, 𝐛[ 
 3º TEOREMA: Se para todo 𝐱 ∈ ]𝐚, 𝐛[ tivermos 𝐟´(𝐱) < 𝟎, então 𝐟(𝐱) é decres-
cente em todo intervalo ]𝐚, 𝐛[ 
 
Exemplos: 
 
1) Dada a função f(x) = 2x2 − 8x temos f´(x) = 4x − 8 
 
 Sinal de f´(x): 
Figura 27: Sinal de 𝐟´(𝐱) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 Comportamento de f(x) 
Figura 28: Gráfico do comportamento de 𝐟(𝐱) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Logo, 
𝐀 𝐟𝐮𝐧çã𝐨 𝐟(𝐱) 𝐬𝐞𝐫á 𝐝𝐞𝐜𝐫𝐞𝐬𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 < 𝟐 
 𝐀 𝐟𝐮𝐧çã𝐨 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐫á 𝐝𝐞𝐜𝐫𝐞𝐬𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 > 𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
2) Dada a função f(x) =
2x3
6
−
4x2
2
+ 3x + 10 temos f´(x) = x2 − 4x + 3. 
 
 Sinal de f´(x): 
Figura 29: Sinal de 𝐟´(𝐱) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 Comportamento de f(x) 
 
Figura 30: Gráfico do comportamento de 𝐟(𝐱) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Logo, 
 
𝐀 𝐟𝐮𝐧çã𝐨 𝐟(𝐱) 𝐬𝐞𝐫á 𝐜𝐫𝐞𝐬𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 < 𝟏 
 𝐀 𝐟𝐮𝐧çã𝐨 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐫á 𝐝𝐞𝐜𝐫𝐞𝐬𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝟏 < 𝐱 < 𝟑 
𝐀 𝐟𝐮𝐧çã𝐨 𝐟(𝐱)𝐬𝐞𝐫á 𝐜𝐫𝐞𝐬𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 > 𝟑 
 
 
6.2 PONTOS CRÍTICOS 
O ponto crítico de uma função em um dado ponto surge a partir do momento 
que encontramos o valor da derivada igual a 0 (zero) neste ponto, ou seja, f´(x) = 0. 
A partir daí, podemos utilizar alguns critérios para classificar esse ponto crítico 
Em resumo: 
 Se f´(x) > 0 em ]a, b[ então f(x) será crescente em ]a, b[. 
 Se f´(x) = 0 em ]a, b[ então f(x) será constante em ]a, b[. 
 Se f´(x) < 0 em ]a, b[ então f(x) será decrescente em ]a, b[. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
em ponto de máximo, ponto de mínimo ou ponto de inflexão. 
 
1) Critério da 1ª derivada da função 
 
Consideremos uma função f(x), definida e derivável em [a, b], e "c" pertencente 
a este intervalo tal que f´(c) = 0. 
Para sabermos se o ponto de abscissa “c” é um ponto de máximo ou um ponto 
de mínimo, devemos analisar o sinal de f´(x), nas proximidades de “c”, da seguinte 
forma: 
 
Figura 31: Gráfico do ponto de máximo de 𝐟(𝐱) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
Por outro lado: 
 
Figura 32: Gráfico do ponto de mínimo de 𝐟(𝐱) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
O valor c será a abscissa de um ponto máximo se, para todo x próximo de c tivermos: 
f´(x) > 0 para valores de x < c 
f´(x) < 0 para valores de x > c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
 
 
Nas demais situações, ou seja, quando para valores próximos de c, o sinal 
da derivada não altera, teremos outro tipo de ponto crítico que denominaremos 
de ponto de inflexão. 
 
Figura 33: Ponto de inflexão de uma função 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
6.3 PASSO A PASSO PARA OBTER PONTOS CRÍTICOS 
 
1º passo: 
Dada a função f(x), calcula-se sua derivada, ou seja, f´(x). 
 
O valor c será a abscissa de um ponto mínimo se, para todo x próximo de c tivermos: 
f´(x) < 0 para valores de x < c 
f´(x) > 0 para valores de x > c 
O valor c será a abscissa de um ponto de inflexão se,para todo x próximo de c tivermos: 
f´(x)<0 para valores de x<c ou x>c 
assim f(x) será estritamente decrescente 
ou 
f´(x)>0 para valores de x<c ou x>c 
assim f(x) será estritamente crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
2º passo: 
Resolva a equação f´(x) = 0 e obtenha sua solução c. 
 
3º passo: 
Uma vez calculada a solução de f´(x) = 0, estudo o sinal de f´(x) em c. 
 
Se o final de f´(x) 
 Passar de positiva para negativa, temos ponto de máximo. 
 Passar de negativa para positiva, temos ponto de mínimo. 
 Nos demais casos, temos um ponto de inflexão. 
 
Quadro 2: Quadro Resumo 
x C x 
f´(x) + 0 - f´(x) - 0 + 
f(x) 
 
MÁXIMO 
 
 f(x) 
 
MÍNIMO 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
2) Critério da 2ª derivada da função 
 
Consideremos uma função f(x), definida e derivável em [a, b], e cuja deri-
vada f´(x) também é derivável em [a, b], e ambas contínuas neste intervalo. 
 
 
 
Exemplos: 
1) Dada a função f(x) = x2 − 6x + 8 estude o seu comportamento apontando e 
classificando seus pontos críticos. 
 
 
Se c em [a, b] de forma que f´(x) = 0, então: 
se f´´(x)<0 então c será ponto de máximo. 
se f´´(x)>0 então c será ponto de minimo. 
se f´´(x)=0 então nada se pode afirmar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
Resolução pelo critério da 1ª derivada: 
f´(x) = 2x − 6 
f´(x) = 0 ⇒ 2x − 6 = 0 ⟹ x = 3 
y = f(3) = (3)2 − 6 . 3 + 8 ⟹ y = −1 
 
Estudo do sinal da derivada f´(x): 
 
Figura 34: Estudo do sinal da derivada f´(x) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Como o sinal da derivada alterou de negativo para positivo,concluimos que o 
ponto 
(3,-1 ) é ponto mínimo. 
 
Resolução pelo critério da 2ª derivada: 
 
f´(x) = 2x − 6 
f´(x) = 0 ⇒ 2x − 6 = 0 ⟹ x = 3 
f´´(x) = 2 > 0 
 
Temos que a segunda derivada é positiva e y = f(3) = 32 − 6.3 + 8 = −1. 
Logo,temos como ponto mínimo (3, −1). 
 
 
2) Dada a função f(x) = x3 − 3x estude o seu comportamento apontando e classi-
ficando seus pontos críticos.Resolução pelo critério da 1ª derivada: 
 
f´(x) = 3x2 − 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
 
f´(x) = 0 ⇒ 3x2 − 3 = 0 ⟹ x´ = −1 e x´´ = 1 
y = f(−1) = (−1)3 − 3. (−1) = 2 
y = f(1) = (1)3 − 3. (1) = −2 
 
35: Estudo do sinal da derivada f´(x) e gráfico da função 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Temos como: 
 
 ponto máximo: (−1,2) 
 ponto mínimo: (1, −2) 
 
Resolução pelo critério da 2ª derivada: 
 
f´(x) = 3x2 − 3 ; f´(−1) = 0 ; f(−1) = 2 e f(1) = −2 
f´´(x) = 6x 
 f´´(1) = 6.1 = 6 > 0 ⟹ ponto de mínimo (1, −2) 
 f´´(−11) = 6. (−1) = 6 < 0 ⟹ ponto de máximo (−1,2) 
 
6.4 CONCAVIDADE DA CURVA 
Vimos que a primeira derivada mede a taxa de variação de uma função. 
Analogamente, podemos dizer que a segunda derivada mede a taxa de variação 
da primeira derivada. 
Dessa forma, se f´(x) é crescente então f´´(x) é positiva e se f´(x) é decres-
cente então f´´(x) é negativa. Por meio dessa afirmação, temos a seguinte conclu-
são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
Se f´´(x)>0 para todo x em ]a, b[, o gráfico de f(x), em ]a, b[, 
é 
côncavo para cima. 
 
Se f´´(x)<0 para todo x em ]a, b[, o gráfico de f(x), em ]a, b[, 
é 
côncavo para baixo. 
 
Figura 36: Concavidade da Curva 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
Podemos notar, no gráfico da esquerda, que em “c” (ponto de inflexão), 
a 𝐟´´(𝐱) < 𝟎 para 𝐱 < 𝐜 e 𝐟´´(𝐱) > 𝟎 para 𝐱 < 𝐜. 
Por outro lado, no gráfico da direita, podemos notar que em “c” (ponto de 
inflexão), a 𝐟´´(𝐱) > 𝟎 para 𝐱 < 𝐜 e 𝐟´´(𝐱) < 𝟎 para 𝐱 < 𝐜. 
 
Exemplo: 
Dada a função f(x) = x3 − 6x2 + 4x − 10 estude o seu comportamento apontando 
a direção de sua concavidade. 
 
f´(x) = 3x2 − 12x + 4 
f´´(x) = 0 ⇒ 6x − 12 = 0 ⟹ x = 2 
 
Figura 37: sinal de f´´ 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
Figura 38: Comportamento de f 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 
 
 
 
 
 
 
Veja mais sobre o assunto no livro “`Cálculo” de Thomas (2009). Disponível 
em em: https://bit.ly/3qCFln1. Acesso em: 23 fev. 2020; 
 
Leia também o livro “Cálculo” de Rogawski e Adams (2018). Disponível 
em: https://bit.ly/3ouwNgj. Acesso em: 23 fev. 2020; 
 
Por fim, assista a vídeo-aula “Construção de Gráfico” do Prof. Paulo Fer-
reira para aprofundar ainda mais seus conhecimentos. Disponível em: 
https://bit.ly/33U49xi. Acesso em Acesso em: 23 fev. 2020. 
https://bit.ly/3qCFln1
https://bit.ly/3ouwNgj
https://bit.ly/33U49xi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. A função f(x) = −x3 + 3x tem um ponto de máximo relativo para x igual a: 
 
a) 0 
b) – 1 
c) 1 
d) 3 
e) 1/3 
 
2. Se f(x) = −tgx − cosx − senx, então f´(0) é igual a: 
 
a) – 2 
b) – 1/2 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
 
3. Na função f(x) = −
x3
3
+ x2 − x o ponto (1, –1/3) é: 
 
a) Ponto de máximo 
b) Ponto de mínimo 
c) Ponto de inflexão 
d) Não é ponto crítico 
e) Ponto de reflexão 
 
4. A função f(x) = −2x3 − 9x2 + 24x − 6 é decrescente no intervalo: 
 
a) – 4 < x < 1 
b) x < - 4 ou x > 1 
c) x > 0 
d) x > 1 
e) -1 < x < 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
5. Seja a função f(x) = x3 − 9x2 + 24x + 5. O intervalo em que f´(x) > 0 é: 
 
a) ] − ∞; 2[ U ]4; +∞[ 
b) ] − ∞; 4[ 
c) ]2; 4[ 
d) ]2; +∞[ 
e) ]4; +∞[ 
 
6. A função f(x) =
x2+1
x2−4
 tem um ponto crítico para x igual a: 
 
a) 1 
b) 2 
c) – 1 
d) – 2 
e) 0 
 
7. Entre todos os retângulos de área igual a 64 cm2, o lado daquele que tem o menor 
perímetro é: 
 
a) o quadrado de lado 4 cm 
b) o quadrado de lado 5 cm 
c) o quadrado de lado 6 cm 
d) o quadrado de lado 7 cm 
e) o quadrado de lado 8 cm 
 
8. Um corpo se movimenta, obedecendo à função horária 
 
s(t) = 2 − 6t + 0,5t6 
 
Então podemos afirmar que: 
 
a) A velocidade é definida por v(t) = 6 – 3t5 
b) A velocidade é definida por v(t) = - 6 + 3t5 
c) A velocidade é definida por v(t) = – 3t5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
d) A velocidade é definida por v(t) = 3t5 
e) A velocidade é definida por v(t) = -6 – 3t5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 
INTEGRAÇÃO E INTEGRAL 
DEFINIDA 
 
 
7.1 MOTIVAÇÃO 
A dinâmica aqui utilizada consiste em efetuar cálculos para a obtenção de 
quantidades, fracionando-as em quantidades menores efetuando, em seguida, a 
adição de cada valor obtido nos cálculos de cada fragmento. Dessa forma, 
podemos utilizar o conceito de integral para solucionar problemas que envolvem 
comprimento de curvas, predições populacionais, excedentes de consumo e muitos 
outros. 
 
7.2 A IDEIA DAS SOMAS FINITAS 
Nesta seção, apresentaremos o cálculo de áreas, valores médios, distância 
percorrida por meio da soma finita que é o fundamento para a definição de integral. 
Iniciaremos nosso estudo, abordando a problematização da área. Suponhamos que 
desejamos encontrar a área da região R sob a curva de uma determinada 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) no intervalo iniciando em a e terminando em b, conforme a figura 
abaixo: 
 
Erro! 
Fonte 
de 
referênc
ia não 
 
A determinação de fórmulas para o cálculo de áreas e volumes de figuras 
planas e espaciais foi, sem dúvida, um grande marco da geometria. Aqui, nesta 
unidade de aprendizagem, abordaremos uma metodologia para o cálculo dessas 
áreas e volumes em situações geométricas bem mais gerais. Tal metodologia se trata 
da integração numérica que, além das obtenções de áreas e volumes, tem diversas 
aplicações nas mais variadas áreas do conhecimento, tais como: estatística, 
economia, ciências e engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
Em outras palavras, queremos obter o valor da área compreendida entre o 
gráfico gerado pela função e o eixo das abscissas (eixo x) e pelas retas verticais 𝑥 =
 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. 
Se pensarmos que a curva gerada pela função é formada por linhas retas, 
nossa tarefa será, sem dúvida nenhuma, simplificada, uma vez que, se a região R for 
um retângulo, basta calcular o produto entre sua base e sua altura e, se fosse um 
triângulo, poderíamos recorrer à metade do produto entre a sua base e sua altura. 
Veja na figura abaixo: 
 
 
Por outro lado, caso tenhamos uma figura poligonal, um hexágono por 
exemplo, teremos que fragmentá-los em quatro triângulos, calcular as áreas de cada 
um dos triângulos encontrados para, em seguida, somar os resultados obtidos. Veja 
na figura abaixo: 
 
O maior problema que podemos encontrar são as áreas de figuras que 
possuem lados não lineares, ou seja, curvos. Com certeza podemos calcular tal área 
de forma intuitiva ou aproximada, porém, às vezes, temos a necessidade de obter a 
sua área de forma mais precisa. Então, para obtermos a área exata de uma região 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
 
curva, devemos fragmentá-la em vários retângulos, calcular as áreas de cada 
retângulo e, em seguida, somar os resultados obtidos. 
Veja este procedimento de forma mais detalhada nas figuras a seguir: 
 
 
 
Para podermos calcular a área R entre a curva da função e o eixo das 
abscissas (eixo x), primeiramente, devemos observar os limites em que a região está 
compreendida que, no caso considerado, está entre 0 e 1. Após levantar os limites 
em que a região está definida, devemos fragmentá-la em quatro retângulos A1, A2, 
A3 e A4 por meio de cinco retas verticais a saber: 𝑥 = 0, 𝑥 = ¼, 𝑥 = ½, 𝑥 = ¾ 𝑒 𝑥 =
 1. 
Dessa forma, podemos aproximar cada repartição criada por meio de um 
retângulo com bases iguais à distância compreendida entre as retas verticais, ou seja, 
¼ e altura igual ao lado esquerdo de cada retângulo formado, ou seja, as alturas 
desses retângulos serão os valores de f(x) nas extremidades esquerdas dos intervalos 
[0,1/4], [1/4,1/2], [1/2,3/4] 𝑒 [3/4,1]. 
Efetuando os cálculos considerando 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
 
Este método de fragmentação da região R pode ser repetido para qualquer 
quantidade de retângulos que desejarmos.Uma vez constatado que podemos utilizar retângulos para calcular áreas 
aproximadas, utilizaremos esta mesma ideia para calcular as áreas das mais diversas 
regiões obtidas pelas mais variadas funções. Veja na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
 
 
Temos que a largura do intervalo [𝑎, 𝑏] é 𝑏 – 𝑎 e, dessa forma, a altura de cada 
um dos trapézios será dada por: 
 
Logo a área da região sob a curva se dará por: 
 
Veja como fica as aproximações sucessivas desta mesma região quando 
aumentamos o número de retângulos aproximantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 
Exemplo: 
Suponha que queiramos estimar a distância percorrida por um carro durante 
um intervalo de tempo de 30 segundos. A cada 5 segundos registramos a leitura do 
velocímetro na seguinte tabela: 
 
 
 
Convertendo a velocidade em m/s temos: 
 
 
 
Temos a seguinte situação gráfica para este problema: 
 
 
 
Podemos efetuar os cálculos por aproximação da área sob a curva utilizando 
6 (seis) retângulos aproximantes e, utilizando como altura, o extremo esquerdo de 
cada um deles. Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
 
7.3 INTEGRAL DEFINIDA 
Na seção anterior mostramos que a área sob a curva de uma função é dada 
por: 
 
 
Dessa forma, podemos definir a integral definida da seguinte forma: 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
1) O Símbolo de ∫ é denominado sinal de integração onde na notação ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, 𝑓(𝑥) 
é chamado de integrando, "𝑎" e "𝑏" são os limites de integração e o 𝑑𝑥 indica que 
a variável dependente é x. O procedimento de calcular a integral é chamado 
integração. 
2) A integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é um número e x é apenas uma letra que representa 
a variável. Podemos alterá-la para qualquer outra letra que o valor da integral não 
altera. 
3) A soma ∑ 𝑓(𝑥)∆𝑥𝑛𝑖=1 (denominada soma de Riemann) se aproxima do valor da 
integral por aproximações sucessivas dependendo apenas de quanto queremos 
que seja essa aproximação. 
4) Quando 𝑓(𝑥) assume valores positivos e negativos, podemos dizer que a soma de 
Riemann é o resultado da adição das áreas dos retângulos situados acima do eixo 
x e do oposto das áreas dos retângulos situados abaixo do eixo x. 
Se 𝑓(𝑥) é uma função contínua definida em [𝑎, 𝑏], dividimos este intervalo em “n” 
subintervalos de comprimentos iguais a ∆𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/𝑛.Sejam 𝑥0(= 𝑎), 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) 
as extremidades desses subintervalos. Então a integral definida de 𝑓(𝑥) de a até b é: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
∑ 𝒇(𝒙)∆𝒙
𝒏
𝒊=𝟏
𝒃
𝒂
 
Desde que este limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas de 
pontos. Se ele existir, dizemos que 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
 
Exemplo: 
a) Calcule a soma de Riemann para 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥 tomando como pontos amostrais 
as extremidades direitas e a = 0, b = 3 e n = 6. 
 
b) Calcule ∫ 𝑥3 − 6𝑥 𝑑𝑥
3
0
. 
𝑎) 𝐶𝑜𝑚 𝑛 = 6, 𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 é ∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
3 − 0
6
=
1
2
 
 𝑒 𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑟ã𝑜: 
𝑥1 = 0,5, 𝑥2 = 1,0, 𝑥3 = 1,5, 𝑥4 = 2,0, 𝑥5 = 2,5, 𝑥6 = 3,0 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 𝑠𝑒𝑟á: 
𝑅6 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
6
𝑖=1
= 𝑓(0.5)∆𝑥 + 𝑓(1,0)∆𝑥 + 𝑓(1.5)∆𝑥 + 𝑓(2,0)∆𝑥 + 𝑓(2.5)∆𝑥 + 𝑓(3,0)∆𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 
=
1
2
(−2,875 − 5 − 5,625 − 4 + 0,625 + 9) = −3,9375 
 
 
 
𝑏) 𝐶𝑜𝑚 𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
3
𝑛
 
𝐷𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠, 
𝑥0 = 0, 𝑥1 =
3
𝑛
, 𝑥2 =
6
𝑛
, 𝑥3 =
9
𝑛
 𝑒, 𝑒𝑚 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙, 𝑥𝑖 =
3𝑖
𝑛
 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
∫ (𝑥3 − 6𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑓 (
3𝑖
𝑛
)
3
𝑛
𝑛
𝑖=1
3
0
= lim
𝑛→∞
3
𝑛
∑ (
3𝑖
𝑛
)
3
− 6 (
3𝑖
𝑛
)
𝑛
𝑖=1
 
= lim
𝑛→∞
3
𝑛
∑ [
27𝑖3
𝑛3
−
18𝑖
𝑛
]
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
[
81
𝑛4
∑ 𝑖3 −
54
𝑛2
∑ 𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
] 
= lim
𝑛→∞
{
81
𝑛4
[
𝑛(𝑛 + 1)
2
]
2
−
54
𝑛2
[
𝑛(𝑛 + 1)
2
]} 
= lim
𝑛→∞
[
81
4
(1 +
1
𝑛
)
2
− 27 (1 +
1
𝑛
)] 
=
81
4
− 27 = −
27
4
= −6,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
 
 
 
 
 
7.4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL DEFINIDA 
Uma vez utilizada a soma de Riemann para o cálculo de uma integral definida, 
podemos agora, apresentar algumas propriedades operatórias que tonarão os 
cálculos das integrais definidas mais ágeis. 
 
 Inversão dos limites de integração: 
 
 
 
 Limites inferior e superior iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
 
 Propriedades da integral: 
 
 
 
 Integrais definidas em intervalos adjacentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
 
7.5 RESUMO DAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3gnjUjB
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Lendo os valores do gráfico dado da função 𝑓(𝑥), utilize o extremo esquerdo de 
quatro retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado 
da função de 𝑥 = 0 até 𝑥 = 8. 
 
 
 
Fazendo o que se pede, podemos afirmar que a área encontrada será 
 
a) (X) 30 
b) (X) 31 
c) (X) 32 
d) (X) 33 
e) (X) 34 
 
2. Lendo os valores do gráfico dado da função 𝑓(𝑥), utilize o extremo direito de 
quatro retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado 
da função de 𝑥 = 0 até 𝑥 = 8. 
 
 
 
Fazendo o que se pede, podemos afirmar que a área encontrada será 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
 
 
a) (X) 38 
b) (X) 39 
c) (X) 40 
d) (X) 41 
e) (X) 42 
 
3. A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros 
segundos de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada 
em uma tabela: 
 
 
 
Utilizando os extremos esquerdos de cada intervalo podemos dizer que a distância 
percorrida pelo atleta é 
 
a) (X) 10,55 
b) (X) 11,55 
c) (X) 12,55 
d) (X) 13,55 
e) (X) 14,55 
 
4. A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros 
segundos de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada 
em uma tabela: 
 
 
 
Utilizando os extremos direitos de cada intervalo podemos dizer que a distância 
percorrida pelo atleta é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
 
a) (X) 10,65 
b) (X) 11,65 
c) (X) 12,65 
d) (X) 13,65 
e) (X) 14,65 
 
5. Utilizando a forma da definição para calcular a integral ∫ 1 + 3𝑥 𝑑𝑥
5
−1
 encontramos 
como resultado 
 
a) (X)39 
b) (X) 40 
c) (X)41 
d) (X) 42 
e) (X) 43 
 
6. Utilizando a forma da definição para calcular a integral ∫ 𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥
0
−2
 encontramos 
como resultado 
 
a) (X) 1/3 
b) (X)2/3 
c) (X) 1 
d) (X) 4/3 
e) (X) 5/3 
 
7. Utilizando a forma da definição para calcular a integral ∫ 𝑥3 + 3𝑥2 𝑑𝑥
1
0
 encontramos 
como resultado 
 
a) (X) – 3/4 
b) (X) – 2/3 
c) (X) 3/4 
d) (X) 2/3 
e) (X) 5/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
 
 
8. Calculando a integral ∫ 1 − 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
 em termos de áreas obtemos como resultado 
 
a) (X)2/3 
b) (X) 2/5 
c) (X) 5/2 
d) (X) 3/2 
e) (X) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
 
 
CÁLCULO DAS INTEGRAIS 
DEFINIDAS E INDEFINIDAS 
 
 
 
8.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
A partir de agora, apresentaremos o teorema mais relevante do cálculo que 
relacionará a derivação já aprendida com a integração, que é o nosso assunto atual. 
Por meio desse teorema, poderemos calcular as integrais sem a necessidade de 
utilizar a soma de Riemann estudada na unidade anterior. 
Antes de iniciarmos nosso estudo do teorema fundamenta do cálculo, 
trataremos do teorema do valor médio que dará suporte ao nosso estudo. 
 
 Teorema do Valor Médio