AULA - EQ S-3D

Prévia do material em texto

Aula1 –youtube - Equação de sSchrodinger em 3D
( link da aula 1: https://www.youtube.com/watch?v=U6GCdB9_iSo)
Aplicaremos conceitos a um sistema simples com o 
átomo de hidrogênio.
Considere uma partícula clássica confinada a uma caixa cúbica, de comprimentos iguais a L, e essa partícula 
clássica oscilaria ,ie, se chocaria com as paredes da caixa. As paredes da caixa são lisas de forma que só exercem forças perpendiculares a superfície, e as colisões serão consideradas elásticas e em cada colisão a componente do momento da partícula normal à parede se inverte (muda de sinal) , enquanto as outras duas componentes do momento não são afetadas. 
Temos acima, uma colisão elástica, com a representação das velocidades v de uma dessas partículas com a parede, a partícula tem velocidade v e pode se dividir em duas componentes , uma paralela a parede e outra normal, a componente que é normal a parede se inverte e muda de sinal enquanto a que está paralela a parede permanece a mesma. 
Vamos agora escrever a função de onda, a equação de onda para três dimensões:
Teremos então que, é uma função de onda Ψ em três dimensões, agora é uma função do vetor r, que é vetor posição da partícula e de tempo t.
A densidade de probabilidade, no caso é a probabilidade em unidade de volume é dada pela equação:
E em três dimensões temos a Equação de Schrodinger ficará da seguinte forma:
Onde temos que –h2/m vezes V2 que é o laplaciano da função de onda Ψ o potencial U ( r) que vai depender da posição do vetor posição r vezes a função de onda Ψ, tudo isso igual a ih multiplicado pela derivada da função de onda em função do tempo Ә Ψ /Әt.
Temos agora o potencial U(r, t ) , a energia potencial da partícula, porém irá depender das três coordenadas espaciais , U( r) = U(x,y,z) .
Teremos assim o Laplaciano:
O Laplaciano é escrito nas coordenadas cartesianas, tendo as derivadas segundas em função de x, y e z.
Substituindo Laplaciano em: 
Teremos:
Este operador pode ser também escrito como o de energia cinética e uma dimensão:
Sendo que será o operador da energia cinética nas direções x,y,z .
Logo a equação de Schrodinger pode ser escrita da seguinte forma:
Onde [H] é o operador hemitoniano em três dimensões atuando na função de onda Ψ que também é tridimensional mais o operador da energia [E] atuando também na na função de onda Ψ tridimensional.
Estados estacionários:
São aqueles nos quais todas as probabilidades são ctes no tempo e cujas soluções da equação de Schrodinger são soluções separáveis.
E o que quer dizer, soluções separáveis? Quer dizer que a função de onda Ψ (r,t) que é uma função do vetor posição e do tempo, pode ser escrita como uma função que depende apenas da posição ψ (r) multiplicada por uma função que depende apenas do tempo е^-iwt .
Podemos, separar a parte que depende da posição da que depende do tempo.
Se a derivarmos em função do tempo , teremos:
Substituindo essa derivada em função do tempo e a função de onda na equação de Schrodinger, teremos:
Pode-se simplificar ambos os lados da equação de Schrodinger dividindo por е^-iwt e multiplicando do lado direito da equação i por i, teremos:
Temos então a equação de Schrodinger, independente do tempo para o caso tridimensional para uma partícula com energia hw.
Segunda parte da aula:
( link da aula 2: https://www.youtube.com/watch?v=PHgrkbvO1dA)
A equação de Schroedinger para uma partícula dentro da caixa, independente do tempo:
Para uma partícula com energia hw.
A partícula dentro da caixa, a energia potencial será: U( r) = 0
A função de ondaψ (r ) será uma função separável.
E esta função pode ser escrita da seguinte forma:
Uma função que depende da coordenada x, multiplicada por uma função que depende da coordenada y e multiplicada pela função que depende da coordenada z.
Considerando o potencial como sendo zero, a equação de Schroedinger ficará da seguinte forma:
Onde E é energia.
Aplicando o laplaciano na equação de Schroedinger, teremos:
Podemos dividir ambos os lados da equação por Ψ1ψ2Ψ3, que é a função de onda independente do tempo, teremos a seguinte equação:
Podemos dizer que cada termo da equação será igual a ctes ,onde a energia E da partícula será soma dessas ctes E1,E2,E3 são chamadas de ctes de separação 
Voltando para o caso unidimensional, vamos analisar uma dessas ctes.
Temos então:
Que se trata do caso de uma partícula presa num poço infinito 
Onde podemos escrever a cte K1 da seguinte forma:
E as soluções para as funções de onda dentro do poço infinito são da seguinte forma:
Essa função de onda deve ser x = 0 e x = L nas paredes do poço o que implica em, sen(k1x) = 0, então:
Onde L é a largura do poço e n1 é o número quântico que pode ser qualquer valor inteiro 
O módulo do momento da partícula ,será dado por:
Teremos então a quantização do momento no caso tridimensional:
Como os momentos estão restritos a certos valores, a energia cinética da partícula também está limitada aos seguintes valores discretos:
Logo a energia cinética pode ser escrita da seguinte forma:
Onde Px,Py,Pz, são módulos do momento ao quadrado 
Assim, confinar a partícula no cubo(caixa) resulta em quantizar seu momento e sua energia.
Para especificar o estado quântico são necessários os três números quânticos, n1,n2,n3, que correspondem aos três graus de liberdade independentes para uma partícula no espaço.
Logo tendo a equação de Schroedinger para três dimensões:
A função de onda pode ser escrita da seguinte forma, uma função que depende só da posição multiplicada por uma função que depende apenas do tempo:
E a função que depende da posição, podemos ter uma solução separável:
E para cada direção a função de onda pode ser escrita da seguinte forma:
Isto significa, por exemplo, que, as funções de ondas possíveis para a direção y serão ψn(y) = Asen(k2y).
Reunindo estes resultados, dos estados estacionários, observamos que os estados estacionários para esta partícula são: ( dentro da caixa)
Percebemos que a partícula deve estar dentro da caixa, porém fora da caixa NÃO HÁ função de onda (0) .
Para as energias da partícula, teremos:
E as funções de ondas possíveis neste caso serão:
O estado fundamental ocorre quando n1=n2=n3=1 , isto é, os números quânticos devem ser iguais a 1, temos então o estado fundamental para a partícula confinada na caixa, tendo como energia:
Temos então o estado fundamental, onde em E111, onde temos os números quânticos.
Logo o estado fundamental da partícula dentro da caixa será:
Esta será a mínima energia possível que a partícula terá dentro da caixa.
Para esta partícula, existem três primeiros estados excitados, que correspondem as três combinações diferentes de n1,n2, e n3 cujos quadrados somados resultam em 6 .
Por exemplo, digamos que n1 =2 seja o primeiro estado excitado, e n2 e n3 iguais a 1 , outro estado possível, n1= 1, n2=2 e n3=1, e outro estado possível n1=1, n2=1 e n3=2:
Esses estados excitados tem em comum é que as energias desses estados são iguais :
Observando que essa energia é duas vezes maior do que a do estado fundamental.
Observemos que temos três estados excitados com a mesma energia, dizemos então que esses estados estão degenerados. 
E sempre que temos estados diferentes, mas que tem a mesma energia, esse nível energético corresponde a um nível energético degenerado.
A seguir temos uma tabela com níveis de energia, de uma partícula em uma caixa onde Eo é a energia do estado fundamental, e n^2 é igual a x^2+y^2+z^2.
No estado fundamental, não temos nenhuma degeneração, para 2Eo, o n^2 vale 6, e teremos 3 degenerações, isto é, temos três estados que tem a mesma energia, três estados degenerados, em 3Eo, temos 3 vezes o estado fundamental onde teremos n^2 igual a 9 e com três estados degenerados, no estado com 11/3Eo, seu n^2 = 11, e possui 3 estados degenerados, já no estado com energia 4Eo, n^2 = 12 e não tem nenhum estado degenerado.
Temos então os gráficos da densidade de probabilidade para o estado fundamental (primeiro gráfico da esquerda) e paraos estados excitados, o primeiro estado só tem um pico, já os outros dois possuem uma degeneração, estados de mesma energia, com dois picos , o que muda entre eles é que há uma rotação entre os dois estados.
 
Na tabela a seguir, temos os números quânticos e as degenerações:
Temos o seguinte exemplo:
Exemplo: